UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAISINSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA PARA PROFESSORES - 3º GRAU

MONOGRAFIA:

ARQUIMEDES E O VOLUME DAARQUIMEDES E O VOLUME DA ESFERAESFERA

Alessandra Pereira da SilvaOrientador: Professor Doutor Antônio Zumpano Pereira Santos

Belo Horizonte, dezembro de 2005

RESUMO

Este trabalho vem nos dar uma idéia sobre a vida e uma das obras de um dos

maiores matemáticos de todos os tempos, Arquimedes de Siracusa. Dentro de

seus feitos, Arquimedes aprimorou um método, atribuído a Eudoxo, chamado de

método de exaustão. O método de exaustão é utilizado para se provar o resultado

obtido com o Método de Equilíbrio, (método do próprio Arquimedes), muito

utilizado para se determinar áreas e volumes de figuras geométricas.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1 2. HISTÓRICO .......................................................................................................... 2 3. O MÉTODO DE EQUILÍBRIO .............................................................................. 6 4. CÁLCULO DO VOLUME DA ESFERA PELO MÉTODO DO EQUILÍBRIO .......... 7 5. DISCUSSÃO E CONCLUSÃO ........................................................................... 13 6. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................... 14

1. INTRODUÇÃO

Em relação às obras de Arquimedes, destacaremos seu mais famoso método, além de seus efeitos, seus fundamentos e suas contribuições para o desenvolvimento do conhecimento matemático, um método particular para chegar aos resultados esperados: o método do equilíbrio. Arquimedes quase sempre chegava a conclusões pelo método do equilíbrio e depois demonstrava estas conclusões pelo método de exaustão (creditado a Eudoxo). Neste estudo mostraremos como Arquimedes usou o Método do Equilíbrio para calcular o volume da esfera.

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2. HISTÓRICO

Não dispomos de informações confiáveis sobre a família de Arquimedes: Segundo algumas fontes, esta seria de origem humilde, mas outras sustentam que seria aparentada à família real de Siracusa. A data de nascimento é incerta, pois a única informação a respeito é a de um erudito bizantino do século XII, Joannes Tzetzes, que informa que Arquimedes teria morrido aos 75 anos. Como a data da morte parece certa, ocorrida durante a conquista de Siracusa, em 212 a.c., Arquimedes deve ter nascido em 287 a.c.Durante a segunda guerra Púnica, Arquimedes assumiu a direção das operações de defesa de Siracusa. Em 212 as tropas romanas invadiram Siracusa e saquearam a cidade, mas tinham ordens precisas do general romano Marco Cláudio Marcelo que poupassem a vida de Arquimedes. O episódio de sua morte é cheio de informações desencontradas, cada um relatando um tipo de situação. Mas segundo Plutarco, um soldado teria se aproximado de Arquimedes e ordenado que ele se apresentasse a Marcelo, mas ficou furioso ao ouvir, como resposta, que deveria aguardar a solução de um problema geométrico e o matou. Marcelo ficou profundamente triste e ordenou que os familiares de Arquimedes fossem protegidos e que a sepultura fosse providenciada. Na tumba, conforme Arquimedes solicitara, foi posta uma esfera inserida em um cilindro, com a inscrição da relação ente os dois sólidos, uma de suas maiores descobertas matemáticas.

Parece certo que Arquimedes tenha realizado seus estudos em Alexandria, no Egito, capital do mundo helenístico e tanto mais que manteve constante correspondência com matemáticos alexandrinos como Cônon, Dosite, Erastótenes e Aristarco.

A mais notável das contribuições feitas à matemática se traduz no desenvolvimento inicial de alguns dos métodos de cálculo integral.

Segundo Dieguez (2003):

“Arquimedes foi o primeiro a deduzir a lei das alavancas e das roldanas e a descobrir porque os barcos flutuam. Gostava de máquinas e inventou um grande número de engenhos úteis e extremamente eficientes, como um aparelho de bombear água denominado: ”Parafuso de Arquimedes”, que até hoje é usado em algumas partes do mundo, e terríveis catapultas de guerra, com os quais se podiam lançar pedras de um quarto de tonelada a um (1) quilômetro de distância. Seu prestígio era tão grande, que se atribuía a ele até façanhas improváveis, como a de ter montado um jogo de espelhos capaz de concentrar a luz solar e incendiar navios de guerra no mar.”

