KAMILLA Plv6vAR DA CRUZ

ARQUIMEDES: 0 VOLUME DA ESFERA

Monognlfia llprcsent:ldn it Banea Examinadol'a doPl'ograma de Pos-Gl'adua~ao em Educ:H;aoM:ttcmiltica da Univcl'sidadc Tuiuli do Pamna,como exigcncia palTial pam a qllalifica~iio do gmude -Esllccialista em Edllca~;,o Matemlitica.

Ol'icntadol': PI'of. Mestr'c Carlos Petrollzelli

UNl VIi:RSIDADE TUTUTI 00 PARANA

Curitiba - 2001

TNTRODUc;:Ao

A priori, queremos frisar que a conhecimento da genese hist6rica dos

conceitos matematicos pode ser uma ferramenta de grande valia para a

elabora98o da lingua gem matematica. Portanto, enfatizamos tambem que a

genese da produ980 hist6rica do conhecimento expressa com mais profundidade

as conceitos da ciencia matematic8.

o nosso objetivo principal desse trabalho e caracterizar a contribuiC;80 de

Arquimedes para a Matematica, mostrando que a resoluc;ao dos problemas era

feita de maneira empirica, nao havendo regras gerais para a solw;:ao de

problemas semelhantes.

Em particular, daremos enfase ao processo de calculo utilizado par

Arquimedes a cerea do volume da esfera, conceito este consolidado nos trabalhos

ja efetuados per "Euclides" - mais especificamente no livre 5 (Os Elementos) que

aborda 0 estudo de proporl'oes.

Arquimedes - 0 Volume da Esfera

Na bacia do Mediterraneo e em suas adjacencias podemos observar,

atraves dos documentos hist6ricos, que grandes transforma90es econ6micas e

paliticas acarreram do secula VII a.C. aa secula II a.C.

As cidades que surgiram aD longo da costa da Asia Menor e no continente

grego ja nao eram centros administrativQs de urn despotismo oriental. A proposito,

identificamos varias cidades na regiao dominada palos 9re905 que S8 destacaram

devido as suas atividades comerciais. Outro fator que nos chama a atenQflo e a

fonna de governo baseada em principios democn:3ticos que fizeram de Atenas 0

grande centro hegemonica de tada a helade.

Nessa masma perspectiva de desenvolvimento poria mas identificar outras

cidades costeiras que tambem enriqueceram e S8 destacaram, mas, dentre elas,

queremos dar enfase a Siracusa.

A prop6sito, queremos dar destaque a essa nova organiza<;8o social que

propiciou 0 desenvolvimento de varias cidades que se destacavam como centros

comerciais e culturais. Assim, com 0 surgimento de novas necessidades e como

decorrencia desse processo de desenvolvimento nos deparamos com um novo

tipo de homem e de sociedade que tinha na guerra - ou no saque, 0 modelo de

desenvolvimento. E em decorrencia da dissemina9ao das guerras vemos tambem

crescer uma nova classe de comerciantes - os mercadores que nunca tinham

desfrutado de tanta independencia, mas sabiam que estas conquistas eram 0

resultado de uma luta constante e dura.

E como decorrencia desse desenvolvimento comercial destacamos que a

matematica ajudava a encontrar a ordem no caos, a ordenar as idei8s em

sequencias 16gicas, a encontrar principios fundamentais. Ou seja, era a mais

racional de todas as ciencias e tambem queremos destacar a influencia da

matematica oriental na cultura Grega. Os gregos, dado 0 comercio intensivo com

as principais cidades orientais, descobriram depressa que, apesar do grande

desenvolvimento da civiliza9ao oriental, eles tambem tinharn deixado por fazer a

maior parte da sistematizac;ao da ciencia matematica.

Oeste modo, a matematica grega, levada para nossos ambientes,

conservou muita das suas caracteristicas tradicionais. Mas como era de se

esperar ela tambem sofreu as influencias dessa grande civiliza9ao que tinha na

geometria e na astronomia as suas bases de desenvolvimento. Este contato

estreito entre a cultura grega e a cultura oriental foi extrema mente fertil,

especialmente durante os primeiros seculos para 0 desenvolvimento da ciencia

grega.

No entanto queremos destacar que boa parte do conhecimento matematico

foi sistematizado por Euclides e mais tarde aprofundado por Arquimedes.

Neste periodo surgiram os "cientistas profissionaisft ou melhor "os sofistas":

homens que se dedicavam a procura de conhecimento. E um dos representantes

deste grupo, fo; Arqu;medes Este grego nasceu em 287 a.C., na magna Grec;a,

onde hoje e a ilha de Sicilia, na Italia. Estudouem Alexandria e foi considerado urn

dos mais importantes mate maticos gre905 da antiguidade classic8. A prop6sito,

queremos enfatizar a importancia do trabalhos de Arquimedes, como tambem

ressaltar as qualidades desse grande pensador grego. E dentre as sua

descobertas destacamos:

as seus estudos sabre 0 equilibria de figuras planas;

• volume da esfera;

a medlda do circulo;

corpos flutuantes;

as con6ides e esfer6ides;

• e finalmente sobre a esfera e 0 cilindro ao qual daremes destaqu8.

