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Como Arquimedes Utilizou a Lei da Alavanca

para Calcular o Volume de uma Esfera

www.ifi.unicamp.br/~assis

André K. T. Assis

Instituto de Física

UNICAMP

Arquimedes e a Lei da Alavanca

ou

• Nascimento em Siracusa, atual Itália.

• Filho do astrônomo Fidias.

• Muitos trabalhos enviados para Alexandria.

(biblioteca de ~ 300 a. C. até ~ 400 d. C.)

• Participou da defesa de Siracusa, então aliada de Cartago contra Roma.

• Obra Sobre o Equilíbrio dos Planos: Lei da alavanca e cálculo de centros de gravidade.

• Obra Sobre os Corpos Flutuantes: Lei do empuxo ou princípio de Arquimedes. Equilíbrio de corpos na água.

Arquimedes (287-212 a. C.)

2

3

Euclides, Os Elementos (~ 300 a.C.)

1

2

1

2

D

D

C

C=

2

1

2

1

2

=

D

D

A

A

3

1

2

1

2

=

D

D

V

V

Por exemplo, se D2 = 3D1 então

C2 = 3C1, A2 = 9A1 e V2 = 27V1

4

Alguns resultados de Arquimedes

relativos ao círculo (C) e à esfera (E):

rC 2=

14,3 2 rAC =

3

4 3rVE

=

2 4 rAE =

Obra de Arquimedes: Medida do Círculo

Por semelhança de figuras:

=== constante 1

1

2

2

D

C

D

C

Mas constante = = ?5

rrDC 22constante ===

“A razão da circunferência de qualquer círculopara seu diâmetro é maior do que 3 e 10/71 masmenor do que 3 e 1/7.”

1429,3 1408,3 D

C

Inscrevendo e circunscrevendo dois polígonos de 96 ladosem um círculo, Arquimedes provou o seguinte resultado:

...

6

Também no trabalho Medida do Círculo:

( ) 2 2

2

22

r

rrrdsrdsAC

=

=

=

==

...

7

“A área de qualquer círculo é igual a um triânguloretângulo no qual um dos lados ao redor doângulo reto é igual ao raio, e o outro [lado é igual]à circunferência do círculo.”

2 2

2r

rrAC

=

=

8

Outra obra de Arquimedes: Sobre a Esfera e o Cilindro

( )2 4 rAE =

rrVV EC 2 2

3 2 ==

9

“A superfície de esfera é quatro

vezes seu círculo máximo.”

“Todo cilindro cuja base é o

círculo máximo de uma esfera e

cuja altura é igual ao diâmetro

da esfera é 3/2 da esfera.”

3

4 3rVE

=ou

Como Arquimedes descobriu esses resultados?

Obras de Arquimedes

Encontram-se principalmente em textos dosséculos XV e XVI, copiados de dois manuscritos dosséculos IX e X, atualmente perdidos.

O terceiro manuscrito do século IX,encontrado apenas em 1906, é umpalimpsesto. Contém a única versãoconhecida da obra endereçada aEratóstenes com título: O Métododos Teoremas Mecânicos

Heiberg (1854 – 1928)10

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“Grandezas comensuráveis se equilibram emdistâncias inversamente proporcionais a seus pesos.”

A

B

B

A

P

P

d

d=

A lei da alavanca aparece na obra

Sobre o Equilíbrio dos Planos:

Livro disponível em formato PDF emwww.ifi.unicamp.br/~assis

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Na obra O Método dos Teoremas MecânicosArquimedes explicou a Eratóstenes como descobriu o

volume e a área da esfera usando a lei da alavanca:

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=

Círculo Círculo

Círculo

+=

14

Da matemática elementar obteve:

“Postulado 6. Se grandezas seequilibram a certas distâncias,então grandezas equivalentesa estas grandezas seequilibrarão, por sua vez, nasmesmas distâncias.”

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“Todo cilindro cuja base é o

círculo máximo de uma esfera e

cuja altura é igual ao diâmetro da

esfera é 3/2 da esfera.”

3

4 3rVE

=

33

rArdaVV E

CE

=

==

Como:

=

3

4

2 rrVE

Vem: ( )2 4 rAE =

“A superfície de qualquer esfera é quatrovezes seu círculo máximo.”

Área da esfera:

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Dissertação de mestrado de Ceno Pietro

Magnaghi (2011).

Título: Análise e Tradução Comentada da Obra

de Arquimedes Intitulada “Método sobre os

Teoremas Mecânicos”

Disponível em formato PDF em:

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Livros disponíveis emwww.ifi.unicamp.br/~assis

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