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Arquimedes e a Alavanca

S. C. Coutinho

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Encontro dos Professores Premiados-OBMEP 2009

S. C. Coutinho Arquimedes e a Alavanca

Parte I

Introdução


Se eu digo Arquimedes...

Eureca!dá-me um ponto de apoio;o parafuso de Arquimedes;a defesa de Siracusa.



Eureca!

dá-me um ponto de apoio;o parafuso de Arquimedes;a defesa de Siracusa.



Eureca!dá-me um ponto de apoio;

o parafuso de Arquimedes;a defesa de Siracusa.



Eureca!dá-me um ponto de apoio;o parafuso de Arquimedes;

a defesa de Siracusa.



Eureca!dá-me um ponto de apoio;o parafuso de Arquimedes;a defesa de Siracusa.


Um Arquimedes menos conhecido

área da parábola;aproximação de π;volume da esfera e do cilindro;representação de números enormes;centros de gravidade;espirais.



área da parábola;

aproximação de π;volume da esfera e do cilindro;representação de números enormes;centros de gravidade;espirais.



área da parábola;aproximação de π;

volume da esfera e do cilindro;representação de números enormes;centros de gravidade;espirais.



área da parábola;aproximação de π;volume da esfera e do cilindro;

representação de números enormes;centros de gravidade;espirais.



área da parábola;aproximação de π;volume da esfera e do cilindro;representação de números enormes;

centros de gravidade;espirais.



área da parábola;aproximação de π;volume da esfera e do cilindro;representação de números enormes;centros de gravidade;

espirais.



área da parábola;aproximação de π;volume da esfera e do cilindro;representação de números enormes;centros de gravidade;espirais.


Um Arquimedes quase desconhecido

o Método;

infinitas fatias, infinitamente finas;

combinatória.


Parte II

Vida


Origens

nascido em Siracusa (Sicília) por volta de 212 a.C.;filho do astrônomo Fídias;tinha forte ligação com a família real local.


Origens

nascido em Siracusa (Sicília) por volta de 212 a.C.;

filho do astrônomo Fídias;tinha forte ligação com a família real local.


Origens

nascido em Siracusa (Sicília) por volta de 212 a.C.;filho do astrônomo Fídias;

tinha forte ligação com a família real local.


Origens

nascido em Siracusa (Sicília) por volta de 212 a.C.;filho do astrônomo Fídias;tinha forte ligação com a família real local.


Formação

passou longo tempo em Alexandria;estudou com os sucessores de Euclides;contemporâneo de Cónon de Samos e Eratóstenes.


Formação

passou longo tempo em Alexandria;

estudou com os sucessores de Euclides;contemporâneo de Cónon de Samos e Eratóstenes.


Formação

passou longo tempo em Alexandria;estudou com os sucessores de Euclides;

contemporâneo de Cónon de Samos e Eratóstenes.


Formação

passou longo tempo em Alexandria;estudou com os sucessores de Euclides;contemporâneo de Cónon de Samos e Eratóstenes.


Maturidade

morou quase toda a vida em Siracusa;

pesquisa em matemática e estática;

inventor de máquinas (roldanas, parafuso, planetário).


Final

defendeu Siracusa dos ataques romanos;armas de defesa;morto por um soldado romano na queda de Siracusa.


Final

defendeu Siracusa dos ataques romanos;

armas de defesa;morto por um soldado romano na queda de Siracusa.


Final

defendeu Siracusa dos ataques romanos;armas de defesa;

morto por um soldado romano na queda de Siracusa.


Final

defendeu Siracusa dos ataques romanos;armas de defesa;morto por um soldado romano na queda de Siracusa.


Parte III

Obra


Obras conhecidas

Da esfera e do cilindro;Medida do círculo;Dos conóides e esferóides;Da quadratura da parábola;Das espirais;Do equilíbrio dos planos;Dos corpos flutuantes;O contador de areia;O livro dos lemas;O problema do gado.


Obras conhecidas

Da esfera e do cilindro;

Medida do círculo;Dos conóides e esferóides;Da quadratura da parábola;Das espirais;Do equilíbrio dos planos;Dos corpos flutuantes;O contador de areia;O livro dos lemas;O problema do gado.


Obras conhecidas

Da esfera e do cilindro;Medida do círculo;

Dos conóides e esferóides;Da quadratura da parábola;Das espirais;Do equilíbrio dos planos;Dos corpos flutuantes;O contador de areia;O livro dos lemas;O problema do gado.


Obras conhecidas

Da esfera e do cilindro;Medida do círculo;Dos conóides e esferóides;

Da quadratura da parábola;Das espirais;Do equilíbrio dos planos;Dos corpos flutuantes;O contador de areia;O livro dos lemas;O problema do gado.


Obras conhecidas

Da esfera e do cilindro;Medida do círculo;Dos conóides e esferóides;Da quadratura da parábola;

Das espirais;Do equilíbrio dos planos;Dos corpos flutuantes;O contador de areia;O livro dos lemas;O problema do gado.


