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Proposta de Resolução dos Exercícios de Escolha Múltipla “Preparar o Exame Cálculo Diferencial II” Página 1

Preparar o Exame 2013 – 2017 – Matemática A

Página 192

PREPARAR O EXAME

Questões de Escolha Múltipla

1.

Sabe-se que , x y IR e que 2

yx

. Assim:

3

13 3 3

24 4 4 4 4 4 4

2

( ) 8 1log log log log log 2 log 4 log 4

4 4 4 4 2

x

x y xy x

Resposta: C

2.

Sabe-se que , , a b c IR e que 12

c

a b . Logo 1 2

2

c

c

a ba b . Assim:

22 2 2 3

2 2 2 2 2 2 2log 8 log 8 2 log 8 2 log 8 log 2 log 2 2 log 2 3 2 c c ca b c c

Resposta: B

3.

Sabe-se que IRa e que 23log9 a .Assim:

5383

2

1

43

9log

22

33log

)3(log23log)3(log227log)3(log

27

)3(log

27

9log

9

9

93

333

2

3

2

3

2

3

aaa

aa

Resposta: B

4.

Sabe-se que IRba, e que 5log2log aa b .Logo:

2

2 2log 2 log 5 log log log 5 log log 5 5

a a a a a a a

b bb b a

a a

Resposta: A

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5.

Sabe-se que 64log 4a e 37 2401logb . Assim:

61

223 3

4 7 4 7 4 72 6 2log 64 6log 2401 log 64 log 2401 log 64 log 2401

a b

2

3 4

4 7log 4 log 7 3 8 11

Resposta: D

6.

Sabe-se que IRba , , IRyx, e que xa 3log e yb 9log .

6.1

)(222

2

12

9log

log2

3log

loglog2logloglog

9

9

9

9

33

2

3

2

3 babab

ay

ay

xyxy

x

Resposta: A

6.2

222log22222 993939333 3 xxxaaa

Resposta: C

7.

Sabe-se que 1\, IRba e que 2log ba e 132log8log ba Logo:

3 4 2

1

2

log 32 log 32 1log 8 log 32 1 log 8 1 log 8 1 log 8 log 32 1

log 2 2

8 32 2log 8 log 32 1 log 1 log 1 log 2 1 2 2

3232

a aa b a a a a

a

a a a a a

b

a a

Então:

2

2log 2 log 2 2 2 a b b b b

Resposta: B

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8.

Sabe-se que IRx . Assim:

3 3

32 23

3log 3 3 3 27 27

2

yy y y

yyx x x x x x

Resposta: B

9.1

Tendo em conta que o trapézio [ABCD] é isósceles, sabemos que a sua área é dada por :

4 107

2 2ABCD

AD BCA h h h

)2()5( ggh . Logo, como 14trapézioA , vem que :

2

1

1

7 (5) (2) 14 (5) (2) 2 4log 5 1 4log 2 1 2 4log 6 4log 3 2

14 log 6 log 3 2 4log 2 2 log 2 2 2 4

2

b b b b

b b b bb

g g g g

b b b

Resposta: C

9.2

Pelo gráfico sabemos que o contradomínio de g é 0, . Assim,

( ) 1 1 ( ) 1( ) 0 ( ) 1 1 ( ) g x g xg x g x e e e e f x e

Portanto o contradomínio de f é ,e

Resposta: B

10.

Tendo em conta a figura, sabemos que a área do triângulo [AOB] é dada por

1

2 2

AOB

AB ABA

.

Como (1) (1) AB g f vem que:

3 9 3 9

3 9 3 3 3

1 12 log (1 3) 2 log (1 2) 2 log 4 2 log 3

2 2

1 1 1 1 52 log 4 2 log 9 2 log 4 2 2 log 4 4 log 4

2 2 2 2 2

AB

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Então:

3 3

3 3

4 log 4 log 4 12 2 log 4 2 log 2

2 2 2 2

AOB

ABA

Resposta: B

11.

3 3 2 28 8 8 8 2

2

log log( ) log 64 log 64 log 2 3log 2 3 2 3 2 log

log 8 3

x xg x x x x x

Resposta: B

12.

Pelo enunciado sabe-se que xexg )( e que xxg ln)(1

.

Analisemos todas as afirmações, com IRba, e a b :

2

22 2 2 2( ) 2( ) 2( )

2

(2 )( )

(2 )

a

a b a b a b a b a b

b

g a eg a b e e e e e

g b e proposição verdadeira

1 1 1(2 ) (2 ) ln(2 ) ln(2 ) ln

a ag a g b g a b

b b

2ln ln ln ln

2

a a a a

b b b b proposição verdadeira

2 2 2 2( ) ( ) (2 ) a b a b a a b a b a a ag a b g a b g a e e e e e e e proposição

verdadeira

2 21 1 2 1 2( ) ( ) ln( ) ln( ) ln g a g ab g ab a ab ab

2 2 2ln( ) ln ln ln( ) ln ln 2ln ln ln aab ab ab a b ab ab ab ab ab

proposição falsa

Resposta: D

13.

