edos e oscilações - escola olímpica

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  • 7/25/2019 EDOs e Oscilaes - Escola Olmpica

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    Equacoes Diferenciaise

    Oscilacoes

    Escola OlmpicaGabriel O. Alves

    Revisao: Gabriel Lefundes, Pedro Alves, Felipe Guima, Iuri

    Grangeiro

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    Prefacio

    A Escola Olmpica e um projeto isento de lucros que surgiu no final de2013, fundada por Pedro Alves e Gabriel Lefundes. Inicialmente a EscolaOlmpica era um grupo no facebook que tinha como intuito proporcionar umambiente propcio a discussoes a respeito de diversas areas do conhecimento,a nvel de vestibulares, vestibulares militares, olimpadas cientficas etc. Pos-teriormente a equipe que constitui a Escola Olmpica (agora com tres novosmembros: Iuri Grangeiro, Felipe Guima e Gabriel Alves) decidiu expandir oprojeto, passando a desenvolver materiais destinados a olmpicos e estudan-

    tes do ensino medio no geral, a diferentes nveis. Deste modo, esta apostila,alem de algumas listas de exerccios ja elaboradas, e o primeiro material con-feccionado pela equipe. Esperamos, em breve, desenvolver novas apostilasdestinadas ao ensino de fsica geral, com qualidade cada vez melhor. Logoque o projeto estiver mais consolidado, esperamos tambem produzir mate-riais para outras areas, como matematica, computacao etc, assim como umsite para o projeto.

    Este trabalho em especial tem como publico alvo estudantes do primeiroe segundo ano do ensino medio que estao se preparando para as seletivas dasolimpadas internacionais de fsica (IPhO e OIbF). A primeira parte destaapostila almeja introduzir os principais conceitos de equacoes diferenciais esuas aplicacoes na fsica. As partes subsequentes tratam de equacoes dife-renciais de segunda ordem e sistemas de EDOs e os assuntos sao abordadosda mesma maneira, mas com enfoque em oscilacoes.

    A apostila foi escrita visando contextualizar os conceitos mostrados em si-tuacoes fsica e preferencialmente em questoes comuns a olimpadas cientficase provas de seletivas. As secoes opcionais estao marcadas com um asterisco(*). Essas secoes, apesar de opcionais, sao importantes e apresentam algumasferramentas e conceitos que podem ser muito uteis na resolucao de proble-mas. Recomendamos que, se possvel, elas sejam feitas. Caso o tempo depreparo do estudante seja curto, elas podem ser deixadas por ultimo, assim

    como algumas das demonstracoes matematicas.Esta versao prelimiar da apostila possui um numero de exerccios redu-

    zido, desta forma, estamos buscando aumentar esse numero com questoes dequalidade, que serao introduzidas na nova versao. Portanto, esperamos com-plementa-la com novos topicos, exerccios e exemplos adicionais nas versoesposteriores deste trabalho. Tambem e recomendavel que o leitor confira oslinks e referencias listados no final do mesmo.

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    Assim sendo, a equipe da Escola Olmpica deseja que voce se divirta du-

    rante seus estudos e sua preparacao para a seletiva das OIFs e que o materialconfeccionado por nos o auxilie. E tambem nao deixe de conferir nosso grupono facebook: https://www.facebook.com/groups/402050929927944/?fref=ts e os novos materiais que em breve serao postados. Caso voce tenhacrticas, sugestoes, duvidas, dentre outros, entre em contato conosco man-dando um e-mail para: [email protected] contate algum dosadministradores do grupo. Muito obrigado!

    - Gabriel O. Alves

    https://www.facebook.com/groups/402050929927944/?fref=tshttps://www.facebook.com/groups/402050929927944/?fref=tshttps://www.facebook.com/groups/402050929927944/?fref=tshttps://www.facebook.com/groups/402050929927944/?fref=ts
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    Conteudo

    1 Introducao as EDOs 61.1 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.1.1 Classificacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2 EDOs de primeira ordem 92.1 EDOs separaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 EDOs lineares de primeira ordem*. . . . . . . . . . . . . . . . 18

    3 EDOs de segunda ordem 24

    3.1 Equacoes na forma x + 2

    x= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Equacoes na forma x + 2x= C . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Oscilacoes amortecidas: equacoes na forma x + x + 20x= 0 . 36

    3.3.1 Amortecimento supercrtico . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.2 Amortecimento crtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.3 Amortecimento subcrtico . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3.4 Oscilacoes forcadas: equacoes na forma x + 2x= F(t) . . . . 433.5 Oscilacoes forcadas amortecidas: equacoes na forma x + x +

    2x= F(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5.1 Ressonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.5.1.1 Ressonancia em oscilacoes forcadas . . . . . . 493.5.1.2 Ressonancia em oscilacoes forcadas amortecidas 523.5.1.3 Fator de qualidade . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3.5.2 Efeitos transientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.6 O metodo dos coeficientes a determinar para EDOs de segunda

    ordem nao homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    4 Sistemas de EDOs* 604.1 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2 Solucoes de sistemas de EDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    4.2.1 Metodo dos autovetores e autovalores . . . . . . . . . . 63

    5 Oscilacoes acopladas 675.1 O metodo dos autovalores*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    5.1.1 2 corpos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1.2 3 corpos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.1.3 N corpos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    5.2 Movimento devido a um potencial U(r)* . . . . . . . . . . . . 76

    6 Exerccios 80

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    7 Apendice 85

    7.1 A formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2 Funcoes hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    8 Links e referencias 90

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    1 INTRODUCAO AS EDOS

    1 Introducao as EDOs

    As equacoes diferenciais estao presentes em diversas areas do conheci-mento, seja na matematica, na fsica, na biologia etc. Ha um especial inte-resse em seu estudo na fsica pois elas aparecem com frequencia, principal-mente em problemas relacionados a descricao do movimento de corpos. Nestetrabalho faremos uma breve introducao as equacoes diferenciais de primeirae segunda ordem e suas aplicacoes na fsica.

    1.1 Terminologia

    Primeiramente, qual e a definicao de uma equacao diferencial? Uma possveldefinicao e a seguinte:

    Definicao 1. Uma equacao diferencial e qualquer equacao que contenhaderivadas, sejam elas ordinarias ou parciais, e que as relacione com umaou mais funcoes.

    Portanto, uma equacao diferencial e uma expressao que contem uma seriede diferenciais, que se relacionam com certas funcoes, e seu ob jetivo e desco-brir qual ou quais funcoes satisfazem essa expressao em questao.

    Equacoes diferenciais sao, de certa forma, semelhantes a equacoes algebricas,contudo equacoes algebricas possuem como solucao numeros (Como 5,

    2

    etc) ou termos literais (mas que no caso, tambem nao passam de uma repre-sentacao de algum numero ou grandeza fsica). Ja as as equacoes diferenciais,ao inves de possurem simplesmente numeros como solucao, na verdade pos-suem um conjunto de funcoes que satisfazem a determinada equacao. (Comox,x2,cos x,ln xetc). Por exemplo, veja a equacao linear e a quadratica:

    x + 5 = 2 = x= 3

    ou

    (x 2)(x + 2) = 5 = x= 3Veja que as equacoes algebricas acima tem como solucoes numeros. Agora

    imagine uma equacao diferencial como a seguinte:

    dy

    dx=cos(x)

    Nesse caso, tal equacao tem como solucao qualquer funcao na forma:

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    1.1 Terminologia

    y(x) = sin x + C

    Essa equacao pode ser interpretada da seguinte maneira: Quais sao aspossveis funcoes y(x) tal que dy

    dx = cos x? Voce deve se lembrar que a

    derivada de sin x a respeito de x e cos x, portanto, a solucao da equacaodiferencial apresentada deve ser algo na forma:

    y(x) = sin x + C

    Onde C e uma constante. Veja bem, se voce derivar a expressao acimatermo a termo, vera que a derivada de sin x e cos xe que a derivada de C, o

    termo constante, e 0. Portanto, fica claro que:

    d

    dx(sin x + C) = cos x

    Deste modo, qualquer funcao na forma sin x+ C e solucao da equacaodiferencial do nosso exemplo.

    1.1.1 Classificacoes

    As equacoes diferenciais podem ser classificadas quanto a:

    Ordem: A ordem de uma equacao diferencial e igual a maior ordemdentre as derivadas presentes na equacao. Por exemplo:

    d3y

    dx3+ 2

    dy

    dx= 5x (1.1.1)

    A ordem desta equacao e 3, pois a derivada de maior ordem e a quepossui ordem tres.

