concreto protendido

ECC 605

Prof Paulo Sarkis

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APRESENTAÇÃO

A bibliografia recente sobre a técnica do concreto protendido apresenta uma grande lacuna. Não há abordagem de métodos que permitam ao aluno iniciante definir as dimensões e protensões necessárias para que uma peça possa atender a uma determinada finalidade. Os novos conceitos de dimensionamento do concreto protendido nos limites últimos, consagrados nas novas normas internacionais, inclusive na NBR-6118(16), inibiram a difusão de métodos até então bastante utilizados. Entre estes métodos, o utilizado por Guyon(1) no seu curso no Centre des Hautes Études de Béton Armeé et Précontraint é sem dúvida o que mais se adapta ao objetivo de iniciação na arte de projetar peças protendidas, especialmente vigas. O que se buscará fazer ao longo deste caderno é mostrar como podem ser aplicados estes métodos tradicionais em harmonia com as novas especificações de normas. No fundo resgata-se o fato de, na essência, o concreto protendido continuar sendo um recurso basicamente voltado para a melhoria do desempenho na fase de utilização do concreto. Os aspectos referentes à execução do concreto protendido, suas vantagens sobre o concreto armado, principais utilizações, sistemas de protensão, são abordados de forma condensada permitindo uma visão abrangente desta tecnologia. Bibliografia recomendada: 1. Y. Guyon, “Construction en Béton Précontraint”, Editions Eyrolles, 1966 2. Y. Lin, “Prestressed Concrete Structures”, Wiley International Edition, 1963 3. G. Dreux, “Pratique du Béton Précontraint”, Editions Eyrolles, 1973 4. Colin O’Connor, “Design of Bridge Superstrutures”, Wiley, 1971 5. J. Barrets, “Concreto Pré-esforzado”, Editora Reverté Mexicana, 1967 6. Curso “Tópicos de Concreto Protendido”, Prof. Lobo Carneiro, COPPE/UFRJ,

1969 7. Curso “Concreto Protendido”, Prof. Ervino Fritsch, UFSM, 1972 8. Publicação “Perdas da Força de Protensão”, VSL 9. Conferência “Blocos Parcialmente Carregados”, Aluizio Fontana Margarido, 1973,

DNER, Seminário de Estruturas 10. J.C.Sussekind, “Curso de Concreto”, Editora Globo, 1984 11. M. Franco, “Concreto Protendido em Edifícios”, III Jornadas Ibero-Latino-

Americana de Concreto Protendido, São Paulo, 1994 12. J.C. Figueiredo Ferraz, “Perdas de Protensão para Carregamentos Permanentes,

aplicados ao Longo do Tempo”, III Jornadas Ibero Latino Americana de Concreto Protendido, São Paulo, 1994

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13. A.C. Vasconcelos, “Manual Prático para a correta Utilização das aços no Concreto protendido”, Cia Siderúrgica Belgo Mineira

14. R.C. Schwingel, “Dimensionamento Automático de Vigas Isostáticas com Protensão Total ou Parcial, por Aderência Inicial”, Dissertação de Mestrado, Escola de Engenharia, UFRGS, Porto Alegre, 1995

15. W. Pfeil, “Concreto Protendido”, Editora Didática e Científica Ltda, 1991. 16. NBR 6118 “Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento”, ABNT, 2003 17. NBR 7482 “Fios de Aço para Concreto Protendido”, ABNT, 1991 18. NBR 7483 “Cordoalha de Aço para Concreto Protendido”, ABNT, 1991 19. CEB-FIP “Code Modèle CEB-FIP pour les Structures em Béton”, 1978 20. E.P. Duarte, “Execução de Lajes Protendidas”, III Jornadas Ibero Latino Americana

de Concreto Protendido, São Paulo, 1994 21. J.Mason, “Concreto Armado e Protendido”, Editora Livros Técnicos e Científicos,

1976. 22. Rudloff,Manfred T.S., “Perdas da força de protensão”, Publicações Técnicas

Rudloff-VSL Industrial Ltda, 1994. I. Introdução:

a) Conceitos Gerais:

O concreto protendido apresenta inúmeras vantagens técnicas e econômicas sobre os diversos materiais que concorrem com ele na solução de problemas estruturais; Ao empregar, com racionalidade, as máximas tensões que a tecnologia dos materiais possa oferecer, ele permite que o projetista acompanhe o progresso na fabricação de novos materiais, mais resistentes, incorporando-os imediatamente à sua rotina de projeto.

Em países mais desenvolvidos o emprego dos aços de protensão já chega a 7% dos aços de concreto armado. No Brasil este percentual é estimado de 1% a 2%.

A tecnologia da protensão tem, portanto, um largo campo para sua difusão no Brasil. Os principais obstáculos à implementação do seu uso são a falta de divulgação do desenvolvimento técnico atingido e a capacitação profissional dos engenheiros e técnicos da construção civil.

b) Natureza e Histórico:

A idéia da protensão é bastante antiga. Ao longo da civilização humana são muitos os exemplos de “estruturas” simples em que se criam tensões prévias (em geral de compressão) para se opor às tensões a serem geradas pelo carregamento ou uso futuro.

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São tradicionais os processos construtivos do barril e da roda de raios. Em ambos os casos coloca-se uma cinta metálica externa de diâmetro menor do que as madeiras a serem reunidas. Para colocar a cinta metálica a mesma é aquecida, dilatando-se ao resfriar a cinta provoca um esforço de compressão entre as partes de madeira.

Ao serem utilizados, tanto o barril quanto a roda sofrerão um esforço de tração entre as peças de madeira. Este esforço produzirá um alívio nas tensões de compressão que haviam sido criadas previamente, mas ainda sobrará um esforço de compressão entre as peças de madeira.

Assim, no concreto, com a sua característica de baixa resistência à tração, a idéia de se criar esforços prévios de compressão surgiu pouco depois da concepção do concreto armado.

O engenheiro alemão Doerhing, em 1888, já tentou utilizar os aços existentes na época para aplicar a protensão no concreto. Mas, devido à baixa qualidade dos materiais, toda a protensão aplicada inicialmente era consumida pelas perdas provocadas pela deformação lenta e retração do concreto combinadas com a relaxação do aço. Em pouco tempo as peças executadas apresentavam problemas de resistência e tinham de ser abandonadas.

Foi só na década de 1920 que o francês E. Freyssinet, após um longo estudo das propriedades reológicas do concreto e do aço, contando também com aços de melhor qualidade, relançou o concreto protendido como uma tecnologia moderna e avançada, capaz de superar os limites técnicos do concreto armado.

c) A protensão no concreto:

O concreto é um material de boa resistência à compressão mas péssima resistência à tração. Se uma viga de concreto simples for submetida à flexão, a sua ruptura dar-se-á na zona tracionada enquanto na zona comprimida a tensão atingirá apenas 1/10 da sua capacidade.

Para se contornar o problema existem duas soluções: No concreto armado dispõe-se uma armadura na zona tracionada, a qual

impedirá a ruptura da viga quando o concreto romper por tração.

No concreto protendido aplica-se uma força que produza tensões de compressão na zona que ficaria tracionada quando a peça for carregada.

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Observe-se que na primeira solução a peça precisa fissurar (romper à tração) para que a armadura funcione. No segundo caso, a protensão (a força prévia aplicada) pode ser suficiente para evitar a fissuração.

d) Exemplo de fixação:

Para fixar idéias, tomemos um exemplo, desenvolvido por Dreux(3), de uma viga de seção retangular, com b= 200 mm e h = 500 mm, sendo M= 80 kNm o momento atuante nesta seção. Supondo-se o concreto trabalhando à tração, a seção sem armadura, portanto homogênea, as tensões máximas, nas bordas, seriam:

tracionadainferior fibraMPa 9,66009]0,0083[m

80[kN.m]

v'IM

'

comprimidasuperior fibraMPa -9,66009]0,0083[m

80[kN.m]

vIM

m 83300,0v'

I

v

I

gravidade de centro ao bordas das Distânciam 25,0v'v

Inércia de Momentom 20800,012

5,02,0

12

bhI

23c

23c

3

433

⇒+=+===

⇒=−=−=−=

==∴

⇒==

⇒=×

==

m

kN

m

kN

σ

σ

Para o concreto esta tensão de tração é inaceitável (exigiria um concreto com fck da ordem de 200 MPa) enquanto a tensão de compressão é aceitável (necessita fck = 20 MPa). Suponhamos então que se aplique uma força normal à seção de P = 960 kN de compressão. Se P é centrada obtém-se uma tensão de compressão uniforme:

MPa 9,69600]m 0[5,02,0

960[kN]22

−=−=×

−=m

kNNσ

A combinação de tensões produzidas pelo momento fletor e pela força normal de protensão nos fornece:

σc = -9,6 MPa σN = -9,6 MPa σ = -19,2 MPa

σc’ = +9,6 MPa σN’ = -9,6 MPa σ’ = 0

+ = ⊗⊗⊗⊗

960 kN

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Do que resulta uma tensão de compressão muito forte para o concreto, embora tenham desaparecido as tensões de tração. O problema já poderia ser resolvido com um concreto de fck = 40 MPa. Se F coincide com a extremidade do núcleo central de inércia, obtemos: Se, nesta última hipótese, diminuímos à metade o valor da força de protensão (P = 480 kN) teremos: Solução melhor em relação às anteriores pois necessita apenas da metade da força de protensão (e, portanto, menor área de aço) e de um concreto de resistência moderada (fck = 20 MPa) CONCLUSÃO: Para equilibrar as tensões produzidas pelas cargas externas (M) devemos variar dois parâmetros: a força P e a excentricidade e. II. Meios para se obter uma protensão

Para que os princípios gerais da protensão possam ser aplicados é necessário dispor-se de meios físicos capazes de introduzir esforços prévios na estrutura para obter-se a protensão. Vários pesquisadores e profissionais tem se dedicado ao desenvolvimento de equipamentos e materiais para este fim. Os “sistemas de protensão” resultantes destes estudos são registrados, para obter a proteção dos direitos correspondentes a sua criação e explorados comercialmente.

⊗⊗⊗⊗ 960 kN e

σc = -9,6 MPa σN = 0 σ = -9,6 MPa

σc’ = +9,6 MPa σN’ = -19,2 MPa σ’ = -9,6 MPa

+ =

σc = -9,6 MPa σN = 0 σ = -9,6 MPa

σc’ = +9,6 MPa σN’ = -9,6 MPa σ’ = 0

+ = ⊗⊗⊗⊗ 480 kN

e

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Entretanto todos estes sistemas estão fundamentados em procedimentos básicos comuns. A seguir ilustramos algumas das idéias básicas utilizadas para obter protensão. a) Por reações externas Os macacos de protensão, que vão introduzir os esforços na estrutura, reagem sobre apoios externos e comprimem a viga no ponto desejado. Conseguida a protensão, os esforços são transmitidos através de calços e os macacos serão retirados. b) Por tração posterior de um cabo ou fio de aço A viga é concretada deixando-se no seu interior um conduto dentro do qual é colocado, sem aderência, um cabo de aço formado pela combinação de vários fios ou cordoalhas. Os macacos atuam, prendendo-se ao cabo de aço, comprimindo o concreto e tracionando o cabo. Atingido o esforço desejado, prende-se o cabo nas extremidades do conduto com o auxílio de cunhas ou outros dispositivos e liberam-se os macacos. c) Por tração de um cabo ou fio de aço antes da concretagem O cabo é tracionado por meio de macacos que se apoiam sobre apoios ou bancadas. A seguir a viga é concretada com o cabo em seu interior. Após a cura do concreto, os cabos são liberados da bancada, transferindo para o concreto, por aderência, o esforço de protensão.

macaco calço

cunhas

formas e suportes

leito de protensão

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A primeira idéia apresentada tem o defeito de exigir a existência de um ponto de reação externa suficientemente resistente para suportar as reações horizontais dos macacos que realizariam a protensão. Este sistema raramente é utilizado devido à dificuldade em dispor-se destes pontos para reação horizontal. A segunda idéia tem a vantagem de poder ser aplicada em qualquer local independente das condições externas dos apoios. A desvantagem deve-se ao custo e dificuldades para realizar-se as ancoragens nas extremidades dos condutos. Em geral os elementos utilizados para a ancoragem são fabricados em aço. Este meio para se obter a protensão é o mais usado e está na origem da maioria dos sistemas de protensão. É denominada protensão com pós-tração. A terceira idéia é mais apropriada para ser usada na pré-fabricação. Necessita para seu uso de uma instalação fixa onde sejam previstos os elementos para receber os esforços horizontais aplicados antes da concretagem. É conhecida pelo nome de protensão com pré-tração. Além dos sistemas gerais expostos acima existem outros de uso ainda reduzido. Entre estes sistemas podemos citar a Protensão Elétrica, Protensão Química, Protensão contra moldes, etc... Para maiores detalhes recomendamos T.Y.Lin (2). III. Materiais Utilizados Os materiais aço e concreto utilizados no concreto protendido devem apresentar altas resistências para serem técnica e economicamente viáveis. Conforme se verá mais adiante, não é tecnicamente viável a realização de protensão com aços de concreto armado e, da mesma forma, ela deixa de ser econômica com concretos de baixa resistência. A norma NBR 6118 fixa em um fck mínimo de 25 MPa e fator água/cimento máximo de 0,60 a qualidade mínima que o concreto deve apresentar. A tendência atual

leito de protensão

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é fixar valores ainda mais altos como 30 MPa. Em obra é possível trabalhar-se com até 50 MPa ou mesmo 60 MPa. Quanto aos aços utilizados para a realização da protensão no Brasil, a prática de uso atualmente privilegia o uso de fios de baixa relaxação de CP 175, com tensão de escoamento convencional (fpyk) de 1575 MPa e tensão de ruptura (fptk) de 1750 MPa, bem como de cordoalhas de baixa relaxação de CP190, com tensão de escoamento convencional (fpyk) de 1615 MPa e tensão de ruptura (fptk) de 1900 MPa. Os diagramas tensão-deformação são dados a seguir:

