Prof. Leandro - EDOs (2011/2, TPM) - UEZOLista 1

Questao 0

Refazer os exemplos do caderno e do livro.

Questao 1

A funcao y(x) = c1 sin (2x) + c2 cos (2x), onde c1 e c2 sao constantes arbitrarias, e solucao da edo y′′ + 4y = 0?

Questao 2

A funcao y = x2 − 1 e solucao de (y′)4 + y2 = −1? Qual a ordem dessa EDO? Ela e linear ou nao-linear?

Questao 3

Verifique para cada item se a funcao dada e solucao da correspondente EDO:

(a) y′ + y = 1, y = ce−x + 1

(b) y′ = 2xy, y = cex2

(c) y′′ + y = 0, y = sinx

(d) y′ =1 − 2x

2y, y =

√x(1 − x)

Questao 4

Determine a solucao das seguintes EDOs de primeira ordem com variaveis separaveis. Onde for necessario, determinetambem a solucao do problema de valor inicial (PVI):

(a) u′ = t+1√t

, u(1) = 4.

(b)dy

du= u sinu

(c) y′ = 1 + t2 + 3t3 + ex sinx, y(0) = 1

(d) x′ =1

1 + t2

(e)dy

dx=

3x2 + 4x+ 2

2(y − 1)

Questao 5

Determine a solucao das seguintes EDOs de primeira ordem usando o metodo do fator integrante. Onde for necessario,determine tambem a solucao do PVI.

(a) y′ − y = 2te2t, y(0) = 1.

(b) y′ + 2y = 2te−2t, y(1) = 0

(c) y′ +1

ty = 3 cos (2t)

(d) ty′ + y = 3t2

(e) t3y′ + 4t2y = e−t

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Questao 6

Determine a solucao geral das seguintes EDOs de segunda ordem, usando o metodo da equacao caracterıstica.

(a) y′′ + 2y′ − 3y = 0.

(b) y′′ − 9y′ + 9y = 0

(c) y′′ + 3y′ + 2y = 0

(d) y′′ − 2y′ − 2y = 0

(e) 4y′′ − 9y = 0

Questao 7

Determine a solucao dos seguintes PVIs.

(a) y′′ + y′ − 2y = 0, com y(0) = 1 e y′(0) = 1.

(b) y′′ + 5y′ + y = 0, com y(0) = 1 e y′(0) = 0.

(c) 4y′′ − y = 0, com y(−2) = 1 e y′(−2) = −1

(d) y′′ + 3y′ = 0, com y(0) = −2 e y′(0) = 3

Questao 8

Determine o wronskiano para os seguintes pares de funcoes:

(a) e2t e e−3t/2.

(b) cos t e sin t.

(c) cos2 x e 1 + cos (2x).

Questao 9

Verifique que y1(t) = t2 e y2(t) = 1/t satisfazem a EDO

t2y′′ − 2y = 0 ,

para t > 0. Entao mostre que c1t2 +

c2t

e tambem uma solucao dessa equacao para quaisquer c1 e c2.

Questao 10

Se o wronskiano W de f e g e 3e4t, e se f(t) = e2t, determine g(t).

Questao 11

Em cada um dos itens, determine o wronskiano das equacoes diferenciais sem resolver as EDOs (use o teorema deAbel)

(a) t2y′′ − t(t+ 2)y′ + (t+ 2)y = 0

(b) x2y′′ + xy′ + (x2 − v2)y = 0

(c) (1 − x2)y′′ − 2xy′ + α(α+ 1)y = 0

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Questao 12

Determine a solucao geral das seguintes EDOs de segunda ordem. Utilize a formula de Euler para escrever as solucoesem termos de senos e cossenos. No item em que for necessario, particularize a solucao usando as condicoes iniciais.

(a) y′′ − 2y′ + 6y = 0

(b) 4y′′ + 9y = 0

(c) y′′ + y′ + 1, 25y = 0

(d) y′′ + 2y′ + 2y = 0

(e) y′′ + y = 0, com y(π/2) = 2 e y′(π/3) = −4

(f) y′′ + 4y = 0, com y(0) = 0 e y′(0) = 0

Questao 13

Uma pessoa esta infectada com o vırus chamado GRIPPIN e e medicado. No momento que inicia o tratamento(toma o comprimido) da droga Antigripin ele possui 3 milhoes do vırus que supomos, ira diminuir. A variacao daquantidade de virus Q(t) e descrita pela edo

Q

Q2 + t2dQ

dt+

t

Q2 + t2= 0 ,

onde t e o tempo em horas.

(a) Qual a quantidade de vırus Grippin, 2 horas apos a pessoa ter tomado o comprimido?

(b) O vırus Grippin se extinguira? Em caso afirmativo, depois de quanto tempo?

Questao 14

Suponha que a taxa de desintegracao de uma substancia radioativa e proporcional a quantidade de substanciaexistente em cada instante de tempo. Numa amostra de Radio 226 ha uma perda de 50 por cento em 1600 anos.

(a) Escreva a equacao diferencial que descreve o processo.

(b) Determine a constante de desintegracao da substancia

(c) Determine a quantidade da amostra que desaparece em 800 anos

(d) Em quantos anos havera apenas 1/50 da quantidade original da amostra?

Questao 15

A equacao diferencial abaixo aparece em trabalhos relacionados com acumulacao de nebulosa no sistema solar:

dx

dt=

ax56

(b−Bt)32

,

onde a, b, B sao constantes reais. Essa EDO possui variaveis separaveis, ou seja, pode ser resolvida sem anecessidade de um metodo especial. Resolva-a.

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