O método de exaustão é o fundamento de um dos processos essenciais do cálculo infinitesimal. No entanto, enquanto no cálculo se soma um número infinito de parcelas, Arquimedes nunca considerou que as somas tivessem uma infinidade de termos. Para poder definir uma soma de uma série infinita seria necessário desenvolver o conceito de número real que os gregos não possuíam. Não é, pois, correto falar do método de exaustão como um processo geométrico de passagem

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para ao limite. A noção de limite pressupõe a consideração do infinito que esteve sempre excluída da matemática grega, mesmo em Arquimedes. Mas, no entanto, o seu trabalho foi, provavelmente, o mais forte incentivo para o desenvolvimento posterior da idéias de limite e de infinito no século XIX. De fato, os trabalhos de Arquimedes constituem a principal fonte de inspiração para a geometria de século XVII que desempenhou um papel importante no desenvolvimento do cálculo infinitesimal. Apesar da grande originalidade dos trabalhos de Arquimedes, ele não teve discípulos diretos na Grécia. Mas os matemáticos árabes interessaram-se pelo método da exaustão desde o século IX.

Conforme Boyer (1995):

“Para achar áreas e volumes, o versátil Arquimedes usou sua própria versão primitiva do cálculo integral, que, de alguma maneira, é muito semelhante, quanto ao espírito, ao cálculo atual. Numa carta a Eratóstenes, Arquimedes expôs seu ”método da alavanca” para descobrir fórmulas de áreas e volumes. Mas, quando publicava provas para essas fórmulas, ele utilizava o método de exaustão para se ajustar aos padrões de rigor da época.”

Deve-se notar que a frase “método de exaustão” não era usada pelos gregos antigos, sendo uma invenção moderna; mas está tão firmemente estabelecida na história da matemática que continuamos a fazer uso dela.

Paralelamente à difusão de sua fama, durante a guerra, como engenheiro e tecnólogo, sua obra matemática começou a cair no esquecimento. O próprio Arquimedes contribuiu, em parte, para isso. Seus trabalhos dedicados à quadratura do círculo e da parábola, ao estudo da espiral, ao volume da esfera e de outros corpos redondos, ao estudo do centro de gravidade e aos problemas da flutuação eram escritos na forma de breves tratados, dirigidos aos matemáticos da escola de Alexandria. O estilo elíptico, a densidade de referências internas e a dificuldade das demonstrações não favoreceram a difusão, mesmo entre os matemáticos. As obras mais “práticas” foram salvas do esquecimento: A medida do círculo, Sobre a esfera e o cilindro e partes das obras de estática.

Essas obras chegaram aos árabes e foram difundidas pela tradição árabe-latina mediante paráfrases e reelaborações. Somente nos séculos IX e X, em Bizâncio, foram reunidos e copiados os textos que hoje constituem o corpus arquimediano. E somente em 1269 o dominicano Guilherme de Moerbeke traduziu a obra do grego para o latim, baseando-se em dois manuscritos gregos (Códicd A e Códice B), quase todo o corpus arquimediano, com as exceções: Stomachion, O problema dos bois, Livro dos lemas e, a mais importante, O método. O Códice B e o Códice A foram perdidos respectivamente ao longo dos séculos XIV e XVI. A tradução de Moerbeke encontra-se atualmente na Biblioteca Vaticana.

Mas até os anos de 1870 não fora ainda formulado seriamente o problema da constituição do texto crítico da obra arquimediana. O dinamarquês Johan Ludvig Heiberg (1854-1928) foi o primeiro a se a tentar essa aventura.

Com efeito, em 1899, seu colega H. Schone, que colaborava na edição das obras, informou-lhe que lera, em um catálogo da Biblioteca do Patriarcado de Jerusalém, algo a respeito de um palimpsesto matemático, manuscrito cujo texto

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original foi raspado para dar lugar a um texto religioso, que se encontrava em Constantinopla. Bastou a Heiberg um breve exame para concluir que se tratava de um fragmento de Sobre a esfera e o cilindro.

