trigonometria senai

Curso Técnico em Mecânica

Matemática Aplicada à Mecânica

Armando de Queiroz Monteiro NetoPresidente da Confederação Nacional da Indústria

José Manuel de Aguiar MartinsDiretor do Departamento Nacional do SENAI

Regina Maria de Fátima TorresDiretora de Operações do Departamento Nacional do SENAI

Alcantaro CorrêaPresidente da Federação das Indústrias do Estado de Santa Catarina

Sérgio Roberto ArrudaDiretor Regional do SENAI/SC

Antônio José CarradoreDiretor de Educação e Tecnologia do SENAI/SC

Marco Antônio DociattiDiretor de Desenvolvimento Organizacional do SENAI/SC

Confederação Nacional das Indústrias

Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial

Curso Técnico em Mecânica

Matemática Aplicada à Mecânica

Almir da Silva Jairo Gayo

Renato Antonio Schramm

Florianópolis/SC2010

É proibida a reprodução total ou parcial deste material por qualquer meio ou sistema sem o prévio consentimento do editor. Material em conformidade com a nova ortografia da língua portuguesa.

Equipe técnica que participou da elaboração desta obra

Coordenação de Educação a DistânciaBeth Schirmer

Revisão Ortográfica e NormatizaçãoContextual Serviços Editoriais

Coordenação Projetos EaDMaristela de Lourdes Alves

Design Educacional, Ilustração, Projeto Gráfico Editorial, Diagramação Equipe de Recursos Didáticos SENAI/SC em Florianópolis

AutoresAlmir da SilvaJairo GayoRenato Antonio Schramm

SENAI/SC — Serviço Nacional de Aprendizagem IndustrialRodovia Admar Gonzaga, 2.765 – Itacorubi – Florianópolis/SCCEP: 88034-001Fone: (48) 0800 48 12 12www.sc.senai.br

Ficha catalográfica elaborada por Luciana Effting CRB14/937 - Biblioteca do SENAI/SC Florianópolis S586m

Silva , Almir da Matemática aplicada à mecânica / Almir da Silva, Jairo Gayo, Renato

Antonio Schramm. – Florianópolis : SENAI/SC, 2010. 73 p. : il. color ; 28 cm.

Inclui bibliografias.

1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Equações. 3. Geometria 4.

Trigonometria. I. Gayo, Jairo. II. Schramm, Renato Antonio. III. SENAI. Departamento Regional de Santa Catarina. IV. Título.

CDU 51

Prefácio

Você faz parte da maior instituição de educação profissional do estado. Uma rede de Educação e Tecnologia, formada por 35 unidades conecta-das e estrategicamente instaladas em todas as regiões de Santa Catarina.

No SENAI, o conhecimento a mais é realidade. A proximidade com as necessidades da indústria, a infraestrutura de primeira linha e as aulas teóricas, e realmente práticas, são a essência de um modelo de Educação por Competências que possibilita ao aluno adquirir conhecimentos, de-senvolver habilidade e garantir seu espaço no mercado de trabalho.

Com acesso livre a uma eficiente estrutura laboratorial, com o que existe de mais moderno no mundo da tecnologia, você está construindo o seu futuro profissional em uma instituição que, desde 1954, se preocupa em oferecer um modelo de educação atual e de qualidade.

Estruturado com o objetivo de atualizar constantemente os métodos de ensino-aprendizagem da instituição, o Programa Educação em Movi-mento promove a discussão, a revisão e o aprimoramento dos processos de educação do SENAI. Buscando manter o alinhamento com as neces-sidades do mercado, ampliar as possibilidades do processo educacional, oferecer recursos didáticos de excelência e consolidar o modelo de Edu-cação por Competências, em todos os seus cursos.

É nesse contexto que este livro foi produzido e chega às suas mãos. Todos os materiais didáticos do SENAI Santa Catarina são produções colaborativas dos professores mais qualificados e experientes, e contam com ambiente virtual, mini-aulas e apresentações, muitas com anima-ções, tornando a aula mais interativa e atraente.

Mais de 1,6 milhões de alunos já escolheram o SENAI. Você faz parte deste universo. Seja bem-vindo e aproveite por completo a Indústria do Conhecimento.

Sumário

Conteúdo Formativo 9

Apresentação 11

Sobre o autor 11

12 Unidade de estudo 1Conceitos básicos

Seção 1 - Conjuntos numéri-cos e números decimais

Seção 2 - Operações e ex-pressões numéricas

Seção 3 - Frações

24 Unidade de estudo 2

Razão e proporção

Seção 1 - Razão direta e inversa

Seção 2 - Proporções

Seção 3 - Porcentagem


Equações

Seção 1 - Equações polino-miais do 1º grau

Seção 2 - Equações polino-miais do 2º grau

13

15

18


Trigonometria

Seção 1 - Teorema de Pitá-goras

Seção 2 - Semelhança de triângulos

Seção 3 - Razões trigonomé-tricas no triângulo retângulo


Geometria plana e espacial

Seção 1 - Área e perímetro de figuras planas

Seção 2 - Superfície e volu-me de sólidos geométricos

Finalizando 71

Referências 73

25

26

28

33

36

43

44

45

51

60

8 CURSO DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL

Conteúdo Formativo

9MATEMÁTICA APLICADA À MECÂNICA

Carga horária da dedicação

Carga horária: 30h

Competências

Aplicar ferramentas matemáticas para resolução de problemas em sistemas mecânicos.

Conhecimentos

▪ Conjuntos numéricos.

▪ Operações com números decimais.

▪ Frações, potenciação e radiciação.

▪ Proporções e regra de três simples.

▪ Equações do 1º e 2º grau.

▪ Trigonometria.

▪ Geometria plana e espacial.

Habilidades

▪ Utilizar técnicas da matemática aplicada.

▪ Interpretar catálogos, manuais e tabelas técnicas.

▪ Realizar cálculos matemáticos necessários para o dimensionamento de equipa-mentos e acessórios utilizados na Mecânica.

Atitudes

▪ Assiduidade.

▪ Proatividade.

▪ Relacionamento interpessoal.

▪ Trabalho em equipe.

▪ Cumprimento de prazos.

Apresentação

MATEMÁTICA APLICADA À MECÂNICA

Prezado aluno, seja bem-vindo à unidade curricular Matemática Aplica-da à Mecânica.Você sabia que a matemática é talvez a mais antiga das ciências hu-manas? Se considerarmos que outros primatas, menos desenvolvidos, também possuem noção de contagem, podemos dizer que utilizamos a matemática há muito tempo, desde os tempos das cavernas. Com o passar dos anos e a evolução humana, a matemática se fez cada vez mais necessária nas diversas áreas do conhecimento humano. Atualmente, sua aplicação vai desde o comércio até a indústria, passando por áreas como a tecnologia e o lazer.Neste curso técnico você verá que a unidade curricular de matemática se faz necessária, pois sua aplicação na área da Mecânica é muito ampla. É impossível desenvolver peças e equipamentos mecânicos sem realizar cálculos. A intenção deste material didático é desenvolver e relembrar conceitos matemáticos que serão de fundamental importância para seu curso e sua futura carreira profissional na Mecânica.

Preparado para esta jornada? Bons estudos!

Professores Almir da Silva, Jairo Gayo e Renato

Antonio Schramm

Almir da Silva é especialista em Consultoria Empresarial pela Universidade Federal de Santa Catarina. Graduado em Matemática – Licenciatura & Bacharelado – pela Fundação Universidade Regional de Blu-menau. Atua há 28 anos no SE-NAI Blumenau como instrutor e especialista de Ensino na área de Mecânica, foi professor de Matemática da Rede Pública Estadual do Estado de Santa Ca-tarina.

Jairo Gayo é especialista em Matemática Computacional pela Universidade Federal de Santa Catarina e em Metodo-logia do Ensino de Matemática pelo Instituto Brasileiro de Pós-Graduação e Extensão. Possui graduação em Matemática – Li-cenciatura & Bacharelado – pela Fundação Universidade Regio-nal de Blumenau. Atualmente é professor tutor interno na Uniasselvi, instrutor no SENAI Blumenau e professor da Rede Pública Estadual do Estado de Santa Catarina.

Renato Antonio Schramm é pós-graduado em Psicopedago-gia pelo Instituto Catarinense de Pós-Graduação. Graduado em Matemática – Licenciatura – pela Fundação Universidade Regional de Blumenau. Atua há 22 anos no SENAI/SC como ins-trutor e especialista de ensino na área de Mecânica e como professor de Cálculo nos cursos Superior de Tecnologia do SE-NAI Blumenau.

11

Unidade de estudo 1

Seções de estudo

Seção 1 – Conjuntos Numéricos e Núme-ros DecimaisSeção 2 – Operações e Expressões NuméricasSeção 3 – Frações


Seção 1Conjuntos Numéricos e Números Decimais

Os conjuntos numéricos são uma forma de classificar os números segundo algumas características básicas, como propriedades e complexidade. Classificando os números você pode compreender melhor suas aplicações na Mecâ-nica.

Conjunto dos Números Naturais, N

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Os Números Naturais foram os primeiros utilizados pelo homem, empregados na contagem de ali-mentos, utensílios e pessoas. Sua forma primitiva não permite ob-ter respostas negativas neste con-junto de cálculos, tais como 3 - 5 e 3 ÷ 5. Por isso, surgiram outros conjuntos numéricos que você conhecerá a seguir.

Conjunto dos Números Inteiros, Z

Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}

Conceitos Básicos

Estes números surgiram com a necessidade dos comerciantes e dos ban-cos em representar dívidas e saldos negativos. Com este conjunto você pode efetuar o seguinte cálculo, 3 - 5 = - 2.

Conjunto dos Números Racionais, Q

Racional é todo número que pode ser escrito na forma de fração, a/b sendo a e b Números Naturais e b diferente de zero.

Q = { ( a ) / b | a , b ε Ν e b ≠ 0 }

Acompanhe a seguir alguns exemplos:

... _ 3 , _ 1 , 0 , 2 , 10 , 11 ... 1 2 5 1 3 2{Q = }

Os Números Racionais têm seu correspondente decimal. Veja abaixo os números decimais correspondentes aos Racionais mostrados no exem-plo anterior:

Q = {...; - 3 ; - 0,5 ; 0 ; 2 ; 3,333... ; 5,5 ; ...}

O Conjunto dos Números Racionais surgiu com a necessidade do ho-mem de representar divisões não exatas, tais como, 3 ÷ 5 = 3 .

5

Conjunto dos Números Reais, R

O Conjunto dos Números Reais engloba os Números Racionais, que você conheceu anteriormente, e todos os outros números que não po-dem ser escritos na forma de fração, os chamados Irracionais:

14 CURSOS TÉCNICOS SENAI

Irracionais = {...; - sen (34o) ; √2 ; log 70 ; ...} = {...; - 0,559... ; 1,414... ; 1,845... ; ...}

R = ... ; - 3 ; - sen ( 34° ) ; _ 1 ; 0 ; Ѵ2; log 70 ; 2 ; 10 ; 11 ; ...

