TRIGONOMETRIA 1. (Fuvest 2013) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo θ entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500 km.

O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são (Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria 900 km;≈ 3.π = ) a) junho; 7°. b) dezembro; 7°. c) junho; 23°. d) dezembro; 23°. e) junho; 0,3°. 2. (Upf 2016) Na folha de papel A4 que está representada na figura a seguir, o ponto O se localiza no encontro das diagonais e o ponto A é o ponto médio da largura da folha. Para cada ponto X pertencente aos lados do retângulo, está associado o ângulo ˆAOX, com medida θ em radianos, no sentido anti-horário.

O gráfico que melhor representa a medida OX em função de θ é:

a)

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TRIGONOMETRIA

b)

c)

d)

e) 3. (Epcar (Afa) 2016) Considere a função real sobrejetora f : A B→ definida por

sen3 x cos3xf(x)senx cos x

= −

Sobre f é FALSO afirmar que

a) O conjunto A é kx | x ,k2π ∈ ≠ ∈

b) f é par. c) f é injetora. d) B {2}= 4. (Ueg 2016) Sabendo-se que 1sen(x)

2= e que x é um ângulo do 1º quadrante, o valor da

expressão sen(4x) cos(4 x)− é

a) 3 12−

b) 12

c) 3 12+

d) 2 5. (G1 - ifpe 2016) Na cidade de Recife, mesmo que muito discretamente, devido à pequena latitude em que nos encontramos, percebemos que, no verão, o dia se estende um pouco mais em relação à noite e, no inverno, esse fenômeno se inverte. Já em outros lugares do nosso planeta, devido a grandes latitudes, essa variação se dá de forma muito mais acentuada. É o

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TRIGONOMETRIA caso de Ancara, na Turquia, onde a duração de luz solar L, em horas, no dia d do ano, após 21 de março, é dada pela função:

2L(d) 12 2,8 sen (d 80)365π = + ⋅ −

Determine, em horas, respectivamente, a máxima e a mínima duração de luz solar durante um dia em Ancara. a) 12,8 e 12 b) 14,8 e 9,2 c) 12,8 e 9,2 d) 12 e 12 e) 14,8 e 12 6. (G1 - epcar (Cpcar) 2016) As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura abaixo.

Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC 6 3 km,= então CP é, em km, igual a a) 6 3+ b) ( )6 3 3− c) 9 3 2− d) ( )9 2 1− 7. (Ucs 2016) O gráfico abaixo representa uma função real de variável real.

Assinale a alternativa em que consta a função representada pelo gráfico.

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TRIGONOMETRIA a) f(x) 2cos x= −

b) xf(x) 2 cos2

= c) f(x) 2 sen x= d) f(x) 2 sen 2x=

e) xf(x) sen2

= 8. (Upe-ssa 3 2016) Qual dos gráficos a seguir representa a função f 2 se(x) n 3x?= −

a)

b)

c)

d)

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TRIGONOMETRIA

e) 9. (Pucsp 2016) Suponha que uma revista publicou um artigo no qual era estimado que, no ano de 2015 x,+ com x {0,1, 2, , 9, 10},∈ o valor arrecadado dos impostos incidentes sobre as exportações de certo país, em milhões de dólares, poderia ser obtido pela função

f(x) 250 12cos x .3π = +

Caso essa previsão se confirme, então, relativamente ao total

arrecadado a cada ano considerado, é correto afirmar que: a) o valor máximo ocorrerá apenas em 2021. b) atingirá o valor mínimo somente em duas ocasiões. c) poderá superar 300 milhões de dólares. d) nunca será inferior a 250 milhões de dólares. 10. (Ita 2016) Em um triângulo equilátero ABC de lado 2, considere os pontos P, M e N pertencentes aos lados AB, BC e AC, respectivamente, tais que a) P é o ponto médio de AB; b) M é o ponto médio de BC; c) PN é a bissetriz do ângulo APC. Então, o comprimento do segmento MN é igual a a) 10 4 3− b) 5 2 3− c) 6 3 3− d) 10 5 3− e) 5 3 5− 11. (Ita 2016) Seja ABC um triângulo equilátero e suponha que M e N são pontos pertencentes ao lado BC tais que BM MN NC.= = Sendo α a medida, em radianos, do ângulo MAN, então o valor de cosα é

a) 13 .14

b) 14 .15

c) 15 .16

d) 16 .17

e) 17 .18

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TRIGONOMETRIA 12. (Ufjf-pism 2 2016) Seja 0 x

