Série Arquimedes, Volume 2, Anais do DINCON 2003

2o Congresso Temático de Aplicações de Dinâmica e Controle da

Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional (SBMAC).

São José dos Campos, SP, Brasil, 18-22 Agosto de 2003, ISBN: 85-86883-15-8

Editores: J. M. Balthazar, G. N. da Silva, M. Tsuchida,

M. Boaventura, L. S. Goes e J. D. S. Silva.

ALGUMAS APLICAÇÕESwavelet

NA ANÁLISE DE SINAIS ATMOSFÉRICOS

Margarete Oliveira Domingues – LAC/INPE

Odim Mendes Júnior – CEA/INPE

Aracy Mendes da Costa – CEA/INPE

1 RESUMO

A análisewavelettem sido formalizada extensivamente graças aos esforços dos matemáticos, cons-

tituindo, no entanto, um núcleo de idéias partilhadas também por físicos, engenheiros entre outros.

Utilizada inicialmente nos estudos de sinais sísmicos na área de geofísica, nas últimas décadas, téc-

nicas comwaveletvêm sendo exploradas nas ciências atmosféricas e entre as aplicações pioneiras

destacam–se os estudos de turbulência. Quando se deseja aplicar a análisewaveleta um determi-

nado sinal, é indispensável avaliar a necessidade da aplicação da técnica e a melhor forma de fazê–lo.

Nas utilizações da análisewaveleta sinais atmosféricos, têm sido seguidas duas linhas mestras: a

análise de singularidades e a análisewaveletde variância. Este tutorial tem como objetivo auxiliar os

usuários potenciais dessa ferramenta por meio de uma síntese orientada por alguns trabalhos recentes

publicados na área das ciências atmosféricas. Assim, são apresentadas inicialmente as caraterísticas e

propriedades gerais das funçõeswavelet, enfocando aquelas que são mais utilizadas nas aplicações a

análises de sinais atmosféricas. São discutidas também as transformadaswaveletcontínua e discreta,

bem como os escalogramas e a análise de variância. Para completar, apresentam–se alguns exemplos

de análiseswaveletaplicadas a uma ampla gama de fenômenos das ciências atmosféricas.

Palavras chaves:wavelet, análise de sinais, multiescala, ciências atmosféricas

2 Introdução

Originalmente empregadas para análise de sinais sísmicos na geofísica (Morlet, 1983), as transfor-

madaswaveletforam melhor e mais amplamente formalizadas com os esforços dos matemáticos,

embora tais idéias já constituíssem um centro de convergência dos desenvolvimentos de físicos,

matemáticos, engenheiros, entre outros. Com isso, o uso das técnicas dewaveletna área de análise

de dados vem crescendo exponencialmente, pois ela representa uma síntese de idéias antigas aliada

a resultados matemáticos recentes, a eficientes algoritmos computacionais e ao interesse de ampla

comunidade (Daubechies et al., 1992).

O grande destaque desse tipo de técnica é a introdução da decomposição tempo–freqüência. Um

exemplo bem conhecido desse tipo de comportamento pode ser encontrado na estrutura musical, que é

vista como eventos no tempo. Embora participe de uma estrutura de maior complexidade, uma música

pode ser entendida como um conjunto de notas musicais que se caracterizam por quatro parâmetros:

freqüência, momento de ocorrência, duração e intensidade (Daubechies, 1992; Lau e Weng, 1995).

Nas últimas décadas, essas técnicas vem sendo exploradas nas ciências atmosféricas. Entre as

aplicações pioneiras, destacam–se os estudos de turbulência (Meneveau, 1991; Farge, 1992; Gao e

Li, 1993; Katul et al., 1994) e de variações interanuais e intrasazonais da Oscilação Sul e EL Niño

(Gambis, 1992).

