protendido

PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONRETO PROTENDIDO

ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................ 7

2. DESCRIÇÃO DO ELEMENTO ESTRUTURAL .................................................................................... 7

2.1- Nome do elemento............................................................................................................................. 7

2.2- Função e relação com outros elementos dos sistemas ....................................................................... 7

2.3- Dados da seção transversal e da seção longitudinal .......................................................................... 8

2.3.1- Pré-dimensionamento da altura da seção ................................................................................... 8

2.4- Ações sobre o elemento ..................................................................................................................... 8

3. DESCRIÇÃO DO PROCESSO DE FABRICAÇÃO E MONTAGEM ................................................... 8

3.1- Fôrmas ............................................................................................................................................... 9

3.2- Armaduras ....................................................................................................................................... 10

3.3- Concretagem.................................................................................................................................... 11

3.3.1- Dosagem................................................................................................................................... 12

3.3.2- Lançamento do concreto .......................................................................................................... 12

3.3.3- Adensamento do concreto ........................................................................................................ 13

3.3.4- Cura .......................................................................................................................................... 13

3.3.5- Injeção de Bainhas e arremates de extremidades ..................................................................... 14

3.3.6- Posicionamento das bainhas e armadura e pós-tração.............................................................. 16

3.3.7- Transporte interno à fábrica ..................................................................................................... 16

3.3.8- Estocagem ................................................................................................................................ 17

3.3.9- Transporte externo à fábrica..................................................................................................... 17

3.3.10 Montagem e fixação dos elementos......................................................................................... 18

3.3.11 Tipo e nível protensão utilizado e seus parâmetros ................................................................. 18

4. MATERIAIS ........................................................................................................................................... 19

4.1 Concreto............................................................................................................................................ 19

4.1.1 Resistência à compressão aos j dias de idade ............................................................................ 19

4.1.2 Resistência à tração aos j e 28 dias de idade.............................................................................. 20

4.1.3 Módulo de Elasticidade ............................................................................................................. 21

4.2 Aço de protensão (armadura ativa) ................................................................................................... 22

4.2.1 Cuidados com a estocagem e características as armaduras ativa............................................... 22

4.2.1 Formas de apresentação............................................................................................................. 22

5. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E MECÂMINCAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL ............. 23

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5.1 Seção bruta........................................................................................................................................ 23

5.2 Seção homogeneizada ....................................................................................................................... 24

5.2.1 Caracteristicas da seção homogeneizada ................................................................................... 24

6. TENSÕES E ESFORÇOS DEVIDO ÀS AÇÕES PERMANENTES E VARIÁVEIS .......................... 26

6.1 Peso próprio, acessórios, utilização e sobrecarga ............................................................................. 26

6.2 Tensões e módulo de resistência ....................................................................................................... 26

6.3 Tensões devido à ação permanente da protensão.............................................................................. 27

7. RECÁLCULO DAS CARACTERISTICAS GEOMÉTRICAS seção homogeinizada (αe = 15) ........... 27

8. RECÁLCULO TENSÕES E ESFORÇOS (ações permanentes e variáveis: αe = 15)........................... 28

8.1 Peso próprio, acessórios, utilização e sobrecarga ............................................................................. 28

8.2 Tensões e módulo de resistência ....................................................................................................... 29

8.3 Tensões devido à ação permanente da protensão.............................................................................. 29

9. ESTIMATIVA DA FORÇA DE PROTENSÃO..................................................................................... 30

9.1 Tensões limites nos cabos mobilizadas pela protensão (NBR-6118/2003) ...................................... 30

9.2 Verificação simplificada do concreto (NBR-6118/2003) ................................................................. 30

9.3 Combinações de ações ...................................................................................................................... 30

9.3.1 Combinação quase permanente (estado limite de descompressão) ........................................... 31

9.3.2 Combinações freqüentes (estado limite de formação de fissuras) ............................................. 31

9.4 Força no nível de prontesão limitada ................................................................................................ 32

9.4.1 ELS- Formação de fissuras........................................................................................................ 32

9.4.2 ELS- Descompressão................................................................................................................. 32

9.5 Cálculo da armadura ativa................................................................................................................. 32

10. PERDAS DE PROTENSÃO................................................................................................................. 32

10.1 Perdas instantâneas ......................................................................................................................... 33

10.1.1 Perdas por encurtamento imediato do concreto....................................................................... 33

10.1.2 Perdas por atrito....................................................................................................................... 34

10.2 Perdas retardadas (progressivas) ..................................................................................................... 34

10.2.1 Retração, fluência e relaxação ................................................................................................. 34

10.2.1.1 Retração do concreto ........................................................................................................ 35

10.2.1.2 Fluência do concreto ........................................................................................................ 36

10.2.1.3 Verificação do processo aproximado ............................................................................... 37

10.2.1.4 Cálculo da perda de protensão devido à fluência e retração e relaxação do aço .............. 38

11. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS ......................................................................................................... 39

11.1 Introdução ....................................................................................................................................... 39

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11.2 Estado limite último devido à solicitações normais ........................................................................ 39

11.2.1 Domínio de deformações......................................................................................................... 39

11.2.2 Hipóteses de cálculo ................................................................................................................ 40

11.2.2.1 Verificação da viga protendida no estado limite ultimo................................................... 42

11.2.3 Estado Limite último de ruptura no ato da protensão .............................................................. 46

11.2.3.1 Verificação simplificada do concreto............................................................................... 46

11.3 Estados limites últimos devido a solicitações tangenciais .............................................................. 48

11.3.1 Cálculo da resistência .............................................................................................................. 48

11.3.2 Método de cálculo utilizado: modelo II................................................................................... 49

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LISTAS DE FIGURAS

FIGURA 1- SEÇÃO TRANSVERSAL .................................................................................................................. 8

FIGURA 2 – SEÇÃO LONGITUDINAL ............................................................................................................... 8

FIGURA 3 - SUGESTÃO PARA A ESCOLHA DO TIPO DE FORMA: ................................................................... 10

A) FORMA DE MADEIRA, SE A VIBRAÇÃO FOR INTERNA .......................................................................... 10

B) FÔRMAS METÁLICAS, COM O FUNDO SOBRE APOIOS ELÁSTICOS, SE A VIBRAÇÃO FOR EXTERNA ...... 10

FIGURA 4 – SERVIÇOS DE MONTAGEM DE ARMADURAS (PASSIVA E ATIVA) SOBRE O BERÇO DE

CONCRETAGEM ................................................................................................................................... 11

FIGURA 5 – ÁREA COBERTA PARA PREPARAÇÃO PRÉVIA DE CABOS E BAINHAS ......................................... 11

FIGURA 6 – TRANSPORTE INTERNO A FÁBRICA ........................................................................................... 16

FIGURA 7 – ESTOCAGEM ............................................................................................................................. 17

FIGURA 8– MONTAGEM E FIXAÇÃO À ESTRUTURA...................................................................................... 18

FIGURA 9- DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO...................................................................................................... 40

FIGURA 10- HIPÓTESES DE CÁLCULO .......................................................................................................... 41

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LISTAS DE SIMBOLOS

L: comprimento do vão da viga

h: altura da seção da viga

d: altura útil para em relação a armadura passiva

fck: resistência característica do concreto à compressão aos 28 dias

fckj:resistência característica do concreto aos j dias

fct: resistência à tração direta

fct, m: resistência à tração direta média

fct, sup: resistência à tração direta superior

fct, inf: resistência à tração direta inferior

Eci: Modulo de deformação tangente inicial

Esc: Módulo de elasticidade secante

Ep: modulo de elasticidade do aço (fios e cordoalhas)

Ii: momento de inércia da seção i

Ai: área da seção i

Wa: taxa mecânica da alma

fptk: resistência característica do aço

fptd: resistência característica do aço de cálculo

fytk: tensão de ruptura do aço

ρ: taxa geométrica estimada

αe: relação entre os módulos de elasticidade do aço e concreto

W: módulo de resistência

inf: inferior

sup: superior

σp: tensão da protensão

σpi: tensão limite (para a força aplicada pelo equipamento de transferêcia) do aço

Pi: força de transferência (força máxima aplicada pelo equipamento de tração)

P ∞ : força de protensão limitada estimada

Ap : área de aço de protensão

σcg: Tensão total no concreto devido a protensão no C.G. da armadura ativa

σcp: Tensão total no concreto devido devido a carga permanente no C.G. da armadura ativa

x: abscissa do ponto onde se calcula ΔP, medida a partir da ancoragem, em metros

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Σα: é a soma dos ângulos de desvios entre a ancoragem e o ponto de abscissa x, em radianos

μ: coeficiente de atrito aparente entre o cabos e a bainha

k: coeficiente de perda por metro

t: idade fictícia do concreto

Δtef, j: periodo em dias, em qual, a temperatura média diária do ambiente

φa(t, t0): coeficiente de fluência rápida

∞ϕf : valor final do coeficiente de deformação lenta:

1cϕ : coeficiente dependente da umidade

2cϕ : coeficiente dependente da espessura fictícia

βf (t) ou βf (t0): Coeficiente relativo a retração, no instante t ou t0

hfic: espessura fictícia da peça

Uar: perímetro em contato com o ar

ε2s: coeficiente dependente da espessura fictícia da peça

ε1s: coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente e da concistêcia do concreto

∞ϕd : valor final do coeficiente de deformação lenta irreversível, função da idade do concreto

βd: coeficiente relativo à deformação lenta reversível ∞εcs : valor final da retração

φ(t, t0):coeficiente de fluência

σc,pog: é a tensão no concreto adjacente ao cabo resultante, positiva se de compressão, em megapascal

γp: coeficiente de ponderação das ações no estado limite último

γg: coeficiente de ponderação das ações no estado limite último para ações permanentes e combinação

normal;

γq: coeficiente de ponderação das ações no estado limite último para ações variáveis e combinação normal;

ψ0: coeficiente de ponderação das ações no estado limite último para cargas acidentais

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1. INTRODUÇÃO

A protensão pode ser definida como a indução de um estado especial de tensões e deformações com o

objetivo de melhorar o comportamento estrutural de uma peça. A protensão pode ser obtida através de

deslocamentos dos apoios ou pro pré-alongamento nas armaduras. Em ambos os casos, ocorrem efeitos

importantes de retração e fluência no concreto. Por permitir um melhor controle desses efeitos, o método

utilizado hoje em dia em concreto protendido é o de introdução da protensão através de armaduras.

