Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento

Metodo de Gauss-Jordan

Marcio Nascimento

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em MatematicaDisciplina: Algebra Matricial - 2014.2

15 de setembro de 2014

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Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento Lembremos que na Eliminacao Gaussiana, o plano e:

Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]

↓Realizar Operacoes Elementares sobre as linhasde [A | b]

↓Obter a Forma Escalonada [E | b′]

↓Escrever o Sistema Equivalente

↓Aplicar Substituicao Reversa e encontrar aSOLUCAO

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Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento Lembremos que na Eliminacao Gaussiana, o plano e:

Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]

↓Realizar Operacoes Elementares sobre as linhasde [A | b]

↓Obter a Forma Escalonada [E | b′]

↓Escrever o Sistema Equivalente

↓Aplicar Substituicao Reversa e encontrar aSOLUCAO

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MarcioNascimento Lembremos que na Eliminacao Gaussiana, o plano e:

Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]

↓Realizar Operacoes Elementares sobre as linhasde [A | b]

↓Obter a Forma Escalonada [E | b′]

↓Escrever o Sistema Equivalente

↓Aplicar Substituicao Reversa e encontrar aSOLUCAO

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Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento Lembremos que na Eliminacao Gaussiana, o plano e:

Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]

↓Realizar Operacoes Elementares sobre as linhasde [A | b]

↓Obter a Forma Escalonada [E | b′]

↓Escrever o Sistema Equivalente

↓Aplicar Substituicao Reversa e encontrar aSOLUCAO

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Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento Lembremos que na Eliminacao Gaussiana, o plano e:

Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]

↓Realizar Operacoes Elementares sobre as linhasde [A | b]

↓Obter a Forma Escalonada [E | b′]

↓Escrever o Sistema Equivalente

↓Aplicar Substituicao Reversa e encontrar aSOLUCAO

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Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento Lembremos que na Eliminacao Gaussiana, o plano e:

Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]

↓Realizar Operacoes Elementares sobre as linhasde [A | b]

↓Obter a Forma Escalonada [E | b′]

↓Escrever o Sistema Equivalente

↓Aplicar Substituicao Reversa e encontrar aSOLUCAO

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Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento

Alem disso, quando resolvemos o sistema atraves de EliminacaoGaussiana, nosso objetivo e triangularizar a matriz doscoeficientes e depois resolver o sistema por substituicao reversa.

S

x − y + z = 0−x + y + z = −6

x + y − 2z = 4 1 −1 1 | 0−1 1 1 | −6

1 1 −2 | 4

1 −1 1 | 0

0 2 −3 | 40 0 2 | −6

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Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento

Alem disso, quando resolvemos o sistema atraves de EliminacaoGaussiana, nosso objetivo e triangularizar a matriz doscoeficientes e depois resolver o sistema por substituicao reversa.

S

x − y + z = 0−x + y + z = −6

x + y − 2z = 4

1 −1 1 | 0−1 1 1 | −6

1 1 −2 | 4

1 −1 1 | 0

0 2 −3 | 40 0 2 | −6

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MarcioNascimento

Alem disso, quando resolvemos o sistema atraves de EliminacaoGaussiana, nosso objetivo e triangularizar a matriz doscoeficientes e depois resolver o sistema por substituicao reversa.

S

x − y + z = 0−x + y + z = −6

x + y − 2z = 4 1 −1 1 | 0−1 1 1 | −6

1 1 −2 | 4

1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6

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MarcioNascimento

Alem disso, quando resolvemos o sistema atraves de EliminacaoGaussiana, nosso objetivo e triangularizar a matriz doscoeficientes e depois resolver o sistema por substituicao reversa.

S

x − y + z = 0−x + y + z = −6

x + y − 2z = 4 1 −1 1 | 0−1 1 1 | −6

1 1 −2 | 4

1 −1 1 | 0

0 2 −3 | 40 0 2 | −6

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Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento

Para sistemas onde o numero de equacoes e igual ao numerode variaveis, podemos melhorar a Forma Escalonada para exibira solucao de uma forma mais direta: atraves daDIAGONALIZACAO da Matriz dos Coeficientes.

