1ª Fase

Prof. Me Roberto Nicolodi Disciplina: Introdução ao Cálculo Curso: Engenharia Civil

1

Razões e proporções

Numa cidade de 315000 habitantes, foi feita uma pesquisa sobre o número de leitores regulares de

jornais e chegou-se aos seguintes dados:

Jornal A 5 000 leitores

Jornal B 10 000 leitores

Nenhum jornal 300 000 leitores

Vamos analisar os dados da tabela através de alguns quocientes:

• Jornal B Significado: o jornal B tem o dobro de leitores do jornal A.

• Jornal A Lê algum jornal Número de habitantes Assim você pode notar que o quociente entre dois números é um instrumento muito útil para

compará-los. Em Matemática, o quociente entre dois números é chamado de razão.

1. Razão

Razão de dois números a e b (com b ≠ 0) é o quociente de a por b.

Indica-se: b

aou a : b e lê-se a para b.

O número a é chamado antecedente e o número b, conseqüente.

Exemplos:

1) No vestibular de 1990 da Universidade de Campinas concorreram, para 90 vagas da opção medicina, 7830 candidatos. Qual a relação candidato vaga para essa opção?

2) Tenho duas soluções de água e álcool. Primeira contém 279 litros de álcool e 1116 litros de água. A segunda contém 1 155 litros de álcool e 5775 litros de água. Qual das soluções tem o maior teor alcoólico?

3) A massa de João é 10kg e a de Márcio 5000g. Qual a razão entre as massas de João e Márcio?

2. Razões inversas

Duas razões são chamadas razões inversas quando o antecedente de uma for igual ao conseqüente da outra, e vice-versa.

Exemplos de razões inversas: OBS: A razão de antecedente 0 não possui inversa e o produto de duas razões inversas é 1.

3. Proporções

Significado: apenas 1, entre cada grupo de 21 habitantes da cidade, tem o hábito de ler jornal

1ª Fase

Prof. Me Roberto Nicolodi Disciplina: Introdução ao Cálculo Curso: Engenharia Civil

2

A igualdade de duas razões d

ceb

acom a, b, c e d ≠ 0) é chamada de proporção.

d

c

b

a= Proporção

Nessa proporção, destacamos:

• A sua leitura. “a está para b, assim como c está para d”.

• a e d são chamados extremos e b e c são chamados meios.

Assim para proporção 18

9

4

2= , lê-se: 2 está para 4 assim como 9 está para 18, 2 e 18 são os extremos e

e 4 e 9 são os meios.

4. Propriedades Fundamental das proporções

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e vice-versa.

Assim, por exemplo, em relação à proporção 18

9

4

2= , temos 2 . 18 = 4 . 9, 36 = 36

Exemplos:

1) Encontrar o valor de x na proporção 10

4

20=

x.

2) Se em cada calça são usados 4 botões e ainda disponho de 104 botões, quantas calças poderei aprontar?

3) Sejam a e b dois números reais positivos. Sabe-se que a razão de a para b é 3

1. Quem é maior a ou

b?

5. Escalas

A razão entre o comprimento considerado em um desenho e o seu comprimento real. Muitas vezes, vemos desenhos reduzidos ou ampliados. Se comprarmos um jornal de domingo é bem provável que nele encontraremos plantas arquitetônicas de imóveis anunciados pelas imobiliárias.

6)A planta abaixo a seguir é um exemplo.

1ª Fase

Prof. Me Roberto Nicolodi Disciplina: Introdução ao Cálculo Curso: Engenharia Civil

3

Nesse caso, o comprimento da varanda da sala, que é de 4,4m, foi representado no desenho por apenas

2,2 cm. Assim:

Escala = =

orealcompriment

ododesenhocompriment

5)A distância entre duas cidades em um mapa é de 5 cm. Qual a distância real entre elas, se o mapa tem

a escala 1 : 250 000? 6)Encontrei uma mapa velho lá em casa que já não possui a indicação da escala na qual foi desenhado. No entanto, sei que a distância entre Brasília e Luziânia é de aproximadamente 70 Km e que no mapa essa distância corresponde a 3,5 cm. Qual a escala desse mapa? 7)Um aviador passou pela cidade A às 9h 45min 15s, voando em linha reta em direção a uma cidade B. Quando consultou a carta de rádio navegação verificou que ela tinha sido feita na escala 1: 500 000 e percebeu que a distância aérea, no mapa, era de 12 cm e que o seu ultraleve voava a uma velocidade de cruzeiro de 120 km/h. A que horas o piloto deverá passar pela cidade B

Exercícios Propostos

1)Encomtre, em cada item, a razão do 1º para o 2º número. a)4 e 2 b) 2 e 9 c) 20 e 100.000 2)Numa prova de 45 questões, uma pessoa acertou 15. Calcule a razão entre o número de acertos e o número de questões. 3)Uma pesquisa entre indivíduos que pertencem aos dois grupos de maior risco de serem portadores do vírus da AIDS(Síndrome de Deficiência Imunológica Adquirida) revelou que, de 80 homossexuais masculinos testados, 16 eram portadores do virose que, de 64 viciados em drogas injetáveis, 12 eram portadores. Com base nesses dados, qual dos dois grupos é o mais propenso a transmitir a doença? 4)A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de cerca de 400 Km. Num certo mapa, essa distância está representada por 10 cm. Qual foi a escala utilizada? 5)Chama-se densidade demográfica a razão entre o número de habitantes de uma certa região e a área dessa região. Em uma determinada época, a cidade de Natal, no Rio Grande do Norte, tinha uma população de 653 6000 habitantes . Qual era a densidade demográfica nessa época, se a cidade de Natal ocupava uma área de 172 Km²? 6)Calcule o valor de x nas seguintes proporções:

a) 9

2x= 2

1 b)

1

2

+x=

x21

3

−

c) 2

3

+x= x

5 d)

3

1=

1

1

+

−

x

x

7)Resolva os seguintes problemas:

1ª Fase

Prof. Me Roberto Nicolodi Disciplina: Introdução ao Cálculo Curso: Engenharia Civil

4

a)numa turma de alunos, a razão do números de moças para de rapazes é a) 2

3

. Se nessa turma existem 14 rapazes, qual é o número de moças? b)O Sr. Manoel, em sua padaria, deseja lucrar R$2,00 em cada R$1,00 que paga ao adquirir suas mercadorias. Se um objeto custou-lhe R$12,00, por quanto deverá vendê-lo? c)No Distrito Federal, a relação do número de funcionários públicos para o número de habitantes, em 1989, era, aproximadamente, de 2:45. Se, nessa época, a população do DF era de 1 567 690 habitantes, quantos funcionários públicos existiam? 8)Calcule os valores desconhecidos a) b x + y = 75 x – y = 76

y

x

= 3

2

189

x

= 63

y