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1 Concreto Protendido Fundamentos Iniciais Hideki Ishitani Ricardo Leopoldo e Silva França E scola Politécnica – USP Departamento de E ngenharia de E struturas e Fundações 2002

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Concreto Protendido

Fundamentos Iniciais

Hideki Ishitani Ricardo Leopoldo e Silva França

Escola Politécnica – USP Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações

2002

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Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica

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Conceitos Básicos CONCRETO PROTENDIDO

1. Introdução

O concreto resiste bem à compressão, mas não tão bem à tração. Normalmente a resistência à tração do concreto é da ordem de 10% da resistência à compressão do concreto. Devido a baixa capacidade de resistir à tração, fissuras de flexão aparecem para níveis de carregamentos baixos. Como forma de maximizar a utilização da resistência à compressão e minimizar ou até eliminar as fissuras geradas pelo carregamento, surgiu a idéia de se aplicar um conjunto de esforços auto-equilibrados na estrutura, surgindo aí o termo protensão.

Figura 1. Fila de livros.

Na figura 1 temos um exemplo clássico de como funciona a protensão. Quando se quer colocar vários livros na estante, aplicamos forças horizontais comprimindo-os uns contra os outros a fim de mobilizar as forças de atrito existente entre eles e forças verticais nas extremidades da fila, e assim, conseguirmos colocá-los na posição desejada.

Tecnicamente o concreto protendido é um tipo de concreto armado no qual a armadura ativa sofre um pré-alongamento, gerando um sistema auto-equilibrado de esforços (tração no aço e compressão no concreto). Essa é a diferença essencial entre concreto protendido e armado. Deste modo o elemento protendido apresenta melhor desempenho perante às cargas externas de serviço.

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(a) Concreto Simples

(b) Concreto Armado

(c) Concreto Protendido

Figura 2. Diferença de comportamento de um tirante

Na figura 2 observamos o comportamento do gráfico Carga-Deformação de um tirante tracionado sem armadura (Concreto Simples), com armadura sem protensão (Concreto Armado) e com armadura protendida (Concreto Protendido). A pré-compressão,

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decorrente do pré-alongamento da armadura ativa do tirante, aumenta substancialmente a capacidade de resistir ao carregamento externo necessário antes de iniciar a fissuração.

Figura 3. Carga deslocamento em peças fletidas de concreto armado e concreto protendido.

Na figura 3, mostra-se a diferença da curva carga-flecha em uma viga de concreto armado (CA) e em uma viga com armadura de protensão (CP). Ambas têm a mesma capacidade última (Mu), mas a peça protendida tem um momento de fissuração (Mr”) muito maior que a viga de concreto armado. Devido a contraflecha inicial da viga protendida, suas deformações iniciais são menores do que a viga de concreto armado, para um mesmo nível de carregamento.

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1.1. Noções Preliminares

Considere-se a viga esquematizada na figura 4:

Figura 4. Viga com carregamento permanente (g) e variável (q).

a) Considere-se a atuação isolada da carga acidental q = 22,2 kN/ m.

A esta carga corresponde o momento fletor máximo no meio do vão:

×= = =

2

q,max

2ql 22,2 6M 100 kN.m

8 8

Nesta seção, em regime elástico linear, as tensões extremas valem:

−− × = ⋅ = = = = = − × − −σ

3q,max q,max q,max q,max

sup 3 2 2sup

q,supM M M Mh 100 10

y . 12 MPabh bh 0,2 0,5I 2 W12 6 6

e

3q,max q,max q,max q,max

inf 3 2 2inf

q,infM M M Mh 100 10

y . 12 MPabh bh 0,2 0,5I 2 W12 6 6

−× = ⋅ = = = = = × σ

conforme mostra a fig. 5. Os sinais atribuídos aos módulos de resistência Wsup e Winf permitem compatibilizar as convenções clássicas adotadas para momento fletor e tensões normais. A tensão máxima de tração vale 12 MPa junto à borda inferior e a de compressão, -12 MPa junto à borda superior.

Figura 5 – Diagrama de Tensões Normais – Viga de Concreto Armado

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Para o material concreto, tensões desta ordem de grandeza provocam, seguramente, a ruptura da seção transversal por tração. No concreto armado, a resistência da seção é obtida pela utilização de uma armadura aderente posicionada junto à borda tracionada. No concreto protendido, lança-se mão da “protensão” para alterar o diagrama de tensões normais tornando-o mais apropriado à resistência do concreto.

A idéia básica da protensão está ligada à redução (e eventualmente, à eliminação) das tensões normais de tração na seção. Entende-se por peça de concreto protendido aquela que é submetida a um sistema de forças especial e permanentemente aplicadas chamadas forças de protensão tais que, em condições de utilização, quando agirem simultaneamente com as demais ações, impeçam ou limitem a fissuração do concreto. Normalmente, as forças de protensão são obtidas utilizando-se armaduras adequadas chamadas armaduras de protensão.

b) Considere-se a aplicação da força de protensão P = 1200 kN centrada na seção

mais o efeito da carga acidental do item a).

Para isso, imagine-se que a viga seja de concreto com uma bainha metálica flexível e vazia posicionada ao longo de seu eixo. Após o endurecimento do concreto introduz-se uma armadura nesta bainha, fig. 6A. Através de macacos hidráulicos apoiados nas faces da viga, aplique-se à armadura a força de protensão P = 1200 kN. Naturalmente, a seção de concreto estará comprimida com a força P = -1200 kN. Esta pré-compressão aplicada ao concreto corresponde ao que se denomina de protensão da viga. A tensão de compressão uniforme, decorrente desta protensão, vale:

3

cpsup cpinfc

P P 1200 1012 MPa

A bh 0,2 0,5

−− ×σ = σ = = = = −

×

onde desprezou-se a redução da área Ac devido ao furo (vazio correspondente à bainha). Acrescentando-se o efeito do carregamento do item a), o diagrama de tensões normais na seção do meio do vão será inteiramente de compressão, com exceção da borda inferior onde a tensão normal é nula.

( )σ = σ + σ = − + − = −sup cpsup qsup 12 12 24 MPa

( )σ = σ + σ = − + =inf cpinf qinf 12 12 0

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Figura 6 – Diagrama de Tensões Normais – Viga de Concreto Protendido

A tensão máxima de compressão vale -24 MPa junto à borda superior da seção e a tensão mínima será nula na borda inferior. Desta forma a tensão normal de tração foi eliminada. Observa-se que a tensão máxima de compressão corresponde ao dobro da tensão devida à carga acidental q.

O diagrama de tensões normais ao longo do vão da viga varia entre os valores esquematizados nas figuras 6B e 6D, pois o momento fletor aumenta de zero nos apoios ao valor máximo no meio do vão.

c) Considere-se a protensão P = 600 kN aplicada com excentricidade ep = 8,33 cm,

mais o efeito da carga acidental do item a)

De maneira análoga ao que foi visto no item b), se a posição da bainha for deslocada paralelamente ao eixo da viga de 8,33 cm, conforme mostra a fig. 7A, e reduzir-se a força de protensão P para 600 kN, as seções da viga ficam submetidas à força normal Np = -600 kN e ao momento P.ep:

p pM Pe 600 0,0833 50 kN.m= = − × = −

As tensões normais extremas devidas à protensão passam a valer:

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p pcpsup 2

c sup c sup

P.e eP 1 1 0,0833 6P 600 0

A W A W 0,2 0,5 0,2 0,5

× σ = + = + = − − = × ×

e

p pcpinf 2

c inf c inf

P.e eP 1 1 0,0833 6P 600 12 MPa

A W A W 0,2 0,5 0,2 0,5 ×

σ = + = + = − + = − × ×

resultando um diagrama triangular de tensões normais de compressão.

Figura 7 – Diagrama de Tensões Normais – Viga de Concreto Protendido (Protensão Excêntrica)

Se for acrescentado o carregamento do item a), o diagrama resultante de tensões normais, na seção do meio do vão, será triangular e inteiramente de compressão.

( )σ σ σsup sup sup= + = + − = −cp q MPa0 12 12

( )σ σ σinf inf inf= + = − + =cp q 12 12 0

A tensão máxima de compressão vale -12 MPa junto à borda superior da seção e a tensão mínima será nula na borda inferior. A máxima tensão de compressão final coincide com a máxima tensão de compressão devido apenas à protensão, havendo apenas troca das bordas. A tensão máxima final de compressão foi reduzida à metade do caso b), mostrando a indiscutível vantagem desta solução sobre a anterior. O diagrama de tensões normais ao longo do vão da viga varia entre os valores esquematizados nas figuras 7B e 7D, pois o momento fletor aumenta de zero junto aos apoios ao valor máximo no meio do vão.

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d) Acrescente-se ao caso do item c) o efeito da carga permanente total g = 14,22

kN/ m.

O momento fletor máximo no meio do vão vale:

2 2

g

gl 14,22 6M 64 kN.m

8 8×

= = =

e as tensões normais extremas:

ggsup

sup

M7,68 MPa

Wσ = = −

gginf

inf

M7,68 MPa

Wσ = =

Superpondo-se o efeito deste carregamento à situação do item c), o diagrama de tensões normais na seção mais solicitada passa a ser o indicado na fig. 8, pois

( ) ( )sup cpsup qsup gsup 0 12 7,68 19,68MPaσ = σ + σ + σ = + − + − = −

( ) ( )inf cpinf qinf ginf 12 12 7,68 7,68MPaσ = σ + σ + σ = − + + =

Figura 8 – Diagrama de Tensões Normais (G + Q) – Viga de Concreto Protendido (Protensão Excêntrica)

Nota-se o aparecimento de uma tensão de tração de 7,68 MPa junto à borda 2, e a tensão máxima de compressão aumenta, atingindo - 19,68 MPa na borda 1.

É importante observar que a tensão de tração resultante pode ser eliminada simplesmente aumentando a excentricidade da armadura de protensão para ep = 0,19 m. O aumento de excentricidade vale exatamente eg = -Mg / Np = -64 / (-600) = 0,107 m. De fato, as novas tensões normais devidas à protensão valem:

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p pcpsup 2

c sup c sup

P.e eP 1 1 0,19 6P 600 7,68 MPa

A W A W 0,2 0,5 0,2 0,5

× σ = + = + = − − = × ×

e

p pcpinf 2

c inf c inf

P.e eP 1 1 0,19 6P 600 19,68 MPa

A W A W 0,2 0,5 0,2 0,5 ×

σ = + = + = − + = − × ×

e, portanto,

( ) ( )sup cpsup qsup gsup 7,68 12 7,68 12 MPaσ = σ + σ + σ = + − + − = −

( ) ( )inf cpinf qinf ginf 19,68 12 7,68 0σ = σ + σ + σ = − + + =

Assim, o efeito do peso próprio foi compensado simplesmente pelo aumento da excentricidade da força de protensão (aumento da distância da armadura de protensão em relação ao CG da seção) sem gasto adicional de material. Naturalmente, esta compensação apresenta um limite pois é necessário manter um cobrimento mínimo de proteção desta armadura.

Da análise do diagrama de tensões normais ao longo da viga, pode-se observar que nas proximidades dos apoios aparecem tensões de tração. Particularmente, na seção do apoio esta tensão atinge 7,68 MPa. Para anular esta tensão, a excentricidade da força de protensão deve reassumir o valor ep = 8,33 cm. Na prática, isto pode ser obtido, de maneira aproximada, alterando-se o perfil reto da armadura ao longo da viga por um perfil curvo (em geral parabólico). Conforme mostra a fig. 9, o trecho parabólico pode ter o seu início no meio do vão e passar pelo ponto A junto ao apoio.

Figura 9 – Perfil da armadura de protensão

O perfil parabólico procura acompanhar a variação da excentricidade eg = -Mg/Np ao longo da viga.

Em estruturas isostáticas, o fato da armadura de protensão ser curva não altera o ponto de aplicação da força correspondente à protensão. Este continua sendo o ponto de passagem da armadura na seção transversal. De fato, com base na fig. 10, o equilíbrio separado da armadura (suposta flexível) exige a presença da força P junto à seção analisada e, também, da pressão radial

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pP

rr =

onde r é o raio de curvatura local. As cargas atuantes na armadura isolada agem, como carregamento de sentido contrário, sobre a viga de concreto. As reações de apoio são nulas, pois a estrutura é isostática (a estrutura deforma-se livremente sob ação da protensão). Desta forma, o esforço resultante na seção transversal é exatamente -P, aplicado no ponto de passagem da armadura na seção transversal e com a inclinação do cabo neste ponto.

Em estruturas hiperestáticas, a protensão pode gerar reações de apoio (reações hiperestáticas de protensão) que geram esforços (hiperestáticos) adicionais de protensão nas seções.

Figura 10 – Diagrama de Equilíbrio de uma Viga de Concreto Protendido Isostática

Convém observar que, mesmo sendo admitida a constância da força de tração (P) na armadura de protensão, a força normal equivalente é variável no trecho curvo desta armadura, pois:

pN Pcos= − α

como, em geral, o ângulo α é pequeno pode-se admitir Np ≈ - P, pelo menos para efeito de pré-dimensionamento das seções. Vale observar, também, o aparecimento da força cortante equivalente:

pV Psen= − α

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Na realidade, como será visto mais adiante, a força normal de tração na armadura de protensão também varia um pouco ao longo do cabo por causa das inevitáveis perdas de protensão.

Normalmente, a força de protensão é obtida pela utilização de um grupo de cabos que, por sua vez, são constituídos de várias cordoalhas. Cada cabo tem um desenvolvimento longitudinal próprio. Contudo, as análises podem ser efetuadas com o “cabo equivalente” (ou “cabo resultante”). Este cabo virtual tem a força de protensão P e o seu ponto de passagem é dado pelo centro de gravidade das forças de protensão de cada cabo na seção.

