derivada - speedserv · ... é a função denotada por f´(x), tal que o seu valor em qualquer...

DERIVADA

Cristianeguedes.pro.br/cefet

1 Profª Cristiane Guedes

Reta Tangente

Como determinar a inclinação da reta tangente a

curva no ponto ? ( )y f x ))(,( 00 xfxP

2

Profª Cristiane Guedes

Para responder a essa pergunta consideramos um

ponto Q(x1, f(x1)) sobre a curva e calculamos a

inclinação da reta secante PQ.


O quociente fornece a inclinação da

reta secante, portanto fazendo o ponto Q se aproximar

do ponto P ao longo da curva y = f(x) , implica que x1

se aproxima de x0, isto é

Quando esse limite existe, ele fornece a inclinação da

reta tangente à curva no ponto (x0, f(x0)).

01

01 )()(

xx

xfxf

x

xfxxf

xx

xfxfm

xxxt

)()(lim

)()(lim

001

01

01


Velocidade Média

Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que S =

S(t) represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante

t. Então, no intervalo de tempo entre t e , o corpo sofre

um deslocamento .

Definimos Velocidade Média nesse intervalo de tempo como o

quociente:

tt

)()( tSttSS

t

tSttSvm

)()(

5


Velocidade Instantânea

Para obter a Velocidade Instantânea, calculamos a

velocidade média em intervalos de tempo

cada vez menores. Desse modo, temos:

t

t

tSttS

t

Sv

ttinst

)()(limlim

00

6


Aceleração Instantânea

Para obter a Aceleração Instantânea, calculamos a

aceleração média em intervalos de tempo

cada vez menores. Desse modo, temos:

t

t

tvttv

t

va

ttinst

)()(limlim

00

7


Derivada em um ponto


8

A derivada de uma função f(x) no ponto x1, denotada por

f´(x1) é definida pelo limite:

x

xfxxfxf

x

)()(lim)´(

0

Este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva

y=f(x) no ponto de abscissa x1.

A Derivada de uma função


9

A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f´(x), tal que o seu valor em qualquer ponto do seu domínio é dada por

x

xfxxfxf

x

)()(lim)´(

0

Dizemos que uma função é derivável quando existe a

derivada em todos os pontos de seu domínio.

, se esse limite existir.

dx

dyxfy )´(´

Exemplos:


10

Calcule as seguintes derivadas pela definição:

).´(,3

2)()

).2´(,165)() 2

xfencontrex

xxfb

fencontrexxxfa

c) Encontre a equação da reta tangente à curva , que

seja paralela à reta 8x-4y+1=0

d) Encontre a equação da reta normal à curva y = x2 , no ponto

P(2, 4).

xy

Derivadas laterais


11

Se a função y = f(x) está definida em x1, então a derivada à

direita de f em x1 , denotada por f+´(x1) é definida por:

x

xfxxfxf

x

)()(lim)´(

0

Se a função y = f(x) está definida em x1, então a derivada à

esquerda de f em x1 , denotada por f-´(x1) é definida por:

x

xfxxfxf

x

)()(lim)´(

0

Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas laterais nesse ponto

são iguais.

Profª Cristiane Guedes 12

Teorema: Toda função derivável num ponto x1 , é contínua nesse

ponto.

OBS: A recíproca não é verdadeira.

02

02)(:

2

2

xsexx

xsexxxfEx

Regras de Derivação


13

1 - Derivada de uma função constante

Se k é uma constante e f(x) = k para todo x, então f’(x) = 0.

2 - Derivada de uma função potência

Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então:

f’(x) = n. xn-1

Exemplo: Seja f(x) = x5 f’(x) = 5x4.

3 - Derivada de uma função multiplicada por k

Sejam f uma função, k uma constante e g a função definida por

g(x) = k.f(x), então:

g’(x) = k.f’(x).