Obras conhecidas

Da esfera e do cilindro;Medida do círculo;Dos conóides e esferóides;Da quadratura da parábola;Das espirais;

Do equilíbrio dos planos;Dos corpos flutuantes;O contador de areia;O livro dos lemas;O problema do gado.


Obras conhecidas

Da esfera e do cilindro;Medida do círculo;Dos conóides e esferóides;Da quadratura da parábola;Das espirais;Do equilíbrio dos planos;

Dos corpos flutuantes;O contador de areia;O livro dos lemas;O problema do gado.


Obras conhecidas

Da esfera e do cilindro;Medida do círculo;Dos conóides e esferóides;Da quadratura da parábola;Das espirais;Do equilíbrio dos planos;Dos corpos flutuantes;

O contador de areia;O livro dos lemas;O problema do gado.


Obras conhecidas

Da esfera e do cilindro;Medida do círculo;Dos conóides e esferóides;Da quadratura da parábola;Das espirais;Do equilíbrio dos planos;Dos corpos flutuantes;O contador de areia;

O livro dos lemas;O problema do gado.


Obras conhecidas

Da esfera e do cilindro;Medida do círculo;Dos conóides e esferóides;Da quadratura da parábola;Das espirais;Do equilíbrio dos planos;Dos corpos flutuantes;O contador de areia;O livro dos lemas;

O problema do gado.


Obras conhecidas

Da esfera e do cilindro;Medida do círculo;Dos conóides e esferóides;Da quadratura da parábola;Das espirais;Do equilíbrio dos planos;Dos corpos flutuantes;O contador de areia;O livro dos lemas;O problema do gado.


Obras perdidas

Poliédros;Nomeando números;Das balanças e alavancas;Dos centros de gravidade;Catóptrica;Da confecção de esferas.


Obras perdidas

Poliédros;

Nomeando números;Das balanças e alavancas;Dos centros de gravidade;Catóptrica;Da confecção de esferas.


Obras perdidas

Poliédros;Nomeando números;

Das balanças e alavancas;Dos centros de gravidade;Catóptrica;Da confecção de esferas.


Obras perdidas

Poliédros;Nomeando números;Das balanças e alavancas;

Dos centros de gravidade;Catóptrica;Da confecção de esferas.


Obras perdidas

Poliédros;Nomeando números;Das balanças e alavancas;Dos centros de gravidade;

Catóptrica;Da confecção de esferas.


Obras perdidas

Poliédros;Nomeando números;Das balanças e alavancas;Dos centros de gravidade;Catóptrica;

Da confecção de esferas.


Obras perdidas

Poliédros;Nomeando números;Das balanças e alavancas;Dos centros de gravidade;Catóptrica;Da confecção de esferas.


Obras reencontradas:

O método;

O Stomachion.


Da esfera e do cilindro

Objetivo: determinação das áreas e volumes de esferas e cilindros.

Conteúdo: primeira aparição de fórmulas usuais para áreas e volumes,como 4πR2 e 4πR3/3 no caso da esfera.

Comentário: obra favorita do próprio Arquimedes, que pediu que umcilindro inscrito em uma esfera fosse gravado em seu túmulo.


Medida do círculo

Objetivo: cálculo de uma aproximação para π.

Conteúdo: aproxima o círculo entre polígonos regulares inscritos ecircunscritos de mesmo número de lados.

Comentário: a aproximação obtida corresponde a dizer que


Medida do círculo




31071

< π < 317


Medida do círculo




3, 1408 · · · < π < 3, 1428 · · ·


Dos conóides e esferóides

Objetivo: cálculo do volume de elipsóides, parabolóides, e hiperbolóides derevolução.



Objetivo: cálculo do volume de

elipsóides, parabolóides, e hiperbolóides derevolução.



Objetivo: cálculo do volume de elipsóides,

parabolóides, e hiperbolóides derevolução.



Objetivo: cálculo do volume de elipsóides, parabolóides,

e hiperbolóides derevolução.



Objetivo: cálculo do volume de elipsóides, parabolóides, e hiperbolóides

derevolução.



Objetivo: cálculo do volume de elipsóides, parabolóides, e hiperbolóides derevolução.


Quadratura da parábola

Objetivo: calcular a área sob um arco de parábola.

Conteúdo: prova, por exaustão, fórmulas para a área entre arcos deparábolas e segmentos.

Comentário: este livro e os anteriores podem ser encarados como parte dapré-história do cálculo integral.


Das espirais

Objetivo: estudar as propriedades da espiral de Arquimedes.

Conteúdo: introduz e estuda as propriedades referentes a tangentes eáreas da espiral r = a + bθ.

Comentário: um dos poucos tratados da matemática grega a estudarcurvas que não são cônicas.


Dos corpos flutuantes

Objetivo: princípios de hidrostática apresentados de maneira puramentematemática.

Conteúdo: princípio de Arquimedes e estabilidade de um parabolóide derevolução flutuante.

Comentário: contém a solução do famoso problema da coroa que o terialevado a gritar “Eureca!”.


