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DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

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DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

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Editora da Universidade Estadual de Maringá

Reitor: Prof. Dr. Gilberto Cezar Pavanelli Vice-Reitor: Prof. Dr. Angelo Priori Pró-Reitora de Pesquisa e Pós-Graduação: Profa Dra Alice Eiko Murakami Diretora de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof.ª Dr.ª Maria Helena A. Dias Coordenador Editorial: Prof.ª Dr.ª Ruth Izumi Setoguti

CONSELHO EDITORIAL

Profª. Drª. Ruth Izumi Setoguti, Prof. Dr. Benedito Prado Dias Filho, Prof. Dr. Carlos Alberto Scapim, Prof. Dr. Edson Carlos Romualdo, Prof. Dr. Eduardo Augusto Tomanik, Prof. Dr. Edvard Elias de Souza Filho, Profª. Drª. Hilka Pelizza Vier Machado, Prof. Dr. José Carlos de Sousa, Prof. Dr. Luiz Antonio de Souza, Prof. Dr. Lupércio Antonio Pereira. Secretária: Maria José de Melo Vandresen.

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Carla Montorfano João César Guirado

João Roberto Gerônimo Jorge Ferreira Lacerda

Rui Marcos de Oliveira Barros Valdeni Soliani Franco

DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

Coleção Fundamentum nº 27

Maringá 2006

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Divisão de editoração Marcos Kazuyoshi Sassaka Luciano Wilian da Silva Marcos Cipriano da Silva Norberto Pereira da Silva Paulo Bento da Silva Solange Marli Oshima

Capa – arte final Luciano Wilian da Silva Marcos Kazuyoshi Sassaka

Projeto gráfico e editoração eletrônica Luciano Wilian da Silva Marcos Kazuyoshi Sassaka

Tipologia Garamond Tiragem 300 exemplares

Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP) (Biblioteca Central - UEM, Maringá – PR., Brasil)

L734 Limites e continuidade de funções reais d e uma variável real / Carla Montorfano [et a l]. -- Maringá, PR : Eduem, 2006. 47 p.:il. (Coleção Fundamentum ; 26) ISBN 1.Cálculo diferencial. 2.Limites de fu nções. 3. Continuidade de funções. I. Montorfano, C arla. II. Título.

CDD 21.ed.515.3

Copyright 2006 para João Roberto Gerônimo Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer

processo mecânico, eletrônico, reprográfico etc., sem a autorização, por escrito. Todos os direitos reservados desta edição 2006 para Eduem.

Endereço para correspondência:

Eduem – Editora da Universidade Estadual de Maringá Av. Colombo, 5790 - Campus Universitário, 87020-900 - Maringá-Paraná Fones: (44) 3261-4527 Fax: (44) 3261-4109 E-mail: [email protected] - Visite http://www.eduem.uem.br Livraria Eduem Av. Colombo, 5790 - Campus Universitário, 87020-900 - Maringá-Paraná Fone/ Fax: (44) 3261-4394 E-mail: [email protected]

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Apresentação

Este trabalho tem como objetivo apresentar, de maneira concisa, os conceitos e resultados do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável e está dividido em quatro volumes que tratam especificamente dos seguintes assuntos:

I. Conjuntos Numéricos e Funções;

II. Limites e Continuidade;

III. Derivadas e Aplicações;

IV. Integrais e Aplicações.

Neste terceiro volume são apresentados o conceito de derivada, suas principais propriedades e algumas aplicações.

O texto está escrito em uma linguagem precisa e esclarecedora. Precisa, porque a Matemática não pode ser construída sem o devido rigor na linguagem e na lógica de suas proposições; esclarecedora, porque desejamos evitar o aparecimento de definições e nomenclaturas desnecessárias, que dificultem o caminhar do estudante durante a leitura desta obra.

Visando à complementação dos textos, estará disponível na Internet uma página cujo acesso pode ser feito através do endereço www.eduem.uem.br/calculo. Nesta página serão apresentados mais exemplos, biografias, fatos históricos e curiosidades inerentes ao Cálculo, bem como serão propostos mais exercícios e referências bibliográficas, para permitir ao estudante aprofundar seus estudos em nível de graduação.

Lembramos que por ser um texto a ser aplicado em disciplinas de cálculo no ano letivo de 2006, a página estará em processo de construção não contendo de imediato todas as informações propostas, mas que no decorrer do ano isso deverá estar concretizado.

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Sumário

Introdução .......................................................................................................................................................... 9

O Conceito de Derivada ................................................................................................................................... 9

Reta Tangente ..................................................................................................................................................10

Derivada de uma Função ...............................................................................................................................12

Quando não existe a derivada? ......................................................................................................................14

Regras de Derivação ........................................................................................................................................19

Derivada de Funções Trigonométricas ........................................................................................................22

Derivada da Função Composta .....................................................................................................................23

Derivada da Função Inversa ..........................................................................................................................25

Derivação Implícita .........................................................................................................................................26

Máximos e Mínimos ........................................................................................................................................28

Teste da Derivada Primeira ............................................................................................................................33

Derivadas de Ordem Superior .......................................................................................................................34

Teste da Derivada Segunda ............................................................................................................................35

Pontos de Inflexão ..........................................................................................................................................37

Aplicações .........................................................................................................................................................40

Diferencial ....................................................................................................................................................40

Fórmula de Taylor ......................................................................................................................................41

Regra de L´Hospital ....................................................................................................................................44

Esboço de Gráfico de Funções ................................................................................................................45

Problemas de Máximo e Mínimo .............................................................................................................49

Taxas Relacionadas .....................................................................................................................................51

Formulário Geral .............................................................................................................................................52

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Derivada de Funções Reais de Uma Variável Real

Carla Montorfano, João César Guirado, João Roberto Gerônimo, Jorge Ferreira Lacerda, Rui Marcos de Oliveira Barros e Valdeni Soliani Franco

Introdução Se uma grandeza y depende de uma grandeza x, então a definição da derivada de y em relação a x formaliza

o conceito intuitivo da taxa de variação instantânea de y em relação a x. Se, por exemplo, y determina a posição de um móvel sujeito a uma variação unidimensional em sua posição de repouso dependendo do tempo x, a taxa de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função do tempo x. A derivação é um conceito matemático que se tornou ferramenta para a solução de inúmeros problemas como veremos adiante. Vamos primeiramente ilustrar a necessidade do uso da ferramenta “derivação”, utilizando um problema muito simples, mas que a matemática estudada no ensino médio não consegue resolver.

O Conceito de Derivada Antes de definir derivada, vamos resolver um problema que, como você observará, tem muito a ver com

o conceito de derivada. Vamos chamá-lo de “problema do galinheiro”:

Pretende-se cercar um galinheiro em forma retangular de modo a se obter a maior área possível, utilizando exatamente 80m de tela para cercá-lo.

Para resolver esse problema vamos chamar de x e y as dimensões do galinheiro. Assim, a área desse galinheiro é dada por ( , )A x y x y= e seu perímetro por ( , ) 2 2P x y x y= + .

Considerando que, neste caso, o perímetro é conhecido, temos

( , ) 2 2 80, donde 40P x y x y y x= + = = − .

Logo, podemos escrever a área ( , )A x y como função do lado x, ou seja,

2( ) (40 ) 40A x x x x x= − = − .

Observe que x e y não podem ser negativos e como 40y x= − , devemos ter 0 40x< < . Portanto, o domínio da função A é o intervalo aberto (0, 40) e o esboço do gráfico é dado por:

x

Graf A

0

100

200

300

400

10 20 30 40

500

50

y

– 10– 100

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Observando esse gráfico notamos que em 20x = a função A assume o seu maior valor, ou o valor máximo da função área. Para essa abscissa, obtemos como ordenada 400y = , que será o maior valor da área

A. Assim, o ponto do gráfico onde ocorre esse máximo é (20, 400) .

Você consegue, de maneira intuitiva, traçar uma reta tangente ao gráfico neste ponto? Qual será o possível coeficiente angular dessa reta tangente?

Reta Tangente O observado anteriormente não acontece somente para o gráfico de uma função quadrática, mas sim

para uma infinidade de gráficos de funções nos quais existam ordenadas máximas ou mínimas onde seja possível traçar sua tangente1.

A relação entre o coeficiente angular da reta tangente e as ordenadas máximas ou mínimas de uma curva motiva o uso da derivada como ferramenta para detectar possíveis pontos de máximo ou mínimo locais de uma função. Para chegar a tal conceito comecemos apresentando algumas tentativas de se definir reta tangente a uma curva. Vejamos que cada uma delas possui falhas, apresentando exemplos que comprovam esse fato.

Reta tangente a uma curva num ponto é:

(1a. tentativa) – “a reta que intercepta (ou toca) a curva em apenas um ponto”.

Na figura a seguir, a reta r intercepta a curva em apenas um ponto e, no entanto, não nos parece que a reta r seja tangente à curva.

x0

y

r

(2a. tentativa) – “a reta que toca a curva num ponto e deixa a curva em apenas um dos semi-planos

determinado por ela”.

Parece razoável dizer que a reta r na figura a seguir é tangente à curva no ponto de abscissa 10x = , no entanto esta reta não deixa a curva em apenas um dos semi-planos determinado por ela.

x0

y

r

10

1 Palavra de origem latina tangens que significa tocando.

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(3a. tentativa) – “a reta que toca a curva sem cortá-la”.

Novamente na figura anterior temos uma reta tangente que corta a curva.

Além dessas, aparecem outras que nem merecem comentários. Por exemplo: “Tangente é uma reta que tangencia a curva”.

Depois de muitas tentativas (frustradas) surgiu o conceito atual de reta tangente, formulado por Fermat em torno de 1630:

“Considere uma curva dada pelo gráfico de uma função ( )y f x= e P um ponto fixo sobre essa curva (ver figura a

seguir). Seja Q um segundo ponto próximo de P sobre a curva e desenhe a reta secante PQ. A reta tangente à curva em P é definida como a posição limite da reta secante quando Q desliza ao longo da curva em direção a P.”

x0

y

r

P

Q

y = f(x)

Exemplo 1: Vamos determinar a reta tangente à curva 2y x= nos pontos de abscissas 0x = e 1x = .

(i) 0x = : Considere a reta secante passando pelos pontos (0, 0) e 2( , )h h com h “suficientemente

pequeno”. A equação dessa reta secante é dada por2 0

0 ( 0)0

hy x

h

−− = −−

. Quando h se aproxima de 0, o

ponto 2( , )h h se aproxima de (0,0) e a reta secante de equação y h x= tende à reta de equação 0y = .

Dessa forma, temos que a reta de equação 0y = é a reta tangente à curva 2y x= no ponto (0, 0) .

(ii) 1x = : Considere a reta secante passando por ( 1, 1)P e

2 2(1 ,(1 ) ) (1 ,1 2 )Q h h Q h h h+ + = + + + ,

com h “suficientemente pequeno”. A equação da reta secante por P e Q é dada por

21 2 11 ( 1) (2 )( 1)

1 1

h hy x h x

h

+ + −− = − = + −+ −

.

Quando h tende a 0, o ponto Q se aproxima de P, e a reta secante de equação 1 (2 )( 1)y h x− = + − se aproxima da reta de equação 1 2( 1)y x− = − . Assim, a reta de equação 1 2( 1)y x− = − é a reta

tangente à curva 2y x= no ponto (1, 1) .

Exercício 1: Utilizando a idéia do exemplo anterior, encontre a reta tangente à curva 3y x= nos pontos onde 0x = e 1x = − .

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Derivada de uma Função As considerações feitas anteriormente sobre ordenadas máximas e mínimas do gráfico de uma função e

a motivação do conceito de reta tangente induzem a seguinte definição:

Definição: Sejam : ( , )f a b →ℝ uma função e 0 ( , )x a b∈ . A derivada de f no ponto 0x , denotada

por 0'( )f x ou por 0( )df

xdx

, é o limite

0

0

0

( ) ( )lim

x x

f x f x

x x→

−−

, caso exista.

Se este limite existe, dizemos que f é derivável ou diferenciável em 0x . Quando não existe este limite

dizemos que f não é derivável no ponto 0x .

Podemos escrever a fórmula da definição da derivada de outra maneira. Tomando 0x x x− = ∆ , temos

0 00

0 0

( ) ( )'( ) lim lim

x x

f x x f x yf x

x x∆ → ∆ →

+ ∆ − ∆= =∆ ∆

, onde 0 0( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ − .

Os limites laterais 0

0

0

( ) ( )lim

x x

f x f x

x x+→

−−

e 0

0

0

( ) ( )lim

x x

f x f x

x x−→

−−

são chamados, respectivamente,

derivada à direita e derivada à esquerda de f no ponto 0x denotadas, respectivamente, por 0'( )f x + e

0'( )f x − .

Proposição: Seja f uma função definida em ( , )a b , com 0 ( , )x a b∈ . A derivada de f em 0x existe se,

e somente se, as derivadas laterais 0'( )f x + e 0'( )f x − existem e são iguais.

Demonstração: Segue imediatamente da definição de limite. �

Definição: Seja f uma função definida em ( , )a b . Se f é derivável em todos os pontos de ( , )a b ,

dizemos que f é derivável no intervalo ( , )a b .

Exemplo 2: Sendo 2( )f x x= , determinemos '(0), '(2)f f e '( )f a , para todo a ∈ℝ . Por definição, temos que

2

0 0 0

( ) (0)'(0) lim lim lim 0

0x x x

f x f xf x

x x→ → →

−= = = =−

. Logo, '(0) 0f = .

2

2 2 2 2

( ) (2) ( 2)( 2)4'(2) lim lim lim lim( 2) 4

2 2 2x x x x

f x f x xxf x

x x x→ → → →

− − +−= = = = + =− − −

. Logo, '(2) 4f = .

2 2( ) ( ) ( )( )' ( ) lim lim lim lim ( ) 2

x a x a x a x a

f x f a x a x ax af a x a a

x a x a x a→ → → →

− − +−= = = = + =− − −

.

Logo, '( ) 2 ,f a a a= ∀ ∈ℝ .

Exemplo 3: Sendo 3( )f x x= , determinemos '( )f a , para todo a ∈ℝ . Por definição, temos que

2 23 32 2 2( ) ( ) ( )( )

' ( ) lim lim lim lim ( ) 3x a x a x a x a

f x f a x a x xa ax af a x xa a a

x a x a x a→ → → →

− − + +−= = = = + + =− − −

.