As estruturas de concreto protendido podem ser pré ou pós-tracionadas. As peças pré-fabricadas são

normalmente pré-tracionada, onde o concreto é moldado sobre a fôrma já contendo o aço tracionado

contra os blocos de ancoragem externos à peça. Na pós-tração, o aço somente é tracionado após a

moldagem e secagem da peça em concreto, contra a própria peça. As bainhas normalmente são injetadas

com grout após a protensão, para permitir aderência entre o concreto e a armadura, e proteger esta ultima

contra a corrosão. A tendência moderna, no entanto, é de estarem combinados os dois tipos de protensão

nas diversas obras.

Nos dias de hoje, grande parte das pontes em concreto são protendidas. Realmente, o concreto protendido

reina entre as estruturas de pontes de grandes vãos. O fato de protender as obras traz inúmeras vantagens,

entre elas, ganho de resistência e rigidez (devido ao controle da fissuração), o que permite o alcance de

maiores vãos.

2. DESCRIÇÃO DO ELEMENTO ESTRUTURAL

2.1- Nome do elemento

Viga pré-moldada protendida com aderência posterior e protensão limitada, produzida em canteiros de

obra-de-arte especiais (VPMP), da disciplina de Estruturas de Concreto Protendido.

2.2- Função e relação com outros elementos dos sistemas

A VPMP é um dos componentes estruturais de uma passarela, para a transposição de pedestre da BR-101.

Vide figura 8.

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2.3- Dados da seção transversal e da seção longitudinal

2.3.1- Pré-dimensionamento da altura da seção O pré-dimensionamento foi com base na relação vão/altura (L/h), que pode variar entre 12 e 22. Logo,

temos: cm 10012

120012Lhcm 550,5454

221200

22L

==≤≤== . Escolhendo o limite superior, temos h =

100 cm. Portanto as dimensões finais estão indicas figura abaixo: Figura 1- Seção transversal

20

60 20 120 20 60

352025

100

Dimensões em centímetros

Figura 2 – Seção longitudinal

2.4- Ações sobre o elemento

Ações permanentes: peso próprio e acessórios (0,4 KN/m²)

Ações variáveis: utilização (2,0 KN/m²) e sobrecarga ou acidental (2,5 KN/m²)

3. DESCRIÇÃO DO PROCESSO DE FABRICAÇÃO E MONTAGEM

A fabricação da VPMP compreende basicamente as fases relativas aos serviços de montagem das

armaduras (passiva e ativa), montagem das fôrmas, concretagem (dosagem, mistura, transporte,

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lançamento, adensamento e cura), desforma, protensão dos cabos, injeção de bainhas e arremates de

extremidades.

Os serviços mencionados devem ser executados com controle de qualidade, segundo procedimentos

previamente definidos e de acordo com as normas técnicas vigentes, respeitando-se as definições contidas

no projeto e suas especificações.

A seguir, são destacados aspectos considerados importantes para a melhoria da qualidade na fabricação de

VMPS, considerando alguns relativos: às formas, abordando o tipo de forma, seu dimensionamento e a

montagem das mesmas; às armaduras passiva e ativa, incluindo a protensão dos cabos; à concretagem,

relativamente ao lançamento, ao adensamento e à cura; e à injeção de bainhas e arremates de

extremidades.

3.1- Fôrmas

O tipo de forma a ser utilizado é de fundamental importância para a fabricação de uma VPMPS com a

qualidade desejada. Feita a escolha segundo critérios estéticos, considerando a aparência ou a

uniformidade com obras existentes, ou critérios econômicos, considerando o aproveitamento de formas

utilizadas em uma outra obra, por exemplo, ou o número de reutilizações, às formas devem ser

corretamente projetadas e dimensionadas, conforme se esclarecerá a seguir.

Ao tratar dos tipos a serem escolhidos para a fabricação de vigas, as escolhas das mesmas deve estar

vinculada ao tipo de vibração a ser feita sugerindo que, para um pequeno número de vigas (inferior a 40,

por exemplo), sejam utilizadas formas de madeira, devendo a vibração ser feita por meio de vibrador de

imersão, alertando ser indispensável à abertura de um grande número de janelas no talão, a fim de

facilitar sua concretagem. Caso contrário, uma sugestão, pode ser a utilização de fôrmas metálicas, que

permitem a vibração pelo fundo e pelas laterais da fôrma, ressaltando que o metal vibra melhor que a

madeira e que é possível reduzir a espessura da alma da viga devido à não utilização de vibradores de

imersão. Vale salientar, ainda, que neste caso, a vibração se dá com o uso de vibradores dispostos nas

laterais e que o fundo da fôrma se apóia sobre apoios elásticos (borracha). A figura seguir mostra

esquematicamente as duas situações.

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Figura 3 - Sugestão para a escolha do tipo de forma:

a) Forma de madeira, se a vibração for interna

b) Fôrmas metálicas, com o fundo sobre apoios elásticos, se a vibração for externa

Por outro lado, se a velocidade de concretagem for mais baixa, o concreto endurecido de fundo da viga

contribuirá para reduzir o empuxo que atuará nas laterais das fôrmas, pois o empuxo efetivamente atuante,

que é uma pressão hidrostática modificada, é função da densidade, da velocidade de lançamento do

concreto, de sua temperatura, do uso de aditivos retardadores e das vibrações decorrentes do método de

adensamento utilizado.

Referindo-se a desmoldagem de elementos pré-moldados, a NBR-9062 recomenda que as fôrmas devem

apresentar as condições para facilitar essa operação, sem danifica-los, como previsão de ângulos de saídas,

livre remoção das laterais e cantos chanfrados ou arredondados. Já a NBR-7187, referindo-se à qualidade

da forma, recomenda que, salvo indicações em contrários, todos os cantos externos aparentes dos

elementos a serem concretados devem ser dotados de chanfros em forma de triângulo isósceles, com lados

iguais medindo 2 cm de modo a eliminar arestas vivas, pois estas ficam mais expostas à: penetração de

fluidos e de gases, variações térmicas, lembrando ainda que as arestas vivas são as mais sujeitas a danos

devido à abrasão e impactos.

3.2- Armaduras

As armaduras ativas e passivas são montadas sobre o próprio berço da concretagem conforme,

pode-se notar, na figura 4. A figura 5 mostra área coberta para preparação dos cabos e bainhas,

em área protegida, seja a mais recomendável, é comum que o corte de cordoalhas (fornecidas em

bobinas) e emendas de bainhas seja feito no próprio local, concomitantemente à execução dos

serviços de montagem de armadura passiva.

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Figura 4 – Serviços de montagem de armaduras (passiva e ativa) sobre o berço de concretagem

Figura 5 – Área coberta para preparação prévia de cabos e bainhas

A NBR-7187, ao referir-se particularmente à exatidão e à solidez da montagem das armaduras de

protensão, alerta que qualquer irregularidade no seu traçado pode criar empuxos em vazio capazes de

provocar desordens no concreto ou na fissuração. Contudo a curvatura dos cabos de protensão faz com

que a armadura tensionada exerça uma pressão radial sobre o concreto – empuxo, e que, quando o

concreto pela sua espessura ou resistência não oferece condições de equilibrar esse empuxo, diz-se que a

protensão está exercendo um “empuxo no vazio”, exigindo medidas, como disposição de armadura, para

evitar rupturas ou danos. Assim, ao ser constatada a ocorrência de alguma não-conformidade, deve-se

comunica-la imediatamente ao projetista para a verificação e orientação pertinentes.

3.3- Concretagem

A concretagem sem dúvidas é o processo responsável por grande parte da qualidade da estrutura como um

todo, pois ela também pode ser a causa de grandes patologias na estrutura pela maneria artesanl realizadas

nos canteiros de obra como um todo. A seguir apresentaremos alguns aspectos intervenientes deste

processo.

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3.3.1- Dosagem A dosagem do concreto, visando a obtenção de um concreto com a qualidade e características

especificadas, deve levar em conta o adequado proporcionamento dos materiais que o constituem;

cimento, agregado graúdo, agregado miúdo, água e eventualmente, aditivos, o que requer a participação de

técnicos com larga experiência nesse campo. Para se alterar a resistência à compressão, é necessário atuar

sobre o grau de hidratação, por meio de mudanças do tipo de cimento (composição química ou

características físicas), alterando nas condições de cura (idade, umidade e temperatura) e emprego de

aditivos aceleradores ou retardadores ou atuar sobre a relação água/cimento, por meio de mudança do tipo

de cimento (finura ou composição química), mudança dos agregados (textura, dimensão, granulometria e

absorção de água) e emprego de aditivos redutores de água ou superplastificantes. Entretanto, se trata de

uma equação teórica, cuja aplicação tem finalidade mais didática, no sentido de contribuir para o

entendimento de estrutura interna do concreto, do que para obtenção de parâmetros práticos de aplicação

direta.

Em relação o uso de aditivos, a NBR-7197 estabelece que os mesmo podem ser utilizados com o objetivo

de melhorar a trabalhabilidade, reduzir a relação água/cimento ou obter um concreto com maior

compacidade e impermeabilidade. Entretanto, alerta que tais aditivos quando empregados em concreto de

argamassa ou pasta em contato com a armadura de protensão, inclusive a calda de injeção, não devem

conter ingredientes que possam provocar corrosão do aço. Nesse sentido são proibidos aditivos que

contenham cloreto de cálcio ou qualquer outro halogeneto.

3.3.2- Lançamento do concreto

A fim de se evitar a segregação à mistura, é importante que o lançamento do concreto seja realizado em

camadas, definidas por meio de um prévio e adequado plano de concretagem, que deve definir os pontos

de lançamento, em função do comprimento da peça, o que, também, ajuda a evitara ocorrência de outros

defeitos e retrabalhos, que ocorrem com o lançamento em camada única, além de possibilitar a revibração

da camada subjacente. O concreto deve ser depositado o mais próximo possível de cada camada em

processo de lançamento, utilizando-se dispositivos adequados para tal fim ou mesmo aberturas nas laterais

das fôrmas.