Vamos considerar, novamente, o sistema

S

x − y + z = 0−x + y + z = −6

x + y − 2z = 4

Ja vimos que sua forma escalonada e:

[E | b′] =

1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6

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Para sistemas onde o numero de equacoes e igual ao numerode variaveis, podemos melhorar a Forma Escalonada para exibira solucao de uma forma mais direta: atraves daDIAGONALIZACAO da Matriz dos Coeficientes.

Vamos considerar, novamente, o sistema

S

x − y + z = 0−x + y + z = −6

x + y − 2z = 4

Ja vimos que sua forma escalonada e:

[E | b′] =

1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6

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MarcioNascimento

Para sistemas onde o numero de equacoes e igual ao numerode variaveis, podemos melhorar a Forma Escalonada para exibira solucao de uma forma mais direta: atraves daDIAGONALIZACAO da Matriz dos Coeficientes.

Vamos considerar, novamente, o sistema

S

x − y + z = 0−x + y + z = −6

x + y − 2z = 4

Ja vimos que sua forma escalonada e:

[E | b′] =

1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6

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MarcioNascimento

Vamos anular os coeficientes que estao tambem ACIMA decada pivot. 1 −1 1 | 0

0 2 −3 | 40 0 2 | −6

1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6

← 2L1 + L2

2 0 −1 | 40 2 −3 | 40 0 2 | −6

← 2L1 + L3

← L2 + 32 L3

4 0 0 | 20 2 0 | −50 0 2 | −6

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Vamos anular os coeficientes que estao tambem ACIMA decada pivot. 1 −1 1 | 0

0 2 −3 | 40 0 2 | −6

1 −1 1 | 0

0 2 −3 | 40 0 2 | −6

← 2L1 + L2

2 0 −1 | 40 2 −3 | 40 0 2 | −6

← 2L1 + L3

← L2 + 32 L3

4 0 0 | 20 2 0 | −50 0 2 | −6

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MarcioNascimento

Vamos anular os coeficientes que estao tambem ACIMA decada pivot. 1 −1 1 | 0

0 2 −3 | 40 0 2 | −6

1 −1 1 | 0

0 2 −3 | 40 0 2 | −6

← 2L1 + L2

2 0 −1 | 40 2 −3 | 40 0 2 | −6

← 2L1 + L3

← L2 + 32 L3

4 0 0 | 20 2 0 | −50 0 2 | −6

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MarcioNascimento

Vamos anular os coeficientes que estao tambem ACIMA decada pivot. 1 −1 1 | 0

0 2 −3 | 40 0 2 | −6

1 −1 1 | 0

0 2 −3 | 40 0 2 | −6

← 2L1 + L2

2 0 −1 | 40 2 −3 | 40 0 2 | −6

← 2L1 + L3

← L2 + 32 L3

4 0 0 | 20 2 0 | −50 0 2 | −6

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MarcioNascimento

Assim, essa e uma outra Forma Escalonada para o sistemaoriginal S 4 0 0 | 2

0 2 0 | −50 0 2 | −6

Sistema Equivalente:

S ′

4x = 2

2y = −52z = −6

Substituicao:

4x = 2 =⇒ x =1

2

2y = −5 =⇒ x = −5

22z = −6 =⇒ z = −3

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MarcioNascimento

Assim, essa e uma outra Forma Escalonada para o sistemaoriginal S 4 0 0 | 2

0 2 0 | −50 0 2 | −6

Sistema Equivalente:

S ′

4x = 2

2y = −52z = −6

Substituicao:

4x = 2 =⇒ x =1

2

2y = −5 =⇒ x = −5

22z = −6 =⇒ z = −3

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Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento

Assim, essa e uma outra Forma Escalonada para o sistemaoriginal S 4 0 0 | 2

0 2 0 | −50 0 2 | −6

Sistema Equivalente:

S ′

4x = 2

2y = −52z = −6

Substituicao:

4x = 2 =⇒ x =1

2

2y = −5 =⇒ x = −5

22z = −6 =⇒ z = −3

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MarcioNascimento

Poderıamos facilitar ainda mais a determinacao da solucao seem cada posicao de pivot (na Forma Escalonada) tivessemos 1. 4 0 0 | 2

0 2 0 | −50 0 2 | −6

4 0 0 | 2

0 2 0 | −5

0 0 2 | −6

← 1

4 L1

← 12 L2

← 12 L3

1 0 0 | 12

0 1 0 | −52

0 0 1 | −3

← x = 1

2

← y = −52

← z = −3

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MarcioNascimento

Poderıamos facilitar ainda mais a determinacao da solucao seem cada posicao de pivot (na Forma Escalonada) tivessemos 1. 4 0 0 | 2

0 2 0 | −50 0 2 | −6

4 0 0 | 2

0 2 0 | −5

0 0 2 | −6

← 1

4 L1

← 12 L2

← 12 L3

1 0 0 | 1

2

0 1 0 | −52

0 0 1 | −3

← x = 1

2

← y = −52

← z = −3

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MarcioNascimento

Poderıamos facilitar ainda mais a determinacao da solucao seem cada posicao de pivot (na Forma Escalonada) tivessemos 1. 4 0 0 | 2

0 2 0 | −50 0 2 | −6

4 0 0 | 2

0 2 0 | −5

0 0 2 | −6

← 1

4 L1

← 12 L2

← 12 L3

1 0 0 | 12

0 1 0 | −52

0 0 1 | −3

← x = 1

2

← y = −52

← z = −3

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Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento

• O processo de TRIANGULARIZACAO da matrizaumentada do sistema [A | b], e a ELIMINACAOGAUSSIANA.

• Ela nos da uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].

• O processo de DIAGONALIZACAO da matrizaumentada do sistema, e o METODO DEGAUSS-JORDAN.

• Ela nos da a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema[EA |s].

• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termosindependentes ja e a propria solucao do sistema!

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MarcioNascimento

• O processo de TRIANGULARIZACAO da matrizaumentada do sistema [A | b], e a ELIMINACAOGAUSSIANA.

• Ela nos da uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].

• O processo de DIAGONALIZACAO da matrizaumentada do sistema, e o METODO DEGAUSS-JORDAN.

• Ela nos da a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema[EA |s].

• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termosindependentes ja e a propria solucao do sistema!

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MarcioNascimento

• O processo de TRIANGULARIZACAO da matrizaumentada do sistema [A | b], e a ELIMINACAOGAUSSIANA.

• Ela nos da uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].

• O processo de DIAGONALIZACAO da matrizaumentada do sistema, e o METODO DEGAUSS-JORDAN.

• Ela nos da a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema[EA |s].

• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termosindependentes ja e a propria solucao do sistema!

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MarcioNascimento

• O processo de TRIANGULARIZACAO da matrizaumentada do sistema [A | b], e a ELIMINACAOGAUSSIANA.

• Ela nos da uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].

• O processo de DIAGONALIZACAO da matrizaumentada do sistema, e o METODO DEGAUSS-JORDAN.

• Ela nos da a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema[EA |s].

• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termosindependentes ja e a propria solucao do sistema!

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MarcioNascimento

• O processo de TRIANGULARIZACAO da matrizaumentada do sistema [A | b], e a ELIMINACAOGAUSSIANA.

• Ela nos da uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].

• O processo de DIAGONALIZACAO da matrizaumentada do sistema, e o METODO DEGAUSS-JORDAN.

• Ela nos da a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema[EA |s].

• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termosindependentes ja e a propria solucao do sistema!

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MarcioNascimento

• Eliminacao Gaussiana -Triangularizacao daMatriz dos Coeficientes

F F . . . F F0 F . . . F F...

.... . .

......

0 0 . . . F F

• Metodo de Gauss-Jordan- Diagonalizacao daMatriz dos Coeficientes

1 0 . . . 0 ξ1

0 1 . . . 0 ξ2...

.... . .

......

0 0 . . . 1 ξn

ξ1, ξ2, . . . , ξn: Solucao doSistema!