Figura 11 – Cabo de Protensão Equivalente

De qualquer forma, a utilização adequada de cabos curvos permite eliminar as tensões normais de tração nas seções transversais ao longo do vão.

e) Considere-se a viga constituída de concreto armado

Admita-se que a viga faça parte do sistema estrutural para uma biblioteca com carregamento constituído de g = 14,22 kN/m e q = 22,22 kN/m. O dimensionamento como concreto armado, segundo a NBR6118:2003, admitindo-se fck= 35 MPa e aço CA50, conduz aos seguintes resultados:

Estado Limite Último (momento fletor):

34xlim= 34= =0,438

dξ ξ

Mg+q = 164,4 kN.m → ξ = 0,42 < ξlim

As = 12 cm2 (6φ16)

Estado Limite de Utilização, para a Combinação Freqüente com ψ1=0,7:

MCF = Mg + 0,7Mq = 134,0 kN.m

ηb =1,5 → w = 0,12 < 0,3 ( OK, admitindo-se fissura admissível de 0,3 mm)

a = 1,56 cm ≈ l/270 (flecha no estádio II, de valor aceitável)

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f) Considere-se, agora, a protensão obtida com armadura CA60 (apenas para efeito

de análise comparativa, pois não se utiliza protensão com aço CA60)

Para se obter a força de protensão de 600 kN, se for admitida uma tensão útil no aço de 50 kN/cm2 (500 MPa), seriam necessários Ap = 12 cm2 de armadura de protensão. Desta forma, aparentemente, ter-se-ia atendido às condições vistas nas análises dos itens c) e d). Veja-se contudo, o que acontece com o valor da força de protensão ao longo do tempo. Admitindo-se a atuação do carregamento utilizado no item e), resulta o diagrama de tensões normais indicado na fig. 12.

Figura 12 – Diagrama de Tensões Normais

Devido à protensão e à carga permanente, a tensão normal no concreto junto à armadura vale

c,g+p=-10,56 MPaσ

que corresponde a uma deformação imediata da ordem de

ic,g+p

-10,56=-0,00053

20000ε ≅

onde se admitiu Ec = 20 GPa.

Sabe-se que, a retração do concreto em ambiente normal é equivalente a cerca de - 15ºC de queda de temperatura, isto é:

-5cs=-10 15=-0,00015ε ×

onde se admitiu o coeficiente de dilatação térmica αt = 10-5 ºC-1.

Por outro lado, a deformação imediata provocada pela carga permanente pode chegar a triplicar devido ao fenômeno da fluência. Assim, pode ocorrer ao longo do tempo uma deformação total de encurtamento da ordem de

co cs ic,g+p+3 =-0,00015-3 0,00053=-0,00174ε ≅ ε ε ×

Normalmente, após as operações de protensão, as bainhas são injetadas com nata de cimento garantindo-se a aderência entre a armadura e o concreto. Desta forma, a armadura de protensão passa a ter a mesma deformação adicional que o concreto adjacente. Para a deformação de encurtamento estimado anteriormente, tem-se uma queda de tensão na armadura de

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5 -3cop Ep =-2,1 l0 1,74 10 =-365,4 MPa∆σ ≅ ε × × ×

Onde adotou-se para o módulo de elasticidade da armadura o valor Ep = 2,1 × 105 MPa. Essa redução na tensão normal de tração na armadura provoca a queda da força efetiva de protensão para

Pef = 600 - 36,54 × 12 = 161,52 kN.

É inviável, na prática, considerar esta redução da protensão no dimensionamento.

Como conclusão, pode-se afirmar que armaduras usuais de concreto armado com resistências de escoamento limitadas a cerca de 600 MPa ficam automaticamente excluídas para uso como armadura de protensão por causa das perdas inevitáveis que, praticamente, anulam o efeito de protensão.

g) Considere-se, agora, a viga de concreto armado utilizando armadura de

protensão (aço de alta resistência).

Admita-se a situação do item d) com armadura de alta resistência com fyk = 1500 MPa. A solução em armadura simples é obtida no domínio 4 com As = 6,32 cm2, nos estados

limites de utilização tem-se fissuras de cerca de 3,6 décimos de mm (φ16) e flecha da ordem

de 3,5 cm (≈ l/170), ambas, seguramente, além dos limites aceitáveis. Neste caso particular, o dimensionamento conduziu a uma peça com pouca dutilidade (Domínio 4), onde não se consegue deformar a armadura de modo a permitir a exploração de sua elevada resistência. A conclusão é de que as armaduras de alta resistência não são apropriadas para o uso em concreto armado, ou seja, sem a pré-tensão.

h) Finalmente, considere-se a viga protendida com armadura de alta resistência

A protensão através de armaduras de alta resistência permite a utilização de tensões de protensão da ordem de 1300 MPa. Neste nível de solicitação da armadura, as perdas de protensão mencionadas são perfeitamente assimiladas resultando em tensões efetivas de cerca de 1000 MPa. Garante-se, assim, o efeito da protensão na peça, a fissuração é praticamente inexistente e a flecha é substancialmente reduzida pois a rigidez à flexão corresponde ao momento de inércia da seção não fissurada. Um outro aspecto, também de importância, é o fato da oscilação de tensão na armadura devida à atuação da carga acidental ser percentualmente pequena reduzindo o efeito da fadiga.

Figura 13 – Diagrama de Goodman

A fig. 13 apresenta, esquematicamente, o clássico diagrama de Goodman.

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1.2. Breve histórico

Datam do final do século passado, as primeiras experiências de uso do concreto protendido. Foram tentativas fracassadas provocadas pelas perdas provenientes da retração e fluência do concreto que praticamente anularam as forças iniciais de protensão.

Eugene Freyssinet (França, 1928) utilizou arames refilados de alta resistência resolvendo o problema gerado pela perda progressiva de protensão.

Hoyer, na Alemanha, fez as primeiras aplicações práticas do concreto protendido com aderência inicial utilizando fios de alta resistência.

A primeira ponte protendida foi a de Aue, na Alemanha, projetada por Dischinger (1936) com protensão sem aderência (cabos externos).

Com os equipamentos e ancoragens de protensão (fabricados inicialmente por Freyssinet na França em 1939 e Magnel na Bélgica em 1940), divulgou-se o uso do concreto protendido nas obras.

Ulrich Finsterwalder, desenvolveu a aplicação do protendido às pontes construídas em balanços sucessivos, processo originalmente utilizado por Emílio Henrique Baumgart no projeto e construção da ponte de concreto armado sobre o Rio do Peixe em Herval, Santa Catarina.

No Brasil, a primeira ponte protendida foi construída no Rio de Janeiro em 1949, projetada por Freyssinet.

Inicialmente, procurava-se eliminar totalmente as tensões normais de tração com a protensão (protensão completa). Atualmente, existe a tendência em utilizar a protensão parcial onde, em situações de combinações extremas de ações, permite-se a fissuração da peça como ocorre no concreto armado. Desta forma tem-se, hoje, a unificação do concreto 2armado com o concreto protendido constituindo o concreto estrutural.

1.3. Vantagens do concreto protendido

a) Emprego de aços de alta resistência. Estes aços não são viáveis no concreto armado devido à presença de fissuras de abertura exagerada provocadas pelas grandes deformações necessárias para explorar a sua alta resistência; além disso, em certas situações existem dificuldades para se conseguir estas deformações. Ao mesmo tempo que a alta resistência constitui uma necessidade para a efetivação do concreto protendido (por causa das perdas progressivas), ela elimina os problemas citados.

b) Eliminação das tensões de tração. Havendo necessidade, consegue-se eliminar as tensões de tração e, portanto, a fissuração do concreto. De qualquer forma, constitui um meio eficiente de controle de abertura de fissuras quando estas forem permitidas.

c) Redução das dimensões da seção transversal. O emprego obrigatório de aços de alta resistência associado a concretos de maior resistência, permite a redução das dimensões da seção transversal com redução substancial do peso próprio. Tem-se,

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assim, estruturas mais leves que permitem vencer maiores vãos. Também, a protensão favorece a resistência ao cisalhamento, além de reduzir a força cortante efetiva.

d) Diminuição da flecha. A protensão, praticamente, elimina a presença de seções fissuradas. Tem-se, assim, redução da flecha por eliminar a queda de rigidez à flexão correspondente à seção fissurada.

e) Desenvolvimento de métodos construtivos. A protensão permite criar sistemas construtivos diversos: balanço sucessivo, pré-moldados, etc.

1.4. Problemas com armaduras ativas e desvantagens do concreto protendido

a) Corrosão do aço de protensão. Como nos aços de concreto armado as armaduras de protensão também sofrem com a corrosão eletrolítica. No entanto nas armaduras protendidas apresentam outro tipo de corrosão - denominada corrosão sob tensão (stress-corrosion) - fragilizando a seção da armadura, além de propiciar a ruptura frágil. Por este motivo a armadura protendida deve ser muito protegida.

b) Perdas de protensão. São todas as perdas verificadas nos esforços aplicados nos cabos de protensão.

b.1) Perdas imediatas, que se verificam durante a operação de estiramento e ancoragem dos cabos:

b.1.1) Perdas por atrito, produzidas por atrito do cabo com peças adjacentes, durante a protensão;

b.1.1.2) Perdas nas ancoragens, provocadas por movimentos nas cunha de ancoragem, quando o esforço no cabo é transferido do macaco para a placa de apoio;

b.1.1.3) Perdas por encurtamento elástico do concreto.

b.2) Perdas retardadas, que ocorrem durante vários anos:

b.2.1) Perdas por retração e fluência do concreto. Produzidas por encurtamentos retardados do concreto, decorrentes das reações químicas e do comportamento viscoso.

b.2.2) Perdas por relaxação do aço, produzidas por queda de tensão nos aços de alta resistência, quando ancoradas nas extremidades, sob tensão elevada.

c) Qualidade da injeção de nata nas bainhas e da capa engraxada nas cordoalhas

engraxadas.

d) Forças altas nas ancoragens.

e) Controle de execução mais rigoroso.

f) Cuidados especiais em estruturas hiperestáticas.

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1.5 Exemplos de aplicação da protensão em estruturas da construção civil.

Edifícios:

Vigas mais esbeltas Lajes com vãos maiores

Pontes

Estaiadas Arcos

Reservatórios: (minimizar fissuras) Obras marítimas. (ambiente agressivo –

concreto pouco permeável)

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Barragens Muros de arrimo

Elevação de reservatórios.

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Materiais e sistemas para protensão DEFINIÇÕES

2.1 Definições (conforme a Norma NBR6118:2003 - Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento).

2.1.1. Elementos de concreto protendido.

“Aqueles nos quais parte das armaduras é previamente alongada por equipamentos especiais de

protensão com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os

deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no ELU”.

A resistência usual do concreto (fck) varia de 25 MPa a 50 MPa.

Normalmente, as forças de protensão são obtidas utilizando-se armaduras de alta resistência chamadas armaduras de protensão ou armaduras ativas. A resistência usual de ruptura (fptk) varia de 1450 MPa a 1900 MPa.

2.1.2. Armadura de protensão.

Aquela constituída por barras, por fios isolados, ou por cordoalhas destinada à produção de forças de

protensão, isto é, na qual se aplica um pré alongamento inicial. (O elemento unitário da armadura ativa

considerada no projeto pode ser denominado cabo, qualquer que seja seu tipo (fio, barra, cordoalha ou

feixe).

A fig. 14 ilustra os diferentes tipos de aço para protensão.

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Figura 14 – Tipos de Fios, Barras e Cabos para Protensão

As barras de aço para protensão são, geralmente, apresentadas em forma de barras

rosqueadas com nervuras laminadas a quente. Uma bitola típica é a barra DYWIDAG φ 32. Os fios de aço para concreto protendido são padronizados pela NBR-7482. As cordoalhas são constituídas de 2, 3 ou 7 fios de aço de protensão e são padronizadas pela NBR-7483.

As armaduras de protensão são submetidas a tensões elevadas de tração em geral acima de 50% da sua resistência de ruptura (fptk). Nessas condições, costumam apresentar uma perda

de tensão (∆σpr) sob deformação constante, denominada relaxação do aço. Deste ponto de vista os aços de protensão são classificados em aços de relaxação normal (RN) quando ∆σpr pode atingir cerca de 12% da tensão inicial (σpi) e aços de relaxação baixa (RB) onde:

pr pi3,5% ∆σ ≤ σ

Os aços de protensão são designados conforme ilustram os exemplos seguintes:

CP 170 RB L Concreto

Protendido fptk Resistência característica de

ruptura em kN/ cm2 RB Relaxação

Baixa RN Relaxação

Normal

L – Fio liso E – Fio entalhe

Figura 15 – Diagrama Tensão-Deformação de Aços para Protensão

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Conforme a NBR-7482 têm-se os fios padronizados listados a seguir onde fpyk é o valor característico da resistência convencional de escoamento, considerada equivalente à tensão que conduz a 0,2% de deformação permanente, e o módulo de elasticidade é admitido como sendo de Ep = 210 GPa.

Tabela 1. Características físicas e mecânicas de fios produzidos pela Belgo Mineira.

TENSÃO MÍNIMA DE

RUPTURA

TENSÃO MÍNIMA A 1% DE

ALONGAMENTO FIOS D

IÂM

ET

RO

N

OM

INA

L (m

m)

ÁR

EA

APR

OX

. (m

m2 )

ÁR

EA

MÍN

IMA

(m

m2 )

MA

SSA

APR

OX

. (k

g/km

)

(MPa) (kgf/mm2) (MPa) (kgf/mm2) ALO

NG

. APÓ

S R

UPT

UR

A (%

)

CP 145RBL 9,0 63,6 62,9 500 1.450 145 1.310 131 6,0

CP 150RBL 8,0 50,3 49,6 394 1.500 150 1.350 135 6,0

CP 170RBE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0

CP 170RBL 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0

CP 170RNE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.450 145 5,0

CP 175RBE CP 175RBE CP 175RBE

4,0 5,0 6,0

12,6 19,6 28,3

12,3 19,2 27,8

99 154 222

1.750 1.750 1.750

175 175 175

1.580 1.580 1.580

158 158 158

5,0 5,0 5,0

CP 175RBL CP 175RBL

5,0 6,0

19,6 28,3

19,2 27,8

154 222

1.750 1.750

175 175

1.580 1.580

158 158

5,0 5,0

CP 175RNE CP 175RNE CP 175RNE

4,0 5,0 6,0

12,6 19,6 28,3

12,3 19,2 27,8

99 154 222

1.750 1.750 1.750

175 175 175

1.490 1.490 1.490

149 149 149

5,0 5,0 5,0

Dependendo do fabricante outras bitolas de fios são encontradas, tais como:

Fios de aço de relaxação normal (fpyk = 0,85 fptk)

CP 150 RN - φ 5; 6; 7; 8 (mm)

CP 160 RN - φ 4; 5; 6; 7

CP 170 RN - φ 4 Fios de aço de relaxação baixa (fpyk = 0,9 fptk):

CP 150 RB - φ 5; 6; 7; 8 (mm)

CP 160 RB - φ 5; 6; 7

As cordoalhas são padronizadas pela NBR-7483. O módulo de deformação Ep = 195.000 MPa. A resistência característica de escoamento é considerada equivalente à tensão correspondente à deformação de 0,1 %.