CP 175 RB

fptk = 1750 E1= 210000 ε1= 0,600%

fpyk = 1575 E2= 10000 ε2= 0,950%

a= -2,3E+07 1580

b= 444285,7

c= -582,857

ε σ0 0

0,300% 630

0,600% 1260

0,644% 1330

0,688% 1391

0,731% 1444

0,775% 1488

0,819% 1523

0,863% 1549

0,906% 1566

0,950% 1575

1,081% 1588

1,213% 1601

1,344% 1614

1,475% 1628

1,606% 1641

1,738% 1654

1,869% 1667

2,000% 1680

0,2% 0

FIO S D E BAIXA RELAXAÇÃO PARA C O N C RETO PRO TEN D IDO

C P 175 RB

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0,0% 0,2% 0,4% 0,6% 0,8% 1,0% 1,2% 1,4% 1,6% 1,8% 2,0%

alongamento

Módulo de Elasticidade 210 GPa

lim 0,2% = 1575 MPa

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50,0

9,0

5,4

7,7

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 10 20 30 40 50 60εεεε (%o)

σσσσP/fptk

De forma genérica, podemos usar o gráfico dado no Manual Prático para a Correta Utilização dos Aços no Concreto Protendido(13) para os aços de protensão em questão:

0,760ε456

1

fptk

σP50%oε9

0,642ε65

1

fptk

σP9%oε7,7

0,342ε0,218ε0,0097fptk

σPCP190

0,592ε0,328ε0,0198fptk

σPCP175

7,7%oε5,4

ε0,1130fptk

σP5,4%oε0

PP

PP

P2

P

P2

P

P

PP

+×=⇒≤≤

+×=⇒≤≤

−×+×−=

−×+×−=

⇒≤≤

×=⇒≤≤

EQUAÇÕES DOS DIVERSOS TRECHOS

CP 190 RB

fptk = 1900 E1= 195000 ε1= 0,702%

esc= 1710 E2= 10000 ε2= 1,077%

a= -2,2E+07 1690

b= 475365,5

c= -903,507

ε σ

0 0

0,351% 684

0,702% 1368

0,748% 1444

0,795% 1511

0,842% 1568

0,889% 1615

0,936% 1653

0,983% 1682

1,030% 1701

1,077% 1710

1,192% 1722

1,308% 1733

1,423% 1745

1,538% 1756

1,654% 1768

1,769% 1779

1,885% 1791

2,000% 1802

0,2% 0

CORDOALHA DE B AIXA RELAXAÇÃO PARA CONCRETO PROTENDIDO

CP 190 RB

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0,0% 0,2% 0,4% 0,6% 0,8% 1,0% 1,2% 1,4% 1,6% 1,8% 2,0%

alongamento

Módulo de Elasticidade 195 GPa

lim 0,2% = 1615 MPa

11/68

0

2000

0 60εεεε P

σσσσ s

εuk

fpyd

fpyk fptd

fptk

Ep

Ou, usando a NBR 6118/2003: Item 8.4.4 Módulo de Elasticidade O módulo de Elasticidade deve ser obtido em ensaios ou fornecido pelo fabricante. Na falta de dados específicos, pode-se considerar o valor de 200 GPa para fios e cordoalhas. Item 8.4.5 Diagrama tensão-deformação. ...Para cálculo nos estados-limite de serviço e último pode-se utilizar o diagrama simplificado da figura:

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C O RD OA LH AS PA R A PROT EN SÃO

ESPECIFICAÇÃO DOS PRODUTOS

PRODUTO DIÂM. NOM.

ÁREA APROX.

ÁREA MÍNIMA

MASSA APROX.

CARGA MÍNIMA

DE RUPTURA

CARGA MÍNIMA A 1% DE

ALONGAMENTO

ALONG. APÓS RUPT.

SérieDe (mm) (mm2) (mm2) (kg/km) (kN) (kgf) (kN) (kgf) (%) CORD CP 190 RB 3x3,0 CORD CP 190 RB 3x3,5 CORD CP 190 RB 3x4,0 CORD CP 190 RB 3x4,5 CORD CP 190 RB 3x5,0

6,5 7,6 8,8 9,6 11,1

21,8 30,3 39,6 46,5 66,5

21,5 30,0 39,4 46,2 65,7

171 238 312 366 520

40,8 57,0 74,8 87,7

124,8

4.080 5.700 7.480 8.770

12.480

36,7 51,3 67,3 78,9

112,3

3.670 5.130 6.730 7.890

11.230

3,5 3,5 3,5 3,5 3,5

CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7

6,4* 7,9* 9,5 11,0 12,7 15,2

26,5 39,6 55,5 75,5 101,4 143,5

26,2 39,3 54,8 74,2 98,7

140,0

210 313 441 590 792

1.126

49,7 74,6

104,3 140,6 187,3 265,8

4.970 7.460

10.430 14.060 18.730 26.580

44,7 67,1 93,9

126,5 168,6 239,2

4.470 6.710 9.390

12.650 16.860 23.920

3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5

* Fabricação sob consulta

Acondicionamento

As cordoalhas são fornecidas em rolos sem núcleo nas seguintes dimensões aproximadas:

Composição da Cordoalha

Peso Nominal

(kg)

Diâm. Int. (cm)

Diâm. Ext. (cm)

Altura do Rolo (cm)

Cordoalha 3 ou 7 Fios 2800 76,2 139 76,2

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FI OS PA R A PR OTE NS ÃO

TENSÃO MÍNIMA DE RUPTURA

TENSÃO MÍNIMA A 1%

DE ALONGAMENTO

PRODUTO DIÂMETRO NOMINAL

(mm)

ÁREA APROX.

(mm2)

ÁREA MÍNIMA

(mm2)

MASSA APROX. (kg/km)

(MPa) (kgf/mm2) (MPa) (kgf/mm2)

ALONG. APÓS

RUPTURA (%)

CP 145RBL 9,0 63,6 62,9 500 1.450 145 1.310 131 6,0 CP 150RBL 8,0 50,3 49,6 394 1.500 150 1.350 135 6,0 CP 170RBE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0 CP 170RBL 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0 CP 170RNE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.450 145 5,0 CP 175RBE CP 175RBE CP 175RBE

4,0 5,0 6,0

12,6 19,6 28,3

12,3 19,2 27,8

99 154 222

1.750 1.750 1.750

175 175 175

1.580 1.580 1.580

158 158 158

5,0 5,0 5,0

CP 175RBL CP 175RBL

5,0 6,0

19,6 28,3

19,2 27,8

154 222

1.750 1.750

175 175

1.580 1.580

158 158

5,0 5,0

CP 175RNE CP 175RNE CP 175RNE

4,0 5,0 6,0

12,6 19,6 28,3

12,3 19,2 27,8

99 154 222

1.750 1.750 1.750

175 175 175

1.490 1.490 1.490

149 149 149

5,0 5,0 5,0

Acondicionamento Os fios para concreto protendido são fornecidos em rolos de grande diâmetro, obedecendo

às seguintes dimensões aproximadas:

Diâmetro Nominal do Fio (mm)

Peso Nominal

(kg)

Diâm. Int. (cm)

Diâm. Ext. (cm)

Altura do Rolo (cm)

4 700 150 180 18

5-6-7-8-9 700 180 210 18

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IV. Propriedades dos Materiais – Aço e Concreto – que interessam ao concreto protendido.

Como as tensões introduzidas pela protensão alteram-se com as deformações experimentadas pelo aço e pelo concreto, tudo que diz respeito às propriedades físicas capazes de influir na deformação do concreto e do aço interessa ao concreto protendido. O exemplo seguinte esclarece bem a questão: Viga com dois cabos de protensão.

a) antes da protensão do primeiro cabo as deformações ocorridas não influem no valor da força de protensão.

b) após a protensão do 1º cabo as deformações introduzidas por esta protensão também não influem no valor do esforço, pois a ancoragem se dá após a obtenção da força desejada.

c) após a protensão do 2º cabo as deformações, introduzidas por esta segunda protensão, vão influir sobre o esforço que estava sendo aplicado pelo primeiro cabo.

d) a retração(s) e a deformação lenta(c), que ocorrem após o término da operação de protensão, produzem um encurtamento da peça de concreto, reduzindo o valor da força de protensão.

e) além dos fenômenos mencionados acima e simultaneamente, ocorre a chamada relaxação do aço, que também representa uma diminuição do valor da força de protensão.

Quase todas as bibliografias de concreto (armado ou protendido) tratam dos problemas citados, ou seja: - deformação elástica do concreto e do aço; - retração do concreto; - deformação lenta ou fluência do concreto

∆ε∆ε∆ε∆εe1

encurtamento plástico da viga ∆ε∆ε∆ε∆εe1+∆ε∆ε∆ε∆εe2+ ∆ ε ∆ ε ∆ ε ∆ εs+∆ε∆ε∆ε∆εc

provoca a perda de tensão no primeiro cabo

provoca a perda de tensão em todos os cabos

encurtamento elástico da viga ∆ε∆ε∆ε∆εe1+ ∆ε∆ε∆ε∆εe2

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- relaxação do aço. V. Sistemas de protensão.

Existem vários sistemas ou processos de protensão, isto é, conjuntos de

procedimentos e equipamentos que permitem a introdução de tensões prévias no concreto. Por isto é praticamente impossível conhecer todos os sistemas de protensão existentes (em torno de uma centena no mundo inteiro). No livro de Lin(2) há uma abordagem sistemática destes processos, classificados conforme o mecanismo de introdução da protensão, dispositivos de ancoragem, etc. De todos os processos existentes, o sistema Freyssinet é o que mais se desenvolveu no mundo inteiro. Entre nós, no Brasil, são ou foram usados os sistemas Freyssinet ou STUP, Leonhard, Rudloff-VSL, Ferraz, MAC, Tensacciai, além dos sistemas de protensão para pré-moldados.

Os fundamentos gerais para o projeto de uma estrutura em concreto protendido não sofrem a influência do sistema de protensão. Apenas no cômputo das perdas por atrito, perdas de ancoragem, detalhes das extremidades dos cabos é que aparece a influência dos processos de protensão. O que diferencia um sistema de protensão dos outros são o método e equipamentos para aplicação de tensão, modo de ancoragem e os materiais utilizados, incluindo a composição dos cabos. Cada sistema de protensão apresenta vantagens e desvantagens, sendo muito difícil fazer uma comparação entre eles para determinar qual o melhor. Pode-se dizer que um sistema de protensão que tenha sido bem testado experimentalmente e aprovado por órgãos idôneos é um sistema em condições de uso. A escolha de um ou outro sistema de protensão dependerá de fatores comerciais (assistência do fabricante, vantagens, etc.) e de fatores técnicos (perdas por atrito, por ancoragem, compacidade dos equipamentos, etc.). Em geral, um sistema de protensão engloba vários detalhes, dos quais muitos são comuns a outros sistemas. Por exemplo, a maneira de executar os condutos no concreto, o tamanho, o número e a disposição dos aços, os princípios básicos para a colocação em tensão e os princípios básicos de ancoragem são comuns a vários sistemas. A seguir damos as características mais importantes dos sistemas utilizados no Brasil, para protensão com pós-tração. VI. Sistema Freyssinet ou STUP.

O processo Freyssinet ou STUP é o mais antigo do mundo, se bem que tenha sofrido muitos melhoramentos que o tornam diferente da concepção inicial de Freyssinet.

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Os dutos para o aço de protensão são obtidos com auxílio de folha metálica corrugada chamada bainha. Já existe hoje, no mercado, tubos plásticos para bainhas de protensão. Os aços podem ser enfiados antes da colocação da bainha no meio da forma, depois da fixação da bainha nas armaduras, mas antes da concretagem, ou após o término da concretagem. a) Os fios e as cordoalhas de aço são reunidos em feixes chamados cabos. 1. Os fios são paralelos e reunidos em torno de uma mola central. 2. As cordoalhas podem ser reunidas em torno de molas ou não, conforme o

comprimento do cabo. 3. Para cada tipo de cabo devem ser escolhidos os correspondentes macacos, cones de

ancoragem e bainhas. b) Os macacos são de duplo efeito.

Possuem ranhuras laterais, onde se alojam e são ancorados os fios ou cordoalhas. Quando acionados, os macacos tracionam os fios apoiando-se nas bordas do cone fêmea de ancoragem. Atingida a tensão desejada (controla-se também o alongamento dos aços), o próprio macaco contém um dispositivo (duplo efeito) que força o cone macho para o lugar definitivo, ancorando os fios de aço.

c) As ancoragens são obtidas com o auxílio de dois dispositivos que são: cone fêmea e cone macho. Estes dispositivos podem ser fabricados em concreto altamente vibrado e cintado (para cabos de 12φ5 mm e 12φ7 mm) ou em aço (todos os cabos). A tendência atual é fazê-los de aço. As ranhuras laterais existentes no cone macho destinam-se a alojar os fios ou cordoalhas dos cabos. O furo central destina-se a permitir a posterior injeção de argamassa.

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d) Injeção de argamassa e fecho das extremidades. Após o término da operação de protensão deve-se injetar (através do furo existente no cone macho) uma massa de cimento e areia para se obter a aderência dos cabos e sua proteção. Esta injeção é feita com o auxílio de um misturador e de uma bomba a pistão.

Acompanhando uma tendência geral, a STUP também oferece sistema de protensão com ancoragem individual de cordoalhas, semelhante aos sistemas apresentados na seqüência.

VII. Sistema Rudloff-VSL.

O sistema de protensão Rudloff tem as suas unidades básicas definidas a partir de combinações de cordoalhas de ½”, podendo estas combinações serem as mais variadas, desde uma única cordoalha até cabos com 31 cordoalhas.

A tração útil depende do número de cordoalhas do cabo. Cada cordoalha corresponde a valores entre 9 e 12 toneladas,

aproximadamente. Estes valores de tração útil, tanto no caso do sistema Rudloff quanto no caso do sistema Freyssinet, são meras indicações. Os valores reais dependerão do tipo de aço e serão o resultado da aplicação de tensões definidas em norma para cada tipo.

O macaco do sistema Rudloff-VSL permite a passagem dos fios por um espaço interno. Os fios tem ancoragem individual nos macacos.