    Linearidade: Uma equacao diferencial e dita linear se e da forma:

    an(x)dny

    dxn+ an1(x)

    dn1y

    dxn1 + + a1(x) d

    1y

    dx1+ a0(x)y = p(x) (1.1.2)

    Por exemplo,a equacao:

    d2y

    dx2+

    dy

    dx+ y=x

    E uma equacao diferencial linear de segunda ordem. Ja a equacao:

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    1 INTRODUCAO AS EDOS

    y2 dydx

    + y3 = 3x

    E uma equacao diferencial nao-linear de primeira ordem. (Veja queque ha um coeficiente y 2 acompanhando a derivada de primeira ordeme que o termo y esta elevado ao cubo).

    Tipo: Esta classificacao se refere ao tipos de derivadas presentes naequacao diferencial:

    Ordinaria: Se uma equacao diferencial possui somente derivadas

    ordinarias, isto e, derivadas com respeito a somente uma variavelindependente, ela e considerada uma equacao diferencial ordinaria(EDO), por exemplo:

    dy

    dx+ 3xy= 1

    Parcial: Se uma equacao diferencial possui derivadas parciais, istoe, se depende de duas ou mais variaveis independentes ela e classi-ficada como uma equacao diferencial parcial (EDP), por exemplo:

    y fx

    + xfy

    = sin(xy)

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    2 EDOs de primeira ordem

    2.1 EDOs separaveis

    Definicao 2. Uma EDO que possua a seguinte forma:

    dy

    dx=P(y)Q(x) (2.1.1)

    E chamada de EDO separavel.

    Elas recebem este nome pois para resolve-las e necessario agrupar ostermos contendo y de um lado da equacao e os termos contendo x do outrolado, posteriormente basta integrar para obter a solucao desejada.

    Teorema 1. A solucao de uma EDO separavel e da forma: 1

    P(y)dy =

    Q(x)dx (2.1.2)

    Exemplo 1 : Decaimento radioativo

    Sabendo que a taxa de decaimento de uma substancia radioativa e dire-tamente proporcional a quantidade do numero de atomos presentes naqueleinstante:

    dN

    dt = kN (2.1.3)

    Encontre o numero de atomos radioativos em funcao do tempo, N(t),sabendo que k e uma constante.

    Solucao: Veja que a equacao diferencial apresentada no exerccios possuia mesma forma da (2.1.1), portanto, iremos simplesmente separar as variaveise integrar:

    dN

    N = kdt

    Integrando: N(t)N0

    1

    NdN= k

    tt0

    dt

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    2 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM

    OndeN0e o numero inicial de atomos da substancia et0e o tempo inicial.

    No caso consideraremos que t0 = 0. Logo:

    ln N(t) ln N0= lnN(t)N0

    = kt = eln N(t)N0 = N(t)N0

    =ekt

    Portanto a resposta e:

    N(t) =N0ekt (2.1.4)

    Exemplo 2: (Envolve conhecimentos relacionados a circuitos eletricos,pule este exemplo caso ainda nao tenha estudado o assunto) Um circuito RLe constitudo de um indutor de indutancia L e um resistor de resistencia R,alimentados por um gerador CC, como mostra a figura:

    V

    R

    L

    Figura 1: Circuito RL

    Encontre a correntei(t) no circuito, sabendo que no instante inicialt0= 0a corrente era nula i(0) = 0.

    Solucao: Para resolver este problema precisamos recorrer a 2a lei de Kir-chhoff: a soma algebrica das diferencas de potencial em um percurso fechado(uma malha), e nula. A diferenca de potencial em cada componente e:

    Gerador: V

    Resistor:Ri Indutor:Ldi

    dt

    Portanto, aplicando a segunda lei de Kirchhoff temos:

    V Ri L didt

    = 0 (2.1.5)

    Agora iremos separar as variaveis:

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    2.1 EDOs separaveis

    L didt

    =V Ri

    di

    V Ri = 1

    Ldt (2.1.6)

    ii0

    di

    V Ri = tt0

    1

    Ldt (2.1.7)

    Para resolver a integral do lado esquerdo da equa cao iremos fazer asseguintes substituicoes:

    u= V Rie

    du

    di = R = di= 1

    Rdu

    Logo:

    1

    R u

    u0

    du

    u =

    1

    L(t

    t

    0) (2.1.8)

    Resolvendo a integral:

    ln u

    u0= R

    L(t t0)

    u

    u0=e

    RL

    (tt0)

    Como u= V Ri:

    V Ri= (V Ri0)eRL (tt0)

    Mas de acordo com as equacoes iniciais t0= 0 e i(0) =i0= 0. Portanto:

    V Ri= V eRL t

    A corrente que percorre o circuito e, portanto:

    i(t) =V

    R(1 eRL t) (2.1.9)

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    2 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM

    Figura 2: Grafico representando o processo de carga do circuito e a corrente (Em mili-amperes) em funcao to tempo para V = 5V e R= 1000 . Veja que a corrente converge

    para i = 5mAconformet . Isso se deve ao fato de que em corrente contnua o indu-tor se comporta como um curto-circuito ao ficar carregado, nessa situa cao o circuito secomporta como se existisse somente a resistencia R e a bateria. Nesse caso, aplicando aprimeira lei de Ohm voce vera que i = V

    R = 5

    1000= 5mA.

    Exemplo 3: (Irodov, 1981) A velocidade de uma partcula se movendo nadirecao positiva do eixo xvaria de acordo com:

    v(x) =

    x

    Onde e uma constante positiva, alem disso considere que quando t = 0,

    x= 0. Obtenha:

    a) A aceleracao e a velocidade do corpo em funcao do tempo.

    b) A velocidade media do corpo apos ele ter percorrido uma distancia s.

    Solucao:

    a) A velocidade do corpo e dada por v(x) = x12 , e sabemos que a ace-

    leracao e dada por:

    Escola Olmpica 12

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    2.1 EDOs separaveis

    a= dvdt

    Lembre-se que pela regra de cadeia a expressao para a aceleracao podeser escrita como:

    a=dx

    dt.dv

    dx (2.1.10)

    Vamos indentificar cada termo da expressao anterior. Sabemos que:

    dx

    dt

    =v = x12 (2.1.11)

    E derivando a expressao anterior conclumos que:

    dv

    dx=

    1

    2x

    12 (2.1.12)

    Substituindo a (2.1.11) e a (2.1.12) na (2.1.10) obtemos:

    a= x12 .

    1

    2x

    12

    Logo:

    a=2

    2 (2.1.13)

    Para obter a velocidade a partir da aceleracao basta fazer o seguinte:

    a=dv

    dt

    Logo:

    a=2

    2 =

    dv

    dt = dv=

    2

    2dt (2.1.14)

    vv0

    dv=2

    2

    tt0

    dt (2.1.15)

    Como v0= 0 e t0= 0.

    v(t) =2

    2 t (2.1.16)

    b) Agora que obtemos a funcao v(t) podemos descobrir a velocidade mediado corpo a partir da definicao de valor medio de uma funcao:

    Escola Olmpica 13

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    2 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM

    vm=

    tt0

    vdt

    t t0 (2.1.17)

    Como t t0 =t ett0

    vdt = 2t2

    4 :

    vm=2t2

    4t =

    2t

    4 (2.1.18)

    Para calcular t em termos da distancia percorrida s podemos usar x(t),que e:

    x(t) =

    tt0

    vdt =2t2

    4 (2.1.19)

    Como x(t) =s:

    s=2t2

    4 = t= 2

    s

    (2.1.20)

    Substituindo na (2.1.18):

    vm=

    s

    2 (2.1.21)

    Exemplo 4 : Uma bola em queda sofre uma forca resistiva Fr que e di-retamente proporcional a sua velocidade v(t), ou seja, Fr = bv. Encontre avelocidade v(t) da bola em funcao do tempo, alem disso encontre a veloci-dade terminal vt para diferentes valore de b (Use b = 0.4,b = 0.5,b = 0.6 eb= 0.7) por fim, encontre sua altura z(t) em funcao do tempo, sabendo queas unicas forcas que agem sobre ela sao a de atracao gravitacional e a forca

    resistivaFr. Utilize como condicao inicial que v(0) = 0, z(0) = 0 e considereque m= 0.5kg e que g= 9.8m/s2.

