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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios

Matrizes - Parte 1

Márcio Nascimento

Universidade Estadual Vale do AcaraúCentro de Ciências Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em MatemáticaDisciplina: Álgebra Matricial - 2017.1

4 de setembro de 2017

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Sumário

1 Representação de um conjunto de Matrizes

2 OperaçõesSoma de MatrizesProduto por escalar

3 Matrizes e Imagens Digitais

4 Transposição

5 Matriz Conjugada

6 Conjugada Transposta

7 Simetrias

8 Exerćıcios

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Sumário




4 Transposição

5 Matriz Conjugada


7 Simetrias

8 Exerćıcios

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Matriz

Uma matriz nada mais é do que um conjunto de números reais(ou complexos) dispostos em linhas e colunas

Por exemplo, [1 2 34 5 6

]é uma matriz formada por números reais com duas linhas etrês colunas.

Representaremos o conjunto de TODAS as matrizes (comelementos reais) com duas linhas e três colunas por R2×3.

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EXEMPLOS

A =

4 2 12 3 −10 1 7

∈ R3×3B =

[(2i) (4− 2i) (7i) (5)(0) (−3 + 7i) (12i) (5−

√2i)

]∈ C2×4

A =

4 2 12 3 −10 1 7

∈ C3×3

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GENERALIZANDO

Rn×m - conjunto das matrizes de ordem n ×m com entradasreais;

Cn×m - conjunto das matrizes de ordem n ×m com entradascomplexas.

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NOTAÇÃO

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

......

...an1 an2 . . . anm

∈ Rn×m(ou ∈ Cn×m)ars - elemento da LINHA r e COLUNA s;

Por exemplo: a14 - elemento da LINHA 1 e COLUNA 4;

a79 - elemento da LINHA 7 e COLUNA 9;

a81,109 - elemento da LINHA 81 e COLUNA 109;

A = [ars ]n×m: r ∈ {1, 2, ..., n} e s ∈ {1, 2, ...,m}

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EXEMPLOEsboçar a matriz X = [xrs ] ∈ R4×4 tal quexrs = (r − s) + i(2r + s), onde i é a unidade imaginária dosnúmeros complexos.

X =

x11 x12 x13 x14x21 x22 x23 x24x31 x32 x33 x34x41 x42 x43 x44

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Importante

Uma vez que todo número real também é um número complexo,podemos sempre nos referir a um conjunto de matrizes usando anotação

Cn×m

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Sumário




4 Transposição

5 Matriz Conjugada


7 Simetrias

8 Exerćıcios

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Considere um conjunto Ω não vazio.

Podemos obter uma estrutura algébrica ao definirmos umaoperação (∗) entre os elementos de Ω;Os elementos de Ω, sob a influência da operação ∗, possuemalgumas propriedades;

Se consideramos um conjunto de matrizes, então a ÁlgebraMatricial consiste da operação entre matrizes e suaspropriedades.

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IGUALDADE ENTRE MATRIZES

Duas matrizes são IGUAIS quando possuem a mesma ordem e oselementos correspondentes (posições) são iguais.32

1

=√

9√4

50

[

(2− 4i)(1 + 2i)

]6=[(2− 4i) (1 + 2i)

]As matrizes

A = [aij ] = [(i − j)2]3×3 e B = [bij ] = [(j − i)2]3×3

são iguais?

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Soma de Matrizes

Soma de Matrizes

Considere duas matrizes A,B de mesma ordem n ×m. A somaA + B é a matriz também de ordem n ×m obtida pela soma dasentradas de A, com as entradas de B, respeitando-se as posições.

Exemplo: A =

[3 2 14 −1 5

], B =

[7 0 2−5 −4 2

]A + B =

[(3 + 7) (2 + 0) (1 + 2)

(4 + (−5)) (−1 + (−4)) (5 + 2)

]A + B =

[10 2 3−1 −5 7

]

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Soma de Matrizes

Soma de Matrizes

Considerando as matrizes

A =

[3 2 14 −1 5

], B =

7 0 2−5 −4 20 0 0

o que se pode dizer sobre a soma A + B?