As outras obras

Do equilíbrio dos planos:

mais detalhes adiante;

O contador de areia:

como representar números gigantescos;

O livro dos lemas:

coleção de resultados auxiliares;

O problema do gado:

solução de sistema indeterminado.


As outras obras

Do equilíbrio dos planos:

mais detalhes adiante;O contador de areia:


O livro dos lemas:


O problema do gado:



As outras obras

Do equilíbrio dos planos: mais detalhes adiante;

O contador de areia:


O livro dos lemas:


O problema do gado:



As outras obras

Do equilíbrio dos planos: mais detalhes adiante;O contador de areia:

como representar números gigantescos;O livro dos lemas:


O problema do gado:



As outras obras

Do equilíbrio dos planos: mais detalhes adiante;O contador de areia: como representar números gigantescos;

O livro dos lemas:


O problema do gado:



As outras obras

Do equilíbrio dos planos: mais detalhes adiante;O contador de areia: como representar números gigantescos;O livro dos lemas:

coleção de resultados auxiliares;O problema do gado:



As outras obras

Do equilíbrio dos planos: mais detalhes adiante;O contador de areia: como representar números gigantescos;O livro dos lemas: coleção de resultados auxiliares;

O problema do gado:



As outras obras

Do equilíbrio dos planos: mais detalhes adiante;O contador de areia: como representar números gigantescos;O livro dos lemas: coleção de resultados auxiliares;O problema do gado:



As outras obras

Do equilíbrio dos planos: mais detalhes adiante;O contador de areia: como representar números gigantescos;O livro dos lemas: coleção de resultados auxiliares;O problema do gado: solução de sistema indeterminado.


Algumas das obras perdidas

Poliédros:

estudo dos poliedros semiregulares;

Catóptrica:

estudo sobre questões de óptica;

Da confecção de esferas:

construção de planetários?

As obras reencontradas no século XX ficarão para a sobremesa.



Poliédros:

estudo dos poliedros semiregulares;Catóptrica:







Poliédros: estudo dos poliedros semiregulares;

Catóptrica:







Poliédros: estudo dos poliedros semiregulares;Catóptrica:

estudo sobre questões de óptica;Da confecção de esferas:





Poliédros: estudo dos poliedros semiregulares;Catóptrica: estudo sobre questões de óptica;






Poliédros: estudo dos poliedros semiregulares;Catóptrica: estudo sobre questões de óptica;Da confecção de esferas:





Poliédros: estudo dos poliedros semiregulares;Catóptrica: estudo sobre questões de óptica;Da confecção de esferas: construção de planetários?



Estilo

O estilo dos escritos de Arquimedes é caracterizado por:ausência do uso de fórmulas;linguagem cheia de fórmulas.

Resolução do Koan:

não são usadas fórmulas simbólicas, mas a linguagem é repleta defrases feitas, de sentido estereotipado.


Estilo

O estilo dos escritos de Arquimedes é caracterizado por:

ausência do uso de fórmulas;linguagem cheia de fórmulas.




Estilo

O estilo dos escritos de Arquimedes é caracterizado por:ausência do uso de fórmulas;

linguagem cheia de fórmulas.




Estilo





Estilo



não são usadas fórmulas simbólicas,

mas a linguagem é repleta defrases feitas, de sentido estereotipado.


Estilo





Linguagem formulaica na poesia

A poesia arcaica na Grécia era:oral;improvisada;repetitiva.

O aedo usava fórmulas feitas para ideias frequentemente repetidas.

Exemplos:Epítetos Aquiles, de rápidos pés; Agamênon, senhor dos homens;

Frases feitas “Então em resposta ele disse [nome aqui]”.



A poesia arcaica na Grécia era:

oral;improvisada;repetitiva.






A poesia arcaica na Grécia era:oral;

improvisada;repetitiva.






A poesia arcaica na Grécia era:oral;improvisada;

repetitiva.O aedo usava fórmulas feitas para ideias frequentemente repetidas.







Exemplos:

Epítetos Aquiles, de rápidos pés; Agamênon, senhor dos homens;Frases feitas “Então em resposta ele disse [nome aqui]”.


Linguagem formulaica na matemática

Na matemática helenística:escrita;200 palavras dão conta de 95 % do vocabulário;sistema muito econômico com uso acentuado de elipses;frases feitas se repetem com muita frequência.

Exemplos:Objetos tó A (ponto A); ê AB (reta AB);

ó ABΓ (círculo); tó ABΓ (triângulo);Frases feitas {objeto} ison estí {objeto};

{objeto} ison estí {objeto} kaí {objeto}.

{objeto} = {objeto}+{objeto}



Na matemática helenística:

escrita;200 palavras dão conta de 95 % do vocabulário;sistema muito econômico com uso acentuado de elipses;frases feitas se repetem com muita frequência.







Na matemática helenística:escrita;

200 palavras dão conta de 95 % do vocabulário;sistema muito econômico com uso acentuado de elipses;frases feitas se repetem com muita frequência.







Na matemática helenística:escrita;200 palavras dão conta de 95 % do vocabulário;

sistema muito econômico com uso acentuado de elipses;frases feitas se repetem com muita frequência.







