professor: cláudio dias -...

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

PROFESSOR: Cláudio Dias

BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - 2ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PARTE 1

=============================================================================================

Análise Combinatória

01- A lista a seguir apresenta características relativas a duas das partes do livro Lira dos vinte anos, do poeta Álvares de

Azevedo, segundo uma determinada edição:

— Compõe-se de 15 poemas. — Compõe-se de 40 poemas. — Uso do lirismo romântico convencional: eu lírico terno; mulher angelical; sentimentos espiritualizados. — Uso do lirismo romântico grotesco: eu lírico sarcástico; mulher acessível; sentimentos carnais. — Uso de recursos humorísticos: ironia, sátira, caricatura. — Aspectos de um intimismo adolescente: desdém pela rotina; ênfase no idealismo.

Um professor de literatura pretende ordenar a lista apresentada de modo que características de uma mesma parte do livro fiquem juntas. O número de maneiras pelo qual ele poderá fazer isso é:

02- Sejam r e s duas retas distintas e paralelas.

Se fixarmos 10 pontos em r e 6 pontos em s, todos distintos, ao unirmos, com segmentos de reta, três quaisquer destes pontos não colineares, formam-se triângulos. Assinale a opção correspondente ao número de triângulos que podem ser formados.

(A) 360 (B) 380 (C) 400 (D) 420

03- Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

(01) O número do cartão de crédito é composto de 16 algarismos. Zezé teve seu cartão quebrado, perdendo a parte que contém os quatro últimos dígitos. Apenas consegue lembrar que o número formado por eles é par, começa com 3 e tem todos os algarismos distintos. Então, existem 280 números satisfazendo essas condições.

(02) No prédio onde Gina mora, instalaram um sistema eletrônico de acesso no qual se

deve criar uma senha com 4 algarismos, que devem ser escolhidos dentre os algarismos apresentados no teclado da figura. Para não esquecer a senha, ela resolveu escolher 4 algarismos dentre os 6 que representam a data de seu nascimento. Dessa forma, se Gina nasceu em 27/10/93, então ela pode formar 15 senhas diferentes com 4 algarismos distintos.

(04) Entre as últimas tendências da moda, pintar as unhas

ganha um novo estilo chamado de “filha única”. A arte consiste em pintar a unha do dedo anelar de uma cor diferente das demais, fazendo a mesma coisa nas duas mãos, conforme mostra o exemplo na figura. Larissa tem três cores diferentes de esmalte, então, usando essa forma de pintar as unhas, poderá fazê-lo de 6 maneiras diferentes.

(08) Uma fábrica de automóveis lançou um modelo de carro que pode ter até 5 tipos de equipamentos opcionais. O

número de alternativas deste modelo com respeito aos equipamentos opcionais é igual a 120.

(16) Jogando-se simultaneamente dois dados idênticos e não viciados, observa-se a soma dos valores das faces que ficam voltadas para cima. A soma com maior probabilidade de ocorrer é 7.

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

(32) O número de soluções inteiras não negativas de x y z 6 é igual a 28.

(64) Se a soma de quatro números primos distintos é igual a 145, então o menor deles é 3.

Soma: _________________________________

04- Uma população de 10 camundongos, marcados de 1 a 10, será utilizada para um experimento em que serão sorteados

aleatoriamente 4 camundongos. Dos 10 camundongos, apenas 2 têm certa característica C1, 5 têm certa característica C2 e nenhum deles tem as duas características. Pergunta-se:

a) Qual é a probabilidade de que ao menos um dos camundongos com a característica C1 esteja no grupo sorteado? b) Qual é a probabilidade de que o grupo sorteado tenha apenas 1 camundongo com a característica C1 e ao menos 2

com a característica C2?

05- Na Copa das Confederações de 2013, no Brasil, onde a seleção brasileira foi campeã, o técnico Luiz Felipe Scolari tinha à sua disposição 23 jogadores de várias posições, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6 meio-campistas e 6 atacantes. Para formar seu time, com 11 jogadores, o técnico utiliza 1 goleiro , 4 defensores , 3 meio-campistas e 3 atacantes. Tendo sempre Júlio César como goleiro e Fred como atacante, o número de times distintos que o técnico poderá formar é;

(A) 14 000. (B) 480. (C) 8! + 4! (D) 72 000.

06- Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado Federal brasileiro, atendendo às seguintes

condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas regiões administrativas mais populosas terá dois membros e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro.

a) Quantas unidades da Federação tem cada região? b) Chame de N o número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões são consideradas iguais

quando têm os mesmos membros). Encontre uma expressão para N e simplifique-a de modo a obter sua decomposição em fatores primos.

c) Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas, ao se escolher sete

senadores ao acaso. Verifique que P 1/ 50.

Segundo a Constituição da República Federativa do Brasil – 1988, cada unidade da Federação é representada por três senadores.

07-

De acordo com o texto, se Cebolinha lançar a sua moeda dez vezes, a probabilidade de a face voltada para cima sair cara, em pelo menos oito dos lançamentos, é igual a:

(A) 5

128 (B)

7

128

(C) 15

256 (D)

17

256

(E) 25

512

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

08- Os binomiais 11

4x

e x 3y

y

são complementares e, por isso, são iguais. Seu valor é:

(A) 165 (B) 330 (C) 55 (D) 462 (E) 11

09- Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos Campeões, disputado apenas pelos oito

países que já foram campeões mundiais: os três sul-americanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é:

(A) 140. (B) 120. (C) 70. (D) 60. (E) 40.

10- Na comemoração de suas Bodas de Ouro, Sr. Manuel e D. Joaquina resolveram registrar o encontro com seus

familiares através de fotos. Uma delas sugerida pela família foi dos avós com seus 8 netos. Por sugestão do fotógrafo, na organização para a foto, todos os netos deveriam ficar entre os seus avós.

De quantos modos distintos Sr. Manuel e D. Joaquina podem posar para essa foto com os seus netos?

(A) 100 (B) 800 (C) 40 320 (D) 80 640 (E) 3 628 800

11- Cinco casais resolvem ir ao teatro e compram os ingressos para ocuparem todas as 10 poltronas de uma determinada

fileira. O número de maneiras que essas 10 pessoas podem se acomodar nas 10 poltronas, se um dos casais brigou, e eles não podem se sentar lado a lado é:

(A) (B)

(C) (D)

(E)

12- Se X e Y são conjuntos que possuem 6 e 12 elementos respectivamente, então o número de funções injetivas

f : X Y que podem ser construídas é:

(A) 665.280. (B) 685.820. (C) 656.820. (D) 658.280.

