concreto protendido - jorge luiz ceccon

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ (UFPR) SETOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL CONCRETO PROTENDIDO NOTAS DE AULA Prof. Dr. Jorge Luiz Ceccon

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ (UFPR)

SETOR DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL

CONCRETO PROTENDIDO

NOTAS DE AULA

Prof. Dr. Jorge Luiz Ceccon

Page 2: Concreto Protendido - Jorge Luiz Ceccon

Concreto Protendido Conceitos Básicos

Prof. Jorge Luiz Ceccon I-1/20

I.- CONCEITOS BÁSICOS 1.1 – DEFINIÇÃO

A protensão pode ser definida como o artifício de introduzir, numa estrutura, um estado prévio de tensões, de modo a melhorar sua resistência ou seu comportamento, sob ação de diversas solicitações.

As Figuras. 1.1.1 à 1.1.5 mostram alguns exemplos de aplicação da protensão:

Figura 1.1.1 - Barril com aduelas de madeira unidas por cintas metálicas.

Figura 1.1.2 - Roda de madeira de carroça solidarizada por cinta metálica.

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Concreto Protendido Conceitos Básicos

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Figura 1.1.3 - Roda de bicicleta, onde os raios são previamente tracionados para não flexionarem quando em serviço: a) esquema da roda: 1- aro externo; 2- anel interno; 3 – fio sob tensão; b) esquema de tensões prévias aplicadas pelos fios tracionados no aro e no anel.

Figura 1.1.4 - Viga armada: a) esquema da viga: 1 – viga; 2 – pontalete; 3 – tirante; b) estado de tensões prévias aplicadas na viga(1), quando o tirante (3) é tracionado e ancorado nas extremidades.

Figura 1.1.5 – a) Muro de arrimo vertical com tirantes protendidos; b) Contenção de encostas com tirantes protendidos com placas individuais de apoio; c) Tirantes protendidos, ancorados no maciço de fundação, usados como ancoragem de uma barragem.

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Concreto Protendido Conceitos Básicos

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1.2 – CONCRETO ARMADO

O concreto tem como característica importante ter boa resistência à compressão e uma pequena resistência à tração, da ordem de um décimo da resistência à compressão. Além disso a resistência à tração é pouco confiável, pois uma vez que, por algum motivo (por exemplo a retração), surja uma fissura, essa pequena resistência a tração desaparece. Devido à natureza aleatória da resistência a tração do concreto, ela é geralmente desconsiderada nos cálculos.

Nas peças de concreto armado fletidas, o concreto apresenta-se quase sempre fissurado, mesmo para as solicitações de serviço.

As aberturas das fissuras no concreto são proporcionais às deformações do aço, que são funções das tensões.

As expressões utilizadas para o cálculo da abertura das fissuras são (item 17.3.3.2 da NBR 6118/2004):

w =ctm

si

si

sii

fEσσ

η.3

...5,12 1

Φ (1.1)

w =

+

Φ45

4..

.5,12 1 risi

sii

E ρσ

η (1.2)

onde: η1 representa o coeficiente de conformação superficial da armadura (ou coeficiente de aderência), σsi a tensão de serviço na armadura (calculada no Estádio II, para cargas freqüentes), Esi o módulo de elasticidade do aço, ρri a taxa geométrica de armadura envolvida na fissuração e fctm a resistência média a tração do concreto.

Figura 1.2.1 - Viga de concreto armado fissurada. w = abertura da fissura; s = espaçamento entre fissuras; ae = Ep / Ec

s s/a e

? x

Fissuras

Concreto comprimido

w

s

Concreto tracionado (fissurado)

Armadura para os esforços de tração

s c

s c

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Concreto Protendido Conceitos Básicos

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O módulo de elasticidade dos aços é aproximadamente o mesmo: Es = 210 GPa para a armadura passiva e Ep = 200 GPa para a armadura ativa, independentemente de sua resistência. Assim, para elevadas tensões no aço, as deformações correspondentes serão grandes e conseqüentemente as aberturas das fissuras poderão resultar maiores que os valores considerados admissíveis. Essa consideração da fissuração do concreto limita o uso de aços de alta resistência no concreto armado.

Segundo a NBR-6118/2004, os valores admissíveis para a abertura das fissuras variam de 0,2 mm a 0,4 mm, dependendo da classe de agressividade ambiental (CAA) e do tipo de protensão. Ver tabela 13.3 da NBR 6118/2004.

Na verificação do "Estado Limite de Abertura de Fissuras", onde a tensão na armadura é calculada no "Estádio II" para cargas freqüentes, encontram-se aberturas de fissuras superiores aos limites pré-estabelecidos quando essa tensão ultrapassa valores como 28 ou 30 kN/cm2. Dessa maneira seria ineficiente utilizar aço de alta resistência.

Normalmente se utilizam no concreto armado aços com fyk < 600 MPa (CA-60)

Aços de alta resistência ⇒ Fissuração excessiva 1.3 – CONCRETO PROTENDIDO 1.3.1 - O artifício da protensão aplicado ao concreto

O artifício da protensão aplicado ao concreto consiste em introduzir na peça, esforços prévios de compressão que reduzam ou anulem as tensões de tração no concreto devidas às solicitações de serviço. Dessa forma minimiza-se a importância da fissuração como condição limitante do uso de aços de alta resistência em peças fletidas.

O concreto protendido viabiliza o uso de concretos e aços de alta resistência.

Concretos: fck = 25 MPa a 50 MPa Aços: fptk = 1500 MPa a 1900 MPa 1.3.2 - Descrição da forma como se introduz o esforço de protensão em peças de

concreto

Existem várias maneiras de se introduzir uma força de protensão em uma peça de concreto.

Pode-se concretar uma viga, por exemplo, deixando no seu interior um tubo através do qual passa um cabo de aço de uma extremidade à outra. O cabo de aço é então tracionado e ancorado contra a peça de concreto nas duas extremidades. Graças à propriedade da elasticidade do aço ele tende a voltar ao comprimento inicial (antes de ser tracionado), mas é impedido parcialmente pelo concreto, assim, o aço se mantém

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com algum alongamento e portanto tracionado. O concreto fica comprimido pela mesma força (ação e reação).

Figura 1.3.1 - Introdução da força de protensão em peças de concreto.

As tensões no concreto, resultantes da protensão, podem ser calculadas pelas fórmulas da “Resistência dos Materiais” correspondentes à flexo-compressão, enquanto for válida a lei de Hooke (tensões inferiores ao limite de proporcionalidade).

σc = + P Ac

+ P.ep

Ic y (1.3)

onde a força de protensão “P” deve ser considerada negativa por ser de compressão; a excentricidade “ep” da força de protensão e a ordenada “y” do ponto onde se está calculando a tensão são consideradas do centro de gravidade da seção e positivas quando marcadas para baixo.

Naturalmente já é sabido que quando a força de protensão estiver aplicada no centro de gravidade da seção se terá compressão uniforme. Quando a força P estiver aplicada dentro do núcleo central de inércia se terá apenas tensões de compressão e quando estiver aplicada fora dele se terá parte da seção comprimida e parte tracionada. As fibras da seção, do mesmo lado do ponto de aplicação da força de protensão em relação à linha neutra, serão comprimidas (mesma natureza da força), no restante da seção haverá tração.

A fig. 1.3.2 ilustra os diagramas de tensões correspondentes a estes três casos.

(armadura de protensão)

Tubo (bainha)

Cabo de aço

P

L

(força de protensão)

P

Macaco hidráulico

Peça de concreto Dispositivo de ancoragem

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cc A

P+=σ

inc

p

cinc y

I

eP

AP

..

, ++=σ

inc

p

cinc y

I

eP

AP

..

, ++=σ

Figura 1.3.2 - Tensões no concreto produzidas pela força de protensão. 1.3.3 - Armaduras nas peças protendidas

Nas peças protendidas utilizam-se dois tipos de armadura:

a) Armadura ativa: Constituída pelos cabos de protensão. Em cada caso estuda-se o número de cabos necessários

b) Armadura passiva, frouxa ou de concreto armado

b.1) Armaduras longitudinais, geralmente denominadas suplementares - de flexão, de pele, porta estribos;

b.2) Armadura transversal de cisalhamento (estribos);

b.3) Armadura de fretagem

G

a) Força de protensão centrada. Distribuição uniforme de tensões.

P

s c

Ap (-)

P n

b) Força de protensão excêntrica dentro do núcleo central de inércia. Apenas tensões de compressão.

s c

G

Ap

(-) s c,in = +

P Ac

+ P.ep

Ic.yin

m

c) Força de protensão excêntrica fora do núcleo central de inércia. Parte da seção é tracionada.

ep

(+)

P

n

s c

G

Ap

(-)

s c,su = + P Ac

+ P.ep

Ic.ysu

m

ep

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- armaduras locais, nos pontos de ancoragem dos cabos de protensão, destinadas a evitar ruptura local do concreto nos pontos sujeitos a tensões muito elevadas;

b.4) Armadura de distribuição de tensões - armaduras regionais destinadas a garantir o espalhamento das tensões,

aplicadas quase pontualmente, para a seção toda da peça.

A Fig.1.3.3 ilustra essas armaduras.

Figura 1.3.3 - Armaduras nas vigas protendidas. 1.3.4 - Controles na realização da protensão

A força de tração aplicada ao cabo é controlada na obra através da leitura do manômetro acoplado ao compressor que aciona o macaco hidráulico de protensão. Essa pressão multiplicada pela área da seção transversal do pistão do macaco, fornece a força de tração que está sendo aplicada ao cabo.

Outro controle realizado sobre a força de protensão introduzida é feito pela medição do alongamento do cabo. Na realidade, o alongamento medido é um alongamento aparente, uma vez que o valor medido fornece a soma do alongamento do cabo com o encurtamento da peça de concreto.

Alongamento do cabo: ∆Lp = P.L

Ap.Ep

Encurtamento do concreto: ∆Lc = σc.L Ec

onde σc é a tensão no concreto ao nível do cabo de protensão

Armadura de

distribuição

P

Armadura ativa

estribo

Armadura de pele

Armadura frouxa

cisalhamento

P

fretagem

Armadura de Porta Armadura de

(de flexão)

(de protensão)

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O alongamento medido será: ∆L = ∆Lp + ∆Lc

O alongamento medido é comparado com o valor calculado em função do comprimento do cabo, da força de protensão prevista para ele (que é variável ao longo do seu comprimento), da geometria e das tensões da peça de concreto, conforme será mostrado adiante. 1.4 – VANTAGENS DO CONCRETO PROTENDIDO

Sentido econômico do Concreto Protendido:

Consiste no fato de que os aumentos percentuais de preços são muito inferiores aos acréscimos de resistência utilizáveis, tanto para o concreto como para o aço de protensão.

Vantagens técnicas:

a) Reduz as tensões de tração provocadas pela flexão e pelo esforço cortante;

b) Reduz a incidência de fissuras;

c) Elevada resistência à fadiga devida à redução ou mesmo eliminação das inversões de sinal nas tensões devidas às cargas variáveis;

d) Reduz as quantidades de concreto e de aço, devido ao emprego eficiente de materiais de maior resistência (estruturas mais leves);

e) Permite vencer vãos maiores (para o mesmo vão permite reduzir a altura necessária da viga ou laje);

f) Facilita o emprego generalizado de pré-moldados, uma vez que a protensão diminui o risco de fissuração durante o transporte;

g) Capacidade de auto-recuperação após um carregamento excessivo. 1.5 – MODALIDADES DE EXECUÇÃO DO CONCRETO PROTENDIDO 1.5.1 - Classificação da protensão

a) PRÉ-TENSÃO - Armadura pré-tracionada Os cabos são sempre internos e com aderência (inicial).

b) PÓS-TENSÃO - Armadura pós-tracionada

Com aderência posterior Sem aderência

Cabos internos Cabos externos

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1.5.2 - Sistema com armadura pré-tencionada (pré-tensão)

A armadura pré-tensionada necessariamente é colocada no interior da peça de concreto (por isso é chamada de armadura interna) e aderente. Além disso, a aderência entre o aço e o concreto é criada antes da liberação dos cabos de protensão pelos dispositivos de estiramento. Diz-se que essa armadura tem aderência inicial.

Figura 1.5.1 - Cabos com aderência inicial.

Lbp

Bloco de ancoragem ativa calçada até o endurecimento do concreto

Armadura de protensão distendida antes da concretagem

Peças de concreto Bloco de ancoragem passiva

Pista de protensão

Macaco hidráulico

P

a) Cabos retos

Dispositivos de desvio dos cabos

Armadura de protensão poligonal distendida antes da concretagem

Forma metálica de extremidade Bloco de ancoragem passiva

Pista de protensão

Macaco hidráulico

P

b) Cabos poligonais

F

s p sp,máx = P / Ap

c) Ancoragem de cabos com aderência

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Características da pré-tensão:

a) Os cabos são estirados antes da concretagem;

b) A ancoragem dos cabos na viga é feita por aderência entre os cabos e o concreto, sem uso de dispositivos especiais;

c) Normalmente realizada em fábricas de pré-moldados em “pistas de protensão".

1.5.3 - Sistemas com armadura pós-tencionada (pós-tensão) 1.5.3.1 – Introdução da força de protensão

Nesse sistema as armaduras ativas são tencionadas após o endurecimento (cura) do concreto. Os dispositivos de tracionamento das armaduras se apóiam diretamente no concreto da peça que está sendo protendida.

As ancoragens dos cabos são feitas em suas extremidades por dispositivos mecânicos.

Figura 1.5.2 - Introdução da força de protensão com armadura pós-tracionada.

Concreto endurecido

Bainha (tubo)

Ancoragem morta

Ancoragem ativa

P

Macaco hidráulico

Cabo de protensão Força de protensão

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1.5.3.2 - Classificação dos sistemas de armaduras pós-tracionadas

a) Quanto à posição relativa entre os cabos e a peça de concreto:

Cabos internos Cabos externos

Os cabos internos podem apresentar uma trajetória qualquer, sendo geralmente projetados com uma seqüência de trechos curvilíneos e retilíneos.

Os cabos externos são geralmente retilíneos ou poligonais; neste último caso, os desvios são feitos em selas de apoio, colocadas lateralmente à viga.

Figura 1.5.3 – Armaduras pós-tracionadas, aderentes ao concreto. a) Cabos internos; b) Cabos externos. 1 – viga de concreto; 2 – aço de protensão; 3 – bainha metálica; 4 – nata de cimento injetada para criar aderência posterior; 5 – estribo de ligação com a viga; 6 – revestimento do cabo externo com concreto vibrado de boa qualidade, que protege as armaduras contra corrosão.

Figura 1.5.4 - Armaduras pós-tracionadas, não aderentes ao concreto. a) Cabos internos; b) Cabos externos. 1 – viga de concreto; 2 – aço de protensão; 3 – bainha; 4 – nata de cimento ou graxa inerte injetada na bainha; 5 – tubo de aço ou plástico.

1

a)

3

5

4

21

6

2

b)

a)

1 3

b)

5 5

4

21

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b) Quanto à aderência entre os cabos e o concreto:

Cabos aderentes Cabos não aderentes

Nos cabos aderentes as bainhas devem ser metálicas e posteriormente ao estiramento dos cabos, elas são injetadas com nata de cimento para estabelecer a aderência entre os cabos e o concreto da viga. Essa nata de cimento também tem o objetivo de dar proteção ao aço contra corrosão.

Nos cabos não aderentes as bainhas podem ser metálicas ou de plástico. No caso de se usar bainhas metálicas a injeção é feita com graxa.

Os cabos externos, sem ligação direta com a viga ao longo do cabo, são evidentemente do tipo não aderente. Esse tipo de cabo é muito usado em projeto de reforço de obras.

1.6 – COMENTÁRIOS SOBRE PERDAS DE PROTENSÃO 1.6.1 – Perdas imediatas 1.6.1.1 - Na pós-tensão:

a) No estiramento dos cabos são despertadas forças de atrito entre o cabo e a bainha ocasionando perdas de força de protensão chamadas "perdas por atrito".

b) Para a cravação das cunhas de ancoragem é necessário que haja um recuo do cabo. Esse recuo representa uma redução no seu estiramento. Essa redução produz perda de força de protensão que é designada por "perda por acomodação das ancoragens".

c) O encurtamento do concreto é compensado na medição do alongamento do cabo, somando-se o alongamento do cabo com o encurtamento do concreto na fase de projeto, para comparar com o valor medido na obra. Quando se tem vários cabos, a protensão de um cabo ocasiona perda de força de protensão nos cabos já ancorados. Essas perdas são designadas por "perdas por deformação elástica do concreto".

1.6.1.2 - Na pré-tensão:

a) Não existem as perdas por atrito, por não existirem nesse sistema de protensão, as bainhas;

b) As perdas por acomodação das ancoragens também não existem nesse sistema de protensão;

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c) O encurtamento do concreto devido à força de protensão, representa uma perda de protensão para todos os cabos, devido à redução do seu alongamento. Essas perdas são chamadas "perdas por deformação elástica do concreto";

As perdas por "deformação elástica do concreto", "por atrito" e "por acomodação das ancoragens" ocorrem logo na realização da protensão e por isso são chamadas "perdas imediatas".

As perdas imediatas são da ordem de 6% a 15%. 1.6.2 – Perdas progressivas

Ao longo do tempo (em torno de 3 a 4 anos) ocorrem perdas denominadas "perdas progressivas" também chamadas "perdas lentas" ou "perdas retardadas".

As perdas progressivas ocorrem tanto na pós-tensão quanto na pré-tensão. Elas se devem à:

a) Retração do concreto - redução volumétrica do concreto devida à evaporação da água de amassamento. São percebidas ao longo de dois a três anos.

b) Deformação lenta do concreto (fluência) - deformação devida às tensões de compressão no concreto e que ocorrem após as deformações imediatas. Seus efeitos são percebidos ao longo de dois a três anos.

c) Relaxação do aço - perda de tensão apresentada pelo aço ao longo do tempo quando mantido sob alongamento constante.