Na matemática helenística:escrita;200 palavras dão conta de 95 % do vocabulário;sistema muito econômico com uso acentuado de elipses;

frases feitas se repetem com muita frequência.Exemplos:

Objetos tó A (ponto A); ê AB (reta AB);ó ABΓ (círculo); tó ABΓ (triângulo);

Frases feitas {objeto} ison estí {objeto};{objeto} ison estí {objeto} kaí {objeto}.





Exemplos:

Objetos tó A (ponto A); ê AB (reta AB);ó ABΓ (círculo); tó ABΓ (triângulo);







ó ABΓ (círculo); tó ABΓ (triângulo);









{objeto} = {objeto}



Parte IV

O equilíbrio dos planos


Otto Neugebauer (1899 a 1990)

A leitura cuidadosa de um tratado de Arquimedes ou de um livro deApolônio exige tempo e esforço –como é o caso da busca de qualquerconhecimento que valha a pena– mas recebemos em troco umentendimento dos métodos matemáticos clássicos muito mais profundo doque a leitura de todos os sumários nos poderia prover.



A leitura cuidadosa de um tratado de Arquimedes ou de um livro deApolônio exige tempo e esforço

–como é o caso da busca de qualquerconhecimento que valha a pena– mas recebemos em troco umentendimento dos métodos matemáticos clássicos muito mais profundo doque a leitura de todos os sumários nos poderia prover.



A leitura cuidadosa de um tratado de Arquimedes ou de um livro deApolônio exige tempo e esforço –como é o caso da busca de qualquerconhecimento que valha a pena–

mas recebemos em troco umentendimento dos métodos matemáticos clássicos muito mais profundo doque a leitura de todos os sumários nos poderia prover.



A leitura cuidadosa de um tratado de Arquimedes ou de um livro deApolônio exige tempo e esforço –como é o caso da busca de qualquerconhecimento que valha a pena– mas recebemos em troco umentendimento dos métodos matemáticos clássicos muito mais profundo doque a leitura de todos os sumários nos poderia prover.


A estrutura do livro I

Sete postulados seguidos de quinze proposições assim organizadas:

proposições 1 a 5:

propriedades básicas elementares;

proposições 6 e 7:

princípio da alavanca;

proposição 8:

centro de gravidade de uma fração de segmento;


centro de gravidade do paralelogramo;


centro de gravidade do triângulo;

proposição 15:

centro de gravidade do trapézio.



Sete postulados

seguidos de quinze proposições assim organizadas:





proposição 8:






proposição 15:









proposição 8:






proposição 15:






propriedades básicas elementares;proposições 6 e 7:


proposição 8:






proposição 15:





proposições 1 a 5: propriedades básicas elementares;



proposição 8:






proposição 15:





proposições 1 a 5: propriedades básicas elementares;proposições 6 e 7:

princípio da alavanca;proposição 8:






proposição 15:





proposições 1 a 5: propriedades básicas elementares;proposições 6 e 7: princípio da alavanca;

proposição 8:






proposição 15:





proposições 1 a 5: propriedades básicas elementares;proposições 6 e 7: princípio da alavanca;proposição 8:

centro de gravidade de uma fração de segmento;proposições 9 e 10:




proposição 15:





proposições 1 a 5: propriedades básicas elementares;proposições 6 e 7: princípio da alavanca;proposição 8: centro de gravidade de uma fração de segmento;





proposição 15:





proposições 1 a 5: propriedades básicas elementares;proposições 6 e 7: princípio da alavanca;proposição 8: centro de gravidade de uma fração de segmento;proposições 9 e 10:

centro de gravidade do paralelogramo;proposições 11 a 14:


proposição 15:





proposições 1 a 5: propriedades básicas elementares;proposições 6 e 7: princípio da alavanca;proposição 8: centro de gravidade de uma fração de segmento;proposições 9 e 10: centro de gravidade do paralelogramo;



proposição 15:





proposições 1 a 5: propriedades básicas elementares;proposições 6 e 7: princípio da alavanca;proposição 8: centro de gravidade de uma fração de segmento;proposições 9 e 10: centro de gravidade do paralelogramo;proposições 11 a 14:

centro de gravidade do triângulo;proposição 15:





proposições 1 a 5: propriedades básicas elementares;proposições 6 e 7: princípio da alavanca;proposição 8: centro de gravidade de uma fração de segmento;proposições 9 e 10: centro de gravidade do paralelogramo;proposições 11 a 14: centro de gravidade do triângulo;

proposição 15:





proposições 1 a 5: propriedades básicas elementares;proposições 6 e 7: princípio da alavanca;proposição 8: centro de gravidade de uma fração de segmento;proposições 9 e 10: centro de gravidade do paralelogramo;proposições 11 a 14: centro de gravidade do triângulo;proposição 15:





proposições 1 a 5: propriedades básicas elementares;proposições 6 e 7: princípio da alavanca;proposição 8: centro de gravidade de uma fração de segmento;proposições 9 e 10: centro de gravidade do paralelogramo;proposições 11 a 14: centro de gravidade do triângulo;proposição 15: centro de gravidade do trapézio.