Ele tentou primeiro obter o empréstimo do palimpsesto, mas o pedido foi negado. Decidiu então ficar em Istambul, coisa que só conseguiu em 1906. Uma descoberta extraordinária o aguardava: o escrito matemático (que remontava o século X) não só continha Sobre a esfera e o cilindro, mas também A medida do círculo, Sobre as espirais e Sobre o equilíbrio dos planos. Além disso, continha o texto grego de Sobre os corpos flutuantes, que havia dado por perdido poucos anos antes. As surpresas não paravam por aí: no manuscrito que estava estudando, Heiberg encontrou uma obra inteiramente nova, O método sobre teoremas mecânicos, no qual Arquimedes apresentava a Erastóstenes o procedimento heurístico que empregava para obter suas conclusões. A edição definitiva baseada no estudo do palimpsesto, que foi chamado de Códice C, reencontrado em Constantinopla e da tradução de Moerbeke, e acompanhada pela edição de comentários de Eudócio, foi publicada em 1910-1915. tilizamos ainda hoje essa edição.

Logo após o estudo de Heiberg o Códice C foi novamente perdido e só reencontrado em 1963 pela paleógrafa inglesa Patrícia Earsterling na coleção de Cambridge. Mas somente em 1983, graças ao filósofo inglês Nigel Wilson (do Lincoln College, de Oxford) o fragmento foi identificado como um trecho de Sobre a esfera e o cilindro proveniente do Códice C.

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3. O MÉTODO DE EQUILÍBRIO

O princípio fundamental do método de Arquimedes consiste na idéia de que para determinar uma área ou um volume, deve-se cortar a região correspondente em um número muito grande de tiras planas ou de fatias paralelas muito finas e pendurar esses pedaços numa das extremidades de uma alavanca dada, de tal maneira a estabelecer o equilíbrio com uma figura de área ou volume com centros conhecidos, como mostra a figura abaixo.

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4. CÁLCULO DO VOLUME DA ESFERA PELO MÉTODO DO EQUILÍBRIO

Para obter o volume da esfera Arquimedes usou seu princípio do equilíbrio e utilizou três sólidos: um cone, um cilindro e uma esfera. Sendo o diâmetro do cilindro será duas vezes o diâmetro da esfera.

Os sólidos serão colocados conforme a figura abaixo.

Arquimedes primeiramente cortou transversalmente a figura e em seguida considerou seções cortadas por planos paralelos à base do cilindro. Como as seções ilustradas pela figura abaixo.

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Baseado na figura acima Arquimedes definiu:

AC e BD diâmetros da esfera iguais a 2R; EF o diâmetro do cilindro igual a 4R. Foi feito um corte paralelo a base do cilindro passando por M que encontra o diâmetro AC em S. A linha MS encontra a esfera no ponto O e o cone no ponto Q. O ponto A é o ponto médio de HC e serve como fulcro, ou seja, serve como o ponto de apoio da alavanca de braços AH e AC, com AH = AC.

Arquimedes precisava provar o fato geométrico que: AS• AC = AO²

Para isso consideraremos o triângulo AOC, que é retângulo, pois está inscrito em uma semi-circunferência.

Temos que o triângulo AOC é semelhante ao triângulo ASO pelo caso AA, logo:

ACAO

= AOAS

=> ACAS • = 2AO

Agora usando os lados AC e AS, Temos que:

ASAC

= ASAC

• ACAC

= ACAS

AC•

2

= 2

2

AOAC

Considerando o triângulo ASO e aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

2AO = 2AS + 2OS , logo,

ASAC

= 2

2

AOAC = 22

2

OSASAC

+ => 2ACAS • = ( )22 OSASAC +•

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Como AC é o diâmetro da esfera e MS é o raio do cilindro, temos que, AH = AC. Sabemos também que EF = 2• AC =>2• MS = 2• AC => AC = MS.

Logo, AH = AC = MS. No triângulo AQN, temos que AS é altura e mediana, portanto o triângulo

AQN é isóscele e com isso o triângulo AQS também é isóscele, logo, AS = QS.