Não está definida, pois A tem ordem 2× 3 e B tem ordem3× 3.

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Soma de Matrizes

Soma de Matrizes

Usando a notação matricial:

Se A = [ars ]n×m,B = [brs ]n×m,

então A + B = [(ars + brs)]n×m

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Soma de Matrizes

Soma de Matrizes

Propriedades da SomaSejam A = [ars ]n×m,B = [brs ]n×m e C = [crs ]n×m com entradasreais ou complexas. São válidas as seguintes propriedades:

Associatividade: A + (B + C ) = (A + B) + C

Comutatividade: A + B = B + A

Existência de Elemento Neutro: Existe uma matriz X0 deordem n ×m tal que A + X0 = A qualquer que seja a matrizA de ordem n ×m.Existência de Inverso Aditivo: Para cada matriz A deordem n ×m, existe uma matriz A′ tal que A + A′ = X0.

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Soma de Matrizes

Soma de Matrizes

EXEMPLO

Qual o elemento neutro, com relação a operação SOMA, noconjunto de matrizes C2×2?

=⇒ 0 =[

0 00 0

]Qual o inverso aditivo da matriz A =

[(3 + 2i) (−2 + i)

5 −7

]em C1×2?

=⇒ −A =[

(−3− 2i) (2− i)−5 7

]

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Soma de Matrizes

Subtração

Dadas duas matrizes A = [ars ] e B = [brs ], ambas de mesmaordem, definimos a subtração da seguinte forma:

A− B = A + (−B)

Ou seja,

A− B = [ars ] + [−brs ]= [(ars + (−brs))]= [(ars − brs)]Isto é, a subtração de duas matrizes se dá elemento aelemento.

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Soma de Matrizes

Subtração

EXEMPLO Considere as matrizes

A =

3 2 14 5 68 9 0

, B =1 2 36 5 4

0 9 8

A− B =

2 0 −2−2 0 28 0 −8

B − A =

−2 0 22 0 −2−8 0 8

Veja que, em geral, a subtração é NÃO COMUTATIVA.

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Produto por escalar

Produto por escalar

O quadro abaixo mostra o preço de 1kg de duas marcas de arrozem quatro estabelecimentos diferentes de uma mesma cidade.

A

E1 E2 E3 E4A1 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00

A2 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10

Os quatro estabelecimentos resolveram dar um desconto de10% nos preços de todas as suas mercadorias. Como fica onovo quadro com os preços de arroz?

B

E1 E2 E3 E4A1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80

A2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89

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Produto por escalar

Produto por escalarVejamos as duas tabelas

A

E1 E2 E3 E4A1 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00

A2 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10

B

E1 E2 E3 E4A1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80

A2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89

Podemos denotar cada quadro acima usando matrizes:

A =

[2, 20 2, 20 2, 10 2, 002, 30 2, 20 2, 20 2, 10

]B =

[1, 98 1, 98 1, 89 1, 802, 07 1, 98 1, 98 1, 89

]21 / 65


Produto por escalar

Produto por escalar

Qual a relação entre as entradas correspondentes das matrizes A eB?

A =

[2, 20 2, 20 2, 10 2, 002, 30 2, 20 2, 20 2, 10

]B =

[1, 98 1, 98 1, 89 1, 802, 07 1, 98 1, 98 1, 89

]ars/brs é sempre igual?

Se foi dado um desconto de 10%, então o novo preço (matrizB) corresponde a 0,9 do preço antigo (matriz A), isto é:

brs = 0, 9.ars para todas as entradas.

Escreveremos B = 0, 9.A

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Produto por escalar

Produto por escalar

Generalizando Seja A uma matriz de ordem n×m e α um escalar(número real ou complexo). O produto do escalar α pela matriz Aé definido por:

α.A = [α.ars ]

α.

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

......