Postulados 1 a 3: pesos em segmentos

1 Pesos iguais a distâncias iguais estão em equilíbrio, e pesos iguais adistâncias desiguais não estão em equilíbrio, mas inclinam-se para opeso que está a maior distância.

2 Se, quando pesos a uma certa distância estão em equilíbrio, algo éadicionado a um dos pesos, eles deixam de estar em equilíbrio, masinclinam-se para o lado do peso que foi acrescentado.

3 De maneira semelhante, se algo é removido de um dos pesos, elesdeixam de estar em equilíbrio mas inclinam-se para o peso do qualnada foi removido.


Postulados 4 e 5: centros de gravidade

4 Se figuras iguais e semelhantes coincidem quando aplicadas uma sobrea outra, seus centros de gravidade também coincidem.

5 Em figuras desiguais, mas semelhantes, seus centros de gravidadeestarão situados de maneira a preservar a semelhança.


Postulados 6 e 7: congruência e semelhança

6 Se magnitudes estão em equilíbrio a uma certa distância uma daoutra, magnitudes iguais estarão em equilíbrio à mesma distância.

7 Se uma figura tem perímetro côncavo em uma e mesma direção, seucentro de gravidade estará dentro da figura.


As proposições básicas: uma amostra

Proposição 1Pesos que estão em equilíbrio a uma mesma distância são iguais.

Demonstração.

Pois, se forem desiguais, remova do maior a diferença entre eles. As sobrasficarão desequilibradas [pelo postulado 3]; o que é absurdo. Portanto, ospesos não podem ser iguais.




Demonstração.Pois, se forem desiguais, remova do maior a diferença entre eles.

As sobrasficarão desequilibradas [pelo postulado 3]; o que é absurdo. Portanto, ospesos não podem ser iguais.




Demonstração.Pois, se forem desiguais, remova do maior a diferença entre eles. As sobrasficarão desequilibradas [pelo postulado 3];

o que é absurdo. Portanto, ospesos não podem ser iguais.




Demonstração.Pois, se forem desiguais, remova do maior a diferença entre eles. As sobrasficarão desequilibradas [pelo postulado 3]; o que é absurdo.

Portanto, ospesos não podem ser iguais.




Demonstração.Pois, se forem desiguais, remova do maior a diferença entre eles. As sobrasficarão desequilibradas [pelo postulado 3]; o que é absurdo. Portanto, ospesos não podem ser iguais.


As demais proposições básicas

Proposição 2Pesos desiguais a distâncias iguais não estão em equilíbrio, mas se inclinampara o peso maior.

Proposição 3Pesos desiguais se equilibram a distâncias desiguais, com o peso maior auma distância menor do centro de equilíbrio.



Proposição 4Se dois pesos iguais não têm o mesmo centro de gravidade, o centro degravidade dos dois tomados conjuntamente está no ponto médio da linhaque une o centro de gravidade de cada um deles.

a noção de centro de gravidade não foi definida neste livro;a demonstração desta proposição usa o fato de que o centro degravidade de dois pesos está na reta que os une;Arquimedes diz que isto foi “provado anteriormente”;tudo isto estaria no tratado Das balanças e alavancas, hoje perdido.




a noção de centro de gravidade não foi definida neste livro;

a demonstração desta proposição usa o fato de que o centro degravidade de dois pesos está na reta que os une;Arquimedes diz que isto foi “provado anteriormente”;tudo isto estaria no tratado Das balanças e alavancas, hoje perdido.




a noção de centro de gravidade não foi definida neste livro;a demonstração desta proposição usa o fato de que o centro degravidade de dois pesos está na reta que os une;

Arquimedes diz que isto foi “provado anteriormente”;tudo isto estaria no tratado Das balanças e alavancas, hoje perdido.




a noção de centro de gravidade não foi definida neste livro;a demonstração desta proposição usa o fato de que o centro degravidade de dois pesos está na reta que os une;Arquimedes diz que isto foi “provado anteriormente”;

tudo isto estaria no tratado Das balanças e alavancas, hoje perdido.




a noção de centro de gravidade não foi definida neste livro;a demonstração desta proposição usa o fato de que o centro degravidade de dois pesos está na reta que os une;Arquimedes diz que isto foi “provado anteriormente”;tudo isto estaria no tratado Das balanças e alavancas, hoje perdido.


A proposição 5...

Proposição 5Se três pesos têm seus centros de gravidade a distâncias iguais sobre umamesma reta, o centro de gravidade do sistema estará sobre o peso que estáno ponto médio.


... e seus corolários

Corolário 1O mesmo vale para qualquer quantidade ímpar de pesos, desde que sejamiguais aqueles cujo centro de gravidade está a uma mesma distância docentro do segmento de reta.

Corolário 2Se há uma quantidade par de pesos cujos centros de gravidade estãosituados a distâncias iguais do centro do segmento, e se os dois maiscentrais são iguais, e o mesmo ocorre com cada par equidistante deles,então o centro de gravidade do sistema é o ponto médio do segmento queune os dois pesos do meio.