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13

13

Logo, 2'( ) 3 ,f a a a= ∀ ∈ℝ .

Exemplo 4: Sendo1

( )f xx

= , calculemos '( )f a , para todo a ∗∈ℝ . Por definição,

1 1( ) ( )

' ( ) lim limx a x a

x af x f af a

x a x a→ →

− − = = =− − 2

( ) 1 1lim lim lim

( )x a x a x a

a x

a xxa

x a xa x a xa a→ → →

− − = = − = −

− −.

Segue que, *2

1'( ) ,f a a

a= − ∀ ∈ℝ .

Exemplo 5: Sendo 2

, 0

( ) 0, 0

, 0

x x

f x x

x x

<

= = >

, verifiquemos se existe '(0)f . Temos

0 0 0

( ) (0) 0'(0 ) lim lim lim 1 1

0 0x x x

f x f xf

x x− − −

→ → →

− −= = = =− −

.

2

0 0 0

( ) (0) 0'(0 ) lim lim lim 0

0 0x x x

f x f xf x

x x+ + +

+

→ → →

− −= = = =− −

.

Como as derivadas laterais são diferentes, concluímos que não existe '(0)f .

Exemplo 6: Sendo ( )f x x= , determinemos os pontos onde esta função possui derivada e calculemos o seu valor. Se 0a > , então,

1 1'( ) lim lim lim lim

( )( ) 2x a x a x a x a

x a x a x a x af a

x a x a x a x a x a x a a→ → → →

− − + −= = ⋅ = = =− − + − + +

.

Assim, 1

'( ) , se 02

f a aa

= > .

A definição formal de derivada, apresentada aqui, relaciona-se com o problema de determinar a reta

tangente ao gráfico de uma função f no ponto ( , ( ))a f a , pois o quociente ( ) ( )f a x f a

x

+ ∆ −∆

é o coeficiente

angular da reta secante ao gráfico de f que passa pelos pontos ( , ( ))P a f a e ( , ( ))Q a x f a x+ ∆ + ∆ .

Fazer o ponto Q se aproximar do ponto P, pode ser formalizado exigindo que x∆ tenda a 0.

Então, a reta secante pelos pontos ( , ( ))P a f a e ( , ( ))Q a x f a x+ ∆ + ∆ , que possui equação

( ) ( )( ) ( )

f a x f ay f a x a

x

+ ∆ −− = −∆

, tenderá, caso exista o limite 0

( ) ( )lim '( )x

f a x f af a

x∆ →

+ ∆ − =∆

, à reta

tangente ao gráfico de f no ponto ( , ( ))P a f a de equação ( ) '( )( )y f a f a x a− = − , isto é, a inclinação da

reta tangente ao gráfico de f no ponto ( , ( ))a f a é '( )f a . Pode ocorrer, contudo, que exista a reta tangente

ao gráfico de f num ponto ( , ( ))a f a , sem que exista a derivada '( )f a . Neste caso, a reta tangente é vertical e é dada pela equação x a= .

Exemplo 7: Sendo ( )f x x= , encontremos a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (9, 3) .

Como 1

'( )2

f xx

= , 0x > , temos que 1

'(9)6

f = . Segue que a inclinação m da reta tangente t ao gráfico

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de f no ponto (9, 3) é igual a 1

6. Isto é,

1

6m = . Logo, a equação da reta t é dada por

13 ( 9)

6y x− = − , ou

seja, 3

6 2

xy = + .

Exercícios:

2. Encontre a equação da reta tangente à curva ( )y f x= no ponto P, sendo a função f dada por:

a) 1

( )f xx

= ; 1, 2

2P

=

b) 2( ) 2 2f x x x= + + ; ( 1, 3)P = −

3. Se 2/ 3( )f x x= , encontre a derivada de f, usando a definição, e determine o domínio de 'f .

4. Se 4

( )5

xf x

x

+=−

, encontre a derivada de f, usando a definição, e determine o domínio de 'f .

Quando não existe a derivada?

Quando uma função f não é derivável num ponto 0x significa que não existe o limite 0

limx

y

x∆ →

∆∆

. Vamos

estudar as situações mais comuns para a não existência desse limite.

Proposição: Seja f uma função definida em ( , )a b , com 0 ( , )x a b∈ . Se f possui derivada em 0x ,

então f é contínua em 0x .

Demonstração: Para todo 0( , ),x a b x x∈ ≠ , podemos escrever

00 0 0 0

0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )

f x f xf x f x f x f x x x f x

x x

−= − + = − +−

.

Logo,

0 0 0

00 0

0

( ) ( )lim ( ) lim ( ). lim ( )

x x x x x x

f x f xf x x x f x

x x→ → →

−= − + =−

0 0 0

00 0 0 0 0

0

( ) ( )lim ( ). lim lim ( ) 0. '( ) ( ) ( )

x x x x x x

f x f xx x f x f x f x f x

x x→ → →

−= − + = + =−

.

Assim, 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x→

= . Portanto, f é contínua em 0x . �

A proposição anterior também nos indica uma das situações em que a derivada não existe:

“Se a função f é descontínua em x a= , então f não é derivável em x a= ”.

Exemplo 8: Dada a função 2 , 0

( )2, 0

x xf x

x x

≤= − >

, encontre, se possível, '(0)f . Temos que

2

0 0lim ( ) lim 0

x xf x x

− −→ →= = e

0 0lim ( ) lim ( 2) 2

x xf x x

+ +→ →= − = − . Como os limites laterais de f quando x tende a 0

são diferentes, temos que não existe 0

lim ( )x

f x→

e, assim, f não é contínua em 0x = . Logo, pela proposição

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anterior, f não é derivável em 0x = . Portanto, não existe '(0)f . Perceba na ilustração a seguir a

impossibilidade de existência de uma reta tangente ao gráfico de f no ponto (0, (0))f .

x0

y

– 1– 2– 3 1 2 3 4 5– 1

– 2

1

2

3

4

Exemplo 9: A função f dada por

2

3sen( ), 24( )

1, 2

4

xx

f x

xx

π ≤= > −

não é derivável em 2x = porque não é

contínua neste ponto. Para verificar a descontinuidade da função em 2x = vamos calcular os limites laterais:

2 2lim ( ) lim 3sen( ) 3

4x x

xf x

π− −→ →

= = e 22 2

1lim ( ) lim

4x xf x

x+ +→ →= = +∞

−.

Observando o gráfico da função f também percebemos a impossibilidade da existência de uma reta tangente ao gráfico de f no ponto (2,3) .

x0

y

2

3

Uma outra situação que nos leva à não existência da derivada de uma função f em um ponto 0x x= é o

caso em que o gráfico da função apresenta um “bico”. Neste caso, a função f é contínua em 0x e o que

ocorre é que as derivadas laterais em 0x x= são distintas. O próximo exemplo ilustra esta situação.

Exemplo 10: Considere a função f definida por 2

2

1, 0( )

( 1) , 0

x xf x

x x

+ ≤= − >

. O gráfico de f apresenta um

“bico” no ponto (0, 1)P . Quando ( , ( ))Q x f x∆ ∆ , tende ao ponto P, com 0x∆ > , temos que a reta

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secante r que passa por P e Q tende para uma reta t; porém, quando ( , ( ))Q x f x∆ ∆ , tende ao ponto P, com

0x∆ < , temos uma reta secante r tendendo para uma reta 't diferente de t.

x0

y

P

x0

y

P't

t

As retas t e 't não poderiam mesmo ser iguais, pois:

2

0 0 0

( ) (0) 1 1lim lim lim 0

0 0x x x

f x f xx

x x− − −→ → →

− + −= = =− −

e

2

0 0 0

( ) (0) 2 1 1lim lim lim ( 2) 2

0 0x x x

f x f x xx

x x+ + +→ → →

− − + −= = − = −− −

.

Assim, os coeficientes angulares das retas t e 't são distintos.

Este exemplo mostra ainda que a recíproca da proposição anterior não é verdadeira, porque a função é contínua em 0x = ,

0 0lim ( ) lim ( ) 1

x xf x f x

− +→ →= = , mas f não é derivável em 0x = .

Exemplo 11: Considere a função f definida por ( )f x x= . O gráfico de f tem um “bico” no ponto

(0, 0) e, portanto, f não é derivável em 0x = . Sabendo que a função ( )f x x= é contínua em 0x = ,

procuremos suas derivadas laterais.

0 0 0

( ) (0)'(0 ) lim lim lim ( 1) 1

0x x x

f x f xf

x x− − −

→ → →

− −= = = − = −−

e

0 0 0

( ) (0)'(0 ) lim lim lim 1 1

0x x x

f x f xf

x x+ + +

+

→ → →

−= = = =−

.

Como as derivadas laterais em 0x = são diferentes, f não é derivável em 0x = . O comportamento do gráfico de f pode ser visto na ilustração a seguir.

Page 17: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

17

17

x0– 1– 2– 3 1 2 3 4 5

1

2

3

4

y

ALERTA: Não podemos confiar no esboço de gráficos para tirar conclusões acerca da existência ou

não de derivadas. O gráfico de uma função f , por ser formado de pontos 2( , ( ))x f x ⊂ ℝ , não nos é “visível”, pois só visualizamos objetos do mundo real. O que conseguimos enxergar são esboços, são aproximações de gráficos de funções! Quando nos deparamos com um comportamento de um esboço de gráfico, nas proximidades de um ponto, que se assemelhe a um “bico”, devemos utilizar a representação analítica da função para procurarmos as derivadas laterais. Cuidado especial deve ser tomado quando analisamos gráficos de funções por intermédio de um software gráfico ou mediante o uso de calculadoras gráficas. Nessas condições, devido à granulação da tela, podemos tirar conclusões equivocadas a respeito da derivabilidade de funções.

Exemplo 12: A função ( )f x x= não é derivável em 0x = . Como (0) 0f = , a derivada em 0x =

é dada por 0

( )limx

f x

x→, se este limite existir. Porém, este limite não existe. De fato,

, 0( )

, 0

x xf x

x x

− <= ≥

,

utilizando a definição de módulo. Assim,

220 0 0 0 0

( ) 1lim lim lim lim lim

x x x x x

f x x x x

x x xxx+ + + + +→ → → → →

= = = = = +∞

Logo, não existe 0

( )limx

f x

x→ e, portanto, f não é derivável em 0x = . O comportamento do gráfico de f pode

ser visto na ilustração a seguir.

x0– 1– 2– 3 1 2 3 4

1

2

3

4

y

-4

Page 18: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

18

Exemplo 13: A função 3( )f x x= não é derivável em 0x = . Se o limite 0

( ) (0)lim

0x

f x f

x→

−−

existir, a

derivada de f em 0x = é dada por este limite. Calculando este limite, vemos que 3

20 03

1lim limx x

x

xx

→ →= = +∞ .

Logo, f não é derivável em 0x = .

x0

y

Observe que neste exemplo, apesar da não existência da derivada '(0)f , existe reta tangente ao gráfico

de f no ponto (0, 0) , a saber, a reta de equação 0x = .

Isto significa que a existência de reta tangente ao gráfico de uma função f num ponto ( , ( ))a f a não garante que a função f seja derivável em x a= .

Exemplo 14: A função 2 , 2

( )2 , 2

x xf x

x x

− ≤= − >

não é derivável em 2x = . Para verificar isso,

mostremos que 2

( ) (2)lim

2x

f x f

x→

−−

não existe. De fato, calculando as derivadas laterais de f em 2x = , temos

2

( ) (2)'(2 ) lim

2x

f x ff

x+

+

−= =− 2 2

2 2 2lim lim

2 2 2x x

x x x

x x x+ +→ →

− − += ⋅ =− − +

2 2

( 2) 1 1lim lim

( 2)( 2 ) 2 2 2x x

x

x x x+ +→ →

−= = =− + +

e

2

( ) (2)'(2 ) lim

2x

f x ff

x−

−= =− 2

2lim 1

2x

x

x−→

− = −−

Como '(2 ) '(2 )f f+ −≠ , segue que f não é derivável em 2x = .

Page 19: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

19

19

x0

y

2

2

Observe que a derivação de funções é um processo de obter, a partir de uma função f , uma outra

função 'f com um domínio eventualmente menor. O domínio de 'f é o conjunto dos pontos do domínio

de f nos quais f é derivável.

Regras de Derivação As proposições a seguir permitem encontrar a derivada de certas funções, sem precisar recorrer à

definição de limite.

Proposição: Se c é uma constante e ( )f x c= , então '( ) 0f x = .

Demonstração:

Para qualquer a ∈ℝ temos ( ) ( )

'( ) lim lim lim 0 0x a x a x a

f x f a c cf a

x a x a→ → →

− −= = = =− −

. Logo, '( ) 0f x = .

Proposição: Se n ∗∈ℕ e ( ) nf x x= , então 1'( ) nf x n x −= .

Demonstração:

Para qualquer a ∈ℝ temos

1 2 2 1( ) ( ) ( )( )'( ) lim lim lim

n n n nn n

x a x a x a

f x f a x a x x a xa ax af a

x a x a x a

− − − −

→ → →

− − + + + +−= = = =− − −

1 2 2 1 1lim( )n n n n n

x ax x a xa a na

− − − − −

→= + + + + =⋯ . Assim, 1'( ) nf x n x −= . �

Exemplo 15: A derivada da função 2300( )f x x= é a função 'f dada por 2299'( ) 2300f x x= .

Proposição: Se n ∗∈ℕ e ( ) nf x x −= , então 1'( ) nf x n x − −= − .

Demonstração:

Para qualquer *a ∈ℝ temos

Page 20: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

20

1 1( ) 1

'( ) lim lim lim( )

n nn nn n

n n n nx a x a x a

x aa xx af a

x a x ax a x a x a→ → →

− −− = = = − ⋅ =− −−

( ) 1lim lim

n n

n nx a x a

x a

x a x a→ →

−= − ⋅−

.

Pela proposição anterior, 1( )lim

n nn

x a

x ana

x a

− =−

e como

21lim n

n nx aa

x a

→= tem-se 1'( ) nf a n a− −= − , 0a∀ ≠ . Assim 1'( ) nf x n x − −= − . �

Proposição: Seja n ∗∈ℕ e

1

( ) nf x x

= , se 0x > então

111

'( ) nf x xn

− = .

Demonstração: Temos

( ) ( )'( ) lim lim

n n

x a x a

f x f a x af a

x a x a→ →

− −= =− −

.

