matrizes 2014

Prof.: Rodrigo Carvalho


MATRIZ é uma tabela numérica, disposta em m linhas e n colunas.

Exemplos:

34

51

82

A 4610B 96

15C

2861

2535

7038

C2C1 C3 C4

L1

L2

L33x4

Ordem da Matriz


É uma matriz que representa todas as matrizes de mesma ordem.

Exemplos

1) 2)

3231

2221

1211

23A

aa

aa

aa

axij

333231

232221

131211

33B

bbb

bbb

bbb

bxij

Cada elemento de uma matriz tem a sua posição representada da seguinte maneira:

aij

Linha

Coluna


Exemplo

a) Matriz Linha → Matriz que possui uma única linha.

4x1

4610B

Exemplo

b) Matriz Coluna → Matriz que possui uma única coluna.

1x27

2A

Exemplo

c) Matriz Nula → Matriz que possui todos os elementos nulos.

000

000O 3x2


Exemplo

d) Matriz Oposta → Matriz obtida a partir da troca dos sinais dos elementos da matriz dada.

e) Matriz Quadrada

Exemplos

3x2754

012A

3x2754

012A

1)

2x293

62A

2)

3x3543

501

032

A

→ Matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.


333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

→ As matrizes quadradas possuem duas diagonais:

Exemplo

DP

DS

Diagonal Principal (i = j)

Diagonal Secundária (i + j = constante)

Observação:

→ É a matriz quadrada na qual os elementos da DP são iguais a 1 e os demais iguais a zero

2x2

2 10

01I

Exemplo

e.1) Matriz Identidade


Propriedades

Exemplos

É a matriz obtida a partir da troca ordenada das linhas pelas colunas da matriz dada.

1)

2)

3x23104

826A

2x3

t

38

102

46

A

2x240

32B

2x2

t

43

02B

1) (At)t = A 2) (A + B)t = At + Bt 3) (A . B)t = Bt . At


Exemplo

Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando At = A.

3x3

t

175

703

532

A

3x3175

703

532

A

OBS: Os elementos simétricos em relação à DP são iguais.

3x3175

703

532

A


Exemplo

Uma matriz quadrada A é dita anti-simétrica quando At = - A.

3x3

t

075

703

530

A

3x3075

703

530

A

33075

703

530

x

A

OBS: Os elementos da DPsão nulos e os simétricos em relação a ela são opostos.


Exemplos

a) Adição e Subtração Para adicionar e subtrair matrizes de mesma ordem, operamos os elementos de mesma posição.

1)

2)

253

041

701

432

552

413

13

53

10

24

03

71


Exemplos

b) Multiplicação b.1) Produto de uma matriz por uma constante

1)

2)

16104

826A2

852

413AConsidere a matriz , determine:

A2

1

42

51

22

1

2

3

Para multiplicar uma matriz por uma constante, basta multiplicar todos os elementos dessa matriz pela constante.


b.2) Produto entre matrizes

pmpnnm xxxABB.A

Condição: Nº de colunas da 1ª = Nº de linhas da 2ª Ordem da matriz resultante: L1ª x C2ª

Para multiplicar duas matrizes, é necessário o número de colunas da 1ª matriz ser igual ao número de linhas da 2ª matriz.

=


Exemplo

AB. produto matriz a

possível, se determine,,43

02B e

03

14

12

A Sejam22

23x

x

234.00.33.02.3

4).1(0.43).1(2.4

4.10.23.12.2

x

2306

45

47

x

AB

O produto entre duas matrizes é obtido multiplicando-se cada linha da 1ª matriz por cada coluna da 2ª matriz.

2x22x3

43

02.

03

14

12


OBSERVAÇÃO

Exemplo

Para multiplicar uma matriz por uma matriz escalar, quando possível, basta multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar da DP.

2x22x3

20

02.

03

14

12

2x306

28

24

CONCLUSÃO: A . In = A


Seja uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 1). A essa matriz está associado um único número chamado determinante de A.

Exemplos

2x239

42A

4x14610B

3x3945

415

072

C

→ Ǝ det A

→ Ǝ det C

→ Não existe det B, pois a matriz B não é quadrada.