3

2

3ln( 3) ln( 3) 33ln( 3) 2ln 1

2ln 1 3ln 1

( 3)( ) ( ) 3ln( 3) 2ln 1

1

x xx x

x xx

e e xfog x f g x f x x e

xe e

Resposta: A

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14.

Sabe-se que IRbabxaxf x ,,)( , 1)0( f , 1)1( f e 5)2( f , logo:

1

2 2 22

2

1 1( 1)

5 2 5 ( 1) 2 5 2 1 2( 2) 2

3

2 24

b IR

a b a bf a b

a b b b b b bf a b

a

b bb

Resposta: C

15.

Sabe-se que IRaxaexg ax ,log)( 4 e 3)4( ag . Assim:

4

4

4

44

4

4

3ln3

lnln3ln

43ln3ln43334log

eae

aea

aaeaaeaae aaa

Resposta: A

16.

Sabe-se que a área colorida é igual é dada por ( ) ( ) ln 2 F b F a e 3)(log 2 ba , com , 0a b ,

logo:

aba

b

a

babaFbF 222lnln2lnlnln2ln)()(

Então, 2 2 3 2

2 20

2log ( ) 3 log ( 2 ) 3 log (2 ) 3 2 2 4 2 2

a

a b a a a a a a a

Logo, 4b

Resposta: B

17.

Sabe-se que 1,log)( 2 aaxxxf a e que 0)12( f , logo:

2

( 2 1) 0 log 2 1 2 1 0 log 2 2 2 1 2 0

log 3 2 2 2 0 3 2 2 2 1 2 1 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 22 4 2

2 12 1 2 1 2 1

a a

a

f a a a

a a a a a

a a a a a

Resposta: A

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18.

Se as constantes a e b forem positivas, todas as igualdades são verdadeiras. Como não temos

essa informação, as afirmações II e III são verdadeiras, enquanto que as I e IV são falsas.

Observa os seguintes contra exemplos:

I baxbax ccc logloglog

Contra exemplo se 1a e 2b

log 1 2cx mas log ( 1) log ( 2)c cx não faz sentido

IV byby aa log2log 2

Contra exemplo se 2b

2)2(log ay mas 2log ( 2)ay não faz sentido

Resposta: C

19.

Sabe-se que 2

4

2

1)4(16log)4(4log)4(4log 1616

4

16

n

nnnu n

n

Assim:

2

3

2

411

u 1

2

422

u

2

1

2

433

u 0

2

444

u

2

1

2

455

u 6

6 41

2

u

7

7 4 3

2 2

u 8

8 42

2

u

Logo

2,2

3,1,

2

1,0,

2

1,1,

2

3A

Assim, 5

2| YXP Existem 5 elementos não negativos, dos quais 2 têm índice ímpar.

Resposta: B

20.

n

n

n

n

n

n

n

nnun

)ln(1

)ln()ln(

e como

0)ln(

n

n, então

1nu

3n

ev

n

n , pelo que nv . Logo, pela definição de limite segundo Heine,

1

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) 1 1 2

n nxx

f u f v f x f x

Resposta: C

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21.

Para que )(lim nvg é necessário que 1nv ou 1nv ou nv . A única sucessão

que não verifica nenhuma destas condições é a da opção D:

A:

1

31lim

n

B:

11limlim

n

e

n

ne nn

C:

nn

nnnn

e

n

eene

1010 2

1lim2lim

D: 2

lim lim ( )ln( ) ln( )

n nn

n n

Resposta: D

22.

Como n

un

4 , e

2

1

nvn então 0nu e 0nv . Logo, pela definição de limite segundo

Heine, 0

0

0

lim ( )( ) 1 ln 0 1 ln 0 1lim

( ) lim ( ) 0 1 1

n x

nn

x

g xg u

g v g x e

Resposta: D

23.

Como 222

2

2

2 72

7272

nnn

n

n

n

, e

27

22n

então, pela definição de limite segundo

Heine, 2

lim lim ( ) 1

nx

u h x

Resposta: B

24.

( )

( )se 1então ( )

1 1

( )lim ( ) lim lim 0h x

h x yyx x xh x

h x yh x e

e e

Resposta: C

25. Sabe-se que 4)1( f e que quando x então 2)(xf Se f é estritamente crescente em

1, e 1 4f , então, quando x , f tende para 2 por valores superiores, logo lim ( ) 2x

f x

Assim,( ) 2 2

lim2 ( ) 2 2 0

x

f x

f x

Resposta: A

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26.1

Verifica-se facilmente que a equação reduzida da reta que é assíntota oblíqua ao gráfico de g é

32

3 xy , pelo que

( ) 3lim

2

x

g x

x.