...an1 an2 . . . anm

=

(α.a11) (α.a12) . . . (α.a1m)(α.a21) (α.a22) . . . (α.a2m)

......

...(α.an1) (α.an2) . . . (α.anm)

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Produto por escalar

Produto por escalar

Propriedades Sejam A,B matrizes de mesma ordem e α, βescalares.

α.(β.A) = (α.β).A

α.(A + B) = α.A + α.B

(α + β).A = α.A + β.A

Existe um escalar x0 tal que x0.A = A para qualquer matriz A.

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Produto por escalar

Propriedades Encontremos o escalar x0 tal que x0.A = A paraqualquer matriz A.

Vamos resolver a equação x .A = A.

x .A = A =⇒ x .[ars ] = [ars ]=⇒ [(x .ars)] = [ars ]=⇒ x .ars = ars para todo r ∈ {1, ..., n}, s ∈ {1, ..., n}=⇒ x = 1

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Sumário




4 Transposição

5 Matriz Conjugada


7 Simetrias

8 Exerćıcios

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Imagens em P & B: Matrizes com entradas 0 ou 1.

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Imagens coloridas: três matrizes (R, G, B) com entradas entre 0 e255.

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Cada uma das matrizes R, G, B guarda a intensidade da cor paracada ’pixel’.

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Alterar o brilho de uma fotografia, significa modificar a intensidadedas cores, isto é, multiplicar uma (ou duas, ou três) das matrizesR,G,B por escalar(es).

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R = [rij ]1920×1080 =

r11 r12 . . . r1,1080r21 r22 . . . r2,1080...

......

r1920,1 r1920,2 . . . r1920,1080

G = [gij ]1920×1080, B = [bij ]1920×1080

1.R, 1.G , 1.B α.R α.R, βG , γB

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Sumário




4 Transposição

5 Matriz Conjugada


7 Simetrias

8 Exerćıcios

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Considere as matrizes

A =

[1 −i (2 + i)

(2− 2i) (1 + i) 4

]e B =

1 (2− 2i)−i (1 + i)(2 + i) 4

Alguma semelhança entre elas?

Foi feita a transposição de cada linha de A para uma colunade B.

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Definição (Transposta de uma Matriz)

Seja A = [ars ] uma matriz de ordem n ×m. Se reescrevermos oselementos de A de modo que cada linha seja disposta em forma decoluna, então a nova matriz obtida terá ordem m × n e seráchamada transposta de A, cuja notação é AT .

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

......

...an1 an2 . . . anm

AT =

a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2

......

...a1m a2m . . . anm

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Exemplos:

A =

1 2 . . . m1 22 . . . m2

......

...1 2n . . . mn

AT =

1 1 . . . 12 22 . . . 2n

......

...m m2 . . . mn

A =

1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1

AT =

1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1

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Sumário




4 Transposição

5 Matriz Conjugada


7 Simetrias

8 Exerćıcios

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Qual o conjugado do número complexo z = 3− 2i?

z = 3 + 2i . (Conceito Algébrico)

Qual o significado geométrico para o conjugado de umnúmero complexo?

Repare que z + z ∈ R.Em geral: z = a + bi =⇒ z = a− bi

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Mas, e a conjugada de uma matriz?

Definição (Matriz Conjugada)

Seja A = [ars ] uma matriz de ordem n ×m. A matriz conjugadade A é definida por:

A = [ars ]

onde ars é o conjugado do número complexo ars para cadar ∈ {1, 2, . . . , n}, s ∈ {1, 2, . . . ,m}.

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

.

.

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.

.an1 an2 . . . anm

A =a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

.

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.

.

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.

.an1 an2 . . . anm

Qual a ordem da matriz conjugada A?

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Exemplos:

A =

1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1

A =

1 −i −1 i−i −1 i 1−1 i 1 −ii 1 −i −1

A =

1 3 21 17 34 2 0

A =1 3 21 17 3

4 2 0

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Sumário




4 Transposição

5 Matriz Conjugada


7 Simetrias

8 Exerćıcios

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Conjugada Transposta

Podemos tomar a conjugada e a transposta de uma matriz A.

