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de 3- 03/08/12 - 07:41

PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA

BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - 2ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PARTE 1

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Matrizes e Determinantes

01- Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de

material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:

Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo

Moderno 5 20 16 7 17

Mediterrâneo 7 18 12 9 21

Colonial 6 25 8 5 13

Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?

02- Dadas as matrizes AT =

3y

45 e B =

21

x5 e sabendo-se que 2A + B =

x27

05, determine os valores de

"x" e "y".

03- Determine a transposta da matriz produto de

3412

6150.

23

15

04- Seja A.B = C, onde A =

42

ba, B =

b2

abe C =

22

21.5 .

Determine o valor de "a" e "b".

05- Sendo

1

1

0

2A e

1

1

1

2B , calcule as matrizes X e Y no sistema:

B3A2YX

BA3YX2

06- Se det A = 10dc

ba , calcule:

a) cd

ab b)

dc

b4a4

c)

ddc

bba

07- Resolva as equações:

a) 2

3x2

x10

232

b) 97

1x

213

x42

142

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Gabarito

01- Solução. O número de unidades de materiais utilizados em cada tipo de casa aumenta proporcionalmente ao número

de casas construídas. Logo, na construção de 5 casas do tipo moderno serão utilizados 5 vezes mais unidades utilizadas na construção de 1 casa desse tipo. Esse procedimento vale para os outros casos e indica uma multiplicação de matrizes (1 x 3).(3 x 5).

388158260526146

1358256

21912187

17716205

.1275

.

Observando as respectivas colunas, vemos que serão utilizados no total: Ferro = 146; Madeira = 526; Vidro = 260; Tinta = 158; Tijolo = 388.

02- Solução. Se

34

y5A

3y

45AT

. Logo,

87

xy25

21

x5

68

y210BA2 . Igualando essa

matriz a matriz soma informada no problema, descobrimos as incógnitas. Comparando elemento a elemento, temos:

22

4y04y20xy2

4x8x2

x27

05

87

xy25

03- Solução. Calculando o produto encontramos um matriz do tipo (2 x 4) e sua transposta será tipo (4 x 2).

1227

119

1324

42

1211134

279242

1211134

279242

3412

6150.

23

15T

04- Solução. Calculando o produto A.B, temos

4b2a

2bab

b

b

4

a

8b2

ba

2

a.

2

bB.A

22

. O valor de C será a matriz

1010

105

22

21.5C . Igualando as matrizes elemento a elemento, vem:

3a6a210)1(4a210b4a2

1b2b2108b2

1010

105

8b2

baCB.A

22

4b2a

2bab

05- Solução. Simplificando o sistema antes de substituir as matrizes pelos valores expressamos o valor de X. Temos:

]B2A5[3

1XB2A5X3

B3A2YX

BA3YX2

. Calculando a expressão entre colchetes, vem:

32

63

22

42

50

105

11

212

10

215B2A5 . Essa matriz permite descobrir o valor da matriz X:

13/2

21

32

63.

3

1]B2A5[

3

1X .

Utilizando a 2ª equação do sistema, temos: B3A2XYB3A2YX . Substituindo os valores de X, A, e B,

vem:

23/7

42

33

63

20

42

13/2

21Y

06- a) -10 b) 4 . (10) = 40 c) 10

Solução. Aplicando as propriedades dos determinantes, temos:

a) Houve uma troca entre a 2ª coluna e a 1ª coluna. Logo o determinante é o mesmo com sinal trocado.

b) A 1ª linha foi quadruplicada, o mesmo ocorrendo com o determinante.

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c) A 1ª coluna foi substituída pela soma de seus elementos com a 2ª coluna multiplicada por 1. O determinante não se altera. (Observe que d.(a + b) – b.(c + d) = ad + db – bc – db = ad – bc = 10).