Muitos dos importantes resultados em Geometria obtidos par Arquimedes,

fcram concebidos a partir da equivalencia ou equilibria de modelos fisicos. Assim

podemos supor que sle tenha visualizado urn disco como sendo composto de

circulos concentricos extrapolando 0 modele par cordees.

Nessa perspectiva de analise Arquimedes esticou cada um dos cord6es e

pode intuir e depois provar 0 resultado de que a area do circulo e equivalente a de

um trianguto retimgulo cujo cateto maior e iguat ao perimetro do disco e 0 cateto

menor igual ao seu raio.

Segundo Arquimedes, 0 metoda para calcular areas e volumes baseia-se

em imaginarmos uma dada figura a qual sera decomposta em partes menores que

num processo de aproximac;6es sucessivas totaliza a sua area.

Estas ideias de Arquimedes foram tao ferteis que influenciaram 0

desenvolvimento de grande parte da matematica ate os dias de hoje. Nessa

perspectiva de analise verificamos que esse processo de aproximac;6es

sucessivas permite estimar a area de uma figura qualquer por mais irregular que

seja.

Assim, para obtermos a area de um circulo, podemos tambem decomp6~lo

em partes

E fazendo uso do mesmo conceito podemos imaginar partes cada vez

menores que ao serem colocadas lado a lado por justaposiC;80, se aproximarao

cada vez mais da forma de urn ret~mgulo.

Intuimos assim que a area de um circuto e equivalente a area de um

retanguto que tem por base 0 comprimento do raio e por altura metade do

comprimento do circulo.

1"""111'II II ,,' .:, all lill '.1,

pl\l,"1111 I I i

I ~ii

11,11' 1'111 ''!;r'l ,'1'1'" '! I I I~ pi!! I

Observamos assim que esse resultado e equivalente aquele obtido por

Arquimedes.

E como decorrencia dessas observar;6es constatamos que a percepr;80 das

formas e os process os de medidas de objetos desenvolveram~se desde

civilizar;oes muito antigas. Isto se comprova atraves dos resultados

surpreendentes ja dominados pelos egipcios como 0 calculo do volume de uma

piramide e suas secy6es.

Esses resultados eram amplamente dominados pelos gregos que por um

processo de decomposir;ao concluiram que piramides de qualquer base tin ham

sempre 1/3 do volume do prisma correspondente.

Aproximando 0 cone sucessivamente por piramides tambem concluimos

que seu volume e 1/3 do cilindro correspondente. E por analogia Arquimedes - de

maneira semelhante ao que fizera nurn plano, partiu para a concep9ao de s61idos

e conclui que toda esfera tern quatro vezes 0 volume de urn cone. Ou seja,

ele conclui tarn bern que 0 cilindro cuja base e igual a urn cfrcuto maximo da esfera

cuja altura e igual ao diametro desta, tem volume uma vez e meia maior que a

esfera.

A figura mostra as tres s61idos - esfera, cone e cilindro - como se disp6es

entre si.

Assim, se conduzimos um corte vertical pela figura, passando pelo eixo

comum, e reproduzimos a figura da secyao teremos:

~I--I! .. ,tI :;""

," I ,/ ~.~r;' i "".! ' I~--- --------.-~ -- --

\ I T, ! I" 'If;:

<!-I-II

'"'------iC. I

----.I

I

. I'=1~'. . IL

---~rH

Vejamos como Arquimedes formalizou esse processo: Sejam ABeD um

circulo com diametros perpendiculares AC e BD; um tliangulo (retangulo em A)

isosceles, com base FG e altura AC; e EFGH um retangulo. Girando esta figura

em tome do eixo ee' obtemos: uma esfera, gerada pelo circulo ABeD; urn cone,

gerado pelo tliangulo AFG; e um cilindro, gerado pelo retangulo EFGH. Seja MN

uma reta do plano perpendicular a AC, cortando este segmento no ponto Q. Como

QP = AQ e a triangulo OAQ e retangulo e, como era de se esperar, teremos:

QP' + QO' = AQ' + QO' = AO' (Teorema de Pit"goras)

Provando a Igualdade pelas medidas dadas, temos:

(r)' 3r' _(r)' 3r' _ .'- +-- - +--12 4 2 4

,."+31'" r~+3r~ ~---=---=1'-

4 4

4,." 41':~=-=J'4 4

,.~ =,.1 =1

Par outro lado, 0 trianglilo OAC e retangulo em 0 e OQ e perpendicular a AC,

logo AO'!= AQ . AC. EtllaO,

AO' = AQ . AC ( rela,oes metricas, h' = m n)

Substituindo,

, 1'·21'1'-=--

2r~ = 1

No periodo do renascimento, dezenove seculos mais tarde, as matematicos

e tisicos italianos retomaram os estudos de Arquimedes. Inicia-se entao uma tase

de intensa atividade e cria980 original nas universidades italianas.