2π

≤ ≤ uma medida de ângulo em radianos tal que

5cos x sen x

2+ =

3cos x sen x2

− =

O valor de tg 2x é: a) 4 15−

b) 1515

c) 154

d) 15 e) 4 15 13. (Fuvest 2016) No quadrilátero plano ABCD, os ângulos ˆABC e ˆADC são retos, AB AD 1,= = BC CD 2= = e BD é uma diagonal. O cosseno do ângulo ˆBCD vale

a) 35

b) 25

c) 35

d) 2 35

e) 45

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Instruções: Leia atentamente o texto abaixo para responder à(s) quest(ões).

O tempo e suas medidas

1O homem vive dentro do tempo, o tempo que ele preenche, mede, avalia, ama e teme.

Para marcar a passagem e as medidas do tempo, inventou o relógio. A palavra vem do latim horologium, e 2se refere a um quadrante do céu que os antigos aprenderam a observar para se orientarem no tempo e no espaço. 3Os artefatos construídos para medir a passagem do tempo sofreram ao longo dos séculos uma grande evolução. No início 4o Sol era a referência natural para a separação entre o dia e a noite, mas depois os relógios solares foram seguidos de outros que vieram a utilizar o escoamento de líquidos, de areia, ou a queima de fluidos, até chegar aos dispositivos mecânicos que originaram as pêndulas. 5Com a eletrônica, surgiram os relógios de quartzo e de césio, aposentando os chamados “relógios de corda”. O mostrador digital que está no seu pulso ou no seu celular tem muita história: tudo teria começado com a haste vertical ao sol, que projetava sua sombra num plano horizontal demarcado. 6A ampulheta e a clepsidra são as simpáticas bisavós das atuais engenhocas eletrônicas, e até hoje intrigam e divertem crianças de todas as idades.

7Mas a evolução dos maquinismos humanos 8que dividem e medem as horas não suprimiu nem diminuiu a preocupação dos homens com o Tempo, 9essa entidade implacável, sempre a lembrar a condição da nossa mortalidade. Na mitologia grega, o deus Chronos era o

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TRIGONOMETRIA senhor do tempo que se podia medir, por isso chamado “cronológico”, 10a fluir incessantemente. No entanto, 11a memória e a imaginação humanas criam tempos outros: uma autobiografia recupera o passado, a ficção científica pretende vislumbrar o futuro. No Brasil, muito da força de um 12José Lins do Rego, de um Manuel Bandeira ou de um Pedro Nava vem do memorialismo artisticamente trabalhado. A própria história nacional 13sofre os efeitos de uma intervenção no passado: escritores românticos, logo depois da Independência, sentiram necessidade de emprestar ao país um passado glorioso, e recorreram às idealizações do Indianismo.

No cinema, uma das homenagens mais bonitas ao tempo passado é a do filme Amarcord (“eu me recordo”, em dialeto italiano), do cineasta Federico Fellini. São lembranças pessoais de uma época dura, quando o fascismo crescia e dominava a Itália. Já um tempo futuro terrivelmente sombrio é projetado no filme “Blade Runner, o caçador de androides”, do diretor Ridley Scott, no cenário futurista de uma metrópole caótica.

Se o relógio da História marca tempos sinistros, o tempo construído pela arte abre-se para a poesia: o tempo do sonho e da fantasia arrebatou multidões no filme O mágico de Oz estrelado por Judy Garland e eternizado pelo tema da canção Além do arco-íris. Aliás, a arte da música é, sempre, uma habitação especial do tempo: as notas combinam-se, ritmam e produzem melodias, adensando as horas com seu envolvimento.

São diferentes as qualidades do tempo e as circunstâncias de seus respectivos relógios: há o “relógio biológico”, que regula o ritmo do nosso corpo; há o “relógio de ponto”, que controla a presença do trabalhador numa empresa; e há a necessidade de “acertar os relógios”, para combinar uma ação em grupo; há o desafio de “correr contra o relógio”, obrigando-nos à pressa; e há quem “seja como um relógio”, quando extremamente pontual.