07- Solução. Calculando cada determinante e igualando-se os membros, resolve-se a equação. Em cada caso será

utilizado o método de Laplace.

a) A 1ª coluna possui um elemento nulo. Aplicando Laplace utilizando esta coluna e igualando ao resultado 2, temos:

2x

1x0)2x).(1x(02x3x04x6x224x6x26

2)2x3).(2()x3).(2(2x1

23).2(

3x

x1).2(2

3x2

x10

232

222

2

b) Aplicando Laplace na 1ª linha e igualando ao determinante 2 x 2 do 2º membro, temos:

.3x710x9x107x910x1216x216

7x9)10.(1)x34(4)x8).(2(7x913

42.1

23

x2).4(

21

x4).2(

97

1x

213

x42

142

FM/1207/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA - 2a SERIE - ENSINO MEDIO - 2a ETAPA - 2012 – CLAUDIO DIAS - PARTE 1 - MATRIZES E DETERMINANTES.DOC

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01- Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de

material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:

Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo

Moderno 5 20 16 7 17

Mediterrâneo 7 18 12 9 21

Colonial 6 25 8 5 13

Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10.

Qual é o preço unitário da casa tipo colonial?

02- Considere as matrizes A =

95

73 e B =

43

60. Sabendo-se que A + B

T =

y1

y2x6, determine os valores de

"x" e "y". 03- Seja a matriz M = (mij)2x3, tal que mij = j² - i².

a) Escreva M na forma matricial. b) Sendo M

t a matriz transposta de M, calcule o produto M.M

t .

04- Seja A.B = C, onde A =

4

a

2

b, B =

b2

abe C =

22

21.5 .

Determine o valor de "a" e "b".

05- Se

1

1

0

2A e

1

1

1

2B , calcule as matrizes X e Y no sistema:

B2AY2X3

BA2Y2X

06- Se det A = 1kdc

ba 2 , calcule:

a) cd

ab b)

d2c

b2a

c)

ddc

bba

07- Resolva as equações:

a) 16

440

x2x

613

b) 152

5x

4x0

12x

512

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Gabarito

01- Solução. O preço de cada tipo de casa é calculado pela soma dos preços dos materiais utilizados. Logo, o preço da

casa do tipo moderno por exemplo será a soma dos produtos do preço de cada material pelo número de unidades gastas. Esse procedimento vale para os outros casos e indica uma multiplicação de matrizes (3 x 5) . (5 x 1).

465

528

492

10

1

5

8

15

.

1358256

21912187

17716205

. Observando as respectivas linhas, vemos que serão gastos em cada casa:

Moderno = 492; Mediterrâneo = 528; Colonial = 465.

02- Solução. Se

46

30B

43

60B T

. Logo,

51

103

46

30

95

73BA T

. Igualando essa matriz a

matriz soma informada no problema, descobrimos as incógnitas. Comparando elemento a elemento, temos:

5y10y2

2/1x3x6

y1

y2x6

51

103

03- Solução. A matriz é (2 x 3), com 1 ≤ i ≤ 2; 1 ≤ j ≤ 3. Logo a matriz possui os elementos:

;321a

;011a

2221

2211

;022a

;312a

2222

2212

.523a

.813a

2223

2213

a) A matriz será:

503

830M

b) O produto de M pela sua transposta é:

3440

4073

58

03

30

.503

830M.M T

04- Solução. Calculando o produto A.B, temos

4b2a

2bab

b

b

4

a

8b2

ba

2

a.

2

bB.A

22

. O valor de C será a matriz

1010

105

22

21.5C . Igualando as matrizes elemento a elemento, vem:

3a6a210)1(4a210b4a2

1b2b2108b2

1010

105

8b2

baCB.A

22

4b2a

2bab

05- Solução. Simplificando o sistema antes de substituir as matrizes pelos valores expressamos o valor de X. Temos:

]BA3[4

1XBA3X4

B2AY2X3

BA2Y2X

. Calculando a expressão entre colchetes, vem:

41

84

11

21

30

63

11

21

10

21.3BA3 . Essa matriz permite descobrir o valor da matriz X:

14/1

21

41

84.

4

1]BA3[

4

1X .

Utilizando a 1ª equação do sistema, temos: ]BA2X.[2

1YBA2Y2X . Substituindo os valores de X, A, e

B, vem:

08/5

00

04/5

00.

2

1

11

21

20

42

14/1

21.

