Relações trigonométricas nos triângulos

Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumário Página

Razões trigonométricas no triângulo retângulo .............................................................. 1

Seno .......................................................................................................................... 1

Cosseno .................................................................................................................... 2

Tangente ................................................................................................................... 2

Tabela trigonométrica ..................................................................................................... 4

Tabelas importantes.................................................................................................. 6

Resolvendo problemas no triângulo retângulo ............................................................... 6

Relações entre seno, cosseno e tangente......................................................................... 9

Relações trigonométricas em um triângulo qualquer ................................................... 10

Lei dos senos .......................................................................................................... 11

Lei dos cossenos..................................................................................................... 12

Referências bibliográficas............................................................................................. 16

1

Relações trigonométricas nos triângulos

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Um triângulo é uma figura geométrica plana, constituída por três lados e três ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidade de medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0o e 180o, de modo que, em qualquer triângulo, a soma dessas medidas é 180o.

Num triângulo retângulo definimos as chamadas razões trigonométricas que são relações entre os lados do triângulo e que têm a propriedade de determinar a medida dos ângulos do triângulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos.

Um triângulo é dito retângulo quando um de seus ângulos é reto, isto é, tem medida igual a 90o. Os outros dois ângulos, evidentemente, são agudos.

No triângulo retângulo ABC, consideremos, por exemplo, o ângulo que tem vértice em B, cuja medida αααα, em graus, é um número real que está no intervalo ]0,90[. Entre os lados do triângulo podemos estabelecer as seguintes razões:

Seno

Seno de αααα é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo B e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o seno de αααα por sen αααα,

temos: BCAC

αsen = .

Dado um segmento AB , indicamos o comprimento de AB por AB, onde AB = med(AB ).

2

Cosseno

Cosseno de αααα é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo B e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o cosseno de αααα por cos αααα,

temos: BCAB

αcos = .

Tangente

Tangente de αααα é a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto

adjacente ao ângulo B . Indicando a tangente de x por tg αααα, temos: ABAC

αtg = .

Observação: De acordo com a definição, é fácil verificar que α cosαsen

αtg = , para

todo αααα variando no intervalo ]0,90[.

Exemplo:

► No triângulo retângulo ABC, determine o valor do seno, cosseno e tangente do ângulo C .

Resolução:

Representando a medida da hipotenusa por x, calculamos esse valor aplicando o teorema de Pitágoras no ∆ABC.

13

169

169

14425

125

2

2

222

==

=

+=

+=

x

x

x

x

x

135

βsen

HCO

βsen

=

=

1312

βcos

HCA

βcos

=

=

125

βtg

CACO

βtg

=

=

3

EXERCÍCIOS A

(1) Considerando que 23,25 = , determine o valor do seno, do cosseno e da

tangente do ângulo B no triângulo retângulo ABC da figura abaixo.

(2) A figura seguinte é um triângulo eqüilátero ABC, onde cada ângulo interno vale 60º. Traçando-se a altura AH , teremos um triângulo retângulo AHC.

Sabendo que 23l

h = (você já conhece essa fórmula), considere o triângulo

retângulo AHC e determine o valor de sen 60º, cos 60º e tg 60º, deixando esses valores na forma de radical.

4

(3) Usando a mesma figura e o mesmo triângulo retângulo AHC (do exercício anterior), determine o valor de sen 30º, cos 30º e tg 30º, pois a altura AH coincide com a bissetriz do ângulo interno A , no triângulo eqüilátero (deixar a resposta na forma de radical).

(4) No triângulo retângulo, determine o valor do seno, do cosseno e da tangente do ângulo de 45º (deixar a resposta na forma de radical).

Tabela trigonométrica

Em muitos casos, para resolver problemas com triângulos retângulos é necessário conhecer as razões trigonométricas dos ângulos agudos do triângulo. Como a cada ângulo agudo está associado um único valor para o seno, para o cosseno e para a tangente, podemos elaborar uma tabela que nos forneça esses valores, evitando assim a necessidade de calculá-los a toda hora.

A tabela a seguir foi construída há séculos, e nos dá os valores do seno, do cosseno e da tangente de ângulos de 1º até 89º, com aproximação até milésimos. A maioria das calculadoras, hoje em dia, nos fornecem esses valores.

