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Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta Aberta I - “Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos” Página 1

Preparar o Exame 2013 – 2016 – Matemática A

Página 312

68.

68.1. 1 1

0 sen 0 sen 2 0 0 0 02 2

g

0 0 0 0

1sen sen 2 00 sen 21 sen20 lim lim lim 2 lim

0 2 2x x x x

x xg x g xxg

x x x x

1 1 3

1 2 1 32 2 2

68.2.

a)

▪ A altura do trapézio é dada, em função de , por sen

▪ 2cosCD

Assim vem:

1 2cos 1 1sen sen 2cos sen sen sen 2 ( )

2 2 2ABCD

A g

b)

▪ 1 1 1

cos cos cos4 4 4

▪ 1 1

24 2

CD

▪

2

2 2 2 21 15 15sen cos 1 sen 1 sen sen

4 16 4

Se 0x então 2 0x (limite notável)

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1 31

15 15 3 15 3 152 2

2 4 2 4 4 4 16ABCD

A

c) 1 1 1 1

sen sen 2 1 sen 1 02 2 2 2 2 2 2

g

d) Traduzindo para uma equação o enunciado, vem:

21 1 1 11

2 4 2 4 8g r g g

Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y g e 28

y

na janela de visualização

0, 0,22

. Obtém-se:

Logo, para 0,2

x

, 8

g a

, com 0,27a

Página 313

69.

69.1. Tem-se:

0 2cos 2sen 2 0 2cos 2sen cos 0 2cos 1 sen 0g x x x x x x x x

cos 0 1 sen 0 cos 0 sen 1x x x x

,2

2 ,2 2

x k k

x k x k k

Como , \ ,2 2

x

, tem-se que os zeros da função g são 2

x

e 2

x

.

O

8

a

g

y

2

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69.2.

▪ Assíntotas verticais:

2 2

2 2

lim ( ) lim0

2x x

e ef x

g

2 2

2 2

lim ( ) lim0

2x x

e ef x

g

2 2

2 2

lim ( ) lim0

2x x

e ef x

g

2 2

2 2

lim ( ) lim0

2x x

e ef x

g

Assim, as reta de equações 2

x

e 2

x

são assíntotas verticais do gráfico de f . Como a função f é contínua em

, \ ,2 2

, o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais.

▪ Como o domínio de f é limitado, o seu gráfico não tem assíntotas não verticais.

69.3.

a)

▪ sen sen 2senAB

x AB AO x AB xAO

▪ cos cos 2cosOB

x OB AO x OB xAO

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2AOB

AB OBA

. Então, neste caso tem-se

2sen 2cos2sen cos

2AOB

x xA x x

2COB

CO OBA

. Então, neste caso tem-se

2 2cos2cos

2COB

xA x

Assim, 2sen cos 2cos sen 2 2cosABCD

A x x x x x g x

b) 0 2cos 0 sen 0 2 1 0 2g

Quando 0x , os pontos A, B e Q coincidem pelo que a figura que se obtém é um triângulo retângulo. A área desse

triângulo é 2.

2 22

2COQ

A

c) Recorrendo à fórmula, 2

2

11 tg

cosx

x , vem:

2 2

2

1 1 1 11 8 9cos 1 cos cos cos

9 9 3cosx x x x

x

Recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria, 2 2cos sen 1x x , vem:

2 21 8 8 2 2sen 1 sen sen sen

9 9 3 3x x x x

Assim, a área do quadrilátero é: 2 2 1 1 4 2 2 4 2 6

2sen cos 2cos 2 23 3 3 9 3 9

g x x x x

d)

▪ 2 22cos 2sen 2 2sen 2cos(2 ) 2sen 2 cos seng x x x x x x x x

2 2 2 2 2 22sen 2cos 2sen 2sen 2(1 sen ) 2sen 2sen 2 2sen 2senx x x x x x x x x

24sen 2sen 2x x

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▪ 20 4sen 2sen 2 0g x x x

Considerando seny x , vem 2 24 2 2 0 2 1 0y y y y

2 1 1 4 2 ( 1) 1 9 12 1 0 1

2 2 4 2y y y y y y

Assim, tem-se:

1 5

0 sen sen 1 2 2 ,2 6 6 2

g x x x x k x k x k k

Como 0,2

x

, tem-se 6

x

Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , em 0,2

vem:

O valor de x para o qual a área do quadrilátero é máxima é 6

x

.

e) A área do setor circular AOQ é dada por 22

22

xx

e a área do quadrilátero é dada por g x .

Queremos resolver graficamente a equação 2g x x

Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y g x e 2 2y x na janela de visualização

0, 0,42

. Obtém-se:

x 0 6

2

g x

g x mín. máx. mín.

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Logo, para 0,2

x

, 2g x x x a , com 0,998a

70.

70.1. 0 2 0 4sen0 0f

0 0 0

0 2 4sen 0 20 lim lim lim

0x x x

g x g x x xf

x x

x 0

sen4lim 2 1 4 1 6

x

x

x

70.2. Tem-se 2 4sen 2 0 2f . Assim, 1 2 1f x f f x ( 2 1 5,28 )

▪ 2 1

4sen 4 2 3,0476 6 6 3 2 3

f

▪ 2

4sen 4 1 4 7,1422 2 2

f

▪ f é uma função contínua em porque é a soma de duas funções contínuas em (uma das funções é afim, 2y x

e a outra é trigonométrica, 4seny x ). Logo, f é contínua em ,6 2

.

