princípio de cavalieri -...

Princıpio de Cavalieri

Prof. Marcio [email protected]

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica

Disciplina: Geometria Espacial - 2014.2

27 de abril de 2015

Importante: a aula a seguir foi preparada a partir da dissertacaoKariton Pereira Lula (2013, UFG) intitulada “Aplicacoes do

Princıpio de Cavalieri ao Calculo de Volumes e Areas”

Ideia intuitiva de volume

Sumario

1 Ideia intuitiva de volume

2 Paralelepıpedo

3 Princıpio de Cavalieri

4 Prisma

5 Cilindro

6 Piramide

7 Cone

1 Euclides (300 a.C.) trata de volumes no livro XII dos“Elementos”.

2 Ele sabia calcular volume de prismas, cilindros, cones epiramides, mas nao apresentou uma expressao para o volumeda esfera.

3 Arquimedes (meados de 200 a.C.) foi o primeiro a efetuar comrigor e elegancia o calculo do volume da esfera (“Superfıcie eVolume do Cilindro e da Esfera”).

4 Eram metodos bastante trabalhosos... Hoje, o metodo maiseficiente utilizado e o calculo (integracao).

O Calculo

1 O Calculo foi desenvolvido na segunda metade do seculo XVIIpor Newton e Leibniz a partir dos trabalhos de Fermat eDescartes.

2 No entanto, Arquimedes e considerado o precursor dosmetodos infinitesimais que conduziram a nocao de integral.

3 Padre italiano Bonaventura Cavalieri (seculo XVII), discıpulode Galileu: “Geometria dos Indivisıveis”.

4 As ideias de Cavalieri exerceram forte influencia no trabalhode Leibniz e alguma influencia no trabalho de Newton.

O Calculo

Ideia intuitiva de Volume

O que e o volume de um solido?

1 Volume

Volume de um solido: exprimir a “quantidade de espaco”que umsolido ocupa, atraves de um numero real positivo.

2 Para isso, devemos comparar esse espaco ocupado com umacerta unidade.

3 Unidade de medida: Consideremos uma cubo de aresta 1unidade de comprimento. O chamaremos de cubo unitario.

1 Volume

Paralelepıpedo

Sumario

2 Paralelepıpedo

4 Prisma

5 Cilindro

6 Piramide

7 Cone

Paralelepıpedo

Volume do Paralelepıpedo

Paralelepıpedo

Solido cujas faces sao paralelogramos. Sao seis faces e para cadauma delas, existe uma outra identica e paralela.

1 Todo paralelepıpedo reto retangulo fica perfeitamentedeterminado por tres medidas: seu comprimento (a), sualargura (b) e sua altura (c).

2 Os numeros reais positivos a,b e c sao as dimensoes doparalelepıpedo.

3 Cubo: um caso particular de paralelepıpedo.

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.

1 1o Caso: Se a ∈ N, entao o cubo de aresta a contem a3

cubos unitarios. Portanto, o volume do cubo de aresta a eigual a soma dos volumes dos a3 cubos unitarios.

2 2o Caso: Se a ∈ Q, entao a = p/q onde p, q ∈ N com q 6= 0.

3 Considere um cubo unitario divindo suas arestas em q partesiguais. Isso gera q3 cubos de aresta 1/q. Seja V ′ o volumedesses cubos menores.

4 q3.V ′ = 1. Logo, V ′ =1

e o volume de cada cubo

menor.

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

4 q3.V ′ = 1. Logo, V ′ =1

menor.

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

4 q3.V ′ = 1. Logo, V ′ =1

menor.

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

4 q3.V ′ = 1. Logo, V ′ =1

menor.

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

4 q3.V ′ = 1. Logo, V ′ =1

menor.

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

1 Pensando, agora, em um cubo de aresta p/q, podemosdividı-la em p partes iguais medindo 1/q.

2 Isso gera p3 cubos de aresta 1/q. Portanto, o volume do cubode aresta a sera igual a soma dos volumes desses p3 cubosmenores.