Se fizermos nu x= e 0nb a= > , quando x tende a a ( )x a→ temos u tendendo a b ( )u b→ . Assim,

1

1 1

1 1 1 1'( ) lim lim lim

nn n

nn n nn n n nx a u b u b

x a u bf a a

x a nu b nbu b n a

u b

− −→ → →

− −= = = = = =− − −

.

Portanto, temos

111

'( ) nf x xn

− = quando 0x > . �

Proposição: Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por ( ) ( )g x c f x= . Então, se

'f existe, temos que 'g existe e '( ) '( )g x c f x= .

Demonstração:

Para qualquer 'a Dom f∈ temos

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )' ( ) lim lim lim

x a x a x a

c f x c f ag x g a f x f ag a c

x a x a x a→ → →

−− −= = = =− − −

( ) ( )lim '( )x a

f x f ac c f a

x a→

−= =−

.

Portanto, '( ) '( )g x c f x= . �

Exemplo 16: A derivada da função 11( ) 3f x x= é a função 10'( ) 33f x x= .

Proposição: Sejam f e g funções e h a função definida por ( ) ( ) ( )h x f x g x= + . Então, se 'f e 'g

existem, temos que 'h existe e '( ) '( ) '( )h x f x g x= + .

Demonstração:

Para qualquer ' 'a Dom f Dom g∈ ∩ temos

Page 21: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

21

21

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim lim lim

x a x a x a

h x h a f x g x f a g a f x f a g x g ah a

x a x a x a x a→ → →

− + − − − − = = = + = − − − −

( ) ( ) ( ) ( )lim lim '( ) '( )x a x a

f x f a g x g af a g a

x a x a→ →

− −= + = +− −

.

Portanto, '( ) '( ) '( )h x f x g x= + . �

Exemplo 17: A derivada da função 4 2( ) 3 2 2f x x x= − + é a função 3'( ) 12 4f x x x= − .

Exemplo 18: A taxa de variação instantânea de ( )y f x= por unidade de variação de x em 0x é a

derivada de uma função f num ponto 0 0( , ( )x f x . Existem inúmeras aplicações de taxa de variação: velocidade, aceleração, crescimento populacional, etc. Como exemplo considere uma partícula que se move

sobre uma reta ordenada segundo a lei de posição 20 0

1( )

2s t s v t a t= + + , onde 0 0,s v e a são constantes,

com t medido em segundos e s em metros, então a derivada da função que fornece a posição da partícula no

instante t é 0( )ds t

v atdt

= + . A função derivada da função que fornece a posição é a função velocidade

instantânea no instante t.

Proposição: Sejam f e g funções e h a função definida por ( ) ( ) ( )h x f x g x= ⋅ . Então, se 'f e 'g

existem, temos que 'h existe e '( ) '( ) ( ) ( ) '( )h x f x g x f x g x= ⋅ + ⋅ .

Demonstração:

Para qualquer ' 'a Dom f Dom g∈ ∩ temos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim lim

x a x a

h x h a f x g x f a g ah a

x a x a→ →

− ⋅ − ⋅= = =− −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )limx a

f x g x f a g x f a g x f a g a

x a→

⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅= =−

( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( ) '( ) ( ) ( ) '( )x a x a

f x f a g x g ag x f a f a g a f a g a

x a x a→ →

− −= + = ⋅ + ⋅− −

.

Portanto, '( ) '( ) ( ) ( ) '( )h x f x g x f x g x= ⋅ + ⋅ . �

Observe que usamos aqui o fato de que sendo g derivável em a, tem-se que g é contínua em a e, portanto, lim ( ) ( )

x ag x g a

→= .

Exemplo 19: A derivada da função ( )( )3 2( ) 1 3 5f x x x x= − − + é a função

( ) ( )( )2 2 3'( ) 3 3 5 1 2 3f x x x x x x= − − + + − − .

Proposição: Sejam f e g funções e h a função definida por ( ) ( )/ ( )h x f x g x= , onde ( ) 0g x ≠ . Então,

se 'f e 'g existem, temos que 'h existe e

[ ] 2

'( ) ( ) ( ) '( )'( )

( )

f x g x f x g xh x

g x

⋅ − ⋅= .

Demonstração:

Page 22: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

22

Para qualquer ' 'a Dom f Dom g∈ ∩ temos

'( )h a =

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1lim lim

( ) ( )x a x a

f x f a

g x g a f x g a f a g x

x a x a g x g a→ →

− = ⋅ = − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1lim

( ) ( )x a

f x g a f a g a f a g a f a g x

x a g x g a→

− + −= ⋅ = −

( ) ( ) ( ) ( ) 1lim ( ) ( )

( ) ( )x a

f x f a g x g ag a f a

x a x a g x g a→

− − = − ⋅ = − −

2

'( ) ( ) ( ) '( )

[ ( )]

f a g a f a g a

g a

−= .

Portanto, [ ] 2

'( ) ( ) ( ) '( )'( )

( )

f x g x f x g xh x

g x

⋅ − ⋅= . �

Novamente, usamos o fato de as funções f e g serem deriváveis em x a= e a função g ser contínua em x a= .

Exemplo 20: A derivada da função 3

2

2( )

7 10

xf x

x x

−=− +

é a função

( ) ( ) ( )

( )2 2 3

22

3 7 10 2 2 7'( )

7 10

x x x x xf x

x x

− + − − −=

− +.

Exercício 5. Use regras de derivação para calcular a derivada das seguintes funções:

a) 6( ) 5 2 3f x x x= + + ; b) 51( ) 2 7g x x

x= + + ;

c) 2 5( ) ( 2 1) (1 3 )h t t t t −= − + − ; d) 2

2

1 3( )

rf r

r r

+=−

.

Derivada de Funções Trigonométricas Precisamos relembrar dois resultados chamados limites fundamentais.

Limite Fundamental 1: 0

senlim 1t

t

t→= .

Limite Fundamental 2: 0

cos 1lim 0t

t

t→

−= .

Utilizando esses limites fundamentais podemos demonstrar as próximas duas proposições.

Proposição: Se ( ) senf x x= , então '( ) cosf x x= .

Demonstração:

Page 23: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

23

23

Para qualquer x ∈ℝ temos

'( )f x =0 0

sen( ) sen sen cos( ) sen( )cos senlim limx x

x x x x x x x x

x x∆ → ∆ →

+ ∆ − ∆ + ∆ −= =∆ ∆

0 0

cos( ) 1 sen( )lim sen lim cos sen 0 cos 1 cosx x

x xx x x x x

x x∆ → ∆ →

∆ − ∆= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =∆ ∆

.

Portanto, '( ) cosf x x= . �

Proposição: Se ( ) cosf x x= , então '( ) senf x x= − .

Demonstração:

Para qualquer x ∈ℝ temos

'( )f x =0 0

cos( ) cos cos cos( ) sen sen( ) coslim limx x

x x x x x x x x

x x∆ → ∆ →

+ ∆ − ∆ − ∆ −= =∆ ∆

0 0

cos( ) 1 sen( )lim cos lim sen cos 0 sen 1 senx x

x xx x x x x

x x∆ → ∆ →

∆ − ∆= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = −∆ ∆

.

Portanto, '( ) senf x x= − . �

Exercício 6. Utilizando as regras de derivação, calcule 'y , onde

a) tgy x= ; b) cotgy x= ; c) secy x= ; d) cossecy x= .

e) sen

2

xy

x= ; f) 2 cosy x x= ; g) 2seny x= .

Derivada da Função Composta

Considerando a função ( )3 2( ) sen 2 1h x x x= + + e tentando calcular sua derivada pelo limite

notaremos que os cálculos não são tão simples e as regras que temos até o momento não nos permitem obter o desejado. Por outro lado, podemos escrever ( ) ( )( )h x f g x= � onde ( ) senf x x= e

3 2( ) 2 1g x x x= + + .

Assim, tendo as derivadas de f e de g e conhecendo alguma regra para derivar uma composição de funções o assunto está resolvido. Tal regra existe e é uma das mais importantes e mais usadas no Cálculo, denominada regra da cadeia. Sua demonstração não é trivial e para fazê-la será utilizado o seguinte resultado:

Proposição: Se f é uma função derivável em 0x , então

( )0 00

( )'( ) ( )

f x h f xf x h

+ −= + , onde

0lim ( ) 0h

hα→

= .

Demonstração: Utilizando a definição de derivada, sabemos que

0'( )f x = ( )0 0

0

( )limh

f x h f x

h→

+ −.

Se definirmos

Page 24: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

24

( )0 00

( )'( ), 0

( )

0, 0

f x h f xf x h

g h h

h

+ −− ≠=

=

,

teremos 0

lim ( ) 0h

g h→

= .

Considerando gα = , temos que ( )hα satisfaz a condição que 0

lim ( ) 0h

hα→

= . �

Corolário: Se f e α são definidas conforme proposição anterior, então

( ) [ ]0 0 0 0( ) ( ) '( ) ( )f x f x h f x f x h hα∆ = + − = + ⋅ .

Demonstração: Para 0h ≠ , segue imediatamente que

( ) [ ]0 0 0 0( ) ( ) '( ) ( )f x f x h f x f x h hα∆ = + − = + ⋅ .

Se 0h = , temos a identidade 0 0= . �

Teorema (Regra da Cadeia): Sejam as funções ( )u f x= derivável no ponto 0x e ( )y g u=

derivável em 0 0( )u f x= . Então, a função composta F g f= � , isto é, ( ) [ ( )]F x g f x= é derivável em 0x e sua derivada é dada por

0 0 0'( ) '[ ( )]. '( )F x g f x f x= .

Demonstração Como, por hipótese, f e g são deriváveis em 0x temos:

( ) [ ]0 0 0( ) '( ) ( )f x h f x f x h hα+ − = + ⋅ e ( ) [ ]0 0 0( ) '( ) ( )g u k g u g u k kβ+ − = + ⋅

onde 0

lim ( ) 0h

hα→

= e 0

lim ( ) 0k

kβ→

= .

Escolhemos ( ) [ ]0 0 0( ) '( ) ( )k f x h f x f x h hα= + − = + ⋅ e teremos ( )0 0f x h u k+ = + .

Assim

( )( )0 0 0 0( ) ( )( ) ( )F x h g f x h g f x h g u k+ = + = + = +� = [ ]0 0( ) '( ) ( )g u g u k kβ+ + ⋅ =

[ ][ ]0 0 0( ) '( ) ( ) '( ) ( )g u g u k f x h hβ α= + + + = [ ]0 0 0( ) '( ) '( ) ( ) ,g u g u f x h hγ+ +

onde [ ] ( )0 0 0 0( ) ( ( ) ( )) '( ) ( ) ' ( ).h f x h f x f x h g u hγ β α α= + − + +

Por outro lado, f é contínua em 0x e β é contínua em 0x = , logo 0 00lim ( ) ( ) 0h

f x h f x→

+ − = e então

0lim ( ) 0h

hγ→

= . Portanto,

[ ]0 00 0 0 00 0

'( ) '( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )'( ) '( ) ( ),

g u f x h hF x h F x F x h g ug u f x h

h h h

γγ

++ − + −= = = +

ou seja,

[ ]0 00 0

0 0

( ) ( )lim lim '( ) '( ) ( )h h

F x h F xg u f x h

→ →

+ − = + =

[ ] [ ]0 0 0 00 0

lim '( ) '( ) lim ( ) '( ) '( )h h

g u f x h g u f xγ→ →

= + = .

Portanto, 0 0 0'( ) '[ ( )]. '( )F x g f x f x= .

Page 25: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

25

25

Se ( )y y u= e ( )u u x= são funções deriváveis, com a notação de Leibniz, a regra da cadeia é dada por:

dy dy du

dx du dx= ⋅ .

Exemplo 21: Apliquemos a regra da cadeia para a função ( )3 2( ) sen 2 1h x x x= + + . Seja

3 2( ) 2 1u x x x= + + e ( ) senh u u= . Assim,

3 2[sen ] ( 2 1)dh dh du d d

u x xdx du dx du dx

= ⋅ = ⋅ + + =

2 2 3 2(cos )(3 4 ) (3 4 )cos( 2 1)u x x x x x x= + = + + + .

Mais geralmente, para ( )( ) sen ( )h x f x= temos ( )'( ) cos ( ) . '( )h x f x f x= , se '( )f x existe.

Exemplo 22: Considerando ( )45 2( ) 2 1h x x x= − + , vamos calcular '( )h x , utilizando a regra da cadeia.

Seja 5 2( ) 2 1u x x x= − + e 4( )h u u= . Assim,

4 5 2( ) ( 2 1)dh dh du d d

u x xdx du dx du dx

= ⋅ = ⋅ − + 3 4 5 2 3 44 (5 4 ) 4( 2 1) (5 4 )u x x x x x x= − = − + − .

Mais geralmente, para ( ) [ ( )] ,nh x f x n= ∈ℤ , temos 1'( ) [ ( )] '( )nh x n f x f x−= ⋅ , se '( )f x existe.

Exercício 7. Calcule a derivada das funções definidas a seguir:

a) 2 23( ) ( 1)f x x= + b) 2 2( ) cos (1 )f x x= − c) 2 2( ) cos (1 )h x x= −

d) 3 3( ) tg tgf x x x= + e) 2sen

( )x

h xx

= − f) 6 3 3/5( ) (2 5 )f x x x= +

g) 1( ) (3 )cos 2f x x x x−= − h) 2( ) tg(5 )g x x x= − i) 20

10

( sen )( )

cos

x xf x

x

+=

j) ( )( )7 10( ) sen cos (2 1)f x x= + l) 2 5/ 3

3 3/5

( 4)( )

( 1)

xg x

x

+=+

m) 4

2( ) sen ( )

4

tf x

t t=

Derivada da Função Inversa Nesta seção trataremos de um resultado que segue imediatamente da Regra da Cadeia e facilita a

derivação de muitas funções como, por exemplo, as funções trigonométricas inversas.

Teorema: Dada uma função f , suponhamos que exista a sua inversa 1g f −= . Se 0'( ) 0f x ≠ e

0 0( )y f x= , então 00

1'( )

'( )g y

f x= .

Demonstração: Seja ( ) ( )( )F x g f x x= =� . Utilizando a regra da cadeia e derivando ambos os lados da equação em relação a x, temos

'( ) '[ ( )] '( ) 1F x g f x f x= ⋅ = . Logo,

Page 26: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

26

0 0 0'( ) '[ ( )] '( ) 1F x g f x f x= ⋅ = , ou seja, 00

1'( )

'( )g y

f x= . �

Na notação de Leibnitz escrevemos: 1dx

dydy

dx

= .