Como f é contínua em ,6 2

e 2 16 2

f f

então, pelo teorema de Bolzano, sabe-se que

,6 2

c

tal que 2 1f c , ou seja, a equação 2 1f x tem pelo menos uma solução neste

intervalo e portanto a equação é 1 2f x é possível em ,6 2

.

xO2

a

g

y

2y x

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70.3.

a)

2 4cosf x x

1 2 4

0 4cos 2 cos 2 2 ,2 3 3

f x x x x k x k k

.

Como 0,2x , vem 2 4

3 3x x

Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em 0,2 vem:

x 0

2

3

4

3

2

f x 0 0

f x mín. máx. mín. máx.

Assim, a ordenada de A, é dada por 2

3f

(máximo relativo) e a ordenada de B é dada por 4

3f

(mínimo

relativo):

Ordenada de A: 2 2 2 4 3 4 4 6 3

2 4sen 4 2 33 3 3 3 2 3 3

Ay f

Ordenada de B: 4 4 4 8 3 8 8 6 3

2 4sen 4 2 33 3 3 3 2 3 3

By f

b) A equação da reta r é do tipo y mx b .

Como a reta r é tangente ao gráfico de f no ponto A de abcissa 4

3

, sabe-se que

2

3rm f

:

2 2 12 4cos 2 4 2 2 0

3 3 2f

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Como o ponto A pertence à reta tem-se que a sua equação é dada por 4 6 3

3y

.

Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y f x e 2

4 6 3

3y

na janela de visualização

0,2 0,15 . Obtém-se:

Tem-se que 4 6 3

3f x x c

, com 5,39c .

2

C B

ABC

AC y yA

25,39 3,2956

3AC

e

4 6 3 8 6 3 4 12 32,7374

3 3 3C By y

Logo,

3,2956 2,73744,5

2ABC

A

.

xO 2c

f

y

2

3

A

B

C

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71.

71.1. 2: ln 0 0 0 3 0 0fD x x x x x x

: 1 0 0 0 0x x x x x x

: 1 0 0 0 \ 1x x x x x

Cálculo Auxiliar: 0ln 0 1x x e x .

71.2.

▪ No intervalo ,0 a função f é contínua pois o quociente entre duas funções contínuas: uma é a diferença entre

uma função constante e a composta de uma função quadrática com uma função trigonométrica é uma função

quadrática.

▪ No intervalo 0, \ 1 a função f é contínua pois é a soma entre duas funções contínuas: uma é uma função afim

e a outra é o quociente entre uma função afim e uma função logarítmica.

▪ Em 0x :

22 2 2

2

2 2 20 0 0 0 0

1 cos sen 1 sen 1 sen 1 1lim lim lim lim lim 1

3 3 3 3 3 3x x x x x

x x x xf x

x x x x

0 0

0 0lim lim 2 2 0 0 0 0 0

ln ln 0x x

xf x x

x

0 0f

A função f não é contínua em 0x , pois 0 0

lim limx x

f x f x

. Contudo, f é contínua à direita do ponto 0, pois

0

lim 0 0x

f x f

.

Portanto, a função f é contínua em \ 0,1 .

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71.3.


0

1lim

3xf x

e

0lim 0x

f x

Logo, a reta de equação 0x não é assíntota vertical do gráfico de f.

1 1

1 1lim lim 2 2 1 2 2

ln 0ln 1x x

xf x x

x

1 1

1 1lim lim 2 2 1 2 2

ln 0ln 1x x

xf x x

x

Logo, a reta de equação 1x é assíntota vertical do gráfico de f.

Como a função g é contínua em \ 0,1 , o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais.

▪ Assíntotas não verticais:

Quando x

2

222

3 3

1 cos

1 cos 13lim lim lim lim 1 cos 03 3x x x x

xf x xxm x

x x x x

2

2

2 2

1 cos 1lim lim lim 1 cos 0

3 3x x x

xb f x mx x

x x

Logo, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f, quando x .

Limitada

Infinitésimo

Limitada

Infinitésimo

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Quando x

22lnlim lim lim

x x x

xxf x xxm

x x

x

x

x 1 1

2 2 2 0 2lnln x

lim lim 2x x

b f x mx x

2ln

xx

x

)lim

lnx i

x

x

i) Se ln

lim 0x

x

x (limite notável), então lim

lnx

x

x .

Logo, quando x , o gráfico de f não tem assíntota não vertical.

71.4. Para 0, \ 1x , tem-se:

▪ 1 ln

2

x x

f x

1

x

2

2 2 2

ln 1 2ln ln 12

ln lnln

x x x

x xx

▪ 2

2 2

2

2ln ln 10 0 2ln ln 1 0 2ln ln 1 0

ln

x xf x x x x x

x

Nota: Em 0, \ 1 ,

2

ln 0x .

Fazendo lny x , vem 2

21 1 4 2 1 1

2 1 0 12 2 2

y y y y y

1

121 1

ln ln 12

x x x e x e x e xe

Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em 0, \ 1 vem:

x 0

1

e 1 e

f x n.d. 0 n.d. 0

f x n.d. máx. n.d. mín.

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Em 0, \ 1 a função f é decrescente em 1

,1e

e em 1, e

, é crescente em 1

0,e

e em ,e

, tem

mínimo relativo em x e e tem máximo relativo em 1

xe

.

Página 314

72.

72.1. Tem-se 2

2 cos 25

g x x x

sen 2x x 2 2

cos sen cos5 5

x

.

Como 2 2

cos sen sen5 2 5 10

, vem:

2sen cos sen sen 2 2 ,

5 10 10 10x x x k x k k

9

2 2 ,10 10

x k x k k

Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 7

,6 3

x

, obtém-se 11

10 10x x

.