    Solucao: Primeiramente iremos assumir que a forca resistiva e da forma:

    Fr =bv (2.1.22)

    Ondeb e uma constante. Portanto, identificando todas as forcas que agemsobre o corpo:

    Escola Olmpica 14

  • 7/25/2019 EDOs e Oscilaes - Escola Olmpica

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    2.1 EDOs separaveis

    Obtemos:

    ma= mg bv = dvdt

    =g bm

    v (2.1.23)

    Essa equacao e separavel, portanto: vv0

    1

    g bm

    vdv=

    tt0

    dt (2.1.24)

    Fazendo a substituicao:

    u= g b

    mv

    e

    du

    dv =

    bm

    = dv= mb

    du

    A integral passa a ser:

    mb

    1

    udu=

    tt0

    dt (2.1.25)

    Resolvendo:

    mb

    [ln u]

    uu0

    =t (2.1.26)

    Trocandoupor g bm

    v:ln

    g b

    mv

    vv0

    = bm

    t (2.1.27)

    Resolvendo a expressao anterior e lembrando que v0 = 0:

    Escola Olmpica 15

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    2 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM

    ln

    g bm

    v

    ln g= bm

    t (2.1.28)

    Simplificando a expressao anterior obtemos:

    v(t) =mg

    b

    1 e bm t

    (2.1.29)

    Para encontrar z(t) basta integrar a expressao anterior:

    dz

    dt =v = z(t) = t

    0

    mg

    b1 e bm t dt

    Resolvendo a integral:

    z(t) =mg

    b t gm

    2

    b2 e

    bm

    t + C (2.1.30)

    Onde C e uma constante. Utilizando a condicao inicial z(0) = 0 encon-tramos:

    C= gm2

    b2

    Portanto:

    z(t) =mg

    b t gm

    2

    b2

    e

    bm

    t 1

    (2.1.31)

    Agora, para encontrar as velocidades terminais e simples. O corpo atingea velocidade terminal quando a forca resistiva se iguala a forca peso, portanto:

    mg=bv = v=mg

    b (2.1.32)

    Substituindo b pelos valores dados no enunciado as velocidades terminaisencontradas sao:

    vt1 = 12.81ms1, vt2 = 9.8ms

    1, vt3 = 8.16ms1, vt4 = 7ms

    1

    E os graficos obtidos para v vs. t sao:

    Escola Olmpica 16

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    2.1 EDOs separaveis

    Figura 3: Grafico da velocidade em funcao do tempo para diferentes valores de b.

    Escola Olmpica 17

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    2 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM

    2.2 EDOs lineares de primeira ordem*

    Nesta secao iremos tratar de EDOs de primeira ordem que possuem umaforma mais geral. Apesar de serem menos recorrentes que as EDOs separaveisainda sao frequentes e e util estuda-las.

    Definicao 3. Uma equacao diferencial ordinaria linear de primeira or-dem possui a seguinte forma:

    dy

    dx+ P(x)y=Q(x) (2.2.1)

    Teorema 2. A solucao de uma equacao diferencial ordinaria linear deprimeira ordem toma a forma:

    y(x) =

    (x)Q(x)dx + C

    (x) (2.2.2)

    Onde(x) e uma funcao que recebe o nome de fator integrante e edefinida por:

    (x) =eP(x)dx (2.2.3)

    OndeC e uma constante.

    Segue a demonstracao:

    Demonstracao. Suponha que iremos multiplicar a equacao:

    dy

    dx+ P(x)y=Q(x) (2.2.4)

    Por uma funcao qualquer (x), a (2.2.4) passa a ser:

    (x)dy

    dx+ (x)P(x)y = (x)Q(x) (2.2.5)

    E tambem suponha que (x) satisfaz a seguinte relacao:

    (x)P(x) =d((x))

    dx =(x) (2.2.6)

    Substituindo (x)P(x) por (x):

    Escola Olmpica 18

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    19/92

    2.2 EDOs lineares de primeira ordem*

    (x) dydx

    + (x)y= (x)Q(x) (2.2.7)

    Agora, perceba que:

    (x)dy

    dx+ (x)y= (x)

    d(y(x))

    dx +

    d((x))

    dx y(x) (2.2.8)

    Agora, lembre-se da regra da derivada de produtos: qual e a deviradade (x)y(x) com respeito a x?

    d(y(x)(x))

    dx =(x)

    d(y(x))

    dx +

    d((x))

    dx y(x) (2.2.9)

    Que e basicamente o lado direito da (2.2.8). Portanto a (2.2.4) podeser escrita como:

    d(y(x)(x))

    dx =(x)Q(x) (2.2.10)

    Deste modo:

    y(x)(x) =

    (x)Q(x)dx + c

    Onde crepresenta uma constante. Por fim:

    y(x) =

    (x)Q(x)dx + c

    (x) (2.2.11)

    E como encontrar (x)?Definimos que (x) deve obedecer se seguinte relacao:

    (x) =(x)P(x) = d((x))dx

    1

    (x)=P(x)

    Lembre-se que pela regra de cadeia:

    d(ln (x))dx

    = 1(x)

    d((x))dx

    (2.2.12)

    Portanto:

    d(ln (x))

    dx =P(x) (2.2.13)

    Integrando:

    Escola Olmpica 19

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    20/92

    2 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM

    ln (x) = P(x)dx + a (2.2.14)Onde a e uma constante. Portanto:

    (x) =eP(x)dx+a =eae

    P(x)dx (2.2.15)

    Como ea tambem e uma constante, podemos chama-lo de k, entao:

    (x) =keP(x)dx (2.2.16)

    Contundo, substituindo o termo anterior na (2.2.11) obtemos, apos

    simplificar a expressao:

    y(x) =

    (x)Q(x)dx + c/k

    (x) (2.2.17)

    Reescrevendo a constante c/k como C obtemos:

    y(x) =

    (x)Q(x)dx + C

    (x) (2.2.18)

    Com fator integrante:

    (x) =eP(x)dx

    (2.2.19)

    Exemplo 5: Resolva a seguinte EDO:

    dy

    dx+ 4x3y = 2x7 (2.2.20)

    Dada a condicao inicial y(0) = 3/2.

    Solucao: A primeira coisa que devemos fazer e encontrar o fator inte-grante, entao e necessario identificarP(x) e Q(x):

    dy

    dx+ 4x3

    P(x)

    y= 2x7Q(x)

    (2.2.21)

    Portanto temos que: P(x) = 4x3

    Q(x) = 2x7

    Agora para encontrar o fator integrante usamos a (2.2.3)

    Escola Olmpica 20

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    21/92

    2.2 EDOs lineares de primeira ordem*

    (x) =eP(x)d(x) =e

    4x3dx =ex4

    Portanto a partir da (2.2.2) obtemos:

    y(x) =

    (x)Q(x)dx + C

    (x) =

    2

    ex4x7dx + C

    ex4 (2.2.22)

    Como calcular esta integral? Reescrevendo como: ex

    4

    x7dx=

    ex

    4

    x4(x3dx)

    E fazendo a substituicao u = x4 o processo se torna um pouco maissimples:

    u= x4

    dudx

    = 4x3 = x3dx= du4

    Substituindo na integral obtemos: ex

    4

    x7dx=

    ex

    4

    x4(x3dx) =1

    4

    ueudu (2.2.23)

    Agora, basta integrar por partes. Sabemos que: f(x)g(x)dx= f(x)g(x)

    f(x)g(x)dx

    Adotanto: g(x) =eu = g(x) =euf(x) =u = f(x) = 1

    Chegamos em:

    1

    2

    ueudu=

    1

    2

    ueu

    eudu

    =

    eu

    4(u 1) = e

    x4

    4 (x4 1)

    Portanto: (x)Q(x)dx=

    ex

    4

    x7dx=ex

    4

    4 (x4 1) (2.2.24)

    A (2.2.22) se torna:

    Escola Olmpica 21

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    22/92

    2 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM

    y(x) =2ex44 (x

    4 1) + Cex4

    (2.2.25)

    Simplificando:

    y(x) =x4

    21

    2+ Cex

    4

    (2.2.26)

    E pela condicao inicial y(0) = 3/2 encontramos C = 2. Deste modo asolucao final e:

    y(x) =x4

    2 1

    2+ 2ex4

    (2.2.27)

    O metodo anterior em alguns casos pode ser um pouco mais dispendioso eexige a memorizacao de mais formulas. Uma estrategia alternativa que vocepode adotar e a que sera mostrada no exemplo seguinte.

    Exemplo 6: Movimento de uma partcula em um superfcies esferica (Se-letiva IPhO 2012 - Adaptada)

    O movimento de uma partcula pontual em uma superfcie esferica concavapode ser descrito pela seguinte equacao diferencial:

    d(2)

    d 22 = 2g

    R(sin cos ) (2.2.28)

    Ondeg e uma constante e e uma constante. Resolva a equacao diferen-cial para sua velocidade angular (). Considere que o angulo inicial 0 e 0.