2 3 2{ }

Uma forma interessante de apresentar os Números Reais é por meio da Reta Real. Acompanhe a figura a seguir. :

Figura 1 - Reta Real

- 3 -2 -1 0 1 2 3

Ѵ2 e πR

Nessa imagem você tem a noção de sequência dos Números Reais, cada ponto da reta representa um número e vice-versa. Para qualquer núme-ro da reta, têm-se os números maiores que ele à direita e os menores à esquerda.Outra maneira de visualizar o Conjunto dos Números Reais é utilizando o Diagrama de Venn, conheça-o a seguir:

R

Ir

Q

Z

N

Figura 2 - Diagrama de Venn

Por meio do Diagrama de Venn você pode observar que os Naturais es-tão contidos nos Inteiros, que por sua vez estão contidos nos Racionais e os Reais englobam todos os Conjuntos.


Números Decimais

Os números decimais não são um conjunto numérico, mas uma forma de escrever os números. Este sistema é a evolução natural do sistema numérico indo-arábico. Trata-se de um sistema posicional, onde o alga-rismo vale não só por si, mas também pela sua posição.

8 8.8 8 8,8 8 8

MilésimoCentésimoDécimoUnidadeDezenaCentenaUnidade de Milhar

Dezena de Milhar

No número acima foi utilizado apenas o algarismo 8, porém em cada posição ele indica uma quantidade diferente. O 1º vale 80.000, o 2º vale 8.000 e assim por diante até o último que vale 0,008. O único que vale 8 é o que está imediatamente à esquerda da vírgula. Sendo assim, cada número é uma soma, confira a seguir:

88.888,888 = 80.000 + 8.000 + 800 + 80 + 8 + 0,8 + 0,08 + 0,008

O Sistema Internacional de Medidas utiliza a vírgula para separar a uni-dade do décimo e o ponto para separar a unidade de milhar da centena. Nos países de língua inglesa, que não utilizam o Sistema Internacional de Medidas, essa notação é exatamente ao contrário, devido a isso as calculadoras vêm com ponto no lugar da vírgula para separar a unidade do décimo.Assim, as operações com os números decimais são facilmente resolvidas com calculadoras, porém é importante tomar cuidado principalmente com a vírgula, pois como colocado, nas calculadoras a vírgula deve ser representada por ponto e os pontos não são representados.Você finalizou os estudos da primeira seção da unidade de conceitos básicos. Pronto para mais uma seção? Então siga em frente!

Seção 2Operações e Ex-pressões Numéricas

As operações com números de-cimais e com Números Naturais são básicas e possíveis de se resol-ver com o auxílio de calculadoras científicas e comuns. Portanto, o próximo passo de estudos são as operações no Conjunto dos Nú-meros Inteiros.

Adição de Números Inteiros

Quando dois números tiverem o mesmo sinal, soma-se os valores absolutos conservando o sinal. Acompanhe os exemplos:

(+50) + (+9) = (+59) (-30) + (-6) = (-36)

Quando os dois tiverem sinais opostos, subtrai-se um do outro mantendo o sinal do maior valor absoluto. Observe os exemplos:

(-86) + (+6) = (-80) (-4) + (+34) = (+34)

Subtração de Números Inteiros

Para efetuar a subtração entre Números Inteiros, basta inverter o sinal do subtraendo e efetuar uma adição. Confira os exemplos a seguir:


(+35) - (+32) = (+35) + (-32) = (+3)(-42) - (-25) = (-42) + (+25) = (-17)

Multiplicação e Divisão de Números Inteiros

A multiplicação e a divisão no Conjunto dos Números Inteiros possuem as mesmas regras de sinais. Observe os exemplos:

(+1) . (+1) = (+1) (+1) ÷ (+1) = (+1)

(-1) . ( -1) = (+1) ( -1) ÷ ( -1) = (+1)

(+1) . (-1) = (-1) (+1) ÷ (-1) = (-1)

(-1) . (+1) = (-1) (-1) ÷ (+1) = (-1)

Sinais iguais, resultado positivo.{ }Sinais opostos, resultado

negativo.{ }

As regras de sinais aplicadas aos Inteiros também valem para todo o Con-junto dos Números Reais.

Potenciação

Potenciação nada mais é do que a simplificação de uma série de multi-plicações de fatores iguais, como você pode observar nos exemplos a seguir:

2 · 2 · 2 · 2 = 24

X · X · X = X3

Na potenciação se utiliza uma notação da seguinte forma:

24

Base

Expoente

Observe a seguir algumas características desta operação:

-32 = -3 · 3 = -9 (-3)2 = (-3) · (-3) = 9-33 = -3 · 3 · 3 = -27 (-3)3 = (-3) · (-3) · (-3) = -27

Nesta operação, dizemos que a base de uma potência é negativa quando ela está entre parênteses, caso contrário, quem está negativa é a potência.

Potências de Base negativa

Para iniciarmos este tema, que tal resolver as seguintes potências?

(-3)1 =

(-3)2 =

(-3)3 =

(-3)4 =

(-3)5 =

Você pôde observar nos resulta-dos que quando o expoente é par o resultado é positivo, e quando o expoente é ímpar o resultado tem o mesmo sinal da base.

Potências de Expoente Negativo

Quando uma potência possui ex-poente negativo, inverte-se a base (troca-se de posição o numera-dor e o denominador), como nos exemplos a seguir:


Índice

Radical

Radicando

3√8

Após conhecer os entes das raí-zes, vamos aos exemplos:

√49 = 73√-27 = -33√100 = 4,64...

Vale destacar que algumas raízes não possuem resultado no Con-junto dos Números Reais, os ca-sos são:

▪ índice par e radicando nega-tivo:

2√-9= 4√-625= 6√-64=

ээ

э

▪ índice zero, 0:

0√5= 0√1= 0√-16=

ээ

э

Expressões Numéricas

Uma expressão numérica é uma sequência de operações com Nú-meros Reais que devem ser re-solvidas obedecendo à seguinte ordem:

3 -2 = 1 2 = 1

3 9

3 - 3 = 2 3 = 8

2 3 27

1 - 1 = 4 1 = 4

4 1

( )( ) ( )( ) ( )

Quando o expoente é zero e a base diferente de zero, o resultado é sempre 1. Veja alguns exemplos:70 = 1 35,980 = 1(1/30) = 1(-88)0 = 1√100 = 100 =

Radiciação

Você pode dizer que a potencia-ção possui duas operações inver-sas, uma é a radiciação e a outra é o logaritmo, veja o esquema apre-sentado a seguir:

3√8 = 2 23 = 8 log2 8 = 3

O logaritmo é a operação que de-termina o expoente de uma po-tência. Entretanto, esta operação não será estudada nesta apostila, o objeto de estudo desta seção será a radiciação que possui grande aplicação na área de Mecânica.Confira a seguir os entes das ra-ízes:

э

▪ raízes ou potências; ▪ divisões ou multiplicações; ▪ subtrações ou adições.

Conheça um exemplo de expres-são numérica:

2 - 3 · 42 =2 - 3 · 16 =2 - 48 =- 46

Quando temos duas operações com o mesmo grau/ordem, re-solve-se primeiro a da esquerda. Confira os exemplos a seguir:

45 + 25 · 3 ÷ 15 =45 + 75 ÷ 15 =45 + 5 =50

1,34 - 89 · 0,125 + 2,89 =1,34 - 11,125 + 2,89 =- 9,785 + 2,89 =- 6,715

Em alguns casos aplicados das ex-pressões numéricas, é necessário resolver primeiro as adições e de-pois as multiplicações. Para “bur-lar” a ordem correta de resolução, utiliza-se, portanto:

▪ parênteses ( ); ▪ colchetes [ ]; ▪ chaves { }.

Observe os exemplos:(45 + 25) · 3 ÷ 15 =70 · 3 ÷ 15 =210 ÷ 15 =14


Fração: A palavra fração vem do latim fracto, que

quer dizer fragmento, parte, pe-daço, de alguma coisa ou de um conjunto. Como a matemática é uma ciência exata, esse pedaço é determinado de forma exata.

b. Um técnico tem uma barra de aço de 3 metros de compri-mento que deve ser divida em 5 partes do mesmo compri-mento. Qual é o comprimento de cada parte?

Resposta: ______________________________________________________________________

Se você fizer uma análise do pri-meiro exemplo onde foram dados os Números Naturais 48 e 4, ve-rifica-se que existe outro Número Natural, o 12 sendo 48 = 12x4. Diz-se que 12 é o quociente de 48 por 4, dessa forma podemos re-presentar assim:

48 = 12 4

Essa representação é chamada de fração.

Na segunda situação em que fo-ram dados os Números Naturais 3 e 5, não existe um Número Natural que multiplicado por 5 reproduza 3. Assim, o resultado dessa divisão não é um Número Natural. A forma de escrever essa divisão também é uma fração, conforme apresentado a seguir:

3 = 0,6 5

112,5 ÷ { 10 · [ 42 - (5 - 12)2] - 2,25 } =112,5 ÷ { 10 · [ 42 - (– 7)2] - 2,25 } =112,5 ÷ { 10 · [ 16 - 49] - 2,25 } =112,5 ÷ { 10 · [ - 33] - 2,25 } =112,5 ÷ { - 330 - 2,25 } =112,5 ÷ { - 332,25 } = - 0,3386

Além disso, quando o resultado de uma operação não é utilizado em outra, duas operações podem ser resolvidas simultaneamente, conforme apresentado no exem-plo a seguir:

√169 · 10 + 28 ÷ 8 =13 · 10 + 256 ÷ 8 =130 + 32 =162

Na próxima seção você estudará os conceitos de frações presentes nesta primeira unidade de estudo. Boa leitura!

Seção 3Frações

Para iniciar o estudo desta seção, que tal resolver as situações pro-postas a seguir?

a. Deve-se distribuir 48 porcas, igualmente, para 4 técnicos re-alizarem o término da monta-gem de uma máquina. Quantas porcas receberão cada técnico?

Resposta: ______________________________________________________________________


Uma fração indica em quantas partes iguais deve ser dividido um todo e quantas dessas partes devem ser tomadas. Para compreender melhor, observe a imagem a seguir:

2 5

A fração indica que o retângulo deve ser repartido em 5 partes iguais e suas devem ser tomadas. O denominador indica em quantas partes deve ser dividido o todo e o numerador indica quantas partes devem ser tomadas.