Portanto, o conjunto solução da equação é 11

,10 10

.

72.2. Tem-se:

0 0 0 0

3 2 3 sen 3 6 sen 3 6lim lim lim lim

4 4 4x x x x

g x x x x x x

x x x

4 x

0

sen 3 sen 33lim

4 2 4x

x x

x x

0

sen 33 1 3 1 3 3 9lim 1 3

2 4 43

3 2 2 4 4x

x

x

Se 0x então 3 0x (limite notável)

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72.3.

▪ cos 5 2 sen cos5 5

2 2 2 2OCBA

g x x x x x xOC AB x xA OA f x

x x

Pretende-se determinar 0,5x tal que 5 2 sen cos

82

x x x x

x

▪ Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se

1

5 2 sen cos

2

x x x xy

x

e 2 8y na janela de

visualização 0,5 0,15 . Obtém-se:

Logo,

5 2 sen cos

8 ,2

x x x xx a b

x

, com 1,92a e 4,37b

73.

73.1. Tem-se:

▪ 4cos 2sen 8cos senEFGH

A HE EF x x x x

▪ 4 2 8BCDA

A AB BC

Assim, 8 8cos sen 4 4 8cos sen 4 4 1 2cos senregião colorida BCDA EFGHA A A x x x x x x

22 2

1

4 4 sen cos 2cos sen 4 4 sen cosx x x x x x A x

xO 5b

1

5 2 sen cos

2

x x x xy

x

y

8

a

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Outra resolução:

2 28 8cos sen 8 1 cos sen 8 sen cos cos senregião colorida BCDA EFGHA A A x x x x x x x x

2 2 2 2 2 28sen 8cos 8cos sen 4sen 4sen 4cos 4cos 8cos senx x x x x x x x x x

22 2 2 24 sen cos 4 sen cos 2cos sen 4 4 sen cosx x x x x x x x A x

Outra resolução: Tem-se que 8 8cos senregião colorida BCDA EFGHA A A x x . Assim:

2 2 2 2 2

1

4 4 sen cos 4 4 sen 2sen cos cos 4 4 sen cos 2sen cosA x x x x x x x x x x x

4 4 1 2sen cos 4 4 8sen cos 8 8sen cosx x x x x x

Logo, região coloridaA x A .

73.2. 2

4 4 sen cos 0 sen cos 0 sen cos4

A x x x x x x x x

Para 4

x

a área da região colorida é metade da área do retângulo ABCD .

73.3. Tem-se:

▪ 1 1 1

tg tg tg3 3 3

x x x

▪ 2 2

20

2,2

1 10 1 9 9 3 3 101 tg cos cos cos

9 10 10 10cos cos 10x

x x x xx x

▪ sen 1 3 10 10

tg sencos 3 10 10

xx x

x

0,2

x

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Logo,

2 2

10 3 10 10 10 284 4 4 4 4 4

10 10 5 25 5A x

73.4. Tem-se:

▪ 2 22 4 sen cos sen cos 8 sen cos cos sen 8 sen cosA x x x x x x x x x x x

2 2 2 28 sen cos 8 cos sen 8cos 2x x x x x

▪ 0 cos 2 0 2 , ,2 4 2

kA x x x k k x k

Como 0,2

x

, tem-se 4

x

.

Fazendo um quadro de variação do sinal da função A , vem:

x 0

4

4

A x n.d. 0 n.d.

A x n.d. mín. n.d.

Assim, a área da região colorida é mínima para 4

x

. Esse valor mínimo é:

22

22 24 4 sen cos 4 4 4 4 0 4

4 4 4 2 2A

73.5. O gráfico da opção A não é o correto porque a distância do ponto ao ponto nunca é zero. Para e para

a distância do ponto ao ponto é igual a 2, logo ( ) (

) , o que não acontece no gráfico da opção

B, portanto este gráfico também não é o correto. O gráfico da opção D não é o correto porque, para [

] a

distância do ponto ao ponto nunca diminui e portanto a função nunca pode ser decrescente neste intervalo. A

opção correta é a C.

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74. Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y f x e 2

2y x na janela de visualização

0, 2,3 . Obtém-se:

A função anula-se em . é um maximizante da função porque muda de sinal, de positivo para

negativo em , e portanto é a abcissa do ponto . As coordenadas do ponto (ponto de interseção do gráfico da

função com o gráfico da função ) são ( ), com e . Logo, [ ]

75.

75.1.


2 2

2 2lim ( ) lim

cos 0x x

f xx

Logo, a reta de equação 2

x

é assíntota vertical do gráfico de f.

2 2lim ( ) lim 2

cos 1x xf x

x

Logo, a reta de equação x não é assíntota vertical do gráfico de f.

2 2

2 2lim ( ) lim

cos 0x x

f xx

e

2 2

2 2lim ( ) lim

cos 0x x

f xx

𝑥

𝑦 𝑦 𝑥

𝑓′

𝜋

𝑂

𝐴

𝐵 𝑎

𝑏

𝑐

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Logo, a reta de equação 2

x

não é assíntota vertical do gráfico de f.


O gráfico da função f não tem assíntotas não verticais porque o seu domínio é limitado.

75.2. Tem-se:

cos 0, , \

2 2

4 3 2 4 3 3 36 4 3 cos cos cos

3 cos 3 22 3x x

f x x x xx

5 5

2 26 6

x k x k k

Como , \2 2

x

, vem 5

6x

. Portanto o conjunto solução da equação é

5

6

.