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Tabela 2 Características físicas e mecânicas das cordoalhas produzidas pela Belgo Mineira.

DIÂMNOM.

ÁREA APROX

ÁREA MÍNIMA

MASSA APROX

CARGA MÍNIMA DE

RUPTURA

CARGA MÍNIMA A 1% DE

ALONGAMENTO

ALONGAPÓS RUPT. CORDOALHAS

(mm) (mm2) (mm2) (kg/km) (kN) (kgf) (kN) (kgf) (%) CORD CP 190 RB 3x3,0 CORD CP 190 RB 3x3,5 CORD CP 190 RB 3x4,0 CORD CP 190 RB 3x4,5 CORD CP 190 RB 3x5,0

6,5 7,6 8,8 9,6 11,1

21,8 30,3 39,6 46,5 66,5

21,5 30,0 39,4 46,2 65,7

171 238 312 366 520

40,8 57,0 74,8 87,7 124,8

4.080 5.700 7.480 8.770 12.480

36,7 51,3 67,3 78,9 112,3

3.670 5.130 6.730 7.890 11.230

3,5 3,5 3,5 3,5 3,5

CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7

6,4* 7,9* 9,5 11,0 12,7 15,2

26,5 39,6 55,5 75,5 101,4 143,5

26,2 39,3 54,8 74,2 98,7 140,0

210 313 441 590 792

1.126

49,7 74,6 104,3 140,6 187,3 265,8

4.970 7.460 10.430 14.060 18.730 26.580

44,7 67,1 93,9 126,5 168,6 239,2

4.470 6.710 9.390 12.650 16.860 23.920

3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5

Dependendo do fabricante outras bitolas de cordoalhas são encontradas, tais como:

Cordoalhas de 2 e 3 fios (fpyk = 0,85 fptk):

CP 180 RN - 2 × φ (2,0 ; 2,5 ; 3,0 ; 3,5)

CP 180 RN - 3 × φ (2,0 ; 2,5 ; 3,0 ; 3,5) Cordoalhas de 7 fios de relaxação normal (fpyk = 0,85 fptk):

CP 175 RN - φ 6,4 ; 7,9 ; 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2

CP 190 RN - φ 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2 Cordoalhas de 7 fios de relaxação baixa (fpyk = 0,9 fptk):

CP 175 RB - φ 6,4 ; 7,9 ; 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2

CP 190 RB - φ 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2

Normalmente, os cabos de protensão são constituídos por um feixe de fios ou cordoalhas. Assim, por exemplo, pode-se ter cabos de:

2 cordoalhas de 12,7 mm ; 3 cordoalhas de 12,7 mm;

12 cordoalhas de 12,7 mm; 12 cordoalhas de 15,2 mm, etc.

2.1.3. Armadura passiva.

“Qualquer armadura que não seja usada para produzir forças de protensão, isto é, que não seja

previamente alongada”.

Normalmente são constituídas por armaduras usuais de concreto armado padronizadas pela NBR-7480 (Barras e fios de aço destinados a armadura para concreto armado). Usualmente, a armadura passiva é constituída de estribos (cisalhamento), armaduras construtivas, armaduras de pele, armaduras de controle de aberturas de fissuras e,

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eventualmente, armaduras para garantir a resistência última à flexão, complementando a parcela principal correspondente à armadura de protensão.

2.1.4. Concreto com armadura ativa pré-tracionada (protensão com aderência inicial).

Aquele em que o pré-alongamento da armadura (ativa de protensão) é feito utilizando-se apoios

independentes da peça, antes do lançamento do concreto, sendo a ligação da armadura de protensão com

os referidos apoios desfeita após o endurecimento do concreto; a ancoragem no concreto realiza-se só por

aderência.

Figura 16 - Pista de protensão.

2.1.5. Concreto com armadura ativa pós-tracionada (protensão com aderência posterior).

Aquele em que o pré-alongamento da armadura (ativa de protensão) é realizado após o endurecimento

do concreto, utilizando-se, como apoios, partes da própria peça, criando-se posteriormente aderência com

o concreto de modo permanente, através da injeção das bainhas.

• Concretagem com a bainha embutida na peça.

• Colocação da armadura

• Aplicação da protensão

• Fixação da armadura estirada (ancorada)

• Injeção de nata de cimento (grout), estabelecendo aderência entre armadura e concreto.

Figura 17 - Viga com protensão a posteriori.

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Figura 18 - Bainhas para protensão

2.1.6. Concreto com armadura ativa pós-tracionada sem aderência (protensão sem aderência)

Aquele obtido como em (e), mas em que, após o estiramento da armadura ativa, não é criada aderência

com o concreto, ficando a mesma ligada ao concreto apenas em pontos localizados. Concreto protendido

sem aderência (armadura de protensão pós-tracionada)

Figura 19 - Cordoalha não aderente.

2.2. Níveis de protensão

“Os níveis de protensão estão relacionados com os níveis de intensidade da força de protensão, que por

sua vez é função da proporção de armadura ativa utilizada em relação à passiva”.

Deste modo, usualmente pode-se ter três níveis de protensão:

♣ Nível 1 – Protensão Completa

♣ Nível 2 – Protensão Limitada

♣ Nível 3 – Protensão Parcial

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Figura 20 – Diagrama Carga-Deformação dos diferentes níveis de protensão

A escolha adequada do nível de protensão em uma estrutura irá depender de critérios pré-estabelecidos, onde se levará em conta a agressividade do meio ambiente e/ou limites para a sua utilização, quando posta em serviço.

2.2.1. Estados Limites de Serviço (ou de utilização):

“Estados limites de serviço são aqueles relacionados à durabilidade das estruturas, aparência, conforto do

usuário e boa utilização funcional da mesma, seja em relação aos usuários, seja às máquinas e aos

equipamentos utilizados”.

A garantia do atendimento destes Estados Limites de Serviço (ELS) se faz com a garantia, conforme a situação de não se exceder os Estados Limites Descritos a seguir:

2.2.1.1. Estado limite de descompressão (ELS-D):

Estado no qual toda seção transversal está comprimida, e em apenas um ou mais pontos da seção transversal a tensão normal é nula, calculada no estádio I, não havendo tração no restante da seção (exceto junto à região de ancoragem no protendido com aderência inicial onde se permite esforços de tração resistidos apenas por armadura passiva, respeitadas as exigências referentes à fissuração para peças de concreto armado).

2.2.1.2. Estado limite de formação de fissuras (ELS-F): estado limite que é atingido quando a máxima tensão de tração na seção, calculada no Estádio I (concreto não fissurado e comportamento elástico linear dos materiais) é igual a resistência à tração do concreto na flexão. A resistência à tração na flexão é dado por fct,fl = 1,2 fctk,inf para peças de seção T e, igual a fct,fl = 1,5 fctk,inf para peças de seção retangular, sendo:

( )2/3ctk,inf ckf 0,21 f=

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2.2.1.3. Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W):

Estado em que as fissuras apresentam-se com aberturas iguais aos máximos especificados na tabela 4. A verificação da segurança aos estados limites de abertura de fissuras deve ser feita calculando-se as tensões nas barras da armadura de tração no estádio II (concreto fissurado à tração e comportamento elástico linear dos materiais).

Isto será feito para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passiva e de protensão (excluindo-se os cabos protendidos que estejam dentro da bainha ou cordoalha engraxada, os quais não são levados em conta no cálculo da fissuração). Esta postura é tomada devido ao controle da fissuração ser propiciado pela aderência da armadura passiva e da ativa (pré-tração) com o concreto que a envolve. Nos outros casos a influência da protensão no controle de fissuração é desprezível, do ponto de vista da aderência.

Será considerada uma área Acr do concreto de envolvimento, constituída por um retângulo

cujos lados não distam mais de 7 φi do contorno do elemento da armadura, conforme indicado na fig. 21:

Figura 21 – Área Acr do concreto de envolvimento

A grandeza da abertura de fissuras - wk - determinada para cada parte da região de envolvimento, é dada pela menor dentre aquelas obtidas pelas duas expressões que seguem:

ct

S

S

Sik

fEw ii

σσ

ηφ 3

)75,02(10

1

1 −=

+

−= 45

4

)75,02(10

1

1 riS

Sik

Ew i

ρ

σ

ηφ

Sendo σsi, φi, Esi, ρr definidos para cada área de envolvimento em exame:

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Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi

φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada

ρri é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente ( que não esteja dentro de bainha) em relação a área da região de envolvimento (Acri)

σs é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no

Estádio II. Nas peças com protensão, σs é o acréscimo de tensão, no centro de gravidade da armadura, entre o Estado Limite de Descompressão e o carregamento considerado. Deve ser calculada no Estádio II, considerando toda armadura ativa, inclusive aquela dentro de bainhas.

O cálculo no Estádio II (que admite comportamento linear dos materiais e despreza a

resistência à tração do concreto) pode ser feito considerando a relação αe = 15.

Figura 22 – Diagrama Carga-Deformação e os Estados Limites

2.2.2. Combinações de carregamento

Na determinação das solicitações referentes a estes estados limites devem ser empregadas as combinações de ações estabelecidas em Normas. A NB1-2003 considera as seguintes combinações nas verificações de segurança dos estados limites de utilização:

2.2.2.1. Combinação rara (CR):

d gk pk (cc cs te)k qlk 1 qiki 1

F F F F F F+ +>

= + + + + ψ ∑

2.2.2.2. Combinação freqüente (CF):

d gk pk (cc cs te)k 1 qlk 2 qiki 1

F F F F F F+ +>

= + + + ψ + ψ ∑

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2.2.2.3. Combinação quase permanente (CQP):

>

d gk pk (cc cs te)k 2 qiki 1

F F F F F+ += + + + ψ ∑

2.2.2.4. Situação de protensão.

d gk pkF F F= +

As ações parciais são as seguintes:

Fgk → peso próprio e demais ações permanentes, excetuando-se a força de protensão e as coações;

Fpk → protensão (incluindo os “hiperestáticos de protensão”);

F (cc+cs+te) → retração, fluência e temperatura;

Fqlk → ação variável escolhida como básica;

Fqik → demais ações variáveis (i> 1) concomitantes com Fqlk.

Os valores de ψ1 e ψ2 dependem do tipo de uso, e são dados por:

Tabela 3 – Fatores de Redução ψ1 e ψ2

Ações ψ1 ψ2 Cargas acidentais de edifícios Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permaneçam fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas

0,4 0,3

Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada concentração de pessoas

0,6 0,4

Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,7 0,6 Cargas acidentais de Pontes 0,5 0,3

Observação: os valores de ψ1 e ψ2 são os recomendados pela última redação da nova NB1-2003 (NBR6118:2003 – Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento)

Nas verificações, a NB1-2003 estabelece graduação de níveis de protensão mínimos para que se observem valores característicos (wk) das aberturas de fissuras. Estes valores são definidos em função das condições do meio ambiente e da sensibilidade das armaduras à corrosão (tabela 4). Assim, por exemplo, para meio ambiente pouco agressivo com protensão parcial nível 1, o valor característico da abertura da fissura é de 0,2 mm e deve ser verificado pela combinação de ações do tipo freqüente.

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Tabela 4. Classes de agressividade ambiental e exigências relativas a fissuração excessiva e a proteção da armadura ativa

Tipos de concreto estrutural Classe de agressividade ambiental

Exigências relativas ao E.

L.. de fissuração excessiva

Combinação de ações a considerar

Concreto simples (sem protensão e sem

armadura) I a IV Não há -

I ELS-W

ωk ≤ 0,4mm Freqüente

Concreto armado (sem protensão)

II a IV ELS-W

ωk ≤ 0,3mm Freqüente

Concreto protendido nível 1 (protensão parcial)

Pré-tração ou Pós-Tração I I e II

ELS-W

ωk ≤ 0,2mm Freqüente

ELS-F Freqüente Concreto protendido nível 2

(protensão limitada) Pré-tração ou Pós-Tração

II III e IV ELS-D Quase permanente

ELS-F Rara Concreto protendido nível 3 (protensão completa)

Pré-tração III e IV ELS-D. Freqüente

NOTA - ELS-W – Estado Limite de Serviço - Abertura de fissuras; ELS-F – Estado Limite de Serviço – Formação de fissuras; ELS-D – Estado Limite de Serviço – Descompressão

2.3. Escolha do tipo de protensão

A escolha do tipo de protensão deve ser feita em função do tipo de construção e da agressividade do meio ambiente. Na falta de conhecimento mais preciso das condições reais de cada caso, pode adotar-se a seguinte classificação do nível de agressividade do meio ambiente:

♣ Não agressivo, como no interior dos edifícios em que uma alta umidade relativa pode ocorrer durante poucos dias por ano, e em estruturas devidamente protegidas;

♣ Pouco agressivo, como no interior de edifícios em que uma alta umidade relativa pode ocorrer durante longos períodos, e nos casos de contato da face do concreto próxima à armadura protendida com líquidos, exposição prolongada a intempéries ou a alto teor de umidade;

♣ Muito agressivos como nos casos de contato com gases ou líquidos agressivos ou com solo e em ambiente marinho.

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30

Na ausência de exigências mais rigorosas feitas por normas peculiares à construção considerada, a escolha do tipo de protensão deve obedecer às exigências mínimas indicadas a seguir:

2.3.1. Protensão completa Ambientes muito agressivos

Existe protensão completa quando se verificam as duas condições seguintes:

♣ Para as combinações freqüentes de ações (CF), previstas no projeto, é respeitado o estado limite de descompressão (ELD);

♣ Para as combinações raras de ações (CR), quando previstas no projeto, é respeitado o estado limite de formação de fissuras (ELF).

