AJUSTE DE CURVASProfessores

André FernandoAndré Cavalieri

Feita a Calibração...

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Força de Arrasto (N ewtons)

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Ajuste de CurvasDiversos métodos:

Método dos mínimos quadrados;Método das médias móveis;Polinômios interpoladores;

Diversos tipos de curvas:Polinômios (inclusive o caso linear);Exponencial;Logarítmico;Potência;Etc...

Método dos Mínimos Quadrados: Caso LinearSeja um conjunto de

pontos obtidos experimen-talmente. Deseja-se encontrar a reta que torne mínima a seguinte quanti-dade:

Tal método é conhecido como Método dos Mínimos Qua-drados.

O Modelo de Regressão Linear SimplesExistem parâmetros a, b e tais

que , para qualquer valor fixo da varável independente x, a variavel dependente está relacionada a x por meio da equação do modelo:

A quantidade na equação do modelo é uma variável aleatória, considerada normalmente distribuida com Tal variável é chamada de desvio aleatório ou erro aleatório do modelo.

Estimando os Parâmetros do ModeloParâmetros

â

Os parâmetros do modelos devem ser determinados de forma a minimizar a soma dos quadrados dos erros (SQE) através do Métodos dos Mínimos Quadrados.A dedução dessas formulas foi feita em MAT-27/MAT-22 e complementada por MOQ-13.Obtem-se, assim, as fórmulas mostradas ao lado:

Inferências sobre o Coeficiente Angular Com frequência, o coeficiente angular b é a meta final de

toda a análise de regressão (coeficiente de calibração); Pode-se mostrar que (Ver Devore Seção 12,3):

Visto que o valor obtido pelo MMQ a partir de uma amostra é apenas uma estimativa do valor do coeficiente angular da reta de regressão populacional, a mesma distribui-se como uma t de Student com n-2 graus de liberdade;

Assim, um Intervalo de Confiança de para o coeficiente angular a da reta de regressão real é:

Inferências sobre o Coeficiente LinearÉ exatamente análoga ao que já foi

apresentado acerca do coeficiente angular:

A variável distribui-se como uma t de Student com n-2 graus de liberdade.

Assim, um Intervalo de Confiança de para o coeficiente linear a da reta de regressão real é:

Inferências sobre valores o valor da função de calibração Da mesma forma que o erro associados aos parâmetros da melhor reta

recai sobre uma distribuição t de Student, a previsão de valores futuros de y a partir da melhor reta também obedece a mesma distribuição com os mesmos n-2 graus de liberdade;

Visto que o processo de amostragem é finito, a forma como os pontos de calibração são escolhidos influencia o resultado final;

Após algum algebrismo (Ver Seção 12.4 do Devore) obtém-se a seguinte expressão para o erro do valor de estimada:

Assim, um Intervalo de Confiança de para um valor de y estimado a partir de uma reta de regressão real é:

Inferências sobre valores futuros de y É razoável esperar que os pontos

experimentais estejam dispersos em torno dessa melhor reta. Essa dispersão é maior do que a dispersão da reta em si. Assim, após algum algebrismo (Ver Seção 12.4 do Devore) obtém-se a seguinte expressão para o erro da variável y estimada:

Uma aplicação importante dessa equação é na aplicação do critério de Chauvenet.

Verificando a Viabilidade do ModeloIMPORTANTE!!!!

Antes de continuar a análise dos dados, é importante verificar se o modelo probabilístico linear é plausível ;

Se os pontos não tenderem a se agrupar ao redor de uma reta com aproximadamente o mesmo grau de dispersão para todo x, devem ser investigados outros modelos;

Uma forma analítica de verificar a compatibilidade dos dados com o modelo linear (ou qualquer outro modelo, com a devida adaptação) é através do Coeficiente de Determinação .

Uma forma de verificar a dispersão dos pontos é usando um gráfico de resíduos padronizado.

Resíduos padronizadosAnalisa a dispersão dos pontos em torno da

curva ajustada

O Coeficiente de Determinação Qual porção da variabilidade

de y pode ser atribuida ao fato de que x e y estão relacionados linearmente? Quão bem o meu modelo é capaz de explicar a variabilidade de y a partir do modelo linear proposto?

A soma dos quadrados dos erros SQE pode ser interpretada como uma medida da quantidade de variação em y deixada inexplicada pelo modelo, ou seja, que não pode ser atribuido a uma relação linear.

Uma medida quantitativa da quantidade total de variação nos valores observados de y é dada pela soma total dos quadrados (SQT).

O Coeficiente de Determinação Por fim, o Coeficiente de Correlação é interpretado como a proporção da

variação de y observada que pode ser explicada pelo modelo de regressão proposto. A saber:

Quanto mais próximo de 1, melhor a aproximação alcançada pelo modelo. Se o coeficiente for muito pequeno é aconselhável buscar modelos que melhor se adaptem aos resultados.

Uma variação importante desse coeficiente é o coeficiente ajustado (frequentemente representado com uma barra). A correção proposta tenta levar em consideração o numero de parâmetros estimados pelo modelo de forma que, diferentemente de , seu valor ajustados só cresça se a introdução de um novo parâmetro aprimorar o modelo mais do que o que seria esperado por “sorte”. É uma parâmetro muito importante de comparação entre modelos.

n é o número de pontos amostrados e p o número de parâmetros calculados pelo modelo.