Quando se fala da aplicação da análisewaveleta determinado sinal, uma questão importante é

avaliar se sua utilização é realmente necessária. Na constatação dessa necessidade, torna-se impor-

tante selecionar a melhor representaçãowaveletpara o sinal em estudo. Os livros de Chui (1992a,b);

Daubechies (1992); Chui (1994); Strang e Nguyen (1996) e Mallat (1999) são referências básicas

em análisewavelet. Além deles, há outros textos relevantes nesse tema, como, por exemplo, os

trabalhos de Strang (1993); Foufola-Georgoiu e Kumar (1994); Sweldens e Schröder (1995); Lau e

Weng (1995); Torrence e Compo (1998) e Gomes et al. (2001). Também tem sido muito destacada

a análisewaveletna área de estatística, sendo que referências nessa área são Houdré (1994), Percival

(2000) e Vidakovic (2000). No Apêndice são apresentadas algumas páginas da internet que contêm

informações e programas sobre o tópicowavelet.

Nas análises de sinais atmosféricos, duas linhas mestras de utilização dessa técnica têm sido

seguidas: uma delas é a análise de singularidades e a outra é a análisewaveletde variância ou, em

analogia com a nomenclatura de Fourier, o espectro dewavelet.

Este tutorial tem como objetivo auxiliar os usuários potenciais dessa ferramenta por meio de uma

síntese orientada por alguns trabalhos recentes publicados nessa área. Assim, nas próximas seções

faz–se uma breve apresentação da análisewavelet, do escalograma e análise de variância, da escolha

dawavelete, por último, de formas de aplicações utilizando essas técnicas.

3 Análisewavelet

O termo em francêsondelettesou em inglêswaveletassocia–se a idéia de “pequenas ondas“, tendo

um apelo intuitivo. No sentido desta análise, esse termo está associado a ondas localizadas, i.e.,

ondas que crescem e decaem em um período limitado de tempo. Formalmente, para que uma função

seja denominada dewavelet, usualmente denotada pela letraψ, ela deve satisfazer as propriedades a

seguir:

1) A integral dessa funçãowaveletdeve ser zero, i.e.,

∫ ∞

−∞ψ(t) dt = 0.

Isso garante que a funçãowavelettenha uma forma do tipo onda. Essa condição é conhecida como

condição de admissibilidade.

2) A funçãowaveletdeve ter energia unitária, i.e.,

∫ ∞

−∞|ψ(t)|2 dt = 1.

Isso garante que a funçãowaveletpossua suporte compacto, ou com um decaimento rápido de

amplitude (e-folding time), garantindo a localização espacial.

De modo geral, as funçõeswaveletpossuem a propriedade de dupla localização: em freqüên-

cia e em tempo, com um compromisso entre elas. A localização temporal ocorre por ser a função

waveletlocalizada em um intervalo finito. Dessa forma, à medida que a escala aumenta, as funções

waveletdessas escalas ficam localizadas em intervalos de comprimento cada vez menores. Em cada

nível de escala, todas as funçõeswaveletpossuem a mesma forma, só mudando seus pontos de loca-

lização, i.e., transladando. A localização em freqüência deve–se à transformada de Fourier da função

waveletpoder ser interpretada como um filtropassa–banda. Devido à propriedade de dupla locali-

zação das funçõeswavelet, a transformadawaveleté dita do tipolocal em tempo–freqüência, com

resolução temporal e em freqüência inversamente proporcionais. Esse comportamento é esquemati-

zado na Figura 1.

3.1 Transformadaswavelet

A transformadawaveleté uma transformada linear que pode ser utilizada na análise de sinais não

estacionários para extrair informações das variações em freqüência desses sinais e para detectar suas

estruturas temporalmente e/ou espacialmente localizadas.

Figura 1: Esquema de um plano tempo× freqüência. À esquerda são apresentadas variações pro-porcionais dos intervalos de tempo e de freqüência e à direita uma representação da dilatação de umafunçãowaveletnesses respectivos intervalos.

