matrizes (8)

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  • 8/19/2019 matrizes (8)

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    Matrizes

    Héctor Fabio Bonilla L.

    Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção, USFCAR, Sorocaba, SPDisciplina: INTRODUÇÃO  À OTIMIZAÇÃO LINEAR

    [email protected]

    22 de Março de 2016

    Héctor Fabio Bonilla L. (USFCAR PPGEPS)   Matrizes   Aula No 1 1 / 20

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    Índice

    1   MatrizesMatrizes ElementaresOperações com matrizes

    Proposi̧cões

    Exerćıcios resolvidos

    Propriedades de matrizes

    2   Matrizes InversiveisProposiçõesDeterminação da Inversa

    3   Sistema de Cramer

    4   Exerćıcios resolvidos e propostos

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    Matrizes

    Definição:

    sejam  m ≤ 1 e  n ≤ 1 dois números inteiros. Uma  matriz  m× n   real   é umadupla seqüência de números reais, distribúıdos em  m   linhas e n colunas,formando uma tabela que se indica do seguiente modo:

    a11   a12   a13   . . .   a1na

    21  a

    22  a

    23  . . .   a

    2n

    . . . . . . . . . . . . . . .

    am1   am2   am3   . . .   amn

    Abreviadamente esta matriz pode ser expressa por  A = [aij ] 1 ≤ i  ≤ m  oupenas 1 ≤  j  ≤ n. Cada número que compõe uma matriz chama-se termo

    dessa matriz.Notações-Indicaremos por:

    M m×n(R) o cojunto das matrizes reais  m× n. Se  m =  n  de  M n×n(R), se usa a notaçãoM n(R), cada matriz chama-se  matriz quadrada de ordem  n

    Se  m =  n, uma matriz  m × n  se diz uma  matriz retangular 

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    Matrizes Linhas e Colunas

    Dada uma matriz :

    A =

    a11   a12   a13   . . .   a1na21   a22   a23   . . .   a2n. . . . . . . . . . . . . . .

    am1   am2   am3   . . .   amn

    As  m  seqüências horizontaisA(1) = (a11, a12, a13, . . . , a1n), . . . , A

    (m) = am1, am2, am3, . . . , amn   sãochamadas   linhas  da matriz  A, enquanto que as  n   seqüências verticais:

    A(1) =

    a11a21

    ...am1

    , . . . , A(n)  =

    a1na2n

    ...amn

    São as  colunas  da matriz A.  É de se notar que cada  A(i ) ∈ M 1×n(R) e

    cada  A( j ) ∈ M m×1(R)Héctor Fabio Bonilla L. (USFCAR PPGEPS)   Matrizes   Aula No 1 4 / 20

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    Matrizes Elementares

    Definições Matrizes Elementares

    Uma matriz elmentar de orden  n   é uma matriz  E   obtida de   I n, onde amatriz  I n  chama-se  matriz identidade de ordem n  por medio de uma e uma

    só operação elementar.

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    Matrizes Elementares

    Definições Matrizes Elementares

    Uma matriz elmentar de orden  n   é uma matriz  E   obtida de   I n, onde amatriz  I n  chama-se  matriz identidade de ordem n  por medio de uma e uma

    só operação elementar.

    Proposição

    Seja  E  uma matriz elementar de ordem  n. Se aplicarmos, então em umamatriz  A, também de orden  n, a mesma operação elementar que

    transformou  I n  em  E , obteremos a matriz  EA

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    Operações com matrizes

    ADIÇÃO: Sejam  A = [aij ] e  B  = [b ij ] matrizes  m × n. Indicaremos  A + B  e chamamossoma de  A  com  B  a matriz  m × n  cujo termo geral é  aij  + b ij , ou seja

    A + B  =

    a11 +  b 11   a12 +  b 12   a13 +  b 13   . . .   a1n +  b 1na21 +  b 21   a22 +  b 22   a23 +  b 23   . . .   a2n +  b 2n

    . . . . . . . . . . . . . . .

    am1 +  b m1   am2 +  b m2   am3 +  b m3   . . .   amn +  b mn

    Para a adição de matrizes acima definida valem a seguintes propriedades:

    (I)   A + (B  + C ) = (A + B ) +  C ,∀A,B ,C  ∈ M m×n(R) (Associativa)(II)   A + B  = B  +  A,∀A,B  ∈ M m×n(R) (Conmutativa)

    (III)   Existe uma matriz  O ∈  M m×n(R) talque  A + O  =  A,∀A ∈  M m×n(R) (Existeelemento neutro)

    (IV)   Dada uma matriz  A ∈  M m×n(R), existe uma matriz (−A), também  m× n, talqueA + (−A) =  O  (Existe a oposta de qualquer matriz).

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    Operações com matrizes

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    Operções com matrizes

    MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES : Consideremos a Matriz  A  de tipo  m × n  e matriz  B de tipo  n× p . O producto  A • B   (também indicado por  AB ) é matriz  m × p  cujo termogeral é dado por:

    c ik   =n

     j 

    aij   · b ij   = ai 1 · b 1k  + . . . + ain · b nl 

    Usando a notação de matriz linha e a de matriz coluna a definição acima significa que:

    AB  =

    A(1) · B (1)   . . .   A(1) · B (p )

    A(2) · B (1)   . . .   A(2) · B (p )

    . . . . . . . . .

    A(m)

    · B (1)   . . .   A(m)

    · B (p )

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    Operações com matrizes

    MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO: Dada uma matriz real  A,m × n, e dado um número real   α, o produto de   α  por  A  é a matriz real  m × n  dada por:

    αA =

    αa11   αa12   αa13   . . . αa1n. . . . . . . . . . . . . . .

    αam1   . . . . . . . . . . . . αamn

    Para essa operação que transforma cada para  αA  de  R ×M m×n(R ) na matriz real

    αA ∈  M m×n(R ), valem as seguintes propriedades:

    (I)   (αβ)A =  α(βA)(II)   (α + β)A =  αA + βA

    (III)   α(A + B ) =  αA + αB 

    (IV)   1A =  A

    Quaisquer que sejam as matrizes  A  e  B  e quaisquer que sejam os números reais  α  e  β

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    Operções com matrizes

    Proposição

    Sejam  A,  B   e  C  matrizes reais  m × n,  n × p ,  p × q , respectivamente.Então A(BC)=(AB)C.

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    Operções com matrizes

    Proposição

    Sejam  A,  B   e  C  matrizes reais  m × n,  n × p ,  p × q , respectivamente.Então A(BC)=(AB)C.

    Proposição

    Sejam  A,  B   e  C  matrizes reais  m × n,  n × p ,  p × q , respectivamente.Então A(B+C)=AB+AC

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    Matriz Transposta

    Definição:  Dada uma Matriz  A = [aij ] ∈ M m×n(R), denomina-se-Transposta  de  A  e indica-se por  At  a seguinte matriz  n ×m   :  At  = [a ji ],onde (i  = 1, . . . , m; j  = 1, . . . , n). Valem as siguintes propriedades

    propriedades

    (I)   (A + B )t  = At  + B t 

    (II)   (αA)t 

    =   αAt 

    , onde   α ∈ R(III)   (At )t  = A  (Idempotência )

    (IV)   (AB )t  = B t At 

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    Matriz Transposta

    Definição:  Dada uma Matriz  A = [aij ] ∈ M m×n(R), denomina-se-Transposta  de  A  e indica-se por  At  a seguinte matriz  n ×m   :  At  = [a ji ],onde (i  = 1, . . . , m; j  = 1, . . . , n). Valem as siguintes propriedades

    propriedades

    (I)   (A + B )t  = At  + B t 

    (II)   (αA)t 

    =   αAt 

    , onde   α ∈ R(III)   (At )t  = A  (Idempotência )