Exemplo 23: Dada a função ( ) arcseng y y= , vamos encontrar sua derivada '( )g y . A função

( ) seny f x x= = é injetora em [ , ]2 2

π π− e, portanto, possui inversa : [ 1,1] [ , ]2 2

gπ π− → − dada por

( ) arcseng y y= . Assim, para qualquer ( 1, 1)y ∈ − temos

1 1( )

cossen

dg y

ddy xxdx

= = .

Da Identidade Fundamental da Trigonometria, segue que 2 2 2cos 1 sen 1x x y= − = − . Como [ , ]2 2

xπ π∈ − ,

temos que cos 0x ≥ . Logo, 2cos 1x y= − . Assim, 2

1 1'( )

cos 1g y

x y= =

−, ( 1,1)y ∈ − . Podemos

memorizar esse resultado:

2

1arcsen

1

dy

dy y=

−.

Exercício 8. Encontre a derivada das funções arccosx , arctg x , arccotg x , arcsecx e arccossecx .

Exemplo 24: Sejam f e g funções monótonas decrescentes, uma inversa da outra. Se (0) 3f = e

1'(0)

4f = − , então

1 1'(3) 4

1'(0)4

gf

= = = − −

.

Exercícios:

9. A função 3( ) 9f x x x= − é crescente para 3x < − . Se g é a função inversa de f neste intervalo,

encontre '(0)g .

10. A função 3( ) 9f x x x= − é decrescente para 3 3x− < < . Se h é a função inversa de f neste

intervalo, encontre '(0)h .

11. A função 3( ) 9f x x x= − é crescente, para 3x > . Se g é a função inversa de f neste intervalo,

encontre '(0)g .

Derivação Implícita As funções abordadas até agora foram da forma ( )y f x= , as quais determinam y explicitamente em

termos de x. Muitas vezes, entretanto, encontramos equações em x e y como, por exemplo, 2 2 1x y+ = ;

Page 27: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

27

27

33y x y x+ = e 3 2 3 52 0x x y y x x y+ + − − = , que não fornecem explicitamente y como função de x,

mas estabelecem apenas uma relação entre x e y. Às vezes existem funções ( )y f x= , com x em algum intervalo I, que verificam a equação dada. Neste caso, dizemos que a equação determina implicitamente y como função de x ou que f é função implícita na equação. Além disso, uma equação pode determinar uma ou mais funções implícitas.

Quando uma função ( )y f x= é definida implicitamente por uma equação, podemos obter uma outra

equação que envolve a derivada de f, dy

dx. Este método, referido como derivação implícita, será apresentado a

seguir, por meio de alguns exemplos.

Nos exemplos a seguir suporemos que a equação dada define y como função de x, para x em algum intervalo aberto, e que esta função seja derivável neste intervalo.

Exemplo 25: Dada a equação 3 2 3 52 0x x y y x x y+ + − − = , vamos encontrar dy

dx. Usando regras

de derivação, derivamos ambos os lados da equação em relação a x, obtendo:

2 2 2 4 53 2 3 2 5 0dy dy dydx dx dx dx

x x x y y x y xdx dx dx dx dx dx dx

+ + + − − − = .

Colocando dy

dx em evidência e sabendo que 1

dx

dx= obtemos:

( ) ( )2 2 5 2 43 3 2 2 5dy

x y x x xy x ydx

+ − = − + − −

e, portanto, ( )

( )2 4

2 2 5

3 2 2 5

3

x xy x ydy

dx x y x

+ − −= −

+ −, quando 2 2 53 0x y x+ − ≠ .

Exemplo 26: Vamos calcular dy

dx para a equação 2 2 1x y+ = . Derivando ambos os lados da equação

em relação a x, obtemos 2 2 0dy

x ydx

+ = e, assim, dy x

dx y= − , quando 0y ≠ .

Exemplo 27: Vamos calcular dy

dx para a equação 2 2 6x y y x+ = . Derivando ambos os lados da

equação em relação a x, obtemos 2 22 2 0dy dy

xy x y x ydx dx

+ + + = , ou seja, 2 2( 2 ) 2dy

x xy y xydx

+ = − − .

Portanto, 2

2

2

2

dy y xy

dx x xy

− −=+

, quando 2 2 0x xy+ ≠ .

Proposição: Se r ∈ℚ e ( ) rf x x= , então 1'( ) rf x r x −= .

Demonstração:

(i) Se 0x ≠ , escrevendo p

rq

= com ,p q ∈ℤ , 0q > e tomando

p

qy x

= , temos q py x= .

Derivando esta equação em relação a x, obtemos

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28

1 1q pdyq y p x

dx

− −= ,

ou melhor,

q py dy xq p

y dx x= (*)

Substituindo

p

qy x

= e q py x= em (*) segue que

p p

p

q

dyx xq p

dx xx

= .

Logo,

11

p

q rdy px r x

dx q

− = = .

(ii) Se 0x = , o resultado segue da definição de derivada. �

Exercício 12. Calcular dy

dx para as equações a seguir:

a) 6 5 65 4 3y y y x− + = − ; b) 2 3(5 ) sen 9x y y x x+ − = .

Máximos e Mínimos No início deste texto observamos um exemplo em que o ponto de máximo da função ocorreu no ponto

onde a inclinação da reta tangente ao gráfico da função é igual a zero. Nesta seção, demonstraremos este e outros resultados que permitem encontrar os valores máximos e mínimos de uma função qualquer, caso existam.

Definição: Seja f uma função definida num intervalo [ ],a b .

a) Dizemos que f assume um valor máximo local, ou máximo relativo, em 0 ( , )x a b∈ , se para algum

0δ > , tivermos

0 0 0( ) ( ), ( , )f x f x x x xδ δ≤ ∀ ∈ − + .

Nesse caso, dizemos que 0( )f x é valor máximo local ou relativo de f.

Se ocorrer [ ]0( ) ( ), ,f x f x x a b≤ ∀ ∈ , dizemos que a função f assume em 0x um valor máximo

absoluto.

b) Dizemos que f assume um valor máximo local, ou máximo relativo, em x a= , se para algum 0δ > , tivermos ( ) ( ), [ , )f x f a x a a δ≤ ∀ ∈ + . Define-se analogamente máximo local em x b= .

c) Dizemos que f assume um valor mínimo local, ou mínimo relativo, em 0 ( , )x a b∈ , se para algum

0δ > , tivermos

0 0 0( ) ( ), ( , )f x f x x x xδ δ≥ ∀ ∈ − + .

Nesse caso, dizemos que 0( )f x é valor mínimo local ou relativo de f.

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29

29

Se ocorrer [ ]0( ) ( ), ,f x f x x a b≥ ∀ ∈ , dizemos que a função f assume em 0x um valor mínimo

absoluto.

d) Dizemos que f assume um valor mínimo local, ou mínimo relativo, em x a= , se para algum 0δ > , tivermos ( ) ( ), [ , )f x f a x a a δ≥ ∀ ∈ + . Define-se analogamente mínimo local em x b= .

Convenção: Quando nos referirmos a pontos do gráfico de f diremos, por exemplo, o ponto ( , ( ))a f a

é um ponto de máximo do gráfico de f, ou que o gráfico de f tem um ponto de mínimo local em ( , ( ))c f c .

Dizemos ainda que f assume um valor extremo local, ou relativo, em 0x , se f assume um valor máximo

ou mínimo local, ou relativo, em 0x .

Observação: Todo ponto de máximo absoluto, respectivamente, mínimo absoluto, é também um ponto de máximo local, respectivamente, mínimo local.

Exemplo 28: A função 2( )f x x= assume um valor mínimo absoluto em 0 0x = . De fato, 2 0x ≥ , para

todo x ∈ℝ , ou seja, ( ) (0)f x f≥ , para todo x ∈ℝ e, portanto, f assume o valor mínimo absoluto em 0x = .

Exemplo 29: A função ( ) cosf x x= tem máximo local nos pontos 2 ,x k kπ= ∈ℤ e mínimo local

nos pontos (2 1) ,x k kπ= + ∈ℤ . De fato, 1 cos 1x− ≤ ≤ , x∀ ∈ℝ ; cos 1x = , quando

2 ,x k kπ= ∈ℤ e cos 1x = − , quando (2 1) ,x k kπ= + ∈ℤ . Temos que

cos[(2 1) ] cos cos(2 ),k x k kπ π+ ≤ ≤ ∈ℤ e x∀ ∈ℝ .

Exemplo 30: A função ( )y f x= , definida no intervalo [ ]3,5− , cujo gráfico é dado a seguir, tem

máximo local em 3x = − , em 1x = − e em 3x = ; máximo absoluto em 3x = ; mínimo local em 2x = − , em 1x = e em 5x = e mínimo absoluto em 2x = − .

x0

y

– 1

– 2

– 3 1 2 3 4 5– 1

– 2

1

2

3

4

Definição: Seja f uma função definida num intervalo [ ],a b . Dizemos que 0 ( , )x a b∈ é um ponto

crítico de f, se ocorrer uma das condições:

(a) 0'( ) 0f x = ;

(b) f não é derivável em 0x .

Exemplo 31: A função ( )y f x= , cujo gráfico foi dado no último exemplo, admite quatro pontos

críticos 2x = − , 1x = − , 1x = e 3x = , pois '( 2) 0f − = , '( 1) 0f − = , '(1)f não existe e '(3) 0f = .

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30

O teorema a seguir caracteriza os pontos críticos onde a derivada existe.

Teorema: Seja ( )y f x= uma função definida num intervalo [ ],a b e derivável no intervalo ( , )a b . Se f

tem um máximo local ou um mínimo local em 0 ( , )x a b∈ e se 0'( )f x existe, então 0'( ) 0f x = .

Demonstração: Faremos a demonstração para o caso em que 0x é ponto de máximo local. Se em 0x tivermos mínimo local, a demonstração é feita de forma análoga e é deixada como exercício.

Como f tem um máximo local em 0x , existe 0δ > tal que 0 0 0( ) ( ), ( , )f x f x x x xδ δ≤ ∀ ∈ − + . Seja

0h ≠ um número real tal que hδ δ− < < . Então 0 0( ) ( )f x h f x+ ≤ , pois 0 0 0( , )x h x xδ δ+ ∈ − + e,

portanto, ( )0 0( )

0f x h f x

h

+ −≤ para 0h > e

( )0 0( )0

f x h f x

h

+ −≥ para 0h < .

Logo, ( )0 0

00

( )'( ) lim 0

h

f x h f xf x

h+

+

+ −= ≤ e

( )0 00

0

( )'( ) lim 0

h

f x h f xf x

h−

+ −= ≥ .

Assim, 0 0'( ) 0 '( )f x f x+ −≤ ≤ . Como f é diferenciável em 0x , 0'( )f x + e 0'( )f x − são ambos iguais

a 0'( )f x . Logo, 0'( ) 0f x = . �

Exemplo 32: A recíproca do teorema anterior não é verdadeira. De fato, se considerarmos a função 3( )f x x= , temos 2'( ) 3f x x= e, portanto, '(0) 0f = . Mas f não assume valor máximo local nem valor

mínimo local em 0 0x = , pois (0) 0 ( ),f f x= > se 0x < e (0) 0 ( ),f f x= < se 0x > .

Sobre a existência de pontos críticos temos o seguinte teorema:

Teorema (de Rolle): Se f é uma função contínua no intervalo fechado [ ],a b e derivável no intervalo

aberto ( , )a b com ( ) ( )f a f b= , então existe pelo menos um ponto 0 ( , )x a b∈ tal que 0'( ) 0f x = .

Demonstração: Suponhamos que '( ) 0f x ≠ para a x b< < ; segue do teorema anterior que f não tem

nem máximo, nem mínimo em ( , )a b . Como f é contínua em [ , ]a b , pelo Teorema de Weierstrass, ela tem

um máximo e um mínimo neste intervalo. Sendo ( ) ( )f a f b= , a única possibilidade é que f seja

identicamente constante em [ ],a b . Neste caso, '( ) 0f x = , ( , )x a b∀ ∈ o que é absurdo. Logo, existe

0 ( , )x a b∈ , tal que 0'( ) 0f x = . �

O teorema a seguir generaliza o anterior e tem muitas aplicações no Cálculo.

Teorema (do Valor Médio): Se f é uma função contínua no intervalo fechado [ ],a b e derivável no

intervalo aberto ( , )a b , então existe um ponto 0 ( , )x a b∈ , tal que

0( ) ( )

'( )f b f a

f xb a

−=−

.

Demonstração: Consideremos a função g dada pela diferença entre as funções f e a função afim cujo gráfico é a reta T que passa pelos pontos ( , ( ))A a f a= e ( , ( ))B b f b= .

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31

31

x0

y

a b

A

B

f (a)

x1

f (b)g (x1)

x2

- g (x2)

T

Graf f

Note que a equação da reta que passa por A e B é dada por

( ) ( )( ) ( )

f b f ay f a x a

b a

−− = −−

.

Assim, temos que a função g é da forma

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

f b f ag x f x x a f a

b a

− = − − + − .

A função g assim definida é contínua em [ ],a b , pois é a soma da função f com uma função afim, que

são contínuas em [ ],a b ; g é derivável em ( , )a b , pois a função f e toda função afim são deriváveis em ( , )a b ; g

satisfaz ( ) ( ) 0g a g b= = . Desta forma, podemos aplicar o Teorema de Rolle à função g e concluir que

0'( ) 0g x = , para algum 0 ( , )x a b∈ . Como ( ) ( )

'( ) '( )f b f a

g x f xb a

−= −−

, segue-se que

0 0( ) ( )

0 '( ) '( )f b f a

g x f xb a

−= = −−

.

Desta última igualdade temos 0( ) ( )

'( )f b f a

f xb a

−=−

. �

Exemplo 33: A equação 3 2 0x x c+ + = , onde c é uma constante qualquer, não pode ter mais do que

uma raiz real. De fato, suponhamos que a equação 3 2 0x x c+ + = tenha duas raízes reais 1x e 2x , com

1 2x x< . A função definida por 3( ) 2f x x x c= + + , c ∈ℝ é contínua em 1 2( , )x x e 1 2( ) ( ) 0f x f x= = .

Logo, pelo Teorema de Rolle, deveria existir um número 1 2( , )x x x∈ tal que '( ) 0f x = , isto é, 23 2 0x + = , o que é um absurdo. Portanto, a equação 3 2 0x x c+ + = não pode ter mais do que uma raiz

real.