O princípio da alavanca

Proposição 6Duas magnitudes comensuráveis se equilibram a distâncias reciprocamenteproporcionais aos seus pesos.

Proposição 7E agora, se as magnitudes são incomensuráveis elas irão igualmente seequilibrar a distâncias reciprocamente proporcionais às suas magnitudes.


Comensurabilidade

ComensuráveisDuas magnitudes são comensuráveis se existe uma unidade de medidasegundo a qual ambas possam ser representadas como quantidades inteirasdesta unidade; do contrário são incomensuráveis.

Portanto, A e B são comensuráveis se A/B é uma fração.


O enunciado atual

O princípio da alavancaSe m e M são pesos e d e D suas distâncias ao ponto de apoio daalavanca, então os pesos estão em equilíbrio se

Mm

=dD


Centro de gravidade do paralelogramo

Proposição 10O centro de gravidade de um paralelogramo é o ponto de interseção dasdiagonais.


A demonstração


A demonstração

O paralelogramo ABCD.


A demonstração

A diagonal AC .


A demonstração

ABC é congruente a ACD.


A demonstração

Suponha que F é o centro de gravidade de ACD.


A demonstração

G é o ponto médio de AC .


A demonstração

Construa H com FG = GH.


A demonstração

Pelo postulado 4, H é o centro de gravidade de ABC .


A demonstração

Pelo postulado 4, H é o centro de gravidade de ABC .Logo F e G são centros de gravidade de triângulos congruentes.


A demonstração

Pelo postulado 4, H é o centro de gravidade de ABC .Logo F e G são centros de gravidade de triângulos congruentes.Pela proposição 4 o centro de gravidade de F e H cai no ponto médio G .


A demonstração

Pelo postulado 4, H é o centro de gravidade de ABC .Logo F e G são centros de gravidade de triângulos congruentes.Pela proposição 4 o centro de gravidade de F e H cai no ponto médio G .Assim, G é o centro de gravidade de ABCD.


A demonstração

Pelo postulado 4, H é o centro de gravidade de ABC .Logo F e G são centros de gravidade de triângulos congruentes.Pela proposição 4 o centro de gravidade de F e H cai no ponto médio G .Assim, G é o centro de gravidade de ABCD.Portanto, o centro de gravidade de ABCD está sobre AC .


Parte V

Redescobertas Recentes


O palimpsesto: história

descoberto em Constantinopla em 1906;fotografado e estudado por J. L. Heiberg;perdido durante a Primeira Guerra Mundial;reapareceu em 1998;adquirido por um milionário anônimo;estudado no Walters Art Museum em Baltimore (Estados Unidos).



descoberto em Constantinopla em 1906;

fotografado e estudado por J. L. Heiberg;perdido durante a Primeira Guerra Mundial;reapareceu em 1998;adquirido por um milionário anônimo;estudado no Walters Art Museum em Baltimore (Estados Unidos).



descoberto em Constantinopla em 1906;fotografado e estudado por J. L. Heiberg;

perdido durante a Primeira Guerra Mundial;reapareceu em 1998;adquirido por um milionário anônimo;estudado no Walters Art Museum em Baltimore (Estados Unidos).



descoberto em Constantinopla em 1906;fotografado e estudado por J. L. Heiberg;perdido durante a Primeira Guerra Mundial;

reapareceu em 1998;adquirido por um milionário anônimo;estudado no Walters Art Museum em Baltimore (Estados Unidos).



descoberto em Constantinopla em 1906;fotografado e estudado por J. L. Heiberg;perdido durante a Primeira Guerra Mundial;reapareceu em 1998;

adquirido por um milionário anônimo;estudado no Walters Art Museum em Baltimore (Estados Unidos).



descoberto em Constantinopla em 1906;fotografado e estudado por J. L. Heiberg;perdido durante a Primeira Guerra Mundial;reapareceu em 1998;adquirido por um milionário anônimo;

estudado no Walters Art Museum em Baltimore (Estados Unidos).



descoberto em Constantinopla em 1906;fotografado e estudado por J. L. Heiberg;perdido durante a Primeira Guerra Mundial;reapareceu em 1998;adquirido por um milionário anônimo;estudado no Walters Art Museum em Baltimore (Estados Unidos).


O palimpsesto: o que é?

Um palimpsesto é um manuscrito em pergaminho que foi raspado(apagado) e reescrito.

O texto de Arquimedes data do século X e foi substituído por um livro dedevoção no século XIII.