    (IV)   (AB )t  = B t At 

    Definição:   Uma matriz  A = [aij ] chama-se  simétrica  se  A =  AT 

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    Matriz Transposta

    Definição:  Dada uma Matriz  A = [aij ] ∈ M m×n(R), denomina-se-Transposta  de  A  e indica-se por  At  a seguinte matriz  n ×m   :  At  = [a ji ],onde (i  = 1, . . . , m; j  = 1, . . . , n). Valem as siguintes propriedades

    propriedades

    (I)   (A + B )t  = At  + B t 

    (II)   (αA)t 

    =   αAt 

    , onde   α ∈ R(III)   (At )t  = A  (Idempotência )

    (IV)   (AB )t  = B t At 

    Definição:   Uma matriz  A = [aij ] chama-se  simétrica  se  A =  AT 

    Definição:   Uma matriz  A = [aij ] chama-se  anti-simétrica  se  AT  = −A

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    Matriz Transposta

    Definição:  Dada uma Matriz  A = [aij ] ∈ M m×n(R), denomina-se-Transposta  de  A  e indica-se por  At  a seguinte matriz  n ×m   :  At  = [a ji ],onde (i  = 1, . . . , m; j  = 1, . . . , n). Valem as siguintes propriedades

    propriedades

    (I)   (A + B )t  = At  + B t 

    (II)   (αA)t 

    =   αAt 

    , onde   α ∈ R(III)   (At )t  = A  (Idempotência )

    (IV)   (AB )t  = B t At 

    Definição:   Uma matriz  A = [aij ] chama-se  simétrica  se  A =  AT 

    Definição:   Uma matriz  A = [aij ] chama-se  anti-simétrica  se  AT  = −AExerćıcio:   Sendo  A  uma matriz quadrada, prove que :

    (I)   A + At  é simétrica

    (II)   A− At  é anti-simétrica

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    M i I ´ i

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    Matrizes Inverśıveis

    Definição

    Uma Matriz  A  de ordem  n  se diz   inverśıvel  se, e somente se, existe umamatriz  B , também de ordem  n, de modo que:

    AB  = BA = I n

    Esta matriz B, caso exista, é única e chama-se inversa de  A, indicada-sepor  A−1

    ProposiçãoSe uma matriz  An×n  possui uma inversa  A

    −1, então esta inversa é única

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    M i I ´ i

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    Matrizes Inverśıveis

    Algumas propriedades

    (I)   I n, é invert́ıvel e (I n)−1 = I n

    (II)   Se  A  é invert́ıvel então  A−1 é invert́ıvel e (A−1)−1 = A

    (III)   Se  A  O  B   são invert́ıveis então  AB   é invert́ıvel e (AB )−1 = B −1A−1

    (IV)   Se  A  é invert́ıvel então  AT 

    é invert́ıvel e (AT 

    )−1

    = (A−1

    )T 

    (V)   Se  A  é invert́ıvel então, para todo  k  ∈ N ,  Ak  é invert́ıvel e(Ak )−1 = (A−1)k 

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    M i I ´ i

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    Matrizes Inverśıveis

    Algumas propriedades

    (I)   I n, é invert́ıvel e (I n)−1 = I n

    (II)   Se  A  é invert́ıvel então  A−1 é invert́ıvel e (A−1)−1 = A

    (III)   Se  A  O  B   são invert́ıveis então  AB   é invert́ıvel e (AB )−1 = B −1A−1

    (IV)   Se  A  é invert́ıvel então  AT 

    é invert́ıvel e (AT 

    )−1

    = (A−1

    )T 

    (V)   Se  A  é invert́ıvel então, para todo  k  ∈ N ,  Ak  é invert́ıvel e(Ak )−1 = (A−1)k 

    Héctor Fabio Bonilla L. (USFCAR PPGEPS)   Matrizes   Aula No 1 13 / 20

    M t i I ´ i

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    Matrizes Inverśıveis

    Algumas propriedades

    (I)   I n, é invert́ıvel e (I n)−1 = I n

    (II)   Se  A  é invert́ıvel então  A−1 é invert́ıvel e (A−1)−1 = A

    (III)   Se  A  O  B   são invert́ıveis então  AB   é invert́ıvel e (AB )−1 = B −1A−1

    (IV)   Se  A  é invert́ıvel então  AT 

    é invert́ıvel e (AT 

    )−1

    = (A−1

    )T 

    (V)   Se  A  é invert́ıvel então, para todo  k  ∈ N ,  Ak  é invert́ıvel e(Ak )−1 = (A−1)k 

    Teorema

    Uma matriz  A  é inverśıvel se, e somente se,   I n  ∼ A. Neste caso, a mesmasucessão de operações elementares que transformam  A em  I n, transformamI n  em  A

    −1.

