Professor: Exponencial e Logaritmo

1

r + 2s

8.

em função de

c = t, obtenha,

7.

6.

5.

4.

3.

2.

1.

Resolva em :

a)

23x + 1 = 128b)

5x2 − 5x + 6 = 1c)

5x2 − 5x + 6 = 0d)

52x + 5 + 53 = 0e)

52x + 5 − 53 = 0

f)

1x

x = 1

x

x

Respostas:

a)

{2}

b)

{2, 3}

c)

∅

d)

∅

e)

{−1}

f)

{1, 4}

Resolva em :

a) 52x = 4 ⋅ 5x + 5b) 22x + 2 2 = 2 + 2 2x

c) 1 + 2x + 3x = 0d) 7x + 1 = 8x

e) 2x + 1 = 23 − x + 6

Respostas: a) {1}

b) 12

, 1

c) ∅

d) {1}

e) {2}

Resolva em :

a) 2 + 3 x ⋅ 2 – 3 x = 1b) 2 + 3 x ⋅ 2 – 3 x = 4

Respostas: a)

b) ∅

Resolva em : 4x + 9x = 2 ⋅ 6x

Resposta: {0}

Calcule:a) log 5 0,04 c) log144 2 3

b) log2 + 3 2 − 3 d) log8 2 2

Respostas: a) −4

b) −1

c) 14

d) 12

Dê o domínio da função real de variável real dada por:

a) f(x) = log2(5 − x)b) f(x) = logx − 17c) f(x) = logx − 1(3 − x)

Respostas: a) {x ∈ : x 5}

b) {x ∈ : x 1 e x ≠ 2}c) {x ∈ : 1 x 3 e x ≠ 2}

Se k é um número inteiro e log(7 − 5k)(7k − 5) é um

número real, então k + log(7 − 5k)(7k − 5) é igual a:

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

Resposta: C

Sendo log2a = r, log2b = s e log2

r, s e t: log2ab2

3c

.

– t3

Resposta:

Danilo

Professor: Exponencial e Logaritmo

2

19 .

18.

17.

16.

15.

14.

13.

12.

11.

9.

e p

números reais positivos

então,

Resposta: 3m + 2n

Sendo a2 + b2 = 70ab, calcule log5(a + b)2

ab em função de m = log52 e n = log53.

(UNIRIO-RJ) Se x = log32, então 3x + 3–x é igual a:

a)

97

b)

52

c)

4

d)

6

e)

9

Resposta: B

(UFF-RJ) Sejam x, y e p

≠ 1. Se logp(x + y) = m e logpx + logpy = n,

logpx + y

xy é igual a:

a)

mn

b)

mn

c)

m ⋅ nd)

m + n

e)

m – n

Resposta: E

(UFF-RJ) Pode-se afirmar que log18 é igual a:

a)

log20 – log2

b)

3log6

c)

log3 + log6

d)

log362

e)

(log3) (log6)

Resposta: C

(UNICAMP) Calcule o valor da expressão

logn lognn

nn

, em que n é um número inteiro, n 2.

Resposta: –2

Resposta: 2 (1 – m)

Resolva em :

a) log(x + 2) + log(3 − x) = log(5x + 1)

Resposta: 1

b) log x − log(x − 1) = log 2

Resposta: 2

c) log(x − 1) = log(2x + 3)

Resposta: ∅

d) logx25 = 2

Resposta: 5

Resolva em :

a) (4 − logx)−1 + 2(2 + log x)−1 = 1

Resposta: 10, 100

b) x3 = 100 ⋅ x log x

Resposta: 10, 100

c) xlog x = 100x

Resposta: 110

, 100

Dado que log3913 = m, calcule log399.

Resolva em a equação: xlog2x = 4x

S = 12

, 4

(UFRJ) Sendo x e y números reais, y ≠ 0, expresse o logaritmo de 3x na base 2y em função de x, y e log23.

Resposta: xy

log23

Resposta:

(UNESP) Seja x um número real tal que

xlogx[logx2(5x – 12)] = 12

. Então:a) 0 x 1b) 1 x 2c) 2 x 3d) 3 x 4e) x 4

Resposta: D (x = 3)

10.

Danilo

Professor: Exponencial e Logaritmo

3

20.

27.

26.

25.

24.

23.

22.

201.