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3.3.3- Adensamento do concreto

o adensamento deve ser associar o uso de vibradores externos, com vibradores de imersão com pequeno

diâmetro de garrafa, o qual deve ser função das distâncias livres entre barras e cabos das armaduras ativas

e passivas. É importante aliar a orientação dos fabricantes de fôrmas metálicas e de vibradores com os

procedimentos constantes da literatura técnica sobre o assunto, de forma a se realizar um adequado

adensamento, sem comprometer a aderência das armaduras e sem causar segregação do concreto ou deixar

vazios em sua massa.

Em face dos efeitos benéficos de uma revibração no concreto recém-lançado, quanto à obtenção de maior

compacidade e resistência, recomenda-se que seja avaliada a possibilidade da adoção desse procedimento

que resultará na produção de um concreto com maior durabilidade. A seguir temos um quadro que ilustra

a redução da resistência em relação ao teor de vazios no concreto.

Quadro 1- Efeitos dos vazios sobre a resistência do concreto

3.3.4- Cura

a cura é a operação final na produção do concreto, cujo objetivo, é o de evitar a retração hidráulica que

ocorre nas primeiras idades, quando ainda não foi desenvolvida resistência suficiente para evitar a

formação de fissuras. Enfatizando ser a cura uma das etapas mais importantes para o desenvolvimento da

resistência e da durabilidade de concreto, recomendam a cura úmida, por ser o processo mais indicado

para a aplicação, pela facilidade de aplicação e pela sua eficiência, além de favorecer a dissipação

superficial da temperatura que se desenvolve na massa de concreto devida a hidratação do cimento. Em

geral a cura úmida resulta num concreto menos poroso do que quando se usa um método de cura que

apenas proteja contra a secagem. Além disso, em agradecimentos sob temperaturas altas, recomenda a

cura úmida como sendo a mais conveniente, ressaltando que a mesma deve se dar, sem interrupção, por

um período mínimo de 7 dias.

Enquanto não adquirir endurecimento satisfatório, NBR-14931 estabelece que o concreto deverá ser

adequadamente protegido contra agentes prejudiciais, tais como mudanças bruscas de temperatura,

secagem prematura, chuva forte, água torrencial e agente químicos, bem como contra choques e vibrações

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de intensidade tal que possa causar fissuração na massa do concreto ou prejudicar a sua aderência às

armaduras.

Referindo-se à proteção contra a secagem prematura, que deve ocorrem pelo menos durantes 7 dias

primeiros após o lançamento do concreto, aumentando esse mínimo quanto a natureza do cimento o exigir,

a NBR-14931 recomenda a realização de cura, mantendo-se a superfície umedecida ou protegendo-a com

uma película impermeável. Esclarece, ainda que o endurecimento do concreto pode ser antecipado por

meio de tratamento técnico adequado e devidamente controlado, desde que sejam adotadas medidas de

proteção contra a secagem.

O PCI – MNL 133-97, ao recomendar procedimentos para o cálculo da deformação por retração ,

apresenta, para o caso de cura úmida, valores do coeficiente de retração a serem utilizados como fatores de

correção, tomando como referência um valor unitário correspondente a uma cura pelo período de 7 dias,

conforme mostra a tabela abaixo.

Tabela 1- Fator de correção para o cálculo de deformação por retração considerando o período inicial de cura

Ao analisar a tabela 1, constata-se a importância da duração da cura úmida para a redução das

deformações por retração.

3.3.5- Injeção de Bainhas e arremates de extremidades

A injeção dos cabos de protensão com calda de cimento, também chamada de calda de injeção, deve ser

realizada o mais rapidamente possível após a protensão dos cabos, e ter como objetivos:

a) Assegurar a aderência mecânica entre o concreto e as armaduras de protensão, em toda sua

extensão;

b) Garantir proteção mínima contra a corrosão dos aços, evitando a infiltração de agentes corrosivos

e constituindo um meio passivo, sem elementos agressivos.

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Calda de injeção como o material resultante da mistura conveniente de cimento, água e, eventual, aditivos,

que se destina ao preenchimento de bainhas ou dutos de armaduras de protensão de peças de concreto

protendido, estabelecendo que o cimento a ser utilizado deve ser o Portland comum ou outro tipo, desde

que o teor de cloro proveniente de cloretos seja no máximo a 0,10% e o teor de enxofre proveniente de

sulfetos seja no Maximo igual a 0,20 %. Além disso, condiciona que a água a ser utilizada deve ser isenta

de teores prejudiciais de substância estranhas e que, o uso de aditivos, que não podem conter componentes

que por si ou em reação com os matériais de calda sejam capazes de atacar o aço, fica subordinado à

realização de ensaios que comprovem melhorias das qualidades da calda.

Para que a calda de injeção cumpra efetivamente os seus objetivos, além da correta seleção dos materiais

componentes apropriados e de uma cuidadosa operação de injeção, é recomendado que sejam feitos

estudos prévios da calda, que incluem o estabelecimento de um adequado programa de injeção, a

realização de ensaios de laboratórios e de campo e, quando dor o caso, de ensaios de injeção em cabos-

testes, em escala real. Os ensaios recomendados compreendem a determinação de índice de fluidez, vida

útil, índice de exsudação e expansão (quando for utilizado aditivo expansor) e resistência à compressão, a

serem realizados conforme métodos normalizados.

Após a injeção, com calda já endurecida, são cortadas as mangueiras utilizadas na operação e feitos os

acabamentos finais nas extremidades das VPMPs. Após a injeção as peças não devem ser submetidas a

esforços ou vibrações que possam vir a prejudicar a integridade da calda, esclarecendo que, quando essa

integridade não for comprovada por meio de ensaios, a calda deve apresentar uma resistência mínima de

10 MPa.

Os arremates de extremidades da VPMPs podem se limitar ao procedimento dos inchos de ancoragens ou

uma pequena complementação das extremidades das vigas, dependendo das dimensões e da quantidade

das placas de ancoragem. De uma maneira ou de outra, convém lembrar que, sendo a região dos apoios

uma zona sujeita a umidade freqüente, os concretos ou argamassas utilizados devem ser especialmente

dosados e lançados, de forma a se constituírem em tampões impermeáveis e, conseqüentemente, em

efetiva proteção às ancoragens dos cabos protendidos. Considera-se que, sob condições semelhantes, a

influência do concreto na corrosão de peças pós-tracionadas com cabos injetados é menor do que no caso

de peças pré-tracionadas, pois, no caso da pós-tração, os cabos protendidos ficam protegidos dentro das

bainhas e isolados do concreto ao redor. Assim, a presença de íons de cloro, por exemplo, e a redução da

alcalinidade do concreto, terão em efeito menor do que em peças pós-tracionadas com cabos injetados.

Entretanto, enfatizando que a região da ancoragem é uma das mais susceptíveis à corrosão em peças pós-

tracionadas, recomendam o uso de um concreto de boa qualidade e ótimo cobrimento como requisitos para

uma adequada proteção das bainhas. Citando sugestões, registram que a estanqueidade nos cabos pode ser

conseguida com o uso de bainhas plásticas e que, em ambientes agressivos, o cobrimento do concreto

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recomendado nas extremidades dos cabos seja no mínimo de 50 mm. Além disso, é conveniente chamar

atenção para o fato de que, entre a argamassa de preenchimento dos nichos e o concreto ao redor, não

devem ocorrer fissuras de retração, que, uma vez existindo, permitem o acesso de umidade capaz de

deflagrar um processo corrosivo nas armaduras.

3.3.6- Posicionamento das bainhas e armadura e pós-tração

O posicionamento das bainhas é realizado durante o processo de montagem das formas da peça. Após o

lançamento do concreto as cordoalhas são introduzidas no interior das bainhas. Endurecido o concreto, os

cabos são tracionados com auxilio de macacos hidráulicos. Ancora-se o cabo na própria peça com

sistemas capazes de garantir o seu correto posicionamento. 3.3.7- Transporte interno à fábrica

O transporte interno à fábrica é feito através de pontes rolantes, inçando-se a peça em pontos estratégicos

de forma não provocar esforços diferentes daqueles previstos em projeto. Como a viga é projetada para

trabalhar bi-apoiada, deve ser içada pela extremidade. Vide figura 6.

Figura 6 – Transporte interno a fábrica

Foto - içamento

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3.3.8- Estocagem

A estocagem pode ser feita utilizando-se travessas como suporte e que deverão estar posicionadas como os

apoios da peça em serviço. Vide figura 7.

Figura 7 – Estocagem

3.3.9- Transporte externo à fábrica

O transporte externo à fábrica é feito através de carretas, respeitando-se as recomendações do item 2.5

quanto ao içamento. Como o local da obra é de fácil acesso, o tamanho da peça é em função somente da

limitação da carroceria do caminhão transportador. Deve-se também respeitar o limite de carga imposto

pelo do DNER, no caso de transporte em grande lote, de acordo com o quadro abaixo, (maiores

informações consultar site do DNER ou DNIT).

RSRS

5 tf

10 tfRSRD

17 tfETD

25,5 tfETT

Valores máximos (DNER)

Página 17


3.3.10 Montagem e fixação dos elementos

Na montagem deve-se também respeitar as recomendações do item 2.5. A viga deve ficar apoiada sobre

aparelhos de neoprene, sendo, portanto, parte integrante do sistema estrutural abaixo. Vide figura 8.

Figura 8– Montagem e fixação à estrutura

Neoprene

Neoprene

Pliar

3.3.11 Tipo e nível protensão utilizado e seus parâmetros Como o nível de protensão é limitada e o tipo é pós-tração, temos os seguintes parâmetros de acordo com

NBR-6118/2003 (tabelas: 6.1, 7.1,e 7.2):

• Classe de agressividade ambiental: III

• Agressividade: Forte

• Classificação geral do tipo do ambiente para efeito de projeto: Industrial (passagem de veículos)

• Risco de deteriorização da estrutura: Grande

• Relação água/cimento em massa: 50≤

• Classe do concreto: 30C≥

• Cobrimento da armadura: mm45≥

• Exigências relativas à fissuração e combinação das ações: ELS-F: combinação freqüente

ELS-D: combinação quase permanente

A protensão no nível limitado foi melhor solução, pois, a passarela encontra-se numa área de intenso fluxo

de veículos, lançando compostos ou substâncias químicas agressivas (SO2, H2S, CO2...) diretamente sobre

a estrutura, que dependendo de várias variáveis, podem acelerar o processo de corrosão tanto do concreto

como da armadura.