A transformada wavelet de uma série temporalf é definida pela transformada integral

Wψf (a, b) =

∫ ∞

−∞f(u)ψ̄a,b(u) du a > 0,

em que

ψa,b(u) =1√aψ

(u− b

a

)representa a família de funçõeswaveletescolhida, denominadawavelet–mãe. O parâmetroa se refere

a escala,b é um parâmetro de translação ou localização da funçãowavelet–mãe eψ̄a,b(u) é o com-

plexo conjugado deψa,b(u). A variação do parâmetroa têm o efeito de dilatação (quandoa > 1) e

de contração (quandoa < 1) da funçãowavelet–mãe. Com isto, pode–se analisar respectivamente os

aspectos de longo ou curto período na série. À medida queb varia, a funçãof é analisada localmente

em torno desse ponto. Para exemplificar a aparência dessa transformada, na Figura 2(a) é apresentado

um sinal não estacionário composto de quatro freqüências em30Hz, 20Hz, 10Hz, e 5Hz, dispostas

consecutivamente no intervalo amostrado. Na Figura 2(b) mostra–se uma representação da transfor-

mada desse sinal. Nessa figura observa-se que pequenas escalas correspondem às freqüências mais

altas, i.e., as freqüências decaem à medida que as escalas aumentam. No início desse sinal ocorre

uma oscilação de alta freqüência (30Hz), que está representada nas pequenas escalas e nos pontos de

translação de0 a300. A seguir há uma oscilação de20Hz, que é a segunda maior freqüência do sinal,

e assim por diante.

Essa transformada é chamada de transformadawaveletcontínua (CWT ), porque os parâmetros de

escala e localização assumem valores contínuos. A CWT de uma série temporal pode ser apresentada

(a) Sinal

(b) Representação da transformadawavelet

Figura 2: Representação da transformadawaveletde um sinal sintético não estacionário.FONTE:http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTpart3.html

visualmente por uma imagem ou um campo de isolinhas. Um exemplo desse tipo de representação é

apresentado na Figura 3, para um sinal de insolação na Península Antártica no inverno (junho).

É possível também obter a inversa dessa transformada, que está expressa a seguir

IWψf (b) =

1

Cψ

∫ ∞

−∞

∫ ∞

0

1

a2Wψ

f (a, u) ψ̄a,b(u) da du,

em queCψ é uma constante que depende da funçãowaveletescolhida.

A CWT equivale a um microscópio matemático, cuja ampliação é dada pelo inverso do parâmetro

Figura 3: Exemplo de um sinal de insolação, seu espectro de Fourier, sua representação pela CWT .À esquerda é apresentado o espectro de Fourier. O diagrama superior direito ilustra o módulo datransformada wavelet vs. freqüência. Os eixos horizontais e verticais são representados pelo tempo(eras) e pela freqüência, respectivamente. As escalas de cores vão do azul (o mais alto valor domódulo negativo) ao vermelho (o mais alto valor do módulo positivo). Para eliminar números deonda sem significância estatística, a cor branca é aplicada aos menores valores de módulo positivo. Odiagrama inferior direito apresenta o sinal processado.FONTE:http://www-odp.tamu.edu/publications/178_SR/chap_32/c32_6.htm

de dilatação e a capacidade óptica pela escolha da funçãowavelet–mãe (Foufola-Georgoiu e Kumar,

1994).

A wavelet–mãe de Morlet consiste de uma onda plana modulada por uma função Gaussiana que

é expressa por

ψ(t) = π−14

(eiξt − e−

ξ2

2

)e−t2

2 ,

em queξ é uma freqüência não–dimensional, plotada na Figura 5(a), apresentada mais adiante. Em

geral, escolhe–seξ = 5, de tal forma que o maior e o menor valor deψ seja≈ 1

2. Com isso, a

condição de admissibilidade é satisfeita (Daubechies, 1992). Essawaveleté uma função complexa,

o que permite analisar a fase e o módulo do sinal decomposto. Na Figura 4 é apresentada uma

decomposição de um sinal com variações bruscas utilizando a funçãowavelet–mãe de Morlet. No

cálculo da CWT , muitas das informações apresentadas relacionadas a escalas ou tempos próximos

são redundantes. Isto faz com que CWT possua um alto custo computacional.

