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Trigonometria Esf´ erica arcio Nascimento Um pouco de Hist´oria... O que ´ e um triˆ angulo? Geod´ esicas Trigonometria Esf´ erica Elementos de um triˆ angulo esf´ erico Alguns resultados sobre os triˆ angulos esf´ ericos Aplica¸c˜ ao Considera¸c˜ oes Finais Trigonometria Esf´ erica arcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acara´ u Centro de Ciˆ encias Exatas e Tecnologia Curso de Matem´ atica 29 de setembro de 2010 1 / 33

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TrigonometriaEsferica

MarcioNascimento

Um pouco deHistoria...

O que e umtriangulo?

Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Trigonometria Esferica

Marcio Nascimento

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e Tecnologia

Curso de Matematica

29 de setembro de 2010

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Um pouco deHistoria...

O que e umtriangulo?

Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Sumario

1 Um pouco de Historia...

2 O que e um triangulo?

3 Geodesicas

4 Trigonometria EsfericaElementos de um triangulo esfericoAlguns resultados sobre os triangulos esfericosAplicacao

5 Consideracoes Finais

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Um pouco deHistoria...

O que e umtriangulo?

Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Sumario

1 Um pouco de Historia...

2 O que e um triangulo?

3 Geodesicas

4 Trigonometria EsfericaElementos de um triangulo esfericoAlguns resultados sobre os triangulos esfericosAplicacao

5 Consideracoes Finais

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Um pouco deHistoria...

O que e umtriangulo?

Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Trigonometria: estudo dos triangulos e seus elementos(angulos e lados). Do grego: tri (tres)+ gono(angulo)+metrien (medida).

O desenvolvimento da trigonometria veio com asnecessidades do homem em resolver problemas reais,praticos.

Havia a necessidade de se calcular o tempo, prever eclipsese modernizar a Navegacao e a Cartografia (mapas).Devido a forma de nosso planeta, os estudos seconcentravam em Trigonometria Esferica (que estuda ostriangulos sobre uma esfera). No entanto, odesenvolvimento da trigonometria plana foi necessario.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Trigonometria: estudo dos triangulos e seus elementos(angulos e lados). Do grego: tri (tres)+ gono(angulo)+metrien (medida).

O desenvolvimento da trigonometria veio com asnecessidades do homem em resolver problemas reais,praticos.

Havia a necessidade de se calcular o tempo, prever eclipsese modernizar a Navegacao e a Cartografia (mapas).Devido a forma de nosso planeta, os estudos seconcentravam em Trigonometria Esferica (que estuda ostriangulos sobre uma esfera). No entanto, odesenvolvimento da trigonometria plana foi necessario.

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Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Trigonometria: estudo dos triangulos e seus elementos(angulos e lados). Do grego: tri (tres)+ gono(angulo)+metrien (medida).

O desenvolvimento da trigonometria veio com asnecessidades do homem em resolver problemas reais,praticos.

Havia a necessidade de se calcular o tempo, prever eclipsese modernizar a Navegacao e a Cartografia (mapas).Devido a forma de nosso planeta, os estudos seconcentravam em Trigonometria Esferica (que estuda ostriangulos sobre uma esfera). No entanto, odesenvolvimento da trigonometria plana foi necessario.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

“O estudo dos triangulos esfericos na Matematicagrega vinha sendo feito desde os ultimospitagoricos. O proprio Euclides, que viveu emtorno de 300 a.C., em um de seus trabalhos, oFenomenos, estudou a Geometria Esferica.Aproximadamente em 20 a.C., Teodosio compilouo que os gregos conheciam sobre o assunto emseu livro Sobre a Esfera” ([DO CARMO], pg 101)

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Muita coisa foi feita nessa parte inicial da trigonometria, comopor exemplo:

Estimativas comparativas da distancia da terra a lua e daterra ao sol (Aristarco de Samos, 300 a.C.);

Raio da terra (Eratostenes, 250 a.C.);

Estimativas para o numero π;

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Um pouco deHistoria...

O que e umtriangulo?

Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Muita coisa foi feita nessa parte inicial da trigonometria, comopor exemplo:

Estimativas comparativas da distancia da terra a lua e daterra ao sol (Aristarco de Samos, 300 a.C.);

Raio da terra (Eratostenes, 250 a.C.);

Estimativas para o numero π;

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Um pouco deHistoria...

O que e umtriangulo?

Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Muita coisa foi feita nessa parte inicial da trigonometria, comopor exemplo:

Estimativas comparativas da distancia da terra a lua e daterra ao sol (Aristarco de Samos, 300 a.C.);

Raio da terra (Eratostenes, 250 a.C.);

Estimativas para o numero π;

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Hiparco de Niceia (em torno de 120 a.C.) e considerado o“pai” da Trigonometria.

O pouco que se sabe sobre ele e devido a ClaudioPtolomeu (em torno de 150 a.C.) que cita resultados deHiparco em seus trabalhos.

Esta epoca e considerada o apice da Trigonometria devidoao Almagesto, de Ptolomeu, que tem por objetivodescrever matematicamente o funcionamento do sistemasolar, ainda sob a teoria geocentrica.

Depois de Hiparco, Menelao de Alexandria (100 a.C.)apresenta varios resultados sobre triangulos esfericos emseu livro Geometria Esferica.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Hiparco de Niceia (em torno de 120 a.C.) e considerado o“pai” da Trigonometria.

O pouco que se sabe sobre ele e devido a ClaudioPtolomeu (em torno de 150 a.C.) que cita resultados deHiparco em seus trabalhos.

Esta epoca e considerada o apice da Trigonometria devidoao Almagesto, de Ptolomeu, que tem por objetivodescrever matematicamente o funcionamento do sistemasolar, ainda sob a teoria geocentrica.

Depois de Hiparco, Menelao de Alexandria (100 a.C.)apresenta varios resultados sobre triangulos esfericos emseu livro Geometria Esferica.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Hiparco de Niceia (em torno de 120 a.C.) e considerado o“pai” da Trigonometria.

O pouco que se sabe sobre ele e devido a ClaudioPtolomeu (em torno de 150 a.C.) que cita resultados deHiparco em seus trabalhos.

Esta epoca e considerada o apice da Trigonometria devidoao Almagesto, de Ptolomeu, que tem por objetivodescrever matematicamente o funcionamento do sistemasolar, ainda sob a teoria geocentrica.

Depois de Hiparco, Menelao de Alexandria (100 a.C.)apresenta varios resultados sobre triangulos esfericos emseu livro Geometria Esferica.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Hiparco de Niceia (em torno de 120 a.C.) e considerado o“pai” da Trigonometria.

O pouco que se sabe sobre ele e devido a ClaudioPtolomeu (em torno de 150 a.C.) que cita resultados deHiparco em seus trabalhos.

Esta epoca e considerada o apice da Trigonometria devidoao Almagesto, de Ptolomeu, que tem por objetivodescrever matematicamente o funcionamento do sistemasolar, ainda sob a teoria geocentrica.

Depois de Hiparco, Menelao de Alexandria (100 a.C.)apresenta varios resultados sobre triangulos esfericos emseu livro Geometria Esferica.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

A trigonometria se espalhou entre gregos, hindus e arabes,motivado por suas aplicacoes a Astronomia.

Com a expansao maritma europeia, a trigonometria passoua ser usada em cartografia e topografia.

Com adocao do sistema heliocentrico de Copernico, oscalculos da Astronomia Posicional precisavam ser refeitos.

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O que e umtriangulo?

Geodesicas

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

A trigonometria se espalhou entre gregos, hindus e arabes,motivado por suas aplicacoes a Astronomia.

Com a expansao maritma europeia, a trigonometria passoua ser usada em cartografia e topografia.

Com adocao do sistema heliocentrico de Copernico, oscalculos da Astronomia Posicional precisavam ser refeitos.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

A trigonometria se espalhou entre gregos, hindus e arabes,motivado por suas aplicacoes a Astronomia.

Com a expansao maritma europeia, a trigonometria passoua ser usada em cartografia e topografia.

Com adocao do sistema heliocentrico de Copernico, oscalculos da Astronomia Posicional precisavam ser refeitos.

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Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Sumario

1 Um pouco de Historia...

2 O que e um triangulo?

3 Geodesicas

4 Trigonometria EsfericaElementos de um triangulo esfericoAlguns resultados sobre os triangulos esfericosAplicacao

5 Consideracoes Finais

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Geodesicas

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

“Dados tres pontos nao colineares, se ligarmosesses pontos atraves de segmentos de reta, afigura obtida e um triangulo”.

Mas por que ligar os pontos atraves de segmentosde retas e nao por arcos de circunferencia, ouparabolas?

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Geodesicas

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

“Dados tres pontos nao colineares, se ligarmosesses pontos atraves de segmentos de reta, afigura obtida e um triangulo”.