Página 18


4. MATERIAIS

As estruturas de concreto devem atender aos requisitos mínimos de qualidade, classificados na NBR-

6118/2003, durante sua cosntrução e serviço. A durabilidade e segurança da estrutura é diretamente

proporcional à qualidade dos materiais de construção, principalmente em relação aos materiais

componente da estrutura. A seguir apresentaremos as propriedade dos materiais empregados na estrutura

da VPMP.

4.1 Concreto

4.1.1 Resistência à compressão aos j dias de idade

De acordo com a NBR-6118/2203, a resistência a compressão do concreto aos j dias é dada pela seguinte

expressão: .Onde: ck1ckj ff ⋅β=( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅

=β2

1t/281s

1 e ; t = nº de dias de idade; concreto classe C30 (fck = 30 MPa). Para as características e propriedades do cimento, temos o seguinte quadro:

Fonte: ABCP

NBR 5736 – Cimento Portland Pozolânico

NBR 5735 – Cimento Portland de Alto-forno

Os tipos de cimento supra-especificados são os que melhor atendem às exigências para a estrutura em

questão. De acordo com a NBR-61180/2003, temos: s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV.

Página 19


• Resistência à compressão do concreto aos 7 dias:

( )MPa 5,203068,0f 68,0e ckj

7/28138,0

1

21

=×=⇒==β ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅


( )MPa 2,233077,0f 77,0e ckj

10/28138,0

1

21

=×=⇒==β ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅


( )MPa 2,283094,0f 94,0e ckj

21/28138,0

1

21

=×=⇒==β ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅

Supondo que precisaremos de pelo menos de 75% da resistência à compressão do concreto, a protensão

poderá ser aplicada nos 10 primeiros dias de idade, imediatamente após a concretagem da peça. Logo

temos; fck, 10 = 23,2 MPa.

4.1.2 Resistência à tração aos j e 28 dias de idade

• Resistência à tração do concreto aos 7 dias:

MPa 91,224,23,1f.3,1f

MPa 57,124,27,0f7,0f

MPa 24,25,203,0f3,0f : temosMPa; 5,20f

m ct,sup ctj,

m ct,inf ctj,

3 23 2ckjm ct,ckj

=×==

=×=⋅=

=×=⋅==


MPa 17,324,23,1f.3,1f

MPa 70,144,27,0f7,0f

MPa 44,22,233,0f3,0f : temosMPa; 2,23f

m ct,sup ctj,

m ct,inf ctj,

3 23 2ckjm ct,ckj

=×==

=×=⋅=

=×=⋅==


MPa 60,324,23,1f.3,1f

MPa 94,177,27,0f7,0f

MPa 77,22,283,0f3,0f : temosMPa; 2,28f

m ct,sup ctj,

m ct,inf ctj,

3 23 2ckjm ct,ckj

=×==

=×=⋅=

=×=⋅==

Página 20



MPa 75,389,23,1f.3,1f

MPa 02,289,27,0f7,0f

MPa 89,2303,0f3,0f : temosMPa; 30f

m ct,sup ctj,

m ct,inf ctj,

3 23 2ckjm ct,ckj

=×==

=×=⋅=

=×=⋅==

Como havíamos definido no item 4.1.1, isto é pelo menos 75% da resistência à compressão do concreto,

sendo protensão aplicada nos 10 primeiros dias após a concretagem da peça, temos: fct10, inf = 1,70 MPa.

4.1.3 Módulo de Elasticidade

Módulo de elasticidade secante:

Utilização:

a) na análise estrutural do projeto;

b) utilizado na verificação dos estados limites de serviços;

c) na avaliação da seção transversal de um elemento.

Modulo de deformação tangente inicial:

Utilização:

a) utilizado no cálculo das perdas de protensão.

• Módulo de elasticidade aos 7 dias:

Modulo de deformação tangente inicial: MPa 355.2520,55600f5600Eci ckj =×=⋅=

Módulo de elasticidade secante: MPa 21.551355.520,85Eci0,85Ecs =×=⋅=






Módulo de elasticidade secante: MPa .2775229.7380,85Eci0,85Ecs =×=⋅=

Página 21



Modulo de deformação tangente inicial: MPa 672.30305600f5600Eci ckj =×=⋅=


4.2 Aço de protensão (armadura ativa)

De modo geral as exigencias referentes às disposições construtivas das armaduras protendidas são mais

rigorosas que aquelas relativas às armaduras passivas. No concreto protendido os níveis de tensões são

mais elevados que no concreto armado clássico e, usualmente, as maiores tensões ocorrem durante o

próprio ato de protensão. Além disto, os esforços de protensão têm caracter quase determinístico e

freqüentemente são aplicados quando o concreto tem relativamente poucos dias de idade

4.2.1 Cuidados com a estocagem e características as armaduras ativa

• Estocar em área coberta, ventilada sobre piso de cimento ou tablado de madeira (desde que não

tenha contato direto com o solo);

• cobrir com lona plástica, para evitar a corrosão eletroquímica ou química;

• Altura máxima dos rolos = 2 metros

• NBR-7483: cordoalhas para concreto protendido

• Ep = 200 GPa

4.2.1 Formas de apresentação

Para este projeto, escolhemos essa armadura, presente no mercado brasileiro, e de fonte de uma das

maiores empresas do mercado de aço para concreto armado e protendido. Vide quadro abaixo.

Fonte: Belgo-Mineira

Página 22


5. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E MECÂMINCAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL

5.1 Seção bruta

Área da seção bruta = 11.600 cm²

Cálculo do centro de gravidade:

cm 18,41y11.600

87,53.00033,6880047,52.200105.600y

Ai

yiAi

d

ydy

XG

XG

A

AXG

=

×+×+×+×=

⋅==

∑∑

∫∫

A = 800 cm²3

1A = 5.600 cm²2A = 2.200 cm²

4A = 3000 cm²

Referêncial41,18

y = 41,18cmXG

Cálculo do momento de inércia:

( ) 423

2

423

1

cm 456.64218,215,27200 . 2 12

55 20 2 I

cm 944.630.5)1018 , 41 ( 600 . 5 12

20 280 I = − × + × =

= − × + ⎥ ⎦

⎤ ⎢ ⎣

⎡ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎜ ⎛

⎝

× × =

( )

∑ ==

=+−×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ××=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

−−×+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ××=

4iT

423

4

423

3

cm 897.473.31II

cm 877.592.65,1218,2155000.312

25602I

cm 620.6073

12018,215580036

20204I

Página 23


5.2 Seção homogeneizada

Estimativa do Ap

b b

d

bf

fh

pApA

( ) ( )

MPa 071.26sEc

MPa; 000.200Em; 80,2b(adotado); %5,0ρ

cm 4,733855,0

402802089,09040005,0W

bbh0,89dbρA

p

f

a

2

a

ffaP

=

===

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −××+××=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅⋅+⋅=

%55,38

4,130

15,119005,0

ffρ

W:alma da mecânica Taxacd

ptdaa =

×=

⋅=

Taxa geométrica estimada:

0,63%73,411.600

73,4ρ =−

=

5.2.1 Caracteristicas da seção homogeneizada

A rigor, a avaliação das tensões e deformações numa peça estrutural composta por dois materiais com

propriedades físicas diferentes deve ser feita a partir da compatibilização dos materiais.

Nos casos de estruturas de concreto armado ou protendido e estruturas mistas, deve-se transformar um dos

materiais em uma porção equivalente do outro.

No caso de peças de concreto armado/protendido, usualmente converte-se a armadura numa porção

equivalente de concreto.

A transformação da armadura numa quantidade equivalente de concreto é feita multiplicando-se a área de

aço AP pela relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto αe. Como EP, em geral, é maior

que Ecs, ao se multiplicar AP x αe, tem-se um aumento da seção transversal. Se a armadura ativa é

excêntrica, o baricentro da seção homogeneizada se desloca da posição original em direção ao baricentro

da armadura ativa. Isso resulta na diminuição das tensões, uma vez que AN

=σ e WM

=σ .

Página 24


Conclui-se, então, que utilizar as propriedades originais da seção (sem efetuar a homogeneização) é um

procedimento conservador e aceitável, uma vez que o aumento da seção em geral é pouco significativo.

Neste caso, obtém-se tensões ou pouco maiores nos bordos da seção, o que eventualmente, pode levar ao

dimensionamento de mais armadura e, ou, de um concreto mais resistente. Logo temos:


( ) cm 15,4312.089

904,73167,787,53.00033,6880047,52.200105.600y

Ai

yiAi

d

ydy

XG

A

AXG

=××−+×+×+×+×

=

⋅==

∑∑

∫∫

A 55A

( ) ( )2

5

pe5

2 p

pe

cm 489A : temoslogo,

4,73167,7A1αA

cm 4,73A 7,6726.071

200.000EcsE

α

=

×−=⋅−=⇒

=⇒===

Referêncial

43,15

y = 43,15 cmXG


( )

( )

( ) ( )

08,1897.473.13

730673.14I

I

cm 142.629.41II

cm 585.074.115,43904,73167,7I

cm 017.057.65,1215,2355000.312

25602I

cm 693.5603

12015,235580036

20204I

cm 212.59215,235,27200.212

55202I

cm 632.340.6)1015,43(600.512

20280I

bruta

adahomogeiniz

4iT

425

423

4

423

3

423

2

423

1

==

==

=−××−=

=+−×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ××=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

−−×+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ××=

=−×+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ××=

=−×+×

=

∑

Página 25


6. TENSÕES E ESFORÇOS DEVIDO ÀS AÇÕES PERMANENTES E VARIÁVEIS

6.1 Peso próprio, acessórios, utilização e sobrecarga

Dados da seção:

L = 12 m;

A = 11.600 cm²

γc = 25 KN/m³

Acessórios = 0,8 KN/m²

Utilização = 2,0 KN/m²

Sobrecarga = 2,5 KN/m²

g = A.γc = 1,16 x 25 + (12 x 0,8) = 38,6 KN/m

q = 12 x (2,0 + 2,5) + 38,6 = 92,6 KN/m

6.2 Tensões e módulo de resistência

Momentos:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−

××=

=−

××=

=−

××=

=−

⋅⋅=

=

=

=

KNm 1,250.12

9129,629M

KNm 8,666.12

6126,629M

KNm 1,250.12

3123,629M

2xLxqM

3L/4X

L/2X

L/4X

X

Tensões Máximas (fibras inferiores):