75.3.

a) A circunferência tem raio 2, portanto 2OP . Assim, 2PQ OQ OP OQ .

As coordenadas do ponto Q são dadas por 2,2tgQ , ,2 2

. Assim:

2

2 2 2 2

2

1

cos

42 2 0 2tg 0 2 4 4tg 2 4 1 tg 2 2

cosPQ OQ

Para ,2 2

x

, cos 0x . Logo,

2

4 22 2 2

coscosf

PQ f h

b) (

)

(

) √ √ .

Cálculo auxiliar: (

) (

) (

) (

) (

) (

)

√ √

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c) Tem-se:

▪

2 2

2 sen2 2sen 2 sen0 tg

cos cos coscos cosh f f

▪ ,

2 2

2 2(́ ) 0 tg 0 0 tg 0 0

cos cos x

h

Fazendo um quadro de variação do sinal da função h , vem:

2

0

2

h n.d. 0 n.d.

h n.d. mín. n.d.

A função h tem um mínimo em 0 , portanto a distância de P a Q é mínima em 0 .

76.

76.1. Tem-se que 2 2cos 2 2sen cos sen 2seng

Recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria, vem:

2 9 2 7 7 7sen sen sen

9 9 9 9 3 , pois ,0

Assim,

2 2

2 7 7 2 7 2 7 5 2 7 6 7 52

3 3 3 9 9 3 9 3 9g

.

76.2. Pretende-se provar que ]

[ ( )

A função g é contínua em [

] pois é a soma e a composição entre funções contínuas em [

].

Em ,2 2

a equação é impossível

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▪ cos 2 2sen 1 2 0 1g

▪ cos 2 2sen cos 2 1 1 2 32 2 2

g

Como g é contínua em ,2

e 1

2 2f f

então, pelo teorema de Bolzano:

]

[ ( )

Ou seja, o gráfico da função g e a reta r intersetam-se pelo menos uma vez.

76.3. Vamos resolver a equação 1 1

cos 2 2sen2 2

g x x x e verificar se tem apenas uma solução no

intervalo ,2

. Tem-se:

2 2 2 21 1 1cos 2 2sen cos sen 2sen 0 1 sen sen 2sen 0

2 2 2x x x x x x x x

2 232sen 2sen 0 4sen 4sen 3 0

2x x x x

Fazendo seny x , obtém-se a equação 24 4 3 0y y . Assim:

2 4 16 4 4 ( 3) 1 34 4 3 0

2 4 2 2y y y y y

Portanto tem-se, 3 1 1 5

sen sen sen 2 2 ,2 2 2 6 6

x x x x k x k k

Como ,2

x

, tem-se 6

x

. Portanto, o ponto cuja existência garantida na alínea anterior é único e as suas

coordenadas são 1 1 1

, ,cos 2sen , 2 ,6 6 6 3 6 6 2 2 6 2

g

.

Equação impossível em

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76.4. Tem-se:

▪ cos 2 2sen 2sen 2 2cos 2 2sen cos 2cos 2cos 2sen 1g x x x x x x x x x x

▪ 1

0 2cos 2sen 1 0 2cos 0 2sen 1 0 cos 0 sen2

g x x x x x x x

7

2 2 ,2 6 6

x k x k x k k

Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que ,2

x

, obtém-se:

5

6 2 6 2x x x x

Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , vem:

x 5

6

2

6

2

g x 0 0 0 0

g x mín. máx. mín. máx. mín.

A função é crescente em [

] e em [

], é decrescente em [

] e em [

], tem máximo

relativo em

, que é (

)

e em

, que é (

)

e tem mínimo relativo em ,

que é ( ) , em

, que é (

) e em

, que é (

) . Assim é mínimo absoluto

e

é máximo absoluto da função e portanto o contradomínio de é [

].

Página 316

77.

77.1. Tem-se sen cos sen cosx x xf x e x e x e x x . Assim, o declive da reta tangente ao gráfico de f no

ponto de abcissa π é dado por: sen cos 0 1m f e e e .

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Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa π é do tipo y e x b

O ponto de coordenadas , , sen ,0f e pertence à reta tangente ao gráfico de f no ponto de

abcissa π. Assim, substituindo-o na sua equação, tem-se 0 e b b e .

A equação da reta pedida é y e x e y e x

77.2. Para 0,2x , tem-se:

▪ sen cosx xf x e x e x

▪ sen cos cos sen senx x x x xf x e x e x e x e x e x 2 cos senx xe x e x 2 cosxe x

▪ .

0 2 cos 0 2 0 cos 0 ,2

x x

Eq impossível em

f x e x e x x k k

Como 0,2x , tem-se 3

2 2x x

Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em 0,2 vem:

x 0

2

3

2

2

f x 0 0

f x p.i. p.i.

Para [ ], o gráfico de tem a concavidade voltada para baixo em [

], tem a concavidade voltada para

cima em [

] e em [

] e tem ponto de inflexão em

e em

.

77.3.

a) Tem-se que e , portanto

e

. Assim:

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▪ ( )

( )

(

)

⏞

▪ ( )

( )

(

)

⏞

( )

Logo

( ) não existe.

b) \ 0gD


0 0 0 0

sen senlim lim lim lim 1 0 0

xx

x x x x

e x xg x e

x x

Logo, a reta de equação 0x não é assíntota vertical do gráfico de g. Como g é contínua em \ 0 , o seu gráfico

não tem assintotas verticais.

▪ Assíntotas horizontais:

Quando , a reta de equação é assíntota horizontal do gráfico de quando , porque:

Como a função é limitada, então

( )

(

) .

