matemática e suas tecnologias - matemática ensino médio, 3º ano volume da esfera

Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Médio, 3º AnoVolume da esfera

Objetivos:• calcular o volume de uma esfera e a área de uma

superfície;• reconhecer um fuso esférico e calcular sua área;• reconhecer uma cunha esférica e calcular o seu volume;• explorar o sólido em 3D com o apoio do software de

apresentação Impress/BrOffice.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera

Conteúdos• Esfera• Volume da Esfera


ESFERA


Imagem: Geek3 / GNU Free Documentation License.

Imagem: Andrevuras/ GNU Free Documentation License.

Imagem: Higor Douglas / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

Na estrutura do grafite…Na estrutura do grafite…


Imagem: Ben Mills / Public domain.

Podemos ver várias esferas em algumas estruturas de moléculas de compostos químicos.


Imagem Slashme / GNU Free Documentation License.

ESFERAESFERA• É A UNIÃO DE TODOS

OS PONTOS DO ESPAÇO EM QUE A DISTÂNCIA AO CENTRO DADO É A MESMA.


Imagem: Autor desconhecido /Disponibilizada por OgreBot/ Public domain.

ÁREA DA ESFERAÁREA DA ESFERA• EXPERIMENTALMENTE,

PODE-SE CONSTATAR QUE UMA ESFERA TEM O EXATO “PESO” DE QUATRO CÍRCULOS CUJO RAIO É O MESMO QUE GEROU A ESFERA, SENDO DO MESMO MATERIAL.


Imagem: Autor desconhecido / Disponibilizada por Marcelo Reis/GNU Free Documentation License.

24 RAESFERA


VOLUME DA ESFERAVOLUME DA ESFERA

3

4 3RVOLUME


Imagem: Autor desconhecido / Disponibilizada por Jynus/GNU Free Documentation License .

Podemos tentar demonstrar as

fórmulas.


Consideremos um cilindro de raio da base r (a altura é 2r) e tendo como S o ponto médio do eixo do cilindro.

Tomemos dois cones, tendo como bases as do cilindro e S como vértice comum (a reunião desses dois cones é um sólido chamado Clépsidra).



S SSS

r

h=2r

Cilindroequilátero

Cilindro Equilátero eOs dois cones

Reunião dos Dois cones

Sólido X,Cilindro menosOs dois cones

Ao sólido que está dentro do cilindro e fora dos dois cones, vamos chamar de sólido X (este sólido X é chamado anticlépsidra).


r

esfera clépsidra anticlépsidra

Consideremos agora uma esfera de raio r e o sólido X descrito acima.

Suponhamos que a esfera seja tangente a um plano α, que o cilindro (que originou o sólido X) tenha base em α e que os dois sólidos, esfera e sólido X, estejam num mesmo semiespaço dos determinados por α.

Qualquer plano secante β, paralelo a α, distando d do centro da esfera (e do vértice do sólido X), também secciona o sólido X. Temos, portanto:

Área da secção na esfera = πs² = π(r² - d²) círculoÁrea da secção no sólido X = πr² - πd² = π(r² - d²) coroa circular


s

ß

α

o

s

s

p Q

r

d

As áreas das secções na esfera e no sólido X são iguais. Então, pelo Princípio de Cavalieri, a esfera e o sólido X têm volumes iguais.

Vesfera = Vsólido X

Mas:

Vsólido X = Vcilindro - 2Vcone = πr² . 2r – 2 . (π r² . r/3 )= πr² . 2r – 2πr³/3 = 4πr³/3

Conclusão: O volume de uma esfera de raio r é de 4πr³/3

V= 4πr³/3


Área da superfície esférica

A= 4 πr²Referência bibliográficaGelson Iezzi; Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 10 – Geometria Espacial – Parte 2


Então, para x = 0, vem:

r + x

Noção intuitivaSe considerarmos uma superfície limitada de

área A e sobre ela formarmos um sólido, de altura x, de bases “paralelas”, teremos, indicando com V, o volume do sólido de base A e altura x. V=Ax A= V/x

Esta igualdade é verificada para qualquer x.Intuitivamente, uma superfície é imaginada

como uma “placa sólida” de “espessura infinitamente pequena”.

Por isso, se uma “placa sólida” de volume Vp e espessura x for tal que a expressão (função) Vp/x tem sentido para x = 0, então:

Vp/x ( para x = 0 ) será definida como a área da placa.

Assim podemos deduzir as expressões das áreas laterais da superfície esférica.


Área do fuso

Note que quanto maior for o ângulo, maior será o fuso correspondente; a área do fuso é diretamente proporcional a α. .


r

α

Fuso esférico

Arco equatorial

Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:


Para α em graus: Para a em radianos:

CUNHA ESFÉRICA

Se um semicírculo com o diâmetro num eixo gira a graus (0°< α ≤ 360°) em torno do eixo, ele gera um sólido que é chamado de CUNHA ESFÉRICA.


r

α

Cunha esférica

Arco equatorial

Volume da cunha

Note que quanto maior for o ângulo, maior será o volume da cunha correspondente; o volume da cunha é diretamente proporcional a α. .

Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:


Exercícios• Considerando as interações anteriores, é possível partir para os cálculos

mais comuns envolvendo esferas, que são a determinação da área e do volume. O professor pode propor alguns desafios para que sejam utilizadas as expressões abaixo.

1) Uma esfera tem raio 15 cm. Calcule:a) seu volume; b) sua área; c) a área da secção feita a 9 cm do centro.


r

9 15

15

http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDoQFjAB&url=http%3A%2F%2Fprofessorwaltertadeu.mat.br%2FEsferas2010.doc&ei=HLGyUOmkD4no8QTb8IGQBg&usg=AFQjCNE7l9z8hUloTQhMJ0JHQbWuWXS3VA&sig2=9KiMi2NrFBdtMkWG68VG_Q

2) Calcule o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 12 cm e ângulo central de 60°.