As ancoragens do sistema Rudloff são obtidas com o auxílio de uma placa metálica, colocada na extremidade do cabo, solidária ao concreto, que apresenta um furo individual para cada cordoalha do cabo e um furo que permanece livre para a futura injeção. Para se obter a fixação das cordoalhas na placa de ancoragem, elas são envolvidas por pequenas peças tronco-cônicas, partidas em três setores, que apertam a cordoalha quando forçadas para dentro dos furos da placa metálica. A figura a seguir ilustra a ancoragem do sistema.

VIII. Sistema Tensacciai.

Este sistema, na sua concepção original, adota cabos com saídas individuais para cada elemento, cordoalha de 1/2” e 5/8” , que são tracionadas por macacos independentes que atuam de forma simultânea.

As ancoragens são compostas de cunhas e porta-cunhas externas às placas de ancoragem.

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As unidades, cabos, são disponíveis até 27 cordoalhas de 15,2 mm (5/8”). Numa outra alternativa do sistema Tensacciai, o macaco é único para todas as

cordoalhas de um cabo. A ancoragem é feita com cunhas que reagem contra um bloco único apoiado por sua vez na placa de ancoragem.

Neste último caso, os cabos podem conter até 36 cordoalhas de 15,2 mm (5/8”). As figuras a seguir ilustram o sistema.

IX. Sistema MAC.

Sistema concebido para cabos formados por até 31 cordoalhas de 1/2” ou 22 de 5/8”, protendidas por um único macaco.

A ancoragem se dá com cunhas tronco-cônicas partidas em três setores que se acomodam em furos na placa de ancoragem em aço.

No site da empresa podemos obter algumas informações úteis para projetistas, embora de forma simplificada, sobre os principais tipos de ancoragens ativas injetadas para cabos com cordoalhas de φ12,7 mm e φ15,2 mm. O desenho abaixo indica os tamanhos e disposições constantes nas tabelas:

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Cordoalha φ 12 ,7 mm Cabo 1 2 4 6 7 12 19

a(mm) 140x140 184x164 240x240 285x285 285x285 344x344 420x420 b(mm) 100x100 140x120 160x160 205x205 205x205 270x270 340x340

Nicho

c(mm) 100 100 100 110 110 120 150 d(mm) - 50x25 62 85 85 126 180 Trombeta

e bainha e(mm) 32 35x20 42 50 50 66 80 f(mm) 80 90 100 130 130 200 225 g(mm) 110 140 160 200 200 300 390 p(mm) 80 90 100 130 130 200 225

Disposições Construtivas

q(mm) 110 120 160 200 200 300 390 k(mm) 5 5 8 8 8 12,5 10 h(mm) 90 110 140 170 170 250 350 i(mm) 35 35 35 35 35 35 35

Espira

x(mm) 1150 1400 2200 2700 2700 5500 9900 n(mm) 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 5 4,2 j(mm) 120 120 160 160 160 230 280

Barra

z(qtd.) 2 3 3 3 3 3 4

Fre

tage

m

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Cordoalha φ 15,2 mm Cabo 1 2 4 6 9 12 16

a(mm) 175x175 245x245 290x290 350x350 350x350 420x420 440x440 b(mm) 125x125 195x195 200x200 240x240 270x270 340x340 360x360

Nicho

c(mm) 100 100 110 120 150 150 150 d(mm) - 60x25 80 90 126 160 180 Trombeta

e bainha e(mm) 32 40x20 46 60 66 80 90 f(mm) 85 108 120 140 200 225 225 g(mm) 125 175 210 230 300 390 390 p(mm) 85 93 120 140 200 225 225

Disposições Construtivas

q(mm) 125 145 210 230 300 390 390 k(mm) 6,3 6,3 10 10 12,5 12,5 10 h(mm) 110 120 150 170 250 250 350 i(mm) 35 35 35 35 35 35 35

Espira

x(mm) 1350 1510 2400 2700 5500 5500 9900 n(mm) 3,4 4,2 4,2 3,4 5 5 4,2 j(mm) 140 120 160 160 230 230 280

Barra

z(qtd.) 2 3 3 3 3 3 4

Também são apresentadas, de forma simplificada, informações sobre os seus macacos de protensão, para cordoalhas de φ12,7 mm e φ15,2 mm.

Para Cordoalha Injetada:

Macaco

MAC-

a

(mm)

b

(mm)

c

(mm)

d

(mm)

e

(mm)

Peso

(kg)

Curso

(mm)

Área

(cm2)

Comp. de cordoalha

para a protensão

(mm)

Perda por

acomodação

(mm)

Atrito interno

(%)

obse

rvaç

ões:

1 120 480 770 50 180 38 250 40,77 700 6 3 1

4 215 443 525 152 295 70 150 152,01 800 6 3 2

7 250 450 535 180 340 130 160 240,00 700 6 3 3

12 350 480 630 250 430 240 150 392,90 750 6 3 4

19 460 180 670 280 550 350 150 732,76 780 6 3 5

31 550 700 850 320 950 700 150 780,00 800 6 3 6

Fre

tage

m

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observações: 1. para 1 cordoalha de φ 12,7 mm ou φ 15,2 mm; 2. para 4 cordoalhas de φ 12,7 mm; 3. para 7 cordoalhas de φ 12,7 mm ou 4 à 6 de φ 15,2 mm; 4. para 12 cordoalha de φ 12,7 mm ou 9 de φ 15,2 mm; 5. para 19 cordoalha de φ 12,7 mm ou 10 à 15 de φ 15,2 mm; 6. para 31 cordoalha de φ 12,7 mm ou 22 de φ 15,2 mm;

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X. Dimensionamento à flexão de uma seção de concreto protendido. As seções de uma peça de concreto protendido devem ser dimensionadas ou verificadas para as solicitações em serviço, com tensões admissíveis especificadas nas Normas ou nas condições especiais de projeto, e pelos critérios de limite último ou de ruptura. Ao contrário do concreto armado, que mesmo em uso trabalha fissurado, no concreto protendido a verificação das tensões em serviço nas seções baseia-se nas teorias elásticas. Admite-se a seção de material homogêneo, submetida a cada instante às solicitações de flexão (provenientes das solicitações externas e da excentricidade da força de protensão) e de compressão (proveniente da força de protensão). Desta forma os procedimentos de cálculo baseiam-se inteiramente nas teorias da Resistência dos Materiais ou teoria da elasticidade. A verificação em serviço de uma seção consiste, portanto, em aplicar para cada fase característica da vida da peça, as teorias de presso-flexão para o cálculo das tensões de borda, não devendo estas tensões ultrapassar as tensões admissíveis. Na vida útil de uma peça protendida devem ser identificadas todas as combinações possíveis de carregamento e força de protensão, levando-se em conta que esta última varia ao longo do tempo em função das perdas. Em geral, as seguintes fases características podem ser encontradas na vida de uma peça: 1º caso) Protensão numa única fase: 1ª fase: protensão total inicial + peso próprio 2ª fase: protensão total inicial + cargas totais 3ª fase: protensão total final após perdas + cargas permanentes 4ª fase: protensão total final após perdas + cargas totais 2º caso) Protensão em várias fases: 1ª fase: protensão parcial 1 inicial + peso próprio 2ª fase: protensão parcial 1 após as perdas + peso próprio + parte 1 das cargas permanentes 3ª fase: 2ª fase + protensão parcial 2 inicial 4ª fase: 2ª fase + protensão parcial 2 após perdas + parte 2 das cargas permanentes 5ª fase: 4ª fase + protensão parcial 3 inicial ... nª fase: todas as protensões parciais após as perdas + carga total. É usual admitir-se diferentes limites para as tensões no concreto nas diversas fases. Isto aumenta a complexidade das verificações, embora a finalidade de se usar limites diferentes seja para permitir um melhor aproveitamento do material. Por outro

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lado, as perdas de protensão dependem da idade decorrida desde a aplicação de cada protensão e também da idade do concreto quando da aplicação de cada protensão. XI. Fixação das tensões admissíveis. Para fixação das tensões admissíveis necessitamos primeiramente caracterizar os diversos tipos de protensão previstos na NBR 6118(16) . São previstos: nível 1-Protensão parcial, nível 2-Protensão limitada e nível 3-Protensão completa. Para a protensão parcial (nível 1) admite-se fissuração para a combinação freqüente de ações, com abertura característica de fissura w ≤ 0,2 mm. Para protensão limitada (nível 2) deve-se ter tensões de compressão ou nula (estado limite de descompressão) para as combinações quase permanentes de ações, admitindo-se tensões de tração limitada à tensão característica à tração do concreto fctk (limite de formação de fissura) para as combinações freqüentes de ações. Finalmente, para protensão completa (nível 3) a peça deve apresentar tensões normais à seção sempre de compressão ou nula (estado limite de descompressão) e, apenas para as chamadas combinações raras de ações (sismo, vento, etc.), é admitida tensão de tração limitada à tensão característica à tração do concreto, fctk (estado limite de formação de fissura). Podemos montar a seguinte tabela:

Classe de agressividade ambiental (CAA)

Nível de Protensão mínimo

fck mínimo (MPa)

cobrimento mínimo (mm)

I com pré-tração I ou II com pós-tração

1 20

30

II com pré-tração III ou IV com pós-tração

2 25

35

III ou IV com pré-tração 3 35 45 Em todos os casos, a NBR 6118 fixa o valor máximo da tensão de compressão, para garantir a segurança no momento da protensão, em 0,70 fck ou 0,70 fckj se a protensão for em idade inferior à 28 dias. Já a tensão máxima de tração do concreto não deve ultrapassar 1,2 vezes a resistência à tração fctm correspondente ao fckj especificado. Estas tensões devem ser obtidas através das solicitações ponderadas de γP = 1,1 e γf = 1,0. As tensões no concreto são maiores no momento da protensão, em nenhuma etapa posterior a tensão obtida quando da aplicação da força de protensão será suplantada e esta verificação visa a segurança neste momento crítico. Na técnica de projeto desenvolvida neste caderno didático, adotaremos o critério de projetar a peça para que ela satisfaça os limites de Norma ou de projeto no tempo infinito. As perdas de protensão serão compensadas previamente por uma força

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maior no ato da protensão. Desta forma temos a necessidade de projetar no tempo infinito para limites máximos inferiores a 0,70 fck. Quanto maior for a perda de protensão a ser compensada na força inicial, maior será a diferença entre as tensões máximas no concreto no momento inicial e no tempo infinito. Com base em experiência de projetos será adotado 0,40 fck quando for usado aço de relaxação normal (RN) e de 0,45 fck quando for usado aço de baixa relaxação (RB). Para a tensão mínima com a viga descarregada, recomenda-se utilizar 10% do valor adotado para a tensão máxima, de modo a evitar que apareçam tensões de tração no momento da protensão. De qualquer forma se, na compensação das perdas, chegar-se a tensões muito diferentes do limite de 0,70 fck, para maior ou para menor, o projeto poderá ser retomado com tensões diferentes das propostas acima para o tempo infinito. Para tensões de tração ou limite de descompressão, a relação entre a tensão no tempo infinito e no ato da protensão dependerá da natureza da peça. No caso de vigas (flexão), a protensão, isoladamente, produz tensões de tração na face oposta aos cabos. Assim as tensões, no instante inicial, apresentarão mais tração ou menos compressão do que no tempo infinito. Para projetar com tensões no tempo infinito e garantir os limites da NBR 6118 no momento inicial, é necessário impor-se limites de projeto acrescendo-se pequenas tensões de compressão aos limites da norma. Estes acréscimos são diferentes conforme se trate de vão inferior ao crítico ou superior ao crítico definidos adiante. Para armaduras de protensão, a NBR 6118 fixa os seguintes valores, válidos para o momento da aplicação da protensão: � Na pré-tração com cabos de relaxação normal (RN) deve ser atendido o menor dos

dois valores 0,77 fptk e 0,90 fpyk. Com aços de baixa relaxação (RB) os limites são 0,77 fptk e 0,85 fpyk.

� Na pós-tração com cabos de relaxação normal (RN) deve ser atendido o menor dos

dois valores 0,74 fptk e 0,87 fpyk. Com aços de baixa relaxação (RB) os limites são 0,74 fptk e 0,82 fpyk.

Permite-se, por ocasião da aplicação da força de protensão, a elevação da força de protensão, limitados a 10 % dos valores acima em até 50% dos cabos, se forem constatadas irregularidades na protensão decorrentes de falhas executivas nos elementos estruturais. Para definição do número e tipo de cabo durante o projeto, quando se conhece inicialmente apenas a protensão no tempo infinito, pode-se utilizar valores 20% inferiores aos determinados acima, para aços de relaxação normal e 16% para aços de baixa relaxação.

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PB’

PA

PA’

f’ f’ f’ f’ f’ f’

PB

XII. Equilíbrio de forças numa viga protendida

No caso da protensão com pós-tração, onde o traçado do cabo pode ser curvo, no momento em que é feita a protensão não existe solidariedade entre o concreto e o cabo. Desta forma, o equilíbrio de forças é obtido pelas ações e reações entre o cabo e o concreto. Tomemos um trecho de viga com cabo curvo: As forças e tensões assinaladas com ( ’ ) atuam sobre o elemento de concreto e as forças sem sinal atuam sobre o cabo. Verifica-se, pelo conjunto de forças ativas e reativas que atuam no concreto, que, para que haja equilíbrio, temos que considerar as tensões existentes na seção com resultante igual à força no cabo e ponto de aplicação da resultante em cima do ponto de passagem do cabo. Logo, podemos admitir, em cada seção, o concreto solicitado por uma força de valor igual à força atuante no cabo e tangente ao cabo na seção. No caso da pré-tração o cabo é reto ou poligonal, se forem usados pinos para desviar a direção, mas o princípio de equilíbrio na seção é o mesmo. O cálculo das tensões normais nas bordas de uma seção transversal de concreto protendido é feito pelas fórmulas da resistência dos materiais levando-se em conta todos os esforços que solicitam a seção. Para o momento externo positivo atuante na seção:

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inferior borda nav'I

M')2

superior borda navI

M)1

=

−=

c

c

σ

σ

Para força excêntrica de compressão:


eP

A

P)4

superior borda navI

eP

A

P)3

' ×−−=

×+−=

cp

cp

σ

σ

Entendido que o sinal (-) representa compressão e que valores positivos da excentricidade são contados do centro de gravidade da seção em direção à borda inferior. XIII. Compensação do peso próprio – Seção retangular.