    Héctor Fabio Bonilla L. (USFCAR PPGEPS)   Matrizes   Aula No 1 13 / 20

    Al it l l t i i

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    Algoritmo para calcular a matriz inversa

    Dada uma matriz  A ∈ M n×n(R):

    1 Construir uma matriz da forma [A|I n].

    2 Executar sobre matriz uma sequência de operações elementares, demodo a transformar  A  na matriz identidade   I n. No final do processoobtemos uma matriz ampliada da forma [I n|A−1]

    3 Caso não seja posśıvel transformar  A  na matriz identidade   I n  então amatriz  A  não é invert́ıvel.

    Héctor Fabio Bonilla L. (USFCAR PPGEPS)   Matrizes   Aula No 1 14 / 20

    Determiante de uma Matriz

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    Determiante de uma Matriz

    Seja  A = [aij ]n×n. O determinante de A, denotado por det(A) ou |A|,como o escalar de dado por:

    Desenvolvimento em cofatores do determinante

    det (A) = a11  ã11 + a12  ã12 +  . . . + a11  ã11 =n

     j =1

    a1 j  ã1 j 

    Onde ã1 j  = (−1)1+ j det(  Ã1 j )

    Héctor Fabio Bonilla L. (USFCAR PPGEPS)   Matrizes   Aula No 1 15 / 20

    Exemplo

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    Exemplo

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    Sistemas de Cramer

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    Sistemas de Cramer

    Um  Sistema de Cramer   é um sitema linear de  m  equações com  nincógnitas sobre R, cuja matriz dos coeficientes é inverśıvel.Se  AX   = B   éum sistema de Cramer, como:

    AX   = B  ⇒ A−1(AX ) = A−1B  ⇒ X   = A−1B 

    Então esse sistema é compat́ıvel determinado e sua única solução é dadapor  A−1B . Em particular um sistema quadrado e homogêneo cuja matrizdos coeficientes é inverśıvel só admite a solução trivial.

    Héctor Fabio Bonilla L. (USFCAR PPGEPS)   Matrizes   Aula No 1 17 / 20

    Sistemas de Cramer

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    Sistemas de Cramer

    Teorema de Cramer

    Sejam  A ∈ M n×n(R) e  B  ∈ Mn × 1(R) matrizes tais que os sistemas deequações  Ax  = B   é um SISTEMA DE CRAMER, para cada

     j  ∈ {1, 2, . . . , n}, seja  A j  a matriz que se óbtem de  A  substituindo acoluna   j  pela matriz coluna  B . Então, a  solução única  do sistemaAx  = B   é  n-uplo (x 1, x 2, . . . , x n) onde,

    x  j  =  |A j |

    |A|

    ,∀ j  ∈ {1, 2, . . . , n}

    Héctor Fabio Bonilla L. (USFCAR PPGEPS)   Matrizes   Aula No 1 18 / 20

    Referências Bibliográficas

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    Referencias Bibliograficas

    CALLIOLI Carlos A; DOMINGUES Hyginoh; COSTA Roberto C.F.   ´ Algebra Linear e 

    Aplica瘠oes . São Paulo; Atual Editorial. Ed 6a. 1990.

    SANTOS, Reginaldo J.   Introdução à  Àlgebra Linear . Belo Horizonte. ImprensaUniversitária de UFMG, 2013.

    RODRIGUES, Maria Rosalia.  Notas de Aulas do Curso   ´ Algebra Linear .

    Departamento de Matemáticas. Universidad de Aveiro. 2010.

    Héctor Fabio Bonilla L. (USFCAR PPGEPS)   Matrizes   Aula No 1 19 / 20

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    Muito Obrigado

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