2.3.2. Protensão limitada Ambientes medianamente agressivos

Existe protensão limitada quando se verificam as duas condições seguintes:

♣ Para as combinações quase permanentes de ações (CQP), previstas no projeto, é respeitado o estado limite de descompressão (ELD);

♣ Para as combinações freqüentes de ações (CF), previstas no projeto, é respeitado o estado limite de formação de fissuras (ELF).

2.3.2. Protensão parcial Ambientes pouco agressivos

Existe protensão parcial quando se verifica a condição seguinte:

♣ Para as combinações freqüentes de ações (CF), previstas no projeto, é respeitado o estado limite de aberturas de fissuras (ELW), com wk = 0,2 mm.

Observação importante:

Nas pontes ferroviárias e vigas de pontes rolantes só é admitida protensão com aderência.

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31

3

Perdas de Protensão DEFINIÇÕES

3.1. Introdução A força efetiva de protensão é variável ao longo do cabo e menor do que a aplicada pelo dispositivo de protensão. Esta redução de força é chamada de perda de protensão. Ela é devida a várias causas. Costuma-se agrupar as perdas em dois conjuntos:

A. Perdas imediatas que ocorrem durante o estiramento e ancoragem dos cabos

B. Perdas progressivas, que ocorrem ao longo do tempo.

No caso comum de concreto protendido com aderência posterior, constituem perdas imediatas, aquelas provenientes de:

Atrito entre o cabo e a bainha;

Acomodação do cabo nas ancoragens;

Encurtamento do concreto durante a operação de protensão.

As perdas progressivas são provocadas pela:

Retração e fluência do concreto

Relaxação da armadura de protensão.

3 2. Perdas por atrito em cabos pós-tracionados As perdas por atrito variam ao longo do cabo. O fenômeno envolvido é o do atrito entre o cabo e a bainha e é similar ao problema de uma polia que recebe um momento torçor através de uma correia.

Figura 23

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32

Conforme o esquema da fig. 23, pode-se escrever:

p. μ.ds + dP = 0

onde:

μ = coeficiente de atrito entre a correia e a polia.

Substituindo

r

Pp = e ds=r.dα

na expressão anterior, tem-se:

P. .r.d dP 0

rμ α + = ou αμ−= d.

P

dP

Portanto,

C.)Pln( +αμ−=

Sendo P=P0, para α = 0, vem

)Pln(=C 0

e, portanto

μα= -)Pln(-)Pln( 0 ou μα−= e.PP 0 .

Figura 24

Em situações usuais, ilustradas na fig.24, μ ≈ 0,2 e α ≤ 20° (0,35 rad). Portanto, o produto

μα ≤ 0,07. Para valores desta ordem pode-se tomar

e 1−μα ≅ − μα

resultando

( )たg1PP 0 −≅ .

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33

Na realidade, o cabo apresenta ondulações inevitáveis ao longo do seu comprimento, inclusive no trecho curvo. Em um comprimento projetado x (incluindo trechos retos e

curvos), pode-se pensar num ângulo equivalente às ondulações do trecho, dado por k xα .

Portanto, a força de protensão num ponto de abscissa x (normalmente, para o cálculo das perdas por atrito, pode-se adotar como comprimento aproximado do cabo o valor de sua projeção sobre o eixo x da peça) é dada por:

( )[ ]xkgた1PP gi +−≅ .

Pode-se definir:

k kα= μ

resultando

( )kxたg1PP 0 −−≅

A nova NB-1 (NBR6118:2003 – Projeto de Estruturas de Concreto Armado –

Procedimento) estabelece os seguintes valores para o coeficiente μ (coeficiente de atrito aparente entre o cabo e a bainha), quando não existirem dados experimentais:

μ = 0,50 entre cabo e concreto (sem bainha); μ = 0,30 entre barras ou fios com mossas ou saliências e bainha metálica; μ = 0,20 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica; μ = 0,10 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica lubrificada; μ = 0,05 entre cordoalha e bainha de polipropileno lubrificada. A unidade de μ é 1/radianos ou rad-1

O coeficiente k é o coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não intencionais do cabo. Na falta de dados experimentais pode ser adotado o valor 0,01 μ, sendo a unidade de k igual a 1/m ou m-1.

A tabela 5 apresenta os valores de μ e k apresentados pelo CEB e ACI:

Tabela 5. Coeficientes μ e k segundo o CEB e o ACI

μ k

0,50 0,005 CEB Cabos em dutos de concreto 0,15 a 0,25 0,0033 a 0,0049 ACI

0,20 0,002 CEB Cordoalhas em bainha metálica 0,15 a 0,25 0,00066 ACI

0,20 0,002 CEB Monocordoalhas engraxadas 0,05 a 0,15 0,00066 ACI

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34

Costuma-se determinar o valor da força de protensão nas extremidades de cada trecho (reto ou curvo) a partir da força já definida para a extremidade inicial do respectivo trecho. Normalmente, admite-se que, em cada trecho, o diagrama de força possa ser aproximado por uma variação linear.

Considere-se o cabo esquematizado na fig. 25:

Figura 25

Admitindo-se:

μ = 0,2 ; k = 0,002 m-1 ; PA = 1733 KN; Ap = 11,84 cm2

a1 = 10 m ; a2 = 5 m ; α = 8,5°= 0,148 rad.; Ep = 19500 kN/cm2

resulta

( )1AB kaたg1PP −−≅

( ) 1647KN0,002.100,2.0,14811733PB =−−=

( )2BC ka1PP −= → ( ) 1631KN,002.5011647PC =−=

O alongamento do cabo no final da protensão vale

l

1733 1647 1647 1631 110 5 108,7 mm

2 2 11,84 19500

+ +⎛ ⎞Δ = × + × =⎜ ⎟ ×⎝ ⎠

A fig. 26 apresenta o diagrama de força de protensão ao longo da viga com a aplicação de P0 nas extremidades.

Figura 26

A

B C

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35

3.3. Perda por acomodação das cunhas de ancoragem Geralmente, a ancoragem do cabo é feita por encunhamento individual das cordoalhas.

Este encunhamento é acompanhado de um recuo do cabo (δ), de alguns milímetros acarretando uma queda na força de protensão, num trecho de comprimento x junto à ancoragem, e mobilizando forças de atrito em sentido contrário àquelas da operação de protensão. A figura 27 apresenta as diversas situações que podem ocorrer com a acomodação nas ancoragens de um cabo simétrico, protendido simultaneamente pelas suas extremidades.

Figura 27

Para o cálculo da influência do encunhamento serão descrito dois métodos; o primeiro é de simples interpretação e entendimento, fácil e de utilidade prática; já o segundo é mais aprimorado e preciso. Deste modo, será resolvido o seguinte problema:

Determinar o diagrama de força de protensão após o encunhamento para o cabo de protensão da viga esquematizada na figura 27. As perdas durante a protensão foram determinadas no item 3.2. Dados:

μ = 0,2 (coeficiente de atrito - trechos curvos)

k = 0,002 / m (coeficiente de atrito ao longo do cabo)

fptk = 1900 MPa (valor característico da resistência à ruptura)

0,77 fptk = 1463 MPa (tensão normal máxima no ato de protensão)

Ap = 11,844 cm2 (área da seção do cabo de 12 cordoalhas de 12,7 mm)

P0 = 0,77 fptk Ap = 1733 kN (força inicial de protensão)

Ep = 195000 MPa (módulo de elasticidade da armadura de protensão)

δ = 6 mm (recuo do cabo devido à cravação da cunha de ancoragem)

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36

P0 = 1733kN ; P1 = 1647kN ; P2= 1631 kN

Figura 28

1° Método

O efeito do encunhamento pode ser feito conforme o procedimento indicado a seguir:

1. Determinar Aδ = δ Ep Ap = 0,006 ⋅ 19500 ⋅ 11,844 = 1385,75

2. Determinar a área do triângulo (P0P1A) = A1 = 860, figura 29 (caso A);

Figura 29

2.1. Se A1 for maior ou igual do que Aδ , a influência do encunhamento está restrita ao trecho curvo inicial e pode ser definida através da igualdade [área da figura (P0PP01)]=Aδ , resultando

( ) ( ) 20 0 1

1

2 P P x P ka xA

2 aδ

− μα += =

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37

( )1

0 1

A ax

P kaδ=

μα +

0 11

1

P PP P x

a

−= +

01 0P 2P P= −

2.2. Se A1 for menor do que Aδ , a influência do recuo na ancoragem estende-se além de P1 e deve-se prosseguir com o item 3;

3. Determinar a área da figura (P0P1P2BC) = A2 = 1260, da figura 30 (caso B);

Figura 30

3.1. Se A2 for maior ou igual do que Aδ , a extensão da influência do encunhamento pode ser definida através da igualdade [área da figura (P0P1PP11P01)] = Aδ = 1385,7, resultando;

( )1 1 1 1 1

y y2 P P a 2P ky a A A

2 2 δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

de onde se obtém y e, portanto, x e os valores de P11 e P01;

3.2. Se A2 for menor do que Aδ , todo o cabo é afetado pelo encunhamento, figura 9 e os valores da força de protensão podem ser obtidos a partir da expressão (caso C):

( )1 2 22 P a a A AδΔ + = − P 4,19 kNΔ = .

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38

Figura 31

A. Nos cabos protendidos por uma das extremidades (ancoragem fixa na outra extremidade), o diagrama de força de protensão pode ser definido (a partir da extremidade que recebe a protensão) aplicando-se, por exemplo, o procedimento visto no item anterior.

2° Método

a) Caso A, em que x < a1

Figura 32

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39

Nesta situação o encunhamento afeta apenas o trecho curvo do cabo. A variação de comprimento de um elemento de cabo (dx), sujeito à força de protensão de valor P, é dada por:

p p

Pdxdl

E A=

onde: Ep = módulo de deformação do aço de protensão

Ap = área da seção transversal da armadura de protensão.

Desta forma, o valor do recuo é dado pela área da figura triangular hachurada dividida pela rigidez normal do cabo (Ep Ap). Isto é,

( ) ( )0 0 1

p p 1 p p

2 P P x 2P ka x x 1

2E A a 2 E A

− μα +δ = = ⋅ ⋅ ou

( )p p 1

0 1

E A ax

P ka

δ=

μα + [para (x < a1)]

resultando

o1

xP P 1 kx

a

⎛ ⎞= −μα −⎜ ⎟

⎝ ⎠ → 01 0P 2P P= − .

b) Caso B, em que (a1 < x ≤ al + a2)

Figura 33

A área da figura hachurada dividida pela rigidez normal do cabo fornece o valor do recuo do cabo. Assim

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40

( ) ( ) p p0 1 1 11 1 1

E AP ka a x aP k x a a

2 2 2

μα + −⎛ ⎞+ − + = δ⎜ ⎟⎝ ⎠

logo

( ) 2p p 0 1 1 1 1

1

E A P P a P kax

P k

δ − − +=

resultando

( )1 1P P 1 k x a= − −⎡ ⎤⎣ ⎦

01 0P 2P P= −

11 1P 2P P= −

c) Caso C em que (x = a1 + a2)

Figura 34

Tem-se:

( ) ( ) ( ) p p0 1 1 21 2 1 1 2

E AP P a aP P a P a a

2 2 2

− ⎛ ⎞+ − + + Δ + = δ⎜ ⎟⎝ ⎠

ou

( )0 1 2p p 1 1 2 1

1 2

P P aE A a P P a

2 2 2Pa a

−δ ⎛ ⎞− − − +⎜ ⎟⎝ ⎠Δ =

+

01 2 0P 2P P 2 P= − − Δ

11 2 1P 2P P 2 P= − − Δ

P.2PP 222 Δ−=

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41

Resolvendo o exemplo anteriormente proposto pelo 2o método

Não se sabe a priori, até onde chega a influência do recuo nas ancoragens. A solução pode ser encontrada por tentativas. Pode-se começar, por exemplo, admitindo-se tratar do caso A (item 3.3) onde a influência é restrita ao trecho curvo. Assim,

( )p p 1

0 1

E A ax

P ka

δ=

μα + ( )19500 11,844 0, 006 10

12,70 m1733 0, 2 0,148 0, 002 10

⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ + ⋅

O valor obtido mostra que o recuo afeta além do trecho curvo inicial (x > a1 = 10 m). Caso se admita o caso B (influência até um ponto do trecho reto), vem:

( ) 2p p 0 1 1 1 1

1

E A P P a P kax

P k

δ − − +=

( ) 219500 11,844 0, 006 1733 1647 10 1647 0,002 10x 16,1 m

1647 0, 002

⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅= =

Este valor ultrapassa a metade do comprimento do cabo (simetria) que é de 15 m. Conclui-se, assim, tratar-se do caso c, resultando:

( )0 1 2p p 1 1 2 1

1 2

P P aE A a P P a

2 2 2Pa a

−δ ⎛ ⎞− − − +⎜ ⎟⎝ ⎠Δ =

+

( )0, 006 1733 1647 519500 11,844 10 1647 1631 10

2 2 2P 4,19 kN10 5

− ⎛ ⎞⋅ ⋅ − ⋅ − − +⎜ ⎟⎝ ⎠Δ = =

+

01 2 0P 2P P 2 P 2 1631 1733 2 4,19 1521 kN= − − Δ = ⋅ − − ⋅ =

11 2 1P 2P P 2 P 2 1631 1647 2 4,19 1607 kN= − − Δ = ⋅ − − ⋅ =

21 2P P 2 P 1631 2 4,19 1623 kN= − Δ = − ⋅ =

A figura 35 apresenta o diagrama de força normal no cabo:

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42

Figura 35

3.4. Perda de protensão por encurtamento do concreto durante a

fase de protensão dos cabos (concreto protendido com

armadura pós-tracionada)

Figura 36

Considere-se a seção transversal esquematizada na figura 36 de uma viga protendida com armadura pós-tracionada, constituída de 5 cabos (n = 5).

Normalmente, a protensão total é obtida estirando-se, seqüencialmente, um cabo por vez num total de cinco operações. A protensão de um cabo provoca uma deformação imediata do concreto e, consequentemente, afrouxamento dos cabos anteriormente protendidos. A perda média de protensão pode ser estimada através da expressão:

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43

( )p p g cp

n 1

2n

−Δσ = α σ +σ

onde:

gg p

c

Me

Iσ = → tensão no concreto ao nível do baricentro da armadura de

protensão, devida à carga permanente mobilizada pela protensão;

2p

cpc c

e1P

A I

⎛ ⎞σ = − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ → tensão no mesmo ponto anterior, devida à protensão simultânea

dos n cabos;

pp

c

E

Eα = → coeficiente de equivalência;

Ac , Ic → área e momento de inércia da seção transversal;

ep → excentricidade da resultante de protensão.