13- Desde o dia da partida inaugural até o dia da final de um torneio de futebol, terão sido transcorridos 32 dias.

Considerando que serão disputados, ao todo, 64 jogos nesse torneio, pode-se concluir que, necessariamente,

(A) ocorrerão duas partidas por dia no período de disputa do torneio. (B) haverá um único jogo no dia em que for disputada a final. (C) o número médio de jogos disputados por equipe será, no máximo, 2. (D) ocorrerá pelo menos um dia sem jogos no período de disputa do torneio. (E) haverá duas partidas do torneio que ocorrerão no mesmo dia.

14- Paulo possui 709 livros e identificou cada um destes livros com um código formado por três letras do nosso alfabeto,

seguindo a “ordem alfabética” assim definida: AAA, AAB,..., AAZ, ABA, ABB,..., ABZ, ACA,... Então, o primeiro livro foi identificado com AAA, o segundo com AAB,... Nestas condições, considerando o alfabeto com 26 letras, o código associado ao último livro foi:

(A) BAG. (B) BAU. (C) BBC. (D) BBG.

15- A seguir, temos o fatorial de alguns números.

1! 1 2! 2 1 3! 3 2 1 4! 4 3 2 1

9 9! 8 9!

8 8!10!

2

10!

4

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

Considere o astronômico resultado de 2013! Quanto vale a soma dos seus três últimos algarismos?

(A) 0 (B) 6 (C) 13 (D) 20 (E) 21

16- A figura a seguir apresenta uma planificação do cubo que deverá ser pintada de acordo com as regras abaixo:

Os quadrados que possuem um lado em comum, nessa planificação, deverão ser pintados com cores diferentes. Além disso, ao se montar o cubo, as faces opostas deverão ter cores diferentes. De acordo com essas regras, qual o MENOR número de cores necessárias para se pintar o cubo, a partir da planificação apresentada?

(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (E) 6.

Texto para a próxima questão:

DANOS DE ALIMENTOS ÁCIDOS

O esmalte dos dentes dissolve-se prontamente em contato com substâncias cujo pH (medida da acidez) seja menor do que 5,5. Uma vez dissolvido, o esmalte não é reposto, e as partes mais moles e internas do dente logo apodrecem. A acidez de vários alimentos e bebidas comuns é surpreendentemente alta; as substâncias listadas a seguir, por exemplo, podem causar danos aos seus dentes com contato prolongado.

(BREWER. 2013, p. 64).

COMIDA/BEBIDA PH

SUCO DE LIMÃO/LIMA 1,8 – 2,4

CAFÉ PRETO 2,4 – 3,2

VINAGRE 2,4 – 3,4

REFRIGERANTES DE COLA 2,7

SUCO DE LARANJA 2,8 – 4,0

MAÇÃ 2,9 – 3,5

UVA 3,3 – 4,5

TOMATE 3,7 – 4,7

MAIONESE/MOLHO DE SALADA 3,8 – 4,0

CHÁ PRETO 4,0 – 4,2

17- Considere que em um laboratório foram verificadas, por um técnico, duas amostras de alimentos que constam na tabela

e verificado, por ele, que o pH dessas substâncias era, respectivamente, 3,2 e 4,2.

Nessas condições, de posse dessa tabela, pode-se afirmar que o número de maneiras distintas que esse técnico tem para tentar identificar, de maneira correta, quais foram os dois alimentos examinados é igual a:

(A) 9 (B) 10 (C) 12 (D) 14 (E) 15

18- O total de matrizes distintas que possuem apenas os números 1, 2, 3, 4, 5,..., 15, 16 como elementos, sem

repetição, é igual a:

(A) (4!)4 (B) 16.4!

(C) 5.16! (D) (16!)5

(E) 1616

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

19- Numa lanchonete são vendidos sucos de 8 sabores diferentes, sendo que 3 são de frutas cítricas e os demais de frutas silvestres. De quantas maneiras pode-se escolher 3 sucos de sabores diferentes, sendo que pelo menos 2 deles sejam de frutas silvestres?

(A) 40 (B) 55 (C) 72 (D) 85

20- Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em código. Cada

módulo possui três lâmpadas de cores diferentes − vermelha, amarela e verde. Observe a figura:

Considere as seguintes informações:

— cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez; — qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma

amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas; — duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas é diferente.

Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir. 21- Uma tradicional competição entre 24 times sempre foi organizada em três fases. Na primeira fase, os times são

divididos em seis grupos de quatro times, em que cada time joga uma vez contra cada time do mesmo grupo. O último colocado de cada grupo é eliminado. Os times restantes vão para a segunda fase, na qual não há divisão em grupos e todos os times se enfrentam, cada par uma única vez. Os dois times com maior pontuação na segunda fase se enfrentam, na terceira fase, em uma partida final que define o campeão. No próximo ano, os times passarão a ser divididos em quatro grupos de seis times e os dois últimos colocados de cada grupo serão eliminados ao final da primeira fase. O restante da competição continuará como antes. Nessa nova organização,

(A) o número de partidas da primeira fase diminuirá. (B) o número de partidas da segunda fase aumentará. (C) o número total de partidas da competição diminuirá. (D) o número de partidas que um time precisa disputar para sagrar-se campeão aumentará. (E) o número de times eliminados na primeira fase diminuirá.

22- Quantos são os números naturais que podem ser decompostos em um produto de quatro fatores primos, positivos e

distintos, considerando que os quatro sejam menores que 30? 23- Para a escolha de um júri popular formado por 21 pessoas, o juiz-presidente de uma determinada Comarca dispõe de

uma listagem com nomes de trinta homens e de vinte mulheres. O número de possibilidades de formar um júri popular composto por exatamente 15 homens é:

(A) 15 630 20C C (B)

15 630 20A A

(C) 15 630 20C C (D)

15 630 20A A

(E) 2150C

24- Dispõe-se de cinco cores para colorir o retângulo que está dividido em quatro outros retângulos menores, R1, R2, R3 e

R4, de maneira que retângulos com um lado comum não devem ser coloridos com a mesma cor. O número de modos diferentes de colorir os quatro retângulos com apenas duas cores é:

(A) 8. (B) 12. (C) 15. (D) 18. (E) 20.

R1 R2

R3 R4

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

25- Em uma sorveteria, há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos.

De quantas maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores diferentes, nessa sorveteria?

(A) 6 maneiras (B) 7 maneiras (C) 8 maneiras (D) 9 maneiras (E) 10 maneiras

26- Considere o seguinte jogo de apostas:

Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.

O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.

QUANTIDADE DE NÚMEROS ESCOLHIDOS EM UMA CARTELA PREÇO DA CARTELA (R$)

6 2,00

7 12,00

8 40,00

9 125,00

10 250,00

Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:

- Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; - Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos; - Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos; - Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; - Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos.

Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são

(A) Caio e Eduardo. (B) Arthur e Eduardo. (C) Bruno e Caio. (D) Arthur e Bruno. (E) Douglas e Eduardo.

27- Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha.

Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para uma entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duas pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é:

(A) 1/5 (B) 1/15 (C) 1/45 (D) 3/10 (E) 3/7

28- O jogo da Mega Sena consiste no sorteio de 6 números distintos de 1 a 60. Um apostador, depois de vários anos de

análise, deduziu que, no próximo sorteio, os 6 números sorteados estariam entre os 10 números que tinha escolhido.

Sendo assim, com a intenção de garantir seu prêmio na Sena, ele resolveu fazer todos os possíveis jogos com 6 números entre os 10 números escolhidos.

Quantos reais ele gastará para fazê-los, sabendo que cada jogo com 6 números custa R$ 2,00?

(A) R$ 540,00. (B) R$ 302.400,00. (C) R$ 420,00. (D) R$ 5.040,00.

29- Uma faculdade possui 11 professores titulares, dos quais 7 são homens e 4, mulheres. O número de bancas distintas

de avaliação que podem ser formadas, contendo cada uma apenas 3 homens e 3 mulheres é:

(A) 4 (B) 70 (C) 80 (D) 140 (E) 180

30- Num acampamento militar, serão instaladas três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 soldados, dentre eles o

soldado A e o soldado B, de tal maneira que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III.

Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO deve ficar na barraca III, então o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a:

(A) 560 (B) 1120 (C) 1680 (D) 2240

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

31- Uma turma de 25 alunos precisa escolher 6 representantes. Sabe-se que 28% dos alunos desta turma são mulheres, e que os representantes escolhidos devem ser 3 homens e 3 mulheres. Assim, o número de possibilidades para esta escolha é:

(A) 28560 (B) 851 (C) 13800 (D) 1028160 (E) 5106

32- Quantos tetraedros regulares de mesma dimensão podemos distinguir usando 4 cores distintas para pintar todas as

suas faces? Cada face só pode ser pintada com uma única cor. 33- Em uma sorveteria há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos.

De quantas maneiras podemos montar uma casquinha com duas bolas nessa sorveteria?

(A) 10 maneiras (B) 9 maneiras (C) 8 maneiras (D) 7 maneiras (E) 6 maneiras

34- Considere um polígono regular P inscrito em um círculo.

a) Assuma que P tenha 6 lados. Escolhem-se quatro vértices de P, formando um quadrilátero. Qual é a probabilidade de o quadrilátero ser um retângulo?

b) Assuma que P tenha 1000 lados. Escolhem-se quatro vértices de P, formando um quadrilátero. Qual é a

probabilidade de o quadrilátero ser um retângulo? c) Assuma que P tenha 1001 lados. Escolhem-se três vértices de P, formando um triângulo. Qual é a probabilidade de o

triângulo ter um ângulo obtuso? 35- As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As cirurgias cardíacas

são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas doenças.

Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentadores que fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias cardíacas.

Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 instrumentadores?

(A) 200. (B) 300. (C) 600. (D) 720. (E) 1.200.

36- Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas

vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é:

(A) menor que 7%. (B) maior que 7%, mas menor que 10%. (C) maior que 10%, mas menor que 13%. (D) maior que 13%, mas menor que 16%. (E) maior que 16%.

37- Nove cartões, com os números de 11 a 19 escritos em um dos seus versos, foram embaralhados e postos um sobre o

outro de forma que as faces numeradas ficaram para baixo. A probabilidade de, na disposição final, os cartões ficarem alternados entre pares e ímpares é de:

(A) 1

126 (B)

1

140

(C) 1

154 (D)

2

135

(E) 3

136

38- Seguindo a etiqueta japonesa, um restaurante tipicamente oriental solicita aos seus clientes que retirem seus calçados

na entrada do estabelecimento. Em certa noite, 6 pares de sapato e 2 pares de sandálias, todos distintos, estavam dispostos na entrada do restaurante, em duas fileiras com quatro pares de calçados cada uma. Se esses pares de calçados forem organizados nessas fileiras de tal forma que as sandálias devam ocupar as extremidades da primeira fila, de quantas formas diferentes podem-se organizar esses calçados nas duas fileiras?

(A) 6! (B) 2 . 6! (C) 4 . 6! (D) 6 . 6! (E) 8!

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

39- O total de números naturais de 7 algarismos tal que o produto dos seus algarismos seja 14 é:

(A) 14. (B) 28. (C) 35. (D) 42. (E) 49.

40- Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e ocupação de territórios

em um mapa. Sócrates ataca jogando três dados e Xantipa se defende com dois. Depois de lançados os dados, que são honestos, Sócrates terá conquistado um território se e somente se as duas condições seguintes forem satisfeitas:

1) o maior valor obtido em seus dados for maior que o maior valor obtido por Xantipa;

2) algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior que o menor valor obtido por Xantipa.

a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo? b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?

41- A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1,

2, 3, 4, 5 é:

(A) 1

5 (B)

2

5

(C) 3

4 (D)

1

4

(E) 1

2

42- Oito amigos entraram em um restaurante para jantar e sentaram-se numa mesa retangular, com oito lugares, como

mostra a figura a seguir:

Dentre todas as configurações possíveis, quantas são as possibilidades de dois desses amigos, Amaro e Danilo, ficarem sentados em frente um do outro?

(A) 1 440 (B) 1 920 (C) 2 016 (D) 4 032 (E) 5 760

43- No estande de vendas da editora, foram selecionados 5 livros distintos, grandes, de mesmo tamanho, e 4 livros

distintos, pequenos, de mesmo tamanho. Eles serão expostos em uma prateleira junto com um único exemplar de Descobrindo o Pantanal.

a) De quantas maneiras diferentes eles podem ser alinhados na prateleira, se os de mesmo tamanho devem ficar juntos e Descobrindo o Pantanal deve ficar em um dos extremos?

b No final da feira de livros, a editora fez uma promoção. Numerou os livros da prateleira de 1 a 10, e sorteou um livro

para o milésimo visitante do estande. Qual é a probabilidade expressa em porcentagem de o visitante receber um livro cujo número seja a média aritmética de dois números primos quaisquer compreendidos entre 1 e 10?

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

44- Seja A o seguinte conjunto de números naturais: A {1, 2, 4, 6, 8}. Assinale o que for correto.

(01) Podem ser formados exatamente 24 números ímpares com 4 algarismos escolhidos dentre os elementos do conjunto A.

