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TrigonometriaEsferica
MarcioNascimento
Um pouco deHistoria...
O que e umtriangulo?
Geodesicas
TrigonometriaEsferica
Elementos deum trianguloesferico
Algunsresultados sobreos triangulosesfericos
Aplicacao
ConsideracoesFinais
Trigonometria Esferica
Marcio Nascimento
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e Tecnologia
Curso de Matematica
29 de setembro de 2010
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TrigonometriaEsferica
MarcioNascimento
Um pouco deHistoria...
O que e umtriangulo?
Geodesicas
TrigonometriaEsferica
Elementos deum trianguloesferico
Algunsresultados sobreos triangulosesfericos
Aplicacao
ConsideracoesFinais
Sumario
1 Um pouco de Historia...
2 O que e um triangulo?
3 Geodesicas
4 Trigonometria EsfericaElementos de um triangulo esfericoAlguns resultados sobre os triangulos esfericosAplicacao
5 Consideracoes Finais
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TrigonometriaEsferica
MarcioNascimento
Um pouco deHistoria...
O que e umtriangulo?
Geodesicas
TrigonometriaEsferica
Elementos deum trianguloesferico
Algunsresultados sobreos triangulosesfericos
Aplicacao
ConsideracoesFinais
Sumario
1 Um pouco de Historia...
2 O que e um triangulo?
3 Geodesicas
4 Trigonometria EsfericaElementos de um triangulo esfericoAlguns resultados sobre os triangulos esfericosAplicacao
5 Consideracoes Finais
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Um pouco deHistoria...
O que e umtriangulo?
Geodesicas
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Elementos deum trianguloesferico
Algunsresultados sobreos triangulosesfericos
Aplicacao
ConsideracoesFinais
Trigonometria: estudo dos triangulos e seus elementos(angulos e lados). Do grego: tri (tres)+ gono(angulo)+metrien (medida).
O desenvolvimento da trigonometria veio com asnecessidades do homem em resolver problemas reais,praticos.
Havia a necessidade de se calcular o tempo, prever eclipsese modernizar a Navegacao e a Cartografia (mapas).Devido a forma de nosso planeta, os estudos seconcentravam em Trigonometria Esferica (que estuda ostriangulos sobre uma esfera). No entanto, odesenvolvimento da trigonometria plana foi necessario.
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ConsideracoesFinais
Trigonometria: estudo dos triangulos e seus elementos(angulos e lados). Do grego: tri (tres)+ gono(angulo)+metrien (medida).
O desenvolvimento da trigonometria veio com asnecessidades do homem em resolver problemas reais,praticos.
Havia a necessidade de se calcular o tempo, prever eclipsese modernizar a Navegacao e a Cartografia (mapas).Devido a forma de nosso planeta, os estudos seconcentravam em Trigonometria Esferica (que estuda ostriangulos sobre uma esfera). No entanto, odesenvolvimento da trigonometria plana foi necessario.
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ConsideracoesFinais
Trigonometria: estudo dos triangulos e seus elementos(angulos e lados). Do grego: tri (tres)+ gono(angulo)+metrien (medida).
O desenvolvimento da trigonometria veio com asnecessidades do homem em resolver problemas reais,praticos.
Havia a necessidade de se calcular o tempo, prever eclipsese modernizar a Navegacao e a Cartografia (mapas).Devido a forma de nosso planeta, os estudos seconcentravam em Trigonometria Esferica (que estuda ostriangulos sobre uma esfera). No entanto, odesenvolvimento da trigonometria plana foi necessario.