(a) Sinal

(b) Representação da CWT

Figura 4: Decomposição de um sinal com variações bruscas utilizando uma funçãowaveletde Morlet.FONTE:http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTpart3.html

Outrawavelet–mãe, conhecida como chapéu mexicano, é a derivada segunda da função de densi-

dade de probabilidade Gaussiana, expressa por

ψ(t) =2

√3 π

14

e−t2

2(1− t2

).

Essa função possui suporte infinito; entretanto, o seu suporte efetivo está no intervalo[−5, 5], como

pode ser observado na Figura 5(b).

(a) Morlet (parte real) (b) chapéu mexicano

Figura 5: Exemplos de funçõeswavelet–mãe usadas na CWT .

A transformada wavelet discreta (DWT ) é implementada em valores discretos de escalaj e lo-

calizaçãok. Nesse caso, pode-se ter representações redundantes ou não, dependendo do esquema de

discretização utilizado. Para evitar redundâncias, pode–se escolher funçõeswaveletque formem uma

base ortonormal e definir uma DWT da seguinte forma

Dfjk = 2−

j2

∫ ∞

−∞f(u)ψ̄jk(u) du,

em que

ψjk(u) = 2−j2 ψ

(2−ju− k

).

Tais conjuntos de funçõeswaveletsão ortogonais com suas respectivas funções transladadas e di-

latadas.

Sinaisf(t) são representados por séries do tipo

f(t) =∞∑

j=−∞

∞∑k=−∞

djk ψjk(t),

em queψjk(t) = ψ(2jt− k) são as funçõeswaveletedjk são os coeficienteswavelet

djk =

∫f(u)ψjk(u)du.

Pode–se mostrar, como uma propriedade da análisewavelet, que a amplitude dos coeficenteswaveletestá

associada às variações mais abruptas do sinal ou “detalhes´´ de mais alta freqüência (Meyer, 1990;

Daubechies, 1992; Chui, 1992b).

As funçõeswaveletortogonais mais simples são aswaveletde Haar

ψ(t) =

1, 0 ≤ t < 1/2

−1, 1/2 ≤ t < 1

0, caso contrário.

A DWT com awaveletde Haar é utilizada para detectar variações bruscas nos sinais, i.e., um as-

pecto de localização no espaço físico. Pode-se observar também que os coeficienteswaveletindicam

a região de transição entre diferentes tipos de movimentos. A transformada de Fourier não é capaz

de reconhecer essa região de transição. Na análise de Fourier apenas a presença das freqüências en-

volvidas é detectada, sem nenhuma informação sobre a localização espacial dessas freqüências. Um

exemplo de visualização dos coeficienteswaveletde uma DWT é apresentada na Figura 6.

É possivel construir funçõeswaveletutilizando uma ferramenta matemática conhecida como análise

multirresolução (Mallat, 1991; Daubechies, 1992; Jawerth e Sweldens, 1994). Nessa técnica gera–

se a funçãowavelet–mãe a partir de uma função de escalonamento. Com isso, bases com suporte

compacto e grau de suavidade arbitrário podem ser construídas. As funçõeswaveletortogonais de

Daubechies são um exemplo desse tipo de construção, ver mais detalhes em Daubechies (1992). Em

geral, essas funções não possuem expressões analíticas e não são simétricas. Para se obter funções

simétricas, foi desenvolvido um procedimento utilizando duas análises multirresolução, o que permi-

tiu a construção das famílias biortogonais de Daubechies. A Figura 7 apresenta dois exemplos típicos

f 5

d1

d2

d3

d4

d5

Figura 6: Representação de uma função oscilatória com freqüências baixas e altas espacialmentedeslocadas e seus recpectivos coeficienteswavelet

dessas funções, esses gráficos foram gerados utilizando o algoritmo descrito em Daubechies (1992).