(02) Existem exatamente 96 números de 5 algarismos formados com elementos distintos de A e terminados com um algarismo par.

(04) Podem ser formados exatamente 64 números pares de 3 algarismos com elementos do conjunto A.

(08) Existem exatamente 3.125 números menores do que 100.000 formados com elementos do conjunto A.

(16) Podem ser formados exatamente 49 números menores do que 350 com elementos distintos do conjunto A. Soma: _____________________

45- Permutando-se os algarismos do número 123456, formam-se números de seis algarismos.

Supondo-se que todos os números formados com esses seis algarismos tenham sido colocados numa lista em ordem crescente,

a) DETERMINE quantos números possui essa lista. b) DETERMINE a posição do primeiro número que começa com o algarismo 4. c) DETERMINE a posição do primeiro número que termina com o algarismo 2.

46- Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 podemos formar 60 números naturais de 3 algarismos distintos. Desse total, a

quantidade dos que são divisíveis por 6 é:

(A) 10 (B) 12 (C) 5 (D) 8 (E) 7

47- Para formar uma senha, devem ser escolhidos três elementos distintos do conjunto {a, b, c, d, 1, 2, 3, 4, 5}. Nesse

contexto, assinale o que for correto.

(01) O número de senhas formadas por dois algarismos e uma letra, nessa ordem, é menor que 60.

(02) O número de senhas formadas somente por algarismos é 60.

(04) O número de senhas formadas por letras e algarismos é 140.

(08) Podem ser formadas mais de 500 senhas.

Soma: _____________________

48- Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos

de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.

Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.

O coeficiente de melhora da alteração recomendada é:

(A)

6

6

62

10 (B)

62!

10!

(C) 62! 4!

10! 56! (D) 62! 10!

(E) 6 662 10

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

49- Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

(01) 2 5 2 6.

(02) O conjunto solução da inequação 5 4

2 31x x 1 0

4

é o intervalo

1 1, .

2 2

(04) 0,999... 0,444... 55

.1 0,424242... 141

(08) Entre os números 1 e 1.000.000 (incluindo 1 e 1.000.000), existem 1.000 números naturais quadrados perfeitos.

(16) 111 2 3 101 1! 2 2! 3 3! ... 10 10! 10! .

(32) Se a e b são números reais positivos, então a b

2.b a

Soma: _____________________

50- Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se mudar as placas, atualmente com três letras e quatro

algarismos numéricos, para quatro letras e três algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo.

ABC 1234 ABCD 123

Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. O aumento obtido com essa modificação em relação ao número máximo de placas em vigor seria:

(A) inferior ao dobro. (B) superior ao dobro e inferior ao triplo. (C) superior ao triplo e inferior ao quádruplo. (D) mais que o quádruplo.

51- Uma pessoa dispõe de R$ 800,00 para comprar camisas e calças, de modo a obter exatamente vinte trajes distintos.

Cada traje consiste de uma calça e uma camisa, que custam R$ 110,00 e R$ 65,00, respectivamente. Considerando-se que cada peça pode fazer parte de mais de um traje, calcule o número de camisas e de calças que a pessoa comprará sem ultrapassar a quantia em dinheiro de que dispõe.

52- Um grupo de amigos, ao planejar suas férias coletivas, listou 12 cidades brasileiras que pretendem conhecer juntos,

sendo que seis ficam no litoral e seis no interior do país. O critério estabelecido foi de alternar as férias, em cada ano, ora em cidades litorâneas, ora, em interioranas, definindo-se que, nos próximos 12 anos, será visitada uma cidade diferente por ano. Desse modo, a quantidade de maneiras possíveis para atender a esse critério é:

(A) 2.3.11. (B) 22.3.11.

(C) 2.32.11. (D) 2

8.3

4.5

2.

(E) 29.3

4.5

2.

53- As senhas de um cofre eletrônico possuem, sempre, 6 dígitos e devem conter, obrigatoriamente, 1 símbolo, 3

algarismos e 2 letras, nessa ordem, utilizando os seguintes tipos de caracteres:

- símbolos *, #, $, & e @; - algarismos de 0 a 9; - consoantes do alfabeto português, excluindo K, W e Y.

Um software especial tem em seu código-fonte o algoritmo de formação das senhas deste cofre. Além disso, possui a

capacidade de testar cada combinação de senha possível a cada 0,005 segundos. Assim, para quebrar a segurança do cofre e descobrir a senha, este software demorará, no máximo,

(A) 7 min e 39 s. (B) 18 min e 22 s. (C) 36 min e 43 s. (D) 91 min e 48 s.

54- O quadro de avisos de uma escola de ensino médio foi dividido em quatro partes, como mostra a figura a seguir.

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

No retângulo à esquerda, são colocados os avisos da diretoria, e, nos outros três retângulos, serão colocados, respectivamente, de cima para baixo, os avisos dos 1º, 2º e 3º anos do ensino médio. A escola resolveu que retângulos adjacentes (vizinhos) fossem pintados, no quadro, com cores diferentes. Para isso, disponibilizou cinco cores e solicitou aos servidores e alunos sugestões para a disposição das cores no quadro.

Determine o número máximo de sugestões diferentes que podem ser apresentadas pelos servidores e alunos. 55- Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas

com 4 cartas de mesmo valor.

Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra:

O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a:

(A) 624 (B) 676 (C) 715 (D) 720

56- Um artesão de joias tem a sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e

verdes.

Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.

A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?

(A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 (E) 36

57- Os clientes de um banco, ao utilizarem seus cartões nos caixas eletrônicos, digitavam uma senha numérica composta

por cinco algarismos. Com o intuito de melhorar a segurança da utilização desses cartões, o banco solicitou a seus clientes que cadastrassem senhas numéricas com seis algarismos.

Se a segurança for definida pela quantidade de possíveis senhas, em quanto aumentou percentualmente a segurança na utilização dos cartões?

(A) 10% (B) 90% (C) 100% (D) 900% (E) 1900%

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

GABARITO

01- (C)

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Português] O livro Lira dos vinte anos, do poeta Álvares de Azevedo, é dividido em três partes. Duas delas apresentam características parecidas: uso do lirismo romântico convencional e aspectos de um intimismo adolescente. A outra diverge dessas duas por apresentar um lirismo romântico grotesco, repleto de ironia e sarcasmo. Nessa parte, a mulher não é idealizada como nas demais, é acessível e descrita sob aspectos carnais. Para responder a esta questão, é preciso unir os conhecimentos literários ao raciocínio lógico: o enunciado aponta que as características listadas pertencem a duas partes. Desse modo, dividiríamos:

Uma parte - Uso do lirismo romântico convencional: eu lírico terno; mulher angelical; sentimentos espiritualizados. - Aspectos de um intimismo adolescente: desdém pela rotina; ênfase no idealismo.