Quando o gráfico de não tem assíntota horizontal porque

( ) não existe.

78.

78.1. Tem-se, 4 3sen sen 2 4 3sen 2sen cosf .

▪ tg( ) 2 tg 2 tg 2

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▪ Recorrendo à fórmula 2

2

11 tg

cos

vem, 2

2

1 1 1 33 cos cos cos

3 3 3cos

Como 0, e tg 0 então Qº2 e portanto 3

cos3

▪ Recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria, vem 2 23 6 6sen 1 sen sen

9 9 3x x x . Como

2ºQ , tem-se 6

sen3

x .

Assim, 6 6 3 4 18 2 18 10 18 10 3 2 10 2

4 3 23 3 3 3 9 9 9 3

f

, e portanto:

10 2 3 10 2 3( ) sen

cos 10 2 3 2 20 6 6 202 3 3 3

tg tg 6 62 2 3 2 2

ff

78.2. A função é ímpar, logo ( ) ( ), [ ]. Assim:

( ) ( )⏟ ( )

(

) ( ) (

)

A função é contínua em[ ] é continua em [

] [ ].

Tem-se que (

)

√

e (

)

√

. Como a função é decrescente em [ ] e

então:

(

) (

) (

)

(

)

√

(

) √

Além disso, √ √

e

√

. Portanto,

√

(

)

√

(

) (

) (

).

Logo, pelo teorema de Bolzano,

]

[ ( ) (

) ( ) (

) ( ) ( ) (

)

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78.3. Tem-se:

▪ ( ) 4 3cos 2cos 2f x x x

▪ ( ) 4 3sen 4sen 2 4 3sen 8sen cosf x x x x x x

▪ ( ) 0 4 3sen 8sen cos 0 sen 4 3 8cos 0f x x x x x x

3

sen 0 4 3 8cos 0 sen 0 cos2

x x x x

5 5

2 2 ,6 6

x k x k x k k

Como ,x , vem 5 5

06 6

x x x

Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , vem:

x 5

6

0

5

6

f x 0 0 0 0

f x p.i. p.i. p.i.

O gráfico de tem a concavidade voltada para baixo em[

] e em [

], tem a concavidade voltada para

cima em [

] e em [


, em e em

.

79.

79.1.

▪ No intervalo ,0 a função f é contínua pois é a soma entre duas funções contínuas: uma é uma função constante

e a outra é o produto entre uma função polinomial e a composta de uma função exponencial com uma função afim.

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▪ No intervalo 0, a função g é contínua pois é o quociente entre duas funções contínuas: uma é a diferença entre

uma função afim e uma função trigonométrica e a outra é uma função afim.

▪ Em 0x :

3 2 3 2 3 2

0 0 0lim ( ) lim 2 2 lim 2 0 2 0 2x x

x x xf x x e x e e

0 0 0

3 sen 3lim lim limx x x

x x xf x

x

x 0

senlim 3 1 2x

x

x

3 20 2 0 2 0 2f e

A função f é contínua em 0x , pois 0 0

lim lim 0 2x x

f x f x f

.

Portanto, a função f é contínua em .

79.2. Tem-se que 3

3f

. Logo o ponto de coordenadas ,3 pertence ao gráfico da função f e à reta

tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa π. O seu declive é dado por m f .

2

3 cos 3 sen 3x x x x xf x

x

cos 3x x x 2 2

sen sen cosx x x x

x x

Logo,

2 2

sen cos 0 1f

e portanto a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de

abcissa π é do tipo x

y b

.

Como o ponto de coordenadas ,3 pertence à reta, substituindo-o na sua equação vem:

13 3 1 2b b b

.

A equação pedida é

.

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79.3. Para ,0x , tem-se:

▪ 2 2 3 2 2 23 3x x xf x x e x e x e x

▪ 2 2 2 2 2 2

.

0 3 0 0 3 0 0 0 3x x x

Eq impossível em

f x x e x x e x x e x

0 3x x

Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em ,0 vem:

x 3 0

f x 0

f x mín. máx.

Para ] [ a função tem um único mínimo em que é ( )

79.4.


Como a função f é contínua em , o seu gráfico não tem assintotas verticais.

▪ Assíntotas horizontais:

Quando

3303 2 3 2 2 3 2 2

)lim lim 2 2 lim 2 lim 2 lim 2 limx x x

x yx x x x ix y

yxf x x e x e e e x e e e

e e

3

2

)

22 lim 2 0 2iiyy

ye e

e

i) Mudança de variável: Se x então x Seja y x x y , y .

ii) Se limx

px

a

x (limite notável), então lim 0

p

xx

x

a , com 1a e p .

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Assim, a reta de equação é assíntota do gráfico de f quando .

Quando .

)

3 sen 3 sen 1lim lim lim lim 3 lim sen 3

x x ix x x

x x x xf x x

x x x x

i) Como 1

lim 0x x

e seny x é uma função limitada, então 1

lim sen 0x

xx

.

Assim, a reta de equação é assíntota do gráfico de f quando .

79.5. Para tem-se:

( )

,

Portanto o gráfico de e a reta r intersetam-se em infinitos pontos.

80.

80.1. Tem-se que:

cos

2cos 2sen cos 3 tg 7 2cos2

x

f x x x x x x

2cos x

cos

cos tg cos tg

x

x x x x

80.2.

a) Tem-se, 5 5 5 2 2 2

sen sen cos sen cos cos sen sen cos4 4 4 2 2 2

Sabe-se que tg 8 tg 8 tg 8 . Assim vem:

2

2 2

2 2

1 1 1 11 tg 1 8 cos cos

9 9cos cos

. Como 2ºQ ,

1cos

3

Como sen

tgcos

xx

x , vem

sen 1 88 sen ( 8)

1 3 3

3

.