Com um exemplo numérico, adaptado de Guyon(1) vamos demonstrar uma das grandes vantagens do concreto protendido que é equilibrar o peso próprio (total ou parcialmente) sem custos. Como as seções retangulares não são muito convenientes para uso em concreto protendido (ver Capítulo XVIII - Rendimento de uma Seção) para termos um exemplo mais real de seção retangular podemos imaginar faixas de 1 metro de largura de uma laje armada numa só direção. Seja, pois, um projeto com as características ilustradas abaixo:

Com o concreto fck = 25 MPa, protensão completa da NBR 6118, com aço de relaxação baixa, RB. Deseja-se determinar as dimensões (altura) da seção, valor e ponto de aplicação da protensão.

A tensão limite no tempo infinito será de σadm= 0,45 fck ≅ 11,25 MPa, para evitar dificuldades na verificação na ruptura (Capítulo XI).

Considerando-se o momento produzido pela carga acidental Mq teríamos:

kNm 2408

1213,33M

2

q ≅×

=

Inicialmente, sem considerar o peso próprio, para o máximo aproveitamento do material, resultaria o seguinte esquema de tensões:

12 m q = 13,33 kN/m

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Para obter o diagrama de tensões devido às cargas acidentais devemos ter:

m 0,377h101256h1

24010125kN/m

2

h

12

bh

MMPa;10,25v

I

M2

23

=∴=××

⇒=×=

O esforço de protensão deve ser igual à resultante das tensões devidas à protensão pura:

kN 23332

1125)11250(1,00,377P =

+××=

A armadura de protensão deve estar localizada no ponto de passagem da resultante das tensões de protensão. Desta forma, pelas tensões nos bordos:

2

377,0

12377,01

2333

377,01

23331025,11''

2

377,0

12377,01

2333

377,01

233310125,1

33

33

××

×−

×−=×−⇒×

×−−=

××

×+

×−=×−⇒×

×+−=

ev

I

eP

A

P

ev

I

eP

A

P

P

P

σ

σ

e = 0,051m do centro da seção Resumindo: Seção de 1,0 × 0,377 m

Força de protensão P = 2333 kN Ponto de aplicação ≅ 0,14 m da face inferior. Consideremos agora a ação do peso próprio. O momento gerado pelo peso próprio será:

kNm 0718

12251,00,377M

2

g ≅×××

=

Ora, se mantivéssemos a protensão com as mesmas características vistas acima, teríamos os seguintes diagramas de tensões:

σP =-1,125 σq = -10,125 σ =-11,25

σ’P =-11,25 σ’q =10,125 σ’ = -1,125

+ =

Protensão Pura

Cargas Acidentais

Tensões Resultantes

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Protensão + peso próprio

(Protensão + peso próprio) + sobrecarga Observe que a fase anteriormente chamada de protensão pura só existe teoricamente. Na prática, quando aplicamos a protensão, a viga se deforma liberando o escoramento e mobilizando desde o início o peso próprio. Antes da protensão Após a protensão Verificamos também que as tensões finais saem dos limites pois vamos ter uma tensão de compressão na borda superior de 18,427MPa >11,25 e uma tensão de tração de 6,052 MPa >0. À primeira vista pode nos parecer que a única maneira de trazer as tensões para os limites admissíveis é alterar a seção e/ou a força de protensão. Na realidade a solução é mais simples.

σ =-8,302 MPa σq = -10,125 σ =-18,427

+ =

σ’ =-4,073 MPa σ’q =10,125 σ’ = 6,052

σP =-1,125 σq = -7,177 σ =-8,302

σ’P =-11,25 σ’q =7,177 σ’ = -4,073

+ =

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σ=? σg = -7,177 σ =-1,125

σ =? σ’g =7,177 σ’ =-11,25

+ = ?

Da figura análoga à da primeira parte do problema vemos que o diagrama que deve ser somado ao produzido pelas cargas externas para se obter as tensões limites quando atuar a sobrecarga é um diagrama triangular.

Ora, se encontrarmos um diagrama para o estado de protensão pura que,

somado ao diagrama devido ao peso próprio, produza o mesmo diagrama utilizado acima, teremos resolvido o problema.

Deste esquema, tiramos o valor do diagrama da protensão pura, que é: Resta saber se o diagrama pode ser produzido sem alterarmos as dimensões da

peça. Observemos em primeiro lugar que a resultante do diagrama acima é a mesma do diagrama triangular usado anteriormente, ou seja, a força de protensão necessária para obtê-los é a mesma.

σP=-1,125 σq = -10,125 σ =-11,25

σ’P =-11,25 σ’q =10,125 σ’ =-1,125

+ =


Cargas Acidentais


σ’ =-18,427

σ =6,052

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Para obtermos a excentricidade do ponto de aplicação da força de protensão podemos utilizar as fórmulas já apresentadas:

Ora, no caso anterior a excentricidade era de 0,051m. Logo, conseguimos equilibrar o peso próprio da estrutura apenas com um

deslocamento do ponto de aplicação da força de protensão. Observemos ainda que a excentricidade encontrada e = 0,124 m é compatível

com a seção, pois podemos dar a excentricidade de 0,124 m ao cabo e ainda sobra 0,065 m = 6,5 cm do centro de gravidade do cabo até a borda da seção.

Se comparadas a solução final com a solução intermediária, obtida sem

consideração do peso próprio, observa-se que a seção global, bem como a força de protensão são iguais. A única alteração é o ponto de aplicação. Constata-se, pois, que o peso próprio foi absorvido sem custos adicionais.

Resta ainda saber se a solução encontrada funcionará em t0, ou seja, quando da

aplicação da protensão. Neste instante a máxima tensão de compressão na borda inferior não pode exceder 0,70 fck, conforme especifica a norma.

Se estivermos trabalhando com aços de baixa relaxação, podemos estimar a

perda de protensão entre 16 e 20% do valor de P aplicado no instante da protensão.


eP

A

Pσ'

superior borda navI

eP

A

Pσ

cp

cp

×−−=

×+−=

0,124me0,3771,0

e2333621024,479

___________________________________

0,3771,0

e23336

1,00,377

233310,42782

0,3771,0

e33326

1,00,377

233310052,6

23

23

23

=∴×

×××+=×+

×

××−

×−=×−−

×

××+

×−=×+

0,189

0,377 0,124

0,065

31/68

Assim sendo, para obtermos o valor desejado para P (neste exemplo de 2333 kN) devemos aplicar uma força em torno de 20% maior. Logo:

kNP

PPPP ooo 291680,0

2333

80,020,0 ≅==∴×+=

E as tensões nas bordas da seção ficam:

Neste caso, 18,1 MPa é maior que o limite da norma, de 0,7x25 = 17,5 MPa, o

que seria inaceitável. Já se a perda de protensão ficasse em torno de 18%, conseguiríamos tensão igual àquela da norma, pois:

kNP

PPPP ooo 284582,0

2333

82,018,0 ≅==∴×+=

E as tensões nas bordas da seção ficariam:

MPamkN

h

hb

Mh

hb

eP

hb

Pv

I

Mgv

I

eP

A

P

MPamkN

h

hb

Mh

hb

eP

hb

Pv

I

Mgv

I

eP

A

P

P

gooP

P

gooP

1,182/18122

2

377,0

12377,01

170

2

377,0

12377,01

124,029161,1

377,01

29161,1

212

212

1,11,1''

1,11,1'

11,12/1106

2

377,0

12377,01

170

2

377,0

12377,01

124,029161,1

377,01

29161,1

212

212

1,11,11,11,1

33

3300

33

3300

−≅−=

××

+××

××−

×

×−=

=××

+××

×−

×−=×+×

×−−=

≅+=

××

−××

××+

×

×−=

=××

−××

×+

×−=×−×

×+−=

σ

σ

σ

σ

MPamkN

h

hb

Mh

hb

eP

hb

Pv

I

Mgv

I

eP

A

P

MPamkN

h

hb

Mh

hb

eP

hb

Pv

I

Mgv

I

eP

A

P

P

gooP

P

gooP

5,172/17506

2

377,0

12377,01

170

2

377,0

12377,01

124,028451,1

377,01

28451,1

212

212

1,11,1''

1,11,1'

90,02/904

2

377,0

12377,01

170

2

377,0

12377,01

124,028451,1

377,01

28451,1

212

212

1,11,11,11,1

33

3300

33

3300

−≅−=

××

+××

××−

×

×−=

=××

+××

×−

×−=×+×

×−−=

+≅+=

××

−××

××+

×

×−=

=××

−××

×+

×−=×−×

×+−=

σ

σ

σ

σ

32/68

Que é igual ao limite de compressão especificado pela Norma.

O valor de fctm é dado pela equação 3 23,0, fckmfct = , sendo da ordem de 2,56 MPa. Logo, o limite de Norma para tração é de 1,2x2,56 =3,07 MPa. O valor obtido na borda superior foi de 0,90 MPa, inferior, portanto, ao máximo permitido nesta ocasião.

Observemos que a conclusão do problema proposto só poderá ser obtida

quando for considerado e calculado o valor real das perdas diferidas (retração, deformação lenta e relaxação).

Se ele for igual ou pouco inferior a 18%, a peça estará bem dimensionada,

atendendo às especificações de norma e sem desperdício de material. Se o valor das perdas for superior a 18% as tensões de borda estarão fora dos

limites de Norma, devendo o problema ser recomeçado. Novas tensões admissíveis no tempo infinito sevem ser adotadas, diminuindo o valor absoluto adotado inicialmente para as tensões máximas de compressão. Por exemplo, em lugar de 0,45 fck, pode-se recomeçar com 0,42fck ou, em valores numéricos, em lugar de 11,25 MPa adotar 10,5 MPa.

No sentido contrário, se o resultado da perda de protensão for inferior aos 18%

e se desejar economizar material, o problema pode ser recomeçado com valores absolutos superiores para as tensões admissíveis no tempo infinito da vida da peça.

XIV. Cabo médio fictício equivalente ou simplesmente cabo equivalente.

No exemplo anterior, concluímos ser necessário aplicar uma determinada força de protensão com uma determinada excentricidade. Entretanto, não se dispõe (para protensão normal) de cabos suficientemente potentes para uma tração de 2333 kN. No exemplo dado, tratando-se de uma seção de um metro de largura, podemos optar por vários cabos, um ao lado do outro. Mas no caso mais geral, podemos ter uma largura limitada, o que nos conduziria a uma disposição em várias camadas. Neste caso chamaríamos de cabo equivalente a um cabo fictício cujo ponto de passagem seria o centro de gravidade dos cabos individuais e cuja força de tração seria a soma das forças aplicadas nos cabos individuais. Em geral toda a referência de cálculo é sempre com relação ao cabo equivalente, na fase de anteprojeto. No detalhamento final, o cabo equivalente é substituído pelos cabos que forem necessários.

33/68

No exemplo anterior foi feito o dimensionamento da seção mais solicitada da viga, no caso, a seção do meio do vão. Vimos também a excentricidade que deveríamos dar ao cabo para obtermos a compensação de peso próprio da viga. Vejamos agora como se comporta o cabo equivalente ao longo da viga. Imaginemos inicialmente, o mesmo exemplo, isto é, a viga de seção constante em todo o vão de 12 metros, e vamos nos preocupar, nesta fase, apenas com o momento fletor. Tem-se, nas seções distando quatro metros dos apoios:

próprio) (peso

permanente carga a devido Momento kNm 0,851M

24)25377,01(42

)25377,01(12 M

acidental carga a devido Momento kNm 213,32433,1342

33,1312M

g

g

q

=

××××−××××

=

=××−××

=

Imaginemos que tivéssemos mantido as mesmas condições do centro do vão: P = 2333 kN e = 0,124 m

( )

( ) tensõesdas Totalidade

v'I

MMv'

I

eP

A

P'σ

vI

MMv

I

eP

A

Pσ

spermanente cargas Protensão

v'I

Mv'

I

eP

A

P'σ

vI

Mv

I

e

A

Pσ

qgqgP

qgqgP

ggP

ggP

++

×−−=

+−

×+−=

+

+×

−−=

−×

+−=

++

++

+

+

P

Aplicando o formulário acima, tiramos:

( )

( )

MPa ,033- kN/m 30300,3771,0

6213,38,150

0,3771,0

60,1242333

0,377

2333'σ

MPa 35,9kN/m 93460,3771,0

63,1328,150

0,3771,0

60,1242333

0,377

2333σ

11,25MPa 03,12-kN/m120350,3771,0

68,150

0,3771,0

60,1242333

0,377

2333'σ

-1,125MPa 34,0kN/m 3420,3771,0

68,150

0,3771,0

60,1242333

0,377

2333σ

222qgP

222qgP

222gP

222gP

=−=×

×++

×

××−−=

−=−=×

×+−

×

××+−=

−<=−=×

×+

×

××−−=

>−=−=×

×−

×

××+−=

++

++

+

+

Graficamente: P + g P + g + q

σ =-0,34MPa σ =-9,35MPa

σ’ =-12,03MPa σ’ =-3,03MPa

34/68

Analisando os resultados obtidos verificamos que, para a situação final P + g + q, a seção está trabalhando com folga dentro dos limites admissíveis. Entretanto, para a fase P + g, verificam-se tensões incompatíveis com os limites especificados. Para reconduzirmos as tensões da fase P + g aos limites estabelecidos dispomos de duas alternativas: 1) Diminuir o valor da força de protensão, ou 2) Variar a excentricidade desta força. Em geral, as duas alternativas são viáveis e podemos lançar mão de qualquer uma delas. Quando se trabalha com pré-tração e cabos retos a solução possível é a variação da força de protensão que pode ser obtida, conforme Schwingel(14), envolvendo-se parte da extremidade de alguns cabos com uma bainha plástica não aderente. Assim, quando os cabos são liberados do leito de protensão, eles não terão afeito nos trechos onde estão envoltos pela bainha. Entretanto, a diminuição da força de protensão, que só pode ser obtida pelo abandono (ancoragem) de parte dos cabos de protensão, faz-se por saltos o que não é conveniente para todas as seções da peça. Já a variação da excentricidade do cabo de protensão não apresenta inconvenientes, podendo ser feita suavemente de seção para seção. É a solução mais adequada para a pós-tração. Em qualquer caso, o problema consiste em se achar um diagrama de protensão pura que, somado ao diagrama de tensões produzidos por Mg, resulte no diagrama já conhecido, ou seja, no terço do vão, Resultando que o diagrama necessário é:

Cabo ativo em toda a extensão

Cabo ativo apenas na região central

σ=? σ = -6,366MPa σ = -1,125MPa

σ =? σ’ =6,366MPa σ’ =-11,25MPa

+ = ?