O palimpsesto: conteúdo

fragmentos de sete tratados de Arquimedes;inclui o Método e o Stomachion antes perdidos;O Método:

heurística para encontrar áreas por meios mecânicos;

o Stomachion:

combinatória sobre um jogo de quebra-cabeças;



fragmentos de sete tratados de Arquimedes;

inclui o Método e o Stomachion antes perdidos;O Método:


o Stomachion:




fragmentos de sete tratados de Arquimedes;inclui o Método e o Stomachion antes perdidos;

O Método:


o Stomachion:




fragmentos de sete tratados de Arquimedes;inclui o Método e o Stomachion antes perdidos;O Método:

heurística para encontrar áreas por meios mecânicos;o Stomachion:




fragmentos de sete tratados de Arquimedes;inclui o Método e o Stomachion antes perdidos;O Método:heurística para encontrar áreas por meios mecânicos;

o Stomachion:




fragmentos de sete tratados de Arquimedes;inclui o Método e o Stomachion antes perdidos;O Método:heurística para encontrar áreas por meios mecânicos;o Stomachion:




fragmentos de sete tratados de Arquimedes;inclui o Método e o Stomachion antes perdidos;O Método:heurística para encontrar áreas por meios mecânicos;o Stomachion:combinatória sobre um jogo de quebra-cabeças;


Dos teoremas mecânicos, método

método usado na descoberta da área de um segmento de parábola;

não é necessariamente um método de demonstração;

as demonstrações dos resultados deste tratado encontram-se em Daquadratura da parábola.


Prefácio ao método: paparicando o destinatário

Arquimedes a Eratóstenes, saudações...

Vendo que você é um zeloso estudante e um homem de consideráveleminência na filosofia, que dá lugar de honra aos estudos matemáticos,quando eles surgem decidi escrever para você e explicar em detalhes nomesmo livro as peculiaridades de um certo método que, possuindo-o vocêpoderá começar a investigação por meios mecânicos de certos teoremas dageometria.




Vendo que você é um zeloso estudante e um homem de consideráveleminência na filosofia, que dá lugar de honra aos estudos matemáticos,quando eles surgem

decidi escrever para você e explicar em detalhes nomesmo livro as peculiaridades de um certo método que, possuindo-o vocêpoderá começar a investigação por meios mecânicos de certos teoremas dageometria.




Vendo que você é um zeloso estudante e um homem de consideráveleminência na filosofia, que dá lugar de honra aos estudos matemáticos,quando eles surgem decidi escrever para você e explicar em detalhes nomesmo livro as peculiaridades de um certo método que,

possuindo-o vocêpoderá começar a investigação por meios mecânicos de certos teoremas dageometria.




Vendo que você é um zeloso estudante e um homem de consideráveleminência na filosofia, que dá lugar de honra aos estudos matemáticos,quando eles surgem decidi escrever para você e explicar em detalhes nomesmo livro as peculiaridades de um certo método que, possuindo-o vocêpoderá começar a investigação

por meios mecânicos de certos teoremas dageometria.




Vendo que você é um zeloso estudante e um homem de consideráveleminência na filosofia, que dá lugar de honra aos estudos matemáticos,quando eles surgem decidi escrever para você e explicar em detalhes nomesmo livro as peculiaridades de um certo método que, possuindo-o vocêpoderá começar a investigação por meios mecânicos de certos teoremas dageometria.


Prefácio ao método: estilo de pesquisa de Arquimedes

Estou persuadido de que este método não é menos útil mesmo quando setrata da demonstração de um teorema. Porque algumas coisas se tornamclaras para mim primeiramente através da mecânica embora tenham queser posteriormente provadas geometricamente, porque a investigação pelométodo mecânico não constitui uma verdadeira demonstração; mas é maisfácil, é claro, dar uma demonstração quando algum conhecimento dascoisas buscadas já tenha sido obtido por este método.



Estou persuadido de que este método não é menos útil mesmo quando setrata da demonstração de um teorema.

Porque algumas coisas se tornamclaras para mim primeiramente através da mecânica embora tenham queser posteriormente provadas geometricamente, porque a investigação pelométodo mecânico não constitui uma verdadeira demonstração; mas é maisfácil, é claro, dar uma demonstração quando algum conhecimento dascoisas buscadas já tenha sido obtido por este método.



Estou persuadido de que este método não é menos útil mesmo quando setrata da demonstração de um teorema. Porque algumas coisas se tornamclaras para mim primeiramente através da mecânica

embora tenham queser posteriormente provadas geometricamente, porque a investigação pelométodo mecânico não constitui uma verdadeira demonstração; mas é maisfácil, é claro, dar uma demonstração quando algum conhecimento dascoisas buscadas já tenha sido obtido por este método.



Estou persuadido de que este método não é menos útil mesmo quando setrata da demonstração de um teorema. Porque algumas coisas se tornamclaras para mim primeiramente através da mecânica embora tenham queser posteriormente provadas geometricamente, porque a investigação pelométodo mecânico não constitui uma verdadeira demonstração;

mas é maisfácil, é claro, dar uma demonstração quando algum conhecimento dascoisas buscadas já tenha sido obtido por este método.



Estou persuadido de que este método não é menos útil mesmo quando setrata da demonstração de um teorema. Porque algumas coisas se tornamclaras para mim primeiramente através da mecânica embora tenham queser posteriormente provadas geometricamente, porque a investigação pelométodo mecânico não constitui uma verdadeira demonstração; mas é maisfácil, é claro, dar uma demonstração quando algum conhecimento dascoisas buscadas já tenha sido obtido por este método.