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“O estudo dos triangulos esfericos na Matematicagrega vinha sendo feito desde os ultimospitagoricos. O proprio Euclides, que viveu emtorno de 300 a.C., em um de seus trabalhos, oFenomenos, estudou a Geometria Esferica.Aproximadamente em 20 a.C., Teodosio compilouo que os gregos conheciam sobre o assunto emseu livro Sobre a Esfera” ([DO CARMO], pg 101)
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ConsideracoesFinais
Muita coisa foi feita nessa parte inicial da trigonometria, comopor exemplo:
Estimativas comparativas da distancia da terra a lua e daterra ao sol (Aristarco de Samos, 300 a.C.);
Raio da terra (Eratostenes, 250 a.C.);
Estimativas para o numero π;
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Muita coisa foi feita nessa parte inicial da trigonometria, comopor exemplo:
Estimativas comparativas da distancia da terra a lua e daterra ao sol (Aristarco de Samos, 300 a.C.);
Raio da terra (Eratostenes, 250 a.C.);
Estimativas para o numero π;
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Muita coisa foi feita nessa parte inicial da trigonometria, comopor exemplo:
Estimativas comparativas da distancia da terra a lua e daterra ao sol (Aristarco de Samos, 300 a.C.);
Raio da terra (Eratostenes, 250 a.C.);
Estimativas para o numero π;
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ConsideracoesFinais
Hiparco de Niceia (em torno de 120 a.C.) e considerado o“pai” da Trigonometria.
O pouco que se sabe sobre ele e devido a ClaudioPtolomeu (em torno de 150 a.C.) que cita resultados deHiparco em seus trabalhos.
Esta epoca e considerada o apice da Trigonometria devidoao Almagesto, de Ptolomeu, que tem por objetivodescrever matematicamente o funcionamento do sistemasolar, ainda sob a teoria geocentrica.
Depois de Hiparco, Menelao de Alexandria (100 a.C.)apresenta varios resultados sobre triangulos esfericos emseu livro Geometria Esferica.
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Hiparco de Niceia (em torno de 120 a.C.) e considerado o“pai” da Trigonometria.
O pouco que se sabe sobre ele e devido a ClaudioPtolomeu (em torno de 150 a.C.) que cita resultados deHiparco em seus trabalhos.
Esta epoca e considerada o apice da Trigonometria devidoao Almagesto, de Ptolomeu, que tem por objetivodescrever matematicamente o funcionamento do sistemasolar, ainda sob a teoria geocentrica.
Depois de Hiparco, Menelao de Alexandria (100 a.C.)apresenta varios resultados sobre triangulos esfericos emseu livro Geometria Esferica.
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Hiparco de Niceia (em torno de 120 a.C.) e considerado o“pai” da Trigonometria.
O pouco que se sabe sobre ele e devido a ClaudioPtolomeu (em torno de 150 a.C.) que cita resultados deHiparco em seus trabalhos.
Esta epoca e considerada o apice da Trigonometria devidoao Almagesto, de Ptolomeu, que tem por objetivodescrever matematicamente o funcionamento do sistemasolar, ainda sob a teoria geocentrica.
Depois de Hiparco, Menelao de Alexandria (100 a.C.)apresenta varios resultados sobre triangulos esfericos emseu livro Geometria Esferica.
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Hiparco de Niceia (em torno de 120 a.C.) e considerado o“pai” da Trigonometria.
O pouco que se sabe sobre ele e devido a ClaudioPtolomeu (em torno de 150 a.C.) que cita resultados deHiparco em seus trabalhos.
Esta epoca e considerada o apice da Trigonometria devidoao Almagesto, de Ptolomeu, que tem por objetivodescrever matematicamente o funcionamento do sistemasolar, ainda sob a teoria geocentrica.
Depois de Hiparco, Menelao de Alexandria (100 a.C.)apresenta varios resultados sobre triangulos esfericos emseu livro Geometria Esferica.
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ConsideracoesFinais
A trigonometria se espalhou entre gregos, hindus e arabes,motivado por suas aplicacoes a Astronomia.
Com a expansao maritma europeia, a trigonometria passoua ser usada em cartografia e topografia.
