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    Proposta de Resoluo dos Exerccios de Escolha Mltipla Preparar o Exame Trigonometria e Nmeros Complexos Pgina 1

    Preparar o Exame 2013 2016 Matemtica A

    Pgina 300

    PREPARAR O EXAME

    Questes de Escolha Mltipla

    1.

    Temos que sombreada crculo setor OAPOPCA A A A . Temos que:

    4crculoA Nota que o raio do crculo 2 porque a respetiva circunferncia definida por 2 2 4 x y

    2setor OAPA A rea do setor circular de raio r e amplitude dada por 2

    2

    r

    2 2sen2sen

    2

    OPCA Repara que a base do tringulo OB que um raio da circunferncia,

    enquanto que a altura a ordenada do ponto P que 2sen

    Assim, 2 2sen 2 2 sen sombreadaA

    Resposta: B

    2.

    Pela definio de seno de um ngulo, 1 1

    sen sensen

    AB

    x x ACxAC AC

    Resposta: A

    3.

    Vejamos se cada um das opes soluo da equao dada:

    2 5tg 5 7 2 5tg 7 2 5 1 7 7 720 4

    20

    soluo da equao

    3 3

    2 5tg 5 7 2 5tg 7 2 5 1 7 7 720 4

    3

    20

    soluo da equao

    7 7

    2 5tg 5 7 2 5tg 7 2 5 1 7 7 720 4

    7

    20

    soluo da equao

    9 9

    2 5tg 5 7 2 5tg 7 2 5 1 7 3 720 4

    9

    20

    no soluo da equao

    Resposta: D

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    Preparar o Exame 2013 2016 Matemtica A

    4.

    No intervalo considerado, a funo cos x crescente, pelo que 3cos x ser decrescente. Ento,

    considerando a funo f como a extenso de g a (repara que 3

    gD ), o contradomnio de g

    ,3

    f f :

    1 1

    1 3cos 1 33 3 2 2

    f

    1 3cos 1 3 1 4 f

    Assim, o contradomnio de g 1

    ,42

    Resposta: C

    5.

    Considera a figura, onde foi acrescentado o ponto R . Temos que:

    sen sen2 1 2

    x OR xOR a abcissa de P

    cos cos2 1 2

    x PR xPR a ordenada de P

    Ento, as coordenadas do ponto P so sen ,cos2 2

    x x

    Resposta: B

    6.

    Se 5

    23

    , ento e pertencem ao 4 quadrante. Neste quadrante a funo cos x

    positiva e crescente e as funes sen x e tg x so negativas e crescentes, pelo que:

    cos cos 0 pois, no 4 quadrante, cos cos

    cos tg 0 pois, no 4 quadrante, cos 0x e tg 0x

    sen sen 0 pois, no 4 quadrante, sen sen

    tg tg 0 pois, no 4 quadrante, tg 0x

    Resposta: C

    11

    R

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    Preparar o Exame 2013 2016 Matemtica A

    7.

    Temos que 0,75OPQA . Observando a figura, conclumos que 1 tg

    2 2OPQ

    QO RPA

    , pelo

    que 1tg 1,5 tg 1,5 56 . Considerando o tringulo QRP , temos que

    1tg 1,5

    tg tg tg tg 0,75 372 2

    RP

    QR

    Assim, 56 e 37

    Resposta: B

    8.

    Como o trapzio representado retngulo, temos que os ngulos no assinalados tm de

    amplitude 2

    , cada um.

    Ento, 2 2 2 2 22

    . Analisemos cada uma das opes:

    sen sen 2 sen 2 2sen cos a opo A no verdadeira

    2 2 2 2cos cos 2 cos 2 cos sen sen cos a opo B verdadeira, enquanto que a C no o

    22 tg

    tg tg 2 tg 21 tg

    a opo D no verdadeira

    Resposta: B

    9.

    Se ,2

    , ento 3 quadrante e temos que sen 0 , cos 0 e tg 0 .

    Analisemos cada um das opes:

    00

    tg sen 0

    a opo A no representa um nmero negativo

    0 0

    cos sen 0

    a opo B representa um nmero negativo

    0 0

    sen cos 0

    a opo C no representa um nmero negativo

    00

    tg cos 0

    a opo D no representa um nmero negativo

    Resposta: B

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    Preparar o Exame 2013 2016 Matemtica A

    10.

    Se sen tg 0 , temos que sen e tg tm sinais contrrios, pelo que cos 0 . Relembra

    que sen

    tgcos

    . Assim, exclumos as opes B e D

    Sabemos que co2 0

    2 2

    2s2

    1 1 11 tg cos cos

    cos 1 tg 1 tg

    Resposta: C

    11.

    Temos que OPQP OP PQ QO . Pelo enunciado sabemos que 1OP QO .

    Consideremos o ponto X como mostra a figura:

    Temos que cos 2 0,416OX rad , pelo que 1,416XP .

    Alm disso, sen 2 0,909 QX rad .

    Considerando o tringulo retngulo XPQ e aplicando o teorema

    de Pitgoras, obtemos 2

    2 21,416 0,909 1,6827 PO PO .