Módulo de resistência:

3

sup

hsup

3

inf

hinf

cm 890.66315,04673.730.14

yI

W

cm 259.11456,85

673.730.14yI

W

−=−

==

===

( ) ( )

( )( )( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

==

==

==

MPa 82,40,259114

1,250.14

3Lσ

MPa 43,60,259114

8,666.12

Lσ

MPa 82,40,259114

1,250.14

Lσ

WxMxσ

inf

inf

inf

infinf g,

Tensões Máximas (fibras superiores):

( ) ( )

( )( )( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=−

=

−=−

=

−=−

=

==

MPa 3,410,366890

1,250.14

3Lσ

MPa 4,540,366890

8,666.12

Lσ

MPa 3,410,366890

1,250.14

Lσ

WxMxσ

Sup

Sup

Sup

SupSup g,

Página 26


6.3 Tensões devido à ação permanente da protensão

Como foi escolhido um cabo reto, os momentos fletores decorrente da força de protensão não se alteram

ao longo da abscissa do cabo. Portanto temos:

Dados da seção:

A = 11.600 cm²

Winf = 259.114 3cm

Wsup = -366.890 cm³

ep = 30,35 cm

Tensões Protensão:

[ ]MPa P67,20,259114

0,4685P1,16

PW

ePAP

σinf

pinf p, ∞

∞∞∞∞ −=−−

=⋅

−−

=

[ ]MPa 0,52P0,366890-

0,4685P1,16

PW

ePAP

σSup

psup p, ∞

∞∞∞∞ =−−

=−−

=

7. RECÁLCULO DAS CARACTERISTICAS GEOMÉTRICAS seção homogeinizada (αe = 15)

e = 46,85 cmp

y = 43,15 cm

De acordo com NBR-6118/2003, todos as características geométricas deverão ser recalculadas, com:

αe = 15: para carregamentos frequentes ou quase permanentes, como é o caso deste projeto.


( ) cm 15,4312.627

904,7311587,53.00033,6880047,52.200105.600y

Ai

A 55A

( ) ( )2

5

pe5

2 p

pe

cm 027.1A : temoslogo,

4,73115A1αA

cm 4,73A 7,6726.071

200.000EcsE

α

=

×−=⋅−=⇒

=⇒===

yiyd Ai

dy

XG

A

AXG

=××−+×+×+×+×

=

⋅==

∑∑

∫∫

Página 27


8. RECÁLCULO TENSÕES E ESFORÇOS (ações permanentes e variáveis: αe = 15)

8.1 Peso próprio, acessórios, utilização e sobrecarga

Dados da seção:

L = 12 m;

A = 11.600 cm²

γc = 25 KN/m³

Acessórios = 0,8 KN/m²

Utilização = 2,0 KN/m²


( )

( )

( ) ( )

17,1897.473.13459.764.15

II

cm .764.45651II

cm 502.255.215,43904,73115I

cm 017.057.65,1215,2355000.312

25602I

cm 693.5603

12015,235580036

20204I

cm 212.59215,235,27200.212

55202I

cm 632.340.6)1015,43(600.512

20280I

bruta

adahomogeiniz

4iT

425

423

4

423

3

423

2

423

1

==

==

=−××−=

=+−×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ××=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

−−×+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ××=

=−×+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ××=

=−×+×

=

∑

Momentos:

Referêncial

43,15

y = 43,15 cmXG

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−

××=

=−

××=

=−

××=

=−

⋅⋅=

=

=

=

KNm 1,250.12

9129,629M

KNm 8,666.12

6126,629M

KNm 1,250.12

3123,629M

2xLxqM

3L/4X

L/2X

L/4X

X

Sobrecarga = 2,5 KN/m²

g = A.γc = 1,16 x 25 + (12 x 0,8) = 38,6 KN/m

q = 12 x (2,0 + 2,5) + 38,6 = 92,6 KN/m

Página 28


8.2 Tensões e módulo de resistência

Módulo de resistência: Tensões Máximas (fibras inferiores):

( ) ( )

( )( )( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

==

==

==

MPa 51,40,277299

1,250.14

3Lσ

MPa 02,60,277299

8,666.12

Lσ

MPa 51,40,277299

1,250.14

Lσ

WxMxσ

inf

inf

inf

infinf g,

3

sup

hsup

3

inf

hinf

cm 639.39215,04459.764.15

yI

W

cm 277.29956,85

459.764.15yI

W

−=−

==

===

8.3 Tensões devido à ação permanente da protensão

Como foi escolhido um cabo reto, os momentos fletores decorrente da força de protensão não se alteram

ao longo da abscissa do cabo. Portanto temos:

Página 29

Tensões Máximas (fibras superiores):

( ) ( )

( )( )( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=−

=

−=−

=

−=−

=

==

MPa 3,180,392639

1,250.14

3Lσ

MPa 4,240,392639

8,666.12

Lσ

MPa 3,180,392639

1,250.14

Lσ

WxMxσ

Sup

Sup

Sup

SupSup g,

Dados da seção:

A = 11.600 cm²

Winf = 277.299 3cm

Wsup = -392.639 cm³

ep = 30,35 cm

Tensões Protensão:

[ ]MPa P55,20,277299

0,4685P1,16

PW

ePAP

σinf

pinf p, ∞

∞∞∞∞ −=−−

=⋅

−−

=

[ ]MPa 0,33P0,392639-

0,4685P1,16

PW

ePAP

σSup

psup p, ∞

∞∞∞∞ =−−

=−−

=

e = 46,85 cmp

y = 43,15 cm

OBS: Para efeito didático utilizaremos

αe = 7,67.


9. ESTIMATIVA DA FORÇA DE PROTENSÃO

A força de transferência pode ser deduzida do valor da força máxima de protensão como:

P0(x) = Pi – ΔP0(x)

onde: ΔP0(x): perda imediata da protensão decorrente do encurtamente do concreto

Já a força no cabo, em um instante (t), pode ser calculada a partir da força de transferência:

Pt(x) = P0(x) + ΔPt(x)

Logo:)x(P1

)x(P)x(P t

i Δ−= ; com ΔP(x) = ΔP0(x) + ΔPt(x)

9.1 Tensões limites nos cabos mobilizadas pela protensão (NBR-6118/2003)

Durante as operações da protensão, a força de tração na armadura não deve superar os valores decorrentes

da limitação das tensões no aço (sistema de pós-tração):

Ápos o término das operações de protensão, as verificações de segurança devem ser feitas de acordo com:

9.2 Verificação simplificada do concreto (NBR-6118/2003)

• A tensão de máxima de protensão, na seção de concreto, não deve ultrapassar 70% do fckj;

• A tensão de máxima de tração máxima no concreto, não deve ultrapassar 1,2fctm correspondente

ao fckj especificado.

9.3 Combinações de ações

As combinações das ações e o nível de protensão estão expressas nos seguintes quadros:

Página 30


Quadro: combinação das ações

Combinação quase permanente de serviço: Fd = Fgi, k + ψ2j.Fqj, k (todas as ações variáveis são

consideradas com seus valores quase permanentes ψ2.Fqk).

Combinação freqüente de serviço: Fd = Fgi, k + ψ1.Fq1, k + ψ2j.Fqj, k (a ação principal Fq1 é tomada com seu

valor freqüente ψ2.Fqk).

Quadro Resumo das Ações [MPa]

Carregamento Protensão Posição σg,inf σg,sup σp,inf σp,sup

a = L/4 4,82 -3,41 -2,67 P∞ 0,52 P∞

a = L/2 6,43 -4,54 -2,67 P∞ 0,52 P∞

a = 3L/4 4,82 -3,41 -2,67 P∞ 0,52 P∞

9.3.1 Combinação quase permanente (estado limite de descompressão)

σd = σg + σp + ψ2σq (ψ2 = 0,4)

σd,inf = 6,43 – 2,67 P∞ + 0,4 x 0 = 6,43 - 2,67 P∞

σd,sup = -4,54 + 0,52 P∞ + 0,4 x 0 = -4,54 + 0,52 P∞

9.3.2 Combinações freqüentes (estado limite de formação de fissuras)

σd = σg + σp + ψ2σq (ψ2 = 0,6)

σd,inf = 6,43 – 2,67 P∞ + 0,4 x 0 = 6,43 - 2,67 P∞

σd,sup = -4,54 + 0,52 P∞ + 0,4 x 0 = -4,54 + 0,52 P∞

Página 31


9.4 Força no nível de prontesão limitada

9.4.1 ELS- Formação de fissuras

KN644.1P70,12,1P67,243,6MPa 70,144,27,0f7,0f

2,1α frequente) o(combinaçã fσ

m ct,inf ctj,

inf ctj,inf d,≥⇒×≤⋅−⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=×=⋅=

=⇒⋅α≤∞∞

9.4.2 ELS- Descompressão

KN408.2P0P67,243,60σ inf d, ≥⇒<⋅−⇒< ∞∞

Logo, o valor estimado da força de protensão limitada é P∞ = 2.408 KN

9.5 Cálculo da armadura ativa

Para e pós-tração com armadura RB e admitindo 25% de perdas, temos: KN 408.2P =∞

(Tensão Limite no aço) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=×=⋅

=×=⋅≤σ

2ytk

2ptk

piKN/cm 2,14017182,0f82,0

KN/cm 6,14019074,0f74,0

(Força de transferência) 2

pi

ipestimadoi cm 89,22

2,140210.3P

A KN 210.30,251

2.408perdas1P

P ==σ

=⇒=−

=−

= ∞

Para cordoalha CP 190 RB 3x5,0, temos uma área = 0,665 cm²/cordoalha. Portanto, temos: 35 cordoalhas,

dando um Apefetiva = 23,4 cm². Devido à simetria utilizaremos, 36 cordoalhas, que dará um Ap = 23,94 cm².

10. PERDAS DE PROTENSÃO

Infelizmente, a intensidade da força aplicada pelo equipamento de protensão no instante de tração das

armaduras não é o valor efetivo instalado durante sua vida útil. Há uma queda na tensão de protensão que

atua na peça durante sua vida útil, e pode ser dividida em dois grupos: perdas instantaneas e perdas

progressivas.