As perdas progressivas são da ordem de 8% a 16%. 1.7 – TENSÕES DE TRAÇÃO CONTROLADAS PELA PROTENSÃO

Um aspecto muito importante da protensão pode ser mostrado por uma ilustração simples. Considere primeiro a viga de concreto simples (sem armadura) mostrada na Fig. 1.7.1a. Ela suporta uma carga concentrada no meio do vão e, por enquanto, vamos desconsiderar seu peso próprio. Enquanto a carga W é gradualmente aplicada, tensões de tração longitudinais são desenvolvidas junto à face inferior da viga. Assumindo que o concreto é solicitado apenas dentro do campo elástico, a distribuição das tensões de tração devidas à flexão na seção do meio do vão será linear, como na figura.

Para uma carga relativamente pequena, as tensões de tração nas fibras inferiores de concreto ultrapassarão a resistência do material fctk e se formará uma fissura. Desde que nenhuma providência seja tomada para impedir que a fissura se propague para cima, a peça se romperá sem mesmo que se aumente o valor da carga.

Considere agora uma viga idêntica, como na Fig. 1.7.1b, na qual uma força axial longitudinal P é introduzida anteriormente à aplicação da carga vertical. A força longitudinal de protensão produzirá tensões de compressão uniformemente distribuídas s c= P / Ac , onde Ac é a área da seção transversal de concreto.

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Figura 1.7.1 – Diversos esquemas de vigas de concreto de seção retangular protendidas.

s c

fctk

W

h

a) Viga de concreto simples

Q

P P

s t= s c

s c s c

+ =

2s c

0

2s c

2Q

P P

2s t= 2s c

2s c 0

+ =

2s c

0

b) Viga protendida axialmente

c) Viga protendida excentricamente. Força aplicada no extremo do núcleo central de inércia

2s c

2Q

P P

2s t= 2s c

2s c 0

+ =

2s c

0

Meio do vão

d) Viga protendida excentricamente Cabo passando no C.G. das seções extremas e no extremo do n.c.i. da seção central

s c

s c

+ 0 =

s c

s c

Extremidade

2s c

Q

P P

s t= s c

s c 0

+ =

2s c

0

Meio do vão

e) Viga protendida excentricamente Cabo passando no C.G. das seções extremas e no extremo do n.c.i. da seção central

s c

s c

+ 0 =

s c

s c

Extremidade

2/3h

b/3

b/3

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A força longitudinal pode ter seu valor ajustado para que, quando a carga transversal Q estiver aplicada, da superposição das tensões devidas à P e à Q resultem nulas as tensões na face inferior da viga, como mostrado. Portanto, tensões de tração no concreto podem ser eliminadas ou reduzidas a valores especificados.

Mas pode ser mais conveniente aplicar a força de protensão próxima à face inferior da viga, para compensar mais eficientemente as tensões introduzidas pelo carregamento transversal. Uma especificação de projeto possível, por exemplo, pode ser a de se introduzir a máxima compressão na face inferior da peça sem causar tração na face superior, quando apenas a força de protensão atuar. Isso ocorrerá quando a força de protensão estiver aplicada no extremo do núcleo central de inércia da seção transversal.

No caso particular de seção retangular o núcleo central de inércia divide a altura da seção em três partes iguais. Neste caso a excentricidade da força de protensão, em relação ao centro de gravidade da seção, seria ep = G.n = h/6 . A força P , com o mesmo valor de antes, mas com esta excentricidade, produzirá uma compressão longitudinal com distribuição variando de zero na face superior até um valor máximo de

2.s c = P Ac

+ P.ep

Ic .yin (1.3)

na face inferior, onde s c é a tensão no concreto no centro de gravidade da seção, yin é a ordenada da face inferior da peça e Ic é o momento de inércia da seção transversal. Isso é mostrado na Fig. 1.7.1c. A tensão na face inferior terá exatamente o dobro do valor produzido pela protensão axial.

Conseqüentemente, a carga transversal poderá agora ser duas vezes maior que antes, ou 2Q, e ainda não causará nenhuma tensão de tração. De fato, a distribuição final de tensões resultante da superposição do carregamento e da força de protensão da Fig. 1.7.1c é idêntica àquela da Fig. 1.7.1b, embora a carga seja duas vezes maior e a força de protensão a mesma. A vantagem da protensão excêntrica é obvia.

Uma significativa melhora sobre os arranjos das Figuras. 1.7.1b e 1.7.1c pode ser feita usando uma excentricidade variável da força de protensão em relação ao centro de gravidade da seção de concreto ao longo do comprimento da peça. A carga 2Q produz momentos fletores que variam linearmente ao longo do vão de zero nos apoios ao máximo no centro. Intuitivamente, é fácil perceber o melhor arranjo para a protensão poder produzir momentos equilibrantes, agindo em sentido contrários aos devidos à carga transversal, que variem da mesma forma. Isso é facilmente feito, porque o momento devido à protensão é diretamente proporcional à excentricidade do cabo. Assim, o cabo é considerado agora com excentricidades que variam linearmente de zero nos apoios a um máximo no meio do vão. Tal arranjo é mostrado na Fig. 1.7.1d. As tensões no meio do vão são as mesmas de antes, tanto quando a carga 2Q atua como quando não atua. Nos apoios, onde apenas a força de protensão produz tensões, com excentricidade nula, uma compressão uniforme s c é obtida, como é mostrado na figura.

Deve ficar claro que para cada arranjo de cargas transversais, há um melhor traçado para o cabo de protensão no sentido que se tenha um diagrama de momentos

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devido à protensão que corresponda àquele das cargas aplicadas. É interessante notar que, se os momentos devidos à protensão são produzidos exatamente iguais e de sentido contrário àqueles devidos ao carregamento ao longo de todo vão, o resultado é uma viga que é sujeita apenas a compressão uniforme em todo seu comprimento, para aquele carregamento particular. A viga ficaria livre não só de fissuras mas também ( negligenciando as influências da retração do concreto e da fluência) de deflexões tanto para cima como para baixo quando aquele carregamento estiver atuando. Uma tal situação seria obtida para uma carga de 1/2x(2Q) = Q , como na Fig. 1.7.1e, por exemplo. Esta condição é referida como “estágio de carga balanceada”.

Embora esta breve discussão tenha sido apresentada com o objetivo da eliminação das tensões de tração devidas à flexão e do controle da fissuração e das deflexões em vigas de concreto, deve ser reconhecido que a protensão pode ser usada efetivamente por muitas outras razões, tal como para reduzir ou eliminar tensões de tração diagonais nas vigas, tensões de tração devidas a carregamentos ou retração em pavimentos, ou trações devidas a cargas excêntricas em pilares. Os princípios fundamentais são largamente aplicados e fornece aos engenheiros projetistas um poderoso meio para melhorar o comportamento de estruturas de muitos tipos. 1.8 – CARREGAMENTOS EQUIVALENTES

O efeito da mudança de direção do cabo na vertical, é produzir uma força transversal vertical sobre a peça de concreto. Aquela força, juntamente com a força de compressão agindo nos extremos da peça através das ancoragens, podem ser consideradas como um sistema de forças externas no estudo dos efeitos da protensão.

Na Fig. 1.8.1a, por exemplo, um cabo que aplica a força P no centro de gravidade da seção de concreto nos extremos de uma viga e que tem uma declividade uniforme com ângulo ? entre os extremos e o meio do vão introduz a força transversal 2.P.sen? no ponto de mudança de direção do cabo no meio do vão. Nas ancoragens, a componente vertical da força de protensão é P.sen? e a componente horizontal é P.cos?. O valor da componente horizontal é muito próximo do valor da força P para os ângulos usualmente pequenos de inclinação dos cabos. O diagrama de momentos para a viga da Fig. 1.8.1a tem a mesma forma do diagrama de uma viga bi-apoiada com uma carga no meio do vão.

A viga da Fig. 1.8.1b, com um cabo curvo, está sujeita à um carregamento transversal uniforme proveniente da tendência de retificação do traçado do cabo, assim como pelas forças P em cada extremidade. A exata distribuição da carga depende do alinhamento do cabo. Um cabo com traçado parabólico do segundo grau, por exemplo, produzirá uma carga transversal uniforme. Nesse caso, o diagrama de momentos terá uma forma parabólica, como para uma viga bi-apoiada carregada uniformemente.

Se um cabo reto é usado com excentricidade ep constante, como na Fig. 1.8.1c, não haverão forças transversais no concreto. Mas a peça está sujeita à um momento P.ep em cada extremidade, assim como por uma força axial P , e resultará um diagrama de momentos constante.

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Os momentos nas extremidade devem ser também computados na consideração da viga da Fig. 1.8.1d, na qual um cabo parabólico é usado sem que passe pelo centro de gravidade da seção de concreto nas extremidades do vão. Nesse caso, uma carga transversal uniformemente distribuída e forças aplicadas nas ancoragem são produzidas, como na Fig. 1.8.1b. Mas, além disso, os momentos de extremidades M = P.ep.cos? devem ser considerados.

Figura 1.8.1 – Carregamentos equivalentes e momentos fletores causados por cabos de protensão.

O conceito de carga transversal equivalente é usual, mas deve ser aplicado com cuidado. Em todos os casos considerados até o momento, a linha de eixo da peça de

ep

p=P/r r=raio de curvatura do cabo

P P ?

P.cos? P.cos?

P.sen? P.sen?

2.P.sen?

P P

? P.cos? P.cos?

P.sen? P.sen?

P P P P

P.ep P.ep

P P

? P.cos? P.cos?

P.sen? P.sen?

p=P/r r=raio de curvatura do

ep

P.ep P.ep

P P

Não há momentos

P P

Não há momentos

P P

P P

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Esquema da viga Carregamento equivalente Diagrama de momentos

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concreto era reta, conseqüentemente o esforço no concreto era horizontal e qualquer mudança de direção no cabo produzia uma força não balanceada atuando sobre o concreto naquela seção. Se o eixo da peça é curvo, como na Fig. 1.8.1e e 1.8.1f, e se os eixos do cabo e do concreto coincidem em todas as seções, então não resulta nenhum momento fletor.

Por outro lado, se o cabo é reto mas o eixo da peça de concreto tem outro alinhamento, como na Fig. 1.8.1g, então existem excentricidades variáveis ao longo do comprimento da peça e momentos fletores são criados como é mostrado na figura.

Deve ficar claro que para qualquer arranjo de cargas aplicadas, um traçado de cabo pode ser escolhido tal que as cargas equivalentes do cabo, atuando sobre o concreto da viga, sejam exatamente iguais e opostas às cargas externas aplicadas. O resultado seria um estado de compressão pura na viga, como comentado em outros termos no final da seção anterior. Uma vantagem do conceito de carga equivalente é que leva o projetista a selecionar qual, provavelmente, é o melhor traçado do cabo para um dado carregamento.

É bom enfatizar que todos os sistemas mostrados na Fig. 1.8.1 são auto-equilibrados e que a aplicação da protensão não produz nenhuma reação externa. Isso é sempre verdade para vigas isostáticas, mas geralmente não é verdade para vigas hiperestáticas, como será discutido em outro capítulo. 1.9 – VERIFICAÇÕES A SEREM FEITAS

a) ESTADO LIMITE ÚLTIMO (E.L.U.)

Segurança das estruturas quanto á ruína (flexão e cisalhamento)

b) ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO OU DE UTILIZAÇÃO (E.L.S.)

b.1) Estado limite de descompressão (Estádio I.a); b.2) Estado limite de compressão excessiva (Estádio I.a); b.3) Estado limite de formação de fissuras (Estádio I.b); b.4) Estado limite de abertura de fissuras (Estádio II); b.5) Estado limite de deformação excessiva (Estádio II para vigas e Estádio I para

lajes)

c) REGIÕES DE ANCORAGENS

c.1) Tensões de tração transversal, chamadas "tensões de fendilhamento"; c.2) Regiões de espalhamento de tensões.

d) CABOS NÃO LINEARES

Componentes transversais das forças de protensão.

e) QUANTO À ÉPOCA DE FUNCIONAMENTO DA ESTRUTURA

e.1) Tempo inicial (to) - Época da realização da protensão, quando se tem a máxima força de protensão, pois ainda não ocorreram as perdas progressivas, e o mínimo carregamento. É preciso verificar se a protensão não é excessiva a ponto de causar problemas para a estrutura.

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e.2) Tempo final (t∞) - Depois de ocorridas todas as perdas progressivas, quando se tem a mínima força de protensão e todo o carregamento aplicado sobre a estrutura. É verificado se a protensão a ser aplicada é satisfatória. 1.10 – EMPRESAS DE PROTENSÃO

São quatro as empresas que prestam serviços de protensão instaladas no Brasil:

a) MAC – Sistema Brasileiro de protensão b) PROTENDE - Detentora dos sistemas TENSACCIAI c) RUDLOFF Industrial Ltda. d) STUP Sociedade Técnica para Utilização da Protensão S.A. (Processos

FREYSSINET)

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II.- INDICAÇÕES CONSTRUTIVAS 2.1 - PEÇAS COM CABOS INTERNOS PRÉ-TRACIONADOS 2.1.1 – Seções transversais de peças com armadura pré-tracionadas:

As peças com armaduras pré-tracionadas são geralmente confeccionadas em fábricas, em pistas de protensão, de modo que seu comprimento fica, em geral, limitado por conveniências de manejo e transporte. Normalmente se tem condições de produzir várias peças numa mesma pista de protensão. Numa pista, por exemplo, com 100 m de comprimento, pode-se produzir de uma só vez três peças com 30 m. Há também a tendência de padronização das seções das peças, a fim de permitir o reuso de formas metálicas.

A Fig. 2.1.1 mostra os principais tipos de seções transversais de peças com armaduras pré-tracionadas.

Figura 2.1.1 – Exemplos de seções de peças pré-tracionadas: a) Estacas ou postes de seção quadrada; b) Estacas ou postes de seção circular (este tipo pode ser fabricado por centrifugação do concreto); c) Viga T simples, usada em construção civil; d) Viga duplo T, usada em construção civil; e) Laje alveolar; f) Viga I para pontes; g) Viga celular para pontes.

2.1.2 – Distribuição das armaduras pré-tracionadas ao longo da peça

As peças com armaduras pré-tracionadas têm essas armaduras constituídas por cabos retos ou poligonais. Os cabos poligonais são usados para diminuir a excentricidade da força de protensão nas seções próximas aos apoios, uma vez que os momentos fletores devidos ao carregamento variam de um máximo no meio do vão até zero nos apoios. A Fig. 2.1.2 mostra alguns exemplos.

a) b) c) d)

f) g) e)

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Figura 2.1.2 – Exemplos de distribuição de armaduras pré-tracionadas ao longo do comprimento de uma viga.

A Fig. 2.1.3 mostra pormenores construtivos dos pontos de mudança de direção de armaduras pré-tracionadas poligonais.

Para se utilizar cabos de protensão retilíneos, que são mais facilmente executados, muitas vezes é necessário fazer variar a intensidade da força de protensão já que a excentricidade é constante. Isso de consegue isolando alguns fios ou cordoalhas nas suas extremidades com auxílio de tubos plásticos (mangueiras ou conduites). A Fig. 2.1.4 ilustra essa situação.

Para reduzir ou eliminar a excentricidade da força de protensão junto às extremidades associasse o isolamento de alguns fios ou cordoalhas com a colocação de armadura pré-tracionada na região comprimida da viga.

P P

a) Cabos retos - excentricidade constante

b) Cabos poligonais - excentricidade variável

A B

A B Seção A Seção B

ec ed

D

D

C

C

c) Cabos retos - excentricidade variável

ed > ec

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Figura 2.1.3 – Dispositivos de mudança de direção de armaduras pré-tracionadas poligonais: a) Dispositivos de sustentação da armadura poligonal, nas extremidades da viga: 1 – armadura retilínea; 2 – armadura poligonal; 3 – chapa metálica perfurada, servindo de apoio para a mudança de direção da armadura, e de forma da extremidade; 4 – pontos de corte da armadura, após a cura do concreto. b) Dispositivo de desvio da armadura poligonal, no vão : 5 – base do leito de fabricação, com pontos de ancoragem dos dispositivos de desvio; 6 – dispositivo de desvio das armaduras.

Figura 2.1.4 – Variação da força de protensão ao longo do comprimento da viga através do isolamento de alguns fios ou cordoalhas com o uso de tubos plásticos.

2.1.1 - Distribuição das armaduras na seção transversal

As armaduras de protensão são constituídas por fios ou cordoalhas, dependendo da força de protensão que se necessita.

Essas armaduras devem estar suficientemente afastadas entre si, de modo a ficar garantido o seu total envolvimento pelo concreto, para que se tenha perfeita aderência entre aço e concreto. Os afastamentos na direção horizontal visam permitir a livre passagem do concreto, e quando for empregado vibrador de agulha, a sua introdução e operação. Os valores mínimos dos espaçamentos para o caso de pré-tensão estão indicados na NBR-6118/2003 – “Projeto de estruturas de concreto - Procedimento ”, item 18.6.2.3 – ”Tabela 18.2 - Espaçamentos mínimos – Caso de pré-tração”.

Tubos plásticos isolando parte do comprimento dos cabos

Cabos na região comprimida

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Espaço livre Disposição dos fios ou cordoalhas ah

(horizontal) av

(vertical)

≥ 2φ ≥ 2φ

≥ 1,2.dmáx ≥ 1,2.dmáx

≥ 2 cm ≥ 2 cm

≥ 3φ ≥ 3φ

≥ 1,2.dmáx ≥ 1,2.dmáx

≥ 2,5 cm ≥ 2 cm

≥ 3φ ≥ 3φ

ah ≥ 1,2.dmáx ≥ 1,2.dmáx

ah ≥ 3 cm ≥ 3 cm

onde: φ é o diâmetro do fio ou cordoalha dmáx é a dimensão máxima característica do agregado graúdo NBR 6118/2003 Tabela 6.1 – Classes de agressividade ambiental

Classe de agressividade

ambiental

Agressividade Classificação geral do tipo de ambiente

para efeito de projeto

Risco de deterioração da

estrutura

Rural I Fraca Submersa

Insignificante

II Moderada Urbana1)2) Pequeno Marinha1) III Forte

Industrial1)2) Grande

Industrial1)3) IV Muito Forte Respingos de maré

Elevado

1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura).