3 Como vimos anteriormente, cada um desses cubos tem

volume

4 Portanto, realizando a soma, o volume do cubo de aresta a

sera p3.

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

volume

sera p3.

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

volume

sera p3.

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

volume

sera p3.

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

volume

sera p3.

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

1 3o Caso: Seja a um numero irracional. Para qualquer x < a3

existe um numero racional r < a, tao proximo de a quanto sequeira, de forma que x < r 3 < a3.

2 Desta forma, o cubo de aresta de aresta r pode ser inseridodentro do cubo de aresta a e, portanto, Vr < Va.

3 Sendo r racional, Vr = r 3. Como x < r 3, segue-se quex < Va.

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

1 3o Caso: Analogamente, para qualquer y > a3 existe umnumero racional s > a, tao proximo de a quanto se queira, deforma que a3 < s3 < y .

2 Entao um cubo de aresta de aresta s contem um cubo dearesta a e, portanto, Va < Vs .

3 Sendo s racional, Vs = s3. Como s3 < y , segue-se queVa < y .

4 Portanto, para quaisquer x , y racionais tais que x < a3 < y ,tem-se x < Va < y . Portanto, Va = a3.

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

Paralelepıpedo

Volume do Cubo

Teorema

Paralelepıpedo

Teorema

O volume de um paralelepıpedo reto retangulo de dimensoesa, b, c ∈ R∗+ e igual a a.b.c .

1 1o Caso: Consideremos que todas as arestas sao numeros

racionais. Entao podemos escrever: a =x

q, b =

q, c =

qonde x , y , z , q ∈ N∗.

2 Podemos, entao, dividir cada uma das arestas em arestas detamanho 1/q.

3 Isso gera x .y .z cubos de aresta 1/q.4 O volume do paralelepıpedo sera o somatorio dos volumes dos

cubos:

V = x .y .z .

q= a.b.c

Paralelepıpedo

Teorema

q, b =

q, c =

cubos:

V = x .y .z .

q= a.b.c

Paralelepıpedo

Teorema

q, b =

q, c =

cubos:

V = x .y .z .

q= a.b.c

Paralelepıpedo

Teorema

q, b =

q, c =

3 Isso gera x .y .z cubos de aresta 1/q.

4 O volume do paralelepıpedo sera o somatorio dos volumes doscubos:

V = x .y .z .

q= a.b.c

Paralelepıpedo

Teorema

q, b =

q, c =

cubos:

V = x .y .z .

q= a.b.c

Paralelepıpedo

Teorema

1 2o Caso: Pelo menos uma das dimensoes e um numeroirracional.

2 Seja x < abc. Existem racionais r , s, t tao proximos de a, b, c(respectivamente) quanto se queira tais quer < a, s < b, t < c e que x < rst < abc.

3 Assim, o paralelepıpedo de dimensoes a, b, c contem umparalelepıpedo de dimensoes r , s, t e x < rst = Vrst < Vabc

4 De maneira analoga, encontramos y de modo que abc < y eVabc < y .

5 Conclusao: x < abc < y e x < Vabc < y implica Vabc = abc.

Paralelepıpedo

Teorema

Paralelepıpedo

Teorema

Paralelepıpedo

Teorema

Paralelepıpedo

Teorema

Paralelepıpedo

Teorema

Sumario

2 Paralelepıpedo

4 Prisma

5 Cilindro

6 Piramide

7 Cone

Se considerarmos dois solidos quaisquer que possuem a mesmaaltura e seccionarmos estes solidos a uma mesma altura qualquer,se as seccoes possuirem sempre a mesma area, concluımos que ovolume destes solidos sao iguais.

[Vıdeo] 3,2,1: Misterio - Matematica Multimıdia/Unicamp

Prisma

Sumario

2 Paralelepıpedo

4 Prisma

5 Cilindro

6 Piramide

7 Cone

Prisma

Volume do Prisma

Prisma

Um prisma e todo poliedro formado por uma face superior e umaface inferior paralelas e congruentes (tambem chamadas bases)ligadas por arestas paralelas entre si. As laterais de um prisma saoparalelogramos.

