Classes Laterais

Prof. Marcio Nascimentomarcio@matematicauva.org

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica

Disciplina: Estruturas Algebricas II - 2014.2

23 de marco de 2015

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Classes Laterais

Teorema (Classe Lateral a esquerda)

Seja H um subgrupo de G e considere a relacao ∼E definida em Gpor

a ∼E b ⇐⇒ a−1b ∈ H

Tal relacao, e uma Relacao de Equivalencia em G .

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Prova do Teorema

Devemos verificar a Reflexividade, Simetria e Transitividade darelacao ∼E .

Seja a ∈ G . Entao a−1a = e ∈ H, isto e, a ∼E a.

Sejam a, b ∈ G tais que a ∼E b. Entao a−1b ∈ H, sendoH ≤ G .

Daı, (a−1b)−1 tambem esta em H, ou seja b−1a ∈ H eportanto b ∼E a

Sejam a, b, c ∈ G tais que a ∼E b e b ∼E c . Entaoa−1b, b−1c ∈ H.

Sendo H um subgrupo, temos que (a−1b)(b−1c) ∈ H, isto e,a−1c ∈ H e a ∼E c .

�

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Prova do Teorema

Devemos verificar a Reflexividade, Simetria e Transitividade darelacao ∼E .

Seja a ∈ G . Entao a−1a = e ∈ H, isto e, a ∼E a.

Sejam a, b ∈ G tais que a ∼E b. Entao a−1b ∈ H, sendoH ≤ G .

Daı, (a−1b)−1 tambem esta em H, ou seja b−1a ∈ H eportanto b ∼E a

Sejam a, b, c ∈ G tais que a ∼E b e b ∼E c . Entaoa−1b, b−1c ∈ H.

Sendo H um subgrupo, temos que (a−1b)(b−1c) ∈ H, isto e,a−1c ∈ H e a ∼E c .

�

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Prova do Teorema

Devemos verificar a Reflexividade, Simetria e Transitividade darelacao ∼E .

Seja a ∈ G . Entao a−1a = e ∈ H, isto e, a ∼E a.

Sejam a, b ∈ G tais que a ∼E b. Entao a−1b ∈ H, sendoH ≤ G .

Daı, (a−1b)−1 tambem esta em H, ou seja b−1a ∈ H eportanto b ∼E a

Sejam a, b, c ∈ G tais que a ∼E b e b ∼E c . Entaoa−1b, b−1c ∈ H.

Sendo H um subgrupo, temos que (a−1b)(b−1c) ∈ H, isto e,a−1c ∈ H e a ∼E c .

�

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Prova do Teorema

Devemos verificar a Reflexividade, Simetria e Transitividade darelacao ∼E .

Seja a ∈ G . Entao a−1a = e ∈ H, isto e, a ∼E a.

Sejam a, b ∈ G tais que a ∼E b. Entao a−1b ∈ H, sendoH ≤ G .

Daı, (a−1b)−1 tambem esta em H, ou seja b−1a ∈ H eportanto b ∼E a

Sejam a, b, c ∈ G tais que a ∼E b e b ∼E c . Entaoa−1b, b−1c ∈ H.

Sendo H um subgrupo, temos que (a−1b)(b−1c) ∈ H, isto e,a−1c ∈ H e a ∼E c .

�

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Prova do Teorema

Devemos verificar a Reflexividade, Simetria e Transitividade darelacao ∼E .

Seja a ∈ G . Entao a−1a = e ∈ H, isto e, a ∼E a.

Sejam a, b ∈ G tais que a ∼E b. Entao a−1b ∈ H, sendoH ≤ G .

Daı, (a−1b)−1 tambem esta em H, ou seja b−1a ∈ H eportanto b ∼E a

Sejam a, b, c ∈ G tais que a ∼E b e b ∼E c . Entaoa−1b, b−1c ∈ H.

Sendo H um subgrupo, temos que (a−1b)(b−1c) ∈ H, isto e,a−1c ∈ H e a ∼E c .

�

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Prova do Teorema

Devemos verificar a Reflexividade, Simetria e Transitividade darelacao ∼E .

Seja a ∈ G . Entao a−1a = e ∈ H, isto e, a ∼E a.

Sejam a, b ∈ G tais que a ∼E b. Entao a−1b ∈ H, sendoH ≤ G .

Daı, (a−1b)−1 tambem esta em H, ou seja b−1a ∈ H eportanto b ∼E a

Sejam a, b, c ∈ G tais que a ∼E b e b ∼E c . Entaoa−1b, b−1c ∈ H.