A deformação total, junto à fibra de passagem da resultante dos n cabos de protensão, é dada por

g c,pc,pg g c,p

cE

σ +σε = ε + ε =

portanto, a protensão de cada cabo provoca a deformação

c,pgc,pg1 n

εε =

Admitindo-se a protensão seqüencial dos n cabos, pode-se construir a seguinte tabela:

Tabela 6

Encurtamento dos cabos Protensão C1 Protensão C2 Protensão C3 Protensão C4 Protensão C5 Total

C1 εc,pg1 εc,pg1 εc,pg1 εc,pg1 4εc,pg1

C2 εc,pg1 εc,pg1 εc,pg1 3εc,pg1

C3 εc,pg1 εc,pg1 2εc,pg1

C4 εc,pg1 1εc,pg1

C5

Portanto, a deformação total vale

( ) ( )c,pg1 c,pg1

n n 11 2 ... n 1

2

−ε = + + + − = ε⎡ ⎤⎣ ⎦

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44

que é a soma dos n - 1 primeiros termos da progressão aritmética ( 1,2,...,n - 1).

A perda total de protensão correspondente é dada por

( )c,pg1 p p,1

n n 1P E A

2

−Δ = ε

onde:

Ap,1 é a área da seção transversal de um cabo

ou

( ) ( )c,pg g cp pp p,1 p

c

An n 1 n n 1P E A E

2 n 2 nE n

ε σ +σ− −Δ = =

onde

Ap é a área total dos n cabos.

Finalmente, tem-se:

( )p p g cpp

P n 1

A 2n

Δ −Δσ = = α σ +σ

Considere-se o exemplo com os seguintes dados:

P1 = 1614 kN ; P2 = 1621 kN ; P3 = 1623 kN; P4 = P5 = 1624 kN

αp = 5,85 ; Ic = 0,519 m4 ; Ac = 0,944 m2 ; ep = 0,816 m ; Mg = 3000 kN.m

Ap = 11,84 cm2 (de cada cabo) ; P0 = 1733 kN (força inicial de protensão por cabo)

Tem-se:

iP P 8106kN= =∑

gg p

c

M 3000e 0,816 4,72MPa

I 0,519σ = = × =

2 2p

c,pc c

e1 1 0,816P 8106 18,99MPa

A I 0,944 0,519

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = − + = − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Logo

( ) ( )p p g cp

n 1 5 15,85 4,72 18,99 33, 4MPa

2n 2 5

− −Δσ = α σ +σ = × − × = −

×

A tensão inicial de tração na armadura de protensão vale:

0p0

p

P 17331464MPa

A 11,84σ = = =

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45

A perda percentual é de

p

p0

33, 42, 3%

1464

Δσ= − = −

σ

P 8106 3, 34 5 11,84 7908 kN= − × × =

O percentual devido à perda imediata vale, portanto

( ) ( )0 0P P / P 8665 7908 /8665 9%− = − =

3.5. Perdas progressivas em armaduras aderentes

Encerradas as operações de protensão da peça de concreto protendido, os cabos são injetados com nata de cimento, estabelecendo-se a aderência entre a armadura de protensão e o concreto. Admite-se que esta aderência seja perfeita, isto é, podem ser consideradas iguais às deformações adicionais no concreto e na armadura de protensão.

As perdas progressivas são devidas à fluência e retração do concreto e à relaxação da armadura de protensão. A fluência e a relaxação exprimem a influência do tempo nos campos de tensões e deformações.

O fenômeno da fluência pode ser caracterizado através da seguinte experiência: Considere-se uma barra (fig. 37) à qual é aplicada, num certo instante t0 , a força de tração permanente de valor P0 que, portanto, será mantida constante ao longo do tempo. No instante t0 tem-se um alongamento inicial de valor a0. No material sujeito a fluência, este alongamento

aumenta ao longo do tempo para um valor assintótico a∞. A fluência acarreta, portanto, um aumento da deformação sob tensão constante.

Figura 37

L0 a

A B

A B’

Pi = cte

t

a

to

a0

P

to

Pi

t

Pi = constante

Fluência

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46

O fenômeno da relaxação pode ser caracterizado através da seguinte experiência. Considere-se uma barra (fig. 38) à qual é aplicada, num certo instante t0 , um alongamento permanente de valor a0 mantido constante ao longo do tempo. Para isto, é necessário aplicar uma força de tração de intensidade Pi. No material viscoelástico, esta força diminui

ao longo do tempo para um valor assintótico P∞. A viscoelasticidade acarreta, neste caso, diminuição da tensão sob deformação constante que é chamada de relaxação.

Figura 38

Pode-se admitir que o efeito do tempo em uma peça de concreto protendido transcorra em condições que se aproximam da fluência pura no concreto e da relaxação pura na armadura de protensão.

De fato, no concreto, as solicitações de caráter permanente são devidas à carga permanente (constante) e à protensão que relativamente varia pouco; as tensões normais correspondentes no concreto acabam gerando deformações adicionais semelhantes a fluência pura.

A grande deformação inicial aplicada na armadura para se obter a força de protensão, mantém-se praticamente constante ao longo do tempo provocando perdas de tensão semelhantes a relaxação pura.

L0

P

A B

A B’

a0 = cte

t

P

to

Pi

a

to

a0

t

a0 = constante

Relaxação

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47

3.5.1.Perdas por retração no concreto (Shrinkage Δσp,s)

Figura 39

Deformação por retração εcs= Equivale a uma diminuição de temperatura entre 15°C a 38°C

- Umidade relativa do ambiente (U)

Umidade Relativa do Ar (Diminui) Retração (aumenta)

Rio de Janeiro

São Paulo U= 78% εcs=-20x 10-5

- Consistência do concreto no lançamento:

a

c 0,45 0,50 0,55 0,65 0,65

Porosidade aumenta → Índice de vazios aumenta →

- Espessura fictícia da peça hfic;

Figura 40

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48

Idade fictícia do concreto no instante (to) da aplicação da carga

(Diminui) .

Retração (Aumenta)

- Idade fictícia do concreto no instante considerado (t)

Figura 41

p csp

E εΔσ ≅

β β é um fator de correção ( ≥1,0 ), pode ser usado β=1 a favor da segurança

3.5.2. Perdas por fluência do concreto, (Creep εcc)

Figura 42

c 0 0

ccc

cc 0 c

l (t , t ) l

l

l(t , t )

Δ = ϕ ΔΔ

ε =

ε = ϕ ε

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49

Figura 43

Figura 44

( )po pg po

p p

c c c

c,pog

F eM Fe e

I A I

.⎛ ⎞− − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠σ =

g po cp

c c c

2pc,pog

M F Ae

I A I1 e−⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠η

σ ='*(*)

positivo negativo

c,pog c,g c,po⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

σ = σ + σ

p c,pogp,c

∞α ϕ σΔσ ≅

β

onde:

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50

p,cΔσ é a perda no aço de protensão devido a fluência

pα é a razão entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto s

c

E

E.

A seguir apresenta-se o critério aproximado da Nova Norma NB1-2003 para se estimar a deformação por fluência e retração.

Em casos onde não é necessária grande precisão, os valores finais do coeficiente de fluência ϕ(t∞,to) e da

deformação específica de retração εcs(t∞,to) do concreto, submetido a tensões menores que 0,5 fc quando do

primeiro carregamento, podem ser obtidos, por interpolação linear, a partir da tabela 7.

Esta tabela fornece o valor do coeficiente de fluência ϕ(t∞,to) e da deformação específica de retração

εcs(t∞,to) em função da umidade ambiente e da espessura equivalente 2Ac/u, onde Ac é a área da seção

transversal e u é o perímetro desta seção em contato com a atmosfera. Os valores desta tabela são

relativos a temperaturas do concreto entre 10ºC e 20ºC, podendo-se, entretanto, admitir temperaturas

entre 0ºC e 40ºC. Esses valores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum.

Tabela 7 Valores característicos superiores da deformação específica de retração εcs(t

∞,to) e do coeficiente de fluência ϕ(t∞,to)

Umidade ambiente (%) 40% 55% 75% 90%

Espessura Equivalente c2A

u (cm) 20 60 20 60 20 60 20 60

5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1

ϕ(t∞,to) to(dias) 30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4 5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09

εcs(t∞,to) ‰ to(dias) 30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09 60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09

3.5.3. Perdas por relaxação do aço, (εp,r)

A relaxação da armadura de protensão é a perda de protensão quando os fios ou cordoalhas estão sujeitos essencialmente com uma deformação constante. Por simplificação, pode-se considerar o efeito da relaxação da armadura semelhante à fluência do concreto, lembrando somente que a fluência caracteriza-se pelo aumento das deformações ao passo que a relaxação do aço é uma diminuição da tensão com o tempo.

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51

Figura 45

O valor da força de protensão em uma determinada época, considerada somente a relaxação do aço, é dado por:

))t,t(1.(F)t,t(F 00p0p ψ−= portanto PFp =

15,00

10000 1000

tt)t,t( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ψ=ψ

Onde:

σpi e Pi são respectivamente a tensão e a força no macaco;

σp0 e P0 são respectivamente a tensão e a força no tempo t = to;

σp∞ e P∞ são respectivamente a tensão e a força no tempo t = ∞;

ψ(to,t) é o coeficiente de relaxação do aço no instante t para protensão e carga permanente mobilizada no instante tº

ψ1000 é a relaxação de fios e cordoalhas, após 1000 h a 20ºC e para tensões variando de 0,5 a 0,8 fptk, obtida em ensaios descritos na NBR 7484, não devendo ultrapassar os valores dados na NBR 7482 e na NBR 7483,respectivamente.

Para efeito de projeto, os valores médios da relaxação para as perdas de tensão, referidas a

valores básicos da tensão inicial, de 50% a 80% da resistência característica fptk (ψ1000), são reproduzidos na tabela 8.

Tabela 8 Valores de Ψ1000, em %

Cordoalhas Fios Barras

σpo RN RB RN RB

0,5 fptk 0 0 0 0 0

0,6 fptk 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5

0,7 fptk 7 2,5 5 2 4

0,8 fptk 12 3,5 8,5 3 7

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52

Para tensões inferiores a 0,5 fptk, admite-se que não haja perda de tensão por relaxação.

Para tensões intermediárias entre os valores fixados na tabela 7, permite-se a interpolação linear.

Pode-se considerar, para o tempo infinito (t=50 anos), o valor é ∞ψ ≅ 2,5 ψ1000.

3.5.3.1. Fluência da armadura de protensão, (εp,c)

A fluência e a relaxação do aço são o mesmo fenômeno, medido somente em diferentes circunstâncias. A fluência do aço é dado por:

[ ]o o(t , t ) ln 1 (t , t )χ = − −ψ

χ(to,t) é o coeficiente de fluência do aço

As perdas por relaxação da armadura protendida poder ser avaliada por:

pop,r

∞σ χΔσ = −

β

ou po 1000p,r

σ ψΔσ ≅ −

β Para aplicações usuais.

3.6. Perdas progressivas totais.

A perda progressiva total considerando a fluência e a retração do concreto e a relaxação da armadura ativa é fornecida por:

o1000ou

c,pog p p cs pop

E

ψ

∞ ∞σ α ϕ + ε −σ χΔσ =

β

ppp さ2

1とgぬ1く ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++= ∞

∞ϕ

2p

cc

g poc,pog p

c c

e1 A

IVaria em cada seção

M Fe

I A

⎛ ⎞η = +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⇒

σ = − η

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53

4

Flexão simples (ELU) DEFINIÇÕES

4.1 Introdução Basicamente a diferença entre o concreto armado e o concreto protendido é a existência do pré-alongamento na armadura de protensão. No caso de solicitações normais, pode-se dizer que o procedimento de cálculo no Estado Limite Último (ELU) para estruturas protendidas é o mesmo que aqueles do concreto armado.

A Nova NB1-2003 refere-se a estado limite último como:

Estados Limites Últimos são aqueles relacionados ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura.

Como as estruturas de concreto armado, as de concreto protendido devem atender a dois tipos de condições:

1. Comportamento dúctil e coeficiente de segurança satisfatório, na ruptura.

2. Comportamento satisfatório sob efeito de cargas permanentes e cargas de serviço.

No caso da flexão simples de vigas de concreto protendido, o item 2 obedecerá às mesmas condições das adotadas no concreto armado.

No caso da análise dos esforços resistentes de uma seção, admitem-se as seguintes hipóteses de cálculo:

a) As seções transversais se mantém planas após deformação;

b) A deformação das barras aderentes (passivas ou ativas), em tração ou compressão, é a mesma do concreto em seu entorno;

c) Para armaduras ativas não-aderentes, o eventual acréscimo de força deve ser calculado através do efeito de viga-armada para a combinação de ações em estudo, sendo que para estruturas de edifícios, permite-se aproximar esse acréscimo por 50% do que se obteria para armadura aderente;

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54

d) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas;

e) A distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo, com tensão de pico igual a 0,85 fcd permitindo-se a substituição desse diagrama pelo retângulo de altura 0,8.x (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão:

0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir dessa para a borda comprimida.

0,80 fcd no caso contrário.

f) A tensão nas armaduras é obtida a partir dos diagramas tensão-deformação, com os respectivos valores de cálculo:

σs

Es

fyd

fyk

εs

fyd

εuk

Figura 46: Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas

σs

Ep

fpyk

fpyd

ε pε uk

fptk

fptd

Figura 47: Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras ativas

σs

Ep

fpyk

fpyd

ε pε uk

fptk

fptd

Figura 48: Diagrama tensão-deformação simplificado para aços de armaduras ativas

O módulo de elasticidade do aço passivo pode ser admitido igual a 210 GPa

O módulo de elasticidade para fios e cordoalhas pode ser considerado igual a 200 GPa.

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55

g) O Estado Limite Último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura 49 a seguir:

Figura 49. Domínios de deformação.

4.2. Dimensionamento a flexão simples de vigas de seção retangular

composta por armadura protendida aderente e por armadura passiva

simples.