Exemplo: f(x) = 8x2 f’(x) = 8.(2x) = 16x


Exemplo – Determinar a equação da reta normal ao gráfico de

f(x) = x2 + 1, no ponto de abscissa 1.

x0 = 1

f(1) = 2

x


4 - Derivada da Soma

Sejam f e g duas funções e h a função definida por

h(x) = f(x) + g(x).

A derivada da soma é: h’(x) = f’(x) + g’(x).

Exemplo: f(x) = 3x4 + 8x + 5

f’(x) = 3.(4x3) + 8.1 + 0 = f’(x) = 12x3 + 8

5 - Derivada do Produto

• Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x)

. g(x). A derivada do produto é:

h’(x) = f (x) . g’(x) + f’(x).g(x) y’ = u.v’ + u’.v

OBS: A derivada do produto não é o produto das derivadas.

Exemplo f(x) = (2x3 - 1)(x4 + x2)

f’(x) = (2x3 - 1).(4x3 + 2x) + (x4 + x2).6x2


6 - Derivada do quociente

Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x)

= f(x) / g(x). A derivada do quociente é:

Exemplo:

35

32)(

2

4

xx

xxf 22

432

)35(

)52)(32()04.2).(35()('

xx

xxxxxxf

22

432

)35(

)52)(32()8).(35()('

xx

xxxxxxf

2)]([

)(').()(').()('

xg

xgxfxfxgxh

2

'.'.'

v

vuuvy


6 - Derivada da Função Exponencial

aax

aa

x

aa

x

aaa

x

aaxfaxf

xx

x

x

x

xx

x

xxx

x

x

xx

x

ln.)1(

.lim)1.(

lim

.limlim)´()(

00

00

aaxfaxf xx ln.)´()(

xx exfexf )´()(

Exercícios


18

x

x

exxfe

x

xxxfd

xxxfc

exxfb

xxxfa

.)()

34)()

1)()

.2)()

43)()

2

2

2

2

f) Encontre a equação da reta tangente à curva no

ponto (1, e/2). 21 x

ey

x

Derivada das funções trigonométricas


19

)(cot).sec(cos)´()sec(cos)(

)().sec()´()sec()(

)(seccos)´()(cot)(

)(sec)´()()(

)()´()cos()(

)cos()´()()(

2

2

xgxxfxxf

xtgxxfxxf

xxfxgxf

xxfxtgxf

xsenxfxxf

xxfxsenxf

Exercícios


20

1) Encontre a equação da reta tangente à curva

no ponto (π/3, 1).

2) Que valores de x fazem com que o gráfico de f(x)= x

+ 2. sen(x) tenha uma tangente horizontal?

3) Encontre os pontos da curva que possuem

tangente horizontal.

xxxf cos2sec)(

senx

xy

2

cos


4) Uma escada com 10 m de comprimento está apoiada em

uma parede vertical. Seja o ângulo entre o topo da

escada e a parede e x a distância da base da escada até a

parede. Se a base da escada escorregar para longe da

parede, com que rapidez x vai variar em relação a

quando ?

3

Derivada das Funções Compostas

Regra da Cadeia


22

Exemplo

Calcule a derivada de h(x) = (2x + 1)10.

A função h(x) é composta, f(x) = x10 e g(x) = 2x + 1.

Pela regra da cadeia, temos

h’(x) = f‘(g(x)) . g’(x) = 10.(2x + 1)9.2 = 20(2x + 1)9

Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da função

composta f(g(x)) é dada por:

[f(g(x))]’ = f’(g(x)) . g’(x)

Exercícios


23

a)

b)

c)

8)32( xy

d)

e)

f)

522 axy

331 xy

3

xa

xay

x

xy

1

1

22 32 xy


2

2

)3sec(

)(

3

3

)12(

)5(cot)()

)8()()

)cos()()

)()

)()

))(()()

)()()

2

x

xgxxfm

xtgxfl

exfk

exfj

exfi

xsenxfh

xsenxfg

x

x

xsen

Derivada da Função Inversa


25

Seja f inversível e derivável no número a = f-1 (b), com

f´(a)≠0. Então a sua função inversa f-1 é derivável em b, com

)´(

1

))(´(

1))´((

1

1

afbffbf

Exemplo: Considere a função f(x)=3x2 + x –1 na vizinhança

do ponto x = 2. Calcule a derivada da função inversa de f

no ponto b = f(2) = 13.

xxfxxf

axxfxxf a

1)()ln()(

)ln(.

