Vamos considerar nesse trabalho uma trigonometria perfeitamente

acessível a alunos do ensino médio, numa abordagem simples e utilizável.

Um dos grandes desafios para o homem ao longo dos tempos é a medida de distâncias inacessíveis, por isso faremos uma abordagem desse assunto de modo simples e interessante.

Nosso objetivo aqui, é mostrar que é possível determinarmos a altura do Pão de Açúcar no Rio de Janeiro, com uma margem de erro bastante pequena e aceitável.

Utilizaremos as razões trigonométricas para um ângulo agudo, definidas no triângulo

retângulo, mais especificamente a tangente.

sen α = b acos = c atg = b a

Precisaremos também de um teodolito, o qual vamos construir, para a execução desse

trabalho.

TeodolitoTeodolito é um instrumento que tem uma espécie de luneta e duas escalas angulares, uma horizontal para medir ângulos no plano horizontal e outra vertical para os ângulos de elevação.

Este é um modelo antigo mas muito bom. Durante muito tempo o mundo foi medido, utilizando-se um instrumento como esse.

TeodolitoAqui mostramos um modelo moderno, totalmente digital,

que tem uma precisão incrível.

O Pão de Açúcar, vista do Aterro do Flamengo

Vamos a construção do nosso teodolito

Material necessárioUm pedaço de madeira de formato retangular

com aproximadamente 15 x 20 cm.Um transferidor.Um tubo fino, como por exemplo uma capa

de caneta ou canudo de refrigerante.Um prego 12x12 com cabeça.Fita adesiva.

Modo de fazer

Com a fita adesiva fixamos o tubo ao transferidor.

Em seguida devemos utilizar o prego para prender o transferidor à madeira, como se fosse um eixo.

Deve-se fazer uma reta paralela a face superior da madeira, na altura do eixo do transferidor.

O teodolito deverá ficar assim:

Algumas considerações:

Para realizarmos a medida da altura do pão de açúcar ou de outra montanha qualquer, precisamos de um plano horizontal, relativamente grande, de onde podemos avistar a nossa montanha.

Por isso escolhemos o aterro do flamengo, por atender às nossas, necessidades nesse caso.

Vamos ao trabalho:Primeiro fixamos nosso teodolito em um ponto de

modo que fique em nível com plano horizontal, digamos sobre uma mesa, no nosso caso no Aterro do Flamengo;

Em seguida miramos o topo da montanha através do tubo do nosso teodolito, e marcamos o ângulo “”;

Precisamos agora caminhar em direção ao objetivo, uma distância “d” considerável, então miramos novamente o topo e marcamos o novo ângulo “”.

As medidas

Alguns professores fizeram essas medidas e encontraram os seguintes dados:

O ângulo = 10°O ângulo = 14°Distância d = 650 m

O diagrama

Podemos visualizarmos essa situação através de um diagrama como mostrado a seguir:

No DACD, temos:tg = h (1) d + xNo DBCD, temostg = h (2) xOnde: h é a altura da montanha, =10° , =14° e d = 650.

Vamos aos cálculosPela equação (1) podemos encontrar o valor de h em

função de x e tg , isto é, h = tg . x.Substituindo o valor de h na equação (2), temos: tg = tg . x d + x Daí temos: tg . x – tg . x = tg . d Colocando x em evidência e passando tg – tg para

o segundo membro da equação temos: x = tg . d tg – tg

Continuando os Cálculos

Utilizando os dados do problema,uma calculadora científica e considerando quatro casas decimais para as tangentes, temos que:

tg = tg 10° 0,1763tg = tg 14° 0,2493d = 650Então temos: x 114,595 0,073Ou seja x 1570 m

Continuando os CálculosUtilizando agora a equação (2) temos que:h = tg . XOu seja: h 0,2493 . 1570 h 391,4 mComo nós consideramos que o teodolito foi fixado em

uma mesa, cerca de 60 cm de altura, e considerando que o Aterro do Flamengo está há aproximadamente 3 m acima do nível do mar, podemos considerar que o morro do Pão de Açúcar mede cerca de 395 m de altitude.

Este número é bem próximo da realidade que é de 396 m.