35/68

E para a excentricidade teremos:

m 0,116e0,3771,0

e23336210857,22

___________________________________

0,3771,0

e23336

1,00,377

233310616,17

0,3771,0

e23336

1,00,377

233310241,5


eP

A

Pσ'

superior borda navI

eP

A

Pσ

23

23

23

cp

cp

=∴×

×××+=×+

×

××−

×−=×−−

×

××+

×−=×+

×−−=

×+−=

Quando a seção está carregada o problema passa a ser determinar um diagrama de protensão pura que, somado ao diagrama de tensões produzidos por Mg + Mq , resulte no outro diagrama já conhecido, ou seja, no terço do vão, Resultando que o diagrama necessário é:

σ =5,241MPa

σ' =-17,616 MPa

σ =4,12MPa

σ' =-16,495 MPa

σ=? σ = -15,37MPa σ = -11,25MPa

σ =? σ’ =15,37MPa σ’ =-1,125MPa

+ = ?

36/68

E para a excentricidade teremos:

m104,0e0,3771,0

e23336210615,20

___________________________________

0,3771,0

e23336

1,00,377

233310495,16

0,3771,0

e23336

1,00,377

23331012,4


eP

A

Pσ'

superior borda navI

eP

A

Pσ

23

23

23

cp

cp

=∴×

×××+=×+

×

××−

×−=×−−

×

××+

×−=×+

×−−=

×+−=

A variação da excentricidade pode ser obtida facilmente utilizando-se o conceito de centro de pressão. XV. Centro de pressão.

Chamamos centro de pressão relativo a um determinado carregamento (protensão + cargas externas) ao ponto de aplicação da resultante das tensões que se desenvolvem na seção. Geralmente caracterizamos o centro de pressão pela sua excentricidade e em relação ao centro de gravidade da seção. Observamos que o centro de pressão desloca-se conforme as solicitações que atuam na peça. Assim, no estado de protensão pura (muito raro de acontecer) o centro de pressão coincide, é obvio, com a posição do cabo equivalente. À medida que vão intervindo os diversos carregamentos, o diagrama de tensões vai mudando de posição. Se os carregamentos provocam esforços de flexão pura, o deslocamento do centro de pressão é obtido dividindo-se o momento devido ao carregamento pela força de protensão:

P

Me −=∆ 0

Assim, por exemplo: Na primeira parte do exemplo, o centro de pressão estava a ≅ 0,140 m da face

inferior, ou seja, e0 = (0,377/2)-0,140 = 0,051 m abaixo do centro de gravidade da seção e coincidindo com o cabo de protensão, pois tratava-se de protensão pura. Com a atuação do Momento Mq = 240 kNm, verificamos, tanto na borda superior quanto na inferior:

37/68

tendo se deslocado de ∆e0 ≅ - 0,051- 0,051 =-0,102 m. Como a força de protensão era de 2333 kN, verificamos que o mesmo valor

pode ser determinado por:

m 102,02333

2400e∆ −≅−=

Já na etapa seguinte (com a consideração do peso próprio) pelo cálculo do

centro de gravidade das áreas pode-se verificar que o centro de pressão desloca-se conforme o esquema a seguir:

No estudo em desenvolvimento, no item anterior, pode-se utilizar o conceito e

as propriedades do centro de pressão para calcular mais facilmente a excentricidade do cabo.

Partindo do pressuposto que o que se deseja é manter, em todas as seções, as tensões resultantes da atuação combinada do peso próprio e da força de protensão nos mesmos limites determinados para a seção do meio do vão, devemos deslocar o eixo do cabo equivalente de maneira a que o centro de pressão permaneça indeslocável.

Já vimos que o centro de pressão se desloca de P

M∆ g .

σ = -1,125 MPa σ = -11,25 MPa σ = -18,427MPa

σ’ =-11,25 MPa σ’ =-1,125 MPa σ’ =6,052 MPa

e = 0,051- 240 2333

e = -0,051- 170 2333

e = -0,124

P

mee

ev

I

eP

A

P

mee

ev

I

eP

A

P

P

P

051,060,1123599,9848733,61881125

2

377,0

12377,01

240

2

377,0

12377,01

2333

377,01

233310125,1''

051,060,1123599,9848733,618811250

2

377,0

12377,01

240

2

377,0

12377,01

2333

377,01

23331025,11

00

3303

00

3303

−=∴++−=−

=××

+××

×+

×−=×−⇒×

×+−=

−=∴−−−=−

=××

−××

×−

×−=×−⇒×

×−−=

σ

σ

38/68

Para manter o centro de pressão indeslocável nas diversas seções devemos deslocar a excentricidade do cabo equivalente no sentido contrário e num valor igual

aP

M∆ g .

De fato, observando o exemplo analisado da seção no terço do vão, a excentricidade do cabo deveria ser de 0,116m. No centro tínhamos uma excentricidade de 0,124 m. A variação de excentricidade foi de e = 0,124-0,116 = 0,008 m.

O mesmo valor obteríamos analisando a variação de Mg, ∆ Mg = 170 kNm – 150,8 kNm =19,2 kNm e dividindo-a pela força de

protensão P

m 0,0082333

19,2e ≅=∆

Por outro lado, com a atuação de todas as cargas (protensão, peso próprio e

carga acidental) o centro de pressão deve se deslocar no máximo até o limite superior do terço central da seção.

Como houve alteração do valor de Mq entre a seção do meio do vão e a seção do terço do vão, a diferença do momento Mg+q entre as duas seções é de

∆ Mg +q = 240 kNm +170 kNm – 213,3 kNm –150,8 kNm = 45,9 kNm. Desta forma, o deslocamento do cabo calculado para atender esta condição

daria m 0,0202333

45,9e ≅=∆ . Resultando e = 0,124 - 0,020 = 0,104m.

Assim, o valor de e calculado para atender os casos limites externos conduziria

a valores diferentes. Isto significaria que estes valores seriam limites para a posição do cabo

equivalente, sendo claro que qualquer posição intermediária do cabo satisfaria. Tomemos a seguir a seção a 2 metros do apoio:

( ) ( )

( ) kNm 42,82125,943,3331240170M

kNm 75,7525,94170M

kNm 25,9412251,00,37722

251,00,37721M

kNm 33,3311233,1322

33,1312M

qg

g

g

q

=−−+=

=−=

=××××−××××

=

=××−××

=

+∆

∆

para atender as tensões limites na viga descarregada:

m 0,0920,0320,124em 0,0322333

75,75e =−=== ∆∆

39/68

na viga carregada:

m 0,0460,0780,124em 0,0782333

182,42e =−=== ∆∆

No apoio teríamos:

kNm 014M170kNmM g)(qg =∆=∆ +

m 0,0510,0730,124em 0,0732333

170e =−=== ∆∆

m 0,0510,1750,124em 0,1752333

410e −=−=== ∆∆

Nas seções calculadas ao longo da viga temos: Na figura abaixo apresentam-se detalhes de parte de uma viga da ponte sobre o

Rio do Mel, com os cortes ao longo do vão e a posição dos cabos de protensão em cada seção, além do detalhe das ancoragens dos cabos na cabeceira:

0,0510,092

0,116 0,124

-0,051

0,046

0,1040,124

0 2 4 6

40/68

XVI. Dimensionamento de uma viga com vão superior ao crítico.

Seja a viga da figura abaixo (faixa de um metro, pertencente a uma laje) com

largura fixada em 1 metro e a qual queremos dimensionar com altura mínima, em protensão completa.

41/68

0,322

0,643

0,328

fck = 25 MPa, usando aço RN ⇒ σadm = 10 MPa

a) conduzindo o cálculo inicial como se fosse possível equilibrar a carga permanente sem gasto com concreto ou força de protensão, teríamos:

kNm6208

1913,74M

2

q ≅×

=

( )

kN 5,35362

1000)00001(1,00,643P

kNm8478

192,7251,00,643Mm 0,643h

9000

6620h

h1,0

6620109

W

Mv

I

M

2

g2

23qq

≅+××

=

≅×+××

=⇒≅∴×

=

×

×=×⇒==σ

m 0,3280,0880,240e

m 240,03536,5

847e:M a devida dadeexcentrici de acréscimo

m 0,088e60,6431

e3536,5

0,6431

3536,5101-:de e dadeexcentrici a com aplicada

g

i2i3

i

=+=

==∆

=∴××

×+

×−=×

σP=-1,0MPa σq = -9,0MPa σ =-10MPa

σ’P =-10MPa σ’q =9,0 MPa σ’ =-1,0MPa

+ =


Cargas Acidentais


19 m

q = 13,74 kN/m

g = peso próprio + 2,7 kN/m

42/68

O que é incompatível com a seção utilizada pois não há espaço para colocação da bainha, estribo e nem mesmo o cobrimento mínimo necessário no interior da seção. b) adotando-se a distância até o centro de gravidade dos cabos t = 3,5 (mínimo

cobrimento de concreto compatível com o fck utilizado) + 1,0 (bitola adotada para a armadura transversal) + 4,0/2 (raio da bainha) = 6,5 cm.

Procuramos atingir o estado limite de tensões no caso da atuação de todas as

cargas, e colocamos o cabo na máxima excentricidade possível, isto é:

( )

( )

( )hb

6768

hb

4452

hb

61128h122620'

hb

6768

hb

4452

hb

61128h122620

kNm 620M

h12811228

192,725h1,0M

0,0652

ht

2

he

22qg

22qg

q

2

g

×+

×+=

×

×++=

×−

×−=

×

×++−=

=

+=×+××

=

−=−=

+

+

σ

σ

2P

22P

hb

60,0652

hP

hb

P'

hb

60,0652

hP

hb

P

hb

6eP

hb

P

×

×

−×

−×

−+=

×

×

−×

+×

−=

×

××+

×

−=

σ

σ

com todas as cargas atuando, teremos:

×+

×+

×

−×

−×

−=−

×−

×−

×

−×

+×

−=−

++=×−

++=×−

hb

6768

hb

4452

hb

0,0652

h6P

hb

P1000

hb

6768

hb

4452

hb

0,0652

h6P

hb

P10000

)σ'σ'(σ'101

)σσ(σ1010

22

22

qgP3

qgP3

N + Mg + Mq

σ = -10MPa

σ’ =- 1,0MPa

43/68

h 5500Ph

2P11000

___________________________________

h

6768

h

4452

h

0,39P

h

3P

h

P1000

h

6768

h

4452

h

0,39P

h

3P

h

P10000

m 1b sendo

22

22

=∴−=−

+++−−=−

−−−+−=−

=

Substituindo o valor de P encontrado na segunda equação de tensões:

( )

kN 39602

1000)10000(0,721,0P

kNm 9348

192,7250,721,0M

:se- tornaMg e

m 0,2950,0652

0,720,065

2

he

:de dadeexcentrici máxima a e

m 72,0h4452h8913h210000

h

8913

h

4452220001000-

h

6768

h

4452

h

21451650055001000-

h

6768

h

4452

h

h50050,39

h

h50053

h

5500h1000-

2

g

2

2

2

22

≅+××

=

≅×+××

=

=−=−=

=∴++−=

++−=

+++−−=

++×

+×

−−=

Fazendo a verificação das tensões:

MPa 02,19kN/m 190210,721

60,2953960

0,721

3960'σ

MPa 02,8kN/m80210,721

60,2953960

0,721

3960σ

22P

22P

−≅−=×

××−

×−=

≅=×

××+

×−=

44/68

( )

( )MPa 04,1kN/m 1035

0,721

662093419021'σ

MPa 97,9kN/m 99650,721

66209348021σ

:carregada peça

MPa 21,8kN/m 82110,721

693419021'σ

MPa 80,2kN/m 2789 0,721

69348021σ

:dadescarrega peça

22qg

22qgP

22g

22gP

−≅−=×

×++−=

−≅−=×

×+−=

−≅−=×

×+−=

−≅−=×

×−=

++

++

+

+

P

P

As pequenas diferenças (para mais ou para menos) são devidas aos arredondamentos do processo. Se for necessário reduzi-las, basta corrigir a força de protensão. Com P = 3945 kN

σ P = 7990 kN/m2 σ’P = -18949 kN/m2

σ P+g = -2820 kN/m2 ≅ -2,82 MPa σ’P+g = -8283 kN/m2 ≅ -8,28 MPa σ P+g+q =-9996 kN/m2 ≅ -10,0 MPa σ’P+g+q =-1107 kN/m2 ≅ -1,11 MPa

c) resumindo: d) comparando com a seção encontrada antes da consideração do peso próprio houve

um aumento na altura da seção, de 64,3 para 72 cm (11%), e um aumento de protensão de 3536,5 para 3945 kN (10%).

XVII. Dimensionamento de uma seção qualquer com vão inferior ao crítico.

Como por hipótese as cargas permanentes podem ser compensadas, o conhecimento de Mq basta para o seu dimensionamento.

σ =-2,82MPa σ = -10,0MPa

σ’ =-8,28MPa σ’ =-1,11MPa

P + Mg + Mq P + Mg

45/68

No caso mais geral de

termos tensões limites, para o concreto, diferentes nos casos de peça carregada e descarregada, teríamos os seguintes estados limites:

Supondo fixada a altura h da peça, precisamos determinar a seção de concreto

Ac e os módulos de resistência v

I e v'

I , isto é, 3 incógnitas.