Prisma

Volume do Prisma

Teorema

O Volume de um prisma qualquer e dado pelo produto da suaaltura pela area de sua base.

1 Considere um prisma de altura h e area dabase A. Seja β o plano no qual a base seapoia.

2 Considere um paralelepıpedo reto retangulode altura h, area da base e A e que tambemse apoia em β.

3 Seja α o plano paralelo a β que secciona ossolidos a uma altura h0 de β.

Prisma

Volume do Prisma

Teorema

Prisma

Volume do Prisma

Teorema

Prisma

Volume do Prisma

Teorema

Prisma

Volume do Prisma

Teorema

1 O plano α produz as secoes A′ e A′′.

2 O paralelepıpedo tambem e um prisma etoda secao feita em prisma paralela a suabase, produz uma figura congruente a base.

3 Portanto, A = A′, A = A′′ e A′ = A′′.

Prisma

Volume do Prisma

Teorema

Prisma

Volume do Prisma

Teorema

Prisma

Volume do Prisma

Teorema

Prisma

Volume do Prisma

Teorema

1 Portanto, pelo Princıpio de Cavalieri, os doissolidos tem o mesmo volume.

2 VPRISMA = VPARALELEPIPEDO = a.b.h = A.h.

Prisma

Volume do Prisma

Teorema

Prisma

Volume do Prisma

Teorema

Cilindro

Sumario

2 Paralelepıpedo

4 Prisma

5 Cilindro

6 Piramide

7 Cone

Cilindro

Volume do Cilindro

Cilindro

Considere uma figura plana, fechada, em um plano α. Seja PQ umsegmento de reta secante ao plano α. Chama-se cilindro a reuniaodos segmentos congruentes e paralelos a PQ com umaextremidade nos pontos da figura plana. O segmento PQ edenominado geratriz do cilindro e sera indicada por g .

1 Um cilindro cuja base e um cırculo, e chamado cilindrocircular.

2 Um cilindro em que a geratriz forma um angulo reto com oplano que contem a base e chamado de cilindro reto, casocontrario o cilindro e dito cilindro oblıquo.

Cilindro

Volume do Cilindro

Cilindro

Volume do Cilindro

Cilindro

Volume do Cilindro

Cilindro

Volume do Cilindro

Todo cilindro circular reto cujageratriz e igual ao diametro dabase sera chamado de cilindroequilatero.

Cilindro

Volume do Cilindro

Teorema

O volume de um cilindro circular e dado pelo produto da area dabase pela altura do cilindro.

1 Basta construir um paralelepıpedo de mesmaaltura que o cilindro e de mesma area debase.

Cilindro

Volume do Cilindro

Teorema

O volume de um cilindro circular e dado pelo produto da area dabase pela altura do cilindro.

1 Basta construir um paralelepıpedo de mesmaaltura que o cilindro e de mesma area debase.

Piramide

Sumario

2 Paralelepıpedo

4 Prisma

5 Cilindro

6 Piramide

7 Cone

Piramide

Volume da Piramide

Piramide

Consideremos um polıgono convexode vertices A1,A2, ...,An situado emum plano α e um ponto V naopertencente a α. Chama-se depiramide a reuniao de todos ossegmentos que tem uma extremidadeem V e a outra em um ponto dopolıgono. O ponto V e chamadovertice da piramide e o polıgonoA1A2 · · ·An e a base da piramide.

Piramide

Volume da Piramide

1 Considere uma piramide de basetriangular ABC , vertice V ealtura H, seccionada por umplano paralelo a base e a umadistancia h do vertice V .