Os principais fatores das perdas de protensão, para o sistema pós-tração, são:

Perdas instantâneas:

Atrito bainha-armadura;

Deformação elástica do concreto (na transferência).

Página 32


Perdas Retardadas (progressivas)

Fluência (deformação lenta) do concreto;

Retração do concreto;

Relaxação do aço.

10.1 Perdas instantâneas

No caso com aderência posterior, normalmente o macaco trabalha apoiado diretamente na peça, de forma

que tanto o alongamento do aço e o encurtamento do concreto ocorrem simutaneamente.

10.1.1 Perdas por encurtamento imediato do concreto

Como o elemento estrutural deste é pós-tracionado, a protensão sucessiva de cada um dos “n” cabos,

provoca uma deformação imediata no concreto, e conseqüentemente, um afrouxamento dos cabos

anteriores protendidos, tem-se necessário, segundo a NBR-61180/2003, o cálculo desta perda de

protensão. Portanto temos:

( ) ( ) ( )

6%3,036,008,134

4,84σΔσ

KN/cm 08,13494,23

210.3A

Pσ KN/cm 84,4Δσ

cm/KN 84,4673.730.14

85,46680.166673.730.14

85,46210.3627.12210.367,7

362136

IeM

IeP

AP

αn21nσσα

n21nΔσ

p

p2

pefetiva

ip

2p

22

p

h

p

h

2pi

h

iecgcpep

===⇒===⇒=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×+××⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

×−

=σΔ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅+⋅⋅

⋅−

=+⋅⋅⋅−

=

Onde:

σcg: Tensão total no concreto devido a protensão no C.G. da armadura ativa

σcp: Tensão total no concreto devido devido a carga permanente no C.G. da armadura ativa

Pi = 3.210 KN

ep = 46,85 cm

Ah = 12.627 cm²

Ih = 14.730.673 cm4

nº de cordoalhas = 35

M = 166.680 KN.cm

Página 33


10.1.2 Perdas por atrito

As perdas por atrito podem ocorrer, tanto em trechos retos quanto em região de mudança de direção.

Como neste projeto tratamos de trechos retilíneos, as perdas são decorrentes da presença de sinuosidade

não intensionais do cabo, chamado de ondulações parasita, que são causados por:

• Reigidez insuficiente

• Defeitos na montagem dos cabos

• Insuficiencia dos pontos de amarração

• Empuxo do concreto fresco

Portanta a perda por atrito écalculada pela seguinte expressão:

( ) [ ] 2,4%==−=−= ××⋅+α⋅− ∑ 024,0e1e1

PΔP 1201,02,0xkμ

i

X

Onde:

x: abscissa do ponto onde se calcula ΔP, medida a partir da ancoragem, em metros

Σα: é a soma dos ângulos de desvios entre a ancoragem e o ponto de abscissa x, em radianos

Cabo reto Σα = 0 rad

μ: coeficiente de atrito aparente entre o cabos e a bainha

μ = 0,2 (entre fios liso e cordoalhas e bainha metálica, NBR-6118/2003)

k: coeficiente de perda por metro

k = 0,01.μ =0,01 x 0,2 = 0,002

10.2 Perdas retardadas (progressivas)

Na perda de protensão progressivas os fenômenos associados são a retração e a fluência no concreto e a

relaxação da armadura ativa.

10.2.1 Retração, fluência e relaxação

O efeito real da retração a da fluência no concreto apresenta uma elevada complexidade de representação;

sob condições especiais, algumas estratégias mais simples são sugeridas para lidar com esses fenômenos.

A NBR-6118/2003 sugere três procedimentos:

• Processo simplificado

• Processo aproximado

Página 34


• Método geral

O processo simplificado, utilizado neste projeto, está sobre as seguintes condições (NBR-6118/2003):

• A concretagem e a protensão devem ser executadas em fase suficientemente próximas;

• Espaçamento dos cabos pequenos para validar o conceito de cabo resultante.

• Retração não difira em mais de 25% do valor [-8 x 10-5 φ( ∞ , to)].

Dados:

Umidade relativa do ar: U = 70% (ao ar livre)

Temperatura média diária do ambiente: Ti = 28ºC

Tempo inicial: t0 = 7 dias

Tempo final: tf = 3.000 dias (aproximadamente 8 anos)

Fluência com cimento ARI → α = 3

Perímetro em contato com o ar: Uar = 1193 cm

Área da seção transversal: A = 11.600 cm²

10.2.1.1 Retração do concreto

Valor da retração entre os instantes t0 e t:

[ ] [ ] 440scs0cs 1054,203,095,01069,2)t(Bs)t()t,t( −−∞ ×−=−×−=−βε=ε

t: idade fictícia do concreto:

sdia 3800000330

10281Δt30

10Tαt

sdia 311030

10281Δt30

10Tαt

ijef,

i

i

ijef,

i

i0

=×+

⋅=+

=

=×+

⋅=+

=

∑∑

∑∑

onde:

α: coeficiente que depende da velocidade de endurecimento do concreto (tabela 32- anexo A; NBR-

6118/2003) ;

Δtef, j: periodo em dias, em qual, a temperatura média diária do ambiente.

γ: coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente: ( ) ( ) 45,1e1e1 A Anexo 6118/2003-NBR da 31 tabela-90% UPara 701,08,7U0,1-7,8 =+=+=γ⇒≤ ×+−⋅

Página 35


hfic: espessura fictícia da peça:

m 0,282cm 28,191193

11.60021,45U

A2γhar

fic ==××

=⋅⋅

=

Onde:

A: área da seção transversal

Uar: perímetro em contato com o ar

ε2s: coeficiente dependente da espessura fictícia da peça:

84,019,2838,20

19,28233h38,20

h233

fic

fics2 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+

×+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅+=ε

ε1s: coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente e da concistêcia do concreto:

442

42

s1 102,310159070

4847016.610

1590U

484U16.6 −−− ×=×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=ε

βs(t) ou βs(t0): Coeficiente relativo a retração, no instante t ou t0

βs(t) = 0,95 (determinado pela figura A.3 do anexo A da NBR 6118:2003)

βs(t0) = 0,03 (determinado pela figura A.3 do anexo A da NBR 6118:2003)

∞εcs : valor final da retração:

44s2s1cs 1069,284,0102,3 −−∞ ×−=××−=ε⋅ε=ε

10.2.1.2 Fluência do concreto

φ(t, t0):coeficiente de fluência

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 36,3996,04,004,019,2184,0ttt,t dd0fffa0 =×+−×+=β⋅ϕ+β−β⋅ϕ+ϕ=ϕ ∞∞

sdia 400.11000330

10283Δt30

10Tαt

sdia 481030

10283Δt30

10Tαt

ijef,

i

i

ijef,

i

i0

=×+

⋅=+

=

=×+

⋅=+

=

∑∑

∑∑

Onde:

α: coeficiente que depende da velocidade de endurecimento do concreto (tabela 32- anexo A; NBR-

6118/2003);

Página 36


Δtef, j: periodo em dias, em qual, a temperatura média diária do ambiente.

φa(t, t0): coeficiente de fluência rápida:

( ) ( ) 0,18477,018,01.8,0)t(f)t(f

18,0)t,t( 1c

0c0a =−×=β−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ϕ

∞

( ) 77,0e

21

10/28138,0

1 ==β ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅

(item 4.1.1)

∞ϕf : valor final do coeficiente de deformação lenta:

9,245,12. c2c1f =×=ϕϕ=ϕ ∞

1cϕ : coeficiente dependente da umidade

270035,045,4U035,045,41c =×−=⋅−=ϕ (considerando abatimento de 5 a 9 cm)

2cϕ : coeficiente dependente da espessura fictícia:

45,119,282019,2842

h20h42

fic

ficc2 =

++

=++

=ϕ

βf (t) ou βf (t0): Coeficiente relativo a retração, no instante t ou t0

βf (t) = 1,00 (determinado pela figura A.3 do anexo A da NBR 6118:2003)

βf (t0) = 0,04 (determinado pela figura A.3 do anexo A da NBR 6118:2003)

∞ϕd : valor final do coeficiente de deformação lenta irreversível, função da idade do concreto.

4,0d =ϕ ∞

βd: coeficiente relativo à deformação lenta reversível em função do tempo (t – t0) docorrido após o

carregamento

996,07071140020711400

70tt20tt

0

0d =

+−+−

=+−+−

=β

10.2.1.3 Verificação do processo aproximado

1,25.[-8 . 10-5 . φ(∞,t0)] =1,25 x 8 x 10-5 x 3,36 = -3,36 x 10-4

0,75.[-8 . 10-5 . φ(∞,t0)] =0,75 x 8 x 10-5 x 3,36 = -2,016 x 10-4

Página 37


-3,36 x 10-4 < εcs = -2,54 x 10-4 < -2,016 x 10-4

Portanto, a perda de protensão pode ser calculada pelo método aproximado.

10.2.1.4 Cálculo da perda de protensão devido à fluência e retração e relaxação do aço

Como na peça será utilizado aço de relaxação baixa (RB), temos:

( )[ ] ( ) ( ) 14,93%=+××+=σ+⋅ϕα

+=σ

σΔ∞

∞ 02,2336,37,18

67,74,73t,t7,18

4,7)t,t( 07,1

g0p,c07,1

0p

0p

0p

Onde:

7,6726.071

200.000EcsE

α pe ===

σc,pog: é a tensão no concreto adjacente ao cabo resultante, positiva se de compressão, em megapascal.