(a)caso ortogonal, ordem2 (b) caso biortogonal, família{2, 4}

Figura 7: Exemplos típicos de funçõeswaveletde Daubechies. (a) Caso ortogonal, em que essa asfunções wavelet não são simétricas e (b) caso biortogonal, em que as funções wavelet são simétricas.

4 Escalograma e análise de variância

A transformadawaveleté uma transformada que preserva a energia. Em analogia com a terminologia

adotada na análise de Fourier, convencionou-se chamar o módulo ao quadrado da CWT de escalo-

grama e o produto de duas CWT de funções distintas de escalograma cruzado (Flandrin, 1988). O

escalograma destaca se o sinal analisado possui características multiescala e quais escalas participam

dos processos representados no sinal.

Liu (1994) definiu uma função de coerênciawaveletcomo

Γ =Wψ

f (a, t) W̄ψg (a, t)

|Wψf (a, t)||Wψ

g (a, t)|,

em quef e g são duas séries temporais, utilizando awaveletde Morlet para estudar interações entre

o vento e as ondas oceânicas. Torrence e Compo (1998) discutiram a aplicabilidade prática dessa

informação para caracterização da correlação cruzada, uma vez que há dificuldades de se analisar a

informação resultante. No caso em questão, o tratamento convencional dado na análise de Fourier

afeta a localização temporal da análisewavelet.

Com o propósito de detectar escalas dominantes ou módulos de variações, a análise de variância

waveletou o espectrowaveletfoi definido originalmente por Meneveau (1991) como

S(a) =

∫ ∞

−∞Wψ

f (a, t)dt.

Também é possível calcular o espectrowaveleta partir da DWT . Neste caso, considerando sinais

com média zero e2J elementos, a energia total contida em cada escalaj é expressa por

Sjw =ds

2π ln(2)2−(J−j)

2J−j∑k=1

[djk

]2,

com o número de ondas

kj =2π

2j ds,

em queds é o intervalo das amostras observadas (Katul et al., 1994; Percival, 2000). Na Figura 8(a)

é apresentada uma comparação entre os espectroswavelete Fourier. Observa-se que o espectro

waveleté mais suavizado. Os coeficientes da transformadawaveletsão influenciados pelos even-

tos locais; enquanto que na transformada de Fourier os coeficientes são função do domínio como um

todo. Isso faz com que o espectrowaveletseja uma melhor medida da variância atribuída a eventos

localizados. Outra vantagem desse espectro é que ele pode ser construído mesmo quando há falhas

na série temporal. Isso facilita a análise de períodos mais longos, em que em geral é muito difícil não

haver falhas nos dados atmosféricos. Máximos locais nesse espectro provêem informações sobre as

escalas em que importantes características ou eventos coerentes dão uma contribuição significativa.

De forma similar, pode–se definir o co-espectrowaveletde duas funçõesf e g a partir de seus

coeficientes waveletdj nas escalasj usando a expressão

Cjw =ds

2j ln(2)

2j∑k=1

dj,(f)k d

j,(g)k .

(a) Espectrowavelet (b) Co–espectrowavelet

Figura 8: Exemplo de um espectro e co-espectro dewaveletde sinais turbulentos. No gráfico doco-espectro, a curva padrão de uma lei de potência também é mostrada.

Relações entre os coeficienteswavelete momentos de ordem superior, como a simetria e a curtose,

também foram definidas. Mais detalhes podem ser encontrados em Meneveau (1991); Katul et al.

(1994); Percival (2000) e Vidakovic (2000).