4.2.1. Dados de entrada:

Figura 50 – Esquema para Dimensionamento

Esforços solicitantes

Msd

Fpοο

Nsd=0

Geometria e armadura protendida

Incógnitas:

x = ? (Posição da linha neutra)

As = ? (Armadura Passiva)

Tal que os esforços resistentes Nrd e Mrd sejam Nrd = Nsd = 0

e Mrd ≥ Msd

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56

bw; h; d; dp; Ap;P∞

Materiais

fck; fy (armadura passiva) e Es; fpyk (armadura ativa) e Ep

4.2.2. Seqüência geral de solução.

A seqüência dada a seguir é mais geral e resolve todos os problemas, embora a rigor seja mais complexa.

a) Arbitra-se um valor para x (ou x

d), por exemplo

x0,30

d=

b) Para este valor de x (ou x

d) calcula-se a deformada de Estado Limite Último (ELU)

correspondente. Os domínios de deformação no ELU são 1 a 5.

Assim se:

c

c

c

x x0, 259 10‰

d d xx h

0, 259 3,5‰d d

h x 2‰3 hd d 17 x

≤ ε =−

≤ ≤ ε =

≤ ε =−

Onde εc é a deformação na fibra mais comprimida ou menos tracionada do concreto.

c) Por compatibilidade, calcular εs e Δεp

alongamentoencurtamento alongamento

pc s

px d x d x

++ +Δεε ε

= =− −

Logo:

( )s c c

x1

d x dxxd

⎛ ⎞−⎜ ⎟− ⎝ ⎠ε = ε = ε

Alongamento da armadura passiva de tração.

x

(d-x) (dp-x)

dp

d

εs

Figura 51 – Esquema para cálculo dos alongamentos

Δεp

εc

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57

( )p

p

p c c

d xd x d d

xxd

⎛ ⎞−⎜ ⎟− ⎝ ⎠Δε = ε = ε

Alongamento adicional (ao pré-alongamento da armadura protendida)

O alongamento total da armadura aderente será dado por:

p pré pε = ε + Δε

Onde εpré é o pré-alongamento da armadura de protensão, na data em estudo; usualmente

se toma ∞PF . O valor de εpré é dado no caso da pré-tração e aproximado na pós-tração por:

pp

Pppré A.E

F. ∞γ=ε Na prática é adotado γp = 0,90.

O cálculo mais rigoroso do pré-alongamento na pós-tração é dado por;

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ηρα+γ=ε ∞

.pppp

Pppré .1.

A.E

F. com γp = 0,90.

sendo: p p 2 cp p p

c c c

E A A; ; 1 e

E A I

⎛ ⎞α = ρ = η = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

d) Dado εs e εp podem ser calculadas, pelas equações constitutivas, as tensões σsd e σpd.

yd sd s s ydf E f− ≤ σ = ε ≤ (+ alongamento)

pd p p pydE fσ = ε ≤ (+ alongamento), admitindo o patamar fictício de escoamento

para o aço de protensão

Pode-se tomar fpyk ≅ 0,90fptk

Logo pyk ptkpyd s

s s

f ff 0,90 com 1,15= = γ =

γ γ

e) Dados x, σsd e σpd podem ser calculadas as resultantes no concreto e no aço e seus pontos de aplicação.

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58

Figura 52. Esquema para cálculo das resultantes

cd cd wR 0,85f b 0,8x=

sd sd sR A= σ “Que não pode ser calculado, pois As não é conhecido”

pd pd pR A= σ

f) Dados Rcd, σsd, e Rpd e seus pontos de aplicação, podem ser calculados os esforços resistentes Nrd e Mrd.

ms sd

rd cd sd pd

A

N R R Rσ

= − − (1)

rd cd sd s pd p

h h hM R 0,4x A d R d

2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +σ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2)

Na verdade os dois valores ficam calculados em função de As (incógnita).

g) Imposição do equilíbrio com os esforços solicitantes Nsd e Msd..

Deve-se ter:

rd sdN N 0= = (caso de flexão simples) (3)

rd sdM M≥ (4)

De (3) em (1) tiramos o valor de As, que satisfaz.

cd pds

sd

R RA

−=

σ

Atenção: mesmo que As seja um valor negativo ele será utilizado.

rd cd sd

hM R 0,4x

2⎛ ⎞= − + σ⎜ ⎟⎝ ⎠

cd pd

sd

R R−

σ pd p

h hd R d

2 2

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(d-h/2)

(h/2-0,4x)

0,4x

0,8

x

0,85fcd

(dp-h/2)

Rcd

Rpd

Rsd

CG

Ap

As

d dp

h/2

CG

h/2

Nrd

Mrd

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59

Se o valor de Mrd calculado for igual a Msd teremos a solução, se não, podemos repetir o processo iterativamente até obtermos Mrd = Msd.

No item 14.6.4.3, Limites para redistribuição de momentos e condições de dutilidade, da Nova NB1-2003, a capacidade de rotação das peças é função da posição da linha neutra no ELU e quanto menor é x/d, maior é essa capacidade.

Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais, mesmo quando não se fizerem redistribuições de esforços solicitantes , deve-se garantir para a posição da linha neutra no ELU, os limites seguintes:

x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa; ou

x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa.

Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões.

Outra variante desta solução consiste em tomarmos dois , três ou mais valores de x

d, por

exemplo 0,10; 0,30 e 0,50.

Calcularemos os pares As e Mrd correspondentes e montaremos o gráfico da figura 53:

0,1

0,3

0,5

A’

B’

C’

B

C

A

D

As (cm2)

Msd,Mrd

x

d

Msd

As,sol

Figura 53 – Gráfico As x Mrd

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Com estes três ou mais pares, traçamos a curva aproximada que correlaciona Mrd com As, entrando com Msd e interpolando entre os valores calculados, mais próximos, achamos As,sol, aproximado.

Por exemplo, se Msd está entre os pontos B e C, temos:

( )sd rd,Bs,sol s,B s,C s,B

rd,C rd,B

M MA A A A

M M

−≅ − +

O gráfico também fornece qual é o momento resistente para As igual a zero (ponto D). ou

seja, se Msd≤Mrd,D não é necessária, teoricamente, armadura passiva As, devendo-se adotar a armadura mínima dada por:

s s min cA A A≥ = ρ para armaduras aderentes

min,CA p min,CA0,5 0,5ρ = ρ − ρ ≥ ρ

onde pp

c

A

Aρ =

A Nova NB1-2003 especifica os valores mínimos de ρmin,CA conforme a Tabela 9:

Tabela 9

fck (MPa)

T

(mesa comprimida)

T

(mesa tracionada)

45 50ωmín

Retangular 0,15 0,15

Valores de ρmin* (As,min/Ac)%

20 25 30 35 40

0,197

0,173 0,201 0,23 0,259

0,15 0,15 0,153

0,288

0,15 0,15 0,15 0,15 0,158 0,177

0,178 0,204 0.229 0,255

0,46 0,518Circular 0,23 0,288

Forma da seção

0,575

* Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. Caso esses fatores sejam

diferentes, ρmin deve ser recalculado com base no valor de ωmín dado.

NOTA: Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

0,035

0,024

0,031

0,07 0,345 0,403

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61

4.2.1. Exemplo F-ELU-1

Calcular a armadura de flexão para a viga de seção retangular com os dados a seguir.

Ap=11,80cm2

∞PF =129,8 tf

As=? Aço CP-190 RB

fck=25 MPa Es=210 GPa

Ac=0,48m2 Ep=195 GPa

Ic=0,0576m4 Ec=23,8 GPa

Figura 54 – Seção da Viga do Exemplo F-ELU-1

Seguindo a seqüência de cálculo anteriormente descrita:

(a) Dados 50,0d

x= (Depois será feito para

x

d=0,30 e

x

d=0,10)

cm5,57115.50,0x ==

(b) Calcular εc

Para 000

c 5,3259,050,0d

x=ε→>=

(c) Calcular Δεp, εs, εpré e εp

000

000

cs 5,350,0

)50,01(5,3

d

x

d

x1

=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ε=ε

000

000

p

cp 2,350,0

50,0115

110

5,3

d

x

d

x

d

d

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ε=εΔ

‰08,500508,08,11.1950

8,129.90,0

A.E

F.

pp

Pppré ===γ=ε ∞

Ep=195 GPa = 1950 tf/cm2

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Opcionalmente, o cálculo do pré-alongamento poder ser feito da maneira mais correta:

( ) ( )

( )

ppré p p p

p p

pp

c

pp

c

22 cp

c

p p

F1 5, 08‰ 1 8,19.0, 00246.3, 08 5, 40‰

E A

com

E 1958,19

E 23,8

A 11,800, 00246

A 40.120

A 0,481 e 1 1,10 0,60 3, 08

I 0, 0576

he d

2

∞⎡ ⎤ε ≅ γ +α ρ η = + =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

α = = =

ρ = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞η = + = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

000

000

000

pprép 28,82,308,5 =+=εΔ+ε≅ε

Ou de maneira mais exata:

000

000

000

pprép 60,82,340,5 =+=εΔ+ε≅ε

Só vale para armadura de protensão ADERENTE

(d) Dados εs e εp calcular σsd e σpd

2pd

2p

2

2

s

pyd

pydpppd

2sd2sd

000

s

2

2

ydydsssdyd

cmtf87,14

1000

60,8.1950

cmtf1950GPa195E

cmtf87,14

15,1

cmtf19

9,0f9,0

f.E

cmtf35,4

cmtf35,4

1000

5,32100

1000

5,35,3

cmtf35,4

15,1

cmtf0,5

ff.Ef

≤=σ

==

==γ

=≤ε=σ

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=σ→≤=σ

==ε

==→−≤ε=σ≤−

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63

(e) Calcular Rcd, Rsd e Rpd

tf3,2795,57.8,0.40.4,1

25,0.85,0x8,0.b.f.85,0R wcdcd ===

sd sd s sR A 4,35.A= σ =

pd pd pR A 14,87.11,8 175,5 tf= σ = =

(f) Calcular Mrd e Nrd

1) 5,175A.35,43,279RRRN spdsdcdrd −−=−−=

2) rd cd sd s pd p

h h hM R 0,4x A d R d

2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +σ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) )60110(5,17560115A.35,45,57.4,0603,279M srd −+−+−=

srd A.2,23919209M +=

(g) Calcular As e Mrd tal que Nrd=Nsd=0 (flexão simples)

De 1), temos;

2pdcd

s cm86,2335,4

5,1753,279

35,4

RRA =

−=

−=

e

m.tf2,249cm.tf24917)86,23.(2,23919209M 2rd ==+=

Repetindo a seqüência para x

d=0,30 e

x

d=0,10, temos:

Tabela 10

Pontos x

d As (cm2) Mrd (tfm) εc Rcd Rpd

A 0,10 -27,5 52,93 1,11% 55,94 175,5

B 0,30 -1,82 160,81 3,50% 167,64 175,5

C 0,50 23,88 248,17 3,50% 279,39 175,5

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0,1

0,3

0,5

A’

B’

C’

B

C

A

D

As (cm2)

Msd,Mrd

x

d

Msd

As,sol=10,60 cm2

Figura 54 – Gráfico As x Mrd do Exemplo F-ELU-1

Para Msd=203,2 tfm a solução está entre os pontos B e C, logo;

( )( )

( )( ) ( ) 2s,sol

203, 2 160,81A 23,88 1,82 1,82 10,60 cm

248,17 160,81

−≅ − − + − =

Se buscássemos a solução exata obteríamos As=9,91 cm2 para x=45 cm.

Checagem de As,min:

( )min,ca 0,15% p/fck 25

smin p c

0,15%A 0,15% 0,5 A

2

ρ = =⎡ ⎤⎢ ⎥

= − ρ ≥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,-.

%25,00025,0120.40

118===pρ logo 2

min, 60,3120.40.2

%15,0cmAs ==

Observação: Caso a solução exigisse x/d >0,50 não seria possível e teríamos que aumentar

a seção, ou o fck ou colocar 'sA (armadura de compressão).

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65

4.3. Dimensionamento ou verificação, a flexão simples, de vigas de

seção retangular composta por armadura protendida aderente e por

armadura passiva dupla.

4.3.1. Dados de entrada:

Figura 55 – Seção de Viga com Armadura Passiva Dupla

Esforços solicitantes:

Msd ≤ Mrd

∞PF

Nsd=Nrd=0

Geometria e armadura protendida

bw; h; d; d’; dp; Ap;P∞

Materiais

fck; fy (armadura passiva) e Es; fpyk (armadura ativa) e Ep

4.3.2. Seqüência geral de solução.

Existem dois caminhos possíveis, pois temos três incógnitas e somente 2 equações (Nrd e Mrd), portanto deveremos fixar uma das incógnitas.

Incógnitas:

x = ? (Posição da linha neutra)

As = ? (Armadura Passiva de Tração)

'sA = ? (Armadura Passiva de Compressão)

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66

1° Caminho

Fixa-se x

0,50d≤ , isto é possível quando já temos a solução com '

sA 0= , que não foi

viável.

Fixando x

d seguiremos os passos dados anteriormente calculando, também, ε’

s e σ’sd,

dados por:

( )

( )

'

's c

' 'yd sd s s yd

de compressão

x d

xe

f E f⊕

−ε = ε

− ≤ σ = ε ≤

Na seqüência obteremos:

m m' 's sd

s sd

'rd cd sd sd pd

AA

N R R R Rσσ

= − − − (1)

msd s

'sd

' ' 'rd cd sd s pd p

R

h h h hM R 0,4x A d A d R d

2 2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +σ − +σ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2)

Impondo Nrd=Nsd=0 e Mrd=Msd , temos de (1) e (2);

pdsdssdscd R.A'.'AR0 −σ−σ+=

sd s

' ' 'rd cd sd s pd p

h h h hM R 0,4x A d A d R d

2 2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +σ − +σ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Duas equações a duas incógnitas: A’s e As.

Destas duas equações teremos um par solução A’s e As para o valor

x

d fixado.

Cabe ao projetista escolher o par mais conveniente, desde que:

x

d≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa; ou

x

d≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa.

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67

2° Caminho

Arbitrar A’s e repetir os passos da solução com armadura simples, para vários

x

d e calcular

qual As fornece Mrd=Msd.