Você pode também representar a fração por um número decimal. Imagi-ne que um profissional da Mecânica precisou comprar 4 parafusos para o cabeçote do motor de uma motocicleta, pagando por eles R$ 25,00, a pergunta é: quanto custou cada parafuso?Você sabe que a divisão não é um número exato e, portanto, o valor de cada parafuso deverá ser representado por um número decimal, que obteremos dividindo R$ 25,00 por 4. Acompanhe a divisão:

25 ÷ 4 = 6 resto 1 Se você continuar a divisão chegará ao resultado de R$ 6,25 que repre-senta o preço de cada parafuso. Pode-se também representar essa divi-são por uma fração, veja a seguir:

25 = 6,25 4

Dessa forma, você pode representar qualquer fração por meio de um número decimal, mas para isso precisa dividir o numerador pelo deno-minador. Além disso, você pode executar essa operação utilizando uma calculadora, mas lembre-se que na calculadora a vírgula é representada por um ponto. Que tal fazer um teste?

Numerador

2 5 Denominador


25_ 4

= 25 ÷ 4 = 6,25

16_ 4

= 16 ÷ 5 = 3,2

4_ 4

= 4 ÷ 3 = 1,33333333

Veja o que aconteceu na última divisão, a parte decimal é uma represen-tação com infinitas casas decimais, denominamos essa divisão de dízi-mas periódicas. As dízimas são incômodas, pois não permitem executar as operações de somar, subtrair, multiplicar ou dividir, então é preferível trabalhar com frações. Siga em frente e conheça as operações com frações.

Operações com Frações

Você estudará a seguir as operações com frações. Pronto para iniciar?

Note que se você dividir a fração 1/2 obterá o número decimal 0,5. O mesmo acontece para as frações 3/6, 5/10, 7/14 , assim essas frações são ditas equivalentes.

1_ = 3 _ = 5 _ = 7_ 2 6 10 14

= ...

Multiplicando ou dividindo os dois termos de uma fração por um número diferente de zero, a fração obtida é equivalente à primeira.

No exemplo multiplicamos o numerador e o denominador da fração 1/2 por 3, obtendo assim a fração 3/6.Se você dividir o numerador e denominador da fração 5/10 por 5, ob-terá a fração 1/2, esta última operação é muito importante para adição e subtração de frações, próximos assuntos desta seção.

4 = 4 ÷ 3 = 1,33333333

3


Adição e Subtração de Fração

Você verá a seguir frações com denominadores iguais, siga em frente.

Adição

Na adição de fração, somam-se os numeradores e simplifica-se o resul-tado, se possível. Confira a seguir dois exemplos:

3_ + 3 = 4 ÷2_ = 10 10 10 ÷2 5

2

7 3_ + 18 1 = 7 + 18 3 + 1_ = 25 4 4 4 4 4

= 26

Subtração

Já na subtração de fração, subtraem-se os numeradores e simplifica-se, se possível, o resultado.Veja os exemplos a seguir:

7_ - 5 = 2 ÷2_ = 8 8 8 ÷2 4

1

8 5 - 3 3 = 5 7 7 7

2


Conheça agora frações com denominadores diferentes, acompanhe os exemplos:

161

161

162

21

1169

2

2413

242431

87

1211

121241

32

1211

83

84

83

21

Observação: para você executar esta operação, transforme as duas fra-ções em frações equivalentes com denominador 12.

Multiplicação e Divisão de Frações

Multiplicação

Para multiplicar frações você deve multiplicar os numeradores e deno-minadores entre si. Confira a seguir os exemplos:

83

4.23.1

43

.21

3223

832

2798.4

31.98

31.

49

87

3.41

2


Divisão

Já na divisão de frações você deve multiplicar a primeira invertendo a segunda fração, conforme os exemplos a seguir:

53

13539

11524

158

.13

815

13

87

13

163

41

.43

443

2524

58

.53

85

53

Unidade de estudo 2

Seções de estudo

Seção 1 – Razão Direta e InversaSeção 2 – ProporçõesSeção 3 – Porcentagem


Seção 1Razão Direta e Inversa

Para iniciar o estudo desta primei-ra seção, que tal recordar a suces-são dos múltiplos de 6 e 8? Acom-panhe a seguir.

1. 6, 12, 18, ...

2. 8, 16, 24, ...

Se você escrever em forma de fra-ção cada termo da primeira suces-são pelo seu correspondente na segunda, obterá:

6 , 12 , 18 8 16 24

Simplificando cada fração, obtém-se uma fração comum representa-da pela fração 3 . 3

4 4

Dizemos então que essa fração é a razão comum entre as duas su-cessões.

Razão entre dois números da-dos é o quociente do primeiro pelo segundo.

Assim, a razão entre 3 e 4 é

3 = 0,75 4

A razão entre 15 e 5 é

15 = 3 5

A razão entre 8 e 10 é 8 = 0,8

10

Razão e Proporção

Numa razão, o dividendo é denominado antecedente e o divisor, con-sequente.Observação: O consequente deve ser diferente de zero.

3 → Antecedente

4 → Consequente

ou

12 : 2

↑ ↑ antecedente consequente

a. Dessa forma podemos escrever a razão 3 para 4 assim: ou 3:4 em que 3 é o antecedente e 4 o consequente.

b. A razão 4 para 3 pode ser escrita assim: ou 4:3 sendo que 4 é o antecedente e 3 o consequente.

Observe que as duas razões são inversas, dessa forma, o inverso de é 3 é 4 4 3 .

Assim:

134

.53

Duas razões são ditas inversas quando o produto entre elas for igual a 1.

ObservaçõesAcompanhe!Quando você relaciona grandezas, o antecedente e o consequente de-vem ser da mesma espécie, veja o exemplo a seguir:

3

100300

1000300

==mm

dmm

Você deve ter notado que o símbolo do metro (m) desapareceu.

3 4

4 3


Mas nem sempre é assim, podem-se ter razões nas quais o antece-dente e os consequentes são gran-dezas diferentes.

a. Velocidade: distância pelo tem-po

hkm

6600

= 100 km/h

600 km em 6 h

b. Densidade demográfica: popu-lação e área

22

2

km/hab15km200

hab300

km200emhab3000

c. Massa específica: massa e vo-lume

33

3

dm/kg5,8dm7

kg5,59

dm7emkg5,59

d. Consumo médio: distância

pelo consumo

Para ir de Blumenau a Joinvil-le de carro, cuja distância é de aproximadamente 100 km, foi consumido 8 litros de combus-tível. Determine a razão.

100 km com 8 L

8100

Lkm

= 12,5 km/L

Acompanhe na próxima seção o estudo das proporções. Até mais.

Seção 2Proporções

Você sabe o que é proporção? Ficou curioso? Então prossiga em seus estudos.

A equivalência entre duas ou mais razões é chamada de pro-porção. Confira!

18 : 24 = 12 : 16

Extremo

Meio

1612

2418

=

Extremo Meio

Meio Extremo

Lê-se: 18 está para 24 assim como 12 está para 16.

Em uma proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Observe que se você multiplicar 18.16 e 24.12 obterá como resul-tado 288.Esta é a propriedade fundamental das proporções.Conhecendo esta propriedade você pode calcular o termo des-conhecido de uma proporção. Veja a seguir:

X

40

6

24=

↔

24 . X = 40 . 6

↔24

6,40=X X = 10

Grandezas Direta e In-versamente Proporcionais

Ao abastecer um automóvel veri-ficamos que quanto mais gasolina colocamos no tanque, maior será o valor a ser pago. Se aumentar-mos a grandeza combustível, a outra grandeza preço aumenta na mesma proporção, ou seja, as grandezas variam no mesmo sen-tido. Dessa forma, ao analisarmos as grandezas combustível e preço, verificamos que elas são direta-mente proporcionais.

O mesmo não acontece quando temos um determinado serviço para executar. Se aumentarmos o número de operários, o tempo para executar a tarefa será me-nor, dessa forma, analisando as duas grandezas, verificamos que quando uma aumenta (neste caso o número de operários), a outra grandeza diminui (neste caso o tempo), dizemos então que elas são inversamente proporcio-nais.

ou


Agora que você conhece os tipos de grandezas, que tal estudar regra de três?

Regra de Três

Você já ouviu falar de regra de três? Siga em frente e conheça esta regra matemática.Constituem regra de três os pro-blemas que envolvem pares de grandezas diretamente (regra de três direta) ou inversamente (re-gra de três inversa) proporcionais.As regras de três são ditas re-gra de três simples quando en-volvem somente dois pares de grandeza direta ou inversamente proporcionais. Acompanhe os exemplos a seguir:

Aplicação 1

Comprei 6 arcos de serra por R$ 288,00, quanto pagarei por 14 ar-cos iguais aos primeiros?Observe que as grandezas (arco de serra e preço) são diretamente proporcionais, pois quanto maior o número de arcos, maior será o valor a pagar. Assim, temos uma regra de três simples direta.

Devemos colocar as grandezas da mesma espécie na mesma posição, conforme exemplo a seguir:

Arco de serra

R$

6 288,00

14 X

Montamos as proporções.

6726

40326

14.28814.2886

288146

=×↔=×↔=×↔=⋅×↔=X

Resposta: os 14 arcos de serra custarão R$ 672,00.

Aplicação 2

Um técnico em Mecânica comanda um setor com 8 máquinas que levam 72h para executar determinado serviço, se ele utilizar somente 6 máqui-nas, qual será o tempo necessário para executar o mesmo serviço?Observe que as duas grandezas (máquinas e tempo) são inversamente proporcionais, pois diminuindo o número de máquinas, aumentaremos a quantidade de horas. Acompanhe!


máquinas horas 8 72 6 X

Montamos as proporções invertendo uma delas:

966

576672.8

72.86726

8=×↔=×↔=×↔=⋅×↔=

x

Resposta: para executar o serviço o técnico necessitará de 96 horas.

As regras de três são chamadas compostas quando existem mais de dois pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais, como apresentado na Aplicação 3 seguir.

Aplicação 3

Um grupo de 30 operários, trabalhando 8 horas diárias, fundiu 4.000 kg de ferro em 10 dias. Quantos operários serão necessários para fundir 6.000 kg trabalhando 15 dias por 6 horas?Dispomos os dados para determinar se a regra de três é direta ou inver-sa. Veja-os.

Operários horas/dia kg dias 30 8 4 000 10 X 6 6 000 15 Montamos as proporções invertendo aquelas em que a seta aponta em sentido contrário.

40x000036

00040014x00040014000360.x

10.0006.8.3015.0004.6.x1015

.0006

0004.

86

x30

Resposta: serão necessários 40 operários para fundir 6.000 kg de ferro.Continue sua jornada de estudos, na próxima seção você estudará sobre porcentagem. Boa caminhada!

Seção 3Porcentagem

Para iniciar o estudo desta seção, que tal conhecer o conceito de porcentagem?

Porcentagem é a porção de um dado valor que se deter-mina para cada 100 partes. Quando você fala 12% de cer-to valor, quer dizer que a cada 100 partes desse valor toma-se 12 partes.

A expressão doze por cento, que se representa por 12%, denomi-na-se taxa de porcentagem.Assim, na razão 15/10 a taxa de porcentagem é 15. Escreve-se 15% e lê-se quinze por cento.Qualquer razão pode ser escrita sob a forma de porcentagem, bas-ta determinar a razão equivalente cujo denominador seja 100. Ob-serve atentamente as aplicações a seguir.