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Portanto, 5 2 2 8 1 16 2 4 2

sen sen cos4 2 2 3 3 6 6 6

.

b) Tem-se que 1

cos tg 83

f .

Como 2

1sen

cosf x x

x , vem

2 2

1 8 1 8sen 9

3 3cos 1

3

f

.

Assim, 1 8 1 8 26 4 8 26 8 2

8 9 9 83 3 3 3 3 3 3

f f

.

80.3. Tem-se que 0 cos tg 0xg x f x g x f x e x x

Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1 cos tgxy e x x na janela de visualização

, 1,12 2

. Obtém-se:

Portanto, 0a e 1,28b .

Página 317

80.

81.1.

▪ 5 5 5 10 5 5 5

2 cos 2 cos 04 4 4 4 2 2 2

g

xO 1,28b

1 cos tgxy e x x

y

a

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▪

5 5 5 5

4 4 4 4

5 5 5( ) 2 cos 2 2 cos 25 4 2 2lim lim lim lim5 5 5 54

4 4 4 4x x x x

g x g x x x xg

x x x x

5

4

52

4lim

x

x

5

4x

5 0 0)

4

5 5cos 2 cos 2

cos 2 4 2lim 2 lim 2 lim

5

4

i y yx

y yx

y yx

) 0 02

sen 2 sen 22 lim 2 lim 2 2 1 4

2ii y y

y y

y y

i) Mudança de variável: Se 5

4x

então

50

4x

Seja

5 5

4 4y x x y

, 0y .

ii) Tem-se 5

cos 2 cos 2 2 cos 2 sen 22 2 2

y y y y

(podemos também verificar esta relação usando o círculo

trigonométrico)

▪ A reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 5

4

tem declive 4, logo a reta perpendicular à reta tangente ao

gráfico de g no ponto de abcissa 5

4

tem declive

1

4 e portanto a sua equação reduzida é da forma

1

4y x b .

Como o ponto de coordenadas 5 5

,4 2

pertence à reta pedida, tem-se que:

1 5 1 5 5 5 45

4 2 4 4 2 16 16y x b b b b

Assim, a equação da reta perpendicular à reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 5

4

é

.

81.2. Pretende-se mostrar que ]

[ ( )

A função g é uma função contínua em pois é a diferença entre funções contínuas em : uma é uma função afim e

a outra é a composição entre uma função trigonométrica e uma função afim. Logo h é contínua em 3

0,2

.

Se 0y então 2 0y (limite notável)

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Tem-se que:

0 2 0 cos 2 0 cos 0 1g e 3 3 3

2 cos 2 3 cos 3 3 12 2 2

g

Como g é contínua em 3

0,2

e como 3

02

g g

, pelo teorema de Bolzano:

]

[ ( ) ( )

ou seja, a equação g x tem pelo menos uma solução em ]

[.

81.3. Tem-se que 2 2sen 2g x x

Então, 1 sen 2 1 2 2sen 2 2 0 2 2sen 2 4 0 4x x x g x , x .

Logo, conclui-se que 0g x , x e portanto a função g é estritamente crescente em . Assim, a solução da

equação g x , cuja existência foi provada em 81.2. é única.

81.4. Para ,2 2

x

, tem-se:

▪ ( ) 2 2sen 2 2 2cos 2 4cos 2g x x x x

▪ ( ) 0 4cos 2 0 cos 2 0 2 , ,2 4 2

kg x x x x k k x k

Como ,2 2

x

, vem 4 4

x x

.

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x

2

4

4

2

g x n.d. 0 0 n.d.

g x p.i. p.i.

Para ]

[ o gráfico da função tem ponto de inflexão em

e em

.

82.

82.1. Tem-se que 3sen 2 2cos 3 0 2 1 2g . Assim:

2 2 2 21 1 13 2 1 6 4 6 3 2 ln

2 2 2

x x x xg x g e e e e x

2 2ln1 ln 2 2 ln 2 2 ln 2 ln ln 2x x x e x e

82.2. Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y f x e 2y g x na janela de visualização

,2 5,52

. Obtém-se:

xO b

f

y

a 22

g

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Para [

], tem-se que ( ) ( ) [

[ ] ], com e . Portanto as

soluções inteiras da inequação ( ) ( ) no intervalo [–

] são , 0, 1, 2, 3, 5 e 6.

83.

83.1.

22 cos 2 0,

2 2

2

4 2 4 1 16 8 4cos 2 cos 2 cos 2

3 3 2 22 cos 2 x xf x x x x

x

2 2 2

cos 2 cos 2 cos 22 2 2

x x x

2 ,4 2

32 2 2 2 ,

4 4k

x k Z

x k x k k

2 , ,4 2 8 4

k kx k Z x k

Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que ,2 2

x

, obtém-se:

3 3

8 8 8 8x x x x

Portanto, o conjunto solução da equação é 3 3

, , ,8 8 8 8

.