5 Como escolher uma funçãowavelet?

Uma questão que sempre surge na aplicação da análisewaveleté a escolha da funçãowaveletmais

adequada para analisar um certo tipo de sinal. Não existe uma receita única para esse procedimento.

Por outro lado, alguma recomendações podem ser de úteis.

• A forma da funçãowaveletescolhida deve refletir as características da série temporal. Por

exemplo, para as séries temporais com variações bruscas ou degraus awaveletde Haar pode ser

a mais adequada; por outro lado, para analisar séries temporais com variações mais suaves, as

waveletde Morlet e chapéu mexicano são as mais utilizadas.

• Caso se deseje estudar mudanças de amplitude e fase, umawaveletcomplexa pode ser a mais

adequada, como a de Morlet. Isso ajuda a capturar o comportamento oscilatório dos dados.

• Numa análise exploratória dos dados, as funçõeswaveletnão-ortogonais revelam–se úteis, pois

permitem uma redundância de informação.

• Para sintetizar dados e fazer compressões, usam–se as funçõeswaveletortogonais, que repre-

sentam os sinais de forma mais compacta.

• Quando é necessário uma informação quantitativa sobre um processo, funçõeswaveletortogonais

são a melhor escolha (Kumar e Foufoula-Georgoiu, 1997).

Se nas análises feitas for estudado apenas o espectrowavelet, parece que, qualitativamente, essa

escolha não afeta muito os resultados. Isso foi constatado por Katul et al. (1994) e Torrence e Compo

(1998), para dados de turbulência e séries de dados climáticos.

6 Aplicações

Nas análises, as ferramentaswaveletsão essencialmente usadas de duas formas: como um núcleo de

integração de análises para extrair informações sobre processos e/ou como uma base de represen-

tação ou caracterização de processos. Alguns trabalhos escolhidos, e resumidamente descritos aqui,

retratam as aplicações a uma ampla gama de fenômenos, desde as questões de interação atmosfera–

oceano até fenômenos do "Espaço Próximo", que dizem respeito à atmosfera como um todo, ou seja,

em essência, a todo o ambiente de influência imediata sobre o ser humano e seu habitat.

Em Katul e Vidakovic (1996, 1998) e Vidakovic (2000), foi discutido o problema de escolhas de

waveletortogonais de Daubechies para sinais turbulentos e verifica–se que a escolha deve ser a que

menos desbalanceia a energia do sinal, isto é, a que necessite do menor número de coeficientes para

representar o sinal. Esses autores desenvolveram um esquema de limiar, designado por eles de limiar

de Lorentz, para identificar os coeficientes mais significativos. Outro artigo nesse contexto é o de

Donoho e Johnstone (1994).

Weng e Lau (1994) estudaram a organização de convecção tropical no Pacífico oeste, utilizando

a DWT com awaveletde Haar e CWT com awaveletde Morlet. Inicialmente, esses autores fizeram

uma aplicação dessas ferramentas, utilizandowaveletde Haar, em séries temporais sintéticas de sis-

temas dinâmicos, com duplo período. A seguir, eles utilizaram esse padrão de reconhecimento a séries

de dados de infravermelho, obtidos de imagens de satélite de alta resolução, tanto para aswaveletde

Haar quanto para awaveletde Morlet.

Briggs e Levine (1997) aplicaram as técnicas da DWT , no sentido exploratório, para auxiliar na

verificação de campos de previsão, uma vez que as medidas convencionais ainda mostram–se inade-

quadas. Essa técnica permitiu compactar e filtrar convenientemente o particionamento dos campos,

auxiliando a interpretação física das verificações.

Como os estudos do fenômeno El Niño/Oscilação Sul vêm sendo realizados há algum tempo,

Torrence e Compo (1998) investigaram as séries temporais associadas a esse fenômeno para avaliar

e comparar as técnicas de análisewaveletcom os resultados já conhecidos. Com isso, esses autores

implementaram uma metodologia baseada nas técnicas de Monte Carlo para estabelecer limites de

confiança nas análises de variânciawavelet. Na Figura 9, são apresentados uma série temporal re-

presentativa desse fenômeno e o campo de isolinhas com o resultado da CWT , já estabelecidos os

limites de confiança.