Sendo H um subgrupo, temos que (a−1b)(b−1c) ∈ H, isto e,a−1c ∈ H e a ∼E c .

�

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Classes de Equivalencia geradas por ∼E

Se ∼E e uma Relacao de Equivalencia em G , entao ∼E particionao grupo G . Vejamos as classes!

Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam coma?

a = {x ∈ G ; x ∼E a}a = {x ∈ G ; a−1x ∈ H}a = {x ∈ G ; a−1x = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ah,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por aH e a chamaremos ClasseLateral a Esquerda de H contendo a.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼E

Se ∼E e uma Relacao de Equivalencia em G , entao ∼E particionao grupo G . Vejamos as classes!

Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam coma?

a = {x ∈ G ; x ∼E a}a = {x ∈ G ; a−1x ∈ H}a = {x ∈ G ; a−1x = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ah,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por aH e a chamaremos ClasseLateral a Esquerda de H contendo a.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼E

Se ∼E e uma Relacao de Equivalencia em G , entao ∼E particionao grupo G . Vejamos as classes!

Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam coma?

a = {x ∈ G ; x ∼E a}

a = {x ∈ G ; a−1x ∈ H}a = {x ∈ G ; a−1x = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ah,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por aH e a chamaremos ClasseLateral a Esquerda de H contendo a.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼E

Se ∼E e uma Relacao de Equivalencia em G , entao ∼E particionao grupo G . Vejamos as classes!

Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam coma?

a = {x ∈ G ; x ∼E a}a = {x ∈ G ; a−1x ∈ H}

a = {x ∈ G ; a−1x = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ah,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por aH e a chamaremos ClasseLateral a Esquerda de H contendo a.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼E

Se ∼E e uma Relacao de Equivalencia em G , entao ∼E particionao grupo G . Vejamos as classes!

Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam coma?

a = {x ∈ G ; x ∼E a}a = {x ∈ G ; a−1x ∈ H}a = {x ∈ G ; a−1x = h, para algum h ∈ H}

a = {x ∈ G ; x = ah,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por aH e a chamaremos ClasseLateral a Esquerda de H contendo a.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼E

Se ∼E e uma Relacao de Equivalencia em G , entao ∼E particionao grupo G . Vejamos as classes!

Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam coma?

a = {x ∈ G ; x ∼E a}a = {x ∈ G ; a−1x ∈ H}a = {x ∈ G ; a−1x = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ah,para algum h ∈ H}

Denotaremos esta classe por aH e a chamaremos ClasseLateral a Esquerda de H contendo a.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼E

Se ∼E e uma Relacao de Equivalencia em G , entao ∼E particionao grupo G . Vejamos as classes!

Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam coma?

a = {x ∈ G ; x ∼E a}a = {x ∈ G ; a−1x ∈ H}a = {x ∈ G ; a−1x = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ah,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por aH e a chamaremos ClasseLateral a Esquerda de H contendo a.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼E

Exemplo

Considere o grupo aditivo dos numeros reais e o subgrupo

H = {2k ; k ∈ Z}. Determine a classe lateral aH sendo a =1

3.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼E

Exemplo

Considere o grupo aditivo Z8 e o subgrupo H =⟨2⟩. Exiba as

classes laterais a esquerda de H.

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Classes Laterais

Teorema (Classe Lateral a direita)

Seja H um subgrupo de G e considere a relacao ∼D definida em Gpor

a ∼D b ⇐⇒ ab−1 ∈ H

Tal relacao, e uma Relacao de Equivalencia em G .

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Classes de Equivalencia geradas por ∼D

Analogamente a relacao ∼E , a relacao ∼D particiona o grupo G .Sao as Classes Laterais a direita de H contendo a.

Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam com apela relacao ∼D?

a = {x ∈ G ; x ∼D a}a = {x ∈ G ; xa−1 ∈ H}a = {x ∈ G ; xa−1 = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ha,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por Ha.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼D

Analogamente a relacao ∼E , a relacao ∼D particiona o grupo G .Sao as Classes Laterais a direita de H contendo a.

Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam com apela relacao ∼D?

a = {x ∈ G ; x ∼D a}a = {x ∈ G ; xa−1 ∈ H}a = {x ∈ G ; xa−1 = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ha,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por Ha.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼D

Analogamente a relacao ∼E , a relacao ∼D particiona o grupo G .Sao as Classes Laterais a direita de H contendo a.

Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam com apela relacao ∼D?

a = {x ∈ G ; x ∼D a}

a = {x ∈ G ; xa−1 ∈ H}a = {x ∈ G ; xa−1 = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ha,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por Ha.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼D

Analogamente a relacao ∼E , a relacao ∼D particiona o grupo G .Sao as Classes Laterais a direita de H contendo a.

Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam com apela relacao ∼D?

a = {x ∈ G ; x ∼D a}a = {x ∈ G ; xa−1 ∈ H}

a = {x ∈ G ; xa−1 = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ha,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por Ha.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼D

Analogamente a relacao ∼E , a relacao ∼D particiona o grupo G .Sao as Classes Laterais a direita de H contendo a.

Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam com apela relacao ∼D?

a = {x ∈ G ; x ∼D a}a = {x ∈ G ; xa−1 ∈ H}a = {x ∈ G ; xa−1 = h, para algum h ∈ H}

a = {x ∈ G ; x = ha,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por Ha.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼D

Analogamente a relacao ∼E , a relacao ∼D particiona o grupo G .Sao as Classes Laterais a direita de H contendo a.

Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam com apela relacao ∼D?

a = {x ∈ G ; x ∼D a}a = {x ∈ G ; xa−1 ∈ H}a = {x ∈ G ; xa−1 = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ha,para algum h ∈ H}

Denotaremos esta classe por Ha.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼D

Analogamente a relacao ∼E , a relacao ∼D particiona o grupo G .Sao as Classes Laterais a direita de H contendo a.

Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam com apela relacao ∼D?

a = {x ∈ G ; x ∼D a}a = {x ∈ G ; xa−1 ∈ H}a = {x ∈ G ; xa−1 = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ha,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por Ha.

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Classes de Equivalencia geradas por ∼D

Exemplo

Exiba as classes laterais a direita do subgrupo 3Z de Z.

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Classes de Equivalencia

Exemplo

Considere o grupo S3, das bijecoes de f : {1, 2, 3} −→ {1, 2, 3}.Verifiquemos as classes laterais a direita e a esquerda

Como ja sabemos, S3 = {f0, f1, f2, f3, f4, f5} e um grupo, onde

f0 =

(1 2 31 2 3

), f1 =

(1 2 31 3 2

), f2 =

(1 2 32 1 3

)

f3 =

(1 2 32 3 1

), f4 =

(1 2 33 1 2

), f5 =

(1 2 33 2 1

)Encontremos o subgrupo de S3 gerado por f1.

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Classes de Equivalencia

Exemplo

Considere o grupo S3, das bijecoes de f : {1, 2, 3} −→ {1, 2, 3}.Verifiquemos as classes laterais a direita e a esquerda

Como ja sabemos, S3 = {f0, f1, f2, f3, f4, f5} e um grupo, onde

f0 =

(1 2 31 2 3

), f1 =

(1 2 31 3 2

), f2 =

(1 2 32 1 3

)

f3 =

(1 2 32 3 1

), f4 =

(1 2 33 1 2

), f5 =

(1 2 33 2 1

)

Encontremos o subgrupo de S3 gerado por f1.

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Classes de Equivalencia

Exemplo

Considere o grupo S3, das bijecoes de f : {1, 2, 3} −→ {1, 2, 3}.Verifiquemos as classes laterais a direita e a esquerda

Como ja sabemos, S3 = {f0, f1, f2, f3, f4, f5} e um grupo, onde

f0 =

(1 2 31 2 3

), f1 =

(1 2 31 3 2

), f2 =

(1 2 32 1 3

)

f3 =

(1 2 32 3 1

), f4 =

(1 2 33 1 2

), f5 =

(1 2 33 2 1

)Encontremos o subgrupo de S3 gerado por f1.

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Classes de Equivalencia

f1 =

(1 2 31 3 2

)

f1 ◦ f1 =

(1 2 31 3 2

)◦(

1 2 31 3 2

)=

(1 2 31 2 3

)Portanto, H = 〈f1〉 = {f0, f1} e um subgrupo de G = S3.

Vamos determinar aH e Ha onde a = f2.

aH = {ah ; h ∈ H} = {f2 ◦ e, f2 ◦ f1} = {f2, f3}Ha = {ha ; h ∈ H} = {e ◦ f2, f1 ◦ f2} = {f2, f4}Conclusao: nem sempre ocorre aH = Ha!

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Classes de Equivalencia

f1 =

(1 2 31 3 2

)

f1 ◦ f1 =

(1 2 31 3 2

)◦(

1 2 31 3 2

)=

(1 2 31 2 3

)

Portanto, H = 〈f1〉 = {f0, f1} e um subgrupo de G = S3.