Um desses matematicos foi Cavalieri, professor da Universidade de

Bolonha, que se destacou no trabalho inspirado em Arquimedes. Esse principio econhecido como Principio de Cavalieri.

Esse principio parte da concepgao de que urna regiao plana e urna

justaposic;:ao de infinitos segmentos. Um movimento nesses segmentos produz

uma nova figura, mas a area permanece a mesma.

Segundo Cavalieri, esse principio afirma que as figuras que tem por

secc;:oes transversais segmentos de mesmo comprimento tem a mesma area.

Esse principio aplica-se tambem ao volume dos solidos, so que nao

falamos mais em comprimentos de segmentos, mas em areas iguais de secc;:oes

planas.

--

Esse metoda foi utilizado de maneira brilhante de forma intuitiva por

Arquimedes.

o trabalho de Arquimedes e portanto relacionar a esfera com 0 cilindro e

com 0 cone.

Necessitaremos da Lei das Alavancas: a alavanca esta em equilibrio se a

produto do peso A pela distfmcia a entre a fulcra e 0 ponto de suspensao de A for

igual ao produto do peso B e sua distimcia b do fulcro. Em simbolos:

A.iI ~ B.b

Arquimedes prefere escrever a condi<;.3o de equilibrio sob a seguinte forma:

A a

Jj b

Arquimedes percebeu que quando cortamos em um mesmo nivel as tres

s6lidos, obtemos tres fatias, au seja, tres secy6es:

E, segundo os argumentos de Arquimedes a fatia do cilindro sempre se

equilibrava com as fatias do cone e da esfera juntas.

eil.

Esta condi,ao de equilibrio e satisfeita por qualquer se,ao medida.

Arquimedes percebeu que as somas do volume da esfera e do cone e igual

ao volume do cilindro. E como 0 volume do cone e 1/3 do volume do cilindro

conclui·se que 0 volume da esfera s6 podera ser 2/3, 0 que equivale a dizer que a

propon;:ao dos tres volumes e de 3 para 2 para 1,

~~

=~+~

3 2 1

Sendo /Ie, Co e Ci os volumes da esfera, do cone e do cilindro, entao

temos:

Co+Ve(j

Ou seja:

Arquimedes ja sabia que Ci=3Co, substituindo este valor na equa9ao,

obtemos:

Ci = 2·(Co+Vc)

3.Co = 2.C'n + 2Ye

3.C'o - 2.Co =: 2Ve

Co=: 2Ve

Mas como CG = 2TD, segue-se que a volume e 8 vezes a volume do cone

oblido por rolal'ao do triangulo AFG islo e:

-'-iT [(21")' 21"3

8ff r'('0=--

3

on de reo raio da esfera.

De Co= 2Ve,temos:

8lT r~2Ve=:--

3

Ve=8lTr3

6

4lTr3Ve=:--

3

resultando a formula do volume da esfera.

CONCLUSAO

Analisando-se as livros didaticos atualmente disponiveis concluimos que de

uma forma geral ensinamos uma matematica perfeita, exata e infalivel, OU seja, as

teoremas, as f6rmulas, 0 raciocinio encadeado e as resultados apresentados sao

incontestaveis. Os conceitos matematicos, segundo estes manuais didaticos nos

sao apresentados como S8 eles sempre existissem e, num dado momento, como

que por encanto, as homens as descobrem.

Portanto, em nosso estudos procuramos mostrar que 0 conhecimento

mate matico possui uma histOlicidade.

E querendo dar conta desse processo de historiz8yaO apresentamos este

trabalho de Arquimedes como fundamento do pensamento mate matico daquele

momento hist6rica.

Apesar de poucos recursos mate maticos da epoca, Arquimedes desenvo!veu

um grande traba!ho. Ele deduziu formulas, que hoje nos parecem simples mas,

para aquele momenta eram complexas. Ele desenvolveu 0 seu trabalho

embasando-se nos estudos de Euclides sobre proporyoes.

As figuras apresentadas neste trabalho, aquelas em que os solidos sao

considerados como somas de sec;oes planas, e inaceitavel, como demonstrac;ao

para Arquimedes. No entanto hoje ja estamos familiarizados com tais processos.

Com isso temos a impressao que Arquimedes, para a epoca era destemido,

poderoso e muito engenhoso quando se defrontava com um problema diffcil. E

ratificando 0 argumento acima citado, assim dizia Arquimedes:

"Deem-me urn ponto de apoio e eu levantarei 0 mundo"

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