Assim0 1 2 2

lim lim lim lim 0( )( ) ( ) ( ) 3 3

x x

x x x x

e x e x

g xg x g x g x

x

Resposta: B

26.2 Observa uma possível representação gráfica da função h:

Então, 4

( )lim

( ) 0

x

g x

h x:

Resposta: D

27.

Sabe-se que quando x então 4)( xh . Assim,

1

lnln 02

lim( ) 4 4

x

xa

h x

65 ( ) 5 4 0 4lim 1

( ) 4 4

x

x

h xb

h x

Resposta: D

28. Sabe-se que 2

lim ( )

x

f x e 2

lim ( )

x

f x . Assim,

22

( )lim

2 0

x

f xa

x x

2

2 4lim 0

( )

x

xb

f x

Resposta: A

29. Como 2

11

nun ,então

1nu Logo, pela definição de limite segundo Heine,

2 21 1 1

lim ( ) lim ln 1 lim ln 1 lim ln 12 2 2

n n

nn n n n

n f u nn n n

h

O 4-1

y

x

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2 2 2 2

2 2 2

1

1 1 1lim ln 1 lim ln 1 1

2 2 2

1 1 1 1lim ln 1 lim ln 1 ln lim 1 ln 1

2 2 2

ln ln 1 0 1 0 1

n n

n n

n n

n n n

n n n

n n n

e

Resposta: A

30.

( 1)( 1) ( 1)

2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

( 1) ( 1)

1 1 1 1)

2 12 2 2 2 1lim lim lim 2lim

( ) ( 1) ( 1)

1 1 1 1 2 1 2 22lim lim 2 lim lim 1

( 1) ( 1)

a xax a a x a x

x x x x

a x

x x i

a x y

x x

ee e e

ax a x a x a x a x x a x x

e e e

ax a x a a x a y a a

i) Mudança de variável

Se 1x então 1 0a x . Seja 1y a x , 0y

Resposta: A

31.

44 4 4 4

4 41 1 1 1

43 12

2 2 2 2 4 3 3lim 2 lim lim lim 1 lim 1

1 1 1 1 1

3 3 3lim 1 lim 1 lim 1 1

1 1 1

n n n n n

n n

n n n n

n n n n n

e en n n

Resposta: C

32.

2

2 2 2 2

2 0)

4 ( 2)( 2) 2lim lim lim lim( 2)

ln( 1) ln( 1) ln( 1)

2lim 4 lim 4 4

ln( 1) ln( 1)

x x x

x i

x

y

x x x xx

x x x

x y

x y

i) Mudança de variável

Se 2x então 2 0x . Seja 2 2y x x y , 0y

Resposta: C

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33.

A função f é contínua em x a se lim limx a x a

g x g x g a

.

2lim ( ) 3 5x a

g x g a a a

0

) 0, 0 1lim

2

0 01

0

lim lim lim lim lim(1 ) 1

lim lim lim 11 1 1 y

y

i s

x x x

x a x a x a x a xx a x a x a x a x a

y y yy y ye y y e

y

ax a x a x a x ag x e a e a e a

e e e e e e e

y y ya a a a a

e e e

i) Mudança de variável:

Se x a então 0x a . Seja , 0y x a x y a y

Então,

2 24 14 4 1 5

3 5 4 5 0 5 12

a a a a a a a a

Como 0a , temos que 5a .

Resposta: D

34.1

f é contínua em se 0 0

lim lim 0x x

f x f x f

0 0 0

3 ln 3lim lim lim 1 0 1 1

ln lnx x x

x x xf x a a a a

x x

2 0

0 00 lim lim( ) 0 2x

x xf f x ae x a ae a a

Então, 112 aaa

Resposta: A

34.2

Para 2a ,

02

ln

ln3

022

)(

2

xsex

xx

xsexe

xf

x

6 ln 2

(2) 2 5,656ln 2

f

046,726ln

6ln18)6(

f

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Como 736,1)1( f e 4)0( f tem-se que 944,6)1()0( ff

Assim, 2 0 1 6f f f f . Como f é continua em 2,6 e (0) ( 1) (2), (6)f f f f

então pelo teorema de Bolzano sabe-se que 6,2 c tal que 0 1f c f f , pelo que a

equação 0 1f x f f tem pelo menos uma solução neste intervalo.

Nota que:

na opção A, tem-se )1(

)0(2)(

f

fxf e

2 (0)4,61

( 1)

f

f

e 4,61 2 , 6f f , o que não

permite , pelo TB, garantir a existência de pelo menos uma solução no intervalo 2,6 ;

na opção C, tem-se )0()1(2

5)( ffxf e 34,8)0()1(

2

5 ff e

8,34 2 , 6f f , o que não permite , pelo TB, garantir a existência de pelo menos

uma solução no intervalo 2,6 ;

na opção D, tem-se )0()1(2)( ffxf e 472,7)0()1(2 ff e

7,