Teorema: Seja ( )y f x= uma função contínua em [ ],a b e derivável em ( , )a b .

(a) Se '( ) 0f x > para a x b< < , então f é monótona crescente em [ ],a b .

(b) Se '( ) 0f x ≥ para a x b< < , então f é monótona não-decrescente em [ ],a b .

(c) Se '( ) 0f x < para a x b< < , então f é monótona decrescente em [ ],a b .

(d) Se '( ) 0f x ≤ para a x b< < , então f é monótona não-crescente em [ ],a b .

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32

Demonstração:

(a) Sejam 1x e 2x pontos quaisquer de [ ],a b , com 1 2x x< . Utilizando o Teorema do Valor Médio no

intervalo [ ]1 2,x x e considerando que 0'( ) 0f x > para 0 1 2( , )x x x∈ , segue-se que

2 1 0 2 1( ) ( ) '( ) ( ) 0f x f x f x x x− = ⋅ − >

e, portanto, 2 1( ) ( )f x f x> , isto é, f é monótona crescente em [ ],a b .

Os outros casos têm demonstração análoga e serão deixados como exercício. �

Exemplo 34: Considere a função 3 2( ) 3f x x x= − . Vamos estudar esta função quanto a

monotonicidade. A função f é contínua e derivável em ℝ e 2'( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x= − = − . Portanto,

( i ) '( ) 0 3 ( 2) 0 2f x x x x> ⇔ − > ⇔ > ou 0x < . Desta forma, f é monótona crescente em ( , 0]−∞

e em [2, )+∞ ;

( ii ) '( ) 0 0 2f x x< ⇔ < < . Desta forma, f é monótona decrescente em [0, 2] .

Este último teorema nos permite enunciar um teste muito importante para a determinação de pontos de máximo e mínimo locais de uma função, conhecido como Teste da Derivada Primeira.

Observação: O Teorema de Weierstrass “Se f é uma função contínua em [ , ]a b , então existem 1 2, [ , ]x x a b∈ tais que 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x≤ ≤ , para todo [ , ]x a b∈ ” garante a existência de máximo e mínimo absolutos para

funções contínuas definidas em intervalos fechados. Para determinação de extremos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [ , ]a b , devemos encontrar os pontos críticos de f em ( , )a b , calcular o valor de f nos pontos críticos e nos pontos x a= e x b= (extremos do intervalo) e comparar esses valores. O maior valor será o valor máximo absoluto de f e o menor, o valor mínimo absoluto.

Exemplo 35: Verifiquemos a existência de extremos absolutos da função 2

( )1

xf x

x=

+ no intervalo

[0, 2] . Como a função f é racional e 2 1 0x + ≠ , x∀ ∈ℝ , a função é contínua em ℝ e, portanto, contínua em [0, 2] . Logo, f admite máximo e mínimo absolutos. Devemos inicialmente encontrar os pontos críticos de f.

2

2 2

1'( ) '( ) 0 1

( 1)

xf x f x x

x

−= ⇒ = ⇔ =+

ou 1x = − .

Como 1 (0, 2)− ∉ , o único ponto crítico de f em [0, 2] é 1x = . Temos que (0) 0f = ; 1

(1)2

f = e

2(2)

5f = . Portanto, (0) (2) (1)f f f< < e, assim, f assume mínimo absoluto em 0x = e máximo absoluto em

1x = .

Observação: Sejam :f I →ℝ uma função contínua, I um intervalo aberto e 0x I∈ . Se 0( )f x é o

único valor extremo local de f, então 0( )f x é valor extremo absoluto de f. Além disso, se 0( )f x for valor

máximo relativo (valor mínimo relativo), então 0( )f x será valor máximo absoluto (valor mínimo absoluto).

Exercício 13. Determine os máximos e mínimos absolutos das seguintes funções, nos intervalos indicados:

a) 4 3( ) 2f x x x= − , [ 1, 2]− ; b) 4 3( ) 2f x x x= − , [ 1, 1]− ; c) 4

( )f x xx

= + , 1, 3

2

.

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33

33

Teste da Derivada Primeira Utilizando os resultados acerca do crescimento e decrescimento de funções do teorema anterior

podemos demonstrar, sem dificuldades,, o resultado a seguir:

Teorema (teste da derivada primeira): Seja f uma função contínua no intervalo [ ],a b e derivável em

( , )a b , exceto possivelmente em ( , )x c a b= ∈ .

(a) Se '( ) 0f x > , para a x c< < e '( ) 0f x < para c x b< < , então f tem um máximo local em x c= .

(b) Se '( ) 0f x < , para a x c< < e '( ) 0f x > para c x b< < , então f tem um mínimo local em x c= .

x0

y

a c b

x0

y

a c b

Nos exemplos a seguir aplicaremos o teste da derivada primeira para encontrar os extremos locais das funções.

Exemplo 36: Vamos encontrar os extremos locais da função 3 2( ) 3 9 15f x x x x= + − + . Como f é

uma função polinomial, f é contínua e derivável em ℝ . Como 2'( ) 3 6 9f x x x= + − , tem-se que

'( ) 0 1 ou 3f x x x= ⇔ = = − . Os pontos críticos de f determinam na reta real três intervalos: ( , 3)−∞ − ,

( 3,1)− e (1, )+∞ . Como a função 'f é contínua em ℝ , o sinal de 'f em cada um destes intervalos não

muda e, por isso, pode ser determinado avaliando 'f em um ponto qualquer do intervalo. Escolhamos, por

exemplo, os pontos 4x = − , 0x = e 2x = que pertencem, respectivamente, aos intervalos ( , 3)−∞ − ,

( 3,1)− e (1, )+∞ . Temos

'( 4) 3 16 6 ( 4) 9 15 0f − = ⋅ + ⋅ − − = > ;

'(0) 3 0 6 0 9 9 0f = ⋅ + ⋅ − = − < e

'(2) 3 4 6 2 9 15 0f = ⋅ + ⋅ − = > .

Pelo teste da primeira derivada concluímos que em 3x = − f assume valor máximo local e em 1x = f assume valor mínimo local.

Exemplo 37: Vamos encontrar os extremos locais da função 6 4( ) 4 6f x x x= − . Como

5 3 3 2 3'( ) 24 24 24 ( 1) 24 ( 1)( 1)f x x x x x x x x= − = − = + −

tem-se que '( ) 0 1 ou 0 ou 1f x x x x= ⇔ = − = = . Dessa forma, temos três pontos críticos de f, a saber, 1, 0x x= − = e 1x = . Para verificar o sinal da derivada nos intervalos determinados pelos pontos críticos,

escolhamos, por exemplo, os pontos 2x = − , 1

2x = − ,

1

2x = e 2x = que pertencem, respectivamente,

aos intervalos ( , 1), ( 1,0), (0,1)−∞ − − e (1, )+∞ . Assim, temos:

3'( 2) 24( 2) ( 2 1)( 2 1) 576 0f − = − − + − − = − < ;

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34

31 1 1 1 9'( ) 24( ) ( 1)( 1) 0

2 2 2 2 4f − = − − + − − = > ;

31 1 1 1 9'( ) 24( ) ( 1)( 1) 02 2 2 2 4

f = + − = − < ;

3'(2) 24(2) (2 1)(2 1) 576 0f = + − = > .

Pelo teste da derivada primeira concluímos que: em 1x = − f assume um mínimo relativo; que em 0x = f assume um máximo relativo e em 1x = f assume um mínimo relativo.

Exemplo 38: Vamos encontrar os extremos locais da função ( )f x x= . No Exemplo 11, mostramos

que '(0)f não existe. Logo, 0x = é ponto crítico de f. Como '( ) 1 0f x = > , se 0x > e '( ) 1 0f x = − < , se 0x < , segue do teste da derivada primeira que f assume um mínimo relativo em 0x = .

Derivadas de Ordem Superior Seja ( )y f x= uma função e 'f a sua derivada. A derivada da função 'f , caso exista, é denotada por

"f ou 2

2

d y

dx, chamada derivada segunda de f ou derivada de ordem 2 de f.

Analogamente, podemos encontrar a derivada terceira de f, denotada por '''f e as demais derivadas

sucessivas de f, até a derivada de ordem n ou derivada n-ésima de f, denotada por ( )nf .

Definição: Uma função f é dita de classe nC no intervalo ( , )a b , se para todo ( , )x a b∈ existem as

derivadas ( )', ", ''', , nf f f f… contínuas em ( , )a b . Quando a função possuir derivada de qualquer ordem em

( , )a b dizemos que esta função é de classe C ∞ no intervalo ( , )a b .

Exemplo 39: Sendo 5 2 2( ) 3

3f x x x x= − + , vamos encontrar as derivadas sucessivas de f.

4 2'( ) 5 6

3f x x x= − + ; 3''( ) 20 6f x x= − ; 2'''( ) 60f x x= ;

(4 )( ) 120f x x= ; (5)( ) 120f x = ; ( )( ) 0, 6nf x n= ≥ .

Exemplo 40: Sendo 2

3( )f x x= , vamos encontrar "( )f x .

2 11

3 32 2'( )

3 3f x x x

− − = = ;

1 41

3 32 2''( )

9 9f x x x

− − − = − = − .

Observe que Dom f =ℝ enquanto que *' "Dom f Dom f= = ℝ .

Exemplo 41: Vamos encontrar as quatro primeiras derivadas da função ( ) senf x x= .

( ) senf x x= ; '( ) cosf x x= ; ''( ) senf x x= − ; '''( ) cosf x x= − ; (4 )( ) senf x x= .

Exercício 14. Dada a função ( ) senf x x x= , calcule '"( )2

.

Page 35: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

35

35

Observemos que o teste da derivada primeira é útil para a determinação de extremos relativos, qualquer que seja a natureza do ponto crítico 0x ( 0'( ) 0f x = ou 0'( )f x não existe).

O teorema que apresentaremos a seguir mostra que o estudo do sinal da derivada segunda em 0x pode também ser útil na determinação de extremos relativos. Este teorema é conhecido como Teste da Derivada Segunda, que em um grande número de casos é mais simples de ser aplicado do que o teste da derivada primeira. Porém, esse teste apresenta mais restrições do que aquele, pois só possibilita localizar pontos de máximo ou mínimo relativos de uma função f que ocorrem em pontos críticos 0x nos quais a derivada primeira se anula. Além do mais, mesmo para este tipo de ponto crítico, o teste não permite conclusões quando 0"( ) 0f x = .

Teste da Derivada Segunda Antes de formalizarmos o teste, é preciso apresentar algumas definições.

Definição: Dizemos que o gráfico de uma função f é côncavo para cima (respectivamente, côncavo

para baixo) num ponto 0 0( , ( ))x f x se existe 0'( )f x e existe um intervalo aberto I contendo 0x , tal que

para todos os valores de x em I, com 0x x≠ , o ponto ( , ( ))x f x do gráfico está acima (respectivamente, está

abaixo) da reta tangente ao gráfico em 0 0( , ( ))x f x .

Definição: Dizemos que o gráfico de uma função f é côncavo para cima (respectivamente, côncavo

para baixo) no intervalo ( , )a b se o gráfico de f é côncavo para cima (respectivamente, côncavo para

baixo) em todos os pontos de ( , )a b .

x0

y

x0

0 0( , ( ))x f x

a b

x0

y

x0

0 0( , ( ))x f x

a b

Graf f é côncavo para cima em ( , )a b Graf f é côncavo para baixo em ( , )a b

Teorema: Seja f uma função definida em [ , ]a b e de classe 2C em ( , )a b . Neste caso,

(a) Se "( ) 0f x > para a x b< < , então o gráfico de f é côncavo para cima em ( , )a b ;

(b) Se "( ) 0f x < para a x b< < , então o gráfico de f é côncavo para baixo em ( , )a b .

Demonstração: Vamos demonstrar apenas o item (a), pois o outro é análogo e é deixado como exercício.

Devemos mostrar que o gráfico de f está sempre acima da reta tangente ao gráfico de f em qualquer ponto 0 0( , ( ))x f x com 0 ( , )x a b∈ . A reta tangente ao gráfico de f em 0 0( , ( ))x f x tem a equação

0 0 0( ) '( ) ( )y f x f x x x− = − , para 0x x≠ ,

ou melhor,

0 0 0( ) '( ) ( )y f x f x x x= + − , para 0x x≠ ,

Page 36: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

36

Vamos mostrar que dado 0 ( , )x a b∈ , a desigualdade a seguir é válida

0 0 0 0( ) ( ) '( ) ( ), ( , ),f x f x f x x x x a b x x> + − ∀ ∈ ≠ . (1)

Temos dois casos a analisar:

1. Se 0x x> , existe 1x tal que 0 1x x x< < e

0 1 0( ) ( ) '( ) ( )f x f x f x x x− = − (2)

Do fato de "( ) 0f x > para x em ( , )a b , segue-se que 'f é crescente em ( , )a b . Assim, como 1 0x x> ,

tem-se 1 0'( ) '( )f x f x> e, portanto, 1 0 0 0'( )( ) '( )( )f x x x f x x x− > − pois 0 0x x− > . Usando este

resultado na equação (2), obtemos que 0 0 0( ) ( ) '( )( )f x f x f x x x− > − , isto é,

0 0 0( ) ( ) '( ) ( )f x f x f x x x> + − , como queríamos.

2. Se 0x x< , existe 2x tal que 2 0x x x< < e 0 2 0( ) ( ) '( ) ( )f x f x f x x x− = − e, de forma análoga

ao caso 1, temos a inequação (1). �

Teorema (teste da derivada segunda): Seja f uma função de classe 2C em ( , )a b e 0x um ponto crítico de f. Então,

(a) Se 0"( ) 0f x > , f tem um mínimo relativo em 0x ;

(b) Se 0"( ) 0f x < , f tem um máximo relativo em 0x .

Demonstração: Segue imediatamente das definições de máximo e mínimo relativo, das definições de concavidade e do teorema anterior. �

Exemplo 42: Dada a função 3 2( ) 3 9 15f x x x x= + − + , encontremos os extremos relativos, se

existirem. Como f é uma função polinomial, f é de classe C ∞ em ℝ . Temos 2'( ) 3 6 9f x x x= + − e,

portanto, '( ) 0 1 ou 3f x x x= ⇔ = = − ; ''( ) 6 6f x x= + é contínua em ℝ , então calculando os sinais da

derivada segunda nos pontos críticos de f encontramos ''(1) 6 1 6 12 0f = ⋅ + = > e

''( 3) 6 ( 3) 6 12 0f − = ⋅ − + = − < . Desta forma, concluímos que em 3x = − f assume um valor máximo relativo e em 1x = f assume um valor mínimo relativo.