Aplicação 1

a. Escrever a razão sob a forma de porcentagem.

20x5

1.100x

100x

51

ou seja, X corresponde a 20%.

b. Escrever na forma de por-centagem.

ou seja, X corresponde a 75%.

51

3 4


c. Escrever 40% sob a forma de fração irredutível.

754

30041003

100 43

=×⇒=×⇒∗

=×⇒×

=

40% = simplificando a fração, ou seja, dividindo numerador e denominador pelo número 20 temos .

Para resolver problemas envolvendo porcentagem, utiliza-se a regra de três simples. Acompanhe as aplicações.

Aplicação 2

De um lote de 600 peças foi constatado que 3% estavam com defeito, quantas eram as peças defeituosas?Para resolver o problema se faz necessário verificar que as 600 peças correspondem a 100%. 3% é a parte do todo que queremos calcular, logo, ele corresponde a X.

peças porcentagem

600 100% ⟹ 3

100

600=

x

100600.3

=×↔

3%

Resposta: foi constato que do lote 18 peças eram defeituosas.

Aplicação 3

Ao fazer a verificação de um lote de peças um técnico chegou à conclu-são que 4% das peças apresentavam algum tipo de defeito de fabricação. Sabendo-se que o total com defeito correspondia a 30 peças, qual era a quantidade de peças do lote?O problema consiste em calcular o quanto corresponde a 100% das peças que é o total que se quer conhecer. Montando a representação, o cálculo fica assim:

2 5

40 100

18


4% 30 ⟹ ×

=30

100

4

410030∗

=×⇒ ⟹

100% X

Aplicação 4

Ao montar uma empresa um técnico em Mecânica necessitou comprar uma máquina cujo valor de mercado era de R$ 15.600, ele a adquiriu por R$ 14.352, quantos por cento de desconto obteve?

Valor porcentagem 15 600 100%

14 352 x

1560014352100∗

=×⇒ =×⇒

O que o técnico pagou correspon-de a 92% do preço da máquina, portanto, ele obteve de desconto 100% - 92% = 8% Resposta: o técnico obteve de desconto 8%.

Aplicação 5

Uma empresa resolveu aumentar o salário de seus funcionários em 6,5%. Um técnico dessa empresa recebia um salário de R$ 1.430,00, com o aumento, qual será o valor do seu novo salário?

Salário Porcentagem

1 430 100%

X 106,5%

⟹ 100

1430.5,106=×

=×⇒ 1 522,95

Resposta: o novo salário do téc-nico será de R$ 1.522,95.

750x4100.30

xx

30100

4

92x60015

35214.100x

Resposta: o lote de peças era composto de 750 peças.


Aplicação 6

Uma ferramenta foi comprada com um abatimento de 15% cus-tando R$ 340,00. Qual é o valor real da ferramenta?

Valor Porcentagem

340 85% ⟹

X 100%

85340.100

=× =×⇒ 400

Resposta: o preço real da ferra-menta é de R$ 400,00.

Unidade de estudo 3

Seções de estudo

Seção 1 – Equações Polinomiais do 1º grauSeção 2 – Equações Polinomiais do 2º grau


Seção 1Equações Polinomiais do 1º grau

Mas o que é equação? Você conhece o conceito?Confira os exemplos de equações a seguir:

2x + 8 = 05x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0

Continue seus estudos conhecendo as equações do primeiro grau. Siga em frente!

Equações do Primeiro Grau

A equação geral do primeiro grau é expressa pela forma:

ax + b = 0

Sendo que a e b são números conhecidos e a ≠ 0. Esta equação se resol-ve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

Dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

ax = -b simplificando a com a 1x = -b a a 1 a

x = -b

a

Considere a equação: 2x - 8 = 3x -10.

A letra x representa a incógnita da equação, representa o termo desco-nhecido que você deve calcular. Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede ao sinal da igualdade é denominado 1º membro, e o que o sucede, 2º membro.

4x - 16 = 6x - 20

1º membro 2º membro

Equações

Equação: Equação é uma sentença matemática aber-

ta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em la-tim quer dizer “igual”.


Qualquer parcela do 1º ou do 2º membro é um termo da equação.

4x - 8 = 6x - 10

Termos da equação

Termos da equação

Equação do 1º grau é toda equação escrita na forma ax = b, sendo a e b Números Ra-cionais, com a ≠ 0 .

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.Observe que o número 3 do con-junto A é denominado Conjunto Universo da equação e o conjun-to {3} é o Conjunto Verdade dessa mesma equação.Acompanhe o exemplo a seguir:

▪ Determine os Números Intei-ros que satisfazem a equação x² = 25.

É importante lembrar que o Con-junto dos Números Inteiros é o Conjunto Universo da equação.Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o Conjunto Verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.Você pode concluir que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que a incógni-ta pode assumir. Este conjunto é indicado pela letra U maiúscula.

Veja que a incógnita representada pela letra x também é chamada de variável.

Conjunto verdade são todos os valores do conjunto U (universo) que a incógnita pode assumir e que tornam a equação verdadeira. É indicado pela letra V maiúscula.

Acompanhe a seguir alguns pontos importantes em relação ao Conjunto Verdade.

▪ O Conjunto Verdade (V) está contido no Conjunto Universo (U), portanto, é um subconjunto de U.

UV

▪ Não sendo citado o Conjunto Universo (U), você deve considerar como Conjunto Universo o Conjunto dos Números Racionais (Q).

UQ

▪ O Conjunto Verdade é também conhecido por Conjunto Solução e pode ser indicado por S.

Raízes de uma Equação

O que são raízes de uma equação? Ficou curioso? Então prossiga em seus estudos!Os elementos do Conjunto Verdade de uma equação são chamados Ra-ízes da Equação.Para verificar se um número é raiz de uma equação, você deve obedecer à seguinte sequência:

▪ substituir a incógnita por esse número; ▪ determinar o valor de cada membro da equação; ▪ verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número

considerado é raiz da equação.

Veja alguns exemplos.


Aplicação 1

Verifique quais dos elementos do Conjunto Universo são raízes das equações a seguir, determinando em cada caso o Conjunto Verdade. Resolva a equação: x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}. Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. Você pode verificar que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}. Resolva a equação: 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}. Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1.Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.

Resoluções de uma Equação

Resolver uma equação consiste em realizar uma série de operações que conduz a equações equivalentes cada vez mais simples e que permitem, finalmente, determinar os elementos do Conjunto Verdade ou as Raí-zes da Equação. Ficou claro?

Resolver uma equação consiste em determinar os valores da incógnita que formam o Conjunto Verdade, pertencente ao Conjunto Universo considerado na solução.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, você deve aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplica-tivo). Acompanhe as aplicações a seguir.


Aplicação 1

Sendo U = Q resolver a equação

-3x = 5 4 6

Inicialmente você deve extrair o mmc de 4 e 6, cujo valor é 12:

-3x = 5 -9x = 10 12 -9x = 10

4 6 12 12 12

simplificando 12 com 12 temos

-9x = 10 ↔Multiplicamos a equação por (-1) 9x = -10 ↔ x = 10/-9

V = -10

y { }

Aplicação 2

Sendo U = Q resolva a equação 2 .(x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).

O primeiro passo é aplicar a propiedade distributiva da multiplicação: 2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 ⟹ 2x - 4 - 3 + 3x - 2x = - 8 ⟹ 3x - 7 = - 8

3x = - 8 + 7 ⟹ x = 1

3

Como 1 f Q então V = 1 1 f Q então V = 1 3 3 3

{ } { }

Seção 2Equações Polinomiais do 2º grau

Denomina-se equação do 2º grau na variável x toda equação da forma:

Є R e a ≠ 0

cbaondecxbxa ,,02

Observação: na equação do 1º grau o expoente da variável x é igual a 1, na do 2º grau o expoente da variável x do primeiro termo é 2 e do segundo termo é 1.

Confira os exemplos:

x2 - 5x + 6 = 0

é uma equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.

6x2 - x - 1 = 0

é uma equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1.

7x2 - x = 0

é uma equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.

x2 - 36 = 0

é uma equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

As equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na variável x), a, b e c são chamados de coeficientes.

▪ a é sempre o coeficiente de x²; ▪ b é sempre o coeficiente de x, ▪ c é o coeficiente ou termo

independente.

Equações Completas e Incompletas

Uma equação do 2º grau é dita completa quando b e c são diferen-tes de zero.


Acompanhe os exemplos:

x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas. Uma equação do 2º grau é dita incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Veja os exemplos:

▪ x² - 36 = 0 (b = 0)

▪ x² - 10x = 0 (c = 0)

▪ 4x² = 0 (b = c = 0)

Raízes de uma Equação do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes. Mas o que é uma raiz? Você saberia responder?

Raiz é um Número Real que ao substituir a variável de uma equação a soluciona, ou seja, torna a sentença matemática ver-dadeira.

Observe que o conjunto formado pelas raízes de uma equação é deno-minado Conjunto Verdade ou Conjunto Solução.

Resolução de Equações Incompletas

Resolver uma equação significa determinar o seu Conjunto Verdade. Na resolução de uma equação incompleta são utilizadas as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos Números Reais:1ª propriedade: se

2ª propriedade: se

Aplicação 1 – Equação do tipo ax2+bx=0

Determine as Raízes da Equação

sendo U = R. Solução Coloca-se inicialmente o x em evidência:

Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:

Dessa maneira, você obtém duas raízes que formam o Conjunto Verdade:V = {0, 8}

De modo geral, a equação do tipo

tem para x=0 soluções e

Aplicação 2 – Equação do tipo x2 + c = 0

Determine as Raízes da Equação

sendo U = IR.


Solução

A equação tem duas raízes simé-tricas, sendo assim, o Conjunto Solução é:

V = {-6; +6} De modo geral, a equação do tipo x2 + c = 0 possui duas raízes re-

ais se

for um número positi-

vo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.

Resolução de Equações Completas

Para solucionar equações com-pletas do 2º grau você utilizará a fórmula de Bhaskara. A partir da equação x2 + bx + c = 0 , em que a, b, c є IR, a

≠0 você desenvolverá passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicar ambos os membros por 4a.

)4.(0)).(4( 2 acxbaxa

0444 22 acabxxa

2º passo: passar 4ac para o 2º membro.

acabxxa 444 22

3º passo: adicionar b2 aos dois membros.

Trinômio quadrado perfeito

acbbabxxa 444 2222

4º passo: fatorar o 1º elemento.

acbbax 4)2( 22

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

acbbax

acbbax

42

4)2(

2

22

6º passo: passar b para o 2º mem-bro.

acbbax 42 2

7º passo: dividir os dois mem-bros por

aacbb

aax

aa

24

22

)0(2

2

Simplificar o 1º membro 2a.