Vamos determinar aH e Ha onde a = f2.

aH = {ah ; h ∈ H} = {f2 ◦ e, f2 ◦ f1} = {f2, f3}Ha = {ha ; h ∈ H} = {e ◦ f2, f1 ◦ f2} = {f2, f4}Conclusao: nem sempre ocorre aH = Ha!

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Classes de Equivalencia

f1 =

(1 2 31 3 2

)

f1 ◦ f1 =

(1 2 31 3 2

)◦(

1 2 31 3 2

)=

(1 2 31 2 3

)Portanto, H = 〈f1〉 = {f0, f1} e um subgrupo de G = S3.

Vamos determinar aH e Ha onde a = f2.

aH = {ah ; h ∈ H} = {f2 ◦ e, f2 ◦ f1} = {f2, f3}Ha = {ha ; h ∈ H} = {e ◦ f2, f1 ◦ f2} = {f2, f4}Conclusao: nem sempre ocorre aH = Ha!

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Classes de Equivalencia

f1 =

(1 2 31 3 2

)

f1 ◦ f1 =

(1 2 31 3 2

)◦(

1 2 31 3 2

)=

(1 2 31 2 3

)Portanto, H = 〈f1〉 = {f0, f1} e um subgrupo de G = S3.

Vamos determinar aH e Ha onde a = f2.

aH = {ah ; h ∈ H} = {f2 ◦ e, f2 ◦ f1} = {f2, f3}Ha = {ha ; h ∈ H} = {e ◦ f2, f1 ◦ f2} = {f2, f4}Conclusao: nem sempre ocorre aH = Ha!

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Classes de Equivalencia

f1 =

(1 2 31 3 2

)

f1 ◦ f1 =

(1 2 31 3 2

)◦(

1 2 31 3 2

)=

(1 2 31 2 3

)Portanto, H = 〈f1〉 = {f0, f1} e um subgrupo de G = S3.

Vamos determinar aH e Ha onde a = f2.

aH = {ah ; h ∈ H} = {f2 ◦ e, f2 ◦ f1} = {f2, f3}

Ha = {ha ; h ∈ H} = {e ◦ f2, f1 ◦ f2} = {f2, f4}Conclusao: nem sempre ocorre aH = Ha!

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Classes de Equivalencia

f1 =

(1 2 31 3 2

)

f1 ◦ f1 =

(1 2 31 3 2

)◦(

1 2 31 3 2

)=

(1 2 31 2 3

)Portanto, H = 〈f1〉 = {f0, f1} e um subgrupo de G = S3.

Vamos determinar aH e Ha onde a = f2.

aH = {ah ; h ∈ H} = {f2 ◦ e, f2 ◦ f1} = {f2, f3}Ha = {ha ; h ∈ H} = {e ◦ f2, f1 ◦ f2} = {f2, f4}

Conclusao: nem sempre ocorre aH = Ha!

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Classes de Equivalencia

f1 =

(1 2 31 3 2

)

f1 ◦ f1 =

(1 2 31 3 2

)◦(

1 2 31 3 2

)=

(1 2 31 2 3

)Portanto, H = 〈f1〉 = {f0, f1} e um subgrupo de G = S3.

Vamos determinar aH e Ha onde a = f2.

aH = {ah ; h ∈ H} = {f2 ◦ e, f2 ◦ f1} = {f2, f3}Ha = {ha ; h ∈ H} = {e ◦ f2, f1 ◦ f2} = {f2, f4}Conclusao: nem sempre ocorre aH = Ha!

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Igualdade entre as classes laterais

Teorema

Quando G e um grupo abeliano, entao aH = Ha para qualquersubgrupo H de G. Neste caso, falaremos apenas em ClassesLaterais de H contendo a.

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Exemplos

Pelo que ja vimos anteriormente:

G = (R,+) e H = 2Z: sendo G abeliano, 13 H = H 1

3 .

G = (Z8,+) e H =⟨2⟩: aH = Ha para todo a ∈ Z8.

G = (Z,+) e H = 3Z: aH = Ha para todo a ∈ Z.

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Exemplos

Pelo que ja vimos anteriormente:

G = (R,+) e H = 2Z: sendo G abeliano, 13 H = H 1

3 .

G = (Z8,+) e H =⟨2⟩: aH = Ha para todo a ∈ Z8.

G = (Z,+) e H = 3Z: aH = Ha para todo a ∈ Z.

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Exemplos

Pelo que ja vimos anteriormente:

G = (R,+) e H = 2Z: sendo G abeliano, 13 H = H 1

3 .

G = (Z8,+) e H =⟨2⟩: aH = Ha para todo a ∈ Z8.