Outra parte - Uso do lirismo romântico grotesco: eu lírico sarcástico; mulher acessível; sentimentos carnais. - Uso de recursos humorísticos: ironia, sátira, caricatura.

Não é mencionada de que edição de Lira dos vinte anos se trata, e, como as edições divergem, não temos como saber

o número de poemas contidos em cada uma. Por isso, é preciso novamente fazer uso da lógica, se as características listadas dizem respeito a duas partes do livro, e se a mesma parte não pode conter números diferentes de poemas, concluímos então que uma possui 15 poemas e a outra, 40. Desse modo, temos três características para cada parte da obra. [Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática] Três características são apresentadas para cada parte do livro. Portanto, teremos dois grupos com três características cada. Logo, o número de maneiras de ordenar a lista será:

2P 3! 3! 2 6 6 72

02-

[D]

Número de combinações do total de pontos três a três: 16,3

16!C 560

3!(16 3)!

Número de combinações dos 10 pontos de uma reta três a três: 10,3

10!C 120

3!(10 3)!

Número de combinações dos 6 pontos da outra reta três a três: 6,3

6!C 20

3!(6 3)!

Portanto, o total de triângulos será dado por: 560 120 20 420.

03-

01 + 04 + 16 + 32 = 53.

[01] Correto. Se o número formado pelos quatro últimos dígitos é par, tem os algarismos distintos e começa com 3,

então existem 5 possibilidades para o algarismo das unidades, 8 possibilidades para o algarismo das centenas e

7 para o das dezenas. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, existem 8 7 5 280 números satisfazendo essas

condições. [02] Incorreto. Como a data do aniversário de Gina não possui algarismos repetidos, segue-se que o número de senhas

que ela pode formar, com 4 algarismos distintos, corresponde ao número de arranjos simples de 6 elementos

tomados 4 a 4, ou seja,

6, 4

6!A 6 5 4 3 360.

(6 4)!

[04] Correto. Existem 3 escolhas para o dedo anelar e 2 para os outros dedos da mão. Em consequência, pelo

Princípio Multiplicativo, as unhas podem ser pintadas de 3 2 6 modos distintos.

[08] Incorreto. É possível escolher 0,1, 2, 3, 4 ou 5 opcionais. Por conseguinte, existem

55 5 5 5 5 52 32

0 1 2 3 4 5

alternativas com respeito aos equipamentos opcionais.

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

[16] Correto. Seja Ω o espaço amostral. Temos

(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6,1), (6, 2), (6, 3),

Ω

(6, 4), (6, 5), (6, 6)

Seja iS , com i 2, 3, ,12, K o conjunto formado pelos resultados cuja soma é igual a i.

Por inspeção, é fácil ver que

2 3 6 7 8 12n(S ) n(S ) n(S ) n(S ) n(S ) n(S ). K K

Desse modo, como 7S {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6,1)}, vem 7n(S ) 6 e, portanto, a soma com maior

probabilidade de ocorrência é 7.

[32] Correto. O número de soluções inteiras não negativas de x y z 6 é igual a

3, 6

8 8!CR 28.

6 2! 6!

[64] Incorreto. Sabendo que 2 é o único primo par, segue-se que a soma de quatro primos distintos maiores do que 2 é um número par.

Portanto, se a, b, c e d são primos tais que a b c d e a b c d 145, só pode ser a 2.

04-

a) 8,4

10,4

C 70 1 21 1 1

C 210 3 3 (Onde 8,4C é a quantidade de sorteados em que nenhum camundongo tenha a

característica C1)

b) 5,1 5,2 3,1 2,1 5 3

10,4 10.4

C C C C C , 2 10 3 2 10 6 2 8

C C 210 210 21 21 21

05- [A]

Logo, o número de times distintos é: 1 70 20 10 14000.

06-

a) A região Norte possui 7 unidades, a Nordeste 9, a Centro-Oeste 4, a Sudeste 4, e a Sul 3.

b) Sabendo que as regiões Nordeste e Sudeste são as mais populosas, há 9 9!

362 7! 2!

modos de escolher duas

unidades da região Nordeste e 4 4!

62 2! 2!

modos de escolher duas unidades da região Sudeste. Além disso,

existem 7 maneiras de escolher uma unidade da região Norte, 4 modos de escolher uma unidade da região Centro-

Oeste e 3 maneiras de escolher uma unidade da região Sul. Portanto, como cada unidade da Federação é

representada por três senadores, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos

7 5 11N 36 6 7 4 3 3 2 3 7.

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

c) Como existem 27 3 81 senadores, podemos escolher 7 senadores quaisquer de

2 4

81 81!

7 74! 7!

81 80 79 78 77 76 75

7 6 5 4 3 2

50 2 3 11 13 19 79

maneiras. Logo,

5 11

2 4

2 3 7P

50 2 3 11 13 19 79

1 18 63 108

50 19 79 143

1,

50

pois 18 63

,19 79

e 108

143 são menores do que 1.

07- [B]

Espaço amostral dos 10 lançamentos: 2

10 = 1024.

Sair cara em pelo menos 8 moedas: 10,8 10,9 10,10C C C 45 10 1 56.

Logo, a probabilidade pedida será: 56 7P .

1024 128

08-

Se 11

4x

e x 3y

y

são complementares, então x 3y 11 e 4x y 11. Em consequência, tem-se x 2 e

y 3. Portanto, 11 11 11!

165.4x 8 8! 3!

09- [D]

Existem 2 maneiras de escolher o grupo que terá duas seleções sul-americanas, 3

32

modos de escolher essas

duas seleções, e 5 5!

102 3! 2!

modos de escolher as duas seleções europeias que irão formar o grupo com as duas

sul-americanas. Como o segundo grupo é determinado univocamente pelas escolhas do primeiro, segue-se que o

resultado pedido, pelo Princípio Fundamental da Contagem, é 2 3 10 60.

10- [D]

Supondo que todos aparecerão na foto lado a lado, temos 2 possibilidades para os avós e 8P 8! 40320

possibilidades para os netos. Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem 2 40320 80640

maneiras distintas de fazer a foto. 11- [B]

As pessoas podem se sentar de maneiras. Por outro lado, o casal que está brigado pode se sentar lado

a lado de modos. Em consequência, o resultado pedido é

10 10P 10!

9 2P P 2 9! 10! 2 9! 10 9! 2 9! 8 9!.