    Solucao: Primeiramente iremos realizar a seguinte substituicao:

    () = (())2

    Portanto a EDO e reescrita como:

    d()

    d 2= 2g

    R(sin cos ) (2.2.29)

    Agora iremos multiplica-la por uma funcao f() = e2, que e o fatorintegrante da EDO:

    e2.d()

    d 2e2.= e2 2g

    R(sin cos ) (2.2.30)

    Escola Olmpica 22

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    2.2 EDOs lineares de primeira ordem*

    Agora, perceba que:

    df

    d =f() = 2e2

    Reescrevendo a equacao anterior em termos de f e f():

    fd

    d+

    df

    d= e2 2g

    R(sin cos ) (2.2.31)

    Veja que o lado da expressao e basicamente o resultado obtido ao derivaro produto f()():

    d(()f())d

    =fdd

    +dfd

    = e2.d()

    d 2e2. (2.2.32)

    Portanto e possvel reescrever a (2.2.30) como:

    d(f()()) = e2 2gR

    (sin cos )d (2.2.33)Integrando:

    f()() =

    0

    e2 2gR

    (sin cos )d (2.2.34)

    Como 0 = 0:

    f()() = e2

    1 + 42[(1 22)cos + 3 sin ] (2.2.35)

    Como f() =e2:

    () = 11 + 42

    [(1 22)cos + 3 sin ] (2.2.36)

    Portanto:

    () =

    11 + 42

    [(1 22)] cos + 3 sin ] (2.2.37)

    Veja que esta solucao nao utilizou nenhuma das formulas mostradas nestasecao, na verdade, em muitos casos a abordagem adotada nesse exerccoacaba sendo mais rapida e simples. (Detalhe: Veja que ao adotar uma funcaoQ() =2g

    R(sin cos ) e P() =2 e possvel resolve-la pelo mesmo

    metodo do exemplo anterior).

    Escola Olmpica 23

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    24/92

    3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM

    3 EDOs de segunda ordem

    As equacoes diferenciais ordinarias de segunda ordem costumam aparecerfrequentemente em problemas fsicos, principalmente naqueles relacionadosa oscilacoes e potenciais, deste modo, saber trabalhar com EDOs de segundaordem e de suma importancia.

    Definicao 4. Uma equacao diferencial linear de segunda ordem com co-eficientes constantes possui a seguinte forma:

    a

    d2x

    dt2 + b

    dx

    dt + cx= F(t) (3.0.38)Ondea,b ec representam constantes.

    A seguinte notacao tambem e frequentemente encontrada na literatura:

    ax+ bx+ cx= F(t) (3.0.39)

    E a mais comum em problemas de fsica, que tambem sera a equacao coma qual trabalharemos, e:

    x + x + 2x= F(t) (3.0.40)

    Onde x= dxdt

    , x= d2x

    dt2 e e sao constantes. E importante notar que o

    na equacao representa a frequencia angulardo movimento, uma variavelimportante em problemas envolvendo oscilacoes e representa um fator deamortecimento, termo que sera explicada mais adiante.

    As EDOs de segunda ordem desse tipo tambem apresentam uma propri-edade importante quando sao homogeneas, isto e, quando F(t) = 0:

    Teorema 3(Princpio da superposicao). Sendox1(t)ex2(t)duas solucoeslinearmente independentes da EDO homogenea:

    ad2x

    dt2 + b

    dx

    dt + cx= 0 (3.0.41)

    A combinacao linear das suas solucoes:

    x(t) =k1x1(t) + k2x2(t) (3.0.42)

    Tambem e uma solucao, ondek1 ek2 sao constantes.

    Escola Olmpica 24

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    3.1 Equacoes na forma x + 2x= 0

    Demonstracao. A funcao x(t) e definida como:

    x(t) k1x1(t) + k2x2(t) (3.0.43)Assim:

    ad2x(t)

    dt2 + b

    dx(t)

    dt + cx(t) = 0

    ad2(k1x1+ k2x2)

    dt2 + b

    d(k1x1+ k2x2)

    dt + c(k1x1+ k2x2) = 0

    Reescrevendo a equacao:

    k1(ad2x1dt2

    + bdx1dt

    + cx1) + k2(ad2x2dt2

    + bdx2dt

    + cx2) = 0 (3.0.44)

    Sendo x1 uma solucao, a seguinte equacao e satisfeita:

    ad2x1dt2

    + bdx1dt

    + cx1= 0

    O mesmo se aplica a x2. Portanto:

    k1.0 + k2.0 = 0 (3.0.45)

    3.1 Equacoes na forma x + 2x= 0

    EDOs de segunda ordem na forma:

    x + 2x= 0 (3.1.1)

    sao as que possuem solucoes mais simples, basta achar um funcao cuja se-gunda derivada seja oposta a propria funcao multiplicada por uma constante.Funcoes trigonometricas e exponeciais possuem esse tipo de comportamento.

    Alguns exemplos sao:

    x(t) =eit = dxdt

    =ieit = d2x

    dt2 =i22et = 2eit

    x(t) = sin t = dxdt

    = cos t = d2x

    dt2 = 2 sin t

    Escola Olmpica 25

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    26/92

    3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM

    Ambas as funcoes satisfazem a (3.1.1). (Verifique! Faca o mesmo para a

    funcao x(t) = cos t).Assim, EDOs de segunda ordem com coeficienes constantes tem solucoes

    das seguintes formas:

    x(t) =Aeit + Beit (3.1.2)

    ou,

    x(t) =Csin t + D cos t (3.1.3)

    e uma forma mais frequente, que sempre vemos em livros de fsica doensino medio:

    x(t) =a cos(t + ) (3.1.4)

    Onde representa a fase da funcao.

    Contudo, para2 0

    2

    20 , e o termo dentro da raiz serapositivo. Chamando

    Escola Olmpica 36

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    37/92

    3.3 Oscilacoes amortecidas: equacoes na forma x + x + 20x= 0

    24 20

    de , podemos encontrar uma solucao da forma da (3.1.2):

    x(t) =ae1t + be2t (3.3.4)

    x(t) =a(e(2 +)t) + b(e(

    2 )t) (3.3.5)

    Portanto, a solucao geral para o movimento supercrtico e:

    x(t) =e 2 t aet + bet (3.3.6)

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

    0

    5

    10

    15

    20

    t

    x

    (t)

    Figura 8: Grafico caracterstico do amortecimento supercrtico. Valores utilizados: =0.3, /2 = 1,a= 5/2 eb= 6/7.

    Perceba que nesse caso o movimento nao e mais perodco, porque x(t) esomente a soma de duas funcoes exponenciais.

    3.3.2 Amortecimento crtico

    O amortecimento crtico ocorre quando:

    2

    4 =20

    Escola Olmpica 37

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    38/92

    3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM

    Como = 0, nao podemos utilizar a solucao da secao anterior, pois as

    razes sao repetidas, isto e, 1 = 2 =2 . Nesse caso, a solucao sera acombinacao de uma exponencial e uma funcao linear:

    x(t) =e2 t(a + bt) (3.3.7)

    Que tambem pode ser escrita em funcao da frequencia natural:

    x(t) =e0t(a + bt) (3.3.8)

    Demonstracao. No caso do amortecimento crtico a (3.3.1) pode ser re-

    escrita como:

    x + 20x + 20x= 0 (3.3.9)

    e:

    = 2

    = 0Como a solucao e da forma aet chegamos em:

    x1(t) =ae0t

    Que e uma solucao da (3.3.9). Agora, iremos supor que ha umasegunda solucao, da forma:

    x2(t) =y(t)x1(t) =y(t)e0t (3.3.10)

    Onde y(t) e uma funcao arbitraria (A constante a foi omitida porconveniencia, pois pode ser incorporada pela funcao y(t)). Substituindoa (3.3.10) na (3.3.9):

    x2+ 20x2+ 20x2 = 0

    d2(y(t)e0t)

    dt2 + 20

    d(y(t)e0t)

    dt + 20(y(t)e

    0t) = 0

    Apos um processo um pouco laborioso, derivando os termos e simpli-ficando a expressao, encontramos:

    e0td2y

    dt2 = 0

    Escola Olmpica 38

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    3.3 Oscilacoes amortecidas: equacoes na forma x + x + 20x= 0

    Como e0t > 0

    t, conlu-se que d

    2ydt2

    = 0 . Apos integrar chega-se

    a:

    dy

    dt =b

    Integrando a expressao novamente:

    y(t) =bt + c

    Ondeb e uma constante. Finalmente, encontramos a segunda solucao,que e:

    x2(t) = (bt + c)e0t (3.3.11)

    Recorrendo ao princpio de superposicao para EDOs lineares ho-mogenea, concluimos que a solucao geral e a soma das duas solucoesencontradas anteriormente, deste modo:

    x(t) =c1x1(t) + c2x2(t) = (a + bt)e0t (3.3.12)

    Figura 9: Grafico caracterstico do amortecimento crtico. Valores utilizados no primeirografico:0 = 1s

    1,a = 100m e b = 270m/s. Para o segundos grafico foram utilizadosvalores de 1s1,20me 10m, respectivamente.