2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente.

3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias qímicas.

av

ah

av

ah

av

av

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NBR 6118/2003 Tabela 7.1 – Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto

Classe de agressividade (tabela 6.1) Concreto Tipo I II III IV

CA ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45 Relação Água/Cimento

em massa CP ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,50 ≤ 0,45

CA ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40 Classe de concreto (ABNT NBR 8953)

CP ≥ C25 ≥ C30 ≥ C35 ≥ C40

Notas: 1) O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir com os

requisitos estabelecidos na ABNT NBR 12655 2) CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado 3) CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto protendido

NBR 6118/2003

Tabela 7.2 – Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para ?c = 10 mm

Classe de agressividade ambiental (tabela 6.1)

I II III IV Tipo de estrutura Componente ou elemento

Cobrimento nominal (mm)

Laje2) 20 25 35 45 Concreto armado

Viga / Pilar 25 30 40 50

Concreto protendido1) Todos 30 35 45 55

1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, sempre superior ao especificado para o elemento de concreto armado, devido aos riscos de corrosão fragilizante sob tensão.

2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidadas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal = 15 mm.

3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de resrvatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outra obras em ambientes química e intensamente agressivos, a armadura deve ter cobrimento nominal = 45 mm

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Item 7.4.7.5 Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra deve sempre ser: a) cnom = φbarra

b) cnom = φ feixe = φn = φ n

c) cnom = 0,5. φbainha Item 7.4.7.7 No caso de elementos estruturais pré-fabricados, os valores relativos ao

cobrimento da armadur (tabela 7.2) devem seguir o disposto na ABNT NBR 9062 (última edição em 2001)

O cobrimento mínimo das armaduras pré-tracionadas também estão indicados na NBR-9062. Sempre c > 2 φ

Tabela – Cobrimentos das armaduras de pré-tensão

Localização

Tipos de elementos pré-fabricados

No interior de edifícios

Ao ar livre

Lajes, mesas das vigas T, placas de vedação não estruturais e elementos construtivos sujeitos a cargas até 3 kN/m2

Vigas, pilares, arcos, nervuras de vigas T e placas de vedação estruturais

2.2 - PEÇAS COM ARMADURA INTERNA PÓS-TRACIONADAS

As questões que devem ser abordadas no detalhamento de armaduras pós-tracionadas são:

- Especificação dos cabos de protensão - Distribuição dos cabos na seção transversal - Posições das ancoragens - Traçados dos cabos Especificação dos cabos:

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Menor número de cabos facilita a concretagem e reduz o custo da mão de obra.

Para P > 2000 kN (200 tf) → 12 a 31 cordoalhas com φ12,7 mm

Para P < 1000 kN (100 tf) → cabos com 12 fios de 5 mm ou 8 mm ou cabos com 2 a 6 cordoalhas de 12,7 mm

Distribuição dos cabos na seção transversal:

Os espaçamentos mínimos entre as bainhas estão indicados na Tabela – 2.2.1 abaixo e são recomendados pela NBR-6118/2003, item 18.6.2.3

Os espaçamentos máximos nas lajes, não deve superar o dobro da distância das ancoragens até a seção em que deverão estar regularizadas as tensões de protensão. O ACI (norma norte americana) recomenda um espaçamento máximo de 8 vezes a espessura da laje mas não maior que 150 cm.

Os cobrimentos mínimos das bainhas estão indicados na Tabela – 7.2 da NBR 6118/2003 mostrada acima

Tabela 2.2.1 – Espaçamentos mínimos entre bainhas de armadura pós-tracionadas

Espaço livre Disposição das bainhas

ah (horizontal)

av (vertical)

≥ φext

≥ 4 cm

≥ φext

≥ 5 cm

≥ 1,2. φext

≥ 4 cm

≥ 1,5. φext

≥ 5 cm

onde: φext é o diâmetro externo da bainha

ah ah

av

ah

av

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Figura 2.1.5 – Colocação de chaminés de concretagem destinadas à penetração de vibrador de imersão até o fundo da forma (φ = diâmetro de uma bainha).

Posições das ancoragens e traçados dos cabos pós-tracionados: As figuras abaixo, retiradas da coleção “CONCRETO PROTENDIDO – Walter Pfeil – Livros Técnicos e científicos Editora Ltda. – 1988”, ilustram as disposições mais comuns para as ancoragens, bem como alguns traçados utilizados para as armadura pós-tracionadas.

< 8φ < 4φ

7 cm a 10 cm

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CAPÍTULO III - MATERIAIS EMPREGADOS NO CONCRETO

PROTENDIDO Sumário: 3.1 – CONCRETO, 1

3.1.1 - Resistência à compressão, 1 3.1.2 - Resistência à tração, 3 3.1.3 - Módulo de deformação longitudinal, 5 3.1.4 - Peso específico, 5 3.1.5 - Deformações do concreto, 5 3.1.6 - Diagrama tensão-deformação idealizado, 5 3.1.7 - Retração do concreto, 5 3.1.8 - Deformação lenta do concreto, 7 3.1.9 - Tensões permitidas no concreto, 8

3.2 - AÇOS PARA CONCRETO ARMADO, 8 3.3 - AÇOS DE PROTENSÃO, 9

3.3.1 – Características que devem apresentar, 9 3.3.2 – Classificação dos aços de protensão, 10 3.3.3 – Diagramas tensão-deformação dos aços de protensão, 12 3.3.4 – Tensões admissíveis na armadura de protensão, 14 3.3.5 – Relaxação, 15

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III.- MATERIAIS EMPREGADOS NO CONCRETO PROTENDIDO 3.1 - CONCRETO 3.1.1 – Resistência à compressão

Na prática dos projetos e das construções escolhe-se a resistência característica (fck) do concreto, com base principalmente no porte da obra, antes mesmo de se iniciar o projeto. Normalmente esta é uma escolha do projetista.

Para obras em concreto armado convencional, tem sido usual essa resistência ser arbitrada entre 20 MPa e 30 MPa. Para obras em concreto protendido a norma da ABNT "NBR - 6118/2003" recomenda o uso de resistências acima de 25 MPa.

Conhecida a resistência característica do concreto obtem-se a resistência média (fcm) pela expressão fornecida pela "Estatística":

fcm = fck + 1,65 sd (3.1)

onde: 1,65 é um coeficiente que corresponde a um quantil de 5%. Isto é, apenas 5% dos resultados dos ensaios de corpos de prova devem resultar menores que fck

sd = desvio padrão das medições dos corpos de prova.

Não se dispondo de resultados de ensaios de corpos de prova que permitam a determinação do desvio padrão, a NBR - 6118/78 - "Cálculo e execução de obras de concreto armado", recomendava que se considera-se, em função do controle tecnológico da confecção do concreto

sd = 4,0 MPa - para controle rigoroso

sd = 5,5 MPa - para controle bom

sd = 7,0 MPa - para controle regular

No caso de se comprar o concreto em "concreteiras", pode-se considerar o desvio padrão obtido dos ensaios realizados em outros fornecimentos de concretos similares. As firmas concreteiras sempre têm esses resultados.

A dosagem do concreto é especificada em função da resistência média assim obtida.

A especificação do concreto é feita por:

C15, C20, C25, C30, etc.

onde: C = concreto

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valor numérico = resistência característica em MPa, aos 28 dias.

É importante, muitas vezes, conhecer a resistência do concreto para uma idade menor que 28 dias. Normalmente se quer realizar a protensão e retirar o escoramento com 3 ou 7 dias da concretagem. A NBR-6118/2003 no item 12.3.3, fornece a variação da resistência do concreto em função da Idade efetiva do concreto em dias, dada pela fórmula:

fckj = ß1.fck (3.2) com

ß1 = exp {s [1 - (28 / t)1/2]} (3.3) onde:

t = idade efetiva do concreto, em dias s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II s = 0,20 para concreto de cimento CPV - ARI

fc,3 = fc,7 = fc,14 = fc,21 = fc,28 = fc,360 = fc,720 =

Cimento Portland comum (CP I)

0,598 fck 0,779 fck 0,902 fck 0,962 fck 1,000 fck 1,198 fck 1,222 fck

Cimento de alta resistência

inicial (ARI)

0,663 fck 0,819 fck 0,920 fck 0,970 fck 1,000 fck 1,155 fck 1,174 fck

Figura 3.1.1 – Variação da resistência do concreto com a idade.

3.1.2 – Resistência à tração

Através de ensaios de laboratório a resistência característica à tração é obtida de maneira semelhante à resistência à compressão, por: fctk = fctm - 1,65 sd (3.4) São previstos em normas da ABNT três tipos de ensaios:

fcj / fck

Tempo (dias)

3 7 14 28 21

1,0

0,5

Cimento Portland comum

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a) Tração axial

fct = PuAc

Figura 3.1.2 – Corpo de prova de concreto para ensaio à tração simples. O ACI (norma americana) indica para resistência característica à tração um valor entre 3 fck e 5 fck em "psi", o que correspondem a 0,25 fck e 0,42 fck em "MPa". ( 1 psi = 0,00703 MPa). A segunda expressão fornece valores muito próximos dos obtidos com as expressões da NBR 6118/78 b) Tração por fendilhamento O ACI indica as expressões 6 fck a 8 fck em "psi", que

correspondem a 0,50 fck a 0,67 fck em "MPa"

Essa resistência é, em geral, um pouco maior que na tração axial

fct = 2.Pu

π.d.h = σtu

d = 15 cm h = 30 cm = altura do cilindro (c.p.)

Figura 3.1.3 – Corpo de prova de concreto para ensaio à tração por fendilhamento.

c) Tração na flexão Considerada na protensão de pavimentos rodoviários, aéreo-portuários e pisos industriais.

σt

P

d

P P 15x15

30 cm

60 cm

9x15

P P

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fct = Mu

W =

Pu.Lb.d2

Figura 3.1.4 – Corpo de prova de concreto para ensaio à tração na flexão.

O ACI indica as expressões 8 fck a 12 fck em "psi", que correspondem a

0,67 fck a 1,00 fck em "MPa"

Os valores na flexão resultam aproximadamente 2,4 vezes os valores na tração simples. O que se deve ao fato de ocorrer a tensão de tração máxima apenas na face inferior da viga. d) Recomendação da NBR-6118/2003

A resistência à tração indireta (fendilhamento) fct,sp e a resistência à tração na flexão fct,f devem ser obtidas em ensaios realizados segundo a ABNT NBR 7222 e a NBT 12142, respectivamente.

A resistência à tração direta (tração centrada) fct pode ser considerada igual a 0,9.fct,sp

ou 0,7.fct,f ou, na falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f , pode ser avaliado o seu valor médio ou característico por meio das equações seguintes:

fct = 0,9.fct,sp

fct = 0,9.fct,f

resistência média: fctm = 0,3.fck

2/3 em MPa (3.6a) resistência superior: fctk,su = 1,3. fctm (3.6b) resistência inferior: fctk,in = 0,7. fctm (3.6c) Sendo fckj > 7 MPa, estas expressões podem também ser usadas para idades diferentes de 28 dias

15 cm

15 cm

P / 2

5 5 20 20 20

60 cm

P / 2

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Tabela 3.1.3 - Valores comparativos de fctk para tração simples

fck

0,8 fck (ACI)

1,33 fck (ACI)

NBR-6118/78

Revisão NBR – 6118/2003

15 MPa 20 MPa 25 MPa 30 MPa

0,98 MPa 1,13 MPa 1,26 MPa 1,38 MPa

1,63 MPa 1,88 MPa 2,10 MPa 2,30 Mpa

1,5 MPa 1,9 MPa 2,2 MPa 2,5 MPa

1,28 MPa 1,55 MPa 1,80 MPa 2,03 MPa

3.1.3 – Módulo de elasticidade longitudinaL (Ec) Segundo a NBR-6118/2003 o módulo de elasticidade tangente na origem é dado por: Ect = 5600.fck

1/2 (MPa) (3.7) e o módulo de elasticidade secante por: Ecs = 0,85.Ect (3.8)

Na tração pode-se utilizar o mesmo módulo de elasticidade que à compressão.

3.1.4 – Peso específico

Concreto armado: γc = 25 kN/m3 Concreto simples: γc = 24 kN/m3

3.1.5 – Deformações do concreto

a) Deformações elásticas - Pequenos carregamentos ( σc < 0,4 fck ) e de curta duração - Variação de temperatura b) Deformações plásticas - Cargas elevadas e de curta duração c) Deformações progressivas

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- Retração (shrinkage) - Deformação lenta (creep) 3.1.6 – Diagrama “Tensão X Deformação” idealizado O diagrama “Tensão X Deformação” de cálculo do concreto, é o mostrado na Fig. 3.1.5, e é constituído de uma parábola do segundo grau e por um patamar de escoamento convencional. A ruptura do concreto é caracterizada em projeto pela deformação específica εcu = 0,35%.

Figura 3.1.5 – Diagrama Tensão X Deformação de cálculo do concreto.

3.1.7 – Retração do concreto (ε cs)

A retração do concreto é a redução de volume que a peça sofre devido à evaporação da água de amassamento durante a "cura". Tem caráter irreversível, isto é, os encurtamentos são plásticos.

Variáveis que influem no valor da retração:

- Umidade relativa do ar ( UR ); - Consistência do concreto medida pelo abatimento; - Espessura fictícia do elemento estrutural hfic = 2.Ac / uc - Tempo "t" contado da data da protensão.

A NBR 6118/2003 fornece, no seu item 8.2.11 uma tabela com valores particulares da retração, para estimativas preliminares ou para obras correntes realizadas com concreto plástico (abatimentos de 5 cm a 9 cm). Esses valores estão

σc

0,85 fcd

0,2% 0,35% εc

σc = 0,85 fcd [ 1 – (1 – ε c

0,2% )2]

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reproduzidos na Tab. 3.1.4 abaixo. A NBR 6118/2003 fornece valores um pouco diferentes.

Tabela 3.1.4 – Valores da fluência e da retração para estimativas preliminares ou para obras correntes realizadas com concreto plástico

Umidade relativa do ar

U =40%

U =55 %

U =75%

U =90%

Espessura Fictícia 2.Ac

u cm

20

60

20

60

20

60

20

60

to= 5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1

to= 30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6

Fluência ϕ (t∞,to)

to= 60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4

to= 5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09

to= 30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09

Retração εcs(t∞,to)

(%o) to= 60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09

Nota: to , em dias, é a idade do concreto na realização da protensão. 3.1.8 – Deformação lenta do concreto (εcc) A deformação total do concreto devida a um carregamento é: εct = εco + εcc = εco + ϕ∞ . εco (3.11) εcc = ϕ∞.εco (3.12) ϕ∞ = coeficiente de deformação lenta (fluência) εco = deformação imediata εct = (1 + ϕ∞).εco (3.13) A Tab. 3.1.4 fornece alguns valores indicados pela NBR 6118/2003 para o coeficiente de fluência do concreto 3.1.9 – Tensões permitidas no concreto 3.1.9.1 - No tempo inicial “to”

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O tempo “to” é considerado de menor risco econômico por não estar ainda a estrutura em uso. As ações consideradas são as devidas à protensão mais parte das cargas permanentes (Po + g1).

As tensões admissíveis são:

para a compressão: σcc,o = 0,70.fckj (3.14)

para a tração: σct,o =1,2.fctm (3.15) 3.1.9.2- No tempo de utilização da estrutura “t∞”

As ações consideradas são as devidas à protensão mais toda a carga permanente além das cargas acidentais (P∞ + g1 + g2 + q).

As tensões admissíveis são:

Para a compressão: σcc,∞ < fck γc∞

com γc∞ = 2,0 (3.16)

Para a tração: σct,∞ < fctk γt∞

com γt∞ = 1,5 (3.17)

3.2 - AÇOS PARA CONCRETO ARMADO Os aços comerciais brasileiros para concreto armado são os indicados na Tab. 3.2.1:

Tabela 3.2.1 – Valores característicos e de cálculo dos aços comerciais brasileiros. Categoria fyk (MPa) fyd (MPa) εyd (%) ε0,7 (%)

CA-25 250 217 0,103

CA-50 500 435 0,207

CA-50B (Estinto) 500 435 0,407 0,145

CA-60B 600 522 0,448 0,174

Para todos os aços para concreto armado considera-se o módulo de elasticidade igual a: Es = 210 GPa = 21.000 kN/cm2 A Fig. 3.2.1 apresenta os diagramas “tensão-deformação” dos aços comerciais brasileiros de Classe A e Classe B.

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Classe A

εyd = fyd

Es

para εs < εyd → σs = ε s.Es

para εs > εyd → σs = fyd

Classe B

εyd = fydEs

+ 2‰, ε0,7 = 0,7.fyd

Es

para εs < ε0,7 → σs = ε s.Es para ε0,7 < εs < εyd → σs = βs . fyd para εs > εyd → σs = fyd sendo para o trecho curvo do diagrama

CA-50B: βs = 0,6534 + 45. εs - 0,0630

CA-60B: βs = 0,6441 + 45.εs - 0,0751

Figura 3.2.1 - Diagramas "tensão-deformação" dos aços para concreto armado. 3.3 - AÇOS DE PROTENSÃO 3.3.1 – Características que devem apresentar a) Manter a elasticidade A idéia da protensão se fundamenta na tendência do aço estirado voltar ao comprimento inicial e com isso produzir uma força de compressão no concreto. Isso só se verifica graças à propriedade da elasticidade do aço.