A =

[(3− i) (−2 + i) 4−i 2i (−1− i)

]

AT =

(3− i) −i(−2 + i) 2i4 (−1− i)

AT = (3 + i) i(−2− i) −2i

4 (−1 + i)

A =

[(3 + i) (−2− i) 4

i −2i (−1 + i)

]AT

=

(3 + i) i(−2− i) −2i4 (−1 + i)

AT = A

T

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Em geral

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

.

.

.

.

.

.

.

.

.an1 an2 . . . anm

AT =

a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2

.

.

.

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.

.

.

.a1m a2m . . . anm

AT =a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2

.

.

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.

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.

.

.a1m a2m . . . anm

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

.

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.

.an1 an2 . . . anm

AT =a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2

.

.

.

.

.

.

.

.

.a1m a2m . . . anm

AT = AT

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Notação

Quando quisermos denotar a matriz conjugada e transposta deuma matriz A, usaremos a notação

A∗

Isto é,

A∗ = AT

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Propriedades

Dada uma matriz A de ordem n ×m, são válidas:

(A + B)T = AT + BT

(A + B)∗ = A∗ + B∗

(α.A)T = α.AT

(α.A)∗ = α.A∗

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Prova

Provemos a última igualdade: (α.A)∗ = α.A∗

(α.A)∗ = (α.A)T

= (α.[ars ]n×m)T

= ([α.ars ]n×m)T

= ([α.ars ]n×m)T

= [α.asr ]m×n

= [α.asr ]m×n

= α.[asr ]m×n

= α.[ars ]Tn×m

= α.A∗

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Sumário




4 Transposição

5 Matriz Conjugada


7 Simetrias

8 Exerćıcios

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A transposta ou conjugada transposta de matrizes quadradaspodem gerar matrizes com algumas peculiaridades, como veremosa seguir.

A =

1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1

AT =

1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1

Veja que A = AT

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Matriz Simétrica

Definição (Matriz Simétrica)

Dizemos que uma matriz quadrada A é simétrica quando A = AT .

Observe que em uma matriz simétrica,

A∗1 = A1∗,A∗2 = A2∗, . . .A∗n = An∗

Consequentemente

ars = asr

para cada r ∈ {1, 2, ..., n}, s ∈ {1, 2, ..., n}.

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Exemplo

Seja A = [ars ]n×n a matriz tal que ars = (r − s)2. A é simétrica?

ars = asr?

(r − s)2 = (s − r)2?Sim. Portanto, A é simétrica.

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Matriz AntissimétricaConsidere o seguinte caso:

A =

0 −2 12 0 −1−1 1 0

AT = 0 2 −1−2 0 1

1 −1 0

Observe que AT = −A.

Definição (Matriz Antissimétrica)

Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é antissimétrica

quando AT = −A.

Tem-se A∗1 = −A1∗,A∗2 = −A2∗, . . . ,A∗n = −An∗.Consequentemente, ars = −asr

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Matriz Antissimétrica

Verdadeiro ou falso?

Se A é uma matriz antissimétrica então sua diagonalprincipal é nula.

Verdadeiro!

ars = −ars =⇒ a11 = −a11, a22 = −a22, ..., ann = −annDáı, 2a11 = 0, 2a22 = 0, ..., 2ann = 0

Ou seja, a11 = 0, a22 = 0, ..., ann = 0

Observação

ANTISSIMÉTRICA NÃO É OCONTRÁRIO DE SIMÉTRICA

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Matriz Antissimétrica

Exemplo

A =

4 2 1 5−3 2 1 78−13 −45 −22 −15

9 11 8 7

AT =

4 −3 −13 92 2 −45 111 1 −22 85 78 −15 7

Claramente não ocorre AT = A nem AT = −A. Portanto Anão é simétrica, nem antissimétrica.

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Existem matrizes que são, ao mesmo tempo, simétrica eantissimétrica?