Mas por que ligar os pontos atraves de segmentosde retas e nao por arcos de circunferencia, ouparabolas?

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Aplicacao

ConsideracoesFinais

Figura: Por que os triangulos tem como lados segmentos de reta?

Uma das razoes e para que tenhamos uma definicaoconsistente;

Dados dois pontos, existe um so segmento de reta que osune, enquanto que arcos de cirfunferencia ou parabola,temos infinitos.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Figura: Por que os triangulos tem como lados segmentos de reta?

Uma das razoes e para que tenhamos uma definicaoconsistente;

Dados dois pontos, existe um so segmento de reta que osune, enquanto que arcos de cirfunferencia ou parabola,temos infinitos.

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O que e umtriangulo?

Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Sumario

1 Um pouco de Historia...

2 O que e um triangulo?

3 Geodesicas

4 Trigonometria EsfericaElementos de um triangulo esfericoAlguns resultados sobre os triangulos esfericosAplicacao

5 Consideracoes Finais

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Se a menor distancia entre dois pontos e uma reta entao,para irmos de Sobral a Joanesburgo, na Africa do Sul,devemos comecar a cavar um tunel?

A trajetoria de um aviao ligando as duas cidades,acompanha a geometria do globo.

Dentre as inumeras possibilidades, existe uma queminimiza distancia. Esta e chamada geodesica.

No plano, as geodesicas sao as retas. Elas minimizam adistancia se considerarmos a superfıcie plana.

Ja sobre uma superfıcie esferica, nao existem retas. Asgeodesicas sao os cırculos maximos.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Se a menor distancia entre dois pontos e uma reta entao,para irmos de Sobral a Joanesburgo, na Africa do Sul,devemos comecar a cavar um tunel?

A trajetoria de um aviao ligando as duas cidades,acompanha a geometria do globo.

Dentre as inumeras possibilidades, existe uma queminimiza distancia. Esta e chamada geodesica.

No plano, as geodesicas sao as retas. Elas minimizam adistancia se considerarmos a superfıcie plana.

Ja sobre uma superfıcie esferica, nao existem retas. Asgeodesicas sao os cırculos maximos.

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Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Se a menor distancia entre dois pontos e uma reta entao,para irmos de Sobral a Joanesburgo, na Africa do Sul,devemos comecar a cavar um tunel?

A trajetoria de um aviao ligando as duas cidades,acompanha a geometria do globo.

Dentre as inumeras possibilidades, existe uma queminimiza distancia. Esta e chamada geodesica.

No plano, as geodesicas sao as retas. Elas minimizam adistancia se considerarmos a superfıcie plana.

Ja sobre uma superfıcie esferica, nao existem retas. Asgeodesicas sao os cırculos maximos.

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Geodesicas

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Se a menor distancia entre dois pontos e uma reta entao,para irmos de Sobral a Joanesburgo, na Africa do Sul,devemos comecar a cavar um tunel?

A trajetoria de um aviao ligando as duas cidades,acompanha a geometria do globo.

Dentre as inumeras possibilidades, existe uma queminimiza distancia. Esta e chamada geodesica.

No plano, as geodesicas sao as retas. Elas minimizam adistancia se considerarmos a superfıcie plana.

Ja sobre uma superfıcie esferica, nao existem retas. Asgeodesicas sao os cırculos maximos.

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O que e umtriangulo?

Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Se a menor distancia entre dois pontos e uma reta entao,para irmos de Sobral a Joanesburgo, na Africa do Sul,devemos comecar a cavar um tunel?

A trajetoria de um aviao ligando as duas cidades,acompanha a geometria do globo.

Dentre as inumeras possibilidades, existe uma queminimiza distancia. Esta e chamada geodesica.

No plano, as geodesicas sao as retas. Elas minimizam adistancia se considerarmos a superfıcie plana.

Ja sobre uma superfıcie esferica, nao existem retas. Asgeodesicas sao os cırculos maximos.

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Geodesicas

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Assim, podemos definir o triangulo (no plano) da seguinteforma:

“Dados tres pontos nao colineares, se ligarmosesses pontos atraves de geodesicas, a figuraobtida e um triangulo”.

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O que e umtriangulo?

Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Generalizacao da definicao de Triangulos

Com a definicao de geodesica, podemos definir triangulosem outra superfıcies alem de planos.

Uma definicao mais geral de colinearidade e a seguinte:

“tres ou mais pontos sao colineares se todos esses pontosestao sobre uma mesma geodesica”.