    Assim, 1 1,6827 1 3,7 OPQP OP PQ QO

    Resposta: B

    12.

    Comecemos por resolver a equao dada:

    1

    cos3

    1

    12 3cos 2 1 3cos 2 1 cos 2 2 2 ,

    3 2Q

    x x x x k x k k

    .

    Analisemos cada um dos intervalos dados: nota que 1 , 3 , - 4 , - 2 ,2 2 2 2

    Q Q Q Q

    no intervalo3

    ,2 2

    a equao tem duas solues este intervalo engloba os 2 e 3 quadrantes

    no intervalo 0,2 a equao tem quatro solues este intervalo engloba os quatro quadrantes

    no intervalo ,2

    a equao tem trs solues este intervalo engloba os 4, 1 e 2 quadrantes

    X

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    Preparar o Exame 2013 2016 Matemtica A

    no intervalo 0,2

    a equao tem apenas uma soluo este intervalo engloba o 1 quadrante

    Resposta: C

    13.

    A rea pretendida dada por:

    2

    1 tg tg

    2 2 2 2 2setor de amplitudeOPQ

    OP PQ rA A A

    .

    Resposta: D

    14.

    Analisando o grfico dado, fcil concluir que o perodo positivo mnimo da funo f

    5 8

    8 43 3

    2 2 6 3

    Resposta: C

    15.

    Vamos considerar os tringulos OPB .e OCQ

    22 21 51

    2 2OB OB

    .

    Ento, 1 2 5

    sen55

    2

    22 21 51

    2 2OC OC

    Ento, sen sen

    1 2 5sen sen

    2 2 55

    2

    x x

    sen cos2

    2 5 2 5cos cos

    5 5x x

    1

    1

    P

    Q

    1

    1

    P

    Q

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    Preparar o Exame 2013 2016 Matemtica A

    Assim, 2 5

    sen5

    e 2 5

    cos5

    , pelo que 2 5 2 5 4 5

    sen cos5 5 5

    Resposta: D

    16.

    O vetor OP dado por cos ,senOP , pelo que o declive da reta OP sen

    cos

    . Como a reta

    r tangente circunferncia no ponto P , temos que 1 cos

    senr

    OP

    mm

    Resposta: D

    17.

    O permetro pretendido dado por 2 2DC

    P P AC AO . Temos que 2 1

    2DCP

    .

    Consideremos o tringulo OCA , em que 2

    AOC

    . Ento,

    1 1

    cos sen2 sen

    OCOA

    OA OA

    sen

    tgcos

    cos 1sen cos

    12 sen tg

    sen

    AC ACAC AC

    OA

    Assim, 2 2

    tg senP

    Resposta: B

    18.

    Pelo enunciado, temos que a funo f contnua em , pelo que tambm o em 0x .

    Ento, 0 0

    lim lim 0x x

    f x f x f

    :

    0

    senl0 0 0 0 0 0 im 1

    sen sen 1 sen 1lim lim lim lim lim lim

    x

    x x x x x x x

    x

    ax x ax x a x af x

    bx bx bx b b x b b

    0

    ln 1lim 1

    0, 0

    0 0 0 0 0

    ln 1 ln 1 ln 1 1 1lim lim lim lim lim

    x

    x

    x

    Se x b

    x x

    x

    x x x

    bx x bx bxx b bf x

    ax ax ax a bx a a a

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    Preparar o Exame 2013 2016 Matemtica A

    0 2f

    Ento, a e b so tais que

    12

    12

    a

    b b

    b

    a a

    . Resolvendo este sistema obtemos 1 1a b .

    Resposta: A

    19.

    Temos que OPQR OPQ ROQA A A . Observando a figura, conclumos que:

    2OPQ

    OQ bA

    em que b a abcissa do ponto P . Ento,

    1cos

    cos2

    2 4OPQ

    A

    11

    12

    2 2 4ROQ

    RO OQA

    Ento, cos 1 1 cos

    4 4 4OPQR

    A

    Resposta: B

    20.

    Temos que a funo definida por 2sen 2 1g x x derivvel em , pelo que derivvel em

    x a e

    ' limx a

    g x g ag a

    x a

    . Ento, o limite pedido o valor da derivada de g em x a .

    Ento:

    '2 1' 2sen 2 sen 2 2sen 2 2 cos 2g x x x x x

    2sen cos sen 2

    4sen 2 cos 2 2sen 4x x x

    lim ' 2sen 4x a

    g x g ag a a

    x a

    Resposta: B

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    21.

    Temos que 2 2 2 2 14 4 1

    4x y x y , pelo que o raio da circunferncia representada

    1

    2.

    Assim:

    1

    2 12

    AB

    considerando o tringulo ABC , temos que 1

    coscos

    ABAC

    AC

    Ento, 1 cos 1

    1cos cos

    AB AC

    Resposta: A

    22.1

    Para que g seja contnua somente direita do ponto 0 temos de ter

    0 0

    lim 0 limx x

    g x g g x

    . Assim:

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