Precisamos determinar a protensão, isto é, P e a excentricidade e ( mais duas incógnitas). Temos, portanto, cinco incógnitas.

Se escrevermos as condições limites (quatro limites) em forma de equação, teremos quatro equações.

Na realidade, se fixarmos uma certa forma e relação de medidas da seção (por

exemplo, T ou duplo T), o valor de Ac é conhecido quando conhecemos v

I e v'

I .

Desta forma devemos fixar a forma da seção (em geral duplo T). a) Dimensionamento do concreto:

As tensões limites sendo atingidas para a peça descarregada e carregada, teremos:

v'I

M'σe

vI

Mσ

qq

qq +=−=

Pela figura vemos que:

R’1 σ q R2

R1 σ’q R’2

+ =

R’1

R2

R1 R’2

P + Mg P + Mg + Mq

46/68

=

=

−=

−=

−=−=

R'∆

M∆

v'

I

R∆

M∆

v

I

geral, maneira uma deou,

R'R

M

v'

I

R'R

M

v

I

:Donde

R'R'σeR'Rσ

21

q

12

q

21q12q

das fórmulas acima, tiramos a relação v'

v , o que torna conhecidos v e v’ pois

conhecemos h e devemos ter: v + v’ = h

e também tiramos I, pois v∆R

∆MI ×= .

Trata-se, portanto, de determinar uma seção duplo T, conhecendo-se a sua altura h, a posição de seu centro de gravidade dada por v e v’ e conhecendo-se o seu momento de inércia I. Procuraremos, por questão de economia, determinar uma seção que satisfaça estas condições com o mínimo de despesa possível, isto é, minimizando o valor de Ac. Isto significa obter os máximos valores para as relações:

v'

re

v

rsejaou

Acv'

Ie

Acv

I 22

b) Determinação da protensão:

Para a determinação da protensão, considera-se já conhecida a seção. Se (recordando a Resistência dos Materiais) escrevermos as tensões que se

desenvolvem na seção transversal (para um ponto qualquer) a uma distância y do centro de gravidade, temos:

yI

M

Ac

Py +=)(σ

No Centro de Gravidade da seção:

Ac

Pσσe0y 0yCG === =

O que mostra que a tensão no centro de gravidade da seção permanece constante em todos os estados de cargas, pois independe do momento M. Obviamente haverá um estado de cargas tal que a tensão seja uniforme em toda a seção. Como o valor de σCG não varia, este será o valor da tensão e, em conseqüência, P = σCG × Ac.

R’1 R2

R’2 R1

v

v’

C G

σσσσCG

47/68

O valor de σCG pode ser obtido por relações geométricas na figura acima, por exemplo,

h

v)R'(RR'σ 111CG ×−+=

Para determinar a excentricidade, podemos raciocinar como segue: Imaginemos que o estado inicial corresponde a uma protensão pura. Neste caso deveremos ter:

+−=

+−=×

−−=

vr

e1σ

vr

e1

Ac

P

vI

eP

Ac

PR'

21

CG211

1

−−=

−−=×

+−=

v'r

e1σ

v'r

e1

Ac

P

v'I

eP

Ac

PR

21

CG211

1

-De onde tiramos que:

v

R'σ

v'

σRpois, esequivalent são que expressões

1σ

R

v'

re

σ

R'1

v

re

1CGCG1

CG

12

1

CG

12

1

−=

−

−=

−=

Os valores v

r 2

e v'

r 2

, são as excentricidades do bordo inferior e superior do

núcleo central de inércia. No caso de termos R1 = R2 e R’1 = R’2 as fórmulas se simplificam pois v = v’.

Exemplo numérico: Dimensionar uma seção em protensão completa, admitindo-se vão inferior ao

crítico e com um momento devido a sobrecarga Mq = 1000 kNm. Altura de 80cm. Aço RB.

fck = 40 MPa ⇒ σadm = 18 MPa

R’1=0,10R1=-1,8 MPa σq = -17,4 MPa R2 =-19,2MPa

R1 =-18 MPa σq =18 MPa R’2 = 0 MPa P+g q P+g+q

+ =

v

v'

σσσσCG

48/68

A rigor, o limite R2 não é fixado pela Norma, que só se refere à tensão máxima de compressão no momento da protensão (0,70fcj), calculada com 1,1 P0, o que permite definir o limite R1 (0,40 a 0,45 fck ou fcj) como foi discutido no Capítulo XI. Para a tensão R2 não há limite máximo de utilização. O seu limite será conseqüência do dimensionamento ou verificação para o limite último. A regra adotada foi a de fixar o limite de 0,48 fcj para R2 para que se tenha folga de tensões de compressão na verificação ao limite último.

Aplicando as fórmulas:

( )

( )

0,0556v'0,0575v

m 0,0556100-18

1000

'

M

'

m 0575,0101,8)-19,2

1000M

33

q

33

q

=∴

=×

=∆

=

=×

=∆

=

Rv

I

Rv

I

4'

q0,0226m0,4070,0556v'

MI

407,0''0556,0)'8,0(0,0575m 0,8hv'v

=×=×∆

=

=∴=−×⇒==+

R

mvvv

Adotando a espessura da alma de 16 cm e a espessura da mesa de 10 cm, obteremos:

Para I = 0,0226 m4 devemos ter

0,0226S'd'S343,0)393;04,0(8,016,012

0,8*0,16 2223

=×+×+−××+

Efetuando as operações numéricas: 0,1176 S + S’d’2 = 0,0158 Igualando os momentos estáticos acima e abaixo do centro de gravidade da

seção: 0,343 S + 0,16 x 0,393x 0,393/2 = S’ d’ + 0,16 x 0,407 x 0,407/2 0,343 S = S’d’+0,0009 ∴ S = 0,0026 + S’d’/0,343 Substituindo este valor de S na fórmula anterior, tem-se:

S

S’

C

0,5b 0,5b

0,5b’’

0,5b’’

16 cm

16 cm

d’

0,34

3 m

0,39

3 m

0,

407

m

10

cm

49/68

)''343,0(

0155,0'0158,0''

343,0

''0026,01176,0

22

ddSdS

dS

+=∴=+

+×

Atribuindo-se valores à d’ obtemos através das duas últimas equações todas as

dimensões da seção. No quadro abaixo relacionamos três possíveis soluções correspondentes a três valores diferentes arbitrados para d’.

C d' S’ b’ S b Ac 1ª sol 0,3 0,257 0,101 0,337 0,078 0,78 ∴∴∴∴ 0,307 2ª sol 0,2 0,307 0,078 0,390 0,072 0,72 ∴∴∴∴ 0,278 3ª sol 0,1 0,357 0,062 0,620 0,067 0,67 ∴∴∴∴ 0,257 Adotando-se a primeira ou a segunda solução por serem as que melhor

permitem o posicionamento dos cabos de protensão ter-se-ia, respectivamente, seções das vigas de 0,307m2 e 0,278 m2. A terceira solução (mesa inferior com 10 cm) permitiria maior economia de concreto (Seção de 0,257 m2) mas tornaria muito difícil a colocação dos cabos.

Observemos que a solução que for escolhida implicará não apenas no menor consumo de concreto mas também no menor valor da força de protensão (P = σCG × Ac) e valor do peso próprio. Admitindo-se, por exemplo, um vão de 10 m, e sendo no caso:

Levando aos seguintes valores da área total, força de protensão e momento máximo devido ao peso próprio:

A(m2) P(kN) Mg(kNm) 1ª sol 0,307 2999 95,9 2ª sol 0,278 2716 86,9 3ª sol 0,257 2510 80,3

Evidentemente a terceira solução é a mais econômica.

-1,88 MPa

σσσσCG

-18,8 MPa

0,39

3 m

0,

407

m

-19,2 MPa

0

σCG

MPaCG

CG

77,9

407,08,0

2,19

−=

×−

=

σ

σ

50/68

0,20

0,36 0,36

0,195 0,195 0,16

0,16

0,39

7 m

0,

343

m

0,39

3 m

0,

407

m

10

cm

Infelizmente ela não permite uma execução satisfatória, pois deveríamos ter uns 5 ou 6 cabos de protensão na face inferior da viga e a mesa inferior não permite (apenas 10 cm de espessura) a distribuição dos cabos fora da alma.

Por isso adota-se a segunda solução. Se, para esta solução, forem consideradas todas as inércias das mesas, tem-se:

PARTE: I0(m4) A(d-CG)2 ΣI(m4)

mesa superior 6,00E-05 8,47E-03 8,53E-03 alma 6,83E-03 6,27E-06 6,83E-03 total:

mesa inferior 2,60E-04 7,35E-03 7,61E-03 0,0230 A inércia encontrada difere de 1,63% do valor inicial, comprovando que o erro

cometido por desprezar as inércias das mesas em relação ao próprio centro não foi grande.

Pela posição da linha neutra na seção escolhida sabe-se se podem vir a ocorrer

problemas quando da análise no Estado Limite Último, assim tem-se:

( ) ( ) kNm 522110009,864,14,1 ≅+×=+×= qgd MMM

Supondo que a linha neutra cai na mesa:

( )

( )

=

=∴−=

−××××=

−×××=

mx

mxxx

xx

xdxbffcdM d

61,1

14,06839119681522

4,07,08,088,04,1

4000085,01522

4,08,085,0

2

12

Como x > 10 cm, a linha neutra cai na alma, então:

51/68

( )

=

=∴−=

−××××=

−××××=

=−=∆

=−××××=

m55,1x

m20,0xx1243x21764,385

)x4,07,0(x8,016,04,1

4000085,04,385

kNm4,3856,11361522M

kNm6,113605,07,01,072,04,1

4000085,0M

2

12

d

supmesa,d

0,4x)(d0,8xbwfcd0,85∆M d

a linha neutra está a 20 cm do bordo superior da seção, ou seja, acima do centro de gravidade da seção e com x/d = 0,286, Domínio 3. Desta forma, não deverá apresentar dificuldades na verificação no ELU.

Uilizando-se o aço CP 190 RB tem-se, por norma, que a tensão no instante de

aplicação da carga não deve ser maior que 0,74 fptk (0,74 x 1900 = 1406 MPa) ou 0,82 fpyk (0,82 x 1615 = 1324,3 MPa). No instante da aplicação da carga, portanto, não deve exceder 1324,3 MPa. Avaliando-se as perdas em 18%, desde o instante da aplicação da carga até o tempo em que estamos calculando a seção, a tensão não deverá ser maior que (1 - 0,18) x 1324,3 = 1085,9 MPa neste instante. Se cada cabo for composto por 6 cordoalhas de 12,7 mm, pode fornecer 6 x 98,7 x 1085,9 = 643085 N ≅ 643 kN de força de protensão e necessita de uma bainha de 50 mm. Assim, são necessários 2716/643 = 4,2 ⇒ 5 cabos.

Elaborando mais esta solução, poder-se-ia modificar ligeiramente a forma da

seção das mesas, de modo a diminuir os ângulos entre as faces e a compensar os furos de passagem dos cabos de protensão:

0,20

0,32 0,32

0,195 0,195

0,16

0,10

0,18

0,36 0,36

0,215 0,215

0,16

0,05

0,09 0,02

52/68

10 cm

7,0 cm t = 9,0cm

7,0 13,6 13,6 13,6 7,0

Determinação da excentricidade do cabo de protensão Tratando-se de protensão completa, sem cargas permanentes, o cabo deveria passar na extremidade do núcleo limite para que tivéssemos as condições abaixo no estado de carga P + g (com Mq=0).

Podemos chegar ao resultado empregando as expressões deduzidas em (b).

0,169me

esequivalent nteevidenteme são que expressões

177,9

81

0,407

0,0813e

ou

77,9

8,11

0,393

0,0813e

m0813,00,278

0,0226

A

Irm, 0,407v'm, 0,393v

MPa 77,9σeMPa 8,1R', MPa 81R

1σ

R

v'

reou

σ

R'1

v

re

22

CG11

CG

12

CG

12

=∴

−

−

−=

−

−−=

=====

−=−=−=

−=

−=

No caso de termos um momento Mg atuando na seção deveremos dar uma

excentricidade adicional de P

Mg para equilibrar este momento.

Verifiquemos qual o valor máximo de Mg. Este valor está ligado à máxima excentricidade que podemos dar ao cabo.

Considerando um cobrimento de 3,5 cm, as bainhas de φ = 5 cm e um espaçamento pelo menos igual a φ entre duas bainhas, tem-se, para os cinco cabos:

m 0,090cm 0,95

)5,25515,3(1)5,215,3(4t ==

++++×+++×=

emáx = 0,407 – 0,090 = 0,317 m ∆emáx = 0,317 – 0,169 = 0,148 m Mg,máx = ∆emáx × P = 0,148 × 2716 kN = 402 kNm

P + g

R1 =-18 MPa

R’1 =-1,8 MPa

53/68

Para uma viga simplesmente apoiada, considerando-se o momento devido à carga acidental fixo, teríamos um vão máximo de :

m5,21463250,278

4028≅=

×

×=l

XVIII. Rendimento de uma seção.

Os cálculos desenvolvidos, seja diretamente pela consideração das variações de

tensões, seja pelo auxílio do núcleo limite, nos permitem obter os módulos de

resistência v

I e v'

I .

É preciso obter estes módulos da maneira mais econômica possível, isto é, com a menor área. Isto representaria uma economia de concreto e de protensão (P = σCG ×

Ac). Logo devemos procurar fazer com que as relações Ac

vI

eAc

vI

' ou, o que é a

mesma coisa, 'v

re

v

r 22

sejam o maior possível.

Ora, v

r2

é sempre menor que v’. Teoricamente,

o máximo valor de v

r2

é v’. Pode-se pois definir a

economia da seção pela relação 'vv

r

'vv

r 22

×= . A mesma

relação seria obtida raciocinando-se com a parte

superior da seção. A esta relação 'vv

r2

×=ρ , chamamos

de rendimento de uma seção. Na prática é possível conhecer faixas aproximadas de variação do rendimento

para cada tipo de seção, além, é claro, de algumas formas, como a retangular, que podem ser determinadas matematicamente.