14Por vezes barateamos o sentido do tempo, 15tornando-o uma espécie de vazio a preencher: é quando fazemos algo para “passar o tempo”, e apelamos para um jogo, uma brincadeira, um “passatempo” como as palavras cruzadas. Em compensação, nas horas de grande expectativa, queixamo-nos de que “o tempo não passa”. “Tempo é dinheiro” é o lema dos capitalistas e investidores e dos operadores da Bolsa; e é uma obsessão para os atletas olímpicos em busca de recordes.

Nos relógios primitivos, nos cronômetros sofisticados, nos sinos das velhas igrejas, no pulsar do coração e da pressão das artérias, a expressão do tempo se confunde com a evidência mesma do que é vivo. No tic-tac da pêndula de um relógio de sala, na casa da avó, os netinhos ouvem inconscientemente o tempo passar. O Big Ben londrino marcou horas terríveis sob o bombardeio nazista. Na passagem de um ano para outro, contamos os últimos dez segundos cantando e festejando, na esperança de um novo tempo, de um ano melhor.

(Péricles Alcântara, inédito)

14. (Puccamp 2016) O relógio que está na torre do Big Ben foi construído com o ponteiro grande medindo 4,7 metros e o ponteiro pequeno medindo 2,7 metros. Exatamente às 2 horas, a distância entre as pontas, que marcam o tempo, dos dois ponteiros é de, aproximadamente, Dados:

2 2sen A cos A 1+ = a b c

senA senB senC= =

2 2 2a b c 2bc cos A= + − ⋅ sen 30 0,05 cos30 0,866 tg 30 0,577° = ° = ° = sen 60 0,866 cos60 0,5 tg60 1,732° = ° = ° = sen 90 1 cos90 0° = ° = a) 5,0 m. b) 4,6 m. c) 4,4 m. d) 3,8 m.

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TRIGONOMETRIA e) 4,1m. 15. (Uece 2015) Considerando o logaritmo na base 10 e analisando as possíveis soluções reais da equação

4 2log(cos x 26cos x 125) 2,− + = pode-se afirmar corretamente que a equação a) não possui solução. b) possui exatamente duas soluções. c) possui exatamente quatro soluções. d) possui infinitas soluções. 16. (Enem PPL 2015) No jogo mostrado na figura, uma bolinha desloca-se somente de duas formas: ao longo de linhas retas ou por arcos de circunferências centradas no ponto O e raios variando de 1 a 8. Durante o jogo, a bolinha que estiver no ponto P deverá realizar a seguinte sequência de movimentos: 2 unidades no mesmo sentido utilizado para ir do ponto O até o ponto A e, no sentido anti-horário, um arco de circunferência cujo ângulo central é 120 .°

Após a sequência de movimentos descrita, a bolinha estará no ponto a) B. b) D. c) E. d) F. e) G. 17. (G1 - ifsc 2015) É CORRETO afirmar que o menor ângulo formado pelos ponteiros da hora e dos minutos às 8h 20min é: a) Entre 80° e 90° b) Maior que 120° c) Entre 100° e 120° d) Menor que 90° e) Entre 90° e 100° 18. (Espcex (Aman) 2015) A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta

população é descrita pela expressão 3 t 2P(t) 10 cos 56

π − = +

em que o tempo t é

medido em meses. É correto afirmar que a) o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. b) a população atinge seu máximo em t 6.=

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TRIGONOMETRIA c) o período de seca corresponde a 4 meses do ano. d) a população média anual é de 6.000 animais. e) a população atinge seu mínimo em t 4= com 6.000 animais.

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TRIGONOMETRIA Gabarito: Resposta da questão 1: [A] [Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Geografia] Os raios solares que atingem a Terra são paralelos. Portanto:

360 900 7,22 3 7500

θ ° ⋅= = °

⋅ ⋅

A cidade de Alexandria situa-se no hemisfério norte, território do Egito, onde o solstício de verão acontece no dia 21 de junho, quando o Sol dispõe sua radiação na perpendicular à linha do Trópico de Câncer. [Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Matemática] Considere a figura.

Como os raios solares são paralelos, segue que AOB = θ e, portanto,

ABOA900

75000,12rad0,12 180 7,2 .