O módulo de elasticidade para todos os aços de protensão, segundo o item 8.4.4 da NBR 6118/2003 é

Ep= 200 GPa

σs

fyd

εyd 1,0% εc

σs

0,7 fyd

fyd

εyd 1,0% εs ε0,7

εs = σs

Es +

145.(

σs

fyd - 0,7)2

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b) Elevada resistência

Devido às deformações de retração e deformação lenta do concreto ocorre uma perda de deformação na armadura e uma conseqüente perda de protensão. Considerando que devido à retração e à deformação lenta do concreto se tem, aproximadamente:

∆ε= 0,5 a 1,5 mm/m (ar seco - edificações) ∆ε = 0,3 a 1,0 mm/m (ar úmido - pontes) resulta como perda de protensão

∆σ = ∆ε * Ep = 0,3

1000 * 19500 = 5,85 kN/cm2

a ∆σ = ∆ε * Ep = 1,5

1000 * 19500 = 29,25 kN/cm2

para aço CA-50 - fyk = 50 kN/cm2 → ∆σ = 11,7% a 58,5% para aço CP-190 - fpyk = 170 kN/cm2 → ∆σ = 3,7% a 18,5% Deve ser notado que para o aço CA-50 os percentuais de perdas de protensão são bem maiores do que para o aço de alta resistência CP-190. Esta é a razão de não se poder utilizar os aços comuns (CA-25, CA-50 e CA-60) para protensão. c) Pequena relaxação Relaxação é a perda de tensão que o aço apresenta ao longo do tempo quando submetido a uma deformação constante. Representa portanto uma perda de tensão e conseqüentemente uma perda de força de protensão. 3.3.2 – Classificação dos aços de protensão a) Quanto ao processo de fabricação:

- Relaxação Normal (RN)

Os fios são obtidos por trefilação a frio (temperatura ambiente) o que causa o encruamento do aço. Esse processo introduz nos fios tensões internas. Para aliviar o aço dessas tensões os fios são submetidos a um tratamento termo-mecãnico.

- Baixa Relaxação (RB)

O alívio das tensões provenientes do processo de trefilação é feito elevando-se a temperatura do aço a 400°C e realizando um estiramento εpl = 0,01 = 10‰.

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b) Quanto à apresentação:

- Barras: laminadas a quente Φ = 12,5 mm a 32 mm - Fios: Obtidos por trefilação (lisos e dentados)

Φ = 4 mm a 8 mm

- Cordoalhas de 2, 3 ou 7 fios

Figura 3.3.1 – Tipos mais comuns de aço de protensão: a) Fios trefilados; b) Cordoalhas de 7 fios; c) Barras com rosca na extremidade (torneada ou laminada); d) Barra Diwidag laminada com deformações que permitem colocação de porca de ancoragem em qualquer posição.

c) Quanto à resistência: Os aços de protensão são designados pelas letras CP (concreto protendido), seguidas da resistência característica à ruptura por tração (fptk), em kN/cm2. Os aços comerciais brasileiros são os indicados na Tab. – 3.3.1

Tabela 3.3.1 – Aços comerciais brasileiros para protensão CP – 105 CP – 125

para barras

CP – 150 CP – 160 CP – 170

para fios (RN ou RB)

CP – 180

para cordoalhas de 2 ou 3 fios (RN)

CP – 175 CP – 190

para cordoalhas de 7 fios (RN ou RB)

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3.3.3 – Diagrama tensão-deformação dos aços de protensão

Figura 3.3.2 – Diagramas tensão-deformação dos principais tipos de aços usados como armadura para concreto armado e protendido.

A Fig. 3.3.2 mostra os diagramas “σ x ε” para os diversos aços utilizados para armadura em concreto armado e concreto protendido. Esses diagramas são obtidos do ensaio à tração simples de corpos de prova.

Define-se como tensão de escoamento (fpyk) a tensão que corresponde a uma deformação plástica residual de 2‰. Essa tensão também pode, em termos práticos, ser considerada a que corresponde a uma deformação de 10‰, ou ainda em função da resistência característica à tração (fptk) como é indicado abaixo.

fp0,2k = fpyk ⇔ ep = 10‰ fpyk = 0,90 fptk para aço R.B. (3.18a)

fpyk = 0,85 fptk para aço R.N. (3.18b) Os valores característicos da resistência de escoamento convencional fpyk, da resistência à tração fptk e o alongamento após ruptura euk das cordoalhas devem satisfazer os valores mínimos estabelecidos na NBR 7483. Os valores de fpyk, fptk e do alongamento após ruptura euk dos fios devem atender ao que é especificado na NBR 7482.

ε (%)

50

1000

150

190

1 2 4 3 5 6 7 9 8 10 11 12

σ (kN/cm2)

CP 190

CP 175

CP 150

CP 110/125

CP 80/105

CA 60

CA 50

CA 25

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A NBR 6118/2003 permite o uso do diagrama simplificado mostrado na Fig. 3.3.4 para cálculo nos estados-limite de serviço e último.

Figura 3.3.4 – Diagrama tensão-deformação para aços de armadura ativa. 3.3.4 – Tensões admissíveis na armadura de protensão Os aços de protensão têm suas tensões iniciais de tração máximas admissíveis (σpo) limitadas nas normas, uma vez que tensões excessivamente altas produzem os seguintes inconvenientes:

a) risco de ruptura durante a protensão; b) maior perda por relaxação; c) maior sensibilidade à corrosão.

As tensões finais de protensão (σp∞) após as perdas retardadas, são também limitadas a valores admissíveis, pelos motivos das alíneas (b) e (c) indicados acima. A norma brasileira NBR-6118/2003 adota para tensões admissíveis os valores indicados na Tab. 3.3.2.

euk

fpyk

fpyd

fptk

fptd

ep Ep

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Tabela 3.3.2 – Tensões admissíveis para os aços de protensão

Relaxação Normal (RN)

Relaxação Baixa (RB)

Na pré-tensão

0,77 fptk

σpi < 0,90 fpyk

0,77 fptk σ pi < 0,85 fpyk

Na pós-tensão

0,74 fptk σ pi < 0,87 fpyk

0,74 fptk σpi < 0,82 fpyk

Nos aços CP 85 σ pi < 0,72 fptk Nos aços CP 105 σ pi < 0,88 fptk Na pré-tensão e na pós-tensão

0,74 fptk σ po < 0,87 fpyk

0,74 fptk σ po < 0,82 fpyk

Após as perdas progressivas: σ p8 < 0,65 fptk

Obs.: A NBR-6118/2003 não faz referência a este último limite

Notação:

σ pi = tensão aplicada ao aço de protensão antes da ancoragem do cabo;

σ po = tensão no aço de protensão após a ancoragem do cabo;

σ p8 = tensão no aço de protensão após as perdas progressivas.

3.3.5 – Relaxação

A relaxação de fios e cordoalhas, após 1000 h a 20 oC (ψ1000) e para tensões variando de 0,5.fptk a 0,8.fptk, obtida em ensaios descritos na NBR 7484, não deve ultrapassar os valores dados na NBR 7482 e na NBR 7483, respectivamente.

Para efeito de projeto, os valores de ψ1000 da Tab. 3.3.3 podem ser adotados (tabela 8.3 do item 8.4.8 da NBR 6118/2003).

Para o tempo t8 o valor da relaxação é considerado igual a duas vezes o valor obtido em ensaio com duração de 1000 h a 20°C

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ψ 8 = 2,5. ψ 1000h (3.19)

Tabela 3.3.3 – Valores de ψ1000 , em %

Cordoalhas Fios Barras

σpo = RN RB RN RB

0,5 fptk 0 0 0 0 0

0,6 fptk 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5

0,7 fptk 7,0 2,5 5,0 2,0 4,0

0,8 fptk 12,0 3,5 8,5 3,0 7,0

RN = Relaxação Normal

RB = Relaxação Baixa

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IV.- GRAUS DE PROTENSÃO 4.1 – ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO 4.1.1 – Evolução do comportamento de vigas fletidas para cargas crescentes Após a concretagem das peças de concreto protendido, enquanto ela ainda está escorada, a primeira solicitação a ser aplicado normalmente é a protensão. Para essa solicitação, em uma seção transversal qualquer, os diagramas de tensões normais são os mostrados na Fig. 1.3.2, nos quais, o surgimento ou não de tensões de tração, depende da resultante de protensão atuar dentro ou fora do núcleo central de inércia. Esse carregamento atua isoladamente apenas quando a força de protensão é centrada. Se o cabo de protensão tiver alguma excentricidade, seja com cabos retos, curvos ou poligonais, surgirão deformações de flexão, normalmente no sentido de arquear a peça para cima, levantando-a do escoramento e fazendo com que parte do peso próprio passe a atuar como carregamento. A carga que passa a atuar na peça devida à protensão é chamada “carga mobilizada pela protensão”.

A compressão causada exclusivamente pela protensão é chamada “pré-compressão”, já que é um estado de tensões despertado na peça antes mesmo que qualquer carga seja aplicada.

Figura 4.1.1 – Evolução do diagrama de tensões normais devidas à carga mobilizada pela protensão. 1- Diagrama devido exclusivamente à protensão. 2- Diagrama devido à ação conjunta da protensão e da carga mobilizada.

Com a atuação da carga mobilizada pela protensão ocorre um acréscimo de tensões de compressão no bordo superior da peça e um decréscimo no bordo inferior, dados respectivamente por

∆σc,su = - M

Wsu e ∆σc,in = +

M Win

(4.1)

e o diagrama de tensões passa então a ser o da Fig. 4.1.1.

2 1 P P

Carga ∆σc,s

σc,su

∆σc,in σc,in

a) Esquema longitudinal b) Diagrama de tensões

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Aumentando-se gradativamente o carregamento, em uma dada seção transversal, ocorrerão correspondentes acréscimos de tensões de compressão no bordo superior e decréscimos no bordo inferior. Para um determinado carregamento, as tensões no bordo inferior daquela seção, se anularão. Ao momento fletor que anula a pré-compressão dá-se o nome de “momento de descompressão (Mo)”.

Essa situação caracteriza o “Estado Limite de Descompressão”. Portanto, verificar o estado limite de descompressão é verificar se o momento solicitante na seção é menor ou no máximo igual ao momento de descompressão Mo. A Fig. 4.1.2 ilustra esse estado limite.

Figura 4.1.2 – Diagrama de tensões correspondente ao Estado Limite de Descompressão (Ms = Mo). 1- Diagrama devido exclusivamente à protensão. 2- Diagrama devido à ação conjunta da protensão e da carga mobilizada. 3- Diagrama devido à ação conjunta da protensão e do momento de descompressão.

As tensões devidas exclusivamente à protensão são dadas por

σsu,p = P Ac

+ P.ep

J .ysu (4.2a)

σin,p = P Ac

+ P.ep

J .yin (4.2b)

Quando atua, além da protensão, um momento fletor solicitante Ms

σsu = P Ac

+ P.ep

J .ysu +

Ms J

.ysu (4.3a)

σin = P Ac

+ P.ep

J .yin +

Ms J

.yin (4.3b)

Se o momento solicitante for o momento de descompressão Ms = Mo, então a

tensão no bordo inferior será nula, e a tensão no bordo superior não deverá ser superior à tensão admissível (ver item 3.1.9).

σsu = P Ac

+ P.ep

J .ysu +

Mo J

.ysu < σcc,adm (4.4a)

Ap

Μo

a) Esquema longitudinal, Diagrama de deformações

G

P

ε

2 1

σc,su

σc,in = o

b) Diagrama de tensões

3

σ

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σin = P Ac

+ P.ep

J .yin +

Mo J

.yin = 0 (4.4b)

Da equação (4.4b) resulta determinado o valor do momento de descompressão

Mo = -P.(ep + J

Ac.yin )

(4.5)

que uma vez calculado, permite que se verifique a tensão no bordo superior pela inequação (4.4a)

A tensão de tração no bordo inferior, devida ao momento solicitante, é

σin,Ms = Ms J

.yin (4.6)

e a tensão de compressão, no mesmo bordo inferior, devida à força de protensão é

σin,P = P Ac

+ P.ep

J .yin = P.(

1 Ac

+ ep J

.yin) (4.7)

uma tensão negativa, já que a força de protensão P é negativa.

Do que foi exposto acima, para um determinado estágio de carregamento, a força de protensão mínima necessária para atender ao estado limite de descompressão, é a força P que anula a tensão no bordo inferior devida ao momento fletor solicitante, e é calculada, portanto, por:

σin,P + σin,Ms = P.( 1 Ac

+ ep J

.yin) + Ms J

.yin = 0 (4.8)

Para momentos fletores maiores que o momento de descompressão serão despertadas tensões de tração no bordo inferior da seção, e não estará atendido , então , o estado limite de descompressão.

Enquanto as tensões de tração forem pequenas o concreto não estará fissurado. O concreto irá fissurar quando a deformação de alongamento imposta ao bordo inferior for ε ct = Kr.εctk ., onde ε ct é a deformação de tração imposta, ε ctk é a deformação de ruptura do concreto na tração simples e Kr um fator para levar em consideração que na flexão as deformações variam ao longo da altura da seção. Os valores usualmente utilizados para Kr variam entre 2,0 e 3,0. O momento fletor que leva o concreto a fissurar é chamado “momento de fissuração (Mr)”.

Enquanto o momento fletor solicitante for menor do que o momento de fissuração, estará atendido o “Estado Limite de Formação de Fissuras” (Ms < Mr).

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Se um momento fletor Ms, maior do que o momento de fissuração Mr, solicitar a seção, o concreto irá fissurar e o estado limite de formação de fissuras não estará atendido.

O estado limite de formação de fissuras será estudado com detalhes no capítulo VIII.

Considerando valores ainda maiores para o momento fletor solicitante, as fissuras que se abrirão no concreto deverão ter suas abertura w calculadas e comparadas com valores pré-estabelecidos como admissíveis wadm . Enquanto se verificar a condição w < wadm , estará atendido o “Estado Limite de Abertura de Fissuras”.

O estado limite de abertura de fissuras será estudado com detalhes no capítulo IX.

Os estados limites descritos acima são chamados estados limites de serviço porque são verificados para cargas de utilização.

4.2 – COMBINAÇÕES DE AÇÕES

4.2.1 – Nomenclatura

G1 = cargas concentradas permanentes atuantes na época da realização da protensão;

g1 = cargas distribuídas permanentes atuantes na época da realização da protensão;

G2 = outras cargas concentradas permanentes que passam a solicitar a peça após a instalação da protensão;

g2 = outras cargas distribuídas permanentes que passam a solicitar a peça após a instalação da protensão;

Q = cargas concentradas acidentais provenientes do uso da estrutura;

q = cargas distribuídas acidentais provenientes do uso da estrutura;

4.2.2 – Coeficientes de combinações de ações em serviço As cargas acidentais a serem considerada nas estruturas são pré-estabelecidas em normas ou regulamentos e têm seus valores definidos de tal forma que, em princípio, são superados apenas em 5% vezes. Esses valores são considerados valores que raramente acontecem em sua plenitude. Uma parcela pequena da carga acidental solicita a estrutura por longos períodos de tempo, como por exemplo o peso das mobílias em uma residência, o peso das estantes de livros em uma biblioteca, etc.. Essas parcelas são chamadas “quase permanentes”. Uma parcela maior acontece mais freqüentemente, tais como, o peso das mobílias mais o peso das pessoas que

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moram na residência ou o peso das estantes de livro em uma biblioteca mais o peso dos freqüentadores mais assíduos. Essas parcelas são chamadas “freqüentes”. São definidos coeficientes que determinam as parcelas quase permanentes e freqüentes das cargas acidentais. Ψ1 = Ψf r = coeficiente de carga freqüente

Ψ2 = Ψqp = coeficiente de carga quase permanente

A revisão da NBR-6118/2003 no seu item 11.7.1 estabelece alguns desses valores, que são reproduzidos na Tab. 4.2.1.

Tabela 4.2.1 – Valores dos coeficientes Ψfr e Ψqp (revisão NBR 6118/2001)

Ações

Ψfr

Ψqp

Cargas acidentais de edifícios

Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas 2). Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada concentração de pessoas 3)

Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens

0,4

0,6

0,7

0,3

0,4

0,6

Vento

Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral

0,3

0

Temperatura

Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local

0,5

0,3

1)Para os valores Ψf r relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23. 2) Edifícios residenciais. 3) Edifícios comerciais e de escritórios.

Para as pontes ou viadutos utilizam-se os valores:

pontes rodoviárias: para vigas Ψfr = 0,5 e Ψqp = 0,4 para transversinas: Ψfr = 0,7 e Ψqp = 0,4 para lajes do tabuleiro: Ψfr = 0,8 e Ψqp = 0,4

pontes ferroviárias: Ψfr = 1,0 e Ψqp = 0 vigas de rolamento de pontes rolantes: Ψfr = 1,0 e Ψqp = 0

4.2.3 – Combinações de ações em serviço

São definidas as seguintes combinações de ações em serviço, sendo n o número de cargas acidentais de naturezas distintas:

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a) Combinações raras: F = P + Fgk + Fq1k + ΣΨf r.Fqik com i=2 → n

b) Combinações freqüentes: F = P + Fgk + Ψf r. Fq1k + ΣΨqp.Fqik com i=2 → n

c) Combinações quase permanentes: F = P + Fgk + + ΣΨqp.Fqik com i=1 → n

4.3 – CARACTERIZAÇÃO DO GRAU DE PROTENSÃO

A NBR 6118/2003define três graus de protensão:

- Protensão completa (nível 3);

- Protensão limitada (nível 2) e

- Protensão parcial (nível 1).

Esses graus de protensão são definidos, fundamentalmente, com base nas ações freqüentes.