Então, com efeito, como, ( )22 OSASAC +• = 2ACAS • temos que:

AC• AS² + AC• OS² = AS• AC² =>

AH• QS² + AH• OS² = AS• MS²

Multiplicando se todos os membros por π , temos:

π • AH• QS² + π • AH• OS² = π • AS• MS²

AH• (π • QS²) + AH• (π • OS²) = AS• (π • MS²) (1)

Podemos perceber que (π •Ms²) representa a área do círculo da base do cilindro, (π •QS²) representa a área do círculo da base do cone e ( π •OS²) representa a área do círculo máximo da esfera.

Com isso podemos concluir que ao cortar um número muito grande de tiras até formar todo o sólido, você terá o volume total deste sólido.

Como saber onde colocar o cilindro na balança se a lei da alavanca de Arquimedes nos diz que a esfera e o cone quando colocados na balança com seus centros em H equilibrarão com o cilindro?

Vamos agora nos concentrar no estudo de Arquimedes sobre o equilíbrio da alavanca.

Consideraremos a principio três postulados que tratam do equilíbrio da alavanca: pesos iguais se equilibram a distâncias iguais, pesos desiguais não (postulado 1); se dois pesos se equilibram a certa distância e a um deles é acrescentado ou subtraído algo, o equilíbrio se rompe (postulados 2 e 3). Com base nisso, deduz-se que as grandezas se equilibram a uma distância inversamente proporcional aos pesos: a demonstração é dividida em duas partes, que tratam, respectivamente, do caso em que as grandezas são comensuráveis e3 incomensuráveis.

No presente estudo nos limitaremos a demonstração do caso em que as grandezas são comensuráveis.

Pode-se exprimir a condição de equilíbrio de pesos diferentes colocados a distâncias diferentes do fulcro dizendo que o momento estático, dado algebricamente pelo produto PxL, é o mesmo para os dois pesos.

Arquimedes demonstrou isso da seguinte forma: sejam A e B duas grandezas comensuráveis, cujos centros de gravidade são, respectivamente, E e D, como mostra a figura abaixo.

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Seja C o ponto do segmento ED, tal que DCEC

= BA

. Trata-se de demonstrar

que C é o centro de gravidade da grandeza composta por A e B. Começa-se duplicando o segmento ED e acrescenta-se o segmento DK igual a CE a partir do segmento D e o segmento LE igual a CD a partir de E. SE H é tal que HD = DK,

resultará que LH = 2•CD e HK = 2•CE; temos, assim, LHHK

= BA

.

Em seguida, A e B são divididas em partes Z iguais entre si (isto pode ser feito, pois elas são comensuráveis) e, analogamente, HK e LH são divididos em tantos segmentos N iguais quantas forem, respectivamente, as partes de A e de B. Cada parte de Z é colocada então no centro de um segmento N. A configuração resultante, conforme o que foi demonstrado nas proposições precedentes, terá como centro de gravidade o ponto médio de LK, isto é o ponto C.

O sistema dos pesos que incidem sobre o segmento LH, pesos que juntos compõem A, tem seu centro de gravidade no ponto médio E, enquanto o sistema composto pelos pesos do segmento HK, que compõe B, tem seu centro em D: “Por isso diz Arquimedes – A será posto em E e B será posto em D”. Dado que o centro de gravidade global é C, segue-se que “se A está em E e B em D, os pesos estarão em equilíbrio em C”.Para obter a conclusão, portanto, a passagem fundamental é a que assegura a equivalência entre o sistema de pesos que se encontram no segmento LH e o peso A colocado em E. Citemos, a este respeito, Dijksterhuis: “O ponto crucial da demonstração consiste no fato de que... à alavanca são suspensas não as grandezas iniciais, mas dois sistemas de grandezas que são, respectivamente, do mesmo peso A e B e cujos centros de gravidade estão nos pontos E e D, considerados respectivamente como posições A e B. Isso significa que a influência de um corpo suspenso na alavanca depende,

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exclusivamente, da gravidade do corpo e da posição de seu centro de gravidade, ao passo que a forma não tem importância.”

Então se determinadas grandezas se equilibram a certa distância, grandezas iguais a elas também se equilibrarão à mesma distância. Em outras palavras, o equilíbrio não é perturbado quando grandezas equivalentes são substituídas às anteriores e colocadas à mesma distância.