    Veja que quando as constantesa e b possuem um valor muito elevado emrelacao ao expoente 0, isto e, para t pequenos (a+ bt) e suficientementegrande para que x(t) nao caia muito rapido, o grafico possui um extremo.(Na realidade e necessario que b > a0 para que isso ocorra, caso contrarioo maximo ou mnimo ocorre para valores de t

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    3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM

    Alem disso amortecimento crtico e o decai de maneira mais rapida, por

    isso e muitas vezes empregados em freios, portas, etc.

    3.3.3 Amortecimento subcrtico

    O amortecimento subcrtico ocorre quando 2

    4 < 20. Nesse caso, suas solucoes

    sao complexas e podem ser representadas por:

    1,2 =

    2 i20 2

    4 (3.3.13)

    Sua solucao sera:

    x(t) =Ae1t + Be2t (3.3.14)

    x(t) =Ae2 e

    i

    20

    2

    4

    t

    + Be2 e

    i

    202

    4

    t

    (3.3.15)

    Em termos de funcoes trigonometricas:

    x(t) =e2 t (A cos(subt) + B sin(subt)) (3.3.16)

    ou

    x(t) =C e

    2t

    cos(subt + ) (3.3.17)

    Onde:

    sub=

    20

    2

    4

    E A, B e C sao constantes definidas pelas condicoes iniciais.

    Escola Olmpica 40

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    41/92

    3.3 Oscilacoes amortecidas: equacoes na forma x + x + 20x= 0

    Figura 10: Grafico caracterstico do amortecimento subcrtico. A linha pontilhada re-presenta a envoltoriaC e

    2t. Os valores utilizados foram:sub= 3s

    1,C= 17m, 2

    = 0.25e = .

    A (3.3.16) nos permite analisar algumas caractersticas interessantes doamortecimento subcrtico. Diferente dos outros tipos de amortercimento, seugrafico se assemelha ao de uma funcao periodica, que teria uma frequenciasub. E como podemos ver, a amplitude vai diminuindo com o tempo, con-vergindo para zero. O termoe

    2 t mostra que essa amplitude decai exponen-

    cialmente.

    Solucao homogenea2

    4 > 20 x(t) =e

    2 (aet + bet)2

    4 =20 x(t) =e

    0t(a + bt)2

    4 > 20 x(t) =e

    2t (A cos(subt) + B sin(subt))

    Tabela 2: Resumo com as diferentes solucoes para oscilacoes amortecidas

    Escola Olmpica 41

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    42/92

    3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM

    Figura 11: Comparacao entre os tres tipos de amortecimento para as condicoes iniciaisx(0) = 5m e v(0) = 0m/s. Veja que o amortecimento crtico e o que atinge o equilbriomais rapidamente, ja o subcrtico e o que mais demora.

    Escola Olmpica 42

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    43/92

    3.4 Oscilacoes forcadas: equacoes na forma x + 2x= F(t)

    3.4 Oscilacoes forcadas: equacoes na forma x+2x =F(t)

    As oscilacoes forcadas estao presentes em sistemas fsicos submetidos a al-guma forca de impulsao externa F(t). Em muitos casos essa forca e cosse-noidal (ou senoidal) de frequencia e amplitude F0, na forma:

    F(t) =F0m

    cos(t) (3.4.1)

    A EDO sera da forma:

    x + x + 2

    0x= F(t) (3.4.2)Na ausencia de amortecimento:

    x + 20x= F(t) (3.4.3)

    Ao estudar este tipo de sistema e importante distinguir duas situacoesnesse sistema. O estado transiente e o estado estacionario.

    O comportamento do sistema para t e descrito como o estadoestacionario. Nessa situacao os efeitos de amortecimento se tornam irrisoriosfrente a forca de impulsao, e acabam sendo desprezados e a forca externa

    passa a dominar. Matematicamente falando, consideramos que a solucaogeral dessa equacao e igual a sua solucao particular no estado estacionario,ou seja, a equacao no estado estacionario equivale a solucao particular daEDO correspondente.

    Ja o estado transiente se refere ao comportamento do sistema para tem instantes proximos a t = 0, todos os efeitos sao significativos neste ins-tante (forca de repulsao, amortecimento, forca restauradora etc), portantonenhuma delas pode ser desprezada . Nesse caso e importante analisar comocada uma das forcas afeta o sistema, isso requer uma solucao um poucomais sofisticada. Inicialmente iremos trabalhar com oscilacoes forcadas comausencia de amortecimento.

    No caso do estado estacionario, supondo que a solucao e da forma:

    x= Ccos (t) (3.4.4)

    Temos que:

    x= 2Ccos (t) = 2x (3.4.5)Substituindo as duas variaveis anteriores na (3.4.3):

    Escola Olmpica 43

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    44/92

    3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM

    2x + 20x= F0cos (t) (3.4.6)Portanto:

    x= F0cos (t)

    m (20 2) (3.4.7)

    E a amplitude sera:

    C= F0

    m (20 2) (3.4.8)

    Adotando um metodo alternativo, admitindo que a solucao e complexa:z(t) =x(t) + iy(t).

    Escrevendo-a na forma exponencial, temos que:

    z(t) =z0eit

    z(t) = 2z0eit = 2z (3.4.9)

    Substituindo na (3.4.3):

    z(20 2) =F0e

    it

    m = z(t) = F0

    m(20

    2)eit (3.4.10)

    Que e equivalente ao resultado anterior.E conveniente expressar nossa solucao para x(t) como uma funcao senoi-

    dal, contendo uma fase e uma amplitude A. Deste modo, iremos substituira amplitudeCpor uma nova amplitude A multiplicada por umfator de faseei, portanto:

    Aei = F0

    m(20 2) (3.4.11)

    E aqui, a fase e definida convenientemente do seguinte modo:

    =0, se < 0

    , se > 0(3.4.12)

    Desse modo Apassa a depender do modulo da diferenca entre (20 2)(Poisei = 1,e e0 = 1):

    A= F0

    m|20 2| (3.4.13)

    Substituindo emz(t):

    Escola Olmpica 44

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    3.5 Oscilacoes forcadas amortecidas: equacoes na forma x + x + 2x= F(t)

    z(t) =Aeieit =Aei(+t) (3.4.14)

    Como x(t) e a parte real de z(t):

    x(t) =A cos(t + ) (3.4.15)

    3.5 Oscilacoes forcadas amortecidas: equacoes na formax + x + 2x= F(t)

    Oscilacoes forcadas amortecidas sao da forma:

    x + x + 20x= F(t) (3.5.1)

    No caso, novamente iremos considerar que:

    F(t) =F0m

    cos(t) (3.5.2)

    Sendo x(t) uma solucao da equacao:

    x + x + 20x=F0m

    cos(t) (3.5.3)

    e y(t) uma solucao da equacao equivalente (A diferenca neste caso e quea forca nao e mais cossenoidal, e sim senoidal) :

    y+ y+ 20y =F0m

    sin(t) (3.5.4)

    Somando a equacao (3.5.40) com a equacao (3.5.4) multiplicada pela uni-dade imaginaria i, obtemos:

    x + x + 20 x + iy+ iy+ i20y =

    F0m

    cos(t) + iF0m

    sin(t)

    d2

    dt2(x + yi) +

    d

    dt(x + yi) + 20 (x + yi) =

    F0m

    (cos(t) + i sin(t)) (3.5.5)

    Agora serao feitas as substituicoes:

    z(t) =x(t) + y(t)i

    Logo x(t) e:

    x(t) =Re{z(t)} (3.5.6)

    Escola Olmpica 45

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    46/92

    3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM

    E tambem sera feita a substituicao:

    cos(t) + i sin(t) =eit

    Portanto a (3.5.5) pode ser reescrita como:

    d2z

    dt2 +

    dz

    dt+ 20z=

    F0m

    eit

    z+ z+ 20z=F0m

    eit (3.5.7)