3

θ =

=

=⋅ °

≅ = °

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TRIGONOMETRIA Além disso, como Assuã e Alexandria estão situadas no hemisfério norte, e o solstício de verão ocorre no mês de junho nesse hemisfério, segue que as observações foram realizadas em junho. Resposta da questão 2: [A] Observe a figura a seguir:

As medidas devem ser conforme abaixo:

297Para 0 x 148,52

210Para 1,57 x 1052 2

297Para 3,14 x 148,52

3 210Para 4,71 x 1052 2

297Para 2 6,28 x 148,52

θ

πθ

θ π

πθ

θ π

= ⇒ = =

= ≅ ⇒ = =

= ≅ ⇒ = =

= ≅ ⇒ = =

= ≅ ⇒ = =

Para X, temos:

2 2 2OX 105 148,5OX 181,87

= +

≅

Resposta da questão 3: [C] Desenvolvendo f(x), temos:

sen3 x cos3x sen 3x cos x sen x cos3xf(x)senx cos x sen x cos x

⋅ − ⋅= − =

⋅

Utilizando as identidades trigonométricas pode-se resumir a equação em:

sen (3x x) sen 2xf(x) f(x) 21 1sen 2x sen 2x2 2

−= = → =

⋅ ⋅

Conclui-se, portanto, que a função f(x) é uma função constante e igual a 2. Analisando as alternativas:

[A] VERDADEIRO. Para todo domínio kA x | x ,k ,2π = ∈ ≠ ∈

f(x) tem imagem 2.

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TRIGONOMETRIA [B] VERDADEIRO. Uma função é par se f(x) f( x).= − Como f(x) é constante e igual a 2, trata-

se de uma função par. [C] FALSO. Uma função injetora é aquela que, seja uma função f : A B,→ para todo elemento

distinto de A associam-se elementos únicos e distintos em B. Assim, como f(x) é sempre igual a 2, não se trata de uma função injetora.

[D] VERDADEIRO. Sim, a imagem de f(x) é igual a dois, ou seja, B {2}.= Resposta da questão 4: [C]

Se 1sen(x)2

= e está no 1º quadrante, então x 30 .= ° Logo, 4x 2 60 .= ⋅ ° Desenvolvendo a

equação dada, tem-se:

2 2

sen(4x) cos(4 x) sen(2 60 ) cos(2 60 )

3 1 1 3 2 3 2 2( 3 1) 3 12 sen60 cos60 cos 60 sen 60 22 2 4 4 4 4 2

− = ⋅ ° − ⋅ °

+ + +⋅ ° ⋅ ° − ° + ° = ⋅ ⋅ − + = = =

Resposta da questão 5: [B]

Considerando a função dada por: 2L(d) 12 2,8 sen (d 80) ,365π = + ⋅ −

temos que:

O maior valor de 2sen (d 80)365π −

é ( 1)+ e o menor é ( 1).−

Logo, Máxima duração solar ( )L(d) 12 2,8 1 L(d) 14,8 horas⇒ = + ⋅ + ⇒ = Mínima duração solar ( )L(d) 12 2,8 1 L(d) 9,2 horas⇒ = + ⋅ − ⇒ = Resposta da questão 6: [B] Com os dados da figura, pode-se escrever:

BA 3 BAtg 30 BA 63BC 6 3

° = → = → =

Ainda, pelo Teorema de Pitágoras:

( )22 2 2 2 22AC BC BA AC 6 3 6 AC 144 AC 12= + → = + → = → =

E finalmente pelo teorema da bissetriz interna:

( )

( )( )( ) ( ) ( )

BC BA 6 3 6 72 3 6 3 PC 6 PC 6 PC 1 3 72 3PC PA PC 12 PC

1 372 36 PC 6 PC 36 3 1 3 PC 18 6 3 PC 6 3 31 3 1 3

= → = → − ⋅ = ⋅ → ⋅ ⋅ + =−

−⋅ = ⋅ → ⋅ = − − → = − → = −

+ −

Resposta da questão 7: [D]

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TRIGONOMETRIA Desde que f(0) 0= e f 2,

4π =

dentre as leis apresentadas, só pode ser f(x) 2sen2x.=

Resposta da questão 8: [A] Somente o primeiro gráfico apresenta as características da função f 2 se(x) n 3x := − amplitude 2, início decrescente e na origem. Resposta da questão 9: [B] O valor máximo para f(x) ocorre quando:

= ⇒ =⋅= + ⋅ ⇒ = ⇒ =

k 0 x 0x 0 k 2k 1 x 63

π π

O valor mínimo ocorre quando:

k 0 x 3x k 2k 1 x 93

π π π= ⇒ =⋅

= + ⋅ ⇒ = ⇒ =

Portanto, f(x) atingirá seu valor mínimo em apenas duas ocasiões. Resposta da questão 10: [D]