Com adocao do sistema heliocentrico de Copernico, oscalculos da Astronomia Posicional precisavam ser refeitos.
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A trigonometria se espalhou entre gregos, hindus e arabes,motivado por suas aplicacoes a Astronomia.
Com a expansao maritma europeia, a trigonometria passoua ser usada em cartografia e topografia.
Com adocao do sistema heliocentrico de Copernico, oscalculos da Astronomia Posicional precisavam ser refeitos.
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A trigonometria se espalhou entre gregos, hindus e arabes,motivado por suas aplicacoes a Astronomia.
Com a expansao maritma europeia, a trigonometria passoua ser usada em cartografia e topografia.
Com adocao do sistema heliocentrico de Copernico, oscalculos da Astronomia Posicional precisavam ser refeitos.
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Sumario
1 Um pouco de Historia...
2 O que e um triangulo?
3 Geodesicas
4 Trigonometria EsfericaElementos de um triangulo esfericoAlguns resultados sobre os triangulos esfericosAplicacao
5 Consideracoes Finais
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ConsideracoesFinais
“Dados tres pontos nao colineares, se ligarmosesses pontos atraves de segmentos de reta, afigura obtida e um triangulo”.
Mas por que ligar os pontos atraves de segmentosde retas e nao por arcos de circunferencia, ouparabolas?
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“Dados tres pontos nao colineares, se ligarmosesses pontos atraves de segmentos de reta, afigura obtida e um triangulo”.
Mas por que ligar os pontos atraves de segmentosde retas e nao por arcos de circunferencia, ouparabolas?
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Figura: Por que os triangulos tem como lados segmentos de reta?
Uma das razoes e para que tenhamos uma definicaoconsistente;
Dados dois pontos, existe um so segmento de reta que osune, enquanto que arcos de cirfunferencia ou parabola,temos infinitos.
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Figura: Por que os triangulos tem como lados segmentos de reta?
Uma das razoes e para que tenhamos uma definicaoconsistente;
Dados dois pontos, existe um so segmento de reta que osune, enquanto que arcos de cirfunferencia ou parabola,temos infinitos.
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Sumario
1 Um pouco de Historia...
2 O que e um triangulo?
3 Geodesicas
4 Trigonometria EsfericaElementos de um triangulo esfericoAlguns resultados sobre os triangulos esfericosAplicacao
5 Consideracoes Finais
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ConsideracoesFinais
Se a menor distancia entre dois pontos e uma reta entao,para irmos de Sobral a Joanesburgo, na Africa do Sul,devemos comecar a cavar um tunel?
A trajetoria de um aviao ligando as duas cidades,acompanha a geometria do globo.
Dentre as inumeras possibilidades, existe uma queminimiza distancia. Esta e chamada geodesica.
No plano, as geodesicas sao as retas. Elas minimizam adistancia se considerarmos a superfıcie plana.
Ja sobre uma superfıcie esferica, nao existem retas. Asgeodesicas sao os cırculos maximos.
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Se a menor distancia entre dois pontos e uma reta entao,para irmos de Sobral a Joanesburgo, na Africa do Sul,devemos comecar a cavar um tunel?
A trajetoria de um aviao ligando as duas cidades,acompanha a geometria do globo.
Dentre as inumeras possibilidades, existe uma queminimiza distancia. Esta e chamada geodesica.
No plano, as geodesicas sao as retas. Elas minimizam adistancia se considerarmos a superfıcie plana.
Ja sobre uma superfıcie esferica, nao existem retas. Asgeodesicas sao os cırculos maximos.
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Se a menor distancia entre dois pontos e uma reta entao,para irmos de Sobral a Joanesburgo, na Africa do Sul,devemos comecar a cavar um tunel?
A trajetoria de um aviao ligando as duas cidades,acompanha a geometria do globo.
Dentre as inumeras possibilidades, existe uma queminimiza distancia. Esta e chamada geodesica.