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

12- [A]

Considerando a função bijetora, o primeiro elemento do conjunto X poderá ser associado a um dos 12 elementos de Y, o segundo elemento de X poderá ser associado a um dos 11 elementos restantes, continuando assim até o sexto elemento de X que será associado a cada um dos t elementos restantes de Y.

Temos, então, o seguinte produto: 12 11 10 9 8 7 665280.

13- [E]

Seja [x] o maior inteiro menor do que ou igual a x.

Pelo Princípio das Gavetas de Dirichlet, haverá pelo menos

64 11 [1,96875] 1 1 1 2

32

partidas do torneio que ocorrerão no mesmo dia.

14- [D]

Quantidade de códigos que começam por A: 1 26 26 676

Quantidade de códigos que começam por BA: 1 1 26 26

O restante dos livros começa por BB.

Faltam então, 7 livros para obtermos o código do último. (709 676 26 7)

Então, a última letra é G (sétima letra do alfabeto). O código associado ao último livro é BBG.

15- [A]. Tem-se que 2013! 2013 2012 1000 999!. K Daí, sendo 1000 um fator de 2013!, podemos garantir que

os três últimos algarismos de 2013! são iguais a zero. Portanto, o resultado é zero.

16- [B]

De acordo com as condições do problema temos no máximo três faces para utilizar a primeira cor, duas faces no máximo para a segunda cor e finalmente 1 face para a terceira cor. Portanto, o menor número de cores necessárias para pintar o cubo é 3.

17- [C] Existem 4 alimentos cujo pH pode ser 3,2 e 3 alimentos cujo pH pode ser 4,2, temos então 12 maneiras distintas

que esse técnico tem para tentar identificar, de maneira correta, quais foram os dois alimentos examinados.

4 3 12

18- [C] Existem 5 matrizes com 16 elementos: 1 16, 2 8, 4 4, 8 2 e 16 1. Logo, como em cada uma dessas

matrizes podemos dispor os elementos, sem repetição, de 16P 16! modos, segue-se que o resultado é 5 16!.

19- [A].

O resultado pedido corresponde ao número de maneiras que podemos escolher 1 sabor de fruta cítrica e 2 sabores de

frutas silvestres ou 3 sabores de frutas silvestres, isto é,

3 5 5 5!4 40.

1 2 3 2! 3!

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

20-

1ª Solução: O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir é dado por

8 5 3 8! 5! 3!

3! 5! 2! 3! 1! 2!3 2 1

8 7 6 5 43

3 2 2

1680.

2ª Solução: O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir corresponde ao número de permutações de 8 lâmpadas, sendo 3 vermelhas, 2 verdes, 1 amarela e 2 apagadas, ou seja,

(3, 2, 2)8

8!P

3! 2! 2!

8 7 6 5 4

2 2

1680.

21- [C]

Na 1ª fase, cada grupo de 244

6 times terá

4 4!6

2 2! 2!

jogos. Logo, serão disputadas 6 6 36 partidas nessa

fase. Se um time é eliminado de cada grupo, a 2ª fase terá 24 6 18 equipes. Desse modo, serão disputados

18 18!153

2 16! 2!

jogos na 2ª fase.

Como apenas dois times vão para a 3ª fase, segue que o número total de partidas é igual a 36 153 1 190.

No outro formato, cada grupo de 24

64

times terá 6 6!

152 4! 2!

jogos. Logo, serão disputadas 4 15 60

partidas nessa fase. Se dois times são eliminados de cada grupo, a 2ª fase terá 24 4 2 16 equipes. Desse modo,

serão disputados 16 16!

1202 14! 2!

jogos na 2ª fase, o que perfaz um total de 60 120 1 181 jogos (contando com

a final). Finalmente, como 181 190, segue-se que o número total de partidas da competição diminuirá.

22- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (dez primos positivos menores que 30)

A quantidade de números naturais, formados por 4 desses fatores, será obtida através de uma combinação simples de 10 elementos tomados 4 a 4.

10,410! 10 9 8 7

C 210.4!.6! 24

23- [A]

Como o júri é formado por 21 pessoas, sendo que exatamente 15 delas são homens, segue-se que o número de

mulheres nesse júri é igual a 21 15 6. Portanto, o resultado é dado por 30 20

.15 6

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

24- [E]

Existem apenas duas maneiras de colorir os retângulos usando as cores A e B:

Escolhendo duas entre as 5 cotes disponíveis. 5,25!

C 102!.3!

Número de maneiras para se pintar os retângulos: 2 10 20

25- [A]

O número de maneiras possíveis de montar uma casquinha, com dois sabores distintos, sabendo que existem quatro sabores disponíveis, é dado por

4 4!

6.2 2! 2!

26- [A]

Supondo que duas cartelas de um mesmo jogador não possuem 6 dezenas iguais, segue-se que Arthur, Bruno, Caio,

Douglas e Eduardo possuem, respectivamente, as seguintes possibilidades de serem premiados:

250; 7

41 4 291;6

8

12 10 346;6

9

4 3366

e 10

2 420.6

Portanto, como o número de casos possíveis para o resultado do sorteio é o mesmo para todos, podemos concluir que Caio e Eduardo são os que têm as maiores probabilidades de serem premiados.

27- [B]

Existem 3

32

modos de escolher duas pessoas dentre aquelas que pretendem fazer intercâmbio no Chile, e

10 10!45

2! 8!2

maneiras de escolher duas pessoas quaisquer. Logo, a probabilidade pedida é 3 1

.45 15

28- [C]

Total de combinações possíveis: 10,610!

C 210.6! 4!

Valor total dos jogos: 210 2 R$420,00.

29- [D]

Maneiras distintas para a escolha de 3 homens: 7,37!

C 35.3! 4!

Maneiras distintas para a escolha de 3 mulheres: 434!

C 4.3! 1!

Total de bancas: 35.4 = 140.

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

30- [B]

1º caso: Soldados A e B na barraca I Barraca I: C8,2 = 28 Barraca II: C6,3 = 20 Barraca III: C3,3 = 1 Total(1) = 28 20 1 = 560. 2º caso: Soldado A na barraca I e soldado B na barraca II

Barraca I: C8,3 = 56 Barraca II CC5,2 =10 Barraca III: C3,3 = 1 Total(2) = 56 10 1 = 560. Então, o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a 560 + 560 = 1120.

31- [A]

Como a turma é constituída de 0,28 25 7 mulheres e 25 7 18 homens, existem

7 18 7! 18!

3 3 3! 4! 3! 15!

7 6 5 18 17 16

3 2 3 2

35 3 17 16

28560

modos de escolher 6 representantes, sendo 3 homens e 3 mulheres.

32- Considerando as 4 cores distintas, iremos dividir o problema em quatro casos.