    Mas ztambem pode ser reescrito como uma exponencial complexa, por-tanto:

    z(t) =Aei(t+) (3.5.8)

    As derivadas de z(t) serao:

    z=Aei(t+)

    z=iAei(t+) =iz

    z= 2Aei(t+) = 2z(3.5.9)

    Substituindo os termos anteriores na (3.5.7):

    z+ z+ 20z=F0m

    eit

    2z+ iz+ 20z=F0m

    eit

    Colocando os termos que acompanham zem evidencia:

    z(2 + i + 20) =F0m

    eit

    Aei(t+)(2 + i + 20) =F0m

    eit

    Cancelando ei(t):

    Aei = F0

    m(20 2 + i) (3.5.10)

    Para encontrar a amplitudeAe conveniente reescrever a equacao anteriorda seguinte forma:

    Escola Olmpica 46

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    3.5 Oscilacoes forcadas amortecidas: equacoes na forma x + x + 2x= F(t)

    F0m

    =ei[A(20 2) + Ai] (3.5.11)

    A equacao anterior pode ser representada no plano complexo da seguintemaneira:

    Agora e facil ver que:

    (F0m

    )2 =A2(20 2)2 + (A)2 (3.5.12)

    Portanto a amplitude Asera escrita como:

    A2() = F20

    m2 [(20 2)2 + 22)] (3.5.13)

    E que a fase e dado por:

    tan(()) =

    (20 2) (3.5.14)

    A e sao escritos em funcao de pois em breve serao analisados seuscomportamentos para diferentes valores de , portanto e conveniente utilizaressa notacao.

    Exemplo 10: Um circuito RLC serie e constitudo de um resistor de re-sistencia R, um indutor de indutancia L e um capacitor de capacitancia C,todos ligados em serie, conforme a figura:

    Escola Olmpica 47

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    3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM

    V0sin (t)

    R

    C

    L

    Figura 12: Circuito RL

    Alem disso, o circuito tambem e alimentado por um gerador de cor-

    rente alternada, que forece uma tensao V =V0sin (t), onde representa afrequencia e V0 a amplitude. Encontre a corrente em funcao do tempo nessecirtuito.

    Solucao: Identificando a d.d.p. em cada um dos componentes:

    Resistor:VR = Ri= Rdqdt Indutor: VL= Ldidt = Ld

    2qdt2

    Capacitor: VC=

    1C

    q

    Gerador: V =V0sin (t)

    Onde qrepresenta a carga. Pela segunda lei de Kirchhoff:

    V0sin (t) Ld2q

    dt2 R dq

    dt 1

    Cq= 0 (3.5.15)

    Reescrevendo a equacao:

    q+R

    Lq+

    1

    LCq= V0sin (t) (3.5.16)

    Se tomarmos = RL

    , 0 = 1LC e F0=V0 a solucao desta EDO e analoga

    aquela feita nesta secao (Compare a (3.5.16) com a (3.5.40)). Portanto, aamplitude Aq da carga sera:

    Aq = F0

    m

    (20 2)2 22=

    V0

    L

    1LC

    22 + RL

    2

    (3.5.17)

    A carga q(t) sera:

    Escola Olmpica 48

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    3.5 Oscilacoes forcadas amortecidas: equacoes na forma x + x + 2x= F(t)

    q(t) =Aqcos (t + ) (3.5.18)

    Como i= dqdt

    :

    i(t) = Aqsin (t + ) = V0L

    1LC

    2 + RL

    2

    Fazendo as devidas simplificacoes obtemos:

    i(t) = V0

    (R2 + 1C+ L2cos(t + ) (3.5.19)

    Com fase dada por:

    = tan1

    20 2

    = tan1

    R

    L

    1

    LC 2

    (3.5.20)

    Negativa devido ao atraso entre a impulsao e a resposta do sistema.

    3.5.1 Ressonancias

    Conforme a frequencia angular de impulsao de um sistema fsico se apro-

    xima de sua frequencia natural0, sua amplitude de oscilacao comeca a cres-cer, atingindo valor maximo quando se torna proximo de 0, no caso deoscilacoes fracamente amortecidas, isso ocorre exatamente no ponto = 0.Esse e o fenomeno da ressonancia.

    Alguns fenomenos de ressonancia ja sao bem conhecidos e costumam seraplicados amplamente em diversas tecnologias, como o da ressonancia emcircuitos eletricos, que costumam ser utilizadas em circuitos de radio, TV,etc. Alem disso ha outros tipos de ressonancia alem da ressonancia eletrica,como a ressonancia acustica, a ressonancia magnetica etc. O estudo de res-sonancias tambem e amplamente estudado em diversas areas, como engenha-

    ria civil, por exemplo. A ressonancia e um objeto de estudo importante nessaarea para evitar acidentes como o ocorrido em 1831 na ponte de Broughton,que desabou devido a ressonancia causada pela marcha de soldados que aatravessavam.

    3.5.1.1 Ressonancia em oscilacoes forcadas No caso da ressonanciaem oscilacoes forcadas sem amortecimento a amplitude A e:

    A() = F0

    m|20 2| (3.5.21)

    Escola Olmpica 49

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    3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM

    A amplitude A cresce conforme a frequencia da forca impulsiva se

    aproxima da frequencia natural do sistema, contudo o caso onde = 0requer uma analise especial. Alem disso esse modelo nao leva em contaefeitos de oscilacoes nao-lineares e as dissipacoes, que podem fazer com queo sistema se comporte de maneira diferente.

    Figura 13: Grafico caracterstico da amplitude A na solucao estacionaria de uma os-cilacao forcada para diferentes valores de . Veja que neste modelo ha uma divergenciana amplitude para = 0.

    Quando = 0, a EDO que descreve uma oscilacao forcada se torna:

    x + 20x=F0m

    cos(0t) (3.5.22)

    A funcao:

    xhomog(t) =a cos(0t) + b sin(0t) (3.5.23)

    e uma solucao da equacao homogenea. Deste modo, para encontrar umasolucao particular para esta EDO devemos procurar uma funcao distinta,afinal, nao e coerente procurar uma solucao particular que seja da mesmaforma que a solucao homogenea, elas nao seriam linearmente independentes.Portanto, iremos procurar uma solucao na forma:

    xpart(t) =At cos(0t) + Bt sin(0t) (3.5.24)

    ou na forma:

    Escola Olmpica 50

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    3.5 Oscilacoes forcadas amortecidas: equacoes na forma x + x + 2x= F(t)

    xpart(t) =C tei0t (3.5.25)

    No caso iremos supor que a solucao e da forma da (3.5.24), mas as duasequacoes sao equivalentes (apesar de ser necessario realizar procedimentos di-ferentes), portanto e possvel encontrar a solucao desejada adotando qualqueruma das equacoes anteriores.

    Primeiramente e necessario derivar a (3.5.24) (Lembre-se que e precisoutilizar a regra dos produtos) :

    x= Ad(t cos(0t))

    dt + B

    d(t sin(0t))

    dt (3.5.26)

    x= A[cos(0t) t0sin (0t)] + B[sin(0t) + t0cos (0t)]Derivando novamente para encontrar x:

    x= A20t cos(0t) B20t sin(0t) 20A sin(0t) + 20B cos(0t) (3.5.27)

    Como:

    x +

    2

    0x=

    F0

    m cos(0t)

    A20t cos(0t) B20t sin(0t)+A20t cos(0t) + B

    20t sin(0t)

    20A sin(0t) + 20B cos(0t)=

    F0m

    cos 0t

    Mas os termos nas duas primeiras linhas da equacao anterior se cancelam, logo:

    20A sin(0t) + 20B cos(0t) = F0m

    cos 0t

    B cos(0t) A sin(0t) = F02m0

    cos(0t) (3.5.28)

    Os coeficientes de cos(0t) do lado esquerdo da equacao devem ser iguaisaqueles no lado direito, a mesma condicao deve ser satisfeita para sin (0t) (Paramais detalhes veja a secao3.6). Portanto:

    A= 0

    Escola Olmpica 51

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    3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM

    e,

    B cos(0t) = F02m0

    cos(0t)

    Portanto:

    B = F02m0

    (3.5.29)

    Substituindo na (3.5.24):

    xpart(t) = F02m0

    t sin(0t) (3.5.30)

    E a solucao geral sera:

    x(t) =a cos(0t) + b sin(0t) + F02m0

    t sin(0t) (3.5.31)

    Conclumos, portanto, que na ressonancia o movimento se mantem periodico,com frequencia 0, mas sua amplitude cresce linearmente com o tempo.