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

aacbb

x2

42

Após desenvolver passo a passo a fórmula de Bhaskara, que tal ago-ra praticar? Vamos à aplicação!Resolução da equação:

02137 2x

Sendo: a = 7, b = 13, c = -2.

141513

1422513

145616913

7.2

)20.(7.41313 2

x

x

x

x

2''2428

''14

1513''

71

'142

'14

1513'

x

xx

xxx

Resposta: V =

}2;71

{

Discriminante

Denomina-se discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega Δ (delta).

acb 42


Agora você pode escrever a fór-mula de Bhaskara da seguinte for-ma:

ab

x2

De acordo com o discriminante, temos três condições a considerar.

1a Condição: o discriminan-te é maior do que zero (Δ > 0). O valor de √Δ é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

ab

x2

' a

bx

2''

2a Condição: o discri-minante é nulo Δ = 0. O valor de √Δ é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, as-sim representadas:

ab

xx2

'''

3a Condição: o discriminante é menor do que zero (Δ < 0) . O valor da √Δ não existe no conjunto dos IR, não existindo, portanto, raízes reais. As Raízes da Equação são Números Com-plexos. Dada a equação ax² + bx + c = 0, você terá os seguintes resultados:

▪ para (Δ > 0), a equação tem duas raízes reais diferentes; ▪ para (Δ = 0), a equação tem

duas raízes reais iguais; ▪ para (Δ < 0), a equação não

tem raízes reais. Agora que você conhece o de-senvolvimento da fórmula de Bhaskara, chegou a hora de re-solver problemas do 2º grau. Boa resolução!

Problemas do 2º grau

Para resolução de problemas do 2º grau, você deve seguir as etapas a seguir:

▪ estabeleça a equação ou sis-tema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática; ▪ resolva a equação ou o sistema

de equações; ▪ interprete as raízes encontra-

das, verificando se são compatí-veis com os dados do problema. Observe agora a resolução de al-guns problemas do 2º grau.

Aplicação 1

Determine dois Números Intei-ros consecutivos tais que a soma

de seus inversos seja 4213 .

SoluçãoRepresenta-se um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados

por 111

xe

x .

Você tem então a equação:

4213

111

xe

x

Resolvendo-a:

4213

111

xe

x

mmc = 42.x.(x+1)

42(x+1) + 42x = 13x.(x+1)42x + 42x = 13x2 + 13x13x2 - 71x - 42 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação você terá

x’ = 6 e x’’=

- 7 13

.

Observe que a raiz - 7 13 não é uti-

lizada, pois não se trata de Núme-ro Inteiro.

Resposta: os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecu-tivo 7.

Aplicação 2

Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse núme-ro, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

SoluçãoRepresenta-se um número por 10x + y, e o número com a or-dem dos algarismos trocada por 10y + x.Observe:

Número: x y

→ 10x + y y x

→ 10y + x

Número com a ordem dos alga-rismos trocada: 10y + x.


Você tem, portanto, o sistema de equações:

10y + x = 10x + y + 27 1 x.y = 18 2{

10y - y + x - 10x = 27 → 9y - 9x = 27 troca-se os elementos do 1º membro -9x + 9y = 27. Resolvendo o sistema, tem-se:

-9x + 9y = 27 x.y = 18 {

Dividindo ambos os membros da primeira equação por 9 você terá:

-x + y = 3 x.y = 18{

O próximo passo é isolar y na pri-meira equação:

-x + y = 3 → y = x + 3

Substituindo y isolado da primeira equação na segunda você tem:

xy = 18 x(x + 3) = 18 x2 + 3x = 18x2 + 3x - 18 = 0

Resolvendo a equação aplica-se a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de x’ e x’’, dessa forma você terá para x’ = 3 e x’’ = -6.

Substituindo os valores de x na equação você determina y para cada um dos valores de x, assim obterá:

y’ = 3 + 3 = 6y’’ = -6 + 3 = -3

Logo, o Conjunto Verdade do sis-tema é dado por: V = {(3,6), (-6, -3)}.

Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas que não satisfazem a solução do proble-ma, você terá o número 36 (x = 3 e y = 6).

Resposta: o número procurado é 36.

Aplicação 3

Duas torneiras enchem um tan-que em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas a mais do que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.

SoluçãoConsideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x + 5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.Em uma hora, cada torneira en-che a seguinte fração do tanque:

1a torneira e 2a torneira Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão

do tanque; ob-serve a equação correspondente:

61

511

xx

retirando o mmc das frações você terá 6x.(x+5).

)5.(6)5.(

)5.(6)5(6

)5.(6)5.(

)5.(66

)5.(6)5(6

xxxx

xxx

xxxx

xxx

xxx

=

→ simplificando os denominado-res, tem-se:

6(x + 5) + 6x = x (x + 5)6x + 30 + 6x = x2 + 5xx2 - 7x - 30 = 0

Para resolver a equação você deve aplicar a fórmula de Bhaskara, obtendo os seguintes resultados: x’ = -3 e x’’ = 10.

Como a raiz negativa não é utili-zada, pois não soluciona o proble-ma, tem-se como solução: x = 10.

Resposta: a 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª tornei-ra, em 15 horas.

Aplicação 4

Num jantar de confraternização seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presen-tes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos convidados estiveram presentes nesse jantar?

SoluçãoPodemos representar por:

x24000

o valor que cada um dos presentes receberia se não houvesse faltas.

524000x

o valor recebido por cada um dos presentes.

x1

51

x

61


Você tem, então, a equação

40024000

524000

xx

Resolvendo-a:

40024000

524000

xx

dividindo ambos os membros por 400

160

560

xx

retirando o mmc das frações, você terá: x(x-5),

)5()5()5(60

)5(60

)5()5(

)5()5(60

)5(60

xxxxx

xxx

xxxx

xxx

xx

simplificando os denominadores das frações, tem-se:

03005

30056060

53006060

2

2

2

xx

xxxx

xxxx

Para resolver a equação você deve aplicar a fórmula de Bhaskara, chegando ao resultado: x’ = 20 e x’’ = -15. Caso o resultado seja negativo, você deverá descartá-lo. Resposta: nesse jantar estavam presentes 20 pessoas.

Na próxima seção você estudará sobre a trigonometria. Até lá!

Unidade de estudo 4

Seções de estudo

Seção 1 – Teorema de PitágorasSeção 2 – Semelhança de TriângulosSeção 3 – Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo


Seção 1Teorema de Pitágoras

A palavra trigonometria quer di-zer medida do triângulo, ela surgiu devido à necessidade de cálculos para resolver problemas gerados na Astronomia, Agrimensura e Navegações. A relação de Pitágoras trata dos cálculos que envolvem as relações existentes entre os lados do triân-gulo retângulo. Dado o triângulo retângulo, ob-serve atentamente os elementos que o compõem.

B

C A

A, B, C – vértices do triângulo.A – vértice que apresenta o ângu-lo reto.B e C – vértices que apresentam ângulos menores do que 900.A+B+C – estes três vértices for-mam ângulos que somam 1800.AB e CD – estes segmentos rece-bem o nome de catetos.BC – este segmento recebe o nome de hipotenusa, é o maior lado do triângulo.

Trigonometria

A relação de Pitágoras diz:

Se o triângulo é retângulo, então o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma das medidas dos quadrados dos catetos.

Dado um triângulo retângulo cujos lados medem 3, 4 e 5 você obterá:52 = 32+42. Realmente a igualdade se concretiza, resolvendo, tem-se:25 = 9+1625 = 25

3

4

5

Considerando que:a = 5, b = 4 e c = 3 tem-se: a2 = b2 + c2

a2 = 42 + 32

a2 = 16 + 9a2 = 25

Dessa forma você pode escrever a relação de Pitágoras, ou Teorema de Pitágoras, como:

a2 = b2 + c2

Na Mecânica o uso da relação de Pitágoras pode ser aplicado em vários exemplos. Neste momento você aplicará determinando o diâ-metro de uma esfera que deve ser modelada na ponta de um eixo, as dimensões estão em milímetro.

ø 72

Ao localizar o triângulo retângulo você definirá o que deve ser cal-culado, neste caso será necessário calcular o raio da esfera.

36

X

48

Assim você terá o seguinte resul-tado:a2 = b2 + c2

Substituindo no teorema: X2 = 482 + 362

X2 = 2 304 + 1 296X2 = 13 600X=√13 600

X = 116,62


Para conseguir a medida y você deve multiplicar por dois o resul-tado encontrado, pois é preciso o diâmetro. Assim, a medida é: y = 233,24 mm.Usando a relação de Pitágoras, dados dois lados de um triângu-lo retângulo você pode calcular a terceira medida.

a. Se você tiver a medida dos dois catetos pode determinar a me-dida da hipotenusa.

a2 = b2 + c2

b. Se tiver a medida da hipotenu-sa e mais a medida de um dos catetos pode determinar o ou-tro usando as relações:

b2 = a2 - c2

c2 = a2 - b2

Vamos para a próxima seção? Bons estudos!

Seção 2 Semelhança de Triângulos

Você sabe o que são figuras pla-nas? Já parou para pensar?As figuras planas semelhantes são figuras que têm a mesma for-ma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.Já dois triângulos são ditos seme-lhantes quando somente os valo-res dos seus ângulos correspon-dentes forem iguais e a medida dos seus lados correspondentes for proporcional.

Figura 3 - Triângulos SemelhantesFonte: Senai (1975, P. 99).

Não há necessidade de verificar todas as condições de semelhança para chegar à conclusão que dois triângulos são semelhantes, podemos fazer essa observação analisando as situações. Acompanhe as situações a seguir.

a. Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes (iguais), eles são semelhantes.

Figura 4 - Triângulos Semelhantes com Ângulos CongruentesFonte: Senai (1975, P. 101).


b. Se dois triângulos possuem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles, congruentes, então são seme-lhantes.

Figura 5 - Triângulos semelhantes com lados correspondentes pro-porcionais e ângulos congruentes.Fonte: Senai (1975, P. 102).

c. Se dois triângulos possuem os lados correspondentes pro-porcionais, então eles são se-melhantes.

Figura 6 - Triângulos semelhantes com lados correspondentes pro-porcionaisFonte: Senai (1975, P. 102).

Após conhecer as situações de semelhança de triângulos, que tal colocar em prática por meio de aplicações? Vamos lá, siga em frente!

Aplicação 1

Determine a razão de semelhança existente entre os lados do triân-gulo.

3570

2040

353040

2040

BCAB

DEAD

5670

3240

24323040

3240

ACBC

AEAD

Aplicação 2

Usando o conhecimento de seme-lhança entre dois triângulos deter-mine o lado do triângulo df.