1)()(log)(

´

´

Derivada das Funções Logarítmicas


26

)ln(.

1

)ln(.

1

))(´(log

1

))(´(

1))´((

)(log)()(

)(log1

1

1

ax

aaxfxffxf

xxfaxf

x

a

a

x

a

Exercícios


27

xxyf

x

xxye

xyd

xsenxfc

xxfb

xsenxfa

)

)23(

1)

ln)

))(2(log)()

)1ln()()

))(ln()()

5

24/3

10

3

Derivadas Sucessivas


28

No estudo de máximos e mínimos, vamos precisar não apenas

da derivada de uma função, mas de suas demais derivadas

(das derivadas das derivadas).

A derivada de uma função f é chamada de primeira derivada

de f e é denotada por f’. A derivada de f´ é chamada de

segunda derivada de f e é denotada por f’’. A derivada de f´´

é chamada da terceira derivada de f, e é denotada por f’’’; e

assim sucessivamente.

DERIVADAS DE ORDENS SUPERIORES

A derivada de uma função f(x) é também uma função de x.

conseqüentemente, podemos calcular a sua derivada. Teremos a

derivada segunda da função.

2

2

( )

( ) ( )

x

y f x

dyf

dx

d dy d yf x

dx dx dx

Generalizando, podemos calcular a n-ésima derivada de uma função

( )

( )

( )n

n

n

y f x

d yf x

dx

29


Exemplos:

A derivada segunda da função y=senx é:

2

2

cos

y senx

dyx

dx

d ysenx

dx

A derivada segunda da função y=e2x é:

2

2

22

2

2

4

x

x

x

y e

dye

dx

d ye

dx


Exercícios


31

Encontre todas as derivadas das funções

abaixo:

)ln()()

)()()

)()

3)()

2

23

xxfd

xsenxfc

exfb

xxxfa

x

Taxas Relacionadas


32

1) Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm3/s. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 80 cm?

2) Um tanque de água tem a forma de um cone circular reto invertido, com base de r = 2m e h = 4m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2m3/min, encontre a taxa de variação do nível da água, quando a água estiver a 3m de profundidade.

Derivação Implícita


33

Dada uma equação envolvendo as variáveis x e y, muitas vezes

não conseguimos isolar o y. Quando isso acontece, dizemos que y

é uma função implícita de x.

Por exemplo: x2.y + y2 . x = 2xy

Para calcular a derivada de uma função na forma implícita temos

que derivar os dois membros da equação em relação a x (para

encontrar dy/dx), não esquecendo de usar a Regra da Cadeia

para derivar os termos que contêm y, já que y é função de x.

Exercícios


34

1) Encontre dy/dx:

222) ayxa

053) 33 xyxyb

2) Encontre a equação da reta tangente e da reta normal

à curva no ponto (1, 1) . 53 22 yyxx

yx

yxyc

3)

Máximos e Mínimos


35

Considere a função y = f(x) e suponha que x1 é um ponto do domínio de f.

),x(f)x(f 1

I – O ponto x1 é um ponto de máximo local (ou relativo) da função f se existe

um intervalo aberto contendo x1 , tal que ).f(Dx para todo

),x(f)x(f 1

II – O ponto x1 é um ponto de mínimo local(ou relativo) da função f se existe

um intervalo aberto contendo x1 , tal que ).f(Dx para todo

f

Exemplos:

x = 0 , ).x(f)0(f Daí, x = 0 é ponto de mínimo local.

x = 3 , ).3(f)x(f Daí, x = 3 é ponto de máximo local.


x = 13 , ),13(f)x(f daí, x = 13 é ponto de máximo local.

x = 15 , ),x(f)15(f daí, x = 15 é ponto de mínimo local.

x = 6 , ).x(f)6(f Daí, x = 6 é ponto de mínimo local.

f

Exemplos:

Se x1 é um ponto de mínimo local

dizemos que f(x1) é um valor de mínimo

da função f .