    Figura 14: Grafico de x(t) na ressonancia (Em azul). A envoltoria vermelha representa o termoF0

    2m0t. Os valores utilizados foram: a= 0.3m,b= 0.1m,F0 = 10N,m= 0.7kg e 0 = 0.5

    rads

    3.5.1.2 Ressonancia em oscilacoes forcadas amortecidas Na secaoanterior o valor obtido para a amplitude A em funcao da frequencia da forca deimpulsao para um oscilador forcado amortecido era:

    A() = F0m

    1(20 2)2 + 22)

    (3.5.32)Escola Olmpica 52

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    3.5 Oscilacoes forcadas amortecidas: equacoes na forma x + x + 2x= F(t)

    Derivando com respeito a :

    dA

    d = 1

    2

    (22 4(20 2)

    22 + (20 2)2

    32 (3.5.33)Igualando a expressao anterior a 0 iremos encontrar o valor de para o qual

    A e maximo:

    dA

    d = 0

    (22 4(20 2)) = 0 (3.5.34)

    res =

    20 22 (3.5.35)Veja que se

    0 A frequencia de ressonancia se torna:

    res 0 (3.5.36)Ou seja, a frequencia de ressonancia sera aproximadamente igual a frequencia

    natural do sistema. Por conveniencia, neste tipo de sistema (fracamente amorte-

    cido), costumamos considerar queres = 0, visto que a diferenca e desprezvel.Alem disso caso a seguinte condicao seja satisfeita:

    20 0 caso seja satisfeita a condicaob > a0.

    Questao 6 Resolva as seguintes EDOs:

    Escola Olmpica 80

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    a)y+ 3y= 0, y(0) = 3, y(0) = 2Resp:y= 2e3x3 73c) 12 18 = 0, (0) = 0, = 0Resp:(t) =Ae(

    14 (

    31)t) + Be(14 (

    3+1)t)

    b)7d2xdt2 + 2

    dxdt + 5x= 0, x(0) = 0, x(0) =6

    Resp:x= 21

    217e

    t7sin

    347 t

    d)x + 12x + 36x= 0, x(0) = 5, x(0) = 0Resp:x= 5e6t(6t + 1)

    Questao 7 (Seletiva IPhO 2015) Uma massa de 1kg est a suspensa por umamola linear de constante elastica k = 10N

    m e coeficiente de amortecimento =

    5.102 Nsm

    .A mola e excitada por uma forca externa Fc =F0sin t onde F0 = 2, 5N e

    e o dobro da frequencia natural 0 do sistema.

    Determinar:a) Equacao do movimento deste sistema.b) A amplitude do movimento resultante.c) A diferenca de fase entre o deslocamento e a forca impulsora

    Questao8 (IPhO 2004 - Adaptada) Os microscopios de forca atomica (AFMs)sao ferramentas poderosas na area da nanociencia,o movimento de um cantileverem um AFM pode ser detectado por um fotodetector que monitora o feixe de umlaser, como mostra a figura.

    Figura 22: Fonte: http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2004/IPhO_2004_TheoreticalData de acesso: 19/02/2015

    O cantilever esta restrito ao movimento na direcao vertical, cujo deslocamentoz em funcao de t pode ser expresso por meio de uma equacao diferencial que des-creve oscilacao forcada amortecida. Sendo m a massa do cantilever, k = m20 suaconstante elastica (onde 0 e a frequencia natural de oscilacao), =

    bm

    , onde b e

    o fator de amortecimento, que satisfaz a condicao 0 >> bm

    > 0, e F e a forca

    Escola Olmpica 81

    http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2004/IPhO_2004_Theoreticalhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2004/IPhO_2004_Theoreticalhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2004/IPhO_2004_Theoreticalhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2004/IPhO_2004_Theoretical
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    modelo podemos assumir que essas ligacoes podem ser aproximadas ligacoes feitaspor molas que obedecem a lei de Hooke e possuem constante elasticak1,k2,...,kN2e kN1

    Figura 23: Modelo para uma molecula composta de N atomos. Fonte: http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdf

    Leve os seguintes fatos em consideracao: o movimento vibracional longitudinalde uma molecula linear consiste de uma superposicao de diferentes movimentososcilatorios chamados modos normais. Em um modo normal todos os atomos vi-bram em um movimento harmonico simples com a mesma frequencia e passar porsuas respectivas posicoes de equilbrio simultaneamente. Questoes:

    a) Seja xi o deslocamento do atomo i em relacao a sua posilao de equilbrio.Seja a forcaFi atuando em cada atomoi em funcao dos deslocamentosx1,x2,...,xne constantes elasticas k1,k2,...,kN2 e kN1. Qual e a relacao entre as forcasF1,F2,...,Fn. Usando essa relacao, encontre uma relacao entre os deslocamentosx1,x2,...,xn e de uma interpretacao fsica desses resultados.Resp:Ni=1(mixi) =cte.

    Figura 24: Molecula diatomica (esquerda), molecula triatomica (direita). Fonte: http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdf

    b) Analise o movimento de uma molecula diatomicaAB . O valor da constanteelastica e k. Encontre uma expressao para a forca agindo nos atomos A e B. De-termine os possveis tipos de movimento para a molecula. Determine a frequenciade oscilacao correspondente e interprete o resultado. Em particular, explique comoe possvel dois atomos vibrarem com a mesma frequencia se suas massas nao saoiguais.

    Resp:1= 0, 2=

    k(mA+mB)mAmB

    c) Analise o movimento da uma molecula triatomica BA2. Encontre a forcaresultante em cada atomo em funcao de seu deslocamento. Deduza os possveistipos de movimentos e frequencias correspondentes.

    Escola Olmpica 83

    http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdf
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    6 EXERCICIOS

    Resp:1= 0, 2= k(mA+mB)mAmB , 3 = k(2mA+mB)mAmBd) As frequencias de dois modos normais de uma molecula de C O2 sao 3.998

    1013 Hz e 7.0421013 Hz, respectivamente. Determine o valor da constanteelastica k para a molecula de CO2. (Assuma que k1 = k2 = k). As estimativasfeitas, os resultados obtidos e o modelo utilizado foram razoaveis e consistentescom a vibracao real da molecula? A massa atomcia do carbono e de 12u.m.ae do oxigenio e de 16u.m.a. Uma unidade de massa atomica u.m.a equivale a1.660 1027 kg.Resp:k1 1670N/m,k3 1420N/m

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    7 Apendice7.1 A formula de Euler

    Expandidindo sin x e cos xpor meio de uma serie de MacLaurin obtemos:

    sin x= x x3

    3! +

    x5

    5! x

    7

    7! =

    n=0

    (1)n x2n+1

    (2n + 1)! (7.1.1)

    e

    cos x= 1 x2

    2! +

    x4

    4!x6

    6! =

    n=0(1)

    n x2n

    (2n)! (7.1.2)

    Expandidindoex por meio de uma serie de MacLaurin obtemos:

    ey = 1 + y

    1!+

    y 2

    2! + y

    n

    n! =

    n=0

    yn

    n! (7.1.3)

    Fazendo a substituicao y = ix:

    eix = 1 +ix

    1! +

    (ix)2

    2! +(ix)

    n

    n! =

    n=0(ix)n

    n! (7.1.4)

    Sabendo que i2 = 1, i3 = i e i4 = 1:

    eix = 1 + ix

    1!x

    2

    2! i x

    3

    3! +

    x4

    4! + i

    x5

    5! x

    6

    6! +(ix)

    n

    n! (7.1.5)

    Colocando i em evidencia:

    eix = 1 x2

    2! +

    x4

    4! x

    6

    6! + + i

    x x

    3

    3! +

    x5

    5!

    (7.1.6)

    Veja que a parte real da expressao anterior e identica a expansao de cos x, eque a parte imaginaria, que acompanha i, e identica a expansao de sin x, deste

    modo chegamos a famosa formula de Euler:

    eix = cos x + i sin x (7.1.7)

    7.2 Funcoes hiperbolicas

    O seno hiperbolico e uma funcao definida pela seguinte formula:

    sinh x=

    ex ex

    2

    (7.2.1)

    Escola Olmpica 85

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    7 APENDICE

    Figura 25: Seno hiperbolico

    E o cosseno hiperbolico e definido por:

    cosh x= ex + ex

    2 (7.2.2)

    Figura 26: Cosseno hiperbolico

    Escola Olmpica 86

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    7.2 Funcoes hiperbolicas

    Veja que podemos relacionar as funcoes trigonometricas com as hiperbolicas:

    sinh (ix) =

    eix eix

    2

    (7.2.3)

    Utilizando a formula de Euler:

    eix = cos(x) + i sin(x) (7.2.4)

    e

    eix = cos (x) + i sin x= cos (x) i sin x (7.2.5)

    Substituindo na (7.2.3):

    sinh(ix) =i sin x (7.2.6)

    De maneira analoga podemos obter propriedades similares, como cosh (ix) =cos x.