2020

16.25

16.2520.2025

16

xx

xx

Seção 3Razões Trigonomé-tricas no Triângulo Retângulo

A relação que existe entre os la-dos e os ângulos de um triângulo retângulo é chamada de razões trigonométricas do triângulo re-tângulo. Algumas observações são importantes para você com-preender melhor esse conceito, acompanhe-as:

▪ lembre-se que o triângulo re-tângulo recebe esse nome porque tem um ângulo reto; ▪ os lados que formam o ângulo

de 90° recebem o nome de ca-teto; ▪ o lado maior recebe o nome

de hipotenusa; ▪ a soma dos ângulos internos

de um triângulo qualquer, isto inclui o triângulo retângulo, é igual a 180°.

Vamos estudar então as razões entre os lados e os ângulos do tri-ângulo?


Figura 7 - Triângulos Semelhantes

Triângulos Retângulos Semelhantes

Se você tiver um ângulo qualquer poderá construir uma infinidade de triângulos retângulos. Para que isso aconteça, você deverá, por um dos lados do ângulo, traçar uma perpendicular, compondo um triângulo. Pa-ralela à primeira perpendicular, pode-se traçar outras tantas quanto qui-ser, formando assim uma infinidade de triângulos semelhantes.Observe a figura a seguir:

Figura 8 - Triângulos retângulos semelhantes.

Você pôde verificar que existe um ângulo reto e dois ângulos agudos e também que os lados do triângulo que foi formado são proporcionais.Se tiver o ângulo x e mais o ângulo reto (90°), é possível determinar o outro ângulo (y), pois você aprendeu que a somatória dos ângulos de um triângulo qualquer é 180°.Y°= 180°- (90° + X°)Você pode também estabelecer uma relação entre os lados do triângulo já que eles são semelhantes, observe a imagem:

APPQ

ABBC

ouAQPQ

ACBC

ouAQAP

ACAB

Vamos estudar essas relações? Observe e analise as figuras a se-guir:


Se você conhece os ângulos e os lados do triângulo, poderá estabelecer as seguintes relações:

sen X ⁰ = medida do cateto oposto ou sen x = cat oposto

medida da hipotenuza hipotenuza

cosseno X⁰ = medida do lado adjacente ou cos x = cat adjacente medida da hipotenuza hipotenuza

tangente X⁰ = medida do lado oposto ou cos x = cat oposto medida do lado adjacente cat adjacente

Visualize os triângulos, eles são semelhantes, possuem o mesmo ângulo x. Fazendo as relações que você acabou de conhecer, é possível identifi-car que elas são sempre as mesmas.

75,0...86

65,4

43

25,1

8,0...108

5,76

54

5,22

cos

6,0...106

5,75,4

53

5,25,1

tgx

x

senx

Essas relações são denominadas de razões trigonométricas e per-mitem na Mecânica realizar uma série de cálculos, para tanto você deve visualizar o triângulo retân-gulo nos problemas nos quais está envolvido.Preparado para aplicar essas rela-ções em situações do dia a dia da Mecânica? Então siga em frente!

Aplicação 1

Você recebeu a tarefa de usinar uma peça conforme o desenho a seguir. Qual é o comprimento da parte cônica para que deva ser usinada?

Para resolver o problema você deve encontrar a medida do com-primento do cone. Observe que é possível retirar um triângulo re-tângulo do desenho.


Faz-se necessário encontrar a me-dida X do desenho apresentado. Para encontrar a medida solicitada você deve retirar alguns dados do problema, tem-se assim:Medida PA =

Medida PA = 20 mm, pois na Me-cânica a unidade mais utilizada é o milímetro.

Para determinar a medida X, uti-liza-se uma das razões estudadas, assim é possível verificar os se-guintes elementos:

21050

▪ medida do cateto oposto = 20 mm; ▪ medida do cateto adjacente = x; ▪ ângulo conforme desenho = 25°.

A razão que relaciona o ângulo, o cateto oposto e o cateto adjacente é a tangente, pode-se então usá-la para determinar a medida X.

xTg

xtg

tecatAdjacencatoposto

tg ooo 2025

202525

O valor da tangente de 25° você encontrará na tabela de tangente ou utilizando uma calculadora científica.tg 25° = 0,46631 , substituindo na fórmula temos:

0,466 = 20 x ⟹ 0,466 =

20 x ⟹ X =

20 0,466 ⟹ X = 43 mm

Portanto, você deve marcar sobre o eixo um comprimento de 43 mm para usinar o eixo.Resposta: o comprimento é de 43 mm.


Aplicação 2

Uma escada está apoiada em um muro com dois metros de altura, formando com ele um ângulo de 45°, qual é o comprimento da es-cada?

Lembre que você tem um triângu-lo retângulo entre o muro, o chão e a escada:

Que tal retirar os dados necessá-rios para utilizar a razão correta?Dados:

▪ ângulo = 45°; ▪ medida da hipotenusa (com-

primento da escada) = X; ▪ medida do cateto adjacente

= 2 m.A razão que utilizaremos para de-terminar o tamanho da escada é o cosseno.

'2

45cos

25cos

x

hipotenuzatecatadjacen

o

o

você deve então encontrar o cos-seno de 45° utilizando uma tabela ou calculadora.cos 45° = 0,707Assim, substituindo na fórmula:

mx

xx83,2

707,022

707,0

Aplicação 3

Observe o triângulo retângulo, ele representa a confluência de duas vias. Sua tarefa é unir o ponto A e C, determinando a menor distân-cia entre esses dois pontos, bem como o ângulo que forma com o segmento AB e BC.

O primeiro passo é determinar a distância utilizando a relação de Pitágoras:

a2=b2+c2 → a2=252+422 →a2= 625+1764 →a= √2389 a ≈ 48,9 km

Posteriormente, você deve deter-minar o ângulo. Para isso utilize a razão tangente:

'1359

68,12542

'4530

592,04225

o

o

tgA

tgAtgA

tgC

tgCCtg

Preparado para mais uma unidade de estudos? A próxima unidade tratará de um assunto bastante instigante, a geometria plana e es-pacial. Continue sua caminhada pelo mundo da matemática. Bons es-tudos!

catAdjacente

Unidade de estudo 5

Seções de estudo

Seção 1 – Área e Perímetro de Figuras PlanasSeção 2 – Superfície e Volume de Sólidos Geométricos


Seção 1Área e Perímetro de Figuras Planas

A geometria plana é a parte da matemática que estuda as rela-ções entre as figuras planas e as figuras que têm duas dimensões: comprimento e largura ou com-primento e altura. Já a geometria espacial se preocupa com o estu-do dos objetos no espaço, ou seja, estuda o objeto envolvendo três dimensões: comprimento, largura e altura.

Polígonos

Seja (A, B, C, D, ...) n pontos de um plano, com n ≥ 3, onde três pontos consecutivos estão em pontos distintos do plano, a união desses pontos com segmentos de reta determina um polígono.Observe a figura:

A

C D

B

Em que: A, B, C e D são os vér-tices do polígono, e AB, BD, DC e CA são os segmentos que for-mam os lados do polígono.

Geometria Plana e Espacial

Superfície Poligonal

A superfície poligonal corresponde à reunião de um polígono com o seu interior. As superfícies poligonais podem ser cônicas ou convexas.

Superfície poligonal convexa Superfície poligonal côncava Figura 10 - Superfície Poligonal Convexa

Superfície poligonal convexa Superfície poligonal côncava

Figura 11 - Superfície Poligonal Côncava

Os polígonos são classificados de acordo com o seu número (n) de la-dos, dessa forma eles recebem os nomes. Conheça a seguir as nomencla-turas dos polígonos.

Número de Lados Nome do Polígono

3 Triângulo

4 Quadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono

10 Decágono

11 Undecágono

12 Dodecágono

15 Pentadecágono

20 Icoságono

Quadro 1 - Nomenclatura dos polígonos


Diagonais de um Polígono

O segmento de reta que une dois vértices opostos de um polígono é denominado de diagonal. No polígono da figura a seguir você visualizará 6 vértices e 7 diago-nais.

A B

F C

E D

Vértices: A, B, C, D, E, F.Diagonais: AD, AE, AC, BF, BE, BD, CF, CE.

Perímetro de Figuras Planas

Muitas vezes na Mecânica o técni-co é obrigado a determinar a me-dida do contorno de peças, como por exemplo, definir o compri-mento de uma barra retangular de alumínio para confeccionar o aro de uma bicicleta. Para determinar essa medida você deve conhecer como calcular o perímetro do aro.

Perímetro é a soma das medi-das do contorno dos lados de um polígono.

Polígonos Regulares

Acompanhe a seguir os tipos de polígonos regulares.

Quadrado Hexágono

P=4.ℓ P=6.ℓ

Triângulo eqüilátero Pentágono

P= P= ℓ+ ℓ+ ℓ P=5.ℓ

P=3·ℓ

ℓ=comprimento do lado

ℓ

ℓ

ℓ

600

ℓ

ℓ

ℓ ℓ

ℓ

ℓ

Para determinar o perímetro de um polígono regular de n lados você deve multiplicar o comprimento do lado pelo número de lados, P = n.ℓ

Perímetro do Retângulo

Para calcular o perímetro do retângulo você precisa utilizar a seguinte fórmula:

P = a+b+a+b

P=2a+2b

P=2(a+b)

a

b

Perímetro da Circunfe-rência

Assim como você determina o perímetro de um polígono, tam-bém é possível determinar o pe-rímetro ou comprimento de uma circunferência. Esse conhecimen-to é muito utilizado na Mecânica para definir n medidas, como o comprimento do material utiliza-do para confeccionar os aros de bicicletas, por exemplo.

40

Para determinar o comprimento de uma circunferência enrole um fio em torno da circunferência e em seguida meça o comprimento do fio, assim você obterá o perí-metro da circunferência.


Se dividir este comprimento pelo diâmetro você terá o número 3,14 que é denominado pela letra grega pi (π).

Assim, sempre que você dividir o comprimento de qualquer circun-ferência pelo seu diâmetro obterá como resultado o valor de pi.

dC

Dessa forma você poderá obter o comprimento da circunferência, para isso multiplica-se o diâmetro por pi.

.dC

Como o diâmetro é duas vezes o raio, você pode determinar o comprimento da seguinte forma:

.2

2

rC

rd

Que tal pôr em prática?

Aplicação 1

Qual é o comprimento de uma circunferência cujo diâmetro mede 6 cm?

cmC

C

84,18

14,3.6

Aplicação 2

Determine o comprimento de uma circunferência de 5 mm de raio.

mmCC 4,3114,3.5.2

Aplicação 3

Determine o comprimento de um tubo que tem um diâmetro de 12 mm para confeccionar uma roda de impulsão para cadeira de rodas. Essa roda de impulsão deve ser de 56 cm de diâmetro externo. Confira algumas observações para resolver esta aplicação!