Dada A = [ars ]n×n, é posśıvel: ars = asr e ars = −asr , paracada r , s ∈ {1, 2..., n}?Se ars = asr e ars = −asr , então asr = −ars , isto é, asr = 0.Portanto ars = 0.

Conclusão: A = 0.

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Matriz Hermitiana

Quando consideramos a matriz conjugada transposta, temosconceitos análogos para simetria e antissimetria.

Seja A =

2 1− i −2 + 2i1 + i 5 3i−2− 2i −3i −4

Então Se A∗ =

2 1− i −2 + 2i1 + i 5 3i−2− 2i −3i −4

Conclusão: A∗ = A.

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Definição (Matriz Hermitiana)

Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é hermitiana1

quando A∗ = A.

A∗1 = A1∗, A∗2 = A2∗, ..., A∗n = An∗

Isto é, ars = asr

1Termo em homenagem ao matemático francês Charles Hermite(1822-1901).

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Matriz Hermitiana

Verdadeiro ou falso?

Se A é uma matriz hermitiana, então sua diagonalprincipal é formada por números reais puros.

Verdadeiro!

Sendo A hermitiana, então A∗ = A. Isto é, ars = asr

Em particular, a11 = a11, a22 = a22, ..., ann = ann

Para a11 = a11, temos que a1 + ib1 = a1 − ib1, ou seja,b1 = −b1.Portanto b1 = 0 e a11 = a1 + i .0 = a1 ∈ R.Da mesma forma, a22, a33, ..., ann ∈ R.

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Matriz Anti-hermitiana

Seja A =

2i 3 + 5i 2− 7i−3 + 5i 0 9−2− 7i −9 −3i

Então Se A∗ =

−2i −3− 5i −2 + 7i3− 5i 0 −92 + 7i 9 3i

Conclusão: A∗ = −A.

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Definição (Matriz Anti-hermitiana)

Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é anti-hermitianaquando A∗ = −A.

A∗1 = −A1∗, A∗2 = −A2∗, ..., A∗n = −An∗Dáı, ars = −asrO que acontece com a diagonal principal de uma matrizanti-hermitiana?

São elementos na forma i .b com b ∈ R.

Observação

ANTI-HERMITIANA NÃO É OCONTRÁRIO DE HERMITIANA

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Sumário




4 Transposição

5 Matriz Conjugada


7 Simetrias

8 Exerćıcios

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Exerćıcio

Mostre que (AT )T = A

Solução

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

......

...an1 an2 . . . anm

AT =

a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2

......

...a1m a2m . . . anm

(AT )T =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

......

...an1 an2 . . . anm

= A62 / 65


Exerćıcio

O que ocorre com (A∗)∗?

Solução

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

......

...an1 an2 . . . anm

A∗ =

a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2

......

...a1m a2m . . . anm

(A∗)∗ =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

......

...an1 an2 . . . anm

(A∗)∗ =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

......

...an1 an2 . . . anm

= A

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Exerćıcio

Qual a solução para X ∗ = XT ?

Solução

X =

x11 x12 . . . x1mx21 x22 . . . x2m

......

...xn1 xn2 . . . xnm

X ∗ =

x11 x21 . . . xn1x12 x22 . . . xn2

......

...x1m x2m . . . xnm

m×n

XT =

x11 x21 . . . xn1x12 x22 . . . xn2

......

...x1m x2m . . . xnm

m×n

xrs = xrs

xrs ∈ RX ∈ Rn×m

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Exerćıcio

Seja A uma matriz quadrada. Mostre que a matriz B = A + AT ésimétrica.

Devemos mostrar que BT = B

B = A + AT

=⇒ BT = (A + AT )T

=⇒ BT = AT + (AT )T

=⇒ BT = AT + A=⇒ BT = B

Exerćıcio

Seja A uma matriz quadrada. Mostre que a matriz C = A− AT éantissimétrica.

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Representação de um conjunto de MatrizesOperaçõesSoma de MatrizesProduto por escalar

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