A DWT também pode ser utilizada para discriminar mesociclones em dados de radar Doppler

(Desrochers e Yee, 1999) e para caracterizar as estruturas de sistemas convectivos (Yano et al.,

2001b,a).

Figura 9: Série temporal e campo de isolinhas com o resultado da CWT .FONTE:paos.colorado.edu/research/wavelets/software.html

Quanto a irradiância solar e reconstruções climáticas, Oh et al. (2003) procederam a uma análise

multirresolução de séries temporais. A decomposição por meio da DWT foi realizada de forma a

facilitar a identificação de características comuns entre essas séries temporais e as forçantes climáticas

fisicamente associadas.

A CWT com awaveletde Morlet foi utilizada na detecção e processamento de transientes mag-

netotelúricos provenientes de descargas elétricas atmosféricas (Zhang et al., 1997). Para o exame

magnetotelúrico nas audiofreqüências, tempestades próximas e a grandes distâncias são as fontes de

energia dominante. A energia associada com tais transientes está bem localizada no tempo e portanto,

a CWT pode ser usada para decompor os dados registrados e analisar a amplitude e a fase de tais

pulsos, distinguindo–os do ruído. Mais recentemente, ainda em um estudo preliminar, Ageyev et al.

(2003) utilizaram a DWT com awaveletde Haar para analisar sinais desfericsproduzidos por relâm-

pagos, de forma a extrair informações do campo eletromagnético, da estrutura morfológica do canal

ionizado e do comportamento da corrente elétrica da descarga.

Lawrence e Jarvis (2003), no estudo de observações simultâneas de ondas planetárias de30 a

220 km, utilizaram as transformadas de Fourier conjugadas com as CWT utilizando Morlet. Essa

análise mostrou que a relação entre as atividades de ondas planetárias em diferentes altitudes possuem

um alto grau de complexidade, pois há pulsos localizados em diversas dessas altitudes e essas séries

apresentam um comportamento não–contínuo entre si.

Na Figura 10 é apresentado um exemplo da aplicação da DWT a uma série temporal de um mag-

netograma utilizando awaveletde Haar. Observa–se que os coeficienteswaveletreferentes às escalas

de 1 a 5 estão integrados na imagem superior dessa figura. Nesse caso os campos são obtidos por meio

de interpolações. Abaixo dessa imagem é apresentada a série temporal em estudo. As variações brus-

cas desse sinal estão associadas a tempestades magnéticas no meio interplanetário (investigação em

desenvolvimento pelos autores desse tutorial). Esse comportamento é evidenciado por coeficientes

waveletde maiores amplitudes. Exceto pelas constrições de resolução, é possivel construir gráficos

do tipo apresentado na Figura 10 para analisar os resultados da DWT (Kumar e Foufoula-Georgoiu,

1997).

Kovács et al. (2001), analisando séries temporais geomagnéticas, utilizaram a DWT ortogonal de

Daubechies para identificar e separar as partes intermitentes do sinal do ruído homogêneo de fundo.

A seguir puderam analisar estatisticamente os eventos coerentes identificados.

Entre outras ferramentas multiescala, Lui (2002) empregou a CWT com awaveletde Morlet para

analisar as características ondulatórias de dados magnéticos e elétricos de fenômenos da magnetosfera

próxima à Terra e também de fenômenos aurorais. Eles definiram uma análisewaveletde bi–coerência

para examinar o acoplamento onda–onda não–linear baseada no co–espectrowavelet.

Para dar uma maior objetividade ao estudo das variações do ciclo solar relacionadas a indicadores

do clima terrestre, Fligge et al. (1999) utilizaram a CWT com awaveletde Morlet, com sucesso.