Então no caso específico da nossa demonstração analisaremos a figura abaixo.

Se colocarmos pesos 3,2,1 MMM , (que são as tiras do cone e da esfera) em H, ou seja, a uma distância r do fulcro A e pesos iguais m (que são as tiras do cilindro) a distâncias 3,2,1 rrr , do fulcro A e usando a definição de momento teremos que:

11 rmrM •=•22 rmrM •=•33 rmrM •=•

: :

rnmrMn •=•

Somando-se todas as equações obteremos: (2)

( ) ( )

++++••=

•++++•=•++++

nrnrrrmn

nnrnrrrmrMnMMM ...221...321...321

É óbvio que se pendurarmos todas as tiras de cada sólido em sua devida posição no fim teremos o sólido inteiro e com isso contaremos com seu volume integral sem alterações.

Com isso Arquimedes cortou o cilindro até o centro AO’ das figuras, onde as contas se apresentavam mais razoáveis de serem feitas e concluiu com os cálculos acima que o cilindro deveria ser colocado no ponto médio de AO’, ou

seja, o cilindro será colocado em AS = 2

'AO = 2R

. Como o volume do cilindro e do

cone já era conhecido por Eudoxo e Demócrito, Arquimedes deduziu a fórmula

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abaixo usando como base a equação (1) trocando-se as áreas pelos volumes devido ao fato (2) mencionado acima e usando a lei da alavanca.

Com isso,

AH•VE(volume da esfera) + AH•VCo( volume do cone) = AS•VC(volume do cilindro)

Como as figuras foram cortadas em tiras até AO’ consideraremos apenas a

metade do volume da esfera e sabendo que o volume do cone, VC = 31

.π . 2r (área

da base) • h(altura do cone que é igual a R) e que o volume do cilindro, VC = π . 2r(área da base) • h(altura do cilindro que é igual a R), teremos que:

22 VER • + RRR •• 2..

312 π = RRR •• 2.2.

2π =>

VE + 3..32 Rπ = 3..2 Rπ =>

VE = 33 ..32..2 RR ππ − =>

VE = 3

..2..6 33 RR ππ − =>

VE = 3..4 3Rπ

c.q.d.

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5. DISCUSSÃO E CONCLUSÃO

Sabemos que hoje em dia o Cálculo Integral é largamente usado em diversas áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de matemática, mas de Física, Química, Astronomia, Economia, por exemplo. Mas para se chegar a métodos refinados, como os de agora, o conhecimento matemático passou por diversas lapidações e contradições que duraram séculos para se resolverem.

Arquimedes, pelas obras produzidas, pelo grau de rigor que se auto-exigia em suas demonstrações e pelo seu fabuloso raciocínio geométrico parecia ser um matemático que não condizia com o tempo em que vivia, pois, de longe, pensava muito além dos demais matemáticos contemporâneos, principalmente quando se falava em geometria. Sem dúvida alguma, a matemática arquimediana contribuiu bastante para o surgimento da matemática moderna, já que, partindo de seus postulados foi-se capaz de se chegar a resultados mais convincentes e elaborados e que não exigiam todo aquele rigor presente nos trabalhos de Arquimedes.

Com relação ao método de exaustão, que já sabemos que foi criado por Eudoxo, Arquimedes foi quem o aplicou de maneira mais elegante, aproximando-se da atual e verdadeira integração. O que podemos concluir com isso, a sua influência no desenvolvimento do conhecimento matemático.

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6. BIBLIOGRAFIA

STEIN, Scherman. Archimedes, What did he do beside cry eureka? Washington-USA. The Mathematical Assiciation of American, 1999.

SCIENTIFIC AMERICAN BRASIL. Coleção Gênios da Ciência: Arquimedes, pioneiro da matemática. Nº 7. 98p. Edição Especial (2005).

AABOE, Asger. Episódios da matemática antiga (coleção fundamentos da matemática elementar). Rio de Janeiro: SBM, 1984.

STRATHERN, Paul. Arquimedes e a alavanca em 90 minutos (coleção 90 minutos). Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 1998.

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