    A tabela a seguir contem algumas das principais propriedades das funcoeshiperbolicas:

    Propriedades de funcoes hiperbolicas

    cosh2 x sinh2 x= 1 tgh(x) = e2x1e2x+1

    sinh(x + y) = sinh x cosh y+ cosh x sinh y cosh(x + y) = cosh x cosh y+ sinh x sinh yd

    dxsinh x= cosh x d

    dxcosh x= sinh x

    sin(ix) =i sinh x sinh(ix) =i sin xcos(ix) = cosh x cosh (ix) = cos x

    sinh1 x= ln (x +

    x2 + 1) cosh1 x= ln (x +

    x2 1), x >1

    Contudo, agora voce deve estar se perguntando: mas como essas funcoes foramdefinidas?

    Nos podemos definir o seno e o cosseno hiperb olicos a partir do angulo hi-perbolico e de um triangulo retangulo. Observe a seguinte figura:

    Escola Olmpica 87

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    7 APENDICE

    Figura 27: As linhas em azul representam a hiperbole, a area em azul claro representaa area compreendida pela hiperbole, de 1 atex, e a area em vermelho representa a areaScom a qual estamos trabalhando.

    Assim, cosh representa o segmento de comprimento x, que e o cateto ad-jacente no triangulo retangulo em questao, e sinh representa o cateto oposto,isto e, o segmento de comprimento y. Deste modo, e possvel parametrizar umahiperbole que tem como formula:

    x2

    a y

    2

    b = 1 (7.2.7)

    A partir do angulo hiperbolico e das constantes a e b.:

    x= a cosh (7.2.8)

    y= b sinh (7.2.9)

    E como obter uma formula para cosh e sinh ?

    Assim como e possvel obter relacoes trigonometricas a partir do crculo unitario,tambem e possvel obter as relacoes para as funcoes hiperbolicas a partir da cha-mada hiperbole unit aria, que e a hiperbole gerada por:

    x2 y2 = 1 (7.2.10)Isolandoy :

    y = x2 1 (7.2.11)

    Escola Olmpica 88

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    7.2 Funcoes hiperbolicas

    Como so iremos trabalhar com a hiperbole no primeiro quadrante, iremos con-siderar que:

    y =

    x2 1 (7.2.12)Primeiramente, queremos descobrir qual e o valor da area em vermelho na

    figura7.2, que chamaremos deS. Essa area sera igual a area do triangulo retanguloque tem uma base de comprimento x e altura y menos a area compreendida pelahiperbole no intervalo [1, x], que e a area representada em azul claro na figura.Quantificando isto:

    S=xy

    2 x

    1 (t2 1)dt (7.2.13)Veja que como queremos calcular a area compreendida pelo hiperbole de 1 ate

    x, usamos 1 exna nossa integral e utilizamos uma variavel auxiliart, que e tratadacomo incognita, para calcular o valor da integral. (Tente voce mesmo! Voce poderesolve-la utilizando substituicao trigonometrica e integracao por partes).

    Resolvendo a integral, o valor de Sencontrado e:

    S=1

    2ln (x +

    x2 1) (7.2.14)

    Isolandox obtemos:

    x= e

    2S

    + e2S

    2 (7.2.15)

    Mas ja sabemos que cosh = x, portanto:

    cosh =e2S + e2S

    2 (7.2.16)

    E como relacionar S e ? Veja novamente a figura 7.2. Para encontrar a areaSem vermelho podemos usar aquela mesma integral e utilizar cosh 0, que e 1, ecosh , que e x, como limites de integracao. Para calcular o produto xy podemossubstituirxpor cosh e y por sinh ,fazendo isto obtemos:

    S=

    cosh sinh

    2 cosh

    cosh 0t2 1dt= 2 (7.2.17)

    Portanto, a area S e metade do angulo hiperbolico!SubstituindoS por /2 na (7.2.16) obtemos uma expressao geral para cosh :

    cosh =e + e

    2 (7.2.18)

    E utilizando a relacao y =

    x2 1 e que y = sinh obtemos:

    sinh = e e

    2 (7.2.19)

    Escola Olmpica 89

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    8 LINKS E REFERENCIAS

    8 Links e referenciasLinks uteis

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    name=DoubleSpringSim.html#a_icb_pagecontent367911

    Simulacoes de sistemas massa-mola:

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    name=DiskOscillator.html#a_icb_pagecontent376223

    https://www.youtube.com/watch?v=T7fRGXc9SBI

    Simulacoes de circuitos eletricos:

    http://www.walter-fendt.de/ph14e/osccirc.htm

    Solucionadores de equacoes e plotagem de graficos:

    https://www.wolframalpha.com/ http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=66d47ae0c1f736b76f1df86c0cc92 http://www.zweigmedia.com/RealWorld/deSystemGrapher/func.html

    Notas de aula:

    http://tutorial.math.lamar.edu/

    Escola Olmpica 90

    http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/coupled/osc2.htmhttp://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/coupled/osc2.htmhttp://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/coupled/osc2.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph14e/cpendula.htmhttp://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent367911&view=view.do&viewParam_name=DoubleSpringSim.html#a_icb_pagecontent367911http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent367911&view=view.do&viewParam_name=DoubleSpringSim.html#a_icb_pagecontent367911http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent367911&view=view.do&viewParam_name=DoubleSpringSim.html#a_icb_pagecontent367911https://phet.colorado.edu/en/simulation/mass-spring-labhttps://phet.colorado.edu/en/simulation/resonancehttp://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph14e/springpendulum.htmhttp://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent340862&view=view.do&viewParam_name=SingleSpringSim.html#a_icb_pagecontent340862http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent340862&view=view.do&viewParam_name=SingleSpringSim.html#a_icb_pagecontent340862http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent340862&view=view.do&viewParam_name=SingleSpringSim.html#a_icb_pagecontent340862http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent376223&view=view.do&viewParam_name=DiskOscillator.html#a_icb_pagecontent376223http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent376223&view=view.do&viewParam_name=DiskOscillator.html#a_icb_pagecontent376223http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent376223&view=view.do&viewParam_name=DiskOscillator.html#a_icb_pagecontent376223https://www.youtube.com/watch?v=T7fRGXc9SBIhttp://www.walter-fendt.de/ph14e/osccirc.htmhttps://www.wolframalpha.com/http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=66d47ae0c1f736b76f1df86c0cc9205http://www.zweigmedia.com/RealWorld/deSystemGrapher/func.htmlhttp://tutorial.math.lamar.edu/http://tutorial.math.lamar.edu/http://www.zweigmedia.com/RealWorld/deSystemGrapher/func.htmlhttp://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=66d47ae0c1f736b76f1df86c0cc9205https://www.wolframalpha.com/http://www.walter-fendt.de/ph14e/osccirc.htmhttps://www.youtube.com/watch?v=T7fRGXc9SBIhttp://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent376223&view=view.do&viewParam_name=DiskOscillator.html#a_icb_pagecontent376223http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent376223&view=view.do&viewParam_name=DiskOscillator.html#a_icb_pagecontent376223http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent376223&view=view.do&viewParam_name=DiskOscillator.html#a_icb_pagecontent376223http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent340862&view=view.do&viewParam_name=SingleSpringSim.html#a_icb_pagecontent340862http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent340862&view=view.do&viewParam_name=SingleSpringSim.html#a_icb_pagecontent340862http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent340862&view=view.do&viewParam_name=SingleSpringSim.html#a_icb_pagecontent340862http://www.walter-fendt.de/ph14e/springpendulum.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htmhttps://phet.colorado.edu/en/simulation/resonancehttps://phet.colorado.edu/en/simulation/mass-spring-labhttp://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent367911&view=view.do&viewParam_name=DoubleSpringSim.html#a_icb_pagecontent367911http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent367911&view=view.do&viewParam_name=DoubleSpringSim.html#a_icb_pagecontent367911http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent367911&view=view.do&viewParam_name=DoubleSpringSim.html#a_icb_pagecontent367911http://www.walter-fendt.de/ph14e/cpendula.htmhttp://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/coupled/osc2.htm
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    REFERENCIAS

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    Escola Olmpica 91

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