Ter-se-á protensão completa, quando ficar atendido o estado limite de descompressão; protensão limitada, quando ficar atendido o estado limite de formação de fissuras; e protensão parcial, quando ficar atendido o estado limite de abertura de fissuras.

A Tab. 4.3.1 especifica as verificações que devem ser atendidas, para as ações em serviço, para cada grau de protensão.

Tabela 4.3.1 – Caracterização dos graus de protensão segundo a NBR 6118/2003

Combinações de ações

Protensão COMPLETA

(nível 3)

Protensão LIMITADA

(nível 2)

Protensão PARCIAL (nível 1)

Pré-tração com C.A.A. III e IV

Pré-tração com C.A.A. II

Pós-tração com C.A.A. III e IV

Pré-tração com C.A.A. I

Pós-tração com C.A.A. I e II

Raras Estado limite de formação de fissuras (Estádio I.b)

Freqüentes Estado limite de descompressão (Estádio I.a)

Estado limite de formação de fissuras (Estádio I.b)

Estado limite de abertura de fissuras (Estádio II.b)

Quase permanentes

Estado limite de descompressão (Estádio I.a)

C.A.A. = Classe de Agressividade Ambiental

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V.- TRAÇADO GEOMÉTRICO DOS CABOS DE PROTENSÃO 5.1 - CABOS PRÉ-TRACIONADOS Nos casos de peças pré-tencionadas os cabos têm trajetórias retilíneas ou poligonais, sempre com geometria bastante simples de serem analisadas. Figura 5.1.1 - Viga pré-tencionada com cabos retilíneo e poligonal. 5.2 - CABOS PÓS-TRACIONADOS 5.2.1 – Introdução

Nas peças pós-tencionadas os cabos de protensão, no caso geral, são constituidos de trechos retilíneos e curvilínios. Para os trechos curvilíneos, é geralmente adotada nos projetos a parábola do 2o grau, que tem as vantagens de ser uma curva simples e de raio de curvatura constante.

Figura. 5.2.1 - Traçado dos cabos em vigas simplesmente apoiada: C1 - cabos retilíneo, ancorado nas faces extremas da viga; C2, C3 - cabos retilíneos-curvilíneos, ancorados nas faces extremas da viga; C4 - cabos retilíneo-curvilíneo, ancorado na face superior da viga; C5 - cabos curvilíneo, ancorado na face superior da viga.

C1

C3

C4 C5

C2

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Nas vigas simplesmente apoiadas (Fig. 5.2.1), os cabos acham-se concentrados na face inferior da viga nas seções próximas ao meio do vão, onde os momentos fletores são maiores. Nas seções mais próximas aos apoios, os cabos são alçados na alma da viga, contribuindo para a resistência ao cisalhamento. Os cabos alçados podem ser ancorados nas faces extremas ou na face superior da viga, conforme é ilustrado na Fig. 5.2.1. 5.2.2 - Viga simplesmente apoiada - Cabos curvilíneos Na figura 5.2.2 está representada uma viga simplesmente apoiada, com um cabo curvilíneo, adotando-se a parábola do 2o grau para seu traçado. A equação geral para a parábola do 2o grau é: y = a.x2 + b.x +c (5.1) onde as constante "a", "b" e "c" devem ser determinadas por condições de contorno conhecidas, ou seja: para x = 0 → y = 0 (origem da parábola) para x = L → y = 0 (término da parábola) para x = L/2 → y = f (flecha da parábola) (5.2)

Figura 5.2.2 - Viga simplesmente apoiada com um cabo curvilíneo.

Impondo-se essas condições na equação geral da parábola resultam:

a = - 4.f L2 ; b =

4.f L

e c = 0 (5.3)

donde a equação da parábola:

y = - 4.f L2 x2 +

4.f L

x ou y = 4.f L2 x ( L - x ) (5.4)

L/2

x

yx f

L/2

x

y

O

P P

αo αx

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As inclinações do cabo são dadas pela primeira derivada

dy dx

= tg αx = - 8.f L2 x +

4.f L

= 4.f L2 ( L - 2 x ) (5.5)

para ângulos pequenos pode-se considerar αx = tg αx Para x = 0 se terá o valor da tangente geométrica na origem:

tg αo = 4.f L

(5.6)

O raio de curvatura é dado pelo inverso da segunda derivada da equação da parábola, assim:

1 r

= d2y dx2

= - 8.f L2 (5.7)

onde o sinal negativo indica apenas que a concavidade da curva está voltada para o semi-eixo negativo das ordenadas e o raio deve ser tomado, obviamente, em módulo

r = L2 8.f

(5.8)

O comprimento do cabo pode ser considerado aproximadamente igua a:

Lc = L + 8 3

f2 L

(5.9)

5.2.3 - Viga simplesmente apoiada - Cabo retilíneo-curvilíneo

Na Fig. 5.2.3 está representada uma viga simplesmente apoiada, com um cabo em duas parábolas e um trecho retilíneo no centro. Nesses casos, para a obtenção da equação da parábola, é conveniente considerar um sistema local de eixos cartesianos com origem na vertical pelo ponto de tangente horizontal da curva (ponto C para a parábola da esquerda e ponto D para a parábola da direita).

Figura 5.2.3 - Viga simplesmente apoiada com cabo retinlíneo-curvilíneo. Trecho AB - parábola 1; trecho CD - retilíneo e trecho DB - parábola 2.

x1 x2

y1 Y2

C D

B A 1 2

O1 O2

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Para a dedução de uma equação genérica para esse caso, considere-se a parábola do 2o grau, simétrica em relação ao eixo das ordenadas, da Fig. 5.2.4.

Figura 5.2.4 - Parábola do 2o grau simétrica em relação ao eixo das ordenadas. M é o ponto de abcissa nula e N o ponto da parábola de abcissa ∆xMN.

A equação geral da parábola é: y = a.x2 + b.x +c ; e as condições de contorno conhecidas são:

para x = 0 → dy dx

= b = 0 ⇒ b = 0

para x = 0 → y = c = yM ⇒ c = yM

para x = ∆xMN → yN = a.∆xMN2 + yM ⇒ a = 2MN

MN

x

yy

− (5.10)

assim, a equação da parábola resulta:

y = 2MN

MN

x

yy

− x2 + yM ; (5.11)

A sua primeira derivada

tg αx = dy dx

= 2 2MN

MN

x

yy

− x ; (5.12)

o raio de curvatura:

r = 1

d2y/dx2 =

∆xMN2 2 (yN - yM)

(5.13)

e o comprimento da curva é dado por:

N

M yN

yM

∆xMN x

y

αM = 0

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Lc = ∆xMN + 2 3

(yN - yM)2

∆xMN (5.14)

5.2.4 – Vigas contínuas ou com balanços Nas vigas com extremos em balanço, ou nas vigas contínuas, os cabos de protensão passam da face inferior da viga à face superior. O traçado do cabo pode ser representado, de maneira conveniente, por parábolas concordantes, como indicado na Fig. 5.2.5. Nos pontos A, C e E está-se considerando tangentes horizontais. Os pontos B e D são os pontos de concordância entre as parábolas.

Sendo as tangentes à curva por A, C e E horizontais, demonstra-se que estão alinhados os pontos A.B.C e C.D.E. Sendo assim, tem-se:

∆yAB ∆xAB

= ∆yBC ∆xBC

= av ah

(5.15)

onde av e ah são sempre conhecidos (arbitrados).

Figura 5.2.5 - Cabo contínuo, com traçado constituido de trechos de parábolas do 2o grau concordantes. A, C e E são pontos em tangente horizontal. B e D são pontos de inflexão. Os pontos A.B.C e C.D.E são alinhados.

Para definir o traçado do cabo, normalmente é arbitrada (a critério do projetida) a distância ∆xBC do apoio ao ponto de inflexão e da Eq. 5.15 calculam-se as diferenças de ordenadas ∆yAB e ∆y

BC obtendo:

∆yAB = ∆xAB av ah

e ∆yBC = av - ∆yAB (5.16)

O ponto D é determinado de maneira semelhante.

As parábolas AB, BC, CD e DE são definidas com as expressões (5.11) à (5.14).

∆xAB ∆xBC ∆xCD ∆xDE

ah

∆yBC

∆yAB av

A

B C

D

E

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5.2.5 - Curvatura horizontal dos cabos Em muitos casos , os cabos de protensão apresentam curvaturas no plano horizontal, por razões construtivas. Cabos colocados nas abas laterais de seções em "I", por exemplo, sofrem deslocamentos horizontais, para poderem subir ou descer na alma da viga.

As curvaturas horizontais têm importância na consideração das perdas por atrito, que ocorrem durante a protensão. A variação angular do eixo de um cabo, em um certo trecho, pode ser tomada igual à soma das variações angulares nos planos vertical e horizontal. 5.2.6 - Deslocamento do eixo do cabo nos trechos curvos Nos projetos, o eixo do cabo se admite coincidente com o eixo da bainha. Nos trechos curvos, ao se fazer a protensão, os diversos fios ou cordoalhas do cabo se deslocam dentro da bainha, no sentido da curvatura (Fig. 5.2.6). Nessas condições, o centro de gravidade do cabo protendido apresenta uma excentricidade e i , em relação ao eixo da bainha. Os valores dessa excentricidade encontram-se na Tab. 4.1 do Vol. 2 do livro "Concreto Protendido" do Prof. Walter Pfeil, sendo da ordem de 15% do diâmetro da bainha.

Figura 5.2.6 - Excentricidade ei do eixo do cabo, em relação ao eixo da bainha, nos trechos curvos. φi é o diâmetro interno da bainha.

ei φi

ei ˜ 15%.φi

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VI.- PERDAS DE PROTENSÃO 6.1- INTRODUÇÃO A figura 6.1a ilustra o caso de uma viga simplesmente apoiada, pós-tencionada por dois cabos. A força de protensão em cada cabo junto ao macaco é Pmax (= Pi). A figura 6.1b ilustra uma viga pré-tensionada com cabos retos.

No caso da pós-tensão a força de protensão não se mantém constante ao longo do comprimento do cabo e tão pouco ao longo do tempo. No caso da pré-tensão, embora a força se mantenha aproximadamente constante ao longo do comprimento (a menos das extremidades dos cabos onde ocorre um estado de perturbação de tensões devido à ancoragem dos mesmos), ao longo do tempo ocorre uma perda de força. As reduções da força de protensão ao longo do comprimento e do tempo, são chamadas de perdas de protensão. Figura 6.1 - Viga simplesmente apoiada protendida.

Pmax

Pmax Pmax

Pmax

a) Viga pós-tensionada

Pmax

Pmax

Pmax

Pmax

b) Viga pré-tensionada

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As perdas consideradas nos projetos são:

a) Perdas imediatas

Aquelas que acontecem durante a realização da protensão. São elas: - por atrito - por acomodação das ancoragens - por deformação elástica do concreto

b) Perdas progressivas

Aquelas que ocorrem ao longo do tempo (mais de três anos). São também chamadas “perdas retardadas” ou “perdas lentas”. São elas:

- por retração do concreto - por deformação lenta (fluência) do concreto - por relaxação do aço 6.2 – PERDAS IMEDIATAS 6.2.1 – Perdas por atrito 6.2.1.1 – Introdução

As perdas por atrito se verificam:

a) nos macacos hidráulico de protensão; b) nas ancoragens; c) ao longo do cabo.

Devido às perdas nos macacos e nas ancoragens a força transferida ao cabo de protensão é ligeiramente inferior ao produto da pressão manométrica pela área da seção transversal do cilindro do macaco de protensão. Essas perdas são em geral determinadas experimentalmente, em conjunto, e compensadas por acréscimos aplicados às pressões manométricas,

Ensaios revelam que as perdas por atrito no conjunto (macaco + ancoragem) variam de 3% a 8%, Na prática costuma-se adotar um percentual de 5%.

Chamado Pmáx ao esforço efetivo aplicado na extremidade do cabo, junto à ancoragem, de Acil a área da seção transversal do pistão do macaco, a pressão manométrica a ser aplicada, compensando as perdas por atrito na ancoragem e no macaco, é dada pela expressão

p = 1,05 Pmax Acil

(6.1)

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7.2.1.2 – Perdas ao longo do cabo

As peças com pré-tensão com cabos retilíneos não apresentam perdas por atrito ao longo dos cabos, uma vez que eles são distendidos livres ao ar, sem estarem em contacto com bainhas. Dentre as peças pré-tensionadas, apenas as com cabos poligonais apresentam perdas por atrito, que acontecem nos apoios de desvio dos cabos. Nesses casos é necessário determinar experimentalmente o coeficiente de atrito entre o cabo e o apoio.

A Fig. 6.2 mostra um trecho de uma viga pós-tensionada, com um cabo curvilíneo, junta à uma ancoragem ativa. Pmax ou Pi é a força de protensão transferida do macaco de protensão à extremidade do cabo; α o o ângulo de inclinação do cabo junto à ancoragem; α x o ângulo em uma abcissa x e R o raio de curvatura. A deflexão do cabo entre a ancoragem e a abcissa x é α = |α o - α x |.

Sendo "O" o centro de curvatura de um trecho do cabo, o ângulo central que envolve esse trecho é α . Considerando um ângulo central infinitesimal dα , conforme a Fig. 6.2, o comprimento correspondente do cabo será ds.

No ato do estiramento do cabo para produzir a força de protensão, ele se desloca dentro da bainha no sentido da força. Nesse movimento, devido principalmente à curvatura do cabo, surgem forças de atrito entre o cabo e a bainha no sentido de se opor ao movimento. Também devido à curvatura do cabo e à força de tração no mesmo, ele produz uma pressão "p" sobre a bainha e desta sobre o concreto que reagem com uma pressão de igual valor. Sendo "t" a força de atrito por unidade de comprimento, ela é calculada por t = µ.p, onde µ representa o coeficiente de atrito entre cabo e bainha. Figura 6.2 - Trecho de um cabo curvilíneo pós-tensionado.

Pmáx

x

R

ds

αo

αx

α dα dα

O O

R

ds

p P

P + dP

t = µ.p

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No trecho de comprimento infinitesimal do cabo de protensão visto na Fig. 6.2b, sendo P a força de protensão à esquerda e t a força de atrito por unidade de comprimento, resulta na extremidade da direita uma força P + dP. Da condição de equilíbrio pode-se escrever: -P + t.ds + (P + dP) = 0 (6.2) A pressão que se desenvolve entre o cabo e o concreto devido à curvatura do cabo é dada por

p = P / R (6.3) a força de atrito então, pode ser calculada por

t = µ.p = µ. P R

(6.4)

O comprimento do arco envolvido pelo ângulo infinitesimal dα é dado por

ds = R.dα (6.5)

Levando as três últimas expressões na equação de equilíbrio (6.2), vem µ.P.dα + dP = 0 (6.6) que é uma equação diferencial cuja solução é P = C.e-µα , onde C é uma constante de integração que deve ser determinada por alguma solução particular, conhecida, da equação de equilíbrio e "e" é a base do logaritmo neperiano. Uma solução particular conhecida para a equação diferencial está na ancoragem do cabo onde α = 0 e P = Pmax , assim: Pmax = C.e0 ⇒ C = Pmax (6.7) portanto, a solução da equação diferencial acima resulta: P = Pmax.e-µα (6.8) Desenvolvendo a exponencial em série, tem-se:

e-µα = 1 - µα 1!

+ µ2α2

2! -

µ3α3 3!

+ ... (6.9)

e sendo que "µα " normalmente é menor que 0,15, pode-se desconsiderar os termos de ordem superior e sem cometer erro grave, escrever: e-µα = 1 - µα (6.10)

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A expressão (6.8) pode, então, ser escrita P = Pmax.(1 - µα) (6.11) donde a perda na força de protensão é ∆Pµ = Pmax - P = Pmax.µα (6.12) Entretanto, além da deflexão α, ocorrem ondulações do cabo tanto no plano vertical quanto no plano horizontal, devidas à falta de linearidade da bainha, flechas entre pontos de apoio, etc.. Na prática não se consegue um traçado perfeitamente alinhado para os cabos. As deflexões do cabo devidas a essas ondulações involuntárias são chamadas de "ângulo involuntário de atrito" que será representado por γ e é expresso em radianos por metro (rad/m). Esse ângulo involuntário de atrito deve , então, ser adicionado à deflexão α do cabo nas expressões (6.11) e (6.12). Como γ representa uma deflexão por unidade de comprimento ele deve ser multiplicado pelo comprimento xc do cabo desde a ancoragem até a seção para a qual se está estudando a perda de protensão. Sendo a diferença entre o comprimento do cabo e a distância, ao longo do eixo da peça, da ancoragem à seção estudada x, muito pequena, costuma-se considerar esse segundo valor como sendo o comprimento do cabo.

Para considerar a soma dos ângulos de desvio previstos (medidos em radianos) no trecho compreendido entre as abcissas 0 e x, a expressão para o cálculo da perda de protensão por atrito resulta finalmente: ∆Pµ = Pmax.(µΣα + µ.γ.x) (6.13) Ou

∆Pµ = Pmax.( µΣα + kx),

com k = µγ

(6.14)

A NBR 6118:2004 apresenta essa expressão na forma exponencial:

∆Pµ = Pmax.[1 – e-(µΣα + κx)] (6.14a)

Nessas expressões devem ser consideradas tanto as deflexões α na vertical quanto na horizontal

De acordo com a NBR-6118:2004 “Projeto de Estruturas de Concreto”, na falta de dados experimentais, o valor do coeficiente de atrito µ pode ser estimado em:

µ = 0,50 entre cabo e concreto (sem bainha); µ = 0,30 entre barras ou fios com mossas ou saliências e bainha metálica; µ = 0,20 entre fios lisos paralelos ou cordoalhas e bainha metálica; µ = 0,10 entre fios lisos paralelos ou cordoalhas e bainha lubrificada. µ = 0,05 entre cordoalhas e bainha de polipropileno lubrificada.

