matrizes hoje

Matrizes Conceitos Básicos

São tabelas numéricas dispostas em filas horizontais e em filas verticais. As filas horizontais são chamadas de linhas e as filas verticais de colunas.

Sanches(in)forma: As matrizes são tabelas utilizadas em todos os ramos da ciência, na engenharia, na computação e etc.

5387410

02452

10221

x

A

33016

405

213

x

B

2210

01

x

C


Matriz de ordem p por q de elementos mij,

onde i = nº de linhas e j = nº de colunas

M=

m11 m12 m13

m21 m22 m23

m1q...... m2q

m31 m32 m33 m3q...

... ... ... ...

...

mp1 mp2 mp3 mpq...

Forma Literal de uma Matriz

As matrizes são representadas por letras maiúsculas e seus elementos, pela mesma letra minúsculas, acompanhadas de dois índices que representam a posição do elemento na matriz.Ex.: Seja a matriz M = (mij)pxq.


Tipos de MatrizesAs matrizes podem ser classificadas segundo:

A natureza dos elementos

A forma


Amxn = [aij]mxnSegundo a forma em:

Rectangular

Quadrada

Coluna

Linha

Se o número de linhas é diferente do número de colunas

Se o número de linhas é igual do número de colunas

Se o número de colunas é igual a um

Se o número de linhas é igual a um

53

054421252043201

33

231310201

13

101

31221

Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m


Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:

Real

Complexa

Nula

se todos os seus elementos são reais

ijij aAa :

se pelo menos um dos seus elementos é complexo

CaAa ijij :

se todos os seus elementos são nulos

0: ijij aAa

100251

10251

i

000000



Triangular Superior

Triangular Inferior

0: ijij ajiAa

uma matriz quadrada em que os elementos abaixoda diagonal principal são nulos

uma matriz quadrada em que os elementos acimada diagonal principal são nulos

0: ijij ajiAa

5000620003007211

5103022000250001



Diagonal

Escalar

0: ijij ajiAauma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos

5000

0200

0040

0001

uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais

ij

ijij

aji

ajiAa 0:

2000020000200002

Matrizes Operações com Matrizes

Transposição de Matrizes ou Matriz Transposta

Seja A uma matriz de tipo mxn.Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:

e escreve-se B=AT

5305442

12520

43201

A

35014

523

452

420

201

TA

jiji ab mjni ,....;,..., 11



Simétrica

Densa

Dispersa

5740

7232

4301

0211

se os elementos aij são iguais aos aji

se a maioria dos seus elementos são não nulos

se a maioria dos seus elementos são nulos

Anti-Simétrica se a sua transposta for igual a sua oposta.

053

502

320

A

053

502

320TA

053

502

320

A

645046633

BAc

Matrizes

Soma de Matrizes

Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de

342015321

A

303031312

B

3 3 6

6 4 05 4 6

A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.

njmibac

BACMCMBA

ijijij

nmnm

,,1,,1;

:,

Operações com Matrizes

Matrizes

ABBAMBA nm ,


goza das seguintes propriedades:

Comutativa

Associativa

Elemento neutro

Elemento oposto ou simétrico

A soma de matrizes do mesmo tipo

)()(,, CBACBAMCBA nm

AOAMOMA nmnm :

OBAMBMA nmnm :


goza das seguintes propriedades:

Comutativa

Associativa

Tem elemento neutro

Todos os elementos têm opostos

A soma de matrizes do mesmo tipo

Assim o conjunto M mxn forma um

Grupo Aditivo Comutativo

Matrizes

Produto por um escalar

Sejam A uma matriz e um escalar

O produto de por A é uma matriz C

342015321

A

91260315963

3 A

que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por

njmiac

ACMAMA

ijij

nmnm

,,1,,1;

:


do mesmo tipo de A

Matrizes

AA


e os escalares e as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo

AAA )(

BABA

AA1

Matrizes

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a1n...... a2n

a31 a32 a33 a3n...

... ... ... ...

...

am1 am2 am3 amn...mxn

A matriz resultante é formada pelo produto escalar interno de cada linha da 1ª matriz, por todas as colunas da 2ª matriz.

Multiplicação de Matrizes

Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.

=

b1

b2

b3

...

bm

x1

x2

x3

...

xq


pxq mxq

Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

=

2x3


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 15


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 15

15


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 15

15 29


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 15

15 29 27



Produto de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo

O produto de A por B é uma matriz C do tipo

cujos elementos são dados por:

mxp

n

kjkkiji bac

1

e escreve-se C=AB.

nxp.

O produto de matrizes não é comutativo

Matrizes

CBACBA


Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A, B e C, e um escalar.

CBCACBA )(

CABACBA

BABABA

Matrizes

AATT


Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A e B e um escalar.

TTT BABA )(

TT AA

TTT ABBA

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