Prefácio ao método: resultado básico

Começo, portanto, por descrever o primeiro teorema que descobri atravésda mecânica,

qualquer segmento de uma seção de um cone reto é três quartosdo triângulo que tem a mesma base e altura.


A proposição 14

área de um “casco”;Heiberg leu o começo e o fim;longa lacuna ilegível até recentemente;finalmente transcrita por Netz, Saito e Tchernetska;primeiro infinito atual na matemática grega.


A proposição 14

área de um “casco”;

Heiberg leu o começo e o fim;longa lacuna ilegível até recentemente;finalmente transcrita por Netz, Saito e Tchernetska;primeiro infinito atual na matemática grega.


A proposição 14

área de um “casco”;Heiberg leu o começo e o fim;

longa lacuna ilegível até recentemente;finalmente transcrita por Netz, Saito e Tchernetska;primeiro infinito atual na matemática grega.


A proposição 14

área de um “casco”;Heiberg leu o começo e o fim;longa lacuna ilegível até recentemente;

finalmente transcrita por Netz, Saito e Tchernetska;primeiro infinito atual na matemática grega.


A proposição 14

área de um “casco”;Heiberg leu o começo e o fim;longa lacuna ilegível até recentemente;finalmente transcrita por Netz, Saito e Tchernetska;

primeiro infinito atual na matemática grega.


A proposição 14

área de um “casco”;Heiberg leu o começo e o fim;longa lacuna ilegível até recentemente;finalmente transcrita por Netz, Saito e Tchernetska;primeiro infinito atual na matemática grega.


Infinito potencial e infinito atual

Infinito potencial

Infinito tratado como algo que pode crescer além de qualquer limitedeterminado. Exemplo: a sequência dos números naturais.

Infinito atual

Infinito tratado como um totalidade completa. Exemplo: o conjunto Nconsiderado como um só objeto matemático.

A norma até 2001: os matemáticos gregos nunca operam com um infinitoatual.



Infinito potencialInfinito tratado como algo que pode crescer além de qualquer limitedeterminado.

Exemplo: a sequência dos números naturais.

Infinito atual





Infinito potencialInfinito tratado como algo que pode crescer além de qualquer limitedeterminado. Exemplo:

a sequência dos números naturais.

Infinito atual





Infinito potencialInfinito tratado como algo que pode crescer além de qualquer limitedeterminado. Exemplo: a sequência dos números naturais.

Infinito atual






Infinito atualInfinito tratado como um totalidade completa.

Exemplo: o conjunto Nconsiderado como um só objeto matemático.





Infinito atualInfinito tratado como um totalidade completa. Exemplo:

o conjunto Nconsiderado como um só objeto matemático.





Infinito atualInfinito tratado como um totalidade completa. Exemplo: o conjunto Nconsiderado como um só objeto matemático.






A norma até 2001:

os matemáticos gregos nunca operam com um infinitoatual.


A proposição 14: cai a norma

Na lacuna, Arquimedestrata o “casco” como infinitas fatias planas triangulares;a cada fatia plana um segmento;ambos os conjuntos são infinitos;estabelece a função biunívoca que a cada fatia associa sua base.



Na lacuna, Arquimedes

trata o “casco” como infinitas fatias planas triangulares;a cada fatia plana um segmento;ambos os conjuntos são infinitos;estabelece a função biunívoca que a cada fatia associa sua base.



Na lacuna, Arquimedestrata o “casco” como infinitas fatias planas triangulares;

a cada fatia plana um segmento;ambos os conjuntos são infinitos;estabelece a função biunívoca que a cada fatia associa sua base.



Na lacuna, Arquimedestrata o “casco” como infinitas fatias planas triangulares;a cada fatia plana um segmento;

ambos os conjuntos são infinitos;estabelece a função biunívoca que a cada fatia associa sua base.



Na lacuna, Arquimedestrata o “casco” como infinitas fatias planas triangulares;a cada fatia plana um segmento;ambos os conjuntos são infinitos;

estabelece a função biunívoca que a cada fatia associa sua base.



Na lacuna, Arquimedestrata o “casco” como infinitas fatias planas triangulares;a cada fatia plana um segmento;ambos os conjuntos são infinitos;estabelece a função biunívoca que a cada fatia associa sua base.


Newton vs Arquimedes

Netz observa que:

Newton aplica a geometria à física;

Arquimedes aplica a física à matemática;

A física de Arquimedes é, na verdade, uma teoria da matemática.


Parte VI

Bibliografia


T. L. Heath,The Works of Archimedes,Cambridge University Press (1897).

T. L. Heath,A History of Greek Mathematics, 2 volumes,Dover (1981).

William Noel e Reviel Netz,CODEX ARQUIMEDES,Record (2007).

O. Neugebauer,The Exact Sciences in Antiquity,Dover (1980).


arquimedes e a alavanca - dcc.ufrj.brcollier/palestras/archimedes.pdf · arquimedeseaalavanca...

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