( )

MPa 02,2KN/cm 202,0σ

673.730.1485,46680.166

673.730.1485,46210.3

627.12210.3

IeM

IeP

AP

σσσ

2c.pog

2

h

p

h

2pi

h

icgcpc.pog

==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅+=−=

Em resumo o total de perdas está descrito no quadro abaixo:

TIPO DE PERDA % Ancoragem 0,00% Deformação imediata do concreto 3,40% Atrito dos cabos 2,40% Retraçã, Fluência e relaxação 14,93%

TOTAL 20,73%

P∞ = Pi.(1- perdas) = 3210 . (1- 0,2073) = 2544,6 KN

Verificações:

ELS- Formação de fissuras:

70,12,15446,267,243,6MPa 70,144,27,0f7,0f

2,1α frequente) o(combinaçã fσ

m ct,inf ctj,

inf ctj,inf d,×≤⋅−⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=×=⋅=

=⇒⋅α≤

ELS- Descompressão:

05446,267,243,60σ inf d, <⋅−⇒<

Página 38


11. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS

11.1 Introdução

No cálculo de peças de concreto armado, o dimensionamento é feito considerando os estados limites

últimos e posteriormente são verificados os estados limites de utilização. Já no caso do cálculo de peças de

concreto protendido, o dimensionamento é feito considerando os estados limites de utilização, e

posteriomente, são verificados os estados limites últimos. Assim, diurante a fase de dimensionamento, são

empregados no cálculo os valores característicos das ações e das resistências dos materiais, ou seja, sem

coeficientes de ponderação. Para a verificação dos estados limites últimos são então aplicados os

coeficientes de ponderação tanto sobre as cargas como sobre as resistências, obtendo-se assim seus valores

de cálculo.

Os tipos de ruptura que ocorrem nas vigas protendidas com cabos aderentes são os mesmo que ocorrem

nas vigas de concreto armado. Assim, para as peças de concreto protendido, com aderência inicial ou

posterior, o cálculo deve ser feito confrome as indicações, da NBR-6118/2003.

O dimensionamento da armadura passiva no concreto protendido é feito semelhante ao utilizado para as

peças de concreto armado. No estágio de ruptura, a armadura protendida funciona como uma armadura de

tração, de maneira identica a armaduras das peças de concreto armado. A diferença principal consiste no

pré-alongamento da armadura protendida, ou seja, a deformação do aço devido a protensão. O

alongamento da armadura ativa devido à flexão da peça deve ser somado ao pré-alongamento, ou

alongamento inicial.

É importante notar que, sem o alongamento prévio devido à protensão, não seria possível utilizar os aços

tipo CP como armadura passiva em peças de concreto armado. Se, parte do alongamento que o aço é

capaz de sofre não fosse aplicada previamente através da protensão, a zona comprimida do concreto não

resistiria às deformações que lhe seriam impostas pela rotação da seção.

11.2 Estado limite último devido à solicitações normais

11.2.1 Domínio de deformações

Os domínios de deformações estabelecem as possíveis posições da seção transversal no instante da

ruptura, conforme o tipo de solicitação atuante.

Nas vigas subarmadas e normalmente armadas, a ruptura tem início devido o alçongamento excessivo das

armaduras ativa e passiva, acompanhado de fissuração da viga. Com o aumento gradativo do

Página 39


carregamento, as deformações e a fissuração aumentam, redundando em elevação da linha neutra, redução

da área de concreto comprimido e consequente aumento das tensões de compressão no concreto. Quando a

tensão de compressão atinge o valor da resistência do concreto, este é esmagado provocando o colapso da

viga. Esse mecanismo de ruptura apresenta uma grande vantagem, qual seja, que as flechas e as fissuras,

decorrentes do alongamento da armadura, se mostram bastante visíveis alertando sobre a aproximação do

colapso (comportamento dúctil). Obviamente é de grande interesse, no prjeto de estruturas de concreto,

dimensionar as vigas de maneira que tenham ruptura dúctil. A figura abaixo expressa o domínio de

deformações para melhor entender este mecanismo.

Figura 9- Domínios de deformação

Nas vigas superarmadas, ou seja, com elevadas quantidades de armação, o concreto da zona comprimida

da seção é esmagado antes que o aço atinga o limite de escoamento. Nesses casos ocorre a chamada

ruptura brusca, sem aviso, o que é, evidentemente, indesejável do ponto de vista da segurança da estrutura.

Em vez da carga de colapso, adota-se como estado limite último um estado de deformação (anterior ao

colapso), para qual a viga já pode ser considerada inutilizada (vide figura 10). O dimensionamento deve

ser feito de tal maneira que a deformação da seção permaneça no domínio 3 (dominio das peças

normalmente armadas), ou seja, com εcd = 0,35% e εyd ≤ εsd ≤ 1,0%.

11.2.2 Hipóteses de cálculo

Para as peças de concreto protendido, com aderencia inicial ou posterior, o cálculo deve ser feito, em

relação ao estado limite último de ruptura ou de alongamento plástico excessivo, tomando-se como

situação inicial o estado de neutralização. Considera-se que o estado limite último de alongamento plástico

Página 40


excessivo é atingido quando o alongamento da armadura mais tracionada alcança o valor de 1,0%, medido

a partir do estado convencional de neutralização.

As hióteses de cálculo são as seguintes:

• As seções permaneçam planas após a deformação;

• Adimite-se aderência integral entre o aço e o concreto. Logo, as deformações dos dois materiais

na região de contato são consideradas iguais;

• O alongamento máximo permitido convencional para os aços é de 1,0% a fim de se evitar

deformações plasticas excessivas. É importante lembrar que nas peças de concreto protendido esse

alongamento máximo é contado a partit do estado convencional de neutralização;

• O diagrama tensão-deformação do concreto é o de parábola retângulo poden ser substituido por

um diagrama retangular simplificado, de altura igual a 0,8x. Vide figura 10.

Figura 10- Hipóteses de cálculo

Situação de equilíbrio:

Página 41


11.2.2.1 Verificação da viga protendida no estado limite ultimo

• Seção da viga protendida:

20 352025

60 20 120 20 60

60 60

pe = 46,85 cm 10 cm6 cm

• Dados dos materiais:

fck = 30 MPa

Ecs = 26071 MPa

Ep = 200.000 MPa

Aço CA-50 → εyd = 0,407%

Aço CP 190 RB (3 x 5 mm)

• Carregamento:

Ações permanentes: g = A.γc + Acessórios = 1,16 x 25 + (12 x 0,8) = 38,6 KN/m

Ações variáveis: q1(cargas de utilização) = 12 x 2,0 = 24 KN/m

q2(cargas acidentais) = 12 x 2,5 = 30 KN/m

• Dados da protensão:

Armadura de protensão:(36 cordoalhas Ap = 23,94 cm²). O nº de cordoalhas foi arredondado para

o número par inteiro mais próximo, em virtude da simetria da peça.

Força de protensão: P∞ = 2544,6 KN

Posição da armadura ativa: ep = 46,85 cm

• Dimensões e propriedades da seção trasnversal:

L = 12 m

Ah = 12.627 cm²

7,6726.071

200.000EcsE

α pe ===

ycg = 43,15 cm

Página 42


yinf = 56,85 cm

Ih = 14.730.673 cm4

Winf = 259.114 cm³

• Esforços:

KN.m 972432540MMMKN.m 432

81224

8Lq

M

KN.m 54081230

8Lq

M

KN.m 8,6948

126,388LgM

q2q1q221

q1

222

q2

22

g

=+=+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=×

=⋅

=

=×

=⋅

=

=×

=⋅

=

• Valor de cálculo da força de protensão:

Pd = γp × P∞ = = 2.299,14 KN (coeficiente de ponderação das ações no estado limite

último para ações normais, protensão e situação favorável, tabela 11.1 NBR-6118/2003).

2544,6 0,9 ×

• Cálculo do pré-alongamento:

Tensão no concreto ao nível da armadura de protensão:

%5,01093,494,23000.20

03,362.2AE

P

KN03,362.23425,094,2367,714,299.2APP

KN/cm 3425,0673.730.14

85,4614,299.2627.12

14,299.2I

ePAP

3

pp

ndpn

1cpdpednd

22

h

2pd

h

d1cpd

=×=×

=⋅

=ε

=××+=σ⋅⋅α+=

=×

+=⋅

+=σ

−

• Resistência ao momento fletor:

No cálculo da capacidade resistente de vigas protendidas, a solicitação é considerada como uma

solicitação interna. Logo a seção estará submetida à flexão simples. Geralmente apenas as seções

decorrentes dos hiperestáticos de protensão são consideradas como uma solicitação externa. De

acordo com a NBR-6118/2003 a carga de cálculo para a combinação última é:

KNm72,2106)5407,0432(4,18,6944,1M

)MM(MM

d

2q01qqggd

=×+×+×=

=×ψ+γ+×γ=

Página 43


onde : γg é o coeficiente de ponderação das ações no estado limite último para ações permanentes

e combinação normal;

γq é o coeficiente de ponderação das ações no estado limite último para ações variáveis e

combinação normal;

ψ0 é o coeficiente de ponderação das ações no estado limite último para cargas acidentais

⇒ Cálculo da altura mínima da linha neutra para que a seção suporte o momento fletor de

cálculo atuante:

cm 32,14x2

06,30164)225(225x

006,3016x225x02,067.21x16,15716x85,69

x85,69x16,157162,067.21

)x4,090(14,285,0120x8,02,067.21

)x4,0d(f85,0bx8,0zRM

2

22

2

pcdccd

=⇒×−±

=

=+−⇒=+⋅−⋅

⋅−⋅=

⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=

⇒ Resultante da força de compressão no concreto

KN62,2500R14,285,012032,148,0R4,1/385,0120x8,0R

cc

cccc

=⋅⋅⋅⋅=⇒⋅⋅⋅⋅=

0,35

14,3290 95

εp εs

%1

%85,132,149032,14

35,0

p

pp

>εΔ

=εΔ⇒−

εΔ=

⇒ Como Δεp = 1,85% (limitação da deformação igual a 1%), teremos que adicionar uma armadura passiva e limitar a sua deformação em 1%, refazendo os cálculos temos:

0,35

x90 97

εp εs

cm 33,23xxx35,05,31x90

1x35,0

=⇒=−

⇒−

=

Página 44


Para x = 23,33 cm, tem-se que:

KNm 41,286.3cm.KN 328641)33,234,090(4074MKN 074.414,285,012033,238,0R

)x4,0d(f85,0bx8,0ZRM

d

cc

pcdccd

==×−×==××××=

⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=

Deformação total da armadura ativa

%5,1%5,0%1ptpnppt =+=ε⇒ε+εΔ=ε

Da tabela abaixo, tem-se que: para; 2ppt m/KN157%5,1 =σ⇒=ε

)cálculo de tensão(m/KN52,13615,1

157 2pd ==σ . Logo;

equilíbrio em está não seção a ;KN 4074R3268,3KN23,9452,136AR ccppdpd R pd=×σ= × = ⇒ =<