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O que e umtriangulo?

Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Generalizacao da definicao de Triangulos

Com a definicao de geodesica, podemos definir triangulosem outra superfıcies alem de planos.

Uma definicao mais geral de colinearidade e a seguinte:

“tres ou mais pontos sao colineares se todos esses pontosestao sobre uma mesma geodesica”.

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O que e umtriangulo?

Geodesicas

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Generalizacao da definicao de Triangulos

Com a definicao de geodesica, podemos definir triangulosem outra superfıcies alem de planos.

Uma definicao mais geral de colinearidade e a seguinte:

“tres ou mais pontos sao colineares se todos esses pontosestao sobre uma mesma geodesica”.

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TrigonometriaEsferica

MarcioNascimento

Um pouco deHistoria...

O que e umtriangulo?

Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Generalizacao da definicao de Triangulos

Definicao (Triangulo em uma superfıcie S)

Dada uma superfıce S, um triangulo em S e a curva (contidaem S) determinada pela ligacao de tres pontos nao colinearesatraves de geodesicas.

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Um pouco deHistoria...

O que e umtriangulo?

Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Sumario

1 Um pouco de Historia...

2 O que e um triangulo?

3 Geodesicas

4 Trigonometria EsfericaElementos de um triangulo esfericoAlguns resultados sobre os triangulos esfericosAplicacao

5 Consideracoes Finais

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Geodesicas

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Figura: Triangulo Esferico

Quando a superfıcie considerada for uma esfera, ostriangulos sao chamados triangulos esfericos.

Apesar de a Terra nao ser exatamente um esfera, as leisda trigonometria esferica dao uma aproximacaosatisfatoria para o calculo de distancias.

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Geodesicas

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Figura: Triangulo Esferico

Quando a superfıcie considerada for uma esfera, ostriangulos sao chamados triangulos esfericos.

Apesar de a Terra nao ser exatamente um esfera, as leisda trigonometria esferica dao uma aproximacaosatisfatoria para o calculo de distancias.

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Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

“A trigonometria esferica e a irma mais velha datrigonometria plana” [MORITZ]

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Figura: Elementos de um triangulo esferico.

Os vertices sao os pontos que determinam o trianguloesferico.

Os lados sao os arcos de geodesica que ligam os verticesentre si.

Cada vertice do triangulo determina um angulo interno.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Figura: Elementos de um triangulo esferico.

Os vertices sao os pontos que determinam o trianguloesferico.

Os lados sao os arcos de geodesica que ligam os verticesentre si.

Cada vertice do triangulo determina um angulo interno.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Figura: Elementos de um triangulo esferico.

Os vertices sao os pontos que determinam o trianguloesferico.

Os lados sao os arcos de geodesica que ligam os verticesentre si.

Cada vertice do triangulo determina um angulo interno.

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Geodesicas

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais Figura: O lado de um triangulo esferico e definido pelo angulo do

setor circular determinado por dois vertices e o centro da esfera.

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Geodesicas

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Teorema

Se A,B,C representam os angulos internos de um trianguloesferico, entao

(i) A + B < C + π

(ii) π < A + B + C < 3π

Teorema

Se a, b, c representam os lados de um triangulo esferico, entao(i) a + b > c

(ii) 0 < a + b + c < 2π

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Teorema

Se A,B,C representam os angulos internos de um trianguloesferico, entao

(i) A + B < C + π

(ii) π < A + B + C < 3π

Teorema

Se a, b, c representam os lados de um triangulo esferico, entao(i) a + b > c

(ii) 0 < a + b + c < 2π

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Definicao (Excesso do Triangulo Esferico)

Sejam A,B,C os angulos internos de um triangulo esferico. Adiferenca (em radianos) E = A + B + C − π e chamadaexcesso do triangulo esferico.

Teorema (Teorema de Girard)

A area de um triangulo sobre uma esfera de raio R cujosangulos internos sao A,B,C e dada por

R2E

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Teorema (Lei dos Cossenos)

Sejam A,B,C os vertices de um triangulo esferico e a, b, c osrespectivos lados opostos. Entao

cos a = cos b. cos c + senb.senc . cos A

Teorema (Teorema de Pitagoras para triangulos esfericos)

Sejam A,B,C os vertices de um triangulo esferico e a, b, c osrespectivos lados opostos. Se um dos vertices tem um anguloreto, digamos C, entao

cos a = cos b. cos c

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Teorema (Lei dos senos)