Primeiro caso (apenas uma cor): Todas as faces da mesma cor – 4 possibilidades. Segundo caso (duas cores): 3 faces da mesma cor e uma diferente: 4.3 = 12; 2 cores diferentes, cada uma delas pintando duas faces: C4,2 = 6. Terceiro caso (três cores): 3 cores; uma delas pintando duas faces, e as outras duas pintando uma face cada: 4.C3,2 = 12. Quarto caso (4 cores distintas; fixando duas cores, teremos apenas duas possibilidades para as outras): 2. Logo, o total de tetraedros será dado por: 4 + 12 + 6 + 12 + 2 = 36.

33- [A]

O número de maneiras que podemos montar uma casquinha com duas bolas corresponde ao número de combinações completas de 4 sabores tomados 2 a 2, isto é,

2 24 4 2 1

5 5! 5 4CR C 10.

2! 3! 22

34-

a) Os retângulos obtidos a partir dos vértices de P são determinados por duas diagonais de P que passam pelo centro

do círculo circunscrito. Logo, como o número de diagonais de P que passam pelo centro do círculo é igual a 63,

2 segue

que podem ser formados 3

2

retângulos com os vértices de P.

Por outro lado, podem ser formados 6

4

quadriláteros quaisquer tomando-se 4 vértices de P.

Portanto, a probabilidade pedida é igual a

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

3

2 3 1.

6! 56

4! 2!4

b) Como P tem 1000500

2 diagonais passando pelo centro do círculo circunscrito, segue que podem ser formados 500

2

retângulos.

Por outro lado, podemos formar 1000

4

quadriláteros tomando-se 4 vértices de P.

Portanto, a probabilidade pedida é igual a

500 500!

2 12! 498!.

1000! 3320011000

4! 996!4

c) Seja o ângulo obtuso de um dos triângulos que podemos obter unindo-se 3 vértices de P.

Como é ângulo inscrito, é fácil ver que

1 360k 90 k 501,

2 1001

com k sendo o número de arcos congruentes, definidos pelos vértices de P, compreendidos entre os lados de .

Desse modo, se os vértices de P são 1 2 1001V , V , , V ,K fixamos 1V e escolhemos dois vértices em 2 3 501{V , V , , V }K para

determinarmos o número de triângulos que possuem um ângulo obtuso. Procedendo da mesma forma para os outros

1000 vértices de P, segue que o número de triângulos obtusângulos que podem ser formados é dado por 5001001 .

2

Finalmente, como podemos formar 1001

3

triângulos com os vértices de P, segue que a probabilidade pedida é igual a

500 500!1001 10012 2! 498!

1001!1001

3! 998!3

499.

666

35- [B]

O resultado pedido é dado por

5 2 6 5! 6!2

3! 2! 4! 2!3 1 4

20 15

300.

36- [B] O número total de jogos disputados é dado por

20, 2

20!A 20 19 380.

18!

Logo, como o número de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é

6, 2

6!A 6 5 30,

4!

segue que a porcentagem pedida é igual a 30100% 7,9%.

380

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

37- [A]

Observando que de 11 a 19 existem cinco números ímpares e quatro números pares, segue que o primeiro e o último

cartão devem ser, necessariamente, ímpares. Desse modo, existem 5! modos de dispor os cartões ímpares e 4!

modos de dispor os cartões pares.

Portanto, como existem 9! maneiras de empilhar os nove cartões aleatoriamente, a probabilidade pedida é

5! 4! 5! 4 3 2 1.

9! 9 8 7 6 5! 126

38- [B]

Podemos organizar as sandálias de 2! formas diferentes, e os sapatos podem ser dispostos de 6! modos. Portanto,

pelo Princípio Fundamental da Contagem, os calçados podem ser organizados de 2! 6! 2 6! formas distintas.

39- [D]

Como 14 2 7, segue-se que os números naturais de 7 algarismos cujo produto de seus algarismos é igual a 14,

apresentam, necessariamente, cinco algarismos iguais a 1, o algarismo 2 e o algarismo 7.

Portanto, o resultado procurado é igual a (5)7

7!P 42.

5!

40- a) Sócrates deve obter pelo menos 2 seis.

Portanto, a probabilidade será P = 16/216 = 2/27. b) Sócrates deve obter pelo menos dois seis (item a) ou um único 6 e pelo menos um 5.

Logo, a probabilidade será P = 43/216. 41- [B]

As permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 que terminam em 2 ou 4 são divisíveis por 2. Logo, existem

42 P 2 4! permutações nessas condições.

Por outro lado, existem 5P 5! permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5.

Desse modo, a probabilidade pedida é dada por 2 4! 2 4! 2.

5! 5 4! 5

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

42- [E]

Existem 4 escolhas para os acentos em que sentarão Amaro e Danilo. Definidos os assentos que eles ocuparão, ainda

podemos permutá-los de 2 maneiras. Além disso, as outras seis pessoas podem ser dispostas de 6! maneiras.

Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue que o resultado pedido é

4 2 6! 5.760.

43-

a) Temos 2 maneiras de dispor os blocos de livros grandes e pequenos, e 2 maneiras de escolher onde ficará o

exemplar de Descobrindo o Pantanal. Além disso, os livros grandes podem ser dispostos de 5! maneiras, e os

livros pequenos de 4! modos. Portanto, pelo PFC, segue que o resultado é 2 2 5! 4! 4 120 24 11.520.

b) Os primos compreendidos entre 1 e 10 são: 2, 3, 5 e 7. Logo, os casos favoráveis são: 2 (média aritmética de 2

e 2), 3 (média aritmética de 3 e 3), 4 (média aritmética de 3 e 5), 5 (média aritmética de 3 e 7), 6 (média

aritmética de 5 e 7) e 7 (média aritmética de 7 e 7). Portanto, como podem ser sorteados 10 números, segue

que a probabilidade pedida é 6

100% 60%.10

44- 02 + 16 = 18.

[01] Incorreto. Temos uma possibilidade para o algarismo das unidades e cinco para cada um dos outros algarismos.

Portanto, pelo PFC, podemos formar 5 5 5 1 125 números ímpares com 4 algarismos escolhidos dentre os

elementos do conjunto A. [02] Correto. Podemos escolher o algarismo das unidades de quatro maneiras. Definido o algarismo das unidades, os

outros quatro algarismos serão os elementos que restam de A. Portanto, o resultado é 44 P 4 4! 96.

[04] Incorreto. Existem quatro escolhas para o algarismo das unidades, e cinco escolhas para os algarismos das

dezenas e das centenas. Desse modo, pelo PFC, podem ser formados 4 5 5 100 números pares de 3

algarismos com elementos do conjunto A.

