QuadriláterosQuadriláteros

Disciplina: GeometriaProfessor: Mauri Cunha do Nascimento

Cap. 4 - QuadriláterosCap. 4 - Quadriláteros

4.12 definição. Um quadrilátero é um polígono de quatro lados.

4.13 Definição. Um paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos são paralelos.

Uma diagonal é um segmento que une dois vértices não consecutivos.

4.14 Teorema. Em um paralelogramo valem as seguintes propriedades:a) Cada diagonal separa um paralelogramo em dois triângulos congruentes. Isto é, se ABCD é um paralelogramo, então ABC CDA e ABD CDB.b) Dois lados opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes.c) Dois ângulos opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes.d) Dois ângulos consecutivos quaisquer em um paralelogramo são Suplementares.

a) Cada diagonal separa um paralelogramo em dois triângulos congruentes. Isto é, se ABCD é um paralelogramo, então ABC CDA e ABD CDB

Pelo caso ALA, ABC ≅ CDA.

AB//CD, AC transversal ânguloBAC ânguloDCA≅AD//BC, AC transversal ânguloDAC ânguloBCA≅

Analogamente, ABD ≅ CDB.

b) Dois lados opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes.

Da congruência dada em (a), ABC ≅ CDA, temosAB CD e BC DA ≅ ≅

c) Dois ângulos opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes.

Da congruência dada em (a), ABC ≅ CDA, temosânguloABC ânguloCDA≅

Da congruência dada em (a), ABD ≅ CDB, temosânguloBAD ânguloDCB ≅

Assim, os lados opostos são congruentes e também os ângulos opostos são congruentes.

d) Dois ângulos consecutivos quaisquer em um paralelogramo são suplementares.

• A reta CD é transversal às retas paralelas AD e BC.• Logo, m(d) =m(e) (são ângulos correspondentes).

• m(c) + m(e) = 180 (par linear).• Assim, m(c)+m(d)=180, ou seja, os ângulos dos vértices C e D são suplementares.• De modo análogo, demonstra-se que os demais pares de ângulos consecutivos são complementares.

4.15 Corolário. Se r e s são retas paralelas e se P e Q são dois pontos quaisquer em r, então as distâncias de P e Q a s são iguais.

4.16 Definição. A distância entre duas retas paralelas é a distância de qualquer ponto de uma delas à outra.

As retas PP’ e QQ’ são perpendiculares à reta s. Logo, PP’//QQ’.

Como r//s, então PQ//P’Q’.Assim, PQQ’P’ é um paralelogramo. Logo, os lados opostos são congruentes: PP’ = QQ’. Ou seja, D(P,s) = d(Q,s).

4.17 Teorema.a) Dado um quadrilátero em que ambos os pares de lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.b) Se dois lados de um quadrilátero são paralelos e congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.c) Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam, então o quadrilátero é um paralelogramo.

a) Dado um quadrilátero em que ambos os pares de lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.

Pelo caso LLL, ABD≅CDB. Logo, os ângulos ABD e CDB (respectivamente, ADB e CBD)são congruentes.

Assim, os ângulos ABD e CDB (respectivamente, ADB e CBD) são congruentes, e são alternos internos em relação à transversal BD. Portanto, AB // CD (respectivamente, AD // BC).Assim, ABCD é um paralelogramo.

b) Se dois lados de um quadrilátero são paralelos e congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.

Os ângulos DAC e BCA são congruentes (alternos internos: AC é transversal às paralelas AD e BC).Pelo caso LAL, BCA ≅ DAC.Logo, AB CD.≅Pelo caso (a), ABCD é um paralelogramo.

c) Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam, então o quadrilátero é um paralelogramo.

Os ângulos o.p.v. são congruentes.

Pelo caso LAL APD≅CPB e APB≅CPD.Logo, AD CB e AB CD.≅ ≅Por (a), ABCD é um paralelogramo.

4.18 Teorema. O segmento com extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem a metade de seu comprimento.

Seja D tal que M-N-D e MN=ND.

Os ângulos ANM e CND são o.p.v., Portanto, congruentes

Pelo caso LAL, ANM≅CND.

Logo CD AM( BM) e também ≅ ≅os ângulos AMN CDN ≅

Considerando a reta MD transversal às retas AM e CD, os ângulos alternos internos são congruentes, portantoas retas CD e AM são paralelas

Assim, no quadrilátero MDCB, os lados BM e CD são paralelos e congruentes. Portanto, MDCB é um paralelogramo.

4.18 Teorema. O segmento com extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem a metade de seu comprimento.

Assim, no quadrilátero MDCB, os lados BM e CD são paralelos e congruentes. Portanto, MDCB é um paralelogramo.

Logo, os lados opostos BC e MD são congruentes:BC = MD = MN + ND = MN + MN = 2MN.

Ou seja, MN = BC/2.

4.19 Definições. a) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.b) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.c) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.

ParalelogramoLosango

Retângulo

Quadrado

4.20 Teorema.a)Se um paralelogramo tem um ângulo reto, então tem quatro ângulos retos, e o paralelogramo é um retângulo.b) Em um losango, as diagonais são perpendiculares e se bisseccionam.c) Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam e são perpendiculares, então o quadrilátero é um losango.

a) É consequência do Teorema 4.14.

b) Observe que ABC ≅ ADCe são isósceles, o mesmo valendo para ABD ≅ CBD.

A partir disso, verifique que as diagonais se bisseccionam e são perpendiculares.

c) Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam e são perpendiculares, então o quadrilátero é um losango.

Pelo caso LAL, AMB≅CMB≅CMD≅AMD.

Logo, AB BC CD AD. (1)≅ ≅ ≅Assim, pelo Teorema 4.17, ABCD é um paralelogramo. (2)

De (1) e (2), ABCD é um losango.

Livro texto: Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas

Eliane Quelho Frota Rezende e Maria Lúcia Bontorim de Queiroz

Editora da UNICAMP

Deixamos para os alunos a justificativa de algumas passagensa partir de resultados anteriores do livro texto.