Trigonometria

Sumário História da Trigonometria; Relações Trigonométricas de um Triângulo

Retângulo; Seno, Cosseno e Tangente de um Triângulo

Retângulo; Problemas no Triângulo Retângulo; Atividades; As Relações Trigonométricas em um Triângulo

Qualquer; Topografia; Lei dos Senos e Cossenos; Atividades;

Um pouco da História da Trigonometria

A palavra trigonometria significa medida das partes de um triângulo. Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais. Mas os gregos fizeram um estudo sistemático das relações entre ângulos - ou arcos - numa circunferência e os comprimentos de suas cordas.

Relações Trigonométricas

no Triângulo Retângulo

As Razões Trigonométricas Vamos supor que a

figura seguinte seja uma rampa na qual destacamos o ângulo de medida a (ou simplesmente ângulo alfa), chamado Ângulo de Subida.

Sobre um dos lados a rampa marcamos os pontos B,N e Q e por esses pontos traçamos perpendiculares sobre o outro lado.

Considerando os triângulos formados, OAB, OMN e OPQ, temos: ΔOAB ~ ΔOMN ~ ΔOPQ

Seno do ÂnguloO seno, representa a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa em qualquer triângulo retângulo.

Cosseno do ÂnguloO cosseno, representa a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa em qualquer triângulo retângulo.

Tangente do ÂnguloA tangente, representa a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacentes em qualquer ângulo retângulo.

O seno, o cosseno e a tangente do ângulo, são denominados razões trigonométricas

Resolvendo Problemas no Triângulo Retângulo

Usando os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, podemos resolver problemas. Acompanhe as situações a seguir:

Questão 1 (Cefet – PR) A Rua Tenório Quadros e a Avenida Teófilo

Silva, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na Avenida Teófilo Silva a 4 000 m do citado cruzamento. Portanto, determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a Rua Tenório Quadros?

a) 2266 m

b) 6800 m

c) 5200 m

Questão 2 (Unisinos – RS) Um avião levanta voo sob um

ângulo constante de 20º. Após percorrer 2 000 metros em linha reta, qual será a altura atingida pelo avião, aproximadamente? (Utilize: sem 20º = 0,342; cos 20º = 0,94 e tg 20º = 0,364).

a)1880b)684c) 728

Questão 3 (UF – PI) Um avião decola, percorrendo

uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?

a) 1700b) 566,6...c) 500

Questão 4 De um ponto A, um agrimensor enxerga o

topo T de um morro, conforme um ângulo de 45º. Ao se aproximar 50 metros do morro, ele passa a ver o topo T conforme um ângulo de 60º. Determine a altura do morro.

a) X= 121,38 / Y~= 71,4b) X= 122,40 / Y~= 70,3c) X= 120,52 / Y~= 60,5

As Relações Trigonométricas em um Triângulo Qualquer

Algumas vezes deparamos com plantas de terrenos em que há a representação de lagos ou de montanhas com todas as medidas indicadas sem que nos ocorra pensar em como essas medidas teriam sido obtidas.

A topografia é a área da Engenharia que trata de situações como esta: medições que determinam a forma e a posição de elementos do relevo, com base em relações estabelecidas pela Trigonometria. Para isso, utiliza-se o teodolito, um instrumento de observação que ajuda a calcular distâncias difíceis de serem medidas, a partir de medidas de triângulos que podem ser determinados nos terrenos

O conhecimento das relações entre lados e ângulos desses triângulos é fundamental para o topógrafo, pois se ele conhecer três das seis medidas de lados e ângulos de um triângulo poderá calcular as demais.Até a descoberta dessas relações, problemas que envolvessem triângulos eram geralmente resolvidos com o quese sabia das relações no triângulo retângulo, mas a prática mostrou que isso era insuficiente ou tornava os Cálculo muito trabalhosos.

A determinação das medidas dos ângulos e dos comprimentos dos lados de um triângulo qualquer, sem recorrer aos triângulos retângulos, foi possível coma evolução da Trigonometria. As relações, chamadas lei dos senos elei dos cossenos, trouxeram ferramentas fundamentais para os problemas que envolviam esse triângulos.

Lei dos Senos A lei dos senos estabelece a relação entra a medida

de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever.

Lei dos Cossenos A lei dos cosseno em qualquer triângulo, o quadrado

de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

Questão 5 Na figura abaixo, calcule o valor da medida

x:

a) 50 √2b) 100 √2c) 10 √2

Questão 6 Calcule a medida do lado x. Dados: sen45°=

0,707; sen120°= 0,866.

a) 183,88 cmb) 198,33 cmc) 183,73 cm

Questão 7 Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. Calcule

o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo.

a) -11/24b) -10/24c) -1/24

Questão 8 (UNICAMP) – A água utilizada na casa de um sítio é captada e

bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50m de distância. A casa está a 80m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas direções caixa-d’água- bomba e caixa-d’água- casa é de 60º. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários?

a) 60 mb) 70 mc) 50 m

Obrigada, pela atenção!

Isabele Félix N°8Jamile Fontenele N°9Jamille Miranda N°10Beatriz Fontenele N°15