2

1Y

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06- a) - (k

2 + 1) = – k

2 – 1 b) (-2). (k

2 + 1) = – 2k

2 – 2 c) k

2 + 1

Solução. Aplicando as propriedades dos determinantes, temos:

a) Houve uma troca entre a 2ª coluna e a 1ª coluna. Logo o determinante é o mesmo com sinal trocado.

b) A 2ª coluna foi multiplicada por (- 2), o mesmo ocorrendo com o determinante.

c) A 1ª coluna foi substituída pela soma de seus elementos com a 2ª coluna multiplicada por 1. O determinante não se altera. (Observe que d.(a + b) – b.(c + d) = ad + db – bc – db = ad – bc = k

2 + 1).

07- Solução. Calculando cada determinante e igualando-se os membros, resolve-se a equação. Em cada caso será utilizado o método de Laplace.

a) A 1ª coluna possui um elemento nulo. Aplicando Laplace utilizando esta coluna e igualando ao resultado 16, temos:

1x12x12164x121620x1224

16)244).(x()x48).(3(1644

61).x(

44

x2).3(16

440

x2x

613

b) Aplicando Laplace na 1ª coluna e igualando ao determinante 2 x 2 do 2º membro, temos:

5

2

10

4

10

1713x

310

30

10

1713x

10

28913

10

12016913

)5(2

)6)(5(4)13()13(x

06x13x51016x15x5x210x15x5x4x216

10x15)x54)(x()x8).(2(10x154x

51).x(

4x

12).2(

152

5x

4x0

12x

512

2

222


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01- Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são propriedades de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio

de uma matriz, representada a seguir, na qual cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj, em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira:

z0,20,3

0,2y8,1

0,38,1x

Calcule, para esse dia, o valor, em reais, arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2.

02- Dadas as matrizes A e B mostradas abaixo, determine a matriz X que satisfaz à seguinte equação matricial:

3X + 5A = 2B.

03- Sendo as matrizes A = (aij) 2x3,tal que aij = 2i - 3j, B= (bij) 3x2 , tal que bij = i – j e C = A.B, calcule o valor de 2c12 + c21.

04- Determine o valor de "x" sabendo que y

542

223

212

e y27x

13 .

Gabarito

01- Solução. De acordo com as informações do problema, temos:

a) B1 + B2 = b12; B1 + B3 = b13; B2 + B3 = b23

b) Os valores das diagonais valem somas de valores de uma mesma barraca.

Como os valores pedidos referem-se a B1 e B2, montamos o sistema.

120018003000BB3000BB

1800BB

3000BB

)1(1800BB23

31

21

31

21

A diferença mostra que B3 arrecadou 1200 reais a mais que a barraca B2. 02- Solução. Isolando o termo em "X" e multiplicando cada Matriz pelo escalar correspondente, temos:

107

36

1012

86

05

50

56

43.2

01

10.5X3B2A5X3 .

Para calcular o valor de X, multiplicamos cada elemento da matriz por 3

1.

Logo,

3

10

3

712

107

36.

3

1X .

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03- Solução. Construindo as matrizes, temos:

a) Matriz A:

594)3(3)2(2a

264)2(3)2(2a

134)1(3)2(2a

792)3(3)1(2a

462)2(3)1(2a

132)1(3)1(2a

23

22

21

13

12

11

521

741 b) Matriz B:

123b

213b

022b

112b

121b

011b

32

31

22

21

12

11

12

01

10

Não é necessário efetuar toda a multiplicação das matrizes. Basta calcular os elementos c12 e c21.

24121212)6.(2cc.2121020)2).(5()1).(2()0).(1(c

6701)1).(7()0).(4()1).(1(c2112

21

12

04- Solução. Calculando o determinante por Laplace da matriz 3x3 pela 1ª linha, temos:

15321136)16).(2()11).(1()18).(2(42

23).2(

52

23).1(

54

22).2(

Logo, y = 15 e 2y = 30. Igualando esse valor ao determinante da 2ª matriz, vem:

-9x21-30-x30x-21y27x

13 .


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01- Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos

alimentos (frutas, leites e cereais) necessária para uma alimentação sadia.

A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos:

600

300

200

D

cereais

leite

f ruta

.

A matriz M mostra as quantidades (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecidos por cada grama ingerida dos alimentos citados:

Escreva a matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos.