No triângulo APC :

2 3PC 32⋅

= =

Aplicando o teorema da bissetriz interna no triângulo APC, para determinar a medida x do segmento CN, temos:

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TRIGONOMETRIA 1 3

2 x xx 2 3 3 x

x 3 x 2 3

x ( 3 1) 2 3

2 3x3 1

x 3 3

=−= − ⋅

+ ⋅ =

⋅ + = ⋅

⋅=

+

= −

Aplicando , agora, o Teorema dos cossenos no triângulo CMN, temos:

( )( )

2 2 2

2 2 2

2

MN (3 3) 1 2 1 3 3 cos60

1MN (3 3) 1 2 1 3 32

MN 9 6 3 3 1 3 3

MN 10 5 3

= − + − ⋅ ⋅ − ⋅

= − + − ⋅ ⋅ − ⋅

= − ⋅ + + − +

= − ⋅

Resposta da questão 11: [A] Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 3x.

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABM, temos:

2 2 2 2 2

2AM (3x) x 2 3x x cos60 AM 7x

Portanto, AM AN 7x

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ⇒ =

= =

Aplicando, agora, o teorema dos cossenos no triângulo AMN, temos:

2 2 2 2 2 2 13x 7x 7x 2 7x cos 13x 14x cos cos14

α α α= + − ⋅ ⋅ ⇒ − = − ⇒ =

Resposta da questão 12: [B]

Somando as duas equações, obtemos 5 3cos x .4+

= Logo, vem 5 3senx .4−

= Ademais,

como senxtgx ,cos x

= segue que tgx 4 15.= −

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TRIGONOMETRIA

Finalmente, sabendo que 22 tgxtg2x ,

1 tg x=

− encontramos

22 (4 15) 15tg2x .

151 (4 15)⋅ −

= =− −

Resposta da questão 13: [C] Considere a figura.

Do triângulo ACD, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos

2 2 2 2 2AC AD CD AC 1 2

AC 5.

= + ⇒ = +

⇒ =

Desse modo, vem

CD 2cos ACD cos ACD .AC 5

= ⇔ =

Como os triângulos ACD e ACB são congruentes por LAL, segue que BCD 2 ACD= ⋅ e, portanto,

2

2cosBCD 2 cos ACD 1

22 15

3 .5

= ⋅ −

= ⋅ −

=

Resposta da questão 14: [E] Sabendo que um relógio é uma circunferência de 360° dividida igualmente em 12 horas, cada hora terá 30 ,° logo às 2 horas o ângulo entre os ponteiros será de 60 .° Assim, pela lei dos cossenos a distância “a” entre os ponteiros será:

2 2 2

2 2 2 2a b c 2bc cos A

a (4,7) (2,7) 2 4,7 2,7 cos60 a 16,69 a 4,09

= + − ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° → = → =

Resposta da questão 15:

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TRIGONOMETRIA [D] Resolvendo a função logarítmica e substituindo 2cos x por z, tem-se:

2 2

2

2

21

22

z 26z 125 10

z 26z 25 0

26 4 1 25576

26 576 26 24z2 1 2

z 25 cos x 25

z 1 cos x 1

ΔΔ

− + =

− + =

= − ⋅ ⋅=

± ±= =

⋅

= → =

= → =

Sabe-se que [ ]2 1cos x 1 cos(2x) ,2

= + ou seja:

[ ]125 1 cos(2x)2

50 1 cos(2x)cos(2x) 49

= +

− ==

ou

[ ]11 1 cos(2x)2

2 1 cos(2x)cos(2x) 1

= +

− ==

Se cos(2x) 1= então 2x 360 2 ;π= ° = logo x k ,π= pois a função cosseno é uma função periódica, o que resulta em infinitas soluções. Resposta da questão 16: [D] De acordo com o enunciado, a bolinha desloca-se em linha reta do ponto P até a circunferência de raio 6 e depois desloca-se sobre esta, em sentido anti-horário, por 120 ,° o que resulta na posição final sobre o ponto F. Resposta da questão 17: [B]

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TRIGONOMETRIA O menor anglo formado pelos ponteiros do relógio será 4 30 x,⋅ ° + portanto, maior que 120 .° Resposta da questão 18: [A] Construindo o gráfico da função, temos:

De acordo com o gráfico, o período chuvoso acontece em seis meses, ou seja, dois trimestres.

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