Prof. Marcelo Cser Funes Trigonomtricas FUNES TRIGONOMTRICAS FUNO SENO f:[ 1, 1] 9 , f(x) = sen (x) FUNO CO-SENO f:[ 1, 1] 9 , f(x) = cos (x) FUNO TANGENTE f:x / x k, k Z2t e9 = + t e 9 ` ), f(x) = tg (x) f(x) = sen(x)f(x) = cos(x)f(x) = tg (x) Domniox e9 x e9 x k,k Z2t= + t eImagemy 1, 1 e ( y 1, 1 e ( y e9Perodo2t 2t t TRANSFORMAES NOS GRFICOS f(x) = A + B . sen (Cx) ouf(x) = A + B . cos (Cx) ADeslocaogrficoAunidadesparacima(A>0)ou para baixo (A < 0). Afeta a imagem. A reta y = A um eixo de simetria da curva. BAlteraaamplitudesemalteraroperodo.Afetaa imagem. Reflete o grfico em torno do eixode simetria se negativo. C Altera o perodo. No afeta a imagem. P = | |2C ROTEIRO PARA ESBOO 1) Calcular a imagem e marc-la no grfico. Traar o eixo de simetria y = A. 2) Calcular o perodo, e dividi-lo em quatro. 3)Esboarogrficousandoospontosdeinterseco entreoselementostraados,erespeitandoas caractersticas de cada curva. Prof. Marcelo Cser Funes Trigonomtricas Exerccios de Aula: 01) Esboce o grfico de f(x) = 1 + 2 sen(x). Aimagemobtidaapartirdos valoresmximoemnimo de sen x. Dessa forma, so valores extremos de f(x): 1 + 2.(1) = 1 + 2 = 3 e 1 + 2.(-1) = 1 - 2 = -1. Logo,| | 1, 3fI= .Oeixodesimetriadaondalocaliza-se sobre a reta y = 1. Ainda, a amplitude da onda mede 2. 02) Esboce o grfico de y = 2 - 3.cos(x). A imagem da funo co-seno obtida do mesmo modo: 2 - 3.(1) = 2 - 3 = -1 e 2 - 3.(-1) = 2 + 3 = 5. Logo,| | 1, 5fI= .Oeixodesimetriadaondalocaliza-se sobrearetay=2.Ainda,aamplitudedaondamede3. ComoB=-3,ogrficoserrefletidoemtornodoeixode simetria. 03) Quantas solues a equao sen 2x = cos x possui: a) se| | 2 , 2 x e b) se| | 40 , 40 x e a) O nmero de solues de equaes na forma f(x) = g(x) pode ser visualizado como o nmero de interseces entre seusgrficos,ondeasabscissasdecadainterseco sero as solues. Assim, esboando o grfico de f(x) = sen 2x (cuja imagem | | 1, 1fI= ecujoperodovale 22P = = )ede g(x)=cosx(onde| | 1, 1fI= e 221P = = ), constatamosquenointervalodesejadoexistem8pontos de interseco. Logo, 8 solues. b) Como para cada perodo de g(x) existem 4 solues, no intervalo| | 40 , 40 g(x)dar40voltascompletas,j que seu perodo vale2 . Logo, sero 160 solues. Prof. Marcelo Cser Funes Trigonomtricas EXERCCIOS 01) Determine o perodo, a imagem e construa o grfico de cada uma das funes abaixo: a) f(x) =3sen(x)b) f(x) = cos(4x) c) f(x) = 1 - sen(3x)d) f(x) = -cos(x) e) f(x)=2cosx3| | |\ .-3 f) f(x) =-1+2sen(0,5x) 02) (UFPEL) Qual a imagem de f(x) = 2sen(x) - 3? 03) (UFRN) Sejam f(x) = 4cos(2x) eg(x) = 2cos(0,25x). Se Pf o perodo de f e Pg o perodo de g, ento: a) Pg = Pfc) Pg = 4Pfe) Pg = 8Pf b) Pg = 0,5Pfd) Pg = 2Pf 04)(PUCRS)Qualoperodoeaimagemdafuno definida por f(x) = 3sen(2x)? 05) (FUVEST) Qual o menor valor de ) cos( 31x ? 06)Obtenhak,k>0,nafunof(x)=sen(kx),sabendo que seu perodo igual a 3. 07) Qual o maior valor que f(x) = 5+5sen(5x+5) assume? 08)(FUVEST)Afiguraabaixomostrapartedogrficoda funo a) sen(x) b) | | |\ .x2 sen2 c) | | |\ .xsen2 d) 2sen(x) e) sen(2x) 09) Se y = 3.cos(x) 1, ento y varia no intervalo: a) [2, 4]b) [1, 1]c) [1, 3]d) [3, 1]e) [4, 2] 10) (PUC) O grfico abaixo da funo f. A lei de f a) 2xcos 3 ) x ( f =b) f(x) = 3cos 2x c) 2xsen 3 ) x ( f =d) f(x) = 3sen 2x e) 2xsen 3 ) x ( f + = 11) (UFRGS) O grfico abaixo representa uma funo real f. Esta funo dada por: a) f(x) = 1 cos x b) f(x) = 1 + cos x c) f(x) = cos(x + 1) d) f(x) = cos(x 1) e) f(x) = cos(x + t) 01a 01b 01c 01d 01e 01f 01a2 , [ 3;3] t 01b, [ 1;1]2t 01c 2, [0;2]3t 01d 2 , [ 1;1] t 01e 6 , [ 5; 1] t 01f 4 , [ 3;1] t 02[-5; -1]03E04 e [ 3;3] t 05 140660710 08B09E10C11B t2t3t4t x y - 3 3 0