02- Uma matriz é dita singular quando seu determinante é nulo. Determine, então, os valores de c que tornam singular a matriz:

03- Sabendo-se que a matriz mostrada na figura adiante é igual à sua transposta, determine o valor de x + 2y.

04- Determine o valor de "a" sabendo-se que A2 = C, onde A =

a

a

1a

1ae C =

1724

a417.

Gabarito

01- Solução. A matriz pedida é o produto entre as matrizes M e D.

411

5,21

9,75

600631,0300052,0200084,0

600018,0300035,0200001,0

600108,0300033,0200006,0

600

300

200

.

631,0052,0084,0

018,0035,0001,0

108,0033,0006,0

.DM

cereaisleitef ruta

631,0052,0084,0

018,0035,0001,0

108,0033,0006,0

M

oscarboidrat

gorduras

proteínas

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02- Solução. Para encontrar o valor de "c" é necessário encontrar o determinante. Aplicando a Regra de Laplace para 1ª linha, temos:

)9c.(1)c3.(1)c27.(1c1

91.1

31

c1.1

3c

c9.1

3c1

c91

1112

Desenvolvendo a expressão e igualando a zero, vem:

3c

5c0)3c).(5c(015c2c015c2c09cc3c27 222

Logo, a matriz será singular se c = 5 ou c = -3. 03- Solução. Igualando a matriz á sua transposta, vem:

0x3y2

21yx

1495

0211

x3y49

y2x52

2

Comparando elemento a elemento, temos:

1y1y2

7x49x2

. Para decidir que valor de "x" satisfaz as igualdades

observamos os elementos a32 das matrizes: 7xx321 .

Logo, x = -7 e y = 1. O valor procurado é: x + 2y = (-7) + 2(1) = - 5. 04- Solução. Calculando A

2, temos:

1aa2a2

a2a21a

1a

1a.

1a

1aA.AA

22

222

2

2

a

a

a

a

a

a.

Igualando a C e calculando "a", vem:

3a

0a0)3a.(a0a3aa4a2a2

1724

)a417

1aa2a2

a2a21a 22

22

22

2

2

a

a

Para decidir que valor de "a" deve ser considerado, observamos que:

24618)3(2)3(2

0)0(2)0(2a2a2

2

22

. Logo, o valor será a = 3.


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01-

a) Determine o valor de m para que a matriz A seja invertível (ou inversível):

21

8mA

b) Determine, caso exista, a inversa da matriz A dada a seguir:

13

46A

02- Sabendo que o determinante da matriz

dc

baA vale – 4, calcule o valor de

d5b5

c4a4 .

03- Determine para que valores de m e n a representação gráfica (no plano cartesiano) das equações do sistema linear de

incógnitas x e y é um par de retas coincidentes, ou seja, representa um sistema possível e indeterminado.

6y3x)m2(

n3y6x2

04- Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$500,00 utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92

cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais.

Neste caso, qual a quantidade de cédulas de cinco reais que o comerciante precisará?

05- Resolva o sistema de equações lineares:

2zy2x

1zy3x2

7z2yx3

Gabarito

01- a) Solução. Para que a matriz seja invertível, o determinante deverá ser diferente de zero.

4m8m20)8(m221

8m0Adet

b) Solução. O determinante de A vale 6 – (12) = – 6 ≠ 0. Logo, possui inversa. Temos:

12/1

3/26/1A

3/26/4bd4b6

1d2d2

2d2b6

0d4b6

)2(1db3

0d4b6

2/1)6/1(3a3c

6/1a1a6

0c4a12

1c4a6

)4(0ca3

1c4a6

10

01

dc

ba.

13

46

1

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02- Solução. O determinante a ser calculado é o da matriz A com as seguintes alterações:

a) Houve uma transposição da matriz, não alterando o determinante: det A = det A-1

.

b) Houve uma multiplicação de uma linha por (– 4) e de outra por (5). Logo o determinante da matriz original ficará multiplicado por (- 4).(5) = - 20. Logo,

80)20).(4(d5b5

c4a4

03- Solução. No caso deste sistema a análise pedida é: SPI6

n3

3

6

m2

2

4n36n96

n3

3

6

1m6m66m6123

6

m2

2

6

n3

3

6

m2

2. Logo, m = 1 e n = 4.

04- Solução. Sejam “x”, “y” e “z” respectivamente as quantidades de cédulas de R$1,00; R$5,00 e R$10,00. Lembrando que

x = z, monta-se o sistema

500y5x11

92yx2

500z10y5x

92zyx.