Determinantes de 1ª Ordem O determinante associado a uma matriz de 1ª ordem é o próprio elemento a11.

Exemplos

1) det A = 7

2) = -2


Determinantes de 2ª Ordem

Exemplos

31

42A

74

53C

1)

2)

det A = 2.3 - 1.4 = 2

det C = - 3.7 - (- 4).5 = - 1

3) 31

533.3 - 1.5= 4

O determinante associado a uma matriz de 2ª ordem é obtido pela diferença entre o produto dos elementos da DP e o produto dos elementos da DS.


Determinantes de 3ª Ordem (Regra de Sarrus)

Exemplo

321

103

241

A

det A = (1.0.(-3) + 4.1.(-1) +2.3.2) – ((-1).0.2 + 2.1.1 + (-3).3.4)

21

03

41

det A = 8 – (-34)

det A = 42


Exemplo

É o determinante associado a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem maior do que 1, quando suprimimos sua linha e sua coluna.

Determine o menor complementar do termo a23 na matriz abaixo.

321

103

241

A 21

4164).1(2.1


Exemplo

É o determinante obtido pelo produto entre o Menor Complementar de um elemento aij e o fator (- 1) i + j.

Determine o cofator do termo a23 na matriz abaixo.

321

103

241

A

21

41.1 32 66.1


Exemplo P1º) Escolhe-se uma fila qualquer.

0105

2340

0036

0011Sugestão: Escolhe-se a fila com o maior número de “zeros”.

P2º) Multiplica-se cada elemento da fila escolhida por seu cofator.

P3º) O determinante associado à matriz original será a soma dos determinantes parciais obtidos no P2º).


Uma matriz quadrada A é dita inversível(ou não singular), quando det A ≠ 0. Denotando a inversa da matriz A como A-1, então

A . A- 1 = A- 1 . A = In

Exemplo

Determine a inversa, caso exista, da matriz .

34

12A

Quando det A = 0, dizemos que a matriz é singular.


Regra prática para Matriz Inversa de 2ª Ordem

Exemplo

(1º Passo)

Adet

24

13

A 1

Troca-se de posição os elementos da DP.

(2º Passo) Troca-se de sinais os elementos da DS.

(3º Passo) Divide-se todos os elementos da matriz pelo determinante associado à matriz original.

Calcule a matriz inversa de .

34

12A

2

24

13

122

1

2

3A 1


Cálculo da Matriz Inversa de ordem n≥2

Adet

A) (cofA

t1

ou

Adet

A adjA 1


Propriedades que anulam um determinante:

0

731

000

321

O determinante é nulo quando tem uma fila toda nula.

O determinante é nulo quando tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais.

0

321

815

321

0

1284

815

321

X 4 IGUAIS


Propriedades que alteram um determinante:

254

32

Um determinante muda de sinal quando duas filas paralelas mudam de posição.

Quando se multiplica ou divide uma fila de um determinante por uma constante, o novo determinante fica multiplicado ou dividido por essa constante.

245

23

245

23 6

125

63

x3


Propriedades que alteram um determinante: Se A e B são duas matrizes quadradas de mesma ordem, então det(A.B) = det A . det B. (Teorema de Binet)

43

12A

21

40B

Exemplo Calcule o determinante de A.B.

→ det A = 2.4 – 3.1 = 5

→ det B = 0.2 – 1.4 = - 4

det (A.B) = det A . det B

det (A.B) = 5 . (– 4)

det (A.B) = – 20


Sendo A uma matriz quadrada:

Adet Adet a) t

Adet Adet a) t

Adet

1Adet b) 1-

Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por uma constante k, o seu determinante fica multiplicado por kn , ou seja:

A.det k(k.A)det n


400

530

172

A

Uma matriz quadrada é dita triangular, quando aij = 0, para i > j ou i < j.Exemplo

Em uma matriz triangular, o determinante é igual ao produto dos elementos da DP.

400

530

172

DP

4.3.2 24

Matriz triangular superior

matrizes 2014

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