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A NBR-6118:2004 recomenda, ainda, adotar para o ângulo involuntário de atrito o valor γ = 0,01 rad/m. Já o CEB fornece valores em função do diâmetro da bainha, o que é mais lógico, uma vez que quanto maior for seu diâmetro mais rígida ela será e portanto menos ondulações ela deve apresentar na obra. Os valores recomendados são dados na Tab 6.2.1:

Tabela 6.2.1 – Valores do ângulo involuntário de atrito γ , do CEB Diâmetro da bainha (mm) 30 40 50 > 60

CEB: Ângulo involuntário de atrito γ (rad/m) 0,015 0,010 0,008 0,006

A Fig. 6.3 mostra o diagrama das forças de protensão consideradas as perdas por atrito para um cabo parabólico, com uma ancoragem ativa a esquerda e uma ancoragem morta a direita, de uma viga bi-apoiada. Para a parábola do segundo grau (y = a.x2+b.x+c) as inclinações α (tg α = dy/dx), assim como a segunda parcela da Eq. 6.14, são funções lineares de x, desta forma, o diagrama das forças de protensão, consideradas as perdas por atrito, é linear. A perda de protensão por unidade de comprimento de viga, que representa o coeficiente angular do diagrama, é dado por

∆p = ∆Px

x =

Pmax - Px x

(6.15)

Figura 6.3 – Diagrama das forças de protensão, consideradas as perdas por atrito, para cabo com uma ancoragem ativa e outra morta, de uma viga bi-apoiada.

∆p ∆Pµ

P

x

Px

Pmáx

P

1

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A Fig. 6.4 mostra o diagrama de forças de protensão, consideradas as perdas por atrito, de um cabo com duas ancoragens ativas de uma viga simplesmente apoiada, e traçado geométrico definido por uma parábola do segundo grau simétrica em relação ao meio do vão.

Figura 6.4 - Diagrama das forças de protensão, consideradas as perdas por atrito, para cabo com duas ancoragens ativas, de uma viga bi-apoiada.

Quando o traçado geométrico do cabo é composto por diversos trechos com equações diferentes, deve-se calcular as perdas por atrito para cada trecho. A Fig. 6.5 ilustra esta situação.

Para cada trecho, a força Pmax na Eq. 6.14, deve ser substituída pela força no início do trecho onde já estão consideradas as perdas por atrito da ancoragem até aquela seção, assim ∆PB = Pmax.(µ.αA + k.∆xAB) ⇒ PB = Pmax - ∆PB ∆PC = ∆PB + PB.(µ.αC + k.∆xBC) ⇒ PC = Pmax - ∆PC ∆PD = ∆PC + PC.(µ.αC+ k.∆xCD) ⇒ PD = Pmax - ∆PD ∆PE= ∆PD + PD.(µ.αD+ k.∆xDE) ⇒ PE = Pmax - ∆PE

x

∆p ∆Pxµ

P

Px

Pmáx

P

1

P

PL/2

∆PL/2,µ

L/2

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Em cada trecho tem-se uma perda por unidade de comprimento dada por: ∆pAB = ∆PB / ∆xAB ∆pBC = (∆PC - ∆PB ) / ∆xBC ∆pCD = (∆PD - ∆PC ) / ∆xCD ∆pDE = (∆PE- ∆PD ) / ∆xDE

Figura 6.5 - Diagrama das forças de protensão, consideradas as perdas por atrito, para cabo com duas ancoragens ativas, e vários trechos.

6.2.2 – Perdas por acomodação das ancoragens

Após o estiramento dos cabos de protensão eles devem ser ancorados na peça de concreto.

Nas peças com pré-tensão, essa ancoragem se dá por aderência entre o aço e o concreto. Normalmente não há necessidade de dispositivo especial de ancoragem, portanto nessas peças não ocorre perda de protensão por acomodação de ancoragens.

∆XCD ∆XDE ∆XBC ∆XAB

A B C D E D’ C’ B’ A’

Pmáx

PE PD PC PB

∆PB ∆PC

∆PD ∆PE ∆pAB ∆pBC

∆pCD ∆pDE

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Nas peças com pós-tensão os cabos são ancorados em placas de apoio através de cunhas bipartidas ou tripartidas. A cravação das cunhas de ancoragem é feita pelo próprio cabo a ser ancorado. Uma vez distendido o cabo até que tenha atingido a força programada, ele é solto e tende a voltar para dentro da bainha. No movimento de retorno traz consigo as cunhas de ancoragem cravando-as na placa de ancoragem. O recuo do cabo representa uma redução no seu alongamento, o que leva a uma perda de tensão e consequentemente uma perda de força de protensão. Esse recuo do cabo, depende do sistema de protensão utilizado e varia de 5 mm a 7 mm. No sistema de “cordoalhas engraxadas” esse recuo é de 10 mm.

No movimento de recuo do cabo são despertadas forças de atrito entre ele e a bainha no sentido contrário ao do movimento do cabo. As forças de atrito se opõem ao movimento do cabo. Essas forças de atrito são iguais àquelas desenvolvidas durante o processo de estiramento do cabo e já calculadas no estudo das perdas por atrito. Na Fig. 6.6 é mostrado o caso de uma viga simplesmente apoiada, com um cabo de protensão com traçado geométrico definido por uma parábola do segundo grau, uma ancoragem ativa e outra passiva. No diagrama das forças de protensão é representado o diagrama após as perdas por atrito (reta a) e o diagrama após as perdas por acomodação da ancoragem (reta b). A inclinação da reta a representa a perda de força por unidade de comprimento que é igual à força de atrito desenvolvida durante o estiramento do cabo. Como o movimento de recuo do cabo para cravação das cunhas de ancoragens desperta uma força de atrito em sentido contrário à anterior a reta b tem mesma inclinação da reta a porém de sinal contrário.

Figura 6.6 – Viga simplesmente apoiada e diagrama de forças de protensão após as perdas por atrito e acomodação das ancoragens

∆p

P

a

P

1

Pa

∆Pa

Pmáx

xr

dm m

b

∆Pm

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Na Fig. 6.6, ∆Pa representa a perda de força de protensão na ancoragem, xr o comprimento influenciado pelo recuo das cunhas, ∆p a perda por unidade de comprimento (coeficiente angular das retas a e b).

A perda de alongamento (∆L) do cabo no trecho de comprimento xr é igual ao recuo (λr) das cunhas. O cálculo do comprimento xr é feito igualando-se a perda de alongamento do cabo ao recuo das cunhas ∆L = λr (6.16)

A perda de alongamento é calculado através da lei de Hooke. Considerando um comprimento infinitesimal dm, conforme a fig. 6.6, a perda de força de protensão naquela seção é ∆Pm, assim:

∆L = λr = ⌡⌠

m=0

xr

∆Pm.dm

Ep.Ap (6.17)

e sendo ∆Pm = ∆Pa xr

.m (6.18)

tem-se: λr = ⌡⌠

m=0

xr

∆Pa

xr .m.dm

Ep.Ap =

∆Pa xr.Ep.Ap

⌡⌠

m=0

xr

m.dm (6.19)

Integrando λr = ∆Pa .xr 2.Ep.Ap

(6.20)

A perda de força na ancoragem, da Fig. 6.6, pode ser encontrada por

∆Pa = 2. ∆p.xr

(6.21)

que levada à Eq. 6.20, fornece finalmente o comprimento de influência do recuo das cunhas de ancoragem

xr = λr.Ep.Ap

∆p

(6.22)

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A perda de força de protensão na ancoragem é obtida da Eq. 6.21. É importante a interpretação da integral da Eq. 6.17. Ela representa a área entre as retas a e b da Fig. 6.6, e portanto, em qualquer caso de diagrama de forças de protensão, inclusive quando se tem vários trechos com perdas por unidade de comprimento diferentes, a redução do alongamento do cabo é dado pela área entre as retas que representam o diagrama das perdas por atrito (reta a) e o diagrama com as perdas por acomodação da ancoragem (reta b) dividida pela rigidez (EpAp) do cabo

Com esta interpretação pode-se escrever:

λr = 1

Ep.Ap . 1 2

. ∆Pa.xr (6.23)

e com a Eq. 6.21, resulta também:

xr = λr.Ep.Ap

∆p (6.22a)

Uma segunda situação comum de se ter é a da Fig. 6.7, onde o traçado geométrico do cabo tem um trecho reto no centro do vão. Nesse caso, o diagrama de forças de protensão é o representado na figura. Se o valor de xr calculado pela Eq. 6.22 for maior que o comprimento a do primeiro trecho, o seu valor pode ser calculado, através da área entre os diagramas a e b.

Figura 6.7 - Viga simplesmente apoiada com cabo com um trecho reto no vão e diagrama de forças de protensão após as perdas por atrito e acomodação das ancoragens.

∆p2 ∆p3

xr

xr > a

c b a

a

b ∆p1

∆p1

∆p2

∆Pa

Pa

Pmáx

∆P1

P

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A área hachureada da Fig. 6.7 é dada por

A = ∆Pa + ∆P1

2.a +

1 2

. ∆P1.(xr - a) (6.24)

e portanto

λr = 1

Ep.Ap . [

∆Pa + ∆P1 2

.a + 1 2

. ∆P1.(xr - a) ] (6.25)

Sendo ∆P1 = 2.(xr – a) . ∆p2 (6.26) e ∆Pa = 2.∆p1.a + ∆P1 (6.27) da Eq. 6.25, resulta

xr = λr.Ep.Ap - (∆p1 - ∆p2).a

2 ∆p2

(6.28)

As perdas ∆P1 e ∆Pa são calculadas pelas Eqs. 6.26 e 6.27.

A Fig. 6.8 mostra um terceiro caso de uma viga simplesmente apoiada, no qual o cabo de protensão tem duas ancoragens ativas, e o recuo das cunhas de ancoragem em cada extremidade influencia um comprimento maior que a metade do vão. As perdas de protensão nas ancoragens (∆Pa) e no meio do vão (∆P1), calculadas através da consideração da área entre os diagramas a e b (λr = A / EpAp), resultam:

∆P1 = λr.Ep.Ap - ∆p.a2

a (6.29)

e ∆Pa = 2.∆p.a + ∆P1 (6.30) sendo a = L/2.

Outras situações podem ser encontradas e resolvidas de maneira semelhante à exposta acima, sempre considerando que a redução do alongamento do cabo devido ao recuo das cunhas de ancoragem é igual ao recuo das cunhas. Essa perda de alongamento é proporcional à área entre os diagramas, com a consideração apenas das perdas por atrito e com a consideração também das perdas por acomodação das ancoragens. O coeficiente de proporcionalidade é 1/EpAp.

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TC-426 – Concreto Protendido Perdas de Protensão

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Figura 6.8 - Viga simplesmente apoiada, com cabo com duas ancoragens ativas e diagrama de forças de protensão após as perdas por atrito e acomodação das ancoragens, na qual a influência do recuo das cunhas de ancoragem em cada extremidade vai além do meio do vão.

6.2.3 – Perdas por deformação elástica do concreto 6.2.3.1 – Peças com armadura pré-tracionada Nas peças com armadura pré-tracionada as forças de protensão de todos os cabos são transferidas ao concreto praticamente ao mesmo tempo. Com a aplicação da força de compressão devida à protensão, a peça de concreto se deforma. A Fig. 6.9 ilustra esta situação. A tensão no concreto ao nível do centro da armadura (σcp) é com certeza de compressão e a deformação (εcp) um encurtamento. Esse encurtamento do concreto produz uma perda de alongamento na armadura e uma consequente perda de tensão (∆σp).

A tensão no concreto é dada por

σcp = Np Ac

+ Np.ep

Ic.ep +

Mg Ic

.ep (6.31)

∆p 1

∆p

P

P

1

P

PL/2

∆P1

L/2

a = L/2 L/2

Pa

∆Pa

Pmáx

b

a

A

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TC-426 – Concreto Protendido Perdas de Protensão

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onde Np é a componente normal à seção transversal da peça da força de protensão (Np = P.cosα ). A equação (6.31) deve ser utilizada lembrando-se da convenção de sinais:

tração → (+) compressão → (-) ep → positivo quando contado do c.g. da seção para baixo

Figura 6.9 – Viga com armadura pré-tensionada. Encurtamento elástico do concreto.

Quando o ângulo α é pequeno, pode-se considerar de maneira aproximada a componente normal (Np) igual à própria força de protensão (P). Mg é o momento fletor devido à carga permanente mobilizada pela protensão ou simultaneamente aplicada com a protensão.

Considerando a peça trabalhando no regime elástico, a deformação correspondente no concreto será

εcp = σcp Ec

(6.32)

A perda de alongamento na armadura ativa é igual à esse encurtamento do concreto (∆εp = εcp) e portanto a perda de tensão de protensão será

∆σp = ∆εp.Ep = σcp Ec

.Ep (6.33)

Fazendo α p = Ep / Ec, tem-se finalmente a perda de tensão na armadura ativa:

∆σp = αp.σcp = αp( Np Ac

+ Mg + Np.ep

Ic.ep )

(6.34)

No caso da pré-tensão essa perda é igual em todos os cabos.

L ∆L

ep P P

σc

σcp

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Para se obter a perda de força de protensão basta multiplicar essa perda de tensão pela área da armadura. Utilizando a área de um cabo tem-se a perda daquele cabo e utilizando-se a área total da armadura ativa tem-se a perda total para o conjunto de cabos. 7.2.3.2 – Peças com armadura pós-tracionada

Nas peças com armadura pós-tencionadas, quando se distende um cabo, a peça de concreto apresenta de imediato uma deformação de encurtamento, entretando, esse encurtamento é compensado no ato da protensão fazendo-se com que alongamento medido na obra seja igual à soma do alongamento do cabo com o encurtamento do concreto (∆Lp + ∆Lc), de modo que o encurtamento do concreto não corresponda a uma perda de tensão naquele cabo.

Quando se protende um segundo cabo, o primeiro já está ancorado na peça de concreto, assim, a deformação de encurtamento do concreto ao nível do cabo já instalado devida a protensão do segundo cabo representa uma perda de alongamento do cabo já instalado. Generalizando esse raciocínio, pode-se dizer que cada cabo protendido produz, nos cabos já ancorados, uma perda de protensão devida à deformação elástica imediata do concreto causada pelo cabo que está sendo distendido.

Para n cabos, considerando simplificadamente uma perda média igual para todos os cabos, ela pode ser calculada por:

∆σp = 1 2

. n - 1

n. αp.σcp

(6.35)

onde αp é a relação entre os módulos de elasticidade do aço de protensão e do concreto (αp = Ep / Ec) e σcp é a tensão no concreto ao nível do baricentro da armadura ativa, devida à protensão simultânea dos n cabos e da carga mobilizada, que pode ser calculada por

σcp = ΣNpi Ac

+ Mg + ΣNpi.epi

Ic.ep (6.36)

Nesta expressão Npi é a componente normal da força de protensão de cada cabo

i, epi a excentricidade do cabo i, com i variando de 1 à n, ep a excentricidade do baricentro do conjunto dos n cabos, e Mg é o momento fletor devido à carga permanente mobilizada pela protensão ou simultaneamente aplicada com a protensão.

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TC-426 – Concreto Protendido Perdas de Protensão

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7.3 – PERDAS PROGRESSIVAS

As peças de concreto protendido apresentam deformações de encurtamento ao longo do tempo devidas à retração e à deformação lenta (fluência) do concreto. Esses encurtamentos representam perdas de alongamento para a armadura de protensão e consequentemente perdas de tensão.

A NBR-7197/89 apresenta roteiros para cálculo dessas deformações em função de diversos fatores, mas para estimativas preliminares e para obras correntes (não especiais) realizadas com concreto plástico, correspondente a abatimentos de 5 cm a 9 cm, permite adotar os valores da Tabela-6.6 para o coeficiente de fluência e para a retração

Tabela 6.2 – Valores particulares para estimativas preliminares ou para obras correntes realizadas com concreto plástico.

Umidade relativa do ar

U =

40%

U =

55 %

U =

75%

U =

90%

Espessura Fictícia 2.Ac

u cm

20

60

20

60

20

60

20

60

to= 5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1

to= 30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6

Fluência ϕ (t∞,to)

to= 60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4

to= 5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09

to= 30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09

Retração εcs(t∞,to)

(%o) to= 60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09

Nota: to , em dias, é a idade do concreto na realização da protensão. Além das perdas por retração e fluência do concreto, ocorre perda de protensão devido à relaxação da armadura ativa.

Os coeficientes de relaxação de fios e cordoalhas, independentemente da resistência, obtidos em ensaios com duração de 1.000 h a 20oC (ψ1000) e para tensões σpo variando de 0,5 a 0,8 fptk, para efeito de projeto, podem ser adotados os valores da Tabela-7.2. Para valores intermediários de tensão σpo pode-se fazer interpolação linear entre os valores tabelados. σpo é a tensão na armadura de protensão no instante to, consideradas as perdas imediatas.

Os valores das perdas progressivas de protensão, decorrentes da retração e fluência do concreto e da relaxação do aço de protensão, devem ser determinados levando-se em conta a interação dessas causas. Admite-se que exista aderência entre a armadura e o concreto e que a peça permaneça no estádio I. Além disso, considera-se também fases únicas de concretagem, de carregamento permanente e de protensão.

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TABELA 7.2 – Valores de ψ1000, em %.

Cordoalhas Fios Barras

σpo RN RB RN RB

0,5 fptk 0 0 0 0 0

0,6 fptk 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5

0,7 fptk 7,0 2,5 5,0 2,5 4,0

0,8 fptk 12 3,5 8,5 3,0 7,0

Considera-se ainda, que os cabos possuem entre si afastamentos suficientemente pequenos em relação à altura da peça, de modo que seus efeitos possam ser supostos equivalentes ao de um único cabo, com seção transversal de área igual à soma das áreas das seções dos cabos correspondentes, situado na posição da resultante dos esforços neles atuantes (cabo resultante).