No plano, as geodesicas sao as retas. Elas minimizam adistancia se considerarmos a superfıcie plana.
Ja sobre uma superfıcie esferica, nao existem retas. Asgeodesicas sao os cırculos maximos.
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Se a menor distancia entre dois pontos e uma reta entao,para irmos de Sobral a Joanesburgo, na Africa do Sul,devemos comecar a cavar um tunel?
A trajetoria de um aviao ligando as duas cidades,acompanha a geometria do globo.
Dentre as inumeras possibilidades, existe uma queminimiza distancia. Esta e chamada geodesica.
No plano, as geodesicas sao as retas. Elas minimizam adistancia se considerarmos a superfıcie plana.
Ja sobre uma superfıcie esferica, nao existem retas. Asgeodesicas sao os cırculos maximos.
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Se a menor distancia entre dois pontos e uma reta entao,para irmos de Sobral a Joanesburgo, na Africa do Sul,devemos comecar a cavar um tunel?
A trajetoria de um aviao ligando as duas cidades,acompanha a geometria do globo.
Dentre as inumeras possibilidades, existe uma queminimiza distancia. Esta e chamada geodesica.
No plano, as geodesicas sao as retas. Elas minimizam adistancia se considerarmos a superfıcie plana.
Ja sobre uma superfıcie esferica, nao existem retas. Asgeodesicas sao os cırculos maximos.
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Aplicacao
ConsideracoesFinais
Assim, podemos definir o triangulo (no plano) da seguinteforma:
“Dados tres pontos nao colineares, se ligarmosesses pontos atraves de geodesicas, a figuraobtida e um triangulo”.
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ConsideracoesFinais
Generalizacao da definicao de Triangulos
Com a definicao de geodesica, podemos definir triangulosem outra superfıcies alem de planos.
Uma definicao mais geral de colinearidade e a seguinte:
“tres ou mais pontos sao colineares se todos esses pontosestao sobre uma mesma geodesica”.
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ConsideracoesFinais
Generalizacao da definicao de Triangulos
Com a definicao de geodesica, podemos definir triangulosem outra superfıcies alem de planos.
Uma definicao mais geral de colinearidade e a seguinte:
“tres ou mais pontos sao colineares se todos esses pontosestao sobre uma mesma geodesica”.
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Generalizacao da definicao de Triangulos
Com a definicao de geodesica, podemos definir triangulosem outra superfıcies alem de planos.
Uma definicao mais geral de colinearidade e a seguinte:
“tres ou mais pontos sao colineares se todos esses pontosestao sobre uma mesma geodesica”.
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ConsideracoesFinais
Generalizacao da definicao de Triangulos
Definicao (Triangulo em uma superfıcie S)
Dada uma superfıce S, um triangulo em S e a curva (contidaem S) determinada pela ligacao de tres pontos nao colinearesatraves de geodesicas.
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1 Um pouco de Historia...
2 O que e um triangulo?
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4 Trigonometria EsfericaElementos de um triangulo esfericoAlguns resultados sobre os triangulos esfericosAplicacao
5 Consideracoes Finais
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ConsideracoesFinais
Figura: Triangulo Esferico
Quando a superfıcie considerada for uma esfera, ostriangulos sao chamados triangulos esfericos.
Apesar de a Terra nao ser exatamente um esfera, as leisda trigonometria esferica dao uma aproximacaosatisfatoria para o calculo de distancias.
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Figura: Triangulo Esferico
Quando a superfıcie considerada for uma esfera, ostriangulos sao chamados triangulos esfericos.
Apesar de a Terra nao ser exatamente um esfera, as leisda trigonometria esferica dao uma aproximacaosatisfatoria para o calculo de distancias.
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“A trigonometria esferica e a irma mais velha datrigonometria plana” [MORITZ]
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Elementos deum trianguloesferico
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ConsideracoesFinais
Figura: Elementos de um triangulo esferico.