2 Mostremos que os triangulosABC e DEF sao semelhantes.

Piramide

Volume da Piramide

Piramide

Volume da Piramide

Piramide

Volume da Piramide

1 VAB ∼ VDE , pois AB‖DE eAV B = DV E

2 Portanto,VA

3 Aplicando o mesmo raciocınioas outras duas faces dapiramide, temos:

Piramide

Volume da Piramide

2 Portanto,VA

Piramide

Volume da Piramide

2 Portanto,VA

Piramide

Volume da Piramide

2 Portanto,VA

Piramide

Volume da Piramide

DE= k (1)

EF= k (2)

DF= k (3)

2 De (1), (2), (3), temos:

3 Encontremos k em funcao de He h.

Piramide

Volume da Piramide

DE= k (1)

EF= k (2)

DF= k (3)

2 De (1), (2), (3), temos:

Piramide

Volume da Piramide

DE= k (1)

EF= k (2)

DF= k (3)

2 De (1), (2), (3), temos:

Piramide

Volume da Piramide

DE= k (1)

EF= k (2)

DF= k (3)

2 De (1), (2), (3), temos:

Piramide

Volume da Piramide

1 Consideremos os pontos Y naseccao e X na base, ambossobre a perpendicular baixadapelo vertice V .

2 VXB ∼ VXE . Portanto,VX

3 Sendo VXB retangulo em X ,segue-se que VX = H. Pelomesmo motivo, VY = h. Daı,

Piramide

Volume da Piramide

Piramide

Volume da Piramide

Piramide

Volume da Piramide

Piramide

Volume da Piramide

Vejamos a relacao entre as areas da base e da secao.

1 Seja H1 a altura do trianguloABC com respeito ao lado BC .

2 Seja h1 a altura do trianguloDEF com respeito ao lado EF .

3 Entao, H1/h1 = k = H/K .

4 Alem disso, AABC =1

2BC .H1 e

ADEF =1

2EF .h1

5 Daı,AABC

Piramide

Volume da Piramide

3 Entao, H1/h1 = k = H/K .

2BC .H1 e

ADEF =1

2EF .h1

5 Daı,AABC

Piramide

Volume da Piramide

3 Entao, H1/h1 = k = H/K .

2BC .H1 e

ADEF =1

2EF .h1

5 Daı,AABC

Piramide

Volume da Piramide

3 Entao, H1/h1 = k = H/K .

2BC .H1 e

ADEF =1

2EF .h1

5 Daı,AABC

Piramide

Volume da Piramide

3 Entao, H1/h1 = k = H/K .

2BC .H1 e

ADEF =1

2EF .h1

5 Daı,AABC

Piramide

Volume da Piramide

3 Entao, H1/h1 = k = H/K .

2BC .H1 e

ADEF =1

2EF .h1

5 Daı,AABC

Piramide

Volume da Piramide

Teorema

Duas piramides de mesma base emesma altura possuem o mesmovolume.

1 Pelo que vimos anteriormente,

2 Portanto, S1 = S2 e peloPrincıpio de Cavalieri, V1 = V2.

Piramide

Volume da Piramide

Teorema

Piramide

Volume da Piramide

Teorema

Piramide

Volume da Piramide

Portanto, o vertice de uma piramide pode deslocar-se sobre umplano paralelo a sua base e seu volume nao sera alterado!

Piramide

Volume da Piramide

Teorema

O Volume de uma piramide triangular e um terco do produto desua altura pela area de sua base.

1 Considere um prisma triangular de baseABC e altura h. O volume deste prisma edado por V = AABC .h

Piramide

Volume da Piramide

Teorema

O Volume de uma piramide triangular e um terco do produto desua altura pela area de sua base.

1 Considere um prisma triangular de baseABC e altura h. O volume deste prisma edado por V = AABC .h

Piramide

Volume da Piramide

Este prisma pode ser dividido em tres piramides triangulares,conforme a figura abaixo:

Piramide

Volume da Piramide

1 Observe que AABC = AA′B′C ′

2 Portanto, V1 = V3.3 V1 = V2, pois AAA′C ′ = AACC ′ e considerando B ′ como

vertice, as piramides tem a mesma altura.4 Sendo V1 = V2 = V3, segue-se que VPRISMA = 3.V3, isto e,

V3 = VPIRAMIDE =1

3.AABC .h.