Se x1 é um ponto de máximo local

dizemos que f(x1) é um valor de máximo

da função f .

Valores de mínimo da função f: -6 e 3.

Valores de máximo da função f: 3 e 6.

),x(f)x(f 1

III - Diz-se que x1 é um ponto de máximo global (ou absoluto) da função f se

).f(Dxpara todo

),x(f)x(f 1

IV - Diz-se que x1 é um ponto de mínimo global (ou absoluto) da função f se

).f(Dxpara todo

Observe que a função f não possui ponto de máximo global.

Os pontos de mínimos globais da função f são: x = 0 e x = 6


Exemplo 3 - Encontrando Extremos Absolutos

Função Domínio D Extremos Absolutos em D

(a) 2y x ( , ) Ausência de máximo absoluto.

Mínimo absoluto 0 quando x = 0.

(b) 2y x [0, 2] Máximo absoluto 4 quando x = 2.

Mínimo absoluto 0 quando x = 0.

(c) 2y x (0, 2] Máximo absoluto 4 quando x = 2.

Ausência de mínimo absoluto.

(d) 2y x (0, 2) Ausência de extremos absolutos.

Teorema do Valor Extremo para

Funções Contínuas


38

Se f é contínua para todos os pontos do intervalo fechado I, então f

assume tanto um valor máximo M como um valor mínimo m em I.

Ou seja, há números x1 e x2 em I tais que f (x1) = m e f (x2) = M e

m f(x) M para qualquer outro valor de x em I. (Figura abaixo)

Teorema de Extremos Locais


40

Se uma função f possui valores máximo ou mínimo locais

em um ponto c interior de seu domínio e se f ’ existe em c,

então

f’ (c) = 0

OBS: A recíproca desse Teorema não é verdadeira, ou seja, o

fato da derivada em c ser zero, não implica necessariamente em

c ser um extremo local.

Ponto Crítico


41

Um ponto de uma função f onde f ’ = 0 ou f ’ não

existe é um ponto crítico de f.

Os pontos críticos são os “candidatos” a extremos

locais de uma função.

Função Crescente / Função Decrescente


42

Seja f uma função definida em um intervalo I. Então,

1. f é crescente em I se, para todos os pontos x1

e x2 em I,

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

2. f é decrescente em I se, para todos os pontos x1

e x2 em I,

1 2 2 1( ) ( )x x f x f x

Teste da Primeira Derivada (Crescimento) Profª Cristiane Guedes

43

Suponha que f seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b):

Se f ’> 0 em todos os pontos de (a, b), então f é crescente

em [a, b].

Se f ’< 0 em todos os pontos de (a, b), então f é decrescente

em [a, b].

Teste da 1ª Derivada para Extremos Locais


44

1. Se f ’ é negativa à esquerda de c e positiva à direita

de c, então f possui um mínimo local em c.

2. Se f ’ é positiva à esquerda de c e negativa à direita

de c, então f possui um máximo local em c.

3. Se f ’ possui o mesmo sinal em ambos os lados de c,

então c não é um extremo local de f.

Exemplos


45

Exemplo 1 -

Determine os valores máximo e mínimo absolutos e

relativos de:

f (x) = 10x(2 - ln x) no intervalo [1, e2].


Exemplo 2 -

Determine os valores extremos de 2

1( )

4f x

x

Teorema de Rolle


47

Suponha que y = f(x) seja contínua em todos os pontos de [a, b] e

derivável em todos os pontos de (a, b). Se

( ) ( ) 0f a f b

Então há pelo menos um número c em (a, b) onde f’(c) = 0.