Contribuindo nos estudos de raios cósmicos, uma área em que há pouco uso dessa técnica, Kudela

et al. (2001) aplicaram a CWT de Morlet, com a mesma metodologia de Torrence e Compo (1998),

a uma série temporal de longo termo observada por monitores de nêutrons. Transições entre as fre-

qüências detectadas foram nitidamente observadas nos espectroswavelet.

Embora não esgotem as possibilidades de uso dessa técnica de análise, esses trabalhos mostram a

abrangência de sua utilização.

Figura 10: Exemplo da aplicação da DWT a uma série temporal de um magnetograma.

7 Considerações finais

A TRANSFORMADA wavelet REVELA QUAL PARTE DO SINAL ANALISADO TRANSPORTA ENERGIA E EM

QUAIS FREQÜÊNCIAS.

Essa frase traduz talvez todo o espírito, do ponto de vista físico, dessa ferramenta. Esse trabalho,

embora sem esgotar os muitos trabalhos existentes e as diversas áreas de ciência, procurou carac-

terizar, pela seleção de alguns deles, os esforços realizados dentro da área de aplicação dewaveleta

análise de sinais atmosféricos.

Nas Ciências Atmosféricas, tem se tornado cada vez mais significativa a utilização da análise

wavelet. Por exemplo, considerando as publicações nas revistas da Sociedade Americana de Meteo-

rologia na última década, verifica–se que esse número têm crescido.

Por outro lado, considerando um conjunto maior de trabalhos do que os apresentados aqui, a

investigação dos fenômenos empregando essa técnica requer um bom conhecimento da ferramenta

wavelet, para assegurar o entendimento do resultado obtido e a sua consistência.

Existem outras famílias dewaveletcomo, por exemplo, awaveletde Meyer, utilizada por Yano

et al. (2001b,a), aswaveletpackets definidas por Coifman et al. (1992) e as multiwaveletutilizadas

por Lilly e Park (1995); Zanandrea et al. (2000). Contudo, na maioria das aplicações atmosféricas, as

funçõeswaveletutilizadas têm sido as famílias de Morlet, chapéu mexicano, Haar e Daubechies.

Muito provavelmente essas escolhas da funçãowaveletestão associadas a uma maior disponibili-

dade desoftwarespara o cálculo da CWT e DWT com essas funções.

Embora o esforço inicial requerido para a utilização do seu formalismo, as transformadaswavelet

mostram–se realmente uma ferramenta muito útil na análise de sinais registrados dos vários fenô-

menos atmosféricos, constituindo um cenário encorajador para as atividades de pesquisa.

Apêndice

Alguns endereços eletrônicos relevantes em wavelet

Informações

www.wavelet.org

dmsun4.bath.ac.uk/resource/warehouse.htm

www.uni-stuttgart.de/iag/

www.cosy.sbg.ac.at/~uhl/wav.html

norum.homeunix.net/~carl/wavelet/

ftp.nosc.mil/pub/Shensa/Signal_process/

Softwares

Amara www.amara.com/current/wavesoft.html

FracLab/Scilab www-rocq.inria.fr/scilab/contributions.html

Lifting www.cs.kuleuven.ac.be/~wavelets/

Morlet ftp.nosc.mil/pub/Shensa/Signal_process/

Numerical Recipes www.nr.com/public-domain.html

Rice www-dsp.rice.edu/software/rwt.shtml

Wavelab/MatLab www-stat.stanford.edu/~wavelab/

WPLab www.math.wustl.edu/~victor/software/WPLab/

WaveTresh/R www.stats.bris.ac.uk/~wavethresh/software

Torrence e Compo (1998)paos.colorado.edu/research/wavelets/software.html

Agradecimentos

Os autores agradecem ao Dr. Elbert E. N. Macau o incentivo, ao Dr. Robi Polikar a autorização de

uso de figuras e ao CNPq o auxílio PCI-INPE382465/01− 6.

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