(FGV-SP) Se a e b são soluções do sistema:

x + y = 27,5

, então a ⋅ b é:logx – logy = 1

a)

16,9b)

22,5c)

62,5d)

19,6e)

n.d.a.

Resposta: C

(UERJ) Se log2x + log2x2 + log2x3 = 6, então x é:a)

2b)

3c)

4d)

–2e)

1

Resposta: A

(UFSC) O valor de x que satisfaz a equação

log10(x + 5) + log10(x – 6) = 1 + log10(x – 4) é:

a)

5b)

4c)

1d)

6e)

10

Resposta: E

(UFRN) Se a equação x2 + 8x + 2loga = 0 possui duas raízes reais e iguais, então a é igual a:a)

10b)

102

c)

104

d)

106

e)

108

Resposta: E

Resolva em :

a) 0,3752x − 1 0,375x − 7

b) 2x2 − 1 1c) 0,2x2 − 1 1

Respostas: a) {x ∈ / x −6}

b) {x ∈ / x −1 ou x 1}

c) {x ∈ / −1 x 1}

Resolva em :

a) log2(log2x) log21Resposta: {x ∈ / x 2}

b) log2(log2x) 0Resposta: {x ∈ / 1 x 2}

c) log2(log3x) 1Resposta: {x ∈ / 1 x 9}

d) log0,5(log2x) 0Resposta: {x ∈ / 1 x 2}

(UNESP) Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evaporasse lentamente. A experiência termina quando toda a água se evaporar. Em cada ins-tante t, a quantidade de água existente no reci-piente (em litros) é dada pela expressão:

Q(t) = log1010k

t + 1

com k uma constante positiva e t em horas.

a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente, determine a constante k.

b) Ao fim de quanto tempo a experiência termi-nará?

Resposta: 1

Resposta: 9 horas

(UNESP) Numa plantação de certa espécie de ár-vore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções:

altura: H(t) = 1 + (0,8) ⋅ log2(t + 1)

diâmetro do tronco: D(t) = (0,1) ⋅ 2

t7

com H(t) e D(t) em metros e t em anos.

a) Determine as medidas aproximadas da altu-ra, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas.

b) A altura de uma árvore é 3,4m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.

Resposta: Altura: 1m, diâmetro: 10cm.

Resposta: 20cm.

Danilo

Professor: Exponencial e Logaritmo

4

29. 28.

(UNESP) A função p(t) = 9 + 8

1 + 12 ⋅ 3–(0,1)t expressa,

em função do tempo t (em anos), aproximada-mente, a população, em milhões de habitantes, de um pequeno país, a partir de 1950 (t = 0). Um esboço do gráfico dessa função, para 0 t 80, é dado no gráfico:

t (em anos)

População(em milhões de hab.)

109

15

17

0 32 80

(gráfico fora de escala)

a)

De acordo com esse modelo matemático, cal-cule em que ano a população atingiu 12 mi-lhões de habitantes. (Use as aproximações log3 2 = 0,6 e log3 5 = 1,4)

b) Determine aproximadamente quantos habi-tantes tinha o país em 1950. Com base no grá-fico, para 0 t 80, admitindo que p(80) = 17, dê o conjunto solução da inequação p(t) 15 e responda, justificando sua resposta, para quais valores de k a equação p(t) = k tem so-luções reais.

Resposta: 1968

Resposta: 9,6 milhões, {t ∈ / 32 t 80} e

12513

k 17.

(UNESP) A escala de pH, que mede a concen-tração de íons de hidrogênio em soluções, vai de 0 (o grau mais ácido) até 14 (o grau mais alcalino). Atualmente, a água dos oceanos é meio alcalina, com pH de 8,1. Dependendo da queima de combustíveis fósseis, o pH dos oceanos pode cair para 7,9 em 2100. A funçãof(x) = –log10(x) fornece o pH de uma solução em função do número x de íons de hidrogênio (H3O). Com base nessas informações, determine a porcentagem estimada de aumento dos íons de hidrogênio nos oceanos de hoje para 2100. (Use a aproximação log10(1,3) = 0,1 ou, equiva-lentemente, 10(0,1) = 1,3).

Resposta: 69%

Comentário: Ao contrário do que está no texto, na fórmula f(x) = –logx, x não corresponde ao número de íons de hidrogênio, mas sim à con-centração desses íons, em mol/litro.

Danilo