Exemplo 43: Dada a função 6 4( ) 4 6f x x x= − , encontremos os extremos relativos, se existirem.

Temos 5 3 3 2 3'( ) 24 24 24 ( 1) 24 ( 1)( 1)f x x x x x x x x= − = − = + − e, portanto,

'( ) 0 1 ou 0 ou 1f x x x x= ⇔ = − = = .

Temos também 4 2''( ) 120 72f x x x= − contínua em ℝ e, então, analisando o sinal da derivada segunda nos

pontos críticos encontramos ''( 1) 120 72 48 0f − = − = > ; ''(0) 0f = e ''(1) 120 72 48 0f = − = > . Desta forma, concluímos que em 1x = − e também em 1x = , f assume valores mínimos locais. Não concluímos nada a respeito dos valores de f no ponto 0x = , mas utilizando o teste da derivada primeira, como já foi feito no Exemplo 37, segue que em 0x = f assume um máximo relativo.

Exemplo 44: Dada a função

4 1

3 3( ) 5f x x x

= + , encontremos os extremos relativos, se existirem.

Temos que f é contínua em ℝ . Para 0x ≠ ,

1 2 2

3 3 34 5 1'( ) (4 5)

3 3 3f x x x x x

− − = + = +

e

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37

37

2 5 5

3 3 34 10 2"( ) (2 5)

9 9 9f x x x x x

− − − = − = − .

Os pontos críticos de f são 0x = , pois '(0)f não existe; 5

4x = − , pois

5'( ) 0

4f − = . Além disso,

temos 35 4 16

"( ) 04 3 25

f

− = >

. Pelo teste da derivada segunda f possui um mínimo relativo em 5

4x = − .

O teste da derivada segunda não se aplica para 0x = , pois não existe "(0)f . Neste caso, devemos aplicar o

teste da derivada primeira. Analisemos o sinal da derivada nos intervalos 5

( ,0)4

− e (0, )+∞ . Temos

2

31 1'( 1) ( 1) 0

3 3f

− − = − = > e

2

31'(1) (1) 9 3 0

3f

− = = > .

Logo, 0x = não é extremo relativo da função f.

Exercício 15. Dadas as funções f a seguir, determine os máximos e mínimos relativos e absolutos de f, caso existam, e determine quais os valores de x onde eles ocorrem. Utilize o teste da derivada primeira ou derivada segunda:

a) 3( ) 9f x x x= − ; b) 4( ) ( 5)f x x= + ;

c) 3( ) ( 1)f x x= + ; d) 1/3 2/3( )f x x x= − .

Pontos de Inflexão Definição: O ponto 0 0( , ( ))x f x é um ponto de inflexão do gráfico de f, se o gráfico tiver aí uma reta

tangente e se existir um intervalo aberto I, contendo 0x , tal que, se x I∈ , então:

(a) "( ) 0f x < se 0x x< e "( ) 0f x > se 0x x> ; ou

(b) "( ) 0f x > se 0x x< e "( ) 0f x < se 0x x> .

x0

y

x0

0 0( , ( ))x f x

0( )f x

x0

y

x0

0 0( , ( ))x f x

0( )f x

(a) (b) Exemplo 45: No gráfico a seguir os pontos A, D e G são exemplos de pontos de inflexão.

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38

x0

y

E

C

A

D

B

F

G

O resultado a seguir permite encontrar os possíveis candidatos a pontos de inflexão.

Teorema: Sejam f uma função derivável num intervalo aberto contendo 0x e 0 0( , ( ))x f x um ponto

de inflexão do gráfico de f. Se 0"( )f x existe, então 0"( ) 0f x = .

Demonstração: Seja g uma função tal que ( ) '( )g x f x= . Então, '( ) "( )g x f x= . Como 0 0( , ( ))x f x é

um ponto de inflexão do gráfico de f temos que "( )f x troca de sinal em 0x e, portanto, '( )g x troca de

sinal em 0x . Logo, pelo teste da derivada primeira, g tem um valor extremo local em 0x e, portanto, 0x é

um ponto crítico de g. Considerando que 0"( )f x existe e como 0 0'( ) "( )g x f x= , segue que 0'( )g x existe.

Logo, 0'( ) 0g x = e, portanto, 0"( ) 0f x = . �

Observe que podemos encontrar os possíveis pontos de inflexão mediante valores de 0x onde a

segunda derivada 0"( )f x não existe ou que são soluções da equação "( ) 0f x = . Para verificarmos se um

ponto 0 0( , ( ))x f x é de inflexão, podemos seguir os passos:

(I) Verificar a existência de 0"( )f x e, caso exista, analisar as condições (a) e (b) da definição;

(II) Caso 0"( )f x não exista, devemos verificar a existência da reta tangente ao gráfico de f no ponto

0 0( , ( ))x f x que, neste caso, será vertical e, caso exista, devemos analisar as condições (a) e (b) da definição.

Exemplo 46: Vamos determinar os pontos de inflexão do gráfico da função definida

por 4 3( ) 3 4f x x x= − . Temos que

3 2 2'( ) 12 12 12 ( 1)f x x x x x= − = −

e 2''( ) 36 24 12 (3 2)f x x x x x= − = − .

Portanto, ''( ) 0 0f x x= ⇔ = ou 2

3x = . Para estudar o sinal da derivada segunda nos intervalos

determinados pelos pontos 0x = e 2

3x = , escolhamos, por exemplo, 1x = − ,

1

3x = e 1x = que

pertencem, respectivamente, aos intervalos 2

( ,0), (0, )3

−∞ e 2

( , )3

+∞ . Assim,

''( 1) 12( 3 2) 60 0f − = − − − = > ;

Page 39: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

39

39

1''( ) 4(1 2) 4 03

f = − = − < ;

''(1) 12(3 2) 12 0f = − = > .

Como '(0) 0f = e 2 16

'3 9

f = −

, temos que o gráfico de f possui reta tangente nos pontos (0, ( 0))f e

2 2( , ( ))3 3

f . Portanto, concluímos que (0, ( 0)) (0,0)f = e 2 2 2 16

( , ( )) ( , )3 3 3 27

f = − são pontos de inflexão do

gráfico de f.

Exercícios

16. Dado o gráfico de uma função f definida em ℝ

x0– 1– 2– 3 1 2 3 4 5– 1

– 2

1

2

3

4

y

– 4– 5 96 7 8

determine:

a) ( )Im f ;

b) (1), ( 2), ( 3), ( 4), (4), (0)f f f f f f− − − , (8)f , (5)f e (6)f ;

c) Os extremos relativos e absolutos, se existirem;

d) Intervalos onde f é monótona crescente e onde é monótona decrescente;

e) Os pontos 0x tais que 0'( ) 0f x = ;

f) os pontos 0x tais que 0'( )f x não existe;

g) os pontos de inflexão do gráfico de f ;

h) '(7)f .

17. Demonstre os seguintes resultados:

a) Se ( ) ,nf x x n ∗= ∈ℤ , então 1'( ) nf x nx −= ;

b) Se 1 21

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n

n i

i

g x f x f x f x f x=

= + + + =∑ , então

1 21

'( ) '( ) '( ) ... '( ) '( )n

n i

i

g x f x f x f x f x=

= + + + =∑ , desde que as funções if sejam deriváveis para

1 i n≤ ≤ .

18. Demonstre as regras de números 07 a 12 da tabela de derivadas dada no final deste texto.

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40

19. Demonstre as regras de números 13 a 18 da tabela de derivação dada no final deste texto.

Aplicações Esta seção se destina a mostrar aplicações do conceito de derivada em algumas situações especiais:

diferencial, Fórmula de Taylor, Regra de L’Hospital, esboço de gráfico de funções, problemas de máximo e mínimo e taxas relacionadas.

Diferencial

Na notação de Leibniz para a derivada de uma função, '( )dy

f xdx

= , temos que dx e dy são utilizados

apenas como símbolos representativos. Vamos agora introduzir significados para dx e dy de modo que,

quando 0dx ≠ , a razão dy

dx seja identificada com a derivada de ( )y f x= em relação à variável x.

Para isso, considere a equação ( )y f x= , onde f é uma função, 0'( )f x sua derivada no ponto 0x e

onde os acréscimos x∆ e y∆ estão ilustrados na figura a seguir.

x0 x0

0 0( )y f x=

x0 + ∆x

0( )f x x+ ∆

x dx∆ =

dy

0y y+ ∆

y

∆y

Sabemos que 0 00

0

( ) ( )'( ) lim

x

f x x f xf x

x∆ →

+ ∆ −=∆

, o que significa que quando x∆ está próximo de

zero, tem-se y

x

∆∆

próximo do coeficiente angular da reta tangente à curva ( )y f x= no ponto 0 0( , ( ))x f x ,

ou seja, 0'( )y

f xx

∆ ≅∆

, se 0x∆ ≅ .

A expressão acima pode ser escrita da seguinte forma:

0'( )y f x x∆ ≅ ∆ , se 0x∆ ≅ .

Definição: Sejam ( )y f x= , onde f é uma função derivável, e x∆ um acréscimo na variável x. A

diferencial dy da variável dependente y é dada por '( )dy f x x= ⋅ ∆ e a diferencial dx da variável

independente x é dada por dx x= ∆ .

Observações:

1) O valor de dy depende tanto de x como de x∆ . Vemos também que, quanto à variável

independente x, não há diferença entre o acréscimo x∆ e a diferencial dx ;

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41

41

2) Segue da definição que '( )dy f x dx= . Supondo 0dx ≠ temos '( )dy

f xdx

= . Assim, a derivada

'( )f x pode exprimir-se como quociente de duas diferenciais, o que justifica a notação dada por Leibniz.

Exemplo 47: Considere a função f dada por 2( )f x x= . Vamos determinar dy e y∆ quando 10x = e

0,01x∆ = . Temos, por definição, que

2 2 2( ) ( ) ( ) 2 ( )y f x x f x x x x x x x∆ = + ∆ − = + ∆ − = ∆ + ∆ e '( ) 2dy f x x x x= ∆ = ∆ .

Se 10x = e 0,01x∆ = temos 22.10.0,01 (0,01) 0, 2001y∆ = + = e 2.10.0,01 0,2dy = = . Assim, se

tomarmos dy em lugar de y∆ , o erro cometido é de 0,0001 que pode, em muitos casos práticos, ser

desprezado. Em termos gerais, para cálculos aproximados, podemos fazer y dy∆ ≅ , ou seja,

( ) ( ) '( )f x x f x f x x+ ∆ ≅ + ∆ .

Exemplo 48: Vamos determinar aproximadamente o valor de sen31� . Como não trabalhamos no Cálculo com a medida angular “graus”, mas sim com a medida linear “radianos”, devemos procurar o valor

aproximado de sen( )6 180

π π+ . Considerando ( ) senf x x= escrevemos

sen( ) sen send

x x x x xdx

+ ∆ ≅ + ∆

.

No nosso caso, 1 3

sen( ) sen( ) cos( ) 0,5 0,8661.0,017 0,51476 180 6 6 180 2 2 180

π π π π π π+ ≅ + = + ≅ + = .

Portanto, sen31 0,5147≅� .

Exemplo 49: Vamos determinar aproximadamente 624 . Para isto vamos considerar a função

( )f x x= . Conhecemos a raiz quadrada de 625, então consideramos

1 1624 (625 1) (625) (625) ( 1) 25 ( 1) 25 24,98

502 625

dff f

dx= − ≅ + ⋅ − = + − = − = .

Portanto, 624 24,98≅ .

Exemplo 50: Vamos mostrar que senα α≅ quando 0α > e α tende a zero. Consideremos

sen( ) sen send

x x x x xdx

+ ∆ ≅ + ⋅ ∆ . Então, fazendo 0x = e x α∆ = temos

sen(0 ) sen 0 cos 0 0 1α α α α+ ≅ + ⋅ = + ⋅ = .

Portanto, senα α≅ quando 0α > e α tende a zero.

Exercício 20. Utilizando diferenciais, encontre um valor aproximado de 3 8,01 .

Fórmula de Taylor

Se considerarmos uma função linear, notaremos que para calcular os valores da função basta efetuar multiplicações e adições. Entretanto, para as funções transcendentes, ou seja, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas isto já não é tão simples. Desta forma, se pudermos “aproximar” uma função (com algumas propriedades) por uma função linear, o cálculo de valores funcionais fica simplificado.

O teorema a seguir, que estabelece a fórmula de Taylor de ordem 1, representa uma maneira de aproximar uma função por uma função linear. Omitiremos neste texto a demonstração deste teorema.

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42

Teorema (Fórmula de Taylor de ordem 1): Seja f uma função definida num intervalo fechado [ , ]a b

de classe 2C em ( , )a b e sejam 0, ( , )x x a b∈ . Então, existe um número ξ no intervalo aberto de extremos

x e 0x tal que

200 0 0

'( ) ''( )( ) ( ) ( ) ( )

1! 2!

f x ff x f x x x x x

ξ= + − + − .

Denotamos 20

''( )( ) ( )

2!

fE x x x

ξ= − e o chamamos de Resto de Lagrange de ordem 2. ( )E x tem a

propriedade de se aproximar de zero mais rapidamente que a quantidade 0( )x x− .

Assim, para pontos x suficientemente próximos de 0x , podemos desprezar o erro ( )E x e escrevermos

0 0 0( ) ( ) '( )( )f x f x f x x x≅ + − , aproximando a função f por uma função linear.

Perceba que a expressão linear dada pela fórmula de Taylor, para aproximar os valores funcionais de f nas vizinhanças do ponto 0x de seu domínio, é a própria expressão da reta tangente ao gráfico da função no

ponto 0 0( , ( ))x f x .

Exemplo 51: Seja ( ) cosf x x= . Como f é de classe C ∞ em ℝ , vamos encontrar a fórmula de Taylor

para f e utilizá-la para encontrar valores funcionais de cos x nas proximidades do ponto 0 4x

π= . Como

'( ) senf x x= − , então 0 0 0cos cos( ) sen( )( )x x x x x≅ − − ,

ou seja,

cos cos( ) sen( )( )4 4 4

x xπ π π≅ − − .

