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Exercícios
Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-‐2010_2.html
Domínio:
Assíntotas:
Não há assíntota vertical.
Assíntotas horizontais:
Aplicando a Regra de l’Hôspital: Aplicando a Regra de l’Hôspital novamente:
y = 0 é assíntota horizontal.
Crescimento e decrescimento:
f’ = 0 x = 0 ou x = 2
Quando x < 0, f’(x) < 0 f decrescente
Quando 0 < x < 2, f’(x) > 0 f crescente
Quando x > 2, f’(x) < 0 f decrescente
Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é ponto de mínimo local e f(0) = 0 é o valor mínimo.
Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 2 é ponto de máximo local e f(2) = 4/e é o valor máximo.
Concavidades:
concavidade para cima Quando , f’’ > 0
concavidade para baixo Quando , f’’ < 0
concavidade para cima Quando , f’’ > 0
Pontos de inflexão:
Domínio:
y = 0 é assíntota horizontal:
Quando x < 0, f’(x) < 0 f decrescente
Quando 0 < x < 2, f’(x) > 0 f crescente
Quando x > 2, f’(x) < 0 f decrescente
(0, 0) é mínimo local
(2, 4/e) é máximo local
concavidade para cima Quando , f’’ > 0
concavidade para baixo Quando , f’’ < 0
concavidade para cima Quando , f’’ > 0
Pontos de inflexão:
limx→∞
f(x) = 0
Calcule limx→∞
�x− 1
x+ 1
�x
limx→∞
x− 1
x+ 1=
∞∞
Aplicando a regra de l’Hôspital:
limx→∞
x− 1
x+ 1= lim
x→∞
1
1= 1
limx→∞
�x− 1
x+ 1
�= 1∞Forma indeterminada:
y =
�x− 1
x+ 1
�x
Faça
ln y = ln
�x− 1
x+ 1
�x
= x ln
�x− 1
x+ 1
�
Vamos calcular limx→∞
ln y
Calcule limx→∞
�x− 1
x+ 1
�x
Vamos calcular limx→∞
ln y
limx→∞
x ln
�x− 1
x+ 1
�
limx→∞
x = ∞
limx→∞
ln
�x− 1
x+ 1
�= ln
�limx→∞
x− 1
x+ 1
�= ln(1) = 0
Forma indeterminada: ∞ · 0
limx→∞
x ln
�x− 1
x+ 1
�= lim
x→∞
ln�
x−1x+1
�
1x
Aplicando a regra de l’Hôspital:
limx→∞
ln�
x−1x+1
�
1x
=
Calcule limx→∞
�x− 1
x+ 1
�x
limx→∞
ln�
x−1x+1
�
1x
=
d
dx
�x− 1
x+ 1
�=
x+ 1− x+ 1
(x+ 1)2=
2
(x+ 1)2
d
dxln
�x− 1
x+ 1
�=
2(x+1)2
x−1x+1
=2
x2 − 1
limx→∞
−2x2
x2 − 1limx→∞
2x2−1
− 1x2
= = limx→∞
−2
1− 1x2
= −2
limx→∞
ln y = −2
limx→∞
y = limx→∞
eln y = elimx→∞ ln y = e−2
α
β
π
2+ α+ β = π
f(α,β) = sin(α) + sin(β)
β =π
2− α
f(α) = sin(α) + sin�π2− α
�
f(α) = sin(α) + sin�π2
�cos(α)− sin(α) cos
�π2
�
f(α) = sin(α) + cos(α)
Domínio de f ?
α > 0
β > 0 π
2− α > 0 α <
π
2
0 < α <π
2
α
β
f(α) = sin(α) + cos(α)
Maximizando f:
0 < α <π
2,
f �(α) = cos(α)− sin(α)
f �(α) = 0 → cos(α) = sin(α) → α =π
4
f � > 0 → cos(α) > sin(α) → α <π
4
f � < 0 → cos(α) < sin(α) → α >π
4
Pelo Teste da Primeira Derivada para Valores Extremos Absolutos, é máximo absoluto. α =
π
4
β =π
2− π
4=
π
4