Os vertices sao os pontos que determinam o trianguloesferico.
Os lados sao os arcos de geodesica que ligam os verticesentre si.
Cada vertice do triangulo determina um angulo interno.
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Aplicacao
ConsideracoesFinais
Figura: Elementos de um triangulo esferico.
Os vertices sao os pontos que determinam o trianguloesferico.
Os lados sao os arcos de geodesica que ligam os verticesentre si.
Cada vertice do triangulo determina um angulo interno.
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Aplicacao
ConsideracoesFinais
Figura: Elementos de um triangulo esferico.
Os vertices sao os pontos que determinam o trianguloesferico.
Os lados sao os arcos de geodesica que ligam os verticesentre si.
Cada vertice do triangulo determina um angulo interno.
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ConsideracoesFinais Figura: O lado de um triangulo esferico e definido pelo angulo do
setor circular determinado por dois vertices e o centro da esfera.
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ConsideracoesFinais
Teorema
Se A,B,C representam os angulos internos de um trianguloesferico, entao
(i) A + B < C + π
(ii) π < A + B + C < 3π
Teorema
Se a, b, c representam os lados de um triangulo esferico, entao(i) a + b > c
(ii) 0 < a + b + c < 2π
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Teorema
Se A,B,C representam os angulos internos de um trianguloesferico, entao
(i) A + B < C + π
(ii) π < A + B + C < 3π
Teorema
Se a, b, c representam os lados de um triangulo esferico, entao(i) a + b > c
(ii) 0 < a + b + c < 2π
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ConsideracoesFinais
Definicao (Excesso do Triangulo Esferico)
Sejam A,B,C os angulos internos de um triangulo esferico. Adiferenca (em radianos) E = A + B + C − π e chamadaexcesso do triangulo esferico.
Teorema (Teorema de Girard)
A area de um triangulo sobre uma esfera de raio R cujosangulos internos sao A,B,C e dada por
R2E
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Teorema (Lei dos Cossenos)
Sejam A,B,C os vertices de um triangulo esferico e a, b, c osrespectivos lados opostos. Entao
cos a = cos b. cos c + senb.senc . cos A
Teorema (Teorema de Pitagoras para triangulos esfericos)
Sejam A,B,C os vertices de um triangulo esferico e a, b, c osrespectivos lados opostos. Se um dos vertices tem um anguloreto, digamos C, entao
cos a = cos b. cos c
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ConsideracoesFinais
Teorema (Lei dos senos)
Sejam A,B,C os vertices de um triangulo esferico e a, b, c osrespectivos lados opostos. Entao
senA
sena=
senB
senb=
senC
senc
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TrigonometriaEsferica
MarcioNascimento
Um pouco deHistoria...
O que e umtriangulo?
Geodesicas
TrigonometriaEsferica
Elementos deum trianguloesferico
Algunsresultados sobreos triangulosesfericos
Aplicacao
ConsideracoesFinais
Vamos calcular a distancia entre duas cidades sobre oglobo terrestre. Sejam A e B tais cidades onde 24018′N e133039′L sao as coordenadas de A e 36047′N e 125024′Osao as coordenadas da cidade B. O que desejamosencontrar e o tamanho do menor arco de cırculo maximoligando os dois pontos.