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MarcioNascimento

• Eliminacao Gaussiana -Triangularizacao daMatriz dos Coeficientes

F F . . . F F0 F . . . F F...

.... . .

......

0 0 . . . F F

• Metodo de Gauss-Jordan- Diagonalizacao daMatriz dos Coeficientes

1 0 . . . 0 ξ1

0 1 . . . 0 ξ2...

.... . .

......

0 0 . . . 1 ξn

ξ1, ξ2, . . . , ξn: Solucao doSistema!

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Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de

Gauss-Jordan:

• “Tres fardos de uma boa colheita, dois fardos de umacolheita medıocre e um fardo de uma colheita ruim foramvendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, tres da medıocree um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa,dois da medıocre e tres da ruim, foram vendidos por 26dou. Qual o preco recebido pela venda de cada fardoassociado a boa colheita, a colheita medıocre e a colheitaruim?”

• Resposta...

• Colheita boa: 9,25 dou; Colheita medıocre: 4,25 dou;Colheita ruim: 2,75 dou.

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Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de

Gauss-Jordan:

• “Tres fardos de uma boa colheita, dois fardos de umacolheita medıocre e um fardo de uma colheita ruim foramvendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, tres da medıocree um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa,dois da medıocre e tres da ruim, foram vendidos por 26dou. Qual o preco recebido pela venda de cada fardoassociado a boa colheita, a colheita medıocre e a colheitaruim?”

• Resposta...

• Colheita boa: 9,25 dou; Colheita medıocre: 4,25 dou;Colheita ruim: 2,75 dou.

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MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de

Gauss-Jordan:

• “Tres fardos de uma boa colheita, dois fardos de umacolheita medıocre e um fardo de uma colheita ruim foramvendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, tres da medıocree um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa,dois da medıocre e tres da ruim, foram vendidos por 26dou. Qual o preco recebido pela venda de cada fardoassociado a boa colheita, a colheita medıocre e a colheitaruim?”

• Resposta...

• Colheita boa: 9,25 dou; Colheita medıocre: 4,25 dou;Colheita ruim: 2,75 dou.

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MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de

Gauss-Jordan:

• “Tres fardos de uma boa colheita, dois fardos de umacolheita medıocre e um fardo de uma colheita ruim foramvendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, tres da medıocree um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa,dois da medıocre e tres da ruim, foram vendidos por 26dou. Qual o preco recebido pela venda de cada fardoassociado a boa colheita, a colheita medıocre e a colheitaruim?”

• Resposta...

• Colheita boa: 9,25 dou; Colheita medıocre: 4,25 dou;Colheita ruim: 2,75 dou.

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Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de

Gauss-Jordan:

• Uma loja vende kits de presentes para o dia das criancasconforme a tabela a seguir:

Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $)

2 0 2 2 150,001 1 1 2 180,000 2 2 2 240,002 2 2 2 300,00

Qual o valor de cada item separadamente?

• Resposta...

• Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 eFantasia: R$ 30,00.

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Metodo deGauss-Jordan

MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de

Gauss-Jordan:

• Uma loja vende kits de presentes para o dia das criancasconforme a tabela a seguir:

Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $)

2 0 2 2 150,001 1 1 2 180,000 2 2 2 240,002 2 2 2 300,00

Qual o valor de cada item separadamente?

• Resposta...

• Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 eFantasia: R$ 30,00.

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MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de

Gauss-Jordan:

• Uma loja vende kits de presentes para o dia das criancasconforme a tabela a seguir:

Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $)

2 0 2 2 150,001 1 1 2 180,000 2 2 2 240,002 2 2 2 300,00

Qual o valor de cada item separadamente?

• Resposta...

• Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 eFantasia: R$ 30,00.

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MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de

Gauss-Jordan:

• Uma loja vende kits de presentes para o dia das criancasconforme a tabela a seguir:

Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $)

2 0 2 2 150,001 1 1 2 180,000 2 2 2 240,002 2 2 2 300,00

Qual o valor de cada item separadamente?

• Resposta...

• Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 eFantasia: R$ 30,00.

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