Piramide

Volume da Piramide

V3 = VPIRAMIDE =1

3.AABC .h.

Piramide

Volume da Piramide

2 Portanto, V1 = V3.

3 V1 = V2, pois AAA′C ′ = AACC ′ e considerando B ′ comovertice, as piramides tem a mesma altura.

4 Sendo V1 = V2 = V3, segue-se que VPRISMA = 3.V3, isto e,

V3 = VPIRAMIDE =1

3.AABC .h.

Piramide

Volume da Piramide

vertice, as piramides tem a mesma altura.

4 Sendo V1 = V2 = V3, segue-se que VPRISMA = 3.V3, isto e,

V3 = VPIRAMIDE =1

3.AABC .h.

Piramide

Volume da Piramide

V3 = VPIRAMIDE =1

3.AABC .h.

Piramide

Volume da Piramide

Teorema

O Volume de uma piramide qualquer e um terco do produto desua altura pela area de sua base.

1 Basta observar que qualquer piramide podeser dividida em piramides de base triangular.

2 Seja h a altura e suponha que a base podeser divida em n triangulos. Entao,

3A1.h +

3A2.h + ...+

3 V =1

3(A1 + A2 + ...+ An).h =

Piramide

Volume da Piramide

Teorema

3A1.h +

3A2.h + ...+

3 V =1

3(A1 + A2 + ...+ An).h =

Piramide

Volume da Piramide

Teorema

3A1.h +

3A2.h + ...+

3 V =1

3(A1 + A2 + ...+ An).h =

Piramide

Volume da Piramide

Teorema

3A1.h +

3A2.h + ...+

3 V =1

3(A1 + A2 + ...+ An).h =

Sumario

2 Paralelepıpedo

4 Prisma

5 Cilindro

6 Piramide

7 Cone

Volume do Cone

Consideremos uma curva fechada C em um plano α e um ponto Vnao pertencente a α. Chama-se de cone a reuniao de todos ossegmentos que tem uma extremidade em V e a outra em um pontode C . O ponto V e chamado vertice e a curva C e a base do cone.

Volume do Cone

1 Os cones podem ser classificados em retos, quando o seu eixocentral e perpendicular ao plano que contem a base, ouoblıquos, caso contrario.

2 Os elementos principais de um cone circular reto sao: geratriz(g), raio da base (r) e altura (h). Quando a geratriz e igual aodiametro da base ele sera chamado de cone equilatero.

Volume do Cone

Teorema

O Volume de um cone e um terco do produto de sua altura pelaarea de sua base.

1 Dado um cone de altura H, consideremos uma piramidequalquer tambem de altura H e com area da base igual a areada base do cone. Considere ambos sobre um mesmo plano.

2 Se um plano paralelo ao que contem as bases intersectar ossolidos a uma altura h dos vertices, obtemos as figuras deareas A1 e A2.

Volume do Cone

Teorema

Volume do Cone

Teorema

Volume do Cone

Teorema

1 As regioes A e A2 sao circunferencias de raioR e r respectivamente.

2 Tracando a perpendicular VB do cone,

temos VBC ∼ VDE , isto e,H

r3 Em relacao as areas, temos:

A2=πR2

πr 2=

Volume do Cone

Teorema

A2=πR2

πr 2=

Volume do Cone

Teorema

3 Em relacao as areas, temos:

A2=πR2

πr 2=

Volume do Cone

Teorema

A2=πR2

πr 2=

Volume do Cone

Teorema

1 Com relacao a piramide, ja tınhamos visto

2 Portanto, A1 = A2.

3 Pelo Princıpio de Cavalieri, o volume doCone e igual ao volume da piramide, isto e,1

Volume do Cone

Teorema

Volume do Cone

Teorema

Volume do Cone

Teorema

princípio de cavalieri -...

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