Sejam A,B,C os vertices de um triangulo esferico e a, b, c osrespectivos lados opostos. Entao

senA

sena=

senB

senb=

senC

senc

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Vamos calcular a distancia entre duas cidades sobre oglobo terrestre. Sejam A e B tais cidades onde 24018′N e133039′L sao as coordenadas de A e 36047′N e 125024′Osao as coordenadas da cidade B. O que desejamosencontrar e o tamanho do menor arco de cırculo maximoligando os dois pontos.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Com os dados e a Figura, temos:

HOA = 24018′

KOB = 36047′

GOH = 133039′

GOK = 125024′

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Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Com os dados e a Figura, temos:

HOA = 24018′

KOB = 36047′

GOH = 133039′

GOK = 125024′

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Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Com os dados e a Figura, temos:

HOA = 24018′

KOB = 36047′

GOH = 133039′

GOK = 125024′

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Com os dados e a Figura, temos:

HOA = 24018′

KOB = 36047′

GOH = 133039′

GOK = 125024′

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Desta forma

NA = 900 − 24018′ = 65042′

NB = 900 − 36047′ = 53013′

HK = 100057′

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Aplicacao

ConsideracoesFinais

Desta forma

NA = 900 − 24018′ = 65042′

NB = 900 − 36047′ = 53013′

HK = 100057′

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Aplicacao

ConsideracoesFinais

Desta forma

NA = 900 − 24018′ = 65042′

NB = 900 − 36047′ = 53013′

HK = 100057′

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Como o plano determinado por OHKe paralelo ao plano tangente a esferano ponto N, segue que o angulo Ninterno do triangulo esferico NAB eigual ao angulo HOK , ou seja,

N = 100057′

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Geodesicas

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Pela Lei dos Cossenos, temos:

cos AB = cos NA. cos NB + senNA.senNB. cos N

Feitas as contas, encontramosAB sendo aproximadamente83049′ que e cerca de 83, 820;

Supondo que o raio da terra e deaproximadamente 6371Km,entao essa distancia em km e deaproximadamente 9320Km.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Pela Lei dos Cossenos, temos:

cos AB = cos NA. cos NB + senNA.senNB. cos N

Feitas as contas, encontramosAB sendo aproximadamente83049′ que e cerca de 83, 820;

Supondo que o raio da terra e deaproximadamente 6371Km,entao essa distancia em km e deaproximadamente 9320Km.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Sumario

1 Um pouco de Historia...

2 O que e um triangulo?

3 Geodesicas

4 Trigonometria EsfericaElementos de um triangulo esfericoAlguns resultados sobre os triangulos esfericosAplicacao

5 Consideracoes Finais

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Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Consideracoes Finais

Muitos outros pontos podem ser explorados:

O estudo da posicao dos corpos celestes;

O estudo da trigonometria de outras superfıcies;

O estudo de polıgonos na esfera e em outras superfıcies.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Consideracoes Finais

Muitos outros pontos podem ser explorados:

O estudo da posicao dos corpos celestes;

O estudo da trigonometria de outras superfıcies;

O estudo de polıgonos na esfera e em outras superfıcies.

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Geodesicas

TrigonometriaEsferica

Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

Consideracoes Finais

Muitos outros pontos podem ser explorados:

O estudo da posicao dos corpos celestes;

O estudo da trigonometria de outras superfıcies;

O estudo de polıgonos na esfera e em outras superfıcies.

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Elementos deum trianguloesferico

Algunsresultados sobreos triangulosesfericos

Aplicacao

ConsideracoesFinais

[DO CARMO] DO CARMO, M. P., MORGADO, A. C., WAGNER,E. Trigonometria-Numeros Complexos. 3a Ed. SBM. Rio deJaneiro, 2005.

[DO CARMO2] DO CARMO, M. P. Geometria Diferencial deCurvas e Superfıcies. 2a Ed. SBM. Rio de Janeiro, 2006.

[MORITZ] MORITZ, R. F. A Textbook on SphericalAstronomy.5a Ed. University of Washington, Nova Iorque,1913.

[SMART] SMART, W. M. Textbook on Spherical Astronomy. 6a

Ed. Cambridge University Press. 1977.

[CASEY] CASEY, J. A Treatise on Spherial Trigonometry. 2a Ed.The Royal University of Ireland. 1889.

[KELLS] KELLS, L. M., KERN, W. F., BLAND, J. R. Plane and

Spherical Trigonometry. 2a Ed. McGraw-Hill. Nova Iorque e

Londres, 1940.33 / 33