Nesse caso, admite-se que no tempo t as perdas de tensão e de deformação na armadura de protensão, considerada a interação entre os efeitos, sejam dadas por:

∆σp(t,to) = ppcp

opoopogcppcs ttttEtot

ηραχχ

χσϕσαε

+

−− ),(.),(..),( ,

(7.32)

∆εp(t,to) = σpo Ep

.χ(t,to) + ∆σp(t,to)

Ep.χp

(7.33)

∆εc(t,to) = ),(),(

),(2828

,ocs

ci

occo

ci

pogc ttE

tttt

σχϕ

σ+

∆+

(7.33a)

onde considera-se:

Ac = Área da seção transversal

Ic = momento de inércia da seção transversal em relação a um eixo horizontal pelo centro de gravidade;

ep = excentricidade do cabo resultante;

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Wcp = Ic ep

= módulo de resistência da seção com relação ao nível do c.g. da armadura

ativa;

Np = P.cosα = Componente normal à seção transversal, da força de protensão

σc,pog = Tensão no concreto ao nível do c.g. da armadura ativa, devida à força de protensão e as cargas permanentes, positiva se de compressão;

σc,pog = pc

gpp

c

pe

I

MeN

A

N.

. −+ (7.34)

εc,pog = Deformação específica imediata no concreto ao nível do c.g. da armadura

ativa, devida à força de protensão e as cargas permanentes;

εc,pog = 28

,

ci

pogc

E

σ (7.35)

ϕ(t,to) = Coeficiente de fluência do concreto (tabela 7.1)

εcs(t,to) = Deformação de retração do concreto (tabela 7.1)

αp = 28ci

p

E

E = Relação entre o módulo de elasticidade do aço de protensão e o módulo de

elasticidade inicial do concreto; (7.38)

Ap = Armadura total de protensão (cabo resultante);

ρp = c

p

A

A = Taxa geométrica da armadura de protensão (7.39)

η = 1 + ep2.Ac / Ic (7.40)

ψ1000 = Coeficiente de relaxação do aço para ensaios com duração de 1000 h a 20oC;

ψ(t∞,to) = 2,5. ψ1000 = Coeficiente de relaxação do aço no instante t∞

χ(t,to) = - ln [1 - ψ(t,to)] = Coeficiente de fluência do aço (7.41)

χc = 1 + 0,5. ϕ(t,to) (7.42)

χp = 1 + χ(t,to) (7.43)

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Prof. Jorge Luiz Ceccon 16/11/06 VII-1

VII.- VERIFICAÇÃO À RUPTURA 7.1 - CONDIÇÃO DE ESTABILIDADE Será analisado neste capítulo o "Estado Limite Último Devido à Flexão" no concreto protendido.

Em um prisma solicitado a flexão simples, a estabilidade de uma seção transversal estará garantida quando

MRd > MSd

(7.1)

sendo:

MSd= γf.MSk → momento solicitante de cálculo (proveniente do carregamento)

MRd → momento resistente de cálculo (momento que produz a

ruptura da seção; representa a capacidade resistente da seção)

A situação mais econômica se tem quando a equação (1) é verificada com o sinal de igualdade. Se o momento resistente (MRd) for muito maior que o momento solicitante de cálculo (MSd) a peça é anti-econômica. Estará super-dimensionada. Pode ser conveniente reduzir sua seção transversal ou sua armamadura.

Essa verificação deve ser feita para a situação mais desfavorável para a peça, normalmente para a força P∞ combinada com a totalidade das cargas de projeto na situação mais desfavorável (momentos solicitantes de cálculo).

Da verificação à ruptura resultará determinada a armadura passiva As necessária. 7.2 – HIPÓTESES BÁSICAS

Na análise dos esforços resistentes de uma seção de viga ou pilar, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas:

a) as seções transversais se mantêm planas após as deformações;

b) a deformação das barras passivas aderentes ou o acréscimo de deformação das barras ativas aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma do concreto em seu entorno;

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Concreto Protendido Verificação à ruptura

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c) para armaduras ativas não aderentes, na falta de valores experimentais e de análises não-lineares adequadas, os valores do acréscimo das tensões para estruturas usuais de edifícios estão apresentados a seguir, devendo ainda ser divididos pelos devidos coeficientes de ponderação:

- para elementos com relação vão/altura útil igual ou menor que 35:

∆σp = 70 + fck/100ρp, em megapascal, não podendo ultrapassar 420 MPa

- para elementos com relação vão/altura útil maior que 35:

∆σp = 70 + fck/300ρp, em megapascal, não podendo ultrapassar 210 MPa

onde:

pc

pp db

A

.=ρ

sendo:

∆σp e fck são dados em megapascal

ρp é a taxa geométrica da armadura ativa;

bc é a largura da mesa de compressão

dp é a altura útil referida à armadura ativa;

d) as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, são obrigatoriamente desprezadas no ELU;

e) a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo com a tensão de pico igual a 0,85.fcd. Esse diagrama pode ser substituidopelo diagrama retangular de altura 0,8.x (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão:

- 0,85.fcd no caso da lkargura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida;

- 0,80.fcd no caso contrário.

f) a tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-deformação, com valores de cálculo, definidos em 3.2 e 3.3.3 (itens 8.3.6 e 8.4.5 da NBR 6118/2003)

g) o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura 17.1 da NBR 6118/2003. 7.3 - MOMENTO DE DESCOMPRESSÃO Para um prisma protendido, cuja seção transversal (genérica) está representada na Fig. 7.2.1, os estados de deformação e de tensão, dessa seção, devidos exclusivamente à força de protensão estão representados naquela figura. Existir ou não tensões de tração, depende do ponto de aplicação da força, estar fora ou dentro do núcleo central de inércia da seção.

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O fato de nessa situação se ter tensões de tração em parte da seção não traz nenhum problema, uma vez que a força de protensão nunca atua sozinha, portanto essa situação é hipotética. A medida que se aplica a protensão no prisma, ele se deforma no sentido de se soltar do escoramento ou pista de protensão e simultaneamente passa a atuar como um carregamento o peso próprio da estrutura. A parte do carregamento que solicita a peça nesse instante é chamada "carga mobilizada".

Ainda considerando a situação hipotética de atuar apenas a força de protensão, as tensões no concreto são calculadas por

σsu,P = N Ac

+ N*ep

Jc .ysu (7.2)

σin,P = N Ac

+ N*ep

Jc.yin (7.3)

σcp,P = N Ac

+ N*ep

Jc .ep (7.4)

sendo N a componente normal à seção transversal (N=P.cosa), da força de protensão, que deve ser considerada negativa por ser de compressão. As ordenadas ep e y devem ser consideradas positivas quando marcadas do centro de gravidade da seção transversal para baixo.

Figura 7.2.1 - Deformações e tensões na seção, devidas exclusivamente à força de protensão P∞ (de tração na armadura ativa e de compressão no concreto)

É de se notar que nessa situação a armadura passiva está comprimida e a de protensão tracionada. A tensão de tração na armadura de protensão é dada por

σp = PAp

(7.5)

onde P é a força de protensão que atua na seção no instante para o qual se pretende verificar o Estado Limite Último. Normalmente essa verificação é feita para o tempo t∞, quando se tem a força de protensão com seu valor mínimo (P∞).

h

As

Ap

dp ds

ε inP

- P∞ -

εsu,P σsu,P

σin,P

σcp,P εcp,P

G

ep(+) y(+)

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Concreto Protendido Verificação à ruptura

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σp∞ = P∞Ap

(7.6)

A deformação na armadura de protensão pode ser calculada por

εp∞ = σp∞ Ep

(7.7)

A medida que passa a atuar o carregamento na estrutura a seção apresenta uma rotação devida ao momento fletor solicitante. Ao valor do momento que anula a tensão de compressão introduzida pela força de protensão dá-se o nome de "momento de descompressão".

O momento que anula as tensões no bordo inferior da seção será representado por " Mo,in" e o momento que anula as tensões de compressão nas fibras de concreto ao nível da armadura de protensão por " Mop ".

Figura 7.2.2 - Ilustração do momento de descompressão Mop O momento de descompressão das fibras de concreto ao nível da armadura de protensão pode ser calculado por

ε p(o)

ε in,P

- P∞ -

εsu,P σsu,P

σin,P

σcp,P εcp,P

ε in,Mop

Mop)p

+

Mop

+

εsu,Mop σsu,Mop

σin,Mop

σcp,Mop εcp,Mop

Mop

εsu σsu

σp(o)

P∞

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Mop = |σcp,P | * Jc ep

(7.8)

Nesta expressão σcp,P é considerado em módulo para se ter o valor da tensão de tração que o momento de descompressão produz para anular a tensão de pré-compressão nas fibras de concreto ao nível da armadura de protensão.

Se o momento solicitante de cálculo (MSd) for inferior ao momento de descompressão (Mo,s) não resultará tensão de tração na armadura passiva. MSd < Mo,s ⇒ σs < 0 mesmo assim é recomendável a adoção de uma armadura mínima, especificada por norma para garantir uma ruptura dúctil no caso da carga acidental ultrapassar a prevista no projeto (As =As,min).

Se ao contrário, o momento de cálculo for superior ao momento de descompressão Mo,s, a armadura passiva estará tracionada MSd > Mo,s ⇒ σs > 0 A parcela do momento de cálculo que excede o de descompressão Mo,s causará, além da tensão de tração na armadura passiva, um acrécimo de tensão σpx e de deformação εpx na armadura ativa. 7.3 - DEFORMAÇÃO DE PRÉ-ALONGAMENTO PARA ARMADURA ADERENTE O momento de descompressão, provocando uma rotação da seção (ver Fig. 7.2.2), produz um acréscimo de alongamento na armadura de protensão que é o mesmo alongamento das fibras de concreto ao nível da armadura. Esse acréscimo de deformação é dado por

εcp= ∆εp = c

Pcp

c

Mopcp

EE,, σσ

=

(7.9) onde σcp,Mop é uma tensão de tração, por ser produzida pelo momento de descompressão. É de se notar que neste nível de análise as tensões no concreto são baixas o suficiente de modo a se poder considerar válida a lei de Hooke (comportamento linear).

Para a armadura ativa as tensões no tempo t∞ são sempre inferiores a fpyk, de modo que, também para essa armadura se pode considerar válida a lei de Hooke. Assim, o acréscimo de tensão correspondente, na armadura ativa aderente, é

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∆σp = ∆ε p * E p = c

Pcp

E,σ

* E p (7.10)

Chamando

α p = E p Ec

(7.11)

vem: ∆σp = Pcpp ,.σα (7.12)

A tensão na armadura de protensão devida ao estiramento da protensão mais o acréscimo devido ao momento de descompressão (Mop) é chamada "tensão de pré-alongamento" e vale: pp

op σσσ ∆+= ∞

)( (7.13)

Essa é a tensão na armadura de protensão quando é nula a tensão nas fibras de concreto ao nível dessa armadura, daí o nome "tensão de pré-alongamento".

A “deformação de pré-alongamento” será εp

(o) = εp8 + ∆εp (7.14)

ou

εp(o)

=p

op

E

)(σ (7.15)

7.4 - VERFICAÇÃO À RUPTURA 7.4.1 - Posição da linha neutra Na Fig. 7.3 estão representados os diagramas de deformações e de tensões correspondentes ao momento último (resistente) de cálculo MRd. Para esse momento, parte da seção estará tracionada. Considera-se o concreto fissurado, sem qualquer colaboração na resistência da seção.

Na verificação à ruptura considera-se que o diagrama de deformações correspondente à situação de Estado Limite Último (E.L.U.) é caracterizado por εc = 3,5‰ - ruptura por esmagamento do concreto,

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ou por εs = 10‰ - deformação plástica excessiva do aço As peças solicitadas à flexão simples devem ser projetadas para serem peças dúcteis, onde se tem es > eyd e σs = fyd, o que corresponde aos domínios 2 ou 3 de deformações (ver ítem 4.1.1.1 da NBR 6118/78).

A posição da linha neutra, dada pelo valor de x, é determinada pela equação de equilíbrio (Fig. 7.4.1): ΣFx = 0 → Rpd + Rsd – Rcd = 0 (7.16) com Rcd = Accr * σc Rsd = As * σs Rpd = Ap * σp (7.17)

Figura 7.4.1 - Diagramas de deformações, de tensões no concreto e forças internas resistentes correspondentes ao momento resistente de cálculo MRd.

A equação de equilíbrio pode ser escrita, então:

Ap .σp + As .σs - Accr .σc = 0

(7.18)

onde Accr = área de concreto comprimido pelo diagrama retangular - Tensão de compressão no concreto (σc) σc = (0,85.fcd ) ou (0,80.fcd ) dependendo do formato da seção. Portanto é conhecida.

N L

MRd x y

h

As

Ap

dp ds

εp(o)

P∞

εc σc

Rsd

εpx Rpd

y x Rcd

zp zs

εs

Accr x’Rcd

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- Área de concreto comprimido pelo diagrama retangular de tensões

Accr é calculada pela equação de equilíbrio acima e permitirá, através de uma análise geométrica da seção, a determinação do valor de x.

- Área da armadura passiva (As)

Essa armadura complementa a resistência da seção de concreto protendido e será determinada por tentativas arbitrando-se valores de As até que se tenha MRd > MSd (7.19)

Portanto para a equação de equilíbrio (7.18), o valor de As é conhecido. - Tensão na armadura passiva (σs)

A NBR 6118/2003 exige que se projete as peças solicitadas à flexão simples para serem sub-armadas (domínios 2 ou 3 de deformações). Assim, se terá σs = fyd (7.20) porém, é sempre preciso comprovar esta hipótese após ser conhecida a posição da linha neutra. - Área da armadura ativa (Ap) Conhecida desde a especificação dos cabos de protensão. - Tensão na armadura ativa (σp) É a tensão final na armadura de protensão para o estado limite último. Corresponde à deformação εp = εp

(o)

+ εpx (7.21) Não sendo conhecida a profundidade da linha neutra, a parcela εpx da deformação na armadura de protensão (ver Fig. 7.4.1) também não é conhecida, assim, a tensão na armadura de protensão deve ser determinada por tentativas, arbitrando-se valores para σp e determinando-se a posição correspondente da linha neutra. Depois de calculado o valor de x , encontra-se a parcela εpx, e comprova-se o valor arbitrado para σp, através do diagrama “tensão X deformação de cálculo” do aço de protensão em função de εp determinado pela Eq. 7.21

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Normalmente resulta σp = 0,75.fptk a 0,80.fptk , portanto arbítra-se um valor nesta faixa.

- Posição da linha neutra Da equação de equilíbrio resulta determinado o valor de Accr. De uma análise geométrica da área de concreto comprimido pelo diagrama retangular de tensões encontra-se a sua altura y e a profundidade da linha neutra x = y / 0,8.

Determinada a posição da linha neutra, deve-se verificar a validade dos valores arbitrados para σs e σp . Isso é feito como se apresenta a seguir.

Chamando

βx = x ds

(7.22)

sendo “x” a profundidade da linha neutra, determinada pela equação de equilíbrio 7.18, e ds a altura útil da armadura passiva. se βx < 0,259 ⇒ domínio 2 de deformações εs = 10‰

εc = x

ds - x.10‰ (7.23)

εpx = dp - xds - x

.10‰ (7.24)

se 0,259 < βx < βx.lim = 3,5‰

εyd + 3,5‰ ⇒ domínio 3 de deformações

εc = 3,5‰

εs = ds - x

x.3,5‰ (7.25)

εpx = dp - x

x.3,5‰ (7.26)

A deformação εp é dada por εp = εp(o) + εpx (7.27) sendo:

εp(o) = deformação de pré-alongamento já discutida

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εpx = acréscimo de deformação na armadura ativa devida à parcela de MRd que excede ao momento de descompressão (ver Fig. 7.4.1)

Conhecida a deformação εp resulta determinado, através do diagrama σp X εp, o valor da tensão σp,calculado.

Se σp,arbitrado ≠ σp,calculado ⇒ arbítra-se novo valor para σp e recalcula-se o valor de "x"

Se σp,arbitrado ≅ σp,calculado ⇒ o valor de "x" encontrado correponde

à situação de equilíbrio da seção (Fig. 7.4.1).

Assim, resulta finalmente determinada a posição da linha neutra. 7.4.2 - Momento resistente de cálculo (MRd) Para a situação de Estado Limite Último o momento resultante dos esforços internos resistentes (Rcd,Rsd e Rpd) é chamado "Momento resistente de cálculo (MRd)" e representa a capacidade resistente da seção.

Esse momento resistente de cálculo é dado por (ver Fig. 7.3): MRd= Rsd.zs+ Rpd.zp (7.28) sendo Rsd = As.σs Rpd = Ap.σp zs = ds - x'Rcc zp = dp - x'Rcc (7.30) portanto, pode-se escrever:

MRd = As .σs .(ds - x'Rcd) + Ap .σp .(dp - x'Rcd)

(7.31)

Considerando o diagrama simplificado retangular de tensões no concreto, a resultante de compressão Rcd atuará no centro de gravidade da área de concreto comprimido Accr de altura y = 0,8.x . Assim, x'Rcd é a distância do bordo mais comprimido da seção ao centro de gravidade de Accr.

Se MRd < MSd ⇒ Aumentar o valor de As,arbitrado e fazer nova verificação

Se MRd >>> MSd ⇒ A seção transversal ou a força de

protensão estão super-dimensionadas e a peça pode ser anti-econômica.