Para a seção retangular, tem-se:

( ) ( )33,3%0,333

3

1

2h

2h

12h

ρ2

hv'v

12

hrbhAc,

12

bhI

2

22

3

===×

=∴==

=⇒==

A seção duplo T atinge, na prática, rendimentos em torno dos 50% ( de 45 a

55%).

v

v' r2 v

r2 v’

54/68

A seção caixão pode chegar a rendimentos em torno de 60% (de 55 a 65%). Nas lajes pode-se melhorar o rendimento aliviando o miolo da seção retangular com furos circulares (obtidos com tubos na concretagem). Os rendimentos podem chegar a 50%, quando a dimensão dos furos atingir 70% da espessura da laje.

XIX. Dimensionamento de uma viga de seção qualquer com vão superior ao vão

crítico.

No caso de viga com vão superior ao crítico, já vimos, para o caso de seção retangular, que não nos é possível tirar o máximo proveito do material quando da viga descarregada.

No caso mais geral da seção duplo T, em que várias dimensões são deixadas no nosso arbítrio, podemos escolher entre os quatro limites de tensões a serem satisfeitos, com a viga carregada e descarregada, três a serem atingidos, permanecendo o quarto sem ser atingido.

Mantendo a referência a uma seção com os momentos positivos onde R’1 e R1; R2 e R’2 são as tensões limites para a peça descarregada e carregada, na fibra superior e inferior teríamos as seguintes situações possíveis:

Em geral, fazemos o projeto de uma seção em protendido tentando atingir os

limites ilustrados na situação (d). Procuramos atingir os dois limites R2 e R’2 com a viga carregada e apenas o limite máximo de compressão na viga descarregada. Com a seção obtida fazemos uma verificação para vermos se não foi ultrapassado o limite de

tração (ou de compressão mínima) R’1 com a viga descarregada. Se chamarmos de t a distância mínima entre o centro de gravidade do cabo e a face inferior da viga,

21 A'A o núcleo limite, teríamos, para que o peso próprio pudesse ser compensado, a

seguinte situação: 1g 'CGAt'v

P

M−−≤

R’1 R2

R’2 R1

(a)

R’1 R2

R’2 R1

(b)

R’1 R2

R’2 R1

(c)

R’1 R2

R’2 R1

(d)

v

v'

−

CG

22

σ

R'1

v'

r

−1

σ

R

v'

r

CG

12

t

A2

A’1

CG

55/68

O centro de pressão percorre o núcleo limite 21 A'A sob o efeito do momento Mq. Logo

21

q21

q

A'A

MPA'A

P

M=∴=

Substituindo esta expressão na equação anteriormente apresentada:

21

1

q

g

A'A

'CGAt'v

M

M −−≤

Como Mg e Mq são proporcionais às cargas g e q (em se tratando de cargas distribuídas),

21

1

A'A

'CGAt'v

q

g −−≤

Se fixarmos o valor de q, o valor de g aumentará a medida que aumentarmos o vão. A desigualdade apresentada acima cessa de ser verificada para um vão superior ao crítico ( o que pode ser identificado com a fórmula acima ou tentando dimensionar a seção como se fosse uma viga de vão inferior ao crítico) passamos a adotar o dimensionamento do presente item. Tal como no caso de vão inferior ao crítico, aqui também o problema resulta indeterminado admitindo, portanto, várias soluções. Realmente, assumindo-se que desejamos atingir os três limites propostos na hipótese (d), teremos três equações.

Com estas três equações procuraremos determinar os seguintes parâmetros:

ePIv'

I

v

I

Portanto, cinco incógnitas e três equações. Realmente, se considerarmos que o que se procura é a satisfação das condições com o mínimo de Ac, isto nos daria uma quarta equação. Com as limitações físicas que devemos impôr a algumas das dimensões da peça, o problema torna-se praticamente determinado. Cumpre salientar que as limitações de forma e de dimensões pode, por exemplo, tornar impossível que seja atingida a tensão limite R1 como se propõe em (d). É o caso já estudado, da seção retangular. Imaginemos, por exemplo, que se fixe a altura h da viga e as tensões limites R2 e R’2 (viga carregada) e R1 e R’1 (viga descarregada). Como desejamos atingir as tensões R’2 e R1 na face inferior da viga, tiramos imediatamente:

21 '' RR

M

v

I q

−=

Por outro lado, se chamarmos de R”1 a tensão a ser

realmente atingida na face superior com a viga descarregada, podemos dizer que, uma vez conhecida a tensão R”1, o problema recai no caso de seção com vão inferior ao crítico.

R”1 R2

R’2 R1

v

v’ C G

σσσσCG

t

56/68

Observemos ainda que R”1 resulta conhecido a partir do momento em que conhecemos σCG (simples relação de triângulos ).

Além disso, como a tensão R1 é atingida na viga descarregada, o centro de pressão se situa, sob a influência de Mg , no limite inferior do núcleo limite, cuja excentricidade é dada por:

−= 1

σ

R

v'

re

CG

12

Designando por t a distância do centro dos cabos à borda inferior, devemos ter

a seguinte igualdade que traduz o deslocamento do cabo em relação ao núcleo limite para equilibrar a carga permanente:

−−−= 1

σ

R

v'

rtv'

P

M

CG

12

g

Chamando D a densidade do concreto (em geral D = 25 kN/m3) tem-se, no

caso de viga simplesmente apoiada 8

2l××

=DAc

M g .

Por outro lado, como CG

CGP

AcAcPσ

σ =⇒×=

O que, substituindo na fórmula anterior, nos dá: CG

g D

P

M

σ8

2l×

=

Se arbitrarmos (estimativamente) um rendimento ρ para a seção a ser obtida,

teremos: v'v

r2

×= ρ

Da figura, tiramos que:

22

2CG

22

CG2

'RR

'Rh've

'RR

Rhv

−

−×=

−

−×=

σσ

Substituindo todos os valores obtidos acima em

−−−= 1

σ

R

v'

rtv'

P

M

CG

12

g,

obtemos uma equação em σCG:

−×

−

−××−−

−

−×=

×

CG

CG1

22

CG2

22

2CG

CG

2

σ

σR

R'R

σRhρt

R'R

R'σh

8σ

D l

Realizando-se todas as operações necessárias, obtemos:

R”1 R2

R’2 R1

v

v’ C G

σσσσCG

t

57/68

( ) 0R

R'R

8hRR

Rρ

R

R'R

h

t

R

R'

R

R1ρ

R

σρ1

R

σ

1

22

1

2

1

2

1

22

1

2

1

2

1

CG2

1

CG =

−−−

−−−

+

+−×

lD

(utilizando as tensões com os respectivos sinais)

com esta equação obtemos 1

CG

R

σ e, conseqüentemente, σCG. Com σCG podemos tirar o

valor de R”1.

v'

RvσhR" 1CG

1×−×

=

Desta forma podemos completar o dimensionamento da seção como se se tratasse de vão inferior ao crítico, com limites R1, R”1, R2 e R’2 para as tensões extremas. Teremos:

=+

−

−=

−=

−=

h'vv

RR

"RR

'v

v

RR

M

'v

Ie

"RR

M

v

I 21

12

21

q

12

q

Obtemos ainda vρ

v'I

Ac×

= que é uma condição que não havia no caso de vão

inferior ao vão crítico. A pesquisa da seção pode ser conduzida da mesma forma que fizemos para o

vão inferior ao crítico, isto é, trata-se de determinar uma seção que tenha um h dado, a posição do centro de gravidade determinada (v e v’), momento de inércia conhecido I. Pode ser que as seções que se possam determinar desta maneira não tenham a área desejada em face de termos de atender dimensões mínimas das mesas e alma para ser exequívela seção. Se isto acontecer significa que o valor de ρ estimado não é atingível,

devendo-se corrigir este valor e resolver-se novamente a equação de 1

CG

R

σ .

XX Esforço cortante reduzido.

No cálculo de esforço cortante V, para cada condição de carregamento, deve-se considerar que a resultante Pα do esforço de protensão, não sendo perpendicular à seção, mas tendo uma inclinação α em relação ao eixo da viga, apresentará uma componente normal à seção e outra tangente à seção V.

N = Pα cos α e V = Pα sen α A componente tangente à seção irá se somar algebricamente (em geral será uma

diminuição) ao esforço cortante produzido pelas cargas externas. Ao esforço cortante

58/68

resultante chamamos de esforço cortante reduzido. Desta forma, o cálculo do τ será feito para os valores:

Vredg = Vg - Pα sen α (peça descarregada)

Vredg+p = Vg + Vp - Pα sen α (peça carregada)

O melhor aproveitamento da seção será conseguido com valores iguais de Vg e

de Vg+p, apenas de sinais contrários. Para que tal ocorra devemos buscar obter que Pαsen α = Vg + 0,5×Vp e, neste caso, teremos:

Vredg = -0,5×Vq

Vredg+p = 0,5×Vq

Desta forma nós anulamos o esforço cortante devido ao peso próprio e reduzimos à metade o esforço cortante devido à sobrecarga para efeitos de dimensionamento da seção.

Esta seria uma solução ideal, dificilmente atingida. Na prática os valores do esforço cortante reduzidos são considerados aceitáveis quando ficamos entre os limites:

(Vg + 0,33Vq) ≤ Pα sen α ≤ (Vg + 0,67Vq)

XXI Lançamento dos Cabos O lançamento dos cabos

pode seguir uma das seguintes curvas: � parabólica – variação

natural da flexão com carga uniformemente distribuída;

� catenária – fácil de ser obtida em obra; � circular – fácil de calcular ( a mais comum).

χχχχi(distância da cabeceira ao ponto em que o cabo i começa a subir)

di (

dist

ânci

a da

pos

ição

de

anco

rage

m d

o ca

bo i

até

o to

po d

a vi

ga)

ti (distância da posição do cabo i até o fundo da viga)

Ri

Ri Ri Ri Ri cos( αα αα

i) = ( RiRiRiRi - yi)

ααααi

ααααi

ααααi

yi = h-ti-di

59/68

Na etapa de lançamento dos cabos, devem ser observados os seguintes parâmetros:

� os cabos devem começar a subir o mais próximo possível da seção central

sem, no entanto, comprometer a qualidade da concretagem da peça. Quando na alma, os cabos devem distar pelo menos um diâmetro entre si (dois diâmetros entre os seus eixos) e na mesa inferior deve ser garantido que haja pelo menos a mesma distância entre eles, embora sua projeção vertical seja menor;

� as distâncias em que os cabos podem ficar uns dos outros na cabeceira de

ancoragem, bem como as distâncias entre os cabos e as faces laterais da viga, são dadas pelo sistema de protensão de acordo com o equipamento a ser utilizado (devem ser obtidos no manual do sistema);

� o centro de gravidade mecânico dos cabos em cada seção deve encontrar-se

entre os limites calculados para o cabo fictício equivalente. Desta forma, utilizam-se as projeções Pαcosα da força de protensão em cada um dos cabos para o cálculo da posição do cabo fictício equivalente;

� o cortante encontrado deve estar entre os limites práticos aceitáveis em

algumas seções chave. Desta forma, utilizam-se as projeções Pαsenα da força de protensão em cada um dos cabos para verificar a observância a estes limites.

De acordo com os valores encontrados, os cabos serão movidos até obter-se uma

solução que esteja entre ambos os limites, do cabo fictício equivalente e do cortante. Neste ponto, o lançamento dos cabos é considerado satisfatório e pode-se prosseguir com este traçado.

XXII Perdas progressivas

As perdas progressivas decorrem da natureza intrínseca dos materiais aço e

concreto e são devidas a uma diminuição de volume de concreto, decorrente dos fenômenos de retração e deformação lenta. São devidas também à fluência do aço, à qual corresponde uma relaxação, isto é, perda de tensão.

“A.2.2 - Fluência do concreto (NBR 6118/2003) A.2.2.1 Generalidades:

60/68

A deformação por fluência do concreto (εcc) compõe-se de duas partes, uma rápida e uma lenta. A parte rápida (εcca) é irreversível e ocorre durante as primeiras 24 horas após a aplicação da carga que a originou. A deformação lenta é composta por duas outras parcelas: a deformação lenta reversível (εccd) e a deformação lenta irreversível (ε ccf).”

Portanto: εcc = ε cca + ε ccf + ε ccd Se considerarmos também a deformação elástica inicial εc, a deformação total do

concreto devida à ação das forças externas aplicadas será εct = εc + εcc denomina-se φ ο coeficiente de deformação lenta que permite expressar a

deformação ε cc em função da deformação elástica, ou seja: εcc = ϕ εc O coeficiente φ se compõe de três partes: ϕ = ϕa + ϕ f + ϕ d, sendo: ϕa = coeficiente de deformação rápida – depende da resistência do concreto; ϕf = coeficiente de deformação lente irreversível – depende da umidade relativa

do ambiente, da consistência do concreto, da espessura fictícia e da idade fictícia do concreto;

ϕd = coeficiente de deformação lenta reversível. Considerando-se pois que o concreto tem uma idade fictícia t no instante

considerado e tinha uma idade fictícia to ao ser aplicada a carga, a expressão acima fica:

[ ] ddfffa tttt βϕββϕϕϕ ∞∞ +−+= )0()()0,(

Na maioria dos casos da prática, porém, interessa-nos apenas a deformação final (no tempo t∞ ) e o coeficiente correspondente pode ser retirado da tabela 8.1 da Norma.

NBR6118 – Tab. 8.1 – Valores particulares para estimativas preliminares ou para obras

correntes realizadas com concreto plástico, correspondente a abatimentos de 5 a 9cm. Umidade ambiente (%) 40% 55% 75% 90% Espessura equivalente

2Ac/u (cm) 20 60 20 60 20 60 20 60

5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6

ϕ(t∝,t0)

t0(dias) 60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4

A.2.3 - Retração do concreto (NBR 6118/2003)

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Retração é o encurtamento do concreto devido à evaporação da água desnecessária à hidratação do cimento. A retração depende da umidade relativa do ambiente, da consistência do concreto no lançamento e da espessura fictícia da peça.