5

TABELA DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Ângulo ( º ) sen cos tg Ângulo ( º ) sen cos tg 1 0,017 1,000 0,017 46 0,719 0,695 1,036 2 0,035 0,999 0,035 47 0,731 0,682 1,072 3 0,052 0,999 0,052 48 0,743 0,669 1,111 4 0,070 0,998 0,070 49 0,755 0,656 1,150 5 0,087 0,996 0,087 50 0,766 0,643 1,192 6 0,105 0,995 0,105 51 0,777 0,629 1,235 7 0,122 0,993 0,123 52 0,788 0,616 1,280 8 0,139 0,990 0,141 53 0,799 0,602 1,327 9 0,156 0,988 0,158 54 0,809 0,588 1,376 10 0,174 0,985 0,176 55 0,819 0,574 1,428 11 0,191 0,982 0,194 56 0,829 0,559 1,483 12 0,208 0,978 0,213 57 0,839 0,545 1,540 13 0,225 0,974 0,231 58 0,848 0,530 1,600 14 0,242 0,970 0,249 59 0,857 0,515 1,664 15 0,259 0,966 0,268 60 0,866 0,500 1,732 16 0,276 0,961 0,287 61 0,875 0,485 1,804 17 0,292 0,956 0,306 62 0,883 0,469 1,881 18 0,309 0,951 0,325 63 0,891 0,454 1,963 19 0,326 0,946 0,344 64 0,899 0,438 2,050 20 0,342 0,940 0,364 65 0,906 0,423 2,145 21 0,358 0,934 0,384 66 0,914 0,407 2,246 22 0,375 0,927 0,404 67 0,921 0,391 2,356 23 0,391 0,921 0,424 68 0,927 0,375 2,475 24 0,407 0,914 0,445 69 0,934 0,358 2,605 25 0,423 0,906 0,466 70 0,940 0,342 2,747 26 0,438 0,899 0,488 71 0,946 0,326 2,904 27 0,454 0,891 0,510 72 0,951 0,309 3,078 28 0,469 0,883 0,532 73 0,956 0,292 3,271 29 0,485 0,875 0,554 74 0,961 0,276 3,487 30 0,500 0,866 0,577 75 0,966 0,259 3,732 31 0,515 0,857 0,601 76 0,970 0,242 4,011 32 0,530 0,848 0,625 77 0,974 0,225 4,331 33 0,545 0,839 0,649 78 0,978 0,208 4,705 34 0,559 0,829 0,675 79 0,982 0,191 5,145 35 0,574 0,819 0,700 80 0,985 0,174 5,671 36 0,588 0,809 0,727 81 0,988 0,156 6,314 37 0,602 0,799 0,754 82 0,990 0,139 7,115 38 0,616 0,788 0,781 83 0,993 0,122 8,144 39 0,629 0,777 0,810 84 0,995 0,105 9,514 40 0,643 0,766 0,839 85 0,996 0,087 11,430 41 0,656 0,755 0,869 86 0,998 0,070 14,301 42 0,669 0,743 0,900 87 0,999 0,052 19,081 43 0,682 0,731 0,933 88 0,999 0,035 28,636 44 0,695 0,719 0,966 89 1,000 0,017 57,290 45 0,707 0,707 1,000 90 1,000 0,000 -

6

Tabelas importantes

Na resolução de alguns problemas é mais conveniente usar os valores da seguinte tabela:

Ângulo sen cos tg

30º 21

23

33

45º 22

22

1

60º 23

21

3

Por extensão da definição, consideramos:

Ângulo sen cos tg

0º 0 1 0

90º 1 0 não

existe

Resolvendo problemas no triângulo retângulo

Usando os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, podemos resolver problemas como veremos nos exemplos a seguir.

Exemplos:

7

a) No triângulo retângulo da figura, determinar as medidas x e y dos catetos.

cm60,10

53,02020

53,0

2023sen

53,0

o

=⋅=

=

=

x

x

x

x321

cm96,16

848,02020

848,0

2023cos

848,0

o

=⋅=

=

=

y

y

y

y321

b) Em um triângulo isósceles, cada ângulo da base mede 71º. Sabendo-se que a base desse retângulo mede 8 cm, determinar a medida h da altura relativa à base.

cm616,11

904,244

904,2

471tg904,2

o

=⋅=

=

=

h

h

h

h321

EXERCÍCIOS B

(1) No triângulo retângulo determine as medidas x e y indicadas. (Use: 91,065sen o = ; 42,065cos o = ; 14,265tg o = )

8

(2) Considerando o triângulo retângulo ABC, determine as medidas a e b indicadas.

(3) Na figura temos que PA = 18 cm. Nessas condições, calcule:

a) o comprimento r do raio da circunferência;

b) a distância x do ponto P ao centro O.