A

B

12 cm

60°


3) Calcule a capacidade de uma esfera cuja superfície esférica tem área igual a 144 m2.

4) Seccionando-se uma esfera por um plano que dista 3 m do seu centro, obtém-se uma secção de área de 72π m2, determine o volume dessa esfera.

2 72 mMATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera

r

3 R


5) Calcule o volume da esfera inscrita num cubo cuja área total é 216 cm2.


R = a/2

M N

PQ

a

M N

PQ

E

F

A

B C

D

G

Ha

R


Recursos:• livro didático;• laboratório de informática;• representações gráficas;•data show;•no laboratório de matemática: 1 esfera, 1

cone e 1 cilindro de acrílico;


• duração das atividades: 2 aulas de 50 minutos;• conhecimentos prévios trabalhados pelo

professor com o aluno: conceitos de ângulo, diâmetro, raio e medidas. Noções de plano cartesiano.


DesenvolvimentoPrimeira Etapa • Exposição dialogada, seguida de tempestade de

ideias, visando à construção do conhecimento. Será explicado pelo professor que a esfera é um importante sólido da geometria, que aparece em inúmeras aplicações importantes da vida cotidiana.

• Nessa aula, também apresentamos uma forma de manipular o sólido em 3D, usando o programa de apresentações do BrOffice, o Impress:

(http://www.broffice.org).


http://www.broffice.org/



• O professor poderá apresentar uma imagem de uma esfera, como a apresentada abaixo, no Laboratório de Informática ou mostrar aos alunos a esfera de acrílico, no Laboratório de Matemática da escola.

Recurso disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera

Segunda Etapa


Imagem: Autor desconhecido / Disponibilizada por Kieff/ Public domain.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera

• Sempre que possível, é importante relacionar o conteúdo com a vida cotidiana.

• Eis um exemplo que pode ser usado: os rolamentos são formados por esferas que permitem que ocorra o giro de uma roda em um eixo, como nas rodas dos carros. Não deixar de mostrar aos alunos a animação.

Fonte e Animação:http://pt.wikipedia.org/wiki/Rolamento


Imagem: PlusMinus / GNU Free Documentation License.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Rolamento

• Sugerimos que o professor proponha que os alunos conheçam melhor a esfera através da criação das suas próprias esferas.

• Para isso, o BrOffice/Impress (http://www.broffice.org)

oferece um excelente recurso de desenho de objetos em 3D. Vamos ver como isso pode ser feito. É simples.



Terceira Etapa• Manuseio do BrOffice, o Impress (http://www.broffice.org).


Acesse o link:http://www.broffice.org



• O primeiro passo é exibir a barra de ferramentas de desenho para objetos em 3D.

• Basta seguir o caminho indicado na figura do slide anterior: Exibir > Barra de ferramentas > Objetos3D

• Clicando no ícone da esfera, pode-se desenhar, girar, redimensionar e alterar a cor da esfera em 3 dimensões.


Observe o exemplo abaixo:


Acesse o link:http://www.broffice.org


• Uma vez que os alunos já tenham manipulado e conhecido um pouco mais sobre a esfera, pode-se partir para um aprofundamento do estudo da esfera.


Extras• Com os recursos apresentados até aqui, é possível

partir para um trabalho que envolva a aplicação do que foi estudado.

• O professor pode pedir aos alunos que procurem outras aplicações da esfera na vida cotidiana, como também realizar cálculos de área e volume.

• A continuidade do trabalho com o programa de apresentações Impress pode tornar a aula mais interessante para os alunos.


• Também pode-se trabalhar com os alunos a criação de um mapa conceitual, no papel ou no computador

(http://pt.wikipedia.org/wiki/Mapa_conceitual). • Integrar no mapa outros sólidos da geometria

espacial, além das aplicações da esfera, permitirá aos alunos construírem relações mais elaboradas da geometria e suas aplicações.


http://pt.wikipedia.org/wiki/Mapa_conceitual

Referências• http://matcal.wordpress.com/• http://www.google.com.br/url?

sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDoQFjAB&url=http%3A%2F%2Fprofessorwaltertadeu.mat.br%2FEsferas2010.doc&ei=HLGyUOmkD4no8QTb8IGQBg&usg=AFQjCNE7l9z8hUloTQhMJ0JHQbWuWXS3VA&sig2=9KiMi2NrFBdtMkWG68VG_Q

http://matcal.wordpress.com/

Tabela de Imagensn° do slide

direito da imagem como está ao lado da foto

link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso

4a Andrevuras/ GNU Free Documentation

Licensehttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bola.JPG 19/08/2012

4b Higor Douglas / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bola_de_futebol.jpg

19/08/2012

4c Geek3 / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sphere_wireframe_15deg_4r.svg

19/08/2012

5 Ben Mills / Public domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Potassium-graphite-xtal-3D-SF-B.png

19/08/2012

6 Slashme / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:ATBC_Molecular_Structure_Spacefill.png

19/08/2012

7 Autor desconhecido /Disponibilizada por OgreBot/ Public domain

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Poincare_sphere.png

19/08/2012

8 Autor desconhecido / Disponibilizada por Marcelo Reis/GNU Free Documentation License

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Steradian.png

19/08/2012

10 Autor desconhecido / Disponibilizada por Jynus/GNU Free Documentation License

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Steradian.svg

19/08/2012

30 Autor desconhecido / Disponibilizada por Kieff/ Public domain

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue-sphere.png

20/08/2012

31 PlusMinus / GNU Free Documentation License

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:BallBearing.gif

20/08/2012

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