Página 45


Para que a seção esteja em equilíbrio, é necessário que:

KN7,805R

3,32684074RRRR

sd

sdsdpdcc

=

−=⇒+=

( )2

s2

sty

stsstysst cm20A0.1610cm 5,1815,1

507,805

50-CA AçofR

A fAR =→φ⇒=×==∴×=

d3

sup ,ctksupmín ,d M KN.m 67,100.11075,336689,08,0fW8,0M <=×××=⋅⋅=

Taxa de armadura mínima absoluta:

)respeitada mínima (taxa 105,1107,1600.11

20AA 3

mín3

c

s −− ×=ρ>×===ρ

( ) ( )cm 0017,0z

z7,80533,234,090074.4640.328zRx4dRM

2

22sdpccd

≥

×+×−×≤⇒⋅+⋅−⋅=

cm 95,5dcm 90 Portanto, 5,4100d0017,090 ≤≤⇒−≤≤+

11.2.3 Estado Limite último de ruptura no ato da protensão

Além das hipóteses básicas apresentadas acima devem ser respeita das seguintes condições suplementares:

• Considera-se como resistência caracteristica do concreto fckj aquela à idade fictícia j (em dias);

• Para esta verificação, adtimitem os seguintse valores para os coeficientes de ponderação, com as

cargas que efetivamente atuarem nesta ocasião:

γc = 1,2; γf = 0,9 (condições favoráveis); γs = 1,15 e γps= 1,1

11.2.3.1 Verificação simplificada do concreto

• Dados gerais:

P ∞ =2544,6kN

ep=46,85cm

C30

CP190RB

Ações permanentes: g = A.γc + Acessórios = 1,16 x 25 + (12 x 0,8) = 38,6 KN/m

Ações variáveis: q1(cargas de utilização) = 12 x 2,0 = 24 KN/m

q2(cargas acidentais) = 12 x 2,5 = 30 KN/m

Página 46


• Características mecânicas e geométricas:

Ep=200GP

Ecs =26071Mpa

αe=7,67

ycg = ysup = 43,15

Ah = 12.627 cm²

yinf = 56,85 cm

Ih = 14.730.673 cm4

Winf = 259.114 cm³

Wsup = -366.890 cm³

dadot = 96 cm (ditância do bordo superior até o centro de gravidade da armadura passiva)

• Esforços:

x = L/2 Mg = 694,8 KNm

Mq1 = 540 KNm

Mq2 = 432 KNm

x = [0,L] Np = - P∞ = - 2.554,6 KN

Mp = Np x ep = - 2544,6 x 0,4685 = - 1.192,14 KNm

• Tensões:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=×−

×==σ

=×

×==σ

⇒=

−

−

−

−

MPa 89,110890.366

108,694WM

MPa 68,210114.259

108,694WM

2Lx

6

3

sup

gsup g,

6

3

inf

ginf g,

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=×−

×==σ

=×

×==σ

⇒=

−

−

−

−

MPa 6,210890.366

10972WM

MPa 7,310114.259

10972WM

2Lx

6

3

sup

qsup g,

6

3

inf

qinf g,

[ ]⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=××

−×−×−

=+=σ

−=××

−××−

=+=σ

⇒=

−

−

−

−

−

−

−

−

MPa 23,110627.12106,554.2

10890.3661014,192.1

AN

WM

MPa 62,610627.12106,554.2

10114.2591014,192.1

AN

WM

L,0x

4

3

6

3

h

p

sup

psup p,

4

3

6

3

h

p

inf

pinf p,

Página 47


• Combinações para compressão do concreto no ato da protensão:

x = L / 2:

σd,inf. = γf . σg,inf + γp . σp,inf = 1,0 x (2,68+3,7) + 1,1 x (-6,62) = -0,9 MPa

Seção crítica:

σlim. = 0,7 x fckj = 0,7 x 23,2 → σlim. = 16,24 MPa

Módulo: σd,inf. < σlim. → 0,90 < 16,24 (satisfeita a resistência)

• Combinações para tração do concreto no ato da protensão

x = L / 2:

σd,sup. = γf . σg,sup + γp . σp,sup = 1,0 x (-1,89-2,60) + 1,1 x 1,23 = -3,14 MPa

x = [0,L]

σd,sup. = γf . σg,sup + γp . σp,sup = 0 + 1,1 x 1,23 = 1,35 MPa

Seção crítica:

MPa 89,2303,0f3,0f : temosMPa; 30f 3 23 2ckjm ct,ckj =×=⋅==

σlim. = 1,2 x fctm = 1,2 x 2,89 → σlim. = 3,47 MPa

Módulo: σd,sup. < σlim. → 3,14 < 3,47 (para que a combinação fosse satisfeita, tivemos que alterar a

idade de protensão para j = 28 dias, devido o valor de fct, m).

11.3 Estados limites últimos devido a solicitações tangenciais

A protensão longitudinal em peças de concreto protendido produz tensões normais de compressão que

contribuem para a redução das tensões principais de tração, fazendo com que estas fiquem mais inclinadas

em relação ao eixo da peça. Como consequência, as fissuras de cisalhamento se formam com menor

inclinação de que nas peças de concreto armado.

A inclinação das bielas comprimidas fica entre 25 e 35º, menos inclinadas que as de 45º da analogia

clássica da treliça. Não obstante, nas regiões de carags concentradas ou sob apoios intermediários de vigas

contínuas, por exemplo surgem fissuras de cisalhamento em forma de leque e, nesses casos acabam

surgindo, fissuras de 45º.

11.3.1 Cálculo da resistência

A resistência do elemento estrutural à força cortante, numa determinada seção transversal, deve ser

satisfatória quando verificadas simultaneamente as seguintes condições:

Página 48


• VSd ≤ VRd2

• VSd ≤ VRd3 = VC + VSW

Onde:

VSd: força cortante solicitante de cálculo, na seção:

VRd2: força cortante resistente de cálculo, relativa a ruína das diagonais comprimidas de concreto.

VRd3 = Vc + VSW: força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal, onde VC é

parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça e VSW a parcela

resistida pela armadura transversal.

11.3.2 Método de cálculo utilizado: modelo II

O modelo II admite diagonais de compressão inclinadas de θ em relação ao eixo longitudinal do elemento

estrutural, com variável livremente entre 30º e 45º. Admite ainda que a parcela complementar VC sofra

redução com o aumento de VSd.

Hipóteses do modelo II

• Banzos paralelos

• Inclinação das bielas de compressão 30º < θ < 45º

• Inclinação dos estribos α ≥ 45º.

• Admitindo-se: θ = 35º e α = 90º

• Esforços de cálculo:

m.KN72,2106)5407,0432(4,18,6944,1)MM(MMM 2q01qqggsdd =×+×+×=×ψ+γ+×γ==

KN 740,04 = 180 0,7 1,4 + 144 1,4 + 231,6 1,4 = V

.sen .P V + .V + V = V

Sd

qSq20qSq1gSggSd

××××

θγ⋅⋅ψ⋅γ⋅γ⋅γ ∞

Onde:

KN1802

1230V

KN1442

1224V

KN6,2312

126,38V

KN.cm 9720320.4400.5MMMKN.cm 432M

KN.cm 5.400M

q2s

q1s

gs

q2q1qq1

q2

=×=

=×=

=×=

=+=+=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

Página 49


( )

( ) cm.KN 8,312.16485,466,544.29,0600.11

259.1142544,69,00,0.9,0M

e.P.A

WN.P.M

0

PPinf

qgfp0

=××+××+=

γ+⋅γ+γ= ∞+∞

• Verificação da compressão diagonal do concreto (modelo II, θ = 35º e α = 90º)

( )( ) KN6,561.5º35gcotº90gcotº35sen971202,140,880,54 V

gcotgcotsendbwf . 0.54 V2

Rd2

2cdVRd2

=+××××××=

θ+α⋅θ⋅⋅⋅⋅α=

VSd ≤ VRd2 → 740,04 ≤ 5.561 (resistência da biela verificada)

Onde:

bW: base da peça, noc caso em questão é igua a 2 vezes 20

d: altura útil da seção

fcd é a resistência de cálculo à compressão do concreto.

αV = 1 – fck/250 = (1 – 30/250)

α é a inclinação inclinação dos estribos.

• Parcela da força absorvida pela armadura transversal

]ΜΝ[ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅542,07 = × ) + ( × ×××⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

α⋅θ + α⋅⋅⋅⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

SA

º90senº35gcotº90gcot15,1

500979,0S

A V

sen)gcot(cotgf d 0,9 S

A V

SWSWSW

yWdSW

SW

• Parcela da força absorvida pelos mecanismos de treliça

MPa 2,89 f KN 706,430.97 0,6 2,89 0,7 0,6 d b f 0,6 V

ctm

WctdC0

==××××=⋅⋅⋅=

VC = VC1 x (1 + M0/MSd.máx) < 2 x VC1, na flexo-compressão, com:

VC1 = VC0 se VSd ≤ VC0

Interpolação linear para valores intermediários:

KN54,70143,70643,7066,561.504,7406,561.5V

VVVV

V 0c0c2Rd

Sd2Rd1c =×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

KN08,403.154,7012KN72,248.172,106.28,1,643.1154,701

MM

1VVmáx,sd

01cc =×<=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+×=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

Página 50


• Condições para segurança no ELU

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=≤

1VCSW3RD

2RDsd VV

VV ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

≤54,701

AA

07,542V

561.504,740

S

SW3RD

m101,7542070

54,70104,740A

A 4

S

SW −×≥−

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

• Armadura transversal mínima

ywk

ctm

w

swsw f

f2,0

sen.s.bA

≥α

=ρ

m1093,6º90sen.6,0.500

89,22,0sen.b.ff

2,0s

A 4w

ywk

ctmsw −×=×=α≥

s = 100 cm ASW ≥6,93cm2/m 22Ø6.3c/4,5

• Espaçamento máximo

Longitudinal: ⎩⎨⎧

≥>=≤==⋅

=Rd2d

Rd2dmáx V 0,67 V se 200mm, d . 0,3

V 0,67 V se 300mm, d 0,6S

13,0561.5

04,7402VRd

Vsd =≥ smáx = 300 mm > s = 45 mm

Espaçamento longitudinal verificado

Página 51

protendido

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