83.2. Tem-se:

▪ 3 3 3 3

sen 3 sen 2 sen sen3 3 3 3

▪ 2

2

2 2

2 2 cos2 cos 2

2

f

▪ sen

tg tgcos

Figura Auxiliar:

4

4

3

4

3

4

2

2

2

2

x

y

O

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Recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria, vem:

2

2 2 23 9 3 6 6 6cos 1 cos cos cos cos

3 9 9 9 9 3

Como ,2 2

, tem-se 6

cos3

. Assim:

2 2

3

2 sen 2 3tg

2 cos2 cos 62

3

f

6

3

2 3 2 3 18 1

6 12 12 26 629 9

3 1 3 2 3 2

2 2 2 22

83.3. Tem-se:

▪

2 2 2

2 2

2 0 2cos 2 2sen 2 2 4sen 2 cos 22

2 cos (2 ) 2 cos 2 2 cos (2 )

x x x xf x

x x x

2 2 2

2 2 2

4 2sen 2 cos 2 4sen 2 2 4sen 4

2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2

x x x x

x x x

▪

22

22

4sen 40 0 4sen 4 0 2 cos 2 0 sen 4 0

2 cos 2Condição universal em

xf x x x x

x

4 0 , ,4

kx k k x k

Como ,2 2

x

, vem 02 4 4 2

x x x x x

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Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , vem:

x 2

4

0

4

2

f x 0 0 0 0 0

f x máx. mín. máx. mín. máx.

A função é decrescente em [

] e em [

], é crescente em [

] e em [

], tem mínimo relativo em

e em

e tem máximo relativo em

, em e em

.

83.4.

a) A medida da altura do triângulo AOB é dada por f x , ou seja, é igual ao valor da ordenada do ponto A. Assim:

2

2AOB

AB f xA

2

x f x

2 2 2

2 2 2

2 cos 2 2 cos 2 2 1 sen 2

x xx

x x x

2

2

1 sen 2

xA x

x

b) Tem-se que 2

22 2

1 sen 2

xA x

x

.

Utilizando o editor de funções da calculadora vamos definir as funções 1y A x e 2 2y na janela 0, 0,42

.

Obtém-se:

( ) , com .

2

y A x

x

y

O

2

1,29 a

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Página 318

84.

84.1. \ 0gD ; senxf x e x

g xx x


0

0 0

sen 0sen 1 0 1lim lim

0 0 0

x

x x

ee xg x

x

0

0 0

sen 0sen 1 0 1lim lim

0 0 0

x

x x

ee xg x

x

Logo, a reta de equação 0x é assíntota vertical do gráfico de g. Como g é contínua em \ 0 , o seu gráfico não

tem mais assintotas verticais.


Quando x

2 2 2 2 2 2) )

sen sen 1lim lim lim lim lim lim sen lim 0

i ii

x x y y

x x x x y x y

f x e x e x e em x

x x x x x yy


ii) Como 2

1lim 0x x

e seny x é uma função limitada, então 2

1lim sen 0x

xx

.

Quando x o gráfico de f não tem assíntota não vertical.

Quando x

2 2 2

sen sen 0lim lim lim lim 0 0

x x

x x x x

g x e x e x em

x x x x

)

sen sen 0lim lim lim lim 0 0

x x

x x x x i

e x e x eb g x mx

x x x

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i) Como 1

lim 0x x

e seny x é uma função limitada, então sen 1

lim lim sen 0x x

xx

x x

.

Logo, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de g, quando x .

84.2. Utilizando o editor de funções da calculadora vamos definir a função 1y f x na janela 0,7 2,2 .

Obtém-se:

Logo, [ ], ( ) . Portanto:

( ) ( )

Assim, como o contradomínio da função é [ ], vem:

{

{

{

{

85.

85.1. Tem-se:

▪ 2cos 2cos sen 2 cos sen sen 2g x a bx a bx b bx ab bx bx ab bx

▪ 2sen 2 2 cos 2 2 cos 2g x ab bx ab b bx ab bx

Assim, 2sen 2 2 cos 2 sen 2 2 cos 2g x g x ab bx ab bx ab bx b bx

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Portanto, como Sabendo que 6 sen 4 4cos 4g x g x x x , vem:

6 6 2 6 3

2 4 2 2 2

ab ab a a

b b b b

85.2.

)) 0

sen 3sen 3 sen 3 sen 31 1 1lim lim lim lim

6sen 4 6 sen 4 6 sen 4 6 sen 4x x x iii y

yx x x

x x x y

0 0 0)

sen 3 3 sen 3 sen 31 1 1lim lim lim

6 sen 4 4 6 sen 4 6 sen 4y y yiii

y y y

y y y

0

0

0

sen 3 sen 3lim

1 1 1 3 1 3 1lim

sen 4 sen 46 6 6 4 1 24 8li

33

m44

y

y

y

y y

y

y

y y

y

y

i) Como a função seny x é ímpar, tem-se sen senx x , x .

ii) Mudança de variável: Se x então 0x Seja y x x y , y .

iii) Como a função seny x tem período positivo mínimo igual a 2 , tem-se sen 2 senx k x , x , k .

85.3. Para ,2 6

x

, tem-se:

▪ 2

3 2( ) 2 cos 2 24cos 4

a e bg x ab bx x

▪ ( ) 0 24cos 4 0 cos 4 0 4 , ,2 8 4

kg x x x x k k x k

Como ,2 6

x

, vem 3

8x

.

Se 0y então 3 0y e 4 0y (limites notáveis)

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x

2

0

6

g x 0

g x n.d. p.i.

Para [

], o gráfico de tem a concavidade voltada para baixo em [

], tem a concavidade

voltada para cima em [


.