Se MRd ≅ MSd ⇒ A s,arbitrado é a solução

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7.4.3 - RESUMO DA SEQUÊNCIA DE CÁLCULO a) Arbitrar a área da armadura passiva (As);

b) Calcular a deformação de pré-alongamento (εp(o)) da armadura ativa;

c) Determinar a posição da linha neutra (valor de x) que corresponde a uma situação de equilíbrio para a seção (ΣFx = 0), considerando peça sub-armada com σs = fyd e arbitrando a tensão final na armadura ativa (σp = 0,7.fptk a 0,8.fptk)

d) Verificar o domínio de deformação em que a seção irá trabalhar e encontrar a deformação na armadura passiva (εs) e o acréscimo de deformação na armadura ativa (εpx);

e) Verificar se os valores arbitrados para as tensões nas armadura passiva (σs = fyd) e ativa σp correspondem às deformações ε s e ε p = ε p

(o) + ε px calculadas;

d) voltar ao item c) até que as deformações nas armaduras correspondam às tensões arbitradas;

d) Calcular o momento resistente de cálculo (MRd);

e) Comparar o momento resistente de cálculo (MRd) com o momento solicitante de cálculo (MSd).

f) Voltar ao item a) até que se tenha MRd ≥ MSd.

7.5 – Exercício 1

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VIII. ESTADO LIMITE DE FORMAÇÃO DE FISSURAS

Atender ao estado limite de formação de fissuras significa ter o momento fletor solicitante (Ms) menor que o momento que produz a fissuração do concreto (Mr), chamado “momento de fissuração”. O que se pretende é que para a combinação de ações selecionada para a verificação, a peça de concreto não apresente fissuras. Matematicamente a condição a ser satisfeita é

Mr > Ms (8.1)

Essa verificação é feita para as cargas de serviço e segundo a NBR-6118:2004, para a protensão completa devem ser usadas as combinações raras das ações (Ms = Mraras), enquanto que para a protensão limitada devem ser usadas as combinações freqüentes (Ms = Mf r). Para a protensão parcial não se verifica o estado limite de formação de fissuras.

Por se considerar válida a hipótese das seções planas, o diagrama de deformações para uma seção transversal qualquer é linear, como é ilustrado na Fig. 8.1. No instante da formação da primeira fissura a peça trabalha no Estádio I.b, ou seja, a região de concreto comprimido é considerada no regime elástico linear e a região de concreto tracionado, ainda não fissurado, no regime plástico.

A deformação de ruptura do concreto à tração simples, onde todas as fibras de concreto estão sujeitas a uma mesma deformação, é representada por ectk. Na flexão, a deformação máxima ocorre apenas nas fibras do bordo da seção, as outras fibras apresentam deformações menores, com isto, a ruptura acontece com uma deformação máxima maior que a de ruptura na tração simples. Essa deformação de ruptura na flexão será

ecfk = kr.ectk (8.2)

sendo que o valor de kr está entre 1,4 e 3. A NBR 6118:2004 indica fct = 0,7fct,f , ou seja fct,f = 1,42 fct. Assim segundo a NBR 6118:2004 se tem: kr = 1,42

No estado limite de formação de fissuras a deformação máxima de tração, no bordo da seção será então ecfk , e no bordo comprimido ec , sendo o diagrama linear devido à validade da hipótese das seções planas.

Na região comprimida, o diagrama de tensões no concreto é também linear, sendo s c = ec .Ec a tensão máxima. Na região tracionada tem-se o concreto plastificado com tensão aproximadamente constante igual à resistência característica a tração fctk. Se não houvesse a plastificação do concreto tracionado

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o diagrama de tensões seria o representado pela linha tracejada na Fig. 8.1, com o valor máximo igual a kr.fctk, chamado de módulo de ruptura do concreto à tração na flexão.

Figura 8.1 – Diagramas de deformações e de tensões correspondentes à protensão mais o momento de fissuração

Na altura da armadura passiva (As) a deformação tanto no concreto quanto na armadura é a indicada por es na Fig. 8.1, e a tensão no concreto de envolvimento dessa armadura se não houvesse a plastificação (linha tracejada do diagrama de tensões da Fig. 8.1) seria

s cs = es . Ec. (8.3)

Multiplicando e dividindo esta expressão por Es e chamado a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto de as

as = Es Ec

(8.4)

obtém-se

s cs = es . Es Es

.Ec = es .Es

as (8.5)

donde

dy

L N

y

Rct

kr.εctk

Mr x

As

Ap

dp ds

εp(o)

P∞

εc

σy

Rst

εpx Rpt

y x

Rcc

zp

zs

εs

xRcc

σc

Kr.fctk

fctk

zt xRct h

by

bf

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s cs = s s

as (8.6)

De maneira semelhante pode-se mostrar que na altura da armadura de protensão, o diagrama de tensões da Fig. 8.1 (linha tracejada) fornece o valor de “s px / ap” , onde s px é o acréscimo de tensão na armadura de protensão devida à parcela de momento fletor que excede ao momento de descompressão, e ap é a relação entre os módulos de elasticidade do aço de protensão e do concreto.

Em uma ordenada genérica y a tensão obtida do diagrama da Fig. 8.1 é s y .

Tomando-se como base a ordenada Kr.fctk que caracteriza, no diagrama de tensões, o estado limite de formação de fissuras, resultam por semelhança de triângulos os valores:

s y = kr.fctk h-x

.y (8.7)

s s

as =

kr.fctk h-x

.(ds - x) (8.8)

s px

ap =

kr.fctk h-x

.(dp - x) (8.9)

s c = kr.fctk h-x

.x (8.10)

sendo x a profundidade da linha neutra em relação ao bordo mais comprimido.

Essa profundidade da linha neutra é determinada pela condição de equilíbrio das forças na direção longitudinal (SFx = 0).

Chamando:

Rst = resultante de tração na armadura passiva;

Rpt = resultante de tração na armadura ativa;

Rct = resultante de tração no concreto e

Rcc = resultante de compressão no concreto

a equação de equilíbrio é escrita

Rst + Rpt + Rct – Rcc = 0 (8.11)

já considerando que Rcc é uma resultante de compressão e portanto negativa. Essas resultantes são calculadas por:

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Rst = As.s s (8.12)

Rpt = Ap.s p (8.13)

Rct = ⌡⌠y=0

xt

fctk.by.dy (8.14)

Rcc = ⌡⌠y=0

x

s y.by.dy (8.15)

A tensão final na armadura de protensão é a soma da tensão de pré-alongamento (ver capítulo IV) com o acréscimo s px, ou seja

s p = sp

(o) + spx (8.16) Considerando as expressões (8.7) a (8.10) e (8.12) a (8.15) na equação de equilíbrio (8.11), vem:

As.as. kr.fctk h-x

.(ds - x) + Ap.s p(o) + Ap.ap.

kr.fctk h-x

.(dp - x) +

+ fctk. ⌡⌠y=0

xt

by.dy - kr.fctk h-x

⌡⌠y=0

x

by.y.dy =0 (8.17)

A integral Sx = ⌡⌠y=0

x

by.y.dy representa o momento estático da área de

concreto comprimido em relação à linha neutra.

A integral Act = ⌡⌠y=0

xt

by.dy representa a área de concreto tracionado,

sendo xt = h – x a altura da região tracionada.

Chamando

rf = P(o) fctk

= Ap.sp

(o) fctk

(8.18)

vem:

kr.Sx + [Act + kr.a.(As + Ap) + rf].x – [Act.h + kr.a.(As.ds +Ap.dp) + rf.h] = 0

(8.19)

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Da equação (8.19), que é genérica, resulta uma equação normalmente do 2o grau, da qual se obtém a profundidade da linha neutra (valor de x).

As forças internas resistentes resultam determinadas pelas expressões (8.12) à (8.15).

Os pontos de aplicação das resultantes Rcc e Rct são dados por:

XRcc =

⌡⌠y=0

x

s y.by.y.dy

⌡⌠y=0

x

s y.by.dy

=

s c x

. ⌡⌠y=0

x

by.y2.dy

s c x

. ⌡⌠y=0

x

by.y.dy

= Ix Sx

(8.20)

XRct =

⌡⌠y=0

xt

fctk.by.y.dy

⌡⌠y=0

xt

fctk.by.dy

=

fctk. ⌡⌠

y=0

xt

by.y.dy

fctk. ⌡⌠y=0

xt

by.dy

= Sxt Act

(8.21)

onde: Ix = momento de inércia da área de concreto comprimido em relação à linha neutra;

Sx = momento estático da área de concreto comprimido em relação à linha neutra

Sxt = momento estático da área de concreto tracionada em relação à linha neutra, e

Act = área de concreto tracionado

Sendo que a peça está solicitada por flexão simples, o momento resultante das forças internas resistentes em relação a qualquer ponto (por exemplo o ponto de aplicação da resultante de compressão no concreto) nas condições impostas na Fig. 8.1, é o momento de fissuração Mr.

Os braços de alavanca das forças internas resistentes são dados por:

zs = ds – x + xRcc (8.22a)

zp = dp – x + xRcc (8.22b)

zt = xRct + xRcc (8.22c)

Finalmente o momento de fissuração é dado por:

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Mr = Rst.zs + Rpt.zp + Rct.zt (8.23) ou por:

Mr = As.s s.zs + Ap.(sp(o) + s px).zp + Act.fctk.zt

(8.24)

Com as tensões nas armaduras dadas por

s s = as. kr.fctk h-x

.(ds - x) (8.25)

s px = ap. kr.fctk h-x

.(dp - x) (8.26)

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IX. ESTADO LIMITE DE ABERTURA DE FISSURAS

Atender ao estado limite de abertura de fissuras consiste em se ter a abertura provável das fissuras no concreto menor que um valor pré-estabelecido como admissível.

wcalculado < wadmissível (9.1)

A norma brasileira NBR-6118:2004 – “Projeto de Estruturas de Concreto” adota os valores admissíveis estabelecidos na NBR-6118/78 – “Cálculo e Execução de Obras de Concreto Armado” que no seu item 4.2.2, diz:

“Considera-se que a fissuração é nociva quando a abertura das fissuras na superfície do concreto ultrapassa os seguintes valores:

a) 0,1 mm para peças não protegidas, em meio agressivo;

b) 0,2 mm para peças não protegidas, em meio não agressivo;

c) 0,3 mm para peças protegidas.

Quando o cobrimento c da armadura longitudinal de tração for superior ao mínimo exigido em 6.3.3.1 (item da NBR-6118/78) é permitido aumentar o valor limite da abertura das fissuras de até 25% , proporcionalmente ao valor do quociente c/cmin”.

A NBR-7197/89 permite aumentar aqueles limites em até 50% e considera de maneira diferente da NBR-6118/78 a área de concreto de envolvimento da armadura, conforme é mostrado adiante.

O cálculo das tensões nas barras da armadura de tração deve ser feito no Estádio II, onde se considera o concreto fissurado na região tracionada e comportamento elástico linear para o concreto comprimido e para as armaduras, admitindo para a razão entre os módulos de deformação do aço e do concreto o valor ae = 15.

A verificação do estado limite de abertura de fissuras é, em geral, feita para a combinação freqüente das ações, como se definiu no capítulo IV, e apenas para a protensão parcial (ver tabela 4.3.1, cap. IV).

Para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passivas e de protensão será considerada uma área Acr do concreto de envolvimento, constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de 7F do contorno do elemento da armadura (Fig. 9.1).

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Figura 9.1 – Área de concreto de envolvimento das barras da armadura (Acr)

Não há necessidade de verificar a abertura das fissuras para armadura de protensão que esteja dentro de bainha.

Na Fig. 9.2 está representada uma seção no estado limite de abertura de fissuras. O concreto da região tracionado está fissurado, o concreto comprimido apresenta uma variação linear de tensões, que são proporcionais às deformações (s c = ec.Ec). A linha tracejado do diagrama de tensões fornece ao nível de cada armadura o acréscimo de tensão após o estado de descompressão dividido pela relação entre os módulos de deformação do aço e do concreto as = Es/Ec que segundo as normas brasileiras deve ser considerado igual a 15

O passo fundamental para se calcular os acréscimos de tensões nas armaduras é a determinação da profundidade da linha neutra (valor de x).

A seqüência a seguir foi extraída da apostila do Prof. Manfred Theodor Schmid.

Da condição de equilíbrio da seção SFx = 0, pode-se escrever:

Rpt + Rst – Rcc = 0 (9.2)

Onde Rpt = Ap.sp = Ap.sp(o) + Ap.spx (9.3)

Rst = As.s s (9.4)

Rcc = ⌡⌠y=0

x

s y.by.dy (9.5)

Sendo: s y = s c x

.y (9.6)

<15F

7,5F

7,5F

7,5F

7,5F Acr

Acr

Para uma barra

Para um conjunto de barra

As ou Ap

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s s = ae. s c x

.(ds - x) (9.7)

s px = ae. s c x

.(dp - x) (9.8)

Figura 9.2 – Diagramas de deformações e de tensões correspondentes ao estado limite de abertura de fissuras

Da equação de equilíbrio (9.2), vem:

Ap.sp(o) + Ap. ae.

s c x

.(dp - x) + As. ae. s c x

.(ds - x) - s c x

. ⌡⌠y=0

x

y.by.dy = 0 (9.9)

onde a integral representa o momento estático da área de concreto comprimido em relação à linha neutra

Sx = ⌡⌠y=0

x

y.by.dy (9.10)

Chamando

P(o) = Ap. sp(o) (9.11)

Rpt

dy

L N

y MS x

As

Ap

dp ds

εp(o)

P∞

εc

σy

Rst

εpx

y x

Rcc

εs

xRcc

σc

h

by

bf

σs/αe

σpx/αe

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da Eq. 9.9, tem-se:

s c

x [ Sx – ae.As.(ds – x) – ae.Ap.(dp – x) ] – P(o) = 0 (9.12)

Considerando o concreto armado como um caso particular com

P(o) = 0 e Ap = 0

da Eq. 9.12 resulta

Sx - ae.As.(ds – x) = 0 (9.13)

De onde resulta calculado o valor de x que fornece a profundidade da linha neutra para o caso do concreto armado.

Isolando a relação s c / x da eq. 9.12, tem-se uma primeira equação que permitirá o cálculo de x:

s c

x =

P(o) Sx - ae.As.(ds - x) - ae.Ap.(dp - x)

(9.14)

Da segunda condição de equilíbrio da seção SMLN = 0, vem:

Rcc.xRcc + Rst.(ds – x) + Rpt.(dp – x) = MS (9.15)

onde xRcc é a ordenada do ponto de aplicação da resultante de compressão no concreto Rcc e MS é o momento solicitante, normalmente devido à combinação freqüente das ações.

Da mesma forma como foi visto no Cap. VIII, tem-se:

Rcc = ⌡⌠y=0

x

s y.by.dy (9.16)

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e

XRcc = Ix Sx

(9.17)

sendo Ix o momento de inércia da área de concreto comprimido em relação à linha neutra.

As resultantes de tração nas armaduras passiva e de protensão são dadas pelas expressões (9.4) e (9.3) respectivamente

Da equação de equilíbrio (9.15), resulta:

s c

x =

Mk - P(o).(dp - x) Ix + ae.As.(ds - x)2 + ae.Ap.(dp - x)2

(9.18)

Da igualdade das expressões (9.14) e (9.18) e chamando

rf = Mk P(o)

(9.19a)

e a = ds – dp (9.19b)

resulta:

x = rf. ae.(As.ds + Ap.dp) + Sx.(dp - rf) + ae.As.ds.a + Ix

rf. ae.(As + Ap) + ae.As.a + Sx

(9.20)

Da equação (9.20) resulta calculado o valor de x que fornece a profundidade da linha neutra. É importante notar, entretanto, que o segundo membro dessa equação também é uma função de x, uma vez que Sx e Ix dependem de x. A equação (9.20) geralmente resulta do 3o grau em x.

Calculado o valor de x, a tensão de compressão no concreto s c resulta determinada pelas expressões (9.14) ou (9.18)

É interessante uma análise da equação (9.18). O numerador pode ser chamado “momento fletor reduzido”

Mk,red = Mk – P(o).(dp – x) (9.21)

e o denominador “momento de inércia da seção homogeinizada”

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Ih = Ix + ae.As.(ds – x)2 + ae Ap.(dp – x)2 (9.22)

Assim, a equação (9.18) pode ser escrita:

s c = Mk,red

Ih.x (9.23)

Tendo em vista as expressões (9.7) e (9.8), os acréscimos de tensões nas armaduras podem agora ser calculados por:

s s = ae. Mk,red

Ih.(ds - x)

(9.24)

s px = ae. Mk,red

Ih.(dp - x)

(9.25)

Deve ser notado que para as barras da armadura de protensão, o cálculo da abertura das fissuras é feito com o valor de s px, que é o acréscimo de tensão após a descompressão do concreto de envolvimento. A tensão total nessa armadura será s p=s p

(o) + s px

A NBR-6118:2004 no seu item 17.3.3.2 fornece duas expressões para o cálculo da abertura provável das fissuras, que são:

w1 = ctm

si

si

sii

fEσσ

η.3

...5,12 1

Φ (9.26)

w2 =

+

Φ45

4..

.5,12 1 risi

sii

E ρσ

η (9.27)

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onde: s i = ssi ou spxi, dependendo de se tratar de armadura passiva ou de protensão, calculadas como indicado acima;

F i = diâmetro da barra i;

?ri = Asi / Acri = taxa geométrica da armadura na seção transversal de concreto (Acri) de envolvimento da barra i.

?1 = coeficiente de conformação superficial da barra i.

A NBR-6118/2004 estabelece:

a) Para armaduras passivas

?1 = 1,0 para barras lisas

?1 = 1,4 para barras dentadas

?1 = 2,25 para barras nervuradas

b) Para armaduras ativas

?p1 = 1,0 para fios lisos

?p1 = 1,2 para cordoalhas de 3 e 7 fios

?p1 = 1,4 para fios dentados

As expressões (9.26) e (9.27) fornecem os valores de w na mesma unidade de F, e se recomenda usar o “mm”.

Supõe-se que, com razoável probabilidade, a fissuração será nociva quando tanto w1 quanto w2 resultarem maiores que o valor tomado como admissível.

Assim, basta que um desses valores resulte menor que o valor wadm que estará atendida a verificação do estado limite de abertura de fissuras.