[ Elaborado por Rosário Laureano ]

Análise Matemática II

Para entender o significado geométrico da derivada parcial (de 1ª ordem) de f

em ordem a x no ponto (a,b), atenda aos diferentes elementos presentes na

figura abaixo (tentando perceber a relação entre eles):

Seja f uma função real de duas variáveis reais x e y. Representamos a imagem

de (x,y) por z, ou seja, z=f(x,y).

reta r (a,b,0)

(0,b,0)

(a+h,b,0)

h

Rosário Laureano Thanks to Howard Anton

Considere a interseção (não marcada na figura) da reta tangente t com o plano xOy.

Note que a reta tangente t interseta o plano xOy num ponto que também pertence à

reta r que passa nos pontos (0,b,0), (a,b,0) e (a+h,b,0). Temos ainda:

= derivada parcial de 1ª ordem de

f em ordem a x no ponto (a,b)

é o declive da reta t tangente à curva C

no ponto P(a,b,f(a,b)).

Com base na seguinte definição de derivada parcial de 1ª ordem na variável x,

e na figura do slide anterior, entendemos qual o significado geométrico da

derivada parcial (de 1ª ordem) de f em ordem a x no ponto (a,b):

é a tangente do ângulo α que a reta tangente t faz com o

plano xOy. Este ângulo α também é o ângulo que a reta t

faz com a reta r. Rosário Laureano

Para entender o significado geométrico da derivada parcial (de 1ª ordem) de f

em ordem a y no ponto (a,b), atenda aos diferentes elementos presentes na

figura abaixo (tentando perceber a relação entre eles):

ponto P(a,b,f(a,b))

b

plano de equação x=a

(paralelo ao plano yOz)

superfície S do gráfico de f,

definida pela equação z=f(x,y)

curva c sobre o plano x=a,

definida pela equação z=f(x,b)

reta

reta R

(a,b,0)

(a,b+k,0)

k

(a,0,0)

reta T tangente à

curva c no ponto P

Rosário Laureano Thanks to Howard Anton

Considere a interseção (não marcada na figura) da reta tangente T com o plano xOy.

Note que a reta tangente T interseta o plano xOy num ponto que também pertence à

reta R que passa nos pontos (a,0,0), (a,b,0) e (a,b+k,0). Temos ainda:

= derivada parcial de 1ª ordem

de f em ordem a y no ponto (a,b)

é o declive da reta T tangente à curva c

no ponto P(a,b,f(a,b)).

Com base na seguinte definição de derivada parcial de 1ª ordem na variável y,

e na figura do slide anterior, entendemos qual o significado geométrico da

derivada parcial (de 1ª ordem) de f em ordem a y no ponto (a,b):

é a tangente do ângulo β que a reta tangente T faz com o

plano xOy. Este ângulo β também é o ângulo que a reta T

faz com a reta R. Rosário Laureano

A reta tangente t tem por vetor diretor

,

pois trata-se do vetor tangente à curva C no ponto (a,b,f(a,b)).

A curva C é parametrizada por

ou ainda, . Logo o vetor tangente em cada ponto, dado

pela derivada em cada uma das (três funções) componentes, é

.

Em particular, no ponto (a,b,f(a,b)) o vetor tangente é

.

Rosário Laureano

A reta tangente T tem por vetor diretor

,

pois trata-se do vetor tangente à curva c no ponto (a,b,f(a,b)).

A curva c é parametrizada por

ou ainda, . Logo o vetor tangente em cada ponto, dado

pela derivada em cada uma das (três funções) componentes, é

.

Em particular, no ponto (a,b,f(a,b)) o vetor tangente é

.

Rosário Laureano

A função f diz-se diferenciável no ponto (a,b) interior ao seu domínio se:

1) existe com valor finito a derivada parcial em ordem a x no ponto (a,b)

2) existe com valor finito a derivada parcial em ordem a y no ponto (a,b)

3) é nulo o limite em que a expressão de

é obtida da expressão

.,

ou seja,

.

Apenas quando 1), 2) e 3) se verificam, existe o plano tangente (único) ao gráfico

de f no ponto (a,b,f(a,b)). Esse plano contém as retas tangentes t e T.

Rosário Laureano

A equação desse plano tangente ao gráfico de f no ponto (a,b,f(a,b)) é:

nisto que tem por vetor diretor

e passa no ponto (a,b,f(a,b)).

Este vetor é normal (ortogonal ou perpendicular) ao plano tangente, e é

obtido como o produto externo dos vetores diretores das retas tangentes t e T,

= x .

Conforme é conhecido da álgebra, podemos auxiliar-nos do esquema presente

na regra de Sarus (para cálculo de determinantes de ordem 3) para calcular o

produto externo de dois vetores.

Rosário Laureano

EXEMPLO: A figura apresenta o plano tangente ao gráfico de f(x,y)=3-x^2-y^2

no ponto (0,0,3), o vértice do paraboloide circular.

Temos

e ,

logo, caso exista plano tangente,

ele será horizontal visto que o seu

vetor normal é

= (0,0,-1).

Como também é verificada a

condição 3) da diferenciabilidade

(verifique!), concluímos que existe

diferenciabilidade de f no ponto (0,0)

e plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,0,3).

A equação desse plano é z=3.

NOTA: Dado que a função f é polinomial, ela é diferenciável em qualquer ponto.

Rosário Laureano Thanks to Waldecir Bianchini

A existência de plano tangente ao gráfico de f num dado ponto (a,b) interior ao seu

domínio evidencia a possibilidade de ampliar esse gráfico em torno do ponto

(a,b,f(a,b)) e visualizar uma superfície cada vez mais plana. Como se, a certo

momento, deixássemos de ver uma superfície com curvatura e passássemos a ver

um plano (na verdade, o plano tangente).

zoom

zoom

zoom

zoom

zoom

zoom

zoom zoom

i) ii)

iii) iv)

Rosário Laureano

Considere a função

e o seu gráfico (figura).

Esta função não é diferenciável no

ponto (0,0), embora existam as

derivadas parciais de f no ponto (0,0),

(verifique!)

Obtido o limite em 3)

verificamos que é diferente de 0 (através

dos limites relativos segundo retas k=mh).

Logo, não existe um plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,0,0)=(0,0,f(0,0)). Rosário Laureano Thanks to Waldecir Bianchini

Caso existisse plano tangente no ponto (0,0,0), ele

seria horizontal visto que ambas as derivadas parciais

no ponto (0,0) são nulas. Como também f(0,0)=0, a

equação desse plano tangente seria z=0.

Na verdade, falhando 3), sabemos que o plano z=0

não existe como plano tangente. As figuras seguintes

mostram como isso é evidente por sucessivos zooms

locais em torno do ponto (0,0,0) da superfície do

gráfico (onde se representou também o plano z=0).

i)

iii) ii)

Rosário Laureano Thanks to Waldecir Bianchini