85.4. Tem-se que 2 2

D AABCD

AB CD AB CDA altura y y

▪ 5 4 2

6 6 6 3AB

▪ Os pontos C e D têm ordenada 9

4 e pertencem ao gráfico da função f. Portanto as suas abcissas são soluções da

equação 9

4g x , neste caso a segunda e a terceira maiores soluções positivas:

2 2 29 9 9 3 33cos 2 cos 2 cos (2 ) cos 2

4 4 12 4 2g x x x x x

3 3

cos 2 cos 22 2

x x

5 5

2 2 2 2 2 2 2 2 ,6 6 6 6

x k x k x k x k k

5 5

,12 12 12 12

x k x k x k x k k

As três primeiras soluções positivas da equação são 12

,

5

12

( 0k ) e

7

12

( 1k ).

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Assim, 5 9

,12 4

C

e 9 9

,12 4

C

. Logo, 7 5 2

12 12 12 6CD

.

▪

2

2 2 1 1 33cos 2 3cos 3 3

6 6 3 2 4 4Ay g

. Logo,

9 3 6 3

4 4 4 2D Ay y .

Assim,

2 5

3 3 5 3 53 6 6

2 2 2 2 2 12 2 8D AABCD

AB CDA y y

.

85.5.

a) Se a função f é continua em , então também é continua em 0x . Logo, 0 0

lim lim 0x x

f x f x f

. Tem-

se:

▪

0 0 0 0

6sen 4 sen 4lim lim lim lim 1

24 24 4x x x x

g x x xf x

x x x

▪ 2 2

0lim 0 log 4 0 9 log 9x

f k k k k

▪ 2 20 log 4 0 9 log 9f k k k k

Portanto,

2

2 2 1 29 9 4 1 10

log 9 1 9 10 9 10 02 1

k k k k k k k

1 10k k

Como 0k , vem 10k .

b) Para 0,x e 10k , vem log 4 10f x x .

▪ Tem-se que 2

10 2 10 2 0,1 0,210 10

xx y y x y y x .

Portanto, pretende-se determinar o valor de x para o qual

40,1 0,1

4 10 ln10f x

x

Se 0x então 4 0x (limite notável

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▪ Utilizando o editor de funções da calculadora vamos definir as funções 1y f x e 0,1y na janela

0,4 0;0,5 . Obtém-se:

Logo, 0,1f x x a , com 1,84a .

86. Tem-se que 0f x no maior intervalo aberto onde a função f é decrescente.

Utilizando o editor de funções da calculadora vamos definir a funções 1y f x e 0,1y na janela 4,11 1,1 .

Obtém-se:

A função é decrescente em [ ], então ( ) ] [, com e .

87.

87.1.

▪ )

cos cos 2 cos cos 2i

f x x x x x f x , x .

Portanto, a função f é par.

i) Como a função cosy x é par, tem-se cos cosx x , x .

xO

y

a

0,1

f

xO

y

6,1a 11

f

9,3b 4

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▪ ) )

2 cos 2 cos 2 2 cos cos 2 4 cos cos 2ii ii

f x x x x x x x x f x , x .

Portanto, a função f admite 2π como período.

ii) Como a função cosy x tem período positivo mínimo igual a 2 , tem-se cos 2 cosx k x , x , k .

87.2. Como é par e admite como período, então ( ) ( ), e ( ) ( ) , .

Portanto ( )

( )

e ( )

√

( )

√

. Assim vem:

( ) √ ( ) √ ( ) ( ) √ ( ) √ ( )

( ) √ ( ) √ ( )

√

√

√

√

√

√

87.3. A reta r é tangente ao gráfico de no ponto de abcissa e a reta s é tangente ao gráfico de no ponto de

abcissa , então ( ) e ′( ) ( e designam, respetivamente, o declive da reta r e da reta s). As

retas r e s são paralelas se e só se , isto é, se e só se ( ) ( ).

Tem-se que ( ) ( )

Assim:

( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) )

( ) ( ) ( )

i)

ii) A função seno admite como período.

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87.4.

a)

▪ Assintotas verticais:

0

0 0

2 2 0 1lim lim

0 0

x

x x

e x eg x

x

0 0

lim lim cos cos 2 cos 0 cos 2 0 1 1 0x x

g x x x

Logo, a reta de equação 0x é assíntota vertical do gráfico de g

2 2

lim lim cos cos 2 cos 2 cos 2 2 1 1 0x x

g x x x

Logo, a reta de equação 2x não é assíntota vertical do gráfico de g.

Como a função g é contínua em ,2 \ 0 , o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais.

▪ Assintotas não verticais:

)2 2 2 2 2 2

2 2 2lim lim lim lim lim lim lim 0 lim

x x x

i

y y

x x x x x x y y

e x e x e e em x

xx x x x yy


b) Para ,0x , tem-se:

▪

2

2 2 2x x xe x e x xe x

g xx

2xe x 2 2 2

1xx x e xxe e

x x x

▪

2

2

10 0 1 0 0

x

xe x

g x e x xx

.

0 1 0 0 1 0x

Eq impossível em

e x x x x

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Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , em ,0x vem:

Para ] [ a função é crescente em ] ], é decrescente em [ [ e tem máximo relativo em

.

c) Tem-se:

0 0 cos cos 2 0 cos cos 2g x f x x x x x

2 2 2 2 ,x x k x x k k

2

2 3 2 , 2 ,3

kx k x k k x k x k

Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 0,2x , obtém-se:

2 40 2

3 3x x x x

.

Portanto, o conjunto solução da equação é 2 4

0, , ,23 3

.

x 1 0

g x n.d.

g x máx. n.d.

preparar o exame 2013 2016 matemática a · proposta de resolução dos exercícios globais de...

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