O Teorema de Rolle diz que

uma curva derivável tem ao

menos uma tangente

horizontal entre dois pontos

quaisquer onde a curva cruza

o eixo x. Essa curva tem três.

Teorema do Valor Médio


48

Suponha que y = f(x) seja contínua em um intervalo fechado

[a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b). Então há pelo

menos um ponto c em (a, b) em que

( ) ( )'( )

f b f af c

b a

Geometricamente,

o Teorema do Valor

Médio diz que, em

algum lugar entre A

e B, a curva apresenta

pelo menos uma

tangente paralela à

corda AB.

Estudo da Concavidade


49

O gráfico de f (x) = x3 é côncavo para baixo em

x<0 e e côncavo para cima em x>0


O gráfico de uma função derivável y = f (x) é

(a) côncavo para cima em um intervalo aberto I,

se y’ é crescente em I f’’(x)>0

(b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I,

se y’ é decrescente em I f ’’(x)<0

Um ponto onde o gráfico de uma função muda de

concavidade é um Ponto de Inflexão. (f ’’(x)=0 ou f ’’(x) não

existe)

Teste da 2ª Derivada para Extremos Locais


51

Teorema 5 - O Teste da Segunda Derivada para

Extremos Locais

1. Se f ’ (c) = 0 e f ’’(c) < 0, então f possui um

máximo local quando x = c.

2. Se f ’(c) = 0 e f ’’(c) > 0, então f possui um

mínimo local quando x = c.

Exemplo: Determine os extremos de f (x) = x3 - 12x - 5.

Problemas de Maximização e Minimização


52

Exemplo1 - Um retângulo deve ser inscrito em uma

semicircunferência de raio 2. Qual é a maior área que o

retângulo pode ter e quais são suas dimensões?

Resp: área máxima = 2 , dimensões: 222

Exemplo2 - A potência de uma bateria é dada

e P em watts. Determine a corrente i em que ocorre a

potência máxima. Qual o valor da potência para essa

corrente Resp: 10A e 500W

,i5i100P 2


Exemplo3: O custo de construção de um edifício de

escritórios de x pavimentos (andares) é dado, em milhões

de reais, por: .x16x5001600y 2

Se o custo médio por pavimento é ,x

yCmédio

encontre o valor mínimo do custo médio por pavimento.

Resp: 820 milhões de reais.

Exemplo 4: O preço de um produto no mercado, em função

do tempo decorrido após o seu lançamento é dado por :

9t5t33

t)t(P 2

3

(t em meses e P em reais).

Determine em que momento esse produto obteve os

valores máximo e mínimo, em 8 meses no mercado.

Resp: máx em 8 meses e mín em 5 meses


9t5t33

t)t(P 2

3

]8,0[

Regra de L’Hospital


55

Regra de L’Hôpital

Indeterminação da forma ou

Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto I em

torno de um ponto a, exceto possivelmente no ponto a.

Suponha que g(x) 0 para x a I, x a:

Se e

então:

,0)(lim

xfax

0)(lim

xgax

,)('

)('lim L

xg

xf

ax

,)(

)(lim L

xg

xf

ax

0

0


1

1lim)

8

9

1 x

xa

x

Exemplos:

Se

e então:

),()(lim

ouxfax

,)('

)('lim L

xg

xf

ax

,

)(

)(lim L

xg

xf

ax

),()(lim

ouxgax

x

xb

x

lnlim)

OBS: Quando tivermos indeterminações do tipo

temos que manipular a expressão para chegar em 0/0 ou ∞/∞, para

aplicar L’Hospital.

,.0,1


Exemplos:

4/3:Re

4

11lim)

3

sp

xa

x

x

0:Re

)1.(lim) 23

sp

exb x

x

2/1:Re

)(lim) 2

sp

xxxcx

derivada - speedserv · ... é a função denotada por f´(x), tal que o seu valor em qualquer...

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