O valor da retração entre os instantes to e t é dado no item A.2.3.2 da Norma pela expressão:

[ ])0()()0,( tttt sscscs ββεε −= ∞ Também aqui, na maioria dos casos interessa apenas a retração final ε cs∞ , cujo

valor para obras correntes pode ser tirado da tabela 8.1 em função da idade fictícia do concreto (to = 5, 30 ou 60 dias) no instante em que o efeito da retração começa a ser considerado.

NBR6118 – Tab. 8.1 – Valores particulares para estimativas preliminares ou para obras

correntes realizadas com concreto plástico, correspondente a abatimentos de 5 a 9cm.

Umidade ambiente (%) 40% 55% 75% 90% Espessura equivalente

2Ac/u (cm) 20 60 20 60 20 60 20 60

5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09 30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09

εcs(t∝,t0) %o

t0(dias) 60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,3 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09

Fluência do aço

Fluência do aço vem a ser o alongamento que o mesmo sofre no decorrer do tempo quando mantido sob tensão constante. Há tratamentos térmicos que permitem amenizar o valor destas perdas (aços de relaxação baixa RB).

A perda de tensão (relaxação) ∆σpr (t,to) = ψ(t, to) σpi (NBR6118 – 9.6.3.4.5) na qual: ψ(t, to) = coeficiente de relaxação do aço entre os tempos to e t; σpi = tensão na armadura de protensão resultante da força de protensão efetiva,

isto é, após o desconto das perdas imediatas (atrito e cravação). Os valores de relaxação são fixados nas especificações dos aços de protensão

empregados. A tabela a seguir (Tab. 8.3 NBR 6118) fornece os valores de relaxação para os

aços que a 20ºC foram submetidos durante 1000h a tensão de 0,60fptk, 0,70fptk e 0,80fptk respectivamente.

62/68

NBR 6118 – Tab. 8.3 Valores de ψ 1000 (em %) (para 1000 horas e 20ºC)

cordoalhas fios σp0

RN RB RN RB

barras

0,50 f ptk 0 0 0 0 0

0,60 f ptk 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5

0,70 f ptk 7,0 2,5 5,0 2,0 4,0

0,80 f ptk 12,0 3,5 8,5 3,0 7,0

Para σp0 < 0,5fptk, admite-se não haver perdas de tensão por relaxação. Para tempos diferentes de 1000h, porém sempre a 20ºC, os coeficientes de

relaxação podem ser determinados pela expressão,com t em dias:

( )15,0

1000 67,41

00,

−=

tttt ψψ

Assim, por exemplo, após 5 anos = 1825 dias:

( ) 1000

15,0

1000 76,167,41

18250, ψψψ ×=

=tt

Como quase sempre interessa apenas o valor final, pode-se considerar que, para o tempo infinito, ψ(t,t∞) ≅ 2,5 ψ 1000 (item 9.6.3.4.5).

Na expressão ∆σpr(t,to) = ψ(t, to) σp0 considerou-se o comprimento da armadura

constante, o que não corresponde à realidade, uma vez que a retração e a fluência do concreto alteram as dimensões iniciais.

• Relaxação do aço Os valores finais das perdas de tensão na armadura ativa resultarão da soma dos

valores acima abordados: ∆σp,csr = ∆σp,cs + ∆σpr

• Aplicação prática Reunindo os efeitos da fluência e da retração do concreto, a conseqüente perda

de tensão na armadura ativa em cada seção pode ser obtida pela expressão do item 9.6.3.4.2 da NBR 6118, aplicável quando a concretagem do elemento estrutural, bem como a protensão, são executadas, cada uma delas, em fases suficientemente próximas para que se desprezem os efeitos recíprocos de uma fase sobre a outra e os cabos possuam entre si afastamentos suficientemente pequenos em relação à altura da seção do elemento estrutural, de modo que os seus efeitos possam ser supostos equivalentes ao de um único cabo, com seção transversal de área igual à soma das áreas das seções

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( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]( )

( )

28ci

pp

c

pp

c

c2p

p

c

ppcp

popog,cpp0t,tcsp

E

E

A

A

I

Ae1

0t,t1

0t,t5,01

0t,t1ln0t,t

0t,t0t,tE0t,t

=α

=ρ

+=η

χ+=χ

ϕ+=χ

ψ−−=χ

ρηαχ+χ

χσ−ϕσα−ε=σ∆

dos cabos componentes, situado na posição da resultante dos esforços neles atuantes (cabo resultante).

Nesse caso, admite-se que no tempo t as perdas progressivas na posição do cabo resultante, com as tensões no concreto σc,pog positivas para compressão e as tensões no aço σpo

positivas para tração, sejam dadas por: onde:

∆σp(t,t0) é a variação da tensão no aço de protensão entre t0 e t;

εcs(t,t0) é a retração no instante t, descontada a retração ocorrida até o instante t0, conforme 8.2.11;

Ep é o módulo de elasticidade da armadura ativa; σc,pog é a tensão no concreto adjacente ao cabo resultante,

provocada pela protensão e pela carga permanente mobilizada no instante t0, sendo positiva se de compressão;

ϕ(t,t0) é o coeficiente de fluência do concreto no instante t para protensão e carga permanente, aplicadas no instante t0;

σpo é a tensão na armadura ativa devida à protensão e à carga permanente mobilizada no instante t0, positiva se de tração;

χ(t,t0) é o coeficiente de fluência do aço; ep é a excentricidade do cabo resultante em relação ao baricentro da

seção do concreto; ρp é a taxa geométrica da armadura de protensão; Ap é a área da seção transversal do cabo resultante; Ic é o momento central de inércia na seção do concreto. Ac é a área da seção transversal do concreto.

XXIII Perdas por atrito. Devido ao atrito entre o cabo e a bainha, a força de protensão, aplicada na

extremidade do cabo, perde-se em parte. Nos trechos curvos do cabo, podemos aplicar a fórmula tradicional da Mecânica

que nos fornece o valor da força PB em uma extremidade da curva quando aplicamos uma força PA na outra extremidade:

µα

AB ePP −×= onde: µ é o coeficiente de atrito cabo-bainha; α é o ângulo de desvio do cabo. Nos trechos retos, teoricamente, não existiriam perdas por atrito. Entretanto,

devido as ondulações que a bainha experimenta durante a execução, este atrito existe.

64/68

ld

lc

PC

PA

PB α

A

B C

l

Admitindo-se que as ondulações na fixação da bainha sejam responsáveis por uma desviação parasita, teríamos entre o ponto B e o ponto C uma variação da força de protensão de

kondeePP dk

BC

l×−= é um pseudo coeficiente de

atrito em linha por metro de cabo.

Desta forma:

ckµα

AB ePP l−−×= ou a perda entre A e C seria :

l

llll

lll

kµα

AC

)dck(µα

Adkckµα

AC

dkckµα

Adk

BC

ePP

ePePP

e)e(PePP

−−

+−−−−−

−−−−

×=∴

×=×=

××=×=

onde: lc é o comprimento em curva e ld é o comprimento reto

Valores da Norma (item 9.6.3.3.2.2)

Nas peças pós-tracionadas a perda por atrito pode ser determinada pela expressão da Norma:

( )[ ]kxi ePxP +Σ−−=∆ αµ1)(

onde: ∆P(x) = perda da força de protensão no cabo na seção de abscissa x; Pi = força máxima aplicada à armadura de protensão pelo equipamento de tração; Σα = soma dos ângulos de desvio previstos, no trecho compreendido entre as abscissas 0 e x; µ = coeficiente de atrito aparente entre cabo e bainha; na falta de dados experimentais, pode ser estimado como segue:

µ = 0,50 entre cabo e concreto (sem bainha); µ = 0,30 entre barras ou fios com mossas ou saliências e bainha metálica; µ = 0,20 entre fios lisos paralelos ou traçados e bainha metálica; µ = 0,10 entre fios lisos paralelos ou trançados e bainha metálica lubrificada; µ = 0,05 entre cordoalha e bainha de polipropileno lubrificada.

65/68

k = µγ = coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não intencionais do cabo, na falta de dados experimentais pode ser adotado o valor 0,010µ. XXIV Perdas por escorregamento

Na ocasião da transferência do esforço de protensão dos macacos para os cones de ancoragem, apesar do cone macho ter sido coagido contra as armaduras de protensão e o cone fêmea, ocorre um escorregamento da armadura de protensão que provoca uma perda de protensão. Devido ao atrito dos cabos contra a bainha, esta perda diminui a medida que nos afastamos da seção de ancoragem. A partir de uma seção suficientemente afastada das cabeceiras dos cabos esta perda não existe. Para cada sistema de protensão este recuo do cone de ancoragem adquire valores diferentes. Para o sistema MAC, a acomodação das cunhas nas ancoragens (cravação) provoca uma perda de 6 mm no alongamento inicial ao qual se chegou antes da cravação.

Admitindo-se que o valor da variação de deformação para cada cabo decresça conforme mostrado no gráfico abaixo:

Tem-se que determinar até que ponto esta perda afetou as tensões no cabo, ou

seja, até que distância o atrito permitiu a perda da tensão original no cabo. Assim, calcula-se a área do gráfico entre a seção da cabeceira e o meio do vão, obtendo-se um valor δ (em m).

Deve-se encontrar o ponto, ao longo do cabo retificado, em que a área do gráfico

compreendida entre a deformação final e a inicial na cabeceira igualem a perda conseguida pelo sistema.

66/68

Considerando-se que as áreas podem ser aproximadas por triângulos e que estes são proporcionais , pode-se deduzir a seguinte equação:

( )

2

2

2

22

222

2

ααδ

αχαχχδ

tgtg

tgtg

rrr

anc

×

=

××

=

×=

××=

lll

δ

δχ

δ

χ

δ

ancr

r

anc

×

=

×=

×

2

2

2222

l

l

Se 2rl≤χ a perda não atinge o meio do vão,

não afetando a força de protensão que foi calculada para esta seção no tempo infinito. Neste caso, não há necessidade de aumento da força de protensão na cabeceira;

Se 2rl>χ a perda atinge o meio do vão, afetando a força já calculada. Neste

caso deve-se recalculá-la na cabeceira de forma o obter-se novamente a força prevista para o meio do vão. O acréscimo de força na cebeceira será de:

( )P

r

anc EP ×−

=∆

2l

δδ

XXV Perdas no equipamento de protensão.

As perdas por atrito que ocorrem internamente no macaco de protensão podem ser avaliadas em 3 % do esforço da protensão. Portanto, o projetista deve levar em conta este valor por ocasião do cálculo final do esforço da protensão

XXVI Verificação no Estado Limite Último Na seção mais carregada, faz-se uma verificação idêntica àquela realizada em concreto armado. Esta verificação é feita considerando-se tensão nula em toda a seção e aplicando-se um momento fletor de cálculo Md = γg.Mg + γ q.Mq, com o qual deve-se determinar a posição da linha neutra e, portanto, o Domínio em que a deformada da seção se encontra. Tendo-se definido a posição da linha neutra, obtém-se a deformação no centro de gravidade da armadura de protensão (εP).

χχχχ

llllr

2 llllretificado do cabo até o meio do vão

δδδδanc

δδδδ

αααα

67/68

Considerando-se que, se necessária a colocação de armadura passiva, esta seria de aço CA 50, supondo-se a deformada como posicionada abaixo, estaria no Domínio 3 e 2,07%o < εP < 10%o: No Concreto Protendido, porém, tem-se um alongamento prévio ( dito pré-alongamento) que deve ser adicionado a este. O cálculo de pré-alongamento é feito com a força de protensão no tempo infinito, como mostra a equação:

PPPP EA

P

×= ∞ε

A deformação total no aço será dada por εPtotal = εP + εPP que, utilizando-se o gráfico tensão-deformação (de cálculo) da cordoalha ou fio empregado, levará ao valor da tensão que age na armadura (σP), cujo valor não deve exceder o valor de fpyd. Obtida a tensão, a força de protensão (FP) é: PPP AF ×= σ Por outro lado, sabendo-se a posição da linha neutra pode-se calcular a resultante de compressão no concreto (Fc), bem como seu ponto de aplicação. A forma da seção, composta por retângulos e triângulos, torna mais simples trabalhar-se com o diagrama retangular simplificado. A distância entre o centro de gravidade das

t

εεεεc

εεεεP

x

Md

10%o 2,07%o

3,5%o 2%o

εεεεP

68/68

armaduras de protensão e o ponto de aplicação da resultante de compressão dá o braço de alavanca "z" do momento resistente. Para saber se há ou não necessidade de armadura passiva, faz-se o cálculo do Momento Resistente da seção M'R = FP x z. Sendo este momento maior que o solicitante (Md), não haverá necessidade de armadura passiva. No caso do momento resistente ser inferior ao momento solicitante (M'R < Md), adiciona-se armadura passiva suficiente para criar um momento

', RdpasR MMM −= , ou seja, uma área de

pass

Pc

pass

Pd

passFFFz

M

A,,

,σσ

−=

−= .

A tensão na armadura passiva é obtida através do diagrama tensão-deformação do aço utilizado, considerando-se apenas a deformação εP.

cálculo dos estribos:

Calculados de forma semelhante ao concreto armado, sendo que, para a determinação de VSd tem-se duas situações:

1. Viga descarregada - atuando somente protensão e peso próprio. Considerando-se os coeficientes de combinação da NBR6118/2003, tem-se:

1,0 sen2,10,1 αigSd PVV Σ−= ,

ocorrendo a situação mais crítica no instante de aplicação da protensão, logo com P0. 2. Viga carregada - atuando protensão, peso próprio e carga acidental. Com os coeficientes de combinação tem-se:

1sen9,0)(4,1 αiqgSd PVVV Σ−+= ,

ocorrendo no tempo infinito. Os estribos serão calculados utilizando-se o maior valor absoluto observado em cada seção ao longo da viga. Na verificação da biela é necessário reduzir-se a largura da alma (bw) conforme citado na Norma: " bw é a menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d; entretanto, no caso de elementos estruturais protendidos, quando existirem bainhas injetadas com diâmetro φ >bw/8, a largura resistente a considerar deve ser (bw-1/2Σφ), na posição da alma em que essa diferença seja mais desfavorável, à exceção do nível que define o banzo tracionado da viga"

concreto protendido

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