[08] Incorreto. Podemos formar 55 números de cinco algarismos,

45 números de quatro algarismos, 35 números de

três algarismos, 25 números de dois algarismos e 5 números de um algarismo. Portanto, é possível formar

exatamente

52 3 4 5 5 1

5 5 5 5 5 5 39055 1

números menores do que 100.000 com elementos do conjunto A.

[16] Correto. Temos 5 números com um algarismo, 5 4 20 números com dois algarismos e 2 4 3 24 números

com três algarismos, totalizando 5 20 24 49 números com elementos distintos de A e menores do que 350.

45-

a) 6.5.4.3.2.1 = 720.

b) Começando com 1: 5! = 120 Começando com 2: 5! = 120 Começando com 3: 5! = 120 Logo, o primeiro número que começa por quatro ocupa a 361ª posição. c)

A posição do primeiro número que termina em 2 é a trigésima quarta, pois 24 6 2 1 1 34.

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

46- [D]. Dos 60 números que podemos formar, apenas 132, 234,312,324,342,354, 432 e 534 são divisíveis por 6.

Logo, o resultado pedido é 8.

47- 02 + 08 = 10.

[01] Falsa, pois 5 5 4 = 100 > 60. [02] Verdadeira, pois 5 4 3 = 60. [04] Falsa, pois 9 8 7 (todas as senhas possíveis) – 4 3 2 (senhas formadas apenas por letras) – 5 4 3 (senhas formadas apenas por algarismos) = 420. [08] Verdadeira, pois 9 8 7 = 504.

48- [A]

Sabendo que cada letra maiúscula difere da sua correspondente minúscula, há 2 26 10 62 possibilidades para

cada dígito da senha. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue-se que existem 662 senhas possíveis de

seis dígitos.

Analogamente, no sistema antigo existiam 610 senhas possíveis de seis dígitos.

Em consequência, a razão pedida é

6

6

62.

10

49- 02 + 08 + 16 + 32 = 58.

01) Falsa. 2 2

2 5 2 6 2 5 2 6 20 10 4 6, pois 20 =10 4 6,25 > 10 4 6

02) Verdadeira. 5 4

2 31x x 1 0

4

para 2 1 1 1

x 0 x4 2 2

04) Falsa.

4 2 51 1

0,999... 0,444... 5 99 1659 3 342 42 1411 0,424242... 3 141 141

1 199 99 99

08) Verdadeira, pois todos os elementos do conjunto {12, 2

2, 3

2, ..., 999

2, 1000

2} pertencem ao intervalo [1,1000000].

16) Verdadeira. Observe o triângulo abaixo.

Efetuando o produto dos resultados dos produtos indicados pelas setas, temos: (10!).(10!).10!).(10!).(10!).10!).(10!).(10!).10!).(10!).(10!) = (10!)

11

32) Verdadeira. Partindo da desigualdade válida (a – b)

2 0, temos:

2 2 2 2 a ba 2ab b 0 a b 2.ab 0

b a

50- [A]

Total de placas possíveis no modelo em estudo: 264 10

3

Total de placas possíveis no modelo atual: 263 10

4

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

Razão entre os dois valores:

4 3

3 4

26 .102,6.

26 .10

Portanto, o aumento será de 2,6 – 1 = 1,6 (160%), ou seja, menos que o dobro.

51- Possíveis compras (o produto das quantidades deve ser 20)

1 calça e 20 camisas: 110 20 65 1410 (maior que 800)

2 calças e 10 camisas: 2 110 10 65 870 (maior que 800)

4 calças e 5 camisas: 4 110 5 65 765 (menor que 800)



20 calças e 1 camisa: 20 110 1 65 2265 (maior que 800)

Logo, a pessoa comprará 4 calças e 5 camisas.

52- [E]

Temos duas sequências possíveis (I = interior e L = litoral) I L I L I L I L I L I L ou L I L I L I L I L I L I Em números, temos: 2.6.6.5.5.4.4.3.3.2.2.1.1 = 2.6

2.5

2.4

2.3

2.2

2 = 2

9.3

4.5

2.

53- Sem resposta.

Gabarito Oficial: [D] Gabarito SuperPro®: Sem resposta.

Existem 5 modos de escolher um símbolo, 10 10 10 1000 modos de escolher três algarismos e 18 18 324

modos de escolher duas consoantes.

Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, existem 5 1000 324 1620000 senhas possíveis.

Em consequência, o tempo máximo para descobrir a senha é igual a 1620000 0,005 8100 segundos, ou seja,

135 minutos.

Observações: 1ª) Aparentemente o examinador falhou ao não mencionar no enunciado que os algarismos e as consoantes deveriam

ser distintas. Nessas condições, o número total de senhas seria 1101600, e o tempo máximo para descobrir a senha

1101600 0,005 5508 segundos, isto é, 91min e 48 s.

2ª) Após o novo acordo ortográfico da Língua Portuguesa, o Y é considerado como vogal e o W é considerado como consoante ou vogal, conforme o uso.

54- Temos 5 possibilidades para escolher a cor do retângulo vertical, 4 para escolher a cor do primeiro retângulo

horizontal, 3 para escolher a cor do segundo retângulo horizontal e 3 para escolher a cor do terceiro retângulo

horizontal.

Portanto, pelo PFC, existem, no máximo, 5 4 3 3 180 sugestões diferentes que podem ser apresentadas pelos

servidores e alunos. 55- [A]

Temos 13 conjuntos de quatro valores iguais e para cada um destes conjuntos temos 48 (52 – 4) cartas distintas. Logo, 48 . 13 = 624.

de 24 - 12/07/2014 - 6:00

56- [B]

Há 3 escolhas para a cor da pedra que ficará no vértice A. Além disso, podem ocorrer dois casos em relação às

pedras que ficarão nos vértices B e D : (i) as cores das pedras em B e D são iguais; (ii) as cores das pedras em B e

D são distintas.

Portanto, as configurações possíveis são: (A, B, C, D) (3,1, 2,1) e (A, B, C, D) (3, 2,1,1), o que corresponde a

3 1 2 1 3 2 1 1 12 joias distintas.

57- [D]

O número de senhas com 5 algarismos é 510 e o número de senhas com 6 algarismos é

610 . Desse modo, o aumento

percentual da segurança foi de

6 5 5

5 5

10 10 10 (10 1)100% 100%

10 10

900%.

MCS/1406/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA - 2a SERIE - ENSINO MEDIO - 2a ETAPA - 2014 – CLAUDIO DIAS - PARTE 1.DOC

professor: cláudio dias -...

Documents