Escalonando,

12y

92yx2

L.2L.11500y5x11

92yx2

21

.

Logo são necessárias 12 cédulas de R$5,00. 05- Solução. Escalonando, temos:

3z18z6

17zy7

7z2yx3

LL1z5y7

17zy7

7z2yx3

L3L

L3L2

2zy2x

1zy3x2

7z2yx3

3231

21

1x69x3)3(2)2(7x3

2y14y7317y7. S = {1, 2, 3}


de 3 - 03/08/2012 - 7:42

de 2- 03/08/12 - 07:42



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01- Determine, caso exista, a inversa da matriz A dada a seguir.

13

31A

02- Sejam A e B matrizes 3 × 3 tais que det A = 3 e det B = 4.

Calcule, então:

a) det(A × 2B). b) det B-1

+ det At.

03- O sistema linear

0zyx

0zyx

0z2ayx

admite solução não-trivial.

Determine, então, o valor de a.

04- Uma pessoa consumiu na segunda-feira, no café da manhã, 1 pedaço de bolo e 3 pãezinhos, o que deu um total de

140 gramas. Na terça-feira, no café da manhã, consumiu 3 pedaços de bolo e 2 pãezinhos (iguais aos do dia anterior e de mesma massa, respectivamente), totalizando 210 gramas. A tabela seguinte fornece, aproximadamente, a quantidade de energia em quilocalorias (kcal) contida em cada 100 gramas do bolo e do pãozinho.

Alimento Energia

100g de bolo 420 kcal

100g de pãozinho 270 kcal

Após determinar a quantidade em gramas de cada pedaço de bolo e de cada pãozinho, use a tabela e calcule o total de quilocalorias (kcal) consumido pela pessoa, com esses dois alimentos, no café da manhã de segunda-feira.

Gabarito

01- Solução. Uma matriz possui inversa se o determinante for diferente de zero.

i) 04313.3)1)(1(13

31Adet

. Logo possui inversa. Seja

dc

baA 1 .

ii)

4/3b

4/1d1dd31d)d.3.(3

1db.3

0d.3b

4/3c

4/1a1a3a1)a.3.(3a

0ca.3

1c.3a

10

01A.A 1 .

Logo,

4/14/3

4/34/1A 1 .

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02- a) Solução. Pelo teorema de Binet, det (A . B) = det (A) . det (B). A matriz 2B é a matriz onde cada linha foi multiplicada por 2. Logo, det (2B) = (2) . (2) . (2) . det (B) = 8 . (-3) = - 24. Utilizando esse resultado e aplicando o teorema de Binet, temos que: det (A x 2B) = det (A) x det (2B) = (4) . (- 24) = - 96.

b) Solução. Aplicando as propriedades dos determinantes para esses casos, temos:

i) 4

1

Bdet

1Bdet 1 ii) 3AdetAdet T

Logo, 4

11

4

1213

4

1AdetBdet T1

.

03- Solução. A solução trivial é (0, 0, 0). Ela será única se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero. Como o sistema admite solução diferente da trivial, então o determinante será nulo.

2a04a20)11(2)11(a)11(10

111

111

2a1

Adet

OBS: As soluções não triviais são da forma (0, t, -t). 04- Solução. Seja "x" a massa em gramas de cada pedaço de bolo e "y", a de cada pãozinho. O sistema que representa o

consumo segunda e terça é:

g50)30(3140x

g30y210y7

210y2x3

420y9x3

210y2x3

)3(140y3x

Observando a tabela temos:

i) Se 100g de bolo possui 420 kcal, então 1 pedaço de bolo com 50g representa metade. Isto é, 120 kcal.

ii) Se 100g de pãozinho possui 270 kcal e foram consumidos 3, então 3(30g) = 90g equivalem a 243 kcal.

Logo, total consumido de quilocalorias segunda-feira foi 120 + 243 = 363 kcal.


professor: equipe de matemÁtica -...

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