G = (Z,+) e H = 3Z: aH = Ha para todo a ∈ Z.

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Exemplos

Pelo que ja vimos anteriormente:

G = (R,+) e H = 2Z: sendo G abeliano, 13 H = H 1

3 .

G = (Z8,+) e H =⟨2⟩: aH = Ha para todo a ∈ Z8.

G = (Z,+) e H = 3Z: aH = Ha para todo a ∈ Z.

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Exemplo

Exemplo

Encontre a particao de (Z6,+) em classes laterais do subgrupoH = {0, 3}

Para a = 0: aH = 0 + H = {0, 3}.Para a = 1: aH = 1 + H = {1, 4}.Para a = 2: aH = 2 + H = {2, 5}.(0 + H) ∪ (1 + H) ∪ (2 + H) = Z6

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Exemplo

Exemplo

Encontre a particao de (Z6,+) em classes laterais do subgrupoH = {0, 3}

Para a = 0: aH = 0 + H = {0, 3}.

Para a = 1: aH = 1 + H = {1, 4}.Para a = 2: aH = 2 + H = {2, 5}.(0 + H) ∪ (1 + H) ∪ (2 + H) = Z6

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Exemplo

Exemplo

Encontre a particao de (Z6,+) em classes laterais do subgrupoH = {0, 3}

Para a = 0: aH = 0 + H = {0, 3}.Para a = 1: aH = 1 + H = {1, 4}.

Para a = 2: aH = 2 + H = {2, 5}.(0 + H) ∪ (1 + H) ∪ (2 + H) = Z6

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Exemplo

Exemplo

Encontre a particao de (Z6,+) em classes laterais do subgrupoH = {0, 3}

Para a = 0: aH = 0 + H = {0, 3}.Para a = 1: aH = 1 + H = {1, 4}.Para a = 2: aH = 2 + H = {2, 5}.

(0 + H) ∪ (1 + H) ∪ (2 + H) = Z6

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Exemplo

Exemplo

Encontre a particao de (Z6,+) em classes laterais do subgrupoH = {0, 3}

Para a = 0: aH = 0 + H = {0, 3}.Para a = 1: aH = 1 + H = {1, 4}.Para a = 2: aH = 2 + H = {2, 5}.(0 + H) ∪ (1 + H) ∪ (2 + H) = Z6

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Teorema de Lagrange

Teorema (Lagrange)

Seja H um subgrupo de um grupo finito G . Entao, a ordem de He um divisor da ordem de G .

Sendo G finito, segue que aH ou Ha tem o mesmo numero deelementos de H, digamos, k;

Como vimos, G = a1H ∪ a2H ∪ ... ∪ arH (uniao disjunta);

Portanto, se n e a ordem de G , entao n = r .k.

Conclusao: k |n.

�

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Teorema de Lagrange

Teorema (Lagrange)

Seja H um subgrupo de um grupo finito G . Entao, a ordem de He um divisor da ordem de G .

Sendo G finito, segue que aH ou Ha tem o mesmo numero deelementos de H, digamos, k;

Como vimos, G = a1H ∪ a2H ∪ ... ∪ arH (uniao disjunta);

Portanto, se n e a ordem de G , entao n = r .k.

Conclusao: k |n.

�

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Teorema de Lagrange

Teorema (Lagrange)

Seja H um subgrupo de um grupo finito G . Entao, a ordem de He um divisor da ordem de G .

Sendo G finito, segue que aH ou Ha tem o mesmo numero deelementos de H, digamos, k;

Como vimos, G = a1H ∪ a2H ∪ ... ∪ arH (uniao disjunta);

Portanto, se n e a ordem de G , entao n = r .k.

Conclusao: k |n.

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Teorema de Lagrange

Teorema (Lagrange)

Seja H um subgrupo de um grupo finito G . Entao, a ordem de He um divisor da ordem de G .

Sendo G finito, segue que aH ou Ha tem o mesmo numero deelementos de H, digamos, k;

Como vimos, G = a1H ∪ a2H ∪ ... ∪ arH (uniao disjunta);

Portanto, se n e a ordem de G , entao n = r .k.

Conclusao: k |n.

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Teorema de Lagrange

Teorema (Lagrange)

Seja H um subgrupo de um grupo finito G . Entao, a ordem de He um divisor da ordem de G .

Sendo G finito, segue que aH ou Ha tem o mesmo numero deelementos de H, digamos, k;

Como vimos, G = a1H ∪ a2H ∪ ... ∪ arH (uniao disjunta);

Portanto, se n e a ordem de G , entao n = r .k.

Conclusao: k |n.

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