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Progressão Aritmética - www.matematica.com.br - Jorge Krug

Definição

Progressão Aritmética (P. A.) é toda sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais um certo número constante, denominado razão (r).

Fórmula do Termo Geral

Em uma PA (a1, a2, a3, ... , an-1, an, ...) de razão r, podemos escrever qualquer termo em função do primeiro termo.

Observações

Podemos fazer an = as + (n – s).r. Por exemplo: a20 = a5 + 15.r.

Em certas situações é favorável colocar o 1º termo como a0 e não a1. Dessa forma, o termo

geral da P.A. é dado por an = a0 + n.r. Por exemplo, se o preço de uma máquina nova é R$ 10.000,00

e ela deprecia (seu valor diminui) R$ 500,00 a cada ano, qual será seu preço daqui 8 anos? Temos uma P.A. com a0 = R$ 10.000,00 e razão r = –500. Daqui 8 anos, teremos a8 = a0 + 8.r = 10000 + 8.(– 500) = 10000 – 4000 = R$ 6.000,00

Classificação

P.A. Crescente: razão é positiva (r > 0).

(1, 3, 5, 7, ...) r = 2 > 0

P.A. Decrescente: razão é negativa (r < 0).

(5, 4, 3, 2, ...) r = –1 < 0

P.A. Constante: razão é nula (r = 0).

(4, 4, 4, ...) r = 0

Progressão Aritmética

Exemplos:

a) (2, 4, 6, 8, ... ) a1 = 2; r = 2

b) (2, 5, 8, 11, 14) a1 = 2; r = 3; n = 5; a5 = 14

c) (7, 2, 3, 8, ... ) a1 = 7; r = –5

Notação: a1, a2, a3, ... , an-1, an, ...

a1 1º termo

a3 3° termo

an n-ésimo termo ou termo geral

n nº de termos q razão

an = a1 + (n – 1).r

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Propriedades

P1 A soma de dois termos eqüidistante dos extremos de uma P.A. finita é igual a soma dos extremos.

1 3 5 7 9 11

5 + 7 = 12

3 + 9 = 12

1 + 11 = 12

P2 Qualquer termo de uma P.A., excluídos os extremos, é a média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente. 1 4 7 10 13 16

4 = 1 7

2

10 =

7 13

2

13 =

10 16

2

P3 Numa P.A. de número ímpar de termos, o termo médio é a média aritmética dos extremos ou dos termos equidistantes dos extremos.

3 7 11 15 19

11 = 7 15

2

11 =

3 19

2

Soma dos termos

A soma dos termos de uma P.A. limitada é obtida multiplicando-se a média aritmética dos extremos pelo número de termos.

Interpretação Geométrica

A fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1).r é equivalente à an = ao + n.r, em que os termos iniciam por ao. Logo, podemos associar esta relação como sendo uma função afim (polinomial do 1º grau) restrita a números naturais (domínio = N) do tipo a(x) = ao + rx. O gráfico dessa função é formado por uma sequência de pontos alinhados no plano, conforme gráfico

Sn = 1 na a

. n2

OBS.: Para determinar uma reta bastam dois pontos. Logo, podemos concluir que, se conhecermos dois elementos de uma P.A., podemos conhecer toda a sequência.

a1

an = ao + nr

ao

a2

a3

n

an

0 1 2 3