Observações

▪ Para resolver este problema você deve primeiramente transformar as dimensões para uma mesma unidade, neste caso, transformar a dimen-são 56 cm em mm. ▪ Você também deve observar que o tubo tem um diâmetro de 12

mm, tomando como referência a linha média.

d = 560 mm C=d.π neste caso usamos para o diâmetro o dm

d m=560-12 C= dm. π

dm = 548 mm C=548 . 3,14

dm=diâmetro médio C=1720,2 mm ou C=172,02 cm

d = 56

Medida de Superfície – Área

Para medir uma superfície você deve compará-la com outra tomada como unidade, na figura anterior foi utilizado um quadrado de 1 m de lado.

Unidade de área

DICA O Sistema Internacional de Medidas escolheu para medida de área o metro quadrado (m2), que é uma superfície unitária quadrangular de 1 metro de lado. A medida de uma superfície é chamada área da superfície.


m2

1m2

A

D

B

C

Aplicação 1

O retângulo ABCD tem 10 quadrados, se cada quadrado tem 1 m de lado, então a medida da superfície ocupada por essa figura tem 10 m2.Na Mecânica utiliza-se esse conhecimento para determinar a medida da superfície de chapas. Por exemplo, a quantidade de chapas necessárias para confeccionar um baú da carroceria de um caminhão.

Múltiplos e Submúltiplos do Metro Quadrado

A unidade fundamental é o metro quadrado, mas é comum na Mecâ-nica trabalhar com unidades menores, por exemplo, o mm2, que é um submúltiplo do metro. Já na construção civil utiliza-se os múltiplos do metro, por exemplo, o km2. Acompanhe o quadro a seguir.

Símbolos Valores em m2 Nomes

km2 1.000.000 m2 Quilômetro quadrado

Múl

tiplo

s

hm2 10.000 m2 Hectômetro quadrado

dam2 100 m2 Decâmetro quadrado

m2 1 m2 Metro quadrado U

dm2 0,01 m2 Decímetro quadrado

Subm

últip

los

cm2 0,0001 m2 Centímetro quadrado

mm2 0,000 001 m2 milímetro quadrado

Quadro 2 - Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado

Representação e Leitura

As unidades de medidas de área variam de 100 em 100, em vez de escre-ver 54,3 dm2 é conveniente escrever 54,30 dm2.

DICA Lê-se cinquenta e quatro de-címetros quadrados e 30 cen-tímetros quadrados.

Mudança de Unidade

0,345 m2 = 34,50 dm2 = 3 450 cm2 = 34 500 mm2

0,000 000 345 km2 = 0,000 034 5 hm2 = 0,003 45 dam2 = 0,345 m2

Quando ocorre a mudança de unidade, a vírgula se desloca duas casas para a direita ou esquerda.

Área dos Polígonos

Área do Retângulo

Observe a figura a seguir, nela você tem um retângulo de 4 cm de altura e 9 cm de base, cuja área é de 2 cm x 5 cm = 10 cm2.

10

2 1cm2

hbA .

Representando por A a área do retângulo, por b a base e por h a altura, tem-se:


Área do Quadrado

O quadrado é um retângulo cuja base é igual à altura, assim a área pode ser encontrada da mesma forma que o retângulo.

Como b = ℓ

h = ℓ

A = ℓ . ℓ

A = b.h

3cm

A =

1cm2

A área do quadrado A = 3.3, A = 9 cm2.

Área do Paralelogramo

Você já ouviu falar de paralelogramo? Visualize atentamente as figuras a seguir.

s

U≅P

T

S

R

P

U

U

T

T’

S≅R

Se você cortar o triângulo direito do paralelogramo e colocar sobre o lado oposto, ficará com um retângulo. Para calcular a área do paralelo-gramo será utilizada a fórmula do retângulo.

hbA .

Área do Triângulo

Observe na figura que a área do triângulo é metade da área do retângulo, assim a área do retângulo é A = b.h. Para calcular a área do triângulo basta dividir por dois a área do retângulo. Veja a seguir.

Triângulo equilátero

2.hb

A

43.2

A

h=4,7

b=5,8

Triângulo equilátero


Substituindo na fórmula as medidas da página anterior, que estão em cm, tem-se:

213,11 cmA

27,4.8,5

A

Área do Losango

Para calcular a área de um losango, deve-se partir da área de um retângu-lo, pois conforme veremos na figura a seguir, o losango é formado por oito triângulos iguais. Como a área do retângulo é A = b.h, conforme a figura acima, tem-se b = D e h = d. A área do losango é:

d= 4cm

D= 12cm

2.dD

A

Substituindo as medidas do desenho você terá:

2242

4,12cmAA

Área do Trapézio

Dado um trapézio qualquer para determinar a área, estabeleça o seguin-te: ajustar outro trapézio igual ao primeiro em sentido inverso, nota-se dessa forma que temos um paralelogramo.

A = b . h

A =(B+b).h

B b

B b

B+b

h

A = (B+b).h2


Área do Polígono Regular

Seja um polígono regular com números de lado maior do que quatro, utilize o hexágono conforme figura a seguir. O hexágono pode ser divi-dido em 6 triângulos equiláteros iguais (congruentes).

P = 6ℓ

h = ap

O apótema de um polígono regular é a distância do cen-tro do polígono a qualquer um dos lados.

A B

C

D E

F

ap

ℓ

Observe que o paralelogramo contém 12 triângulos semelhantes dos quais 6 constituem a área do hexágono.Como a área do paralelogramo é dada por A = b.h, a área da figura é: A = 6.ℓ.apótema.Para determinar a área do hexágono você deve dividir a área da figura por dois, o hexágono corresponde exatamente à metade do paralelogra-mo da figura.

Pcomoapótema

A

.62

..6

Assim você poderá calcular qualquer área de qualquer polígono regular desde que seja dada a medida do lado e do apótema.Vamos aplicar?

Aplicação 1

Dada uma chapa de aço em forma de octógono, determine a área da chapa.

Dados ℓ = 20 cm

Apótema = 24,14 cm

20 cm

24,14

⟹A = P.ap2

A = 8.10.24,142

A = 965,60 cm22

⟹


Área do Círculo

Círculo é a região interna à circunferência. Para determinar a área do círculo você deverá dividi-lo em 16 partes iguais (congruentes).

Observe que ao abrir a circunferência você obterá 32 partes congruen-tes, dos quais 16 constituem a área do círculo, usando a fórmula do paralelogramo terá:

A = b.h como b = C e h = r temos: A = C.r mas, C = 2π.r assim:

A = 2...2 rr

, simplificando temos:

2.rA

Lembrando:

▪ C = comprimento ou perímetro;

▪ r = raio → r = 2

d

; ▪ d = diâmetro.

Aplicação 1

Determine a área de uma chapa de forma circular que apresenta um diâmetro de 232,5 mm de diâmetro.

14,325,1165,232 emmrmmd

Aplicando a fórmula da área do círculo, tem-se:

222 15625,4344225,116.. mmAArA

Observe que o resultado em milímetro quadrado é um número grande, podendo ser transformado, por exemplo, para cm2. Desta forma ficaria com:

22 3415625,42415625,43442 cmmm

Na Mecânica é comum arredondar esse valor, pode-se assim utilizar a área de 424,35 cm2.

Área da Coroa Circular

Denomina-se coroa circular a re-gião da figura plana formada entre duas circunferências concêntricas, conforme figura a seguir.

R

r

Você sabe que a área do círcu-lo é dada pela fórmula

2.rA

. Como são dois círculos concên-tricos, a área é a diferença entre as áreas dos dois círculos.

22 .. rRA aplicando a pro-priedade distributiva, você terá:

).( 22 rRA

Aplicação 1

Calcule a área de uma arruela ci-líndrica plana que apresenta um diâmetro externo de 76,2 mm e interno de 50,4 mm.D = 76,2 mm R = 38,1 mmd = 50,8 r = 25,4

2

22

22

253,5322

)16,64561,1451(

)4,251,38(

).(

mmA

A

A

rRA


76,2mm 50,8 mm

Acompanhe a seguir um resumo das fórmulas para cálculo das áreas dos polígonos. Aproveite!


Múltiplos e Submúltiplos do Metro Cúbico

É comum na prática você se deparar com o cálculo de volume de sólidos muito pequenos (como o volume de uma lata de óleo) ou muito grandes (como o volume de um navio), desta forma, assim como na unidade de área, precisa-se também de unidades menores ou maiores para que se possam determinar esses volumes.

Os múltiplos e submúltiplos do metro cúbico são volumes dos cubos cuja aresta tem unidades múltiplas ou submúltiplas do metro.

Seção 2Superfície e Volume de Sólidos Geométri-cos

Os objetos que você tem contato em sua vida diária e na vida pro-fissional ocupam uma porção do espaço. Esses objetos são chama-dos de sólidos geométricos es-paciais.

DICA Assim, sólido geométrico espacial ou figura geo-métrica espacial é todo conjunto de pontos per-tencentes ao espaço, mas que não estão no mesmo plano.

Para você saber a quantidade de espaço ocupado por esse sólido é necessário compará-lo com outro tomado como unidade. O núme-ro obtido é denominado de volu-me do sólido geométrico.

Unidade de Volume

A princípio você pode adotar qualquer sólido como unidade de volume, na prática foi adotado como volume unitário um cubo cuja aresta mede 1 m de compri-mento, assim a unidade de volume é denominada metro cúbico m3 (3 dimensões da figura espacial).Na prática você pode adotar qual-quer sólido como unidade de vo-lume. Para medir como unidade o volume do cubo cuja aresta tem um metro de comprimento, sur-giu o metro cúbico m3, observe a figura.


Representação e Leitura

As unidades de volume variam de 1.000 em 1.000, desta forma você escreverá:43,26 m3, mas é conveniente escrever 43,260 m3.Lê-se: quarenta e três metros cúbicos e duzentos sessenta decímetros cúbicos.

Mudança de Unidade

2,3456 m3 = 2 345,6 dm3 = 2 345 600 cm3

Observe que ao mudar de unidade para uma imediatamente inferior, multiplica-se a medida inicial por mil até chegar à unidade solicitada.

x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

:1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000

---------------------------------------

------------------------------------------ -------------------------------------

------------------------------------------ --------------------------------------- --------------------------------

Você estudará a seguir cada um desses sólidos e os elementos que o compõem. Bons estudos!

Prismas

São sólidos limitados por dois polígonos paralelos congruentes (iguais) que formam as suas bases e por tantos paralelogramos quantos forem os lados dos polígonos que formam a base. Eles podem ser classificados em retos ou oblíquos.

Se partir de uma unidade menor para uma unidade maior, deve-se dividi-la por mil até chegar à uni-dade solicitada.

Sólidos Geométricos – Área e Volume

Em sua vida diária você se depa-ra com vários objetos constituí-dos de volume. Se você observar bem, verá que tudo que é constru-ído pelo homem apresenta forma definida, nesta unidade você es-tudará como calcular o espaço ocupado por esses sólidos, sua formação, as principais figuras que dão origem a eles, além de ve-rificar que muitos são junções de dois ou mais sólidos.Você consegue identificar os no-mes dos sólidos geométricos a se-guir? Sua tarefa é escrever o nome de cada um deles.