Ou seja aqui tem-se um par de soluções: As e x

d - para cada A’

s arbitrado - e cada par é uma

solução válida se 50,0d

x≤ .

4.3.1. Exemplo F-ELU-2

Repetir o exemplo F-ELU-1 com Msd= 260,1 tfm, onde será necessário usar As’≠0, para se

garantir x

0,50d≤ . Usar d’ =5 cm.

1º Caminho

Impondo x

d=0,50, Nrd=Nsd=0 e Mrd=Msd=260,1 tfm=26010tfcm, teremos;

A’s=2,45 cm2 e As=26,36 cm2.

2º Caminho

Repetir a seqüência dada em F-ELU-1 para x

d=0,10; 0,30 e 0,50, teremos, portanto:

Para x

0,10 x 11,5 cmd= → =

( )' ' 2s sd

11,5 5 0,631,11‰ 0,63‰ 2100 1, 32 tf cm

11,5 1000

−ε = = →σ = =

e

s

'rd sN 55,9 A 1, 32 A 4, 35 175,5= − − −

s

'rd s

120 120 120 120M 55,9 0, 4.11,5 1, 32 A 5 4,35 A 115 175,5 110

2 2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Para x

0,50 x 57,5 cmd= → =

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68

2's

's00

000

0's cm/tf35,4

1000

2,3.21002,3

5,57

)55,57(5,3 =σ→=σ→=

−=ε

e

5,175A.35,4'A.35,43,279RR'RRN sspdsdsdcdrd −−−=−−−=

s

'rd s

120 120 120 120M 279,5 0, 4.57, 3 4,15 A 5 4,35 A 115 175,5 110

2 2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Arbitrando A’s, obteremos pares de soluções x

d e As, que serão soluções válidas sempre

que x

d≤ 0,50.

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69

4.4. Dimensionamento ou verificação, a flexão simples, de vigas de

seção retangular composta por armadura de protensão NÃO-

ADERENTE e por armadura passiva dupla.

Na armadura de protensão não-aderente o que se modifica na marcha de cálculo,

anteriormente descrita, é o ganho de alongamento Δεp. Isto decorre pelo fato da armadura deslizar ao longo de toda a viga, sendo que não é o ganho de alongamento da seção transversal em estudo que deve ser calculado, mas sim uma média destes ganhos ao longo de toda viga.

Para avaliar Δεp neste caso temos três opções:

A. Abordagem da Nova Norma NBR6618/2003 – Item 17.2.2 (adaptado do ACI-318)

Sendo Δσp o ganho incremental de tensões, temos que:

- Para 35d≤

l (l é o vão em estudo)

pp

p

fck70 MPa 420 MPa

A100

b.d

Δσ = + ≤

- Para 35d>

l

pp

p

fck70 MPa 210 MPa

A300

b.d

Δσ = + ≤

resultando:

p p pré p pydE fσ = ε + Δσ ≤

B. Abordagem aproximada

Utiliza-se a mesma seqüência já discutida para o cálculo, sendo εp dado por:

p pré pε = ε +βΔε

Com 0,50β ≅ para vigas e lajes isostáticas (1 vão).

0, 20β ≅ para vigas e lajes contínuas (mais de 1 vão).

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70

β é um fator que leva em conta a parcela de ganho de protensão em uma armadura não-aderente em relação ao que se obteria com armadura aderente (o

valor de β para armadura aderente é igual a 1,0).

C. Despreza-se o acréscimo de protensão no cálculo de Rsp

Ou seja, deve-se tomar:

∞γ= Ppsp F.R

4.4.1. Exemplo F-ELU-3

Resolver a viga apresentada no exemplo F-ELU-1, porém considerando que a armadura de protensão é do tipo não aderente.

Conforme exposto, a seqüência de cálculo é a mesma, modificando-se porém o cálculo de

εp, σsp e Rsp.

a) Cálculo do acréscimo de protensão com a opção A:

Supondo que o vão seja menor que 38,5 m, ou seja 35dP

≤l

(dP=1,10 m)

pp

p

fck70 MPa 420 MPa

A100

b.d

Δσ = + ≤

p

2570 MPa 163, 2 MPa 420 MPa

11,8100

40.110

Δσ = + = ≤

2pyd

2pprépp tf/m 87,14f tf/m 16,1263,1

1000

40,5.1950.E =≤=+=σΔ+ε=σ

e

tf5,14316,12.8,11.AR ppsp ==σ= para qualquer x/d

Para x

d=0,10

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De 1: 5,143A.35,49,55N srd −−=

De 2: ( ) ( ) )60110(5,14360115A.35,45,11.4,060.9,55M srd −+−+−=

Como estamos na flexão simples temos:

Nrd=Nsd=0 e aplicando em 1 temos:

As= -20,14 cm2

De 2 temos; Mrd=54,5 tfm.

Repetindo a sequência para x

d=0,30 e

x

d=0,50 temos:

Tabela 11

x/d As (cm2) Mrd (tfm)

0,10 -20,14 54,5

0,30 5,54 162,41

0,50 31,23 249,77

Para Mrd=203,2 tfm, interpolando entre 0,30 e 0,50, obtemos As=17,54 cm2.

b) Cálculo do acréscimo de protensão pela opção B:

Nesta opção, o acréscimo de protensão é dado por βΔεp, ou seja, o alongamento εp é:

Supondo que esta viga tenha mais de 1 vão, temos: β=0,20, e para x

d=0,10

p pré p 5, 08‰ 0, 20.9,51‰ = 6,98‰ε = ε +βΔε = +

2pyd

2ppp tf/m 87,14f tf/m 6,13

1000

98,6.1950.E =≤==ε=σ

tf6,1608,11.6,13.AR ppsp ==σ=

Logo Nrd e Mrd ficam:

De 1: 6,160A.35,49,55N srd −−=

De 2: ( ) ( ) ( )rd sM 55,9 60 0, 4.11,5 4, 35A 115 60 160,6 110 60= − + − − −

Impondo Nrd=Nsd=0 e aplicando em 1 temos:

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72

As=-24,06 cm2

De 2 temos; Mrd=53,7 tfm

Analogamente podemos montar, comx

d=0,30 e

x

d=0,50, a tabela abaixo:

Tabela 12

x/d As (cm2) Mrd (tfm)

0,10 -24,064 53,7

0,30 3,55 162,0

0,50 33,97 250,4

Para Mrd=203,2 tfm, interpolando entre 0,30 e 0,50, obtemos As=17,72 cm2.

A tabela 13 e a figura 56 abaixo apresentam um resumo das opções calculadas nos exemplos F-ELU-1, F-ELU-2 e F-ELU-3:

Tabela 13

Tipo de Protensão

A’s d

x As Mrd

0,10 -27,52 52,89 0,30 -1,82 160,81 Aderente 0 0,50 23,88 248,17

0,10 -22,52 64,85 0,30 3,18 172,76 Aderente 5,00 0,50 28,88 260,13

0,10 -20,14 54,50 0,30 5,54 162,41

Não-aderente Opção A

0 0,50 31,23 249,77

0,10 -24,06 53,70 0,30 3,55 162,00

Não-aderente Opção B

0 0,50 33,97 250,40

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73

Figura 56

4.5.1. Exemplo F-ELU-4

Resolver a viga apresentada no exemplo F-ELU-1, com a colaboração de uma mesa de compressão com bf=100 cm e hf=10 cm, e considerando que a armadura de protensão é do tipo aderente.

Figura 57

Ap=11,8 cm2; Aço CP-190-RB; Ep=195 GPa; P∞=129,8 tf; As = ?; CA-50; Es=210 GPa; fck=25 MPa; Ec=23,8 MPa

Cálculo da posição do CG:

cm9,5310).40100(120.40

2

10.10).40100(

2

120.120.40

h).bb(h.b

2

h.h).bb(

2

h.h.b

yfwfw

ffwfw

s =−+

−+=

−+

−+=

0

50

100

150

200

250

300

-30 -20 -10 0 10 20 30 40

Aderente Aderente (As'=5 )

Não-Aderente (Opção A ) Não-Aderente (Opção B)

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74

A sequência de cálculo é a mesma apresentada no exemplo F-ELU-1, com a adição do cálculo da resultante de compressão do concreto nas abas (partes laterais da mesa de compressão).

a) Dados x

0,10d= (Depois será feito para

x

d=0,30 e

x

d=0,50)

x 0,10.115 11,50 cm= = ,

Obs: o melhor é começar com x/d = 0,50 pois é dada uma noção de qual o maior valor de Mrd suportado por esta configuração.

b) Calcular εc

Para

c

x x 11,50,10 0, 259 10‰ 10‰ 1,11‰

d x d 115 -11,5= < → ε = = =

− (Domínio 2)

c) Calcular Δεp, εs, εpré e εp (análogo ao exemplo F-FLU-1)

( )s

1 0,101,11‰ 10‰

0,10

−ε = =

p

1100,10

1151,11‰ 9,51‰0,10

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠Δε = =

pré

129,80,90 0, 00508 5, 08‰

1950.11,8ε ≅ = = Ep=195 GPa = 1950 tf/cm2

Ou da maneira mais correta.

( ) ( )ppré p p p

p p

F1 5, 08‰ 1 8,19.0, 00246.3, 08 5, 40‰

E A∞⎡ ⎤

ε ≅ γ +α ρ η = + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

p pré p 5, 08‰+9,51‰ = 14,59‰ε = ε + Δε ≅

p pré p 5, 40‰+9,51‰ = 14,91‰ε = ε + Δε =

Só vale para armadura de protensão ADERENTE

d) Dados εs e εp calcular σsd e σpd

2sd s s yd sd

2pd p p pyd pd

tfE f 4, 35cm

tfE f 14,87cm

σ = ε ≤ →σ =

σ = ε ≤ →σ =

e) Cálculo das forças resultantes Rcd, Rsd e Rp

A resultante de compressão no concreto será dividida em duas partes Rcd, alma e Rcd,abas como mostrado a seguir:

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75

Se f0,8x h≤

Figura 58

( )cd,alma cd w

cd,abas cd f w

R 0,85f b 0,8x

R 0,85f b b 0,8x

=

= −

Se f0,8x h≥

Figura 59

( )cd,alma cd w

cd,abas cd f w f

R 0,85f b 0,8x

R 0,85f b b h

=

= −

As duas situações podem ser expressas pelas resultantes Rcd,alma e Rcd,aba com ft 0,8x h= ≤ (e

se x<0, Rcd,alma=Rcd,aba=0 e t=0 )

Assim, para x=11,5 temos ft 0,8.11,5 h 10 t 9, 2 cm= ≤ = → =

Figura 60

( )

cd,alma

cd,abas

pd pd p

sd sd s s

0, 25R 0,85 40.0,8.11,5 55,9 tf

1, 4

0, 25R 0,85 100 40 9, 2 83,8 tf

1, 4

R A 14,87.11,8 175,5 tf

R A 4, 35.A

= =

= − =

= σ = =

= σ =

f) Cálculo dos esforços Resistentes NR e MR

1 5,175A.5,438,839,55RRRRN spdsdabas,cdalma,cdrd −−+=−−+=

2 ( ) ( ) )yd(RydR2

ty.Rx.4,0y.RM sppdssdsabas,cdsalma,cdrd −+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

( ) ( ) )9,53110(5,1759,53115A.35,42

2,99,53.8,835,11.4,09,53.9,55M srd −+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

srd A.8,2655,16732M +=

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76

g) Cálculo de As tal que NRd=NSd=0 (flexão simples):

De 1:

cd,alma cd,abas pd 2s

sd

R R R 55,9 83,8 175,5A 8, 23 cm

4, 35

+ − + −= = = −

σ

e

( )rdM 16732 265,8. 8, 3 14544 tf .cm 145,44 tfm= + − = =

Repetindo a sequência para x

d=0,30 e

x

d=0,50 obtemos:

Tabela 14

Ponto x

d

As

cm2

MRd

tfm

Rcd,alma

tf

Rcd,abas

tf

Rpd

tf

σsd

tf/cm2

A 0,10 -8,23 145,4 55,9 83,8 175,5 4,35

B 0,30 19,11 267,5 167,6 91,1 175,5 4,35

C 0,50 44,80 332,3 279,3 91,1 175,5 4,35

0,1

0,3

0,5

A’

B’

C’

B

C

A

As (cm2)

Mrd

tfm

x

d

Msd=203,2

As,sol=4,71 cm2

Figura 61

Para o momento solicitante MSd=203,2 tfm, a solução está entre os pontos A e B, e por interpolação linear temos:

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77

2sd,s cm 71,4)23,8())23,8(11,19.(

)4,1455,267(

)4,1452,203(A =−+−−

−−

Para o momento solicitante MSd=260,1 tfm, que para a seção retangular foi solucionada com armadura de compressão A’s (exemplo F-ELU2), a solução por interpolação linear é:

2sd,s cm 50,17)23,8())23,8(11,19.(

)4,1455,267(

)4,1451,260(A =−+−−

−−

4.6. Tabela com adimensionais para a solução de problemas de flexão

simples com armadura de protensão aderente.

Figura 62

Para a seção da Figura 61, obtém-se as seguintes relações:

1 Rd cd w sd s pd p sdN 0,85f b 0,8.x A A N 0= −σ −σ = =

No caso da flexão simples (Nsd=0) pode-se fazer o momento das resultantes Rcd e Rpd em relação à armadura As, assim:

2 ( ) ( )Rd cd w pd p pM 0,85f b 0,8.x d 0, 4x A d d= − −σ −

Dividindo as expressões 1 por bwd.fcd e a 2 por bwd2.fcd obtemos;

1’ s yd pd p ptdcd w sd

w cd yd w cd ptd w cd

A f A .0,9f0,85f b 0,8.x.d0

b d.f d f b d.f 0,9f b d.f

σσ− − =

2’ ( ) ( )pd p ptdRd cd wp2 2 2

w cd w cd ptd w cd

A 0,9fM 0,85f b 0,8.xd 0, 4x d d

b d f b d f 0,9f b d f

σ= − − −

Definindo as variáveis adimensionais:

Rdd 2

w cd

M

b d fμ = Atenção, aqui usamos d, e não h como se faz em pilares.