(4) A determinação feita por radares da altura de uma nuvem em relação ao solo é importante para previsões meteorológicas e na orientação de aviões para que evitem turbulências. Nessas condições, determine a altura das nuvens detectadas pelos radares conforme o desenho seguinte. (Use: 47,028sen o = ; 88,028cos o = ; 53,028tg o = )

9

Relações entre seno, cosseno e tangente

As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente se relacionam de várias formas, como veremos a seguir:

1ª) 1θcos θsen 22 =+ ( oo 90θ0 << )

2ª) θ cosθsen

θ tg = ( oo 90θ0 << )

Exemplo:

► Sabendo que 6,0αsen = , determine o αcos e a αtg .

8,0α cos108

α cos

10064

α cos

64,0α cos

64,0αcos

36,01αcos

1αcos36,0

1αcos )6,0(

1αcos αsen

2

2

2

22

22

=

=

=

=

=

−=

=+

=+

=+

0,75α tg

0,80,6

α tg

α cosαsen

α tg

=

=

=

Então, 8,0αcos = e 75,0αtg = .

10

EXERCÍCIOS C

(1) Sabendo que 5

22αsen = e

517

αcos = , calcule o valor de αtg .

(2) No triângulo retângulo da figura, temos 1312

αcos = . Calcule:

a) o αsen e a αtg ;

b) a medida x da hipotenusa.

Relações trigonométricas em um triângulo qualquer

As relações trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas em triângulos retângulos. Vamos conhecer outras relações que valem para quaisquer triângulos.

11

Lei dos senos

Em todo triângulo, as medidas de seus lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

Csen

C

Bsen

b

Asen

a ==

Exemplo:

► Um agrimensor quer medir a distância entre duas árvores, A e B, que se encontram em margens opostas de um rio, como mostra a figura. A partir de um ponto C, ele tomou as seguintes medidas: AC = 14 m, med(C) = 80º e med(A ) = 72º. Com esses dados ele determinou a distância de A até B. Qual é essa distância?

Resolução:

Utilizando os dados do problema, temos:

med(B ) = )7280(180 ooo +− = 28º

Aplicando a lei dos senos no ∆ABC:

oo

ooo

ooo

80sen

AB

28sen

1480sen

AB

28sen

14

72sen

BC80sen

AB

28sen

AC

72sen

BCCsen

AB

Bsen

AC

Asen

BC

=

==

==

==

12

Na tabela trigonométrica encontramos os valores de o28sen e o80sen .

4,29AB

469,079,13

AB

985,014AB469,0

0,985AB

0,46914

=

=

⋅=

=

Portanto, a distância entre as duas árvores é aproximadamente de 29,4 m.

Lei dos cossenos

Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.

Acoscb2cba 222 ⋅⋅⋅−+=

Bcosca2cab 222 ⋅⋅⋅−+=

Ccosba2bac 222 ⋅⋅⋅−+=

Exemplo:

13

► No triângulo ABC, as medidas de dois lados são 10 cm e 6 cm e o ângulo formado por esses lados mede 50º. Qual é a medida do terceiro lado?

Resolução:

Como são dadas as medidas de dois lados e o ângulo formado por eles, podemos aplicar a lei dos cossenos.

o222

222

05cos0162016a

Acoscb2cba

⋅⋅⋅−+=

⋅⋅⋅−+=

Na tabela trigonométrica temos 643,050cos o =

51471

a

1014712

a

1005884

a

84,58a

16,77136a

643,012000136a

05cos0162016a

2

2

2

o222

=

=

=

=

−=

⋅−+=

⋅⋅⋅−+=

Portanto, o terceiro lado mede 5

1471 cm.

14

EXERCÍCIOS D

(1) No triângulo ABC, o ângulo B mede 60º, o ângulo C mede 45º e o lado AB mede 23 cm. Calcule a medida do lado AC.

(2) No triângulo RMP, determine o valor de x sabendo que: MP = 18 cm, med(M ) = 45º e med(P) = 75º.

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(3) O ∆CNT possui dois lados que medem 4 cm e 33 cm. O ângulo formado por esses lados mede 30º. Qual é a medida do lado oposto a esse ângulo?

(4) Observe as medidas marcadas na figura e calcule a medida do ângulo A .

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Referências bibliográficas

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GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

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GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.

KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 9 de outubro de 2008.

MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.

MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997.

SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>. Acesso em: 21 de agosto de 2008.