Prisma reto Prisma obliquo

Observação: no prisma reto as arestas são perpendiculares à base e oblí-quo quando são inclinadas em relação à base.De uma maneira geral, para calcular o volume dos prismas multiplica-se a área da base pela medida da altura, ou seja:

hAV b .

Você estudará também as áreas das superfícies que formam as laterais e suas bases, pois em muitas situações você será obrigado a dispor dessas superfícies para construir um sólido qualquer, como por exemplo, na construção da carroceria de um caminhão-baú, em que será necessário determinar a quantidade de chapas para a sua construção. Num prisma você encontrará as áreas das seguintes superfícies:

Tem-se:

▪ aresta a = altura; ▪ aresta c = comprimento; ▪ aresta b = largura.

Área da face – é a área de um dos polígonos que forma uma das laterais;

Área lateral – é o somatório das áreas dos polígonos que formam as laterais dos pris-mas;

Área da base – é a área do polígono que forma a base;

Área total – é a soma de to-das as áreas dos polígonos que formam o prisma.

A seguir você analisará alguns prismas e os elementos que o formam.

Paralelepípedo retângulo – as bases e as laterais são paralelogramos.

arestas

Base

a

b

c


Observe que este polígono é formado por 6 faces que são paralelogra-mos. Tem-se assim na face anterior as arestas a, b, c, desta forma é pos-sível determinar as áreas que formam o paralelepípedo.

Vamos planificá-lo:

Vamos planificá-lo

a

b

c

Base Sup.

Base Inf. c’

a’

b’

Ab

Ab

Af Af Al Al Al

Aplicação 1

Determine o volume e as áreas do paralelepípedo da figura a seguir:

altura = 24 mm

comprimento = 12 mm

24

largura = 8 mm

8

12

Área da base Ab = 12 x 8 ⟹ Ab = 96 mm2

Área da face frontal Af = 12 x 24 ⟹ Af = 288 mm2

Área da face lateral Al = 8 x 24 ⟹ Al = 192 mm2

Com esses dados você pode cal-cular a área lateral e a área total.

Área lateral AL = 2(Af + Al) ⟹ AL 2(288 + 192) ⟹ AL = 960 mm2

Área total AT = 2(Ab + AL) ⟹ AT = 2(96 + 960) ⟹ AT = 2 112 mm2

Volume V = comprimento x lar-gura x altura ⟹

V = 12 x 8 x 24 ⟹ V= 8.064 mm3

Acompanhe a seguir alguns exem-plos de prismas que fazem uso do mesmo raciocínio para a deter-minação dos elementos que você calculou na Aplicação 1.

Área da base Ab = aresta c . aresta c ⟹ Ab = c.b

Área da face frontal Af = aresta a . aresta b ⟹ Af = a . b

Área da face lateral Al = aresta c’. aresta a’ ⟹ Al = c’ . b’

Área lateral AL= 2(Af + Al)

Área total AT= 2(Ab + AL)


cubo Prisma de base hexagonal Prisma de base pentagonal

Cilindro

Sólido geométrico cuja base é um círculo. Assim como o prisma, os cilindros se classificam em cilindro reto e oblíquo.

Cilindro reto Cilindro obliquo

Observação: o cilindro equilátero é caracterizado quando a altura do cilindro for igual ao seu diâmetro.

Área e Volume

h h

d d

C=π.d

Área da base

2.rAb

Área lateral AL = C . h ⟹ AL = π.d.h

Área total AT = 2 Ab + AL

Volume V = Ab . h ⟹

hrV .. 2

Reto: quando o eixo que o forma é perpendicular à base.

Oblíquo: o eixo não é per-pendicular à base.


Aplicação 1

Determine o volume e a quantidade de área necessária para confeccio-nar uma lata de óleo que apresenta a forma de um cilindro circular reto com as seguintes dimensões:

altura = 100 mm

diâmetro = 80 mm

h=100

d=80

Área da base

22 024540. mmAA bb ⟹ Ab = 5 024 mm2

Área lateral AL = C . h ⟹ AL = π.80.100 ⟹ AL = 25 120 mm2

Área total AT = 2 Ab + AL ⟹ AT = 2 x 5 024 + 25 120 ⟹ AT = 35 168 mm2

Volume V = Ab . h ⟹

hrV .. 2 ⟹ V = 3,14.40².100⟹ V = 502 400 mm3

Resposta: conforme solicitado, você deve utilizar para a fabricação de uma lata, 35.168 mm2 de chapas para um volume de 502.400 mm3 de óleo.

Pirâmide

Sólido geométrico limitado por um polígono qualquer e por triângulos que formam as suas laterais e que têm um vértice comum. O polígono forma a base e os triângulos as suas faces laterais. As pirâmides se clas-sificam de acordo com o polígono que forma a sua base. A altura da pirâmide é o segmento de reta perpendicular à sua base.

h=altura apótema

Apótema da base

Área da base: de acordo com o polígono que a forma.

Área lateral: AL = b . h 2

, lembrar

que a altura relacionada se refere à altura do triângulo que forma a face lateral.Área total AT = somatória das áre-as laterais.

Volume V = Ab . h 3

Aplicação 1

Determine o volume, a área to-tal das faces e a área total de uma pirâmide de base retangular que apresenta as seguintes dimensões:comprimento da base = 80 mm;largura da base = 45 mm;altura = 78 mm.

45

80

78

Área da base Ab = comprimento x largura ⟹ Ab = 80 x 45 ⟹ Ab = 3 600 mm2.Apótema do triângulo que for-ma a face lateral com aresta de 45 mm = 87,66 mm. Apótema do triângulo que for-ma a face lateral com aresta de 80 mm = 81,18 mm.Observe que neste caso você tem duas faces com triângulos diferen-tes, um cuja base é 45 mm e outro cuja base é 80 mm.Área da face lateral cujo triângulo tem base igual a 45 mm:


Af =

2

66,87.45 →

Af = 1 972,35 mm2

Área da face lateral cujo triângulo tem base igual a 80 mm:

Af =

2

18,81.80 →

Af = 3 247,20 mm2

Área total das faces.

Atf = 1 972,35 + 3 247,20

Atf = 5 219,55 mm2

Área total AT = somatório da área das faces mais a área da base.

At = Ab + Af → At = 3 600 + 5 219,55 → At = 8 819,55 mm2

Volume

V =

3

.hbA →

V =

3

78.6003 →

V = 93 600 mm3

Cone

É o sólido gerado por um triângulo retângulo que gira em torno de um de seus catetos.

h

d

g

d

C= π.d

AL

Área lateral

AL =

gr.. g = geratriz

Área da base

.2rAb π.r2.h3

Área total

AT = AL + Ab → AT =

gr.. +

.2r →

).(.. rgrAT

Volume

3.. 2 hr

V

Aplicação 1

Determine a área lateral total e o volume de um cone que apresenta as seguintes dimensões:

▪ diâmetro da base = 18 cm;

▪ altura = 14 cm.


Cálculo da geratriz:

g2 = r2 + h2

g2 = 92 + 142

g2 = 81 + 196

g = √277

g = 16,65 cm

Área lateral AL =

gr.. → AL = 3,14 . 9 . 16,65 → AL = 470,529 cm2

Área da base

.2rAb →

.92bA → Ab = 254,34 cm2

Área total AT = AL + Ab → AT = 470,529 + 254,34 → AT = 724,869 cm2

Volume

3.. 2 hr

V

→

314.9. 2

V

→ V = 1.186,92 cm3

Esfera

Você sabe o que é uma esfera? É um semicírculo que gira em torno do seu eixo.

DICA A esfera é o sólido geométrico limitado por uma superfície esférica e formado por todos os pontos de sua superfície e o seu interior.

A

B

Área da superfície esférica

2..4 rAs

Volume da esfera

3..4 2r

Ve

Aplicação 1

Determine a superfície e o vo-lume de um depósito de gás em forma de esfera que apresenta um diâmetro de 8 m.d = 8 m → r = 4 mÁrea da superfície esférica

2..4 rAs →

24..4sA → As = 200,96 m2

Volume da esfera

3..4 2r

Ve →

Ve =

3

4..4 3 → Ve = 267,95 m3

Volume do Tronco de Cone

Sólido gerado pela seção de um cone por um plano paralelo à sua base em uma determinada altura do cone, conforme demonstrado na figura a seguir.

Área lateral AL = , sendo;• R = raio da base maior do cone;• r = raio da base menor;• g = geratriz do cone;• volume do tronco de cone;


).(3

.22 rRrR

hV

Tronco de Pirâmide Sólido gerado pela seção de uma pirâmide por um plano paralelo à sua base em uma determinada altura da pirâmide. Veja a figura a seguir.

h

Base maior

Base menor

Área lateral AL: soma das áreas dos trapézios que formam as superfícies laterais.Área total: soma da área lateral com a área das bases.

LbBT AAAA

)(3 bBbB AAAA

hV

Acompanhe a seguir as fórmulas utilizadas para calcular o volume de figuras espaciais. Aproveite!


Paralelepípedo RetânguloCubo

Cilindro Pirâmide

Cone Tronco do Cone

Tronco da Pirâmide Esfera


Finalizando

Procuramos apresentar nesta unidade curricular os elementos necessários para que você pos-sa utilizar os conhecimentos matemáticos de forma clara e objetiva. Os conteúdos abordados são essenciais na sua vida profissional como técnico; frações, números decimais, regra de três, porcentagem, cálculo de área e volume e muitos outros conhecimentos são indispensáveis para que você se torne um profissional seguro e dedicado naquilo que faz.

Muitos desses conhecimentos você irá aperfeiçoar ao longo da sua vida profissional, portan-to, dedique-se, o sucesso só depende de você.

Pratique, faça as coisas com carinho e quando não conseguir resolver um problema de qual-quer área do conhecimento, peça ajuda, pois um profissional só se faz quando trabalha junto com outras pessoas, ou seja, trabalha em equipe.

Um ótimo estudo.

Referências


▪ SENAI. Geometria: [S.I.: s.n.], 1975. 162 p. (Coleção Básica Matemática).

▪ ______. Geometria IV. 1. ed. [S.I.]: SENAI, 1975. (Coleção Básica Matemática).

Bibliografia complementar

▪ D’AMBRÓSIO, Nicolou; D’AMBRÓSIO, Ubiritan. Matemática comercial e financeira, com complementos de matemática e introdução ao cálculo. 23. ed. São Paulo: Nacio-nal, 1975. 287 p.

▪ RUBINSTEIN, Cléa et al. Matemática para o curso de formação de professores de 1a a 4a série do 1° grau: 1. ed. São Paulo: Moderna, 1991. 429 p.

▪ SPINELLI, Walter; SOUZA, Maria Helena Soares de. Matemática comercial e financei-ra. São Paulo: Ática, 1998. 239 p.

▪ SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/>. Acesso em: 20 nov. 2009.

trigonometria senai

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