Para valores de x próximos de 4

π, podemos considerar a função cosseno aproximadamente como uma

função linear dada pela expressão 2 2 2

cos2 2 8

x xπ≅ − + + . Por exemplo, para calcularmos

aproximadamente o valor de 5

cos16

π

podemos calcular 5 2 5 2 2

cos16 2 16 2 8

π π π ≅ − + +

.

Graficamente, temos

x0

y

4

π

É importante ressaltar que a aproximação de uma função por uma função linear pode ser feita mediante o uso de várias funções lineares, mas a dada pela fórmula de Taylor é a melhor aproximação linear, no sentido que se fizermos comparações entre os erros cometidos pela aproximação de Taylor e pelas outras possíveis aproximações, o erro cometido pela aproximação de Taylor é o menor dentre todos.

Page 43: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

43

43

Quando a aproximação linear de uma função não for satisfatória, podemos aproximá-la por uma função quadrática. O seguinte teorema mostra que isso é possível mediante o uso da fórmula de Taylor de ordem 2.

Teorema (Fórmula de Taylor de ordem 2): Seja f uma função definida num intervalo fechado [ , ]a b

de classe 3C em ( , )a b e sejam 0, ( , )x x a b∈ . Então, existe um número ξ no intervalo aberto de extremos

x e 0x tal que:

2 30 00 0 0 0

'( ) ''( ) '''( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1! 2! 3!

f x f x ff x f x x x x x x x

ξ= + − + − + − .

Denotamos 30

'''( )( ) ( )

3!

fE x x x

ξ= − e o chamamos de Resto de Lagrange de ordem 3. ( )E x tem a

propriedade de se aproximar de zero mais rapidamente que a quantidade 20( )x x− .

Assim, para pontos x suficientemente próximos de 0x , podemos desprezar o erro ( )E x e escrevermos

20 0 0 0 0

1( ) ( ) '( )( ) ''( )( )

2f x f x f x x x f x x x≅ + − + − ,

aproximando a função f por uma função quadrática.

Exemplo 52: Seja ( ) cosf x x= . Como f é de classe C ∞ em ℝ , vamos encontrar a fórmula de Taylor de ordem 2 para f e aproximar a função cosseno por um polinômio de ordem 2 nas proximidades do ponto

0 3x

π= . Temos que '( ) senf x x= − e ''( ) cosf x x= − . Então,

20 0 0 0 0

1cos cos( ) sen( )( ) cos( )( )

2x x x x x x x x≅ − − − − .

Para x próximo de 3

π a função cosseno pode ser aproximada pela função quadrática

21cos cos( ) sen( )( ) cos( )( )

3 3 3 2 3 3x x x

π π π π π≅ − − − − , ou seja,

22 21 3 1 1 3 1 3

cos ( ) ( )2 2 3 4 3 4 2 6 2 6 36

x x x x xπ π π π π ≅ − − − − = − + − + + + −

.

Graficamente, temos

x0

y

3

π

função quadrática

função cosseno

No caso geral temos o seguinte resultado:

Page 44: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

44

Teorema (Fórmula de Taylor): Seja f uma função definida num intervalo fechado [ , ]a b de classe 1nC + em ( , )a b e sejam 0, ( , )x x a b∈ . Então, existe um número ξ no intervalo aberto de extremos x e 0x

tal que:

20 00 0 0

'( ) ''( )( ) ( ) ( ) ( )

1! 2!

f x f xf x f x x x x x= + − + − +

( ) ( 1)10

0 0( ) ( )

... ( ) ( )! ( 1)!

n nn nf x f

x x x xn n

ξ+++ − + −

+.

A fórmula do teorema anterior, cuja demonstração será omitida, é denominada Fórmula de Taylor de ordem n de f em torno de 0x .

Regra de L´Hospital

Nesta seção enunciaremos dois teoremas que são fortes ferramentas no cálculo de limites que

apresentam indeterminações dos tipos 0

0 ou

± ∞± ∞

. As demonstrações serão omitidas neste texto.

Teorema (Regra de L´Hospital): Sejam f e g funções deriváveis em ( , )a b , exceto possivelmente

em ( , )c a b∈ , com '( ) 0g x ≠ , para ( , )x a b∈ com x c≠ . Se

lim ( ) 0x c

f x→

= e lim ( ) 0x c

g x→

= ,

ou

lim ( )x c

f x→

= ±∞ e lim ( )x c

g x→

= ±∞

e, além disso, se '( )

lim'( )x c

f x

g x→ existir ou for ±∞ , então

( )lim

( )x c

f x

g x→= '( )

lim'( )x c

f x

g x→.

Importante: Observamos que a regra de L’ Hospital continua válida se substituirmos " "x c→ por

" "x c −→ ou " "x c +→ ou " "x → −∞ ou ainda " "x → +∞ .

Esses teoremas serão de muita utilidade para a análise e construção de gráficos propostos na próxima seção.

Exemplo 53: Calcule o limite 6 2

31

8 7lim

2 2x

x x

x→−

− −+

. Se calcularmos o limite da função expressa no

numerador, obteremos 6 2

1lim (8 7) 0

xx x

→−− − = . Calculando o limite da função do denominador, temos

3

1lim (2 2) 0

xx

→−+ = . Portanto, obtemos uma indeterminação do tipo

0

0 ao calcularmos

6 2

31

8 7lim

2 2x

x x

x→−

− −+

.

As funções do numerador e do denominador da expressão proposta no exemplo são definidas e deriváveis em ℝ . Verificamos que

3 2

1 1lim (2 2) lim 6 6 0

x x

dx x

dx→− →−+ = = ≠ e 6 2 5

1 1lim (8 7) lim (48 2 ) 46

x x

dx x x x

dx→− →−− − = − = − .

Nessas condições, a regra de L´ Hospital pode ser aplicada e teremos

6 2 5

3 21 1

8 7 48 2 46 23lim lim

6 32 2 6x x

x x x x

x x→− →−

− − −= = − = −+

.

Page 45: DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL · Teste da Derivada Segunda ... de variação instantânea de y em relação a x é a velocidade instantânea do móvel em função

45

45

Exercício 21. Calcule os seguintes limites:

a) 3 2

2

2 4lim

3 6x

x x

x→

−−

; b) 2

0

cos 3 1lim

5x

x x x

x→

− − −; c)

2

2

2 2lim

5 9x

x

x x→−∞

+− +

;

d)

1sen

2lim4

senx

x

x

→+∞

; e) 0

1 1lim

senx x x→

.

Esboço de Gráfico de Funções

Fazer o esboço do gráfico de uma função não é, em geral, um trabalho fácil (basta considerar funções polinomiais de grau maior do que 3). Por outro lado, com o auxílio de computadores esse trabalho se tornou relativamente simples. De fato, programas como Maple, Mathematica, Mathlab, Winplot etc. permitem o traçado de gráficos de qualquer função tendo-se apenas alguns cuidados na escolha de escala apropriada com relação aos eixos x e y.

Entretanto, o que pretendemos neste parágrafo não é somente encontrar o esboço de uma curva, mas aplicar a maioria dos conceitos do cálculo diferencial de forma que possamos visualizá-los geometricamente. O esboço do gráfico de uma função se mostra bem pertinente a este objetivo.

Para esboçarmos o gráfico de uma função f (de modo a aplicar os conceitos dados até o momento) sugerimos o seguinte roteiro:

1. Dar as características gerais da função: domínio, continuidade e diferenciabilidade;

2. Encontrar a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados;

3. Analisar as possíveis simetrias do gráfico de f;

4. Encontrar os pontos críticos de f, os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;

5. Encontrar os pontos de máximo e mínimo da função f ;

6. Analisar a concavidade do gráfico de f e encontrar os possíveis pontos de inflexão do gráfico de f;

7. Calcular alguns valores especiais de f, por exemplo, valores máximos e mínimos;

8. Encontrar as possíveis assíntotas verticais e horizontais.

Exemplo 54: Vamos esboçar o gráfico da função 4 3( ) 3 4f x x x= − , seguindo o roteiro apresentado.

1. Domínio de f

O domínio de f neste caso é bastante simples. Como a função f é polinomial, temos que Dom f = ℝ e

que f é contínua e diferenciável em ℝ .

2. Interseção com os eixos coordenados

4 3( ) 0 3 4 0f x x x= ⇔ − = ⇔ 3 4(3 4) 0 0 ou

3x x x x− = ⇔ = = . Portanto, o gráfico de f

intercepta o eixo Ox nos pontos (0, 0) e 4, 0

3

.

(0) 0f = . Portanto, o gráfico de f intercepta o eixo Oy no ponto (0, 0) .

3. Simetrias do gráfico de f

A função f não é par, nem ímpar e, portanto, o gráfico de f não apresenta simetria em relação ao eixo Oy e nem em relação à origem.

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46

4. Pontos críticos de f e os intervalos de crescimento e de decrescimento de f

Temos que 3 2 2'( ) 12 12 12 ( 1)f x x x x x= − = − . Assim, '( ) 0 0 ou 1f x x x= ⇔ = = .

Portanto, os pontos críticos de f são 0x = e 1x = .

Para analisar onde a função f é crescente e decrescente, devemos analisar o sinal de 'f nos seguintes intervalos:

( ,0);−∞ (0, 1) e (1, )+ ∞

Escolhendo um ponto x em cada um desses intervalos e calculando o sinal de '( )f x obtemos:

Em ( ,0)−∞ 'f é negativa e, portanto, f é decrescente em ( , 0];−∞

Em (0, 1) 'f é negativa e, portanto, f é decrescente em [0, 1] ;

Em (1, )+ ∞ 'f é positiva e, portanto, f é crescente em [1, )+ ∞ ;

5. Pontos de máximo e mínimo da função f

Como f decresce em ( , 0]−∞ e em [0, 1] , f não assume extremo relativo em 0x = .

Como f decresce em [0, 1] e cresce em [1, )+ ∞ , f assume mínimo relativo em 1x = .

Como 1x = é o único extremo relativo, ele também é mínimo absoluto.

6. Concavidade do gráfico e pontos de inflexão

Temos que 2''( ) 36 24 12 (3 2)f x x x x x= − = − .

Portanto, ''( ) 0 0f x x= ⇔ = ou 2

3x = .

Para determinar o sinal da derivada segunda nos intervalos obtidos pelos pontos 0x = e 2

3x = ,

escolhamos, por exemplo, 1x = − , 1

3x = e 1x = que pertencem, respectivamente, aos intervalos

2( ,0), 0,

3 −∞

e 2,

3 +∞

. Assim,

''( 1) 12( 3 2) 60 0f − = − − − = > ;

1''( ) 4(1 2) 4 03

f = − = − < ;

''(1) 12(3 2) 12 0f = − = > .

Concluímos que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima em ( ,0)−∞ e em 2,

3 +∞

e

concavidade voltada para baixo em 2

0,3

. Além disso, como o gráfico de f possui reta tangente em qualquer

ponto ( , ( ))x f x , temos que (0, (0)) (0, 0)f = e 2 2 2 16, ( ) ,

3 3 3 27f

= −

são pontos de inflexão do gráfico

de f.

7. Cálculo de alguns valores especiais de f

Temos que (0) 0f = ; 2 16

( )3 27

f = − e (1) 1f = − .

8. Assíntotas verticais e horizontais

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47

47

A função f não possui assíntotas, pois é polinomial.

Podemos agora esboçar o gráfico da função f

x0

y

1

-1

Exemplo 55: Vamos esboçar o gráfico da função 2

2

2( )

9

xf x

x=

−, seguindo o roteiro apresentado.

1. Domínio de f

Devemos ter 29 0x− ≠ , ou seja, 3x ≠ e 3x ≠ − . Portanto, { 3 e 3}Dom f x x x= ∈ ≠ − ≠ℝ .

Como a função é racional, ela é contínua e derivável no seu domínio.

2. Interseção com os eixos coordenados 2

2

2( ) 0 0

9

xf x

x= ⇔ = ⇔

− 22 0 0x x= ⇔ = . Assim, o gráfico de f intercepta o eixo Ox no ponto

(0, 0) .

(0) 0f = . Portanto, o gráfico de f intercepta o eixo Oy no ponto (0, 0) .

3. Simetrias do gráfico de f. 2 2

2 2

2( ) 2( ) ( )

9 ( ) 9

x xf x f x

x x

−− = = =− − −

e, portanto, f é par. Isso significa que o gráfico de f é simétrico

em relação ao eixo Oy.

4. Pontos críticos e intervalos de crescimento e de decrescimento de f.

Temos que 2 2

2 2

4 (9 ) 2 ( 2 )'( )

(9 )

x x x xf x

x

− − −= =

3 3

2 2 2 2

36 4 4 36

(9 ) (9 )

x x x x

x x

− + =− −

.

Assim, '( ) 0 36 0 0f x x x= ⇔ = ⇔ = .

Como 0x = pertence ao interior do domínio de f, 0x = é ponto crítico de f.

Para analisar onde a função f é crescente e decrescente, devemos analisar o sinal de 'f nos seguintes intervalos:

( , 3);−∞ − ( 3, 0)− ; (0, 3) e (3, )+ ∞ .

Escolhamos um ponto x em cada um desses intervalos e calculemos o sinal de 'f . Por exemplo, escolhendo 4x = − ; 1x = − ; 1x = e 4x = , que pertencem, respectivamente a cada um dos intervalos mencionados, obtemos que:

'( 4) 0f − < e, portanto, f é decrescente em ( , 3);−∞ −

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48

'( 1) 0f − < e, portanto, f é decrescente em ( 3, 0]− ;

'(1) 0f > e, portanto, f é crescente em [0, 3) ;

'(4) 0f > e, portanto, f é crescente em (3, )+ ∞ .

5. Concavidade do gráfico e pontos de máximo, mínimo e inflexão.

Temos que 2 2 2

2 4

36(9 ) 36 2(9 )( 2 )''( )

(9 )

x x x xf x

x

− − ⋅ − −= =−

2 2 2

2 4

36(9 )(9 4 )

(9 )

x x x

x

− − +=

2 2

2 3 2 3

36(9 3 ) 108(3 )

(9 ) (9 )

x x

x x

+ += =− −

.

Como ''( ) 0,f x x Dom f≠ ∀ ∈ e "( )f x existe para todo x Dom f∈ , o gráfico de f não apresenta pontos de inflexão.