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Aplicacao
ConsideracoesFinais
Com os dados e a Figura, temos:
HOA = 24018′
KOB = 36047′
GOH = 133039′
GOK = 125024′
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Aplicacao
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Com os dados e a Figura, temos:
HOA = 24018′
KOB = 36047′
GOH = 133039′
GOK = 125024′
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Algunsresultados sobreos triangulosesfericos
Aplicacao
ConsideracoesFinais
Com os dados e a Figura, temos:
HOA = 24018′
KOB = 36047′
GOH = 133039′
GOK = 125024′
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Aplicacao
ConsideracoesFinais
Com os dados e a Figura, temos:
HOA = 24018′
KOB = 36047′
GOH = 133039′
GOK = 125024′
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Geodesicas
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Elementos deum trianguloesferico
Algunsresultados sobreos triangulosesfericos
Aplicacao
ConsideracoesFinais
Desta forma
NA = 900 − 24018′ = 65042′
NB = 900 − 36047′ = 53013′
HK = 100057′
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Aplicacao
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Desta forma
NA = 900 − 24018′ = 65042′
NB = 900 − 36047′ = 53013′
HK = 100057′
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Aplicacao
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Desta forma
NA = 900 − 24018′ = 65042′
NB = 900 − 36047′ = 53013′
HK = 100057′
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Como o plano determinado por OHKe paralelo ao plano tangente a esferano ponto N, segue que o angulo Ninterno do triangulo esferico NAB eigual ao angulo HOK , ou seja,
N = 100057′
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ConsideracoesFinais
Pela Lei dos Cossenos, temos:
cos AB = cos NA. cos NB + senNA.senNB. cos N
Feitas as contas, encontramosAB sendo aproximadamente83049′ que e cerca de 83, 820;
Supondo que o raio da terra e deaproximadamente 6371Km,entao essa distancia em km e deaproximadamente 9320Km.
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Pela Lei dos Cossenos, temos:
cos AB = cos NA. cos NB + senNA.senNB. cos N
Feitas as contas, encontramosAB sendo aproximadamente83049′ que e cerca de 83, 820;
Supondo que o raio da terra e deaproximadamente 6371Km,entao essa distancia em km e deaproximadamente 9320Km.
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Sumario
1 Um pouco de Historia...
2 O que e um triangulo?
3 Geodesicas
4 Trigonometria EsfericaElementos de um triangulo esfericoAlguns resultados sobre os triangulos esfericosAplicacao
5 Consideracoes Finais
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TrigonometriaEsferica
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Um pouco deHistoria...
O que e umtriangulo?
Geodesicas
TrigonometriaEsferica
Elementos deum trianguloesferico
Algunsresultados sobreos triangulosesfericos
Aplicacao
ConsideracoesFinais
Consideracoes Finais
Muitos outros pontos podem ser explorados:
O estudo da posicao dos corpos celestes;
O estudo da trigonometria de outras superfıcies;
O estudo de polıgonos na esfera e em outras superfıcies.
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Algunsresultados sobreos triangulosesfericos
Aplicacao
ConsideracoesFinais
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Muitos outros pontos podem ser explorados:
O estudo da posicao dos corpos celestes;
O estudo da trigonometria de outras superfıcies;
O estudo de polıgonos na esfera e em outras superfıcies.
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Aplicacao
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Muitos outros pontos podem ser explorados:
O estudo da posicao dos corpos celestes;
O estudo da trigonometria de outras superfıcies;
O estudo de polıgonos na esfera e em outras superfıcies.
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[DO CARMO] DO CARMO, M. P., MORGADO, A. C., WAGNER,E. Trigonometria-Numeros Complexos. 3a Ed. SBM. Rio deJaneiro, 2005.
[DO CARMO2] DO CARMO, M. P. Geometria Diferencial deCurvas e Superfıcies. 2a Ed. SBM. Rio de Janeiro, 2006.
[MORITZ] MORITZ, R. F. A Textbook on SphericalAstronomy.5a Ed. University of Washington, Nova Iorque,1913.
[SMART] SMART, W. M. Textbook on Spherical Astronomy. 6a
Ed. Cambridge University Press. 1977.
[CASEY] CASEY, J. A Treatise on Spherial Trigonometry. 2a Ed.The Royal University of Ireland. 1889.
[KELLS] KELLS, L. M., KERN, W. F., BLAND, J. R. Plane and
Spherical Trigonometry. 2a Ed. McGraw-Hill. Nova Iorque e
Londres, 1940.33 / 33