UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚUNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚCENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIACENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIACURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICACURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

MATEMÁTICA BÁSICA IIMATEMÁTICA BÁSICA IITRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA

Prof. Márcio NascimentoProf. Márcio Nascimentomarcio@matematicauva.orgmarcio@matematicauva.org

2014.12014.1

“A  Matemática  tem  muito  em  comum  com  a  música,  a dança e os esportes. Existem habilidades a serem aprendidas e uma sequência a ser seguida, caso você queira ser bom no que faz. 

Você  não  pode  simplesmente  ler  matemática,  ou  apenas ouvir matemática, ou até mesmo entender matemática. Você FAZ a matemática, e aprender a fazê­la bem, requer prática. 

É por isso que as tarefas de casa existem, mas a maioria das pessoas precisa de mais!”

Carolyn WheaterPractice Makes Perfect

EtimologiaA palavra trigonometria tem origem na Grécia: 

μτριγωνο ετρία

τρίγωνο (Triângulo) + μέτρηση (medida)

A 'Ciência dos Triângulos';

Vocábulo criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus (1561­1613)

Ramo da Matemática que estuda a aplicação da aritmética na geometria.

História da TrigonometriaCriação da Matemática Grega;

Inicialmente desenvolveu­se a Trigonometria Esférica, mas a Trigonometria Plana fez­se necessária;

Surgiu devido as necessidades da Astronomia, Navegação e Cartografia;

Os estudos dos triângulos esféricos vinham sendo feitos desde os últimos pitagóricos (300 a.C.);

Euclides (300 a.C.): estudos sobre Geometria Esférica;Aristarco de Samos (300 a.C.): estimou uma razão 

entre as distâncias da terra ao sol e da terra a lua e também uma razão entre o diâmetro do sol e a da terra.

Teodósio (20 a.C.): compilou o que os gregos sabiam sobre o assunto em seu livro Sobre a Esfera;

Apolônio de Perga (200 a.C.): achou a aproximação de 3,1416 para o número π;

Eratóstenes (250 a.C.): calculou o raio da terra;

Menelao de Alexandria (100 a.C.): vários teoremas sobre trigonometria esférica.

Ptolomeu (150 d.C.): ápice da trigonometria grega com a obra Almagesto (A sintaxe Matemática).

Hiparco de NicéiaConsiderado o “Pai” da 

Trigonometria, viveu em torno de 120 a.C.

Construiu tabelas de cordas (predecessoras das tabelas de senos).

Organizou a confecção de um catálogo de estrelas e um calendário de equinócios.

O que se sabe sobre Hiparco é devido a Ptolomeu, que cita vários de seus resultados sobre Trigonometria e Astronomia.

Hiparco de NicéiaFez um tratado de 12 livros que se ocupa da 

construção de uma “tabela trigonométrica” para usar em sua astronomia;

Usou a divisão do círculo em 360 partes como os babilônios;

Criou o primeiro astrolábio, equipamento destinado a medir a distância de qualquer astro em relação ao horizonte;

Usou a “trigonometria” para prever eclipses, fazer calendários e navegação.

OBS: Tabela de cordasOs matemáticos gregos não usavam seno de um 

ângulo. Trabalhavam com a corda do arco duplo.

A

C

D

O α

��� � = ����

=12����� ��

��=

1120

����� ��

Por influência babilônia, os gregos usavam o raio com comprimento 60 e dividiam o círculo em 360 fatias.

Os matemáticos gregos usavam as frações sexagemais babilônias, daí a razão de adotarem o raio igual a 60.

Almagesto (Ptolomeu, 150 d.C.)Ptolomeu descreve o sistema solar no modelo 

geocêntrico;

Com as técnicas expostas no livro, Ptolomeu é capaz de resolver qualquer triângulo, decompondo­o convenientemente em triângulos retângulos;

Deduziu expressões que mais tarde, em notação moderna, seriam a expressão para seno da soma e da diferença e a identidade fundamental:

���2 � +cos2� = 1

Trigonometria pelo mundo

Continuou sendo aplicada à astronomia;

No século V, abandonaram a tabela de cordas e adotaram a tabela de senos;

Hindus

A trigonometria hindu era essencialmente aritmética, enquanto a grega era mais geométrica;

Trigonometria pelo mundo

Adotaram o ponto de vista aritmético dos hindus;

Introduziram a tangente, cotangente, secante e cossecante, para facilitar os cálculos;

Árabes

Já conheciam a lei dos senos para triângulos (al­Biruni, 1408);

Nasir­Eddin sistematizou os conhecimentos até então existentes sobre trigonometria em seu Tratado sobre o Quadrilátero.

Trigonometria pelo mundoChega a Índia por volta de 400 d.C. (astronomia);

Por volta de 800 d.C. chega ao mundo islâmico (astronomia e cartografia);

Entre 850 e 929, ocorre a introdução do círculo unitário pelo matemático árabe Al­Battani;

Trigonometria pelo mundo

Desenvolvimento da navegação exigia mapas mais precisos e cálculos mais exatos da efemérides astronômicas.

A partir do renascimento, época da expansão marítima européia, a trigonometria passou a ser usada na cartografia e na topografia (Fibonacci);

Necessidade de se refazer os cálculos da astronomia posicional, devido a adoção do sistema heliocêntrico de Copérnico (1473­1543);

Trigonometria pelo mundo

Regiomontanus (1436­1476): organizou a trigonometria como parte da matemática independente da astronomia.

Os alemães contribuíram fortemente para o desenvolvimento da trigonometria.

George Peurbach (1423­1461): Traduziu o Almagesto diretamente do grego e calculou tabelas de senos mais precisas;

Bartholomaus Pitiscus (1561­1613): introduziu o termo Trigonometria (medida dos ângulos de um triângulo).

Origens dos nomes das relações trigonométricasSeno

A palavra meia­corda em sânscrito, língua dos antigos hindus, é jiva;

v e b se confundem.

Como em várias outras línguas, em árabe se escrevem somente as consoantes das palavras;

Jaib significa bacia, bolso.

Traduziram jaib para o latim, isto é, sinus.

Origens dos nomes das relações trigonométricasTangente: significado geométrico.

α

r

t

�� � =��

Origens dos nomes das relações trigonométricasSecante: Na figura abaixo, o segmento que define a 

secante, corta o círculo. Do latim, cortar=secare.

α

r

s

��� � =��

Origens dos nomes das relações trigonométricasCosseno, Cotangente e Cossecante: Seno, tangente e 

secante do arco complementar

α

r

tβ s

t'

r s'

�� � =� ′�

= ���� �, sen� = ���� , ���� =� ′�

= ������ �

Aplicações

Outros campos da matemática: Análise, Cálculo;

Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topografia, a Engenharia Civil, Medicina, Telecomunicações, Navegação, Aviação, Astronomia; 

O ensino de trigonometriaSegundo os PCN, ensino médio, o objetivo do ensino 

da trigonometria é:Utilizar e interpretar modelos para resolução de 

situações­problema que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos.

Compreender o conhecimento científico e tecnológico como resultado de uma construção humana em um processo histórico e social, reconhecendo o uso de relações trigonométricas em diferentes épocas e contextos sociais.

Conteúdo da disciplinaTrigonometria no triângulo retângulo

Trigonometria na circunferência

Funções Trigonométricas