Temos ainda que:

"( 4) 0f − < e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo em ( , 3);−∞ −

"(0) 0f > e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima em ( 3, 3);−

"(4) 0f < e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo em (3, )+ ∞ .

Como ''(0) 0f > , conforme visto acima, conclui-se que 0x = é ponto de mínimo relativo de f.

6. Cálculo de alguns valores especiais de f.

(0) 0f = .

7. Assíntotas verticais e horizontais. 2 2

22

2

2 2lim ( ) lim lim 2

99 1x x x

x xf x

xx

x

→ ±∞ → ±∞ → ±∞= = = −

− −

e, portanto, a reta 2y = − é assíntota

horizontal do gráfico de f. 2

23 3

2lim ( ) lim

9x x

xf x

x+ +→ →= = −∞

− e

2

23 3

2lim ( ) lim

9x x

xf x

x− −→ →= = +∞

− e, portanto, a reta 3x = é

assíntota vertical do gráfico de f. 2

23 3

2lim ( ) lim

9x x

xf x

x+ +→ − → −= = +∞

− e

2

23 3

2lim ( ) lim

9x x

xf x

x− −→ − → −= = −∞

− e, portanto, a reta 3x = − é

assíntota vertical do gráfico de f.

Podemos agora esboçar o gráfico da função f

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49

49

x

y

0 3– 3

– 2

Exercícios: 22. Esboce o gráfico de uma função f num intervalo I em cada caso:

a) [0, 10]I = ; f contínua em I ; f assume máximo relativo em 4x = ; '(4 )f não existe; o gráfico de f

tem concavidade para baixo em (0, 4) .

b) [ 3, 2]I = − ; f contínua em I ; f assume mínimo absoluto em 1x = − e em 2x = ; f assume máximo

relativo em 3x = − e em 0x = ; o ponto ( 2, 2)− é ponto de inflexão do gráfico de f ; o gráfico de f

tem concavidade para cima no intervalo aberto ( 2, 0)− .

23. Esboce o gráfico das seguintes funções fazendo a análise necessária.

a) 3( )f x x x= − ; b) 4 2( ) 3 12f x x x= + ; c) 2

4( )

1

xf x

x=

−;

d) ( ) 2f x x x= − ; e) 2

2( )

1

xf x

x=

+.

Problemas de Máximo e Mínimo

O procedimento recomendado para a resolução de problemas de máximo e mínimo pode ser esquematizado na seguinte ordem:

1) Ler o problema cuidadosamente;

2) Desenhar uma figura, quando for apropriado;

3) Denotar por letra cada quantidade envolvida no problema, distinguindo constantes e variáveis;

4) Traduzir o problema para uma equação, selecionando a variável que se quer maximizar ou minimizar;

5) Colocar esta variável como função de uma única variável, eliminando as outras através de informações adicionais;

6) Por fim, utilizar os resultados para a obtenção de máximos e mínimos da função.

Exemplo 56: Seja p o perímetro de um retângulo. Vamos determinar os seus lados de modo que sua área seja a maior possível. Para isto, chamemos as medidas dos lados do retângulo de x e y. Então, seu perímetro é igual a 2 2p x y= + . A área desse retângulo é dada pela expressão A xy= . Para trabalharmos

com uma função de uma variável escreveremos 2

2

p xy

−= e o substituiremos na expressão da área,

obtendo 22( )

2 2

p x pA x x x x

−= = − + . A função que expressa a área é uma função de domínio 0,2

p

,

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50

que depende apenas da medida x, já que p é uma constante. Determinemos os pontos críticos da função A. Temos

'( ) 22

pA x x= − +

e, portanto, o único ponto crítico de A é 4

px = . Nos intervalos (0, )

4

p e ( , )

4 2

p p a função é,

respectivamente, crescente e decrescente, pois '( ) 0A x > para (0, )4

px ∈ e '( ) 0A x < para ( , )

4 2

p px ∈ .

Portanto, em 4

px = a função A assume um valor máximo local igual a

2 2 2

( )4 16 8 16

p p p pA = − + = . Nessa

situação, o retângulo será um quadrado de lado 4

p. Como a função A só tem um máximo local, ele é

absoluto. Logo, o quadrado de lado 4

p é o retângulo que tem maior área entre todos de perímetro p.

Exemplo 57: Quer-se construir uma piscina de forma cilíndrica, com volume igual a 3125 mπ . Vamos determinar os valores do raio e da profundidade (altura), de modo que a piscina possa ser construída com a menor quantidade de material possível. Considerando o raio e a profundidade da piscina por r metros e h

metros, respectivamente, o seu volume é dado por 2V r hπ= . Como é pedido que o volume seja igual a

125π 3m , podemos escrever que 2

125h

r= metros. O material para construção será utilizado no fundo e na

lateral da piscina. A área do fundo da piscina é dada por 21A rπ= 2m e a área lateral é dada por

2 2A rhπ= 2m . Devemos procurar o valor mínimo da função

2 21 2 2

125 250( ) 2A r A A r r r

rr

ππ π π= + = + = + , cujo domínio é o intervalo (0, )+∞ . Determinemos os

pontos críticos da função A. Temos

2

250'( ) 2A r r

r

ππ= − .

33

2 2

250 2 250'( ) 0 2 0 0 125 5

rA r r r r

r r

π π ππ −= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = .

Portanto, o único ponto crítico de A é 5r = . Estudando o sinal de 'A , verificamos que '( ) 0A r < para

(0,5)r ∈ e '( ) 0A r > para (5, )r ∈ + ∞ . Logo, a função A assume um mínimo relativo em 5r = . Como ele é o único extremo relativo, ele também é absoluto. Portanto, para construir a piscina com volume igual a

3125 mπ e com o menor gasto de material, o raio deve medir 5 metros e a profundidade deve medir 5 metros.

Exercícios:

24. Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio e não precisa de cerca ao longo do rio. Se o material da cerca custa R$ 40,00 por metro para o lado paralelo ao rio e R$ 25,00 por metro para os outros dois lados, encontre as dimensões do campo de maior área que pode ser cercado com um custo fixo de R$ 10.000,00.

25. Determine as dimensões do retângulo de maior área que tem dois vértices no eixo Ox e os dois

outros vértices sobre a parábola 216 4y x= − acima do eixo Ox . Encontre a área máxima desse retângulo.

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51

51

26. Encontre o número no intervalo 1, 2

2

, tal que a soma do quadrado desse número com o dobro

de seu inverso multiplicativo, seja a menor possível. Determine essa soma.

Taxas Relacionadas

No estudo do Cálculo Diferencial surgem muitos problemas relacionados com a taxa de variação de duas ou mais variáveis em relação a uma outra variável t, nas quais não é necessário expressar cada uma destas variáveis explicitamente como função de t. Se tivermos, por exemplo, uma equação envolvendo as variáveis x

e y, então desde que a taxa de variação de x em relação a t e de y em relação a t sejam dadas por dx

dt e

dy

dt,

respectivamente, diferenciamos, pela regra da cadeia, ambos os membros da equação dada em relação a t e

obtemos uma relação entre as taxas de variação dx

dt e

dy

dt que, neste caso, são chamadas taxas relacionadas.

A melhor forma de entender os problemas que envolvem taxas relacionadas é resolvendo-os. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 58: Se A é a área de uma Vitória Régia de forma circular e r é seu raio, vamos determinar a

relação entre as taxas dA

dt e

dr

dt. Para isto, consideramos que o raio e a área dependem do tempo t. Temos a

relação 2( ) [ ( )]A t r tπ= .Assim, 2( ) [ ( )] 2 ( ).d d dr

A t r t r tdt dt dt

π π= = . Desta forma, a relação entre as taxas de

variação da área e do raio em relação ao tempo é dada pela equação 2dA dr

rdt dt

π= .

Exemplo 59: Uma escada de 3m de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada se afasta horizontalmente da parede à razão de 4 cm/s, com que velocidade o topo da escada desliza parede abaixo quando o topo da escada está a 2m acima do solo? Para resolver isto, denotamos a distância da base da escada até a parede por ( )x t e a distância do chão até a extremidade da escada apoiada na parede por

( )y t . Assim, pelo Teorema de Pitágoras, a medida do comprimento da escada será relacionada com as

variáveis ( )x t e ( )y t através da equação 2 2[ ( )] [ ( )] 9x t y t+ = . Derivando essa equação em relação a t, obtemos

2 2([ ( )] [ ( )] ) 0 ( ) ( ) 0dyd dx

x t y t x t y tdt dt dt

+ = ⇒ + = .

Como a velocidade com que a base da escada se afasta da parede é 4 cm/s, ou seja 0,04 m/s, temos que

0,04dx

dt= . Quando ( ) 2y t = , temos 2[ ( )] 4 9x t + = , ou seja ( ) 5x t = . Então, escrevendo a relação entre

as taxas no instante t onde ( ) 5x t = , ( ) 2y t = e 0,04dx

dt= obtemos

45( ) 2 0

100

dy

dt+ = , donde

2 5

100

dy

dt= − .

Portanto, a velocidade com que a extremidade da escada estará deslizando parede abaixo quando o topo da

escada está a 2 metros do solo é 2 5− cm/s. O sinal negativo significa que y decresce quando t cresce.

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52

Exemplo 60: Consideremos um reservatório em forma de um cone circular reto de altura 2 m e raio da boca 1m, conforme figura ao lado. Para enchê-lo, bombeia-se água para seu interior à razão de 2cm³/s. Vamos determinar de forma aproximada a taxa à qual o nível de água sobe no reservatório quando a profundidade da água no reservatório é 0,5 m. Para isto, consideremos o eixo vertical orientado positivamente para cima com origem no vértice do reservatório e o centímetro como unidade de medida. No instante em que o nível da água estiver na altura h, o raio r da lâmina

2 m

1 m

de água será determinado por semelhança de triângulos. Temos que 2

1

h

r= , donde

2

hr = . O volume de

água nesse instante é 2 3

21 1( )

3 3 4 12

h hV h r h h

ππ π= = = .

Como h depende do tempo t , o volume também é expresso como função do tempo por 3( ) [ ( )]12

V t h tπ= .

Portanto, derivando a equação acima em relação a t, temos a seguinte relação entre as taxas:

23[ ( )]12

dV dhh t

dt dt

π= .

Como é dado que 2dV

dt= e pede-se o valor de

dh

dt quando 50h = cm, segue da relação anterior que

22 (50)4

dh

dt

π= , donde 381,02 10

2.500

dh

dt π−= ≅ × .

Portanto, a velocidade com que o nível da água no reservatório sobe quando a profundidade é de 0,5 m é

aproximadamente 31,02 10−× cm/s. Se notarmos que 2 cm³/s equivale a um filamento de água que escorre numa torneira mal fechada, a velocidade com que a água sobe no instante em que a profundidade é de 50 cm é realmente muito lenta.

Exercícios:

27. Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo aumenta à razão de 0,5 m/min. Determine a taxa à qual a área incendiada está aumentando quando o raio é de 12 m.

28. Enche-se um balão esférico de tal modo que seu volume aumenta à razão de 2 m³/s. Qual a razão do aumento de seu raio por unidade de tempo, quando o mesmo atinge o valor de 5 m?

29. O diâmetro e altura de um cilindro circular reto são, num determinado instante, 20 cm e 40 cm, respectivamente. Se a altura crescer a uma taxa de 2 cm/min, como variará o raio do cilindro, se seu volume permanecer constante?

30. Os lados x e y de um retângulo estão variando a taxas constantes de 0,5 cm/s e 0,4 cm/s, respectivamente. A que taxas estarão variando a área e o perímetro do retângulo no instante em que x é igual a 40 cm e y é igual a 50 cm?

Formulário Geral Podemos resumir os resultados apresentados através da seguinte tabela:

Sendo ( )u u x= e ( )v v x= funções deriváveis tais que

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53

53

as funções abaixo estejam bem determinadas, temos:

01 ,y c c= ∈ℝ ' 0y =

02 y x= ' 1y =

03 y u v= + ' ' 'y u v= +

04 ,ny u n= ∈ℚ 1' 'ny n u u−= ⋅

05 y u v= ⋅ ' ' 'y u v u v= +

06 u

yv

= 2

' ''

v u u vy

v

−=

07 seny u= ' (cos ) 'y u u=

08 cosy u= ' (sen ) 'y u u= −

09 tgy u= 2' (sec ) 'y u u=

10 cotgy u= 2' (cossec ) 'y u u= −

11 secy u= ' (sec )( tg ) 'y u u u=

12 cossecy u= ' (cossec ) ( cotg ) 'y u u u= −

13 arcseny u= 2

''

1

uy

u=

14 arccosy u= 2

''

1

uy

u= −

15 arctgy u= 2

''

1

uy

u=

+

16 arccotgy u= 2

''

1

uy

u= −

+

17 arcsecy u= 2

''

1

uy

u u=

18 arccossecy u= 2

''

1

uy

u u= −

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Índice Remissivo

C

concavidade para baixo, 35 para cima, 35

D

derivada, 12 à direita, 12 à esquerda, 12 condição de existência, 12 da função composta, 23 da soma, 20 de funções trigonométricas, 22 de ordem n, 34 do produto, 21 do quociente, 21 função implícita, 26 função inversa, 25 não existência, 14 n-ésima, 34 regras, 19 segunda, 34 terceira, 34

diferencial, 40

E

esboço de gráfico, 45

F

Fórmula de Taylor de ordem 1, 42 de ordem 2, 43 de ordem n, 44

fórmulario geral, 53 função

de classe nC , 34 derivável, 12 diferenciável, 12

G

gráfico côncavo

para baixo, 35 para cima, 35

esboço, 45

M

máximo ponto, 29

máximo absoluto, 28 local, 28 relativo, 28 valor, 28

mínimo absoluto, 29 local, 28, 29 ponto, 29 relativo, 28, 29 valor, 28

P

ponto crítico, 29 de inflexão, 37 de máximo, 29 de mínimo, 29

problema do galinheiro, 9 problemas

de máximo e mínimo, 49

R

Regra de L’Hospital, 44

regra da cadeia, 23, 24 regras de derivação, 19 resto de Lagrange, 42 reta tangente, 10, 11

T

taxa de variação, 21 taxas

relacionadas, 51 Teorema

de Rolle, 30 do Valor Médio, 30

Teste da derivada primeira, 33 da derivada segunda, 36

V

valor extremo

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55

55

local, 29 relativo, 29

máximo absoluto, 28 local, 28

relativo, 28 mínimo

absoluto, 29 local, 28 relativo, 28