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78

s yds

w cd

A f

b dfϖ =

p ptdp

w cd

A 0,9f

b dfϖ =

Com estes adimensionais as expressões 1’ e 2’ se transformam em:

1’’ pdsds p

yd ptd

x0,68 0

d f 0,9f

σσ− ϖ − ϖ =

2’’ pd pd p

ptd

dx x0,68 1 0,4 1

d d 0,9f d

σ ⎛ ⎞⎛ ⎞μ = − − ϖ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ou seja, dado um x

d obtemos σsd e σpd por:

c sd yd

p

pp

x0, 259 10‰ = f

dd x

d x d d10‰ 10‰xd x 1d

≤ ε = →σ

⎛ ⎞−⎜ ⎟−

Δε = = ⎜ ⎟− ⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎝ ⎠

Domínio 2

c sd s s yd

p

p

x1x d0, 259 3,5‰ = E f

xdd

d x

d d3,5‰x

d

⎛ ⎞−⎜ ⎟> ε = →σ ε ≤⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞

−⎜ ⎟Δε = ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Domínios 3 e 4

E das expressões 1’’ e 2’’;

pdp

ptds

sd

yd

x0,68

d 0,9f

f

σ− ϖ

ϖ = σ 1’’’

pd pd p

ptd

dx x0,68 1 0, 4 1

d d 0,9f d

σ ⎛ ⎞⎛ ⎞μ = − − ϖ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

O valor de σpd é dado por;

( )pd p pré p pyd ptdE f 0,9fσ = ε + Δε ≤ ≅

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79

Podem ser consideradas tabelas auxiliares para o dimensionamento como a apresentada abaixo:

Dados Resultados

pd

d ωp

x

d μd ωs

p

Δε

0,95 0,09 0,30 0,175 0,114 7,58 Exemplos 0,75 0,09 0,30 0,157 0,114 2,25

Para a construção foram fixados:

pré 5‰ε ≥ para aços CP-190 RN ou RB e Ep = 200 GPa

Es = 210 GPa para aço CA-50

Um exemplo deste tipo de tabela encontra-se a seguir, para pd

d=0,95; pd

d=0,85; pd

d=0,75.

Page 80: Apostila de concreto protendido   epusp

Tabela de adimensioais para f lexão simples em seções retangulares comarmaduras aderentes

Dado de entrada Resultados obtidos Válido para as seguintes condições

f py d=0,9f ptd 14,87

μ ωs Pré alongamento maior que 5°/oo

fyd (tf/cm²)= 4,35 ωp Δεp Aços; CP 190 RN ou RB

Es= 2100 dp/d CA 50

Ep= 1950 x/d

dp/d ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs

0,950 0,090 0,029 0,000 0,120 0,027 0,000 0,150 0,026 0,000 0,180 0,024 0,000 0,210 0,023 0,000 0,240 0,021 0,000 0,270 0,020 0,000

0,950 0,090 0,061 0,000 0,120 0,059 0,000 0,150 0,058 0,000 0,180 0,056 0,000 0,210 0,055 0,000 0,240 0,053 0,000 0,270 0,052 0,000

0,950 0,090 0,091 0,012 0,120 0,090 0,000 0,150 0,088 0,000 0,180 0,087 0,000 0,210 0,085 0,000 0,240 0,084 0,000 0,270 0,082 0,000

0,950 0,090 0,121 0,046 0,120 0,119 0,016 0,150 0,118 0,000 0,180 0,116 0,000 0,210 0,115 0,000 0,240 0,113 0,000 0,270 0,112 0,016

0,950 0,090 0,149 0,080 0,120 0,147 0,050 0,150 0,146 0,020 0,180 0,144 0,000 0,210 0,143 0,000 0,240 0,141 0,000 0,270 0,140 0,050

0,950 0,090 0,175 0,114 0,120 0,174 0,084 0,150 0,172 0,054 0,180 0,171 0,024 0,210 0,169 0,000 0,240 0,168 0,000 0,270 0,166 0,084

0,950 0,090 0,200 0,148 0,120 0,199 0,118 0,150 0,197 0,088 0,180 0,196 0,058 0,210 0,194 0,028 0,240 0,193 0,000 0,270 0,191 0,118

0,950 0,090 0,224 0,182 0,120 0,222 0,152 0,150 0,221 0,122 0,180 0,219 0,092 0,210 0,218 0,062 0,240 0,216 0,032 0,270 0,215 0,152

0,950 0,090 0,246 0,216 0,120 0,245 0,186 0,150 0,243 0,156 0,180 0,242 0,126 0,210 0,240 0,096 0,240 0,239 0,066 0,270 0,237 0,186

0,950 0,090 0,268 0,250 0,120 0,266 0,220 0,150 0,265 0,190 0,180 0,263 0,160 0,210 0,262 0,130 0,240 0,260 0,100 0,270 0,259 0,220

dp/d ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs

0,850 0,090 0,020 0,000 0,120 0,015 0,000 0,150 0,011 0,000 0,180 0,006 0,000 0,210 0,002 0,000 0,240 -0,003 0,000 0,270 -0,007 0,000

0,850 0,090 0,052 0,000 0,120 0,047 0,000 0,150 0,043 0,000 0,180 0,038 0,000 0,210 0,034 0,000 0,240 0,029 0,000 0,270 0,025 0,000

0,850 0,090 0,082 0,012 0,120 0,078 0,000 0,150 0,073 0,000 0,180 0,069 0,000 0,210 0,064 0,000 0,240 0,060 0,000 0,270 0,055 0,000

0,850 0,090 0,112 0,046 0,120 0,107 0,016 0,150 0,103 0,000 0,180 0,098 0,000 0,210 0,094 0,000 0,240 0,089 0,000 0,270 0,085 0,016

0,850 0,090 0,140 0,080 0,120 0,135 0,050 0,150 0,131 0,020 0,180 0,126 0,000 0,210 0,122 0,000 0,240 0,117 0,000 0,270 0,113 0,050

0,850 0,090 0,166 0,114 0,120 0,162 0,084 0,150 0,157 0,054 0,180 0,153 0,024 0,210 0,148 0,000 0,240 0,144 0,000 0,270 0,139 0,084

0,850 0,090 0,191 0,148 0,120 0,187 0,118 0,150 0,182 0,088 0,180 0,178 0,058 0,210 0,173 0,028 0,240 0,169 0,000 0,270 0,164 0,118

0,850 0,090 0,215 0,182 0,120 0,210 0,152 0,150 0,206 0,122 0,180 0,201 0,092 0,210 0,197 0,062 0,240 0,192 0,032 0,270 0,188 0,152

0,850 0,090 0,237 0,216 0,120 0,233 0,186 0,150 0,228 0,156 0,180 0,224 0,126 0,210 0,219 0,096 0,240 0,215 0,066 0,270 0,210 0,186

0,850 0,090 0,259 0,252 0,120 0,254 0,223 0,150 0,250 0,193 0,180 0,246 0,164 0,210 0,241 0,135 0,240 0,237 0,106 0,270 0,232 0,223

dp/d ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs

0,750 0,090 0,011 0,000 0,120 0,003 0,000 0,150 -0,004 0,000 0,180 -0,012 0,000 0,210 -0,019 0,000 0,240 -0,027 0,000 0,270 -0,034 0,000

0,750 0,090 0,043 0,000 0,120 0,035 0,000 0,150 0,028 0,000 0,180 0,020 0,000 0,210 0,013 0,000 0,240 0,005 0,000 0,270 -0,002 0,000

0,750 0,090 0,073 0,012 0,120 0,066 0,000 0,150 0,058 0,000 0,180 0,051 0,000 0,210 0,043 0,000 0,240 0,036 0,000 0,270 0,028 0,000

0,750 0,090 0,103 0,046 0,120 0,095 0,016 0,150 0,088 0,000 0,180 0,080 0,000 0,210 0,073 0,000 0,240 0,065 0,000 0,270 0,058 0,016

0,750 0,090 0,131 0,080 0,120 0,123 0,050 0,150 0,116 0,020 0,180 0,108 0,000 0,210 0,101 0,000 0,240 0,093 0,000 0,270 0,086 0,050

0,750 0,090 0,157 0,114 0,120 0,150 0,084 0,150 0,142 0,054 0,180 0,135 0,024 0,210 0,127 0,000 0,240 0,120 0,000 0,270 0,112 0,084

0,750 0,090 0,182 0,148 0,120 0,175 0,118 0,150 0,167 0,088 0,180 0,160 0,058 0,210 0,152 0,028 0,240 0,145 0,000 0,270 0,137 0,118

0,750 0,090 0,206 0,182 0,120 0,198 0,152 0,150 0,191 0,122 0,180 0,183 0,092 0,210 0,176 0,062 0,240 0,168 0,032 0,270 0,161 0,152

0,750 0,090 0,229 0,219 0,120 0,222 0,191 0,150 0,215 0,162 0,180 0,208 0,133 0,210 0,200 0,104 0,240 0,193 0,075 0,270 0,186 0,191

0,750 0,090 0,252 0,260 0,120 0,245 0,234 0,150 0,239 0,207 0,180 0,232 0,181 0,210 0,226 0,154 0,240 0,219 0,128 0,270 0,212 0,234

dp/d ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs

0,650 0,090 0,002 0,000 0,120 -0,009 0,000 0,150 -0,019 0,000 0,180 -0,030 0,000 0,210 -0,040 0,000 0,240 -0,051 0,000 0,270 -0,061 0,000

0,650 0,090 0,034 0,000 0,120 0,023 0,000 0,150 0,013 0,000 0,180 0,002 0,000 0,210 -0,008 0,000 0,240 -0,019 0,000 0,270 -0,029 0,000

0,650 0,090 0,064 0,012 0,120 0,054 0,000 0,150 0,043 0,000 0,180 0,033 0,000 0,210 0,022 0,000 0,240 0,012 0,000 0,270 0,001 0,000

0,650 0,090 0,094 0,046 0,120 0,083 0,016 0,150 0,073 0,000 0,180 0,062 0,000 0,210 0,052 0,000 0,240 0,041 0,000 0,270 0,031 0,016

0,650 0,090 0,122 0,080 0,120 0,111 0,050 0,150 0,101 0,020 0,180 0,090 0,000 0,210 0,080 0,000 0,240 0,069 0,000 0,270 0,059 0,050

0,650 0,090 0,148 0,114 0,120 0,138 0,084 0,150 0,127 0,054 0,180 0,117 0,024 0,210 0,106 0,000 0,240 0,096 0,000 0,270 0,085 0,084

0,650 0,090 0,173 0,148 0,120 0,163 0,118 0,150 0,152 0,088 0,180 0,142 0,058 0,210 0,131 0,028 0,240 0,121 0,000 0,270 0,110 0,118

0,650 0,090 0,199 0,187 0,120 0,189 0,159 0,150 0,179 0,131 0,180 0,169 0,102 0,210 0,159 0,074 0,240 0,149 0,046 0,270 0,139 0,159

0,650 0,090 0,224 0,229 0,120 0,215 0,203 0,150 0,206 0,177 0,180 0,197 0,151 0,210 0,188 0,125 0,240 0,179 0,100 0,270 0,170 0,203

0,650 0,090 0,247 0,269 0,120 0,239 0,245 0,150 0,230 0,221 0,180 0,222 0,197 0,210 0,214 0,173 0,240 0,205 0,150 0,270 0,197 0,245

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81

4.6.1. Exemplo F-ELU-5

Dimensionar a armadura passiva do exemplo F-ELU-1 com auxílio das tabelas com adimensionais para seções retangulares.

Para este exemplo podemos usar a tabela pois pré 5, 4‰ > 5‰ε = e os aços utilizados são

CA-50 e o CP 190 RB, este aderente.

Os dados de entrada são:

pd 1100,957

d 115= =

214,0

4,1

tf/cm 25,0.cm 115.cm 40

tf/cm 87,14.cm 8,11

f.d.b

f.9,0.A2

22

cdw

ptdpp ===ϖ

( )215,0

4,1

tf/cm 25,0.cm 115.cm 40

tf.cm 03202

f.d.b

M2

2cd2

w

Rdd ===μ

Entrando com os dados na tabela com;

p

p s

d

d0,95

d0, 21 0, 059

mi 0, 215

⎫= ⎪

⎪⎪ϖ ≅ →ϖ ≅⎬⎪μ = = ⎪⎪⎭

Logo

22

2

wyd

cdss cm11,14 cm cm.115 40.

tf/cm ,3544,1

tf/cm 25,0

.059,0d.b.f

f.A ==ϖ=

Note que no exemplo F-ELU-1 a armadura calculada foi de 10,60 cm2, semelhante a obtida neste exemplo.

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82

4.6.2. Exemplo F-ELU-6

Dimensionar a armadura passiva do exemplo F-ELU-3 (com protensão não-aderente) fazendo uma adaptação para o uso das tabelas com adimensionais.

Podemos usar a tabela, com adaptações, pois pré 5, 4‰ > 5‰ε = e os aços utilizados são

CA-50 e o CP 190 RB.

A adaptação necessária, com armadura não-aderente (cordoalhas engraxadas) usa a opção

A, exposta no item 4.4, onde se calcula σpd por:

p p pré p pydE fσ = ε + Δσ ≤

pp

p

fck70 MPa 420 MPa

A100

b.d

Δσ = + ≤ Supõe-se aqui que 35dP

≤l

2p

2570 MPa 163, 2 MPa 1,63 tf cm 420 MPa

11,8100

40.110

Δσ = + = = ≤

e

3 2p

5, 41,95.10 1,63 12,16 tf cm

1000σ = + =

As adaptações para o uso da tabela é considerar os seguintes adimensionais:

175,0

4,1

tf/cm 25,0.cm 115.cm 40

tf/cm 16,12.cm 8,11

f.d.b

.A2

22

cdw

pdpp ==

σ=ϖ

( )215,0

4,1

tf/cm 25,0.cm 115.cm 40

tf.cm 03202

f.d.b

M2

2cd2

w

Rdd ===μ

Entrando com os dados na tabela obtemos:

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83

p

p s

d

d0,95

d0,175 0,18 0, 088

mi 0, 215

⎫= ⎪

⎪⎪ϖ ≅ ≅ →ϖ ≅⎬⎪μ = = ⎪⎪⎭

Logo

22

2

wyd

cdss cm 16,62cm cm.115 40.

tf/cm ,3544,1

tf/cm 25,0

.088,0d.b.f

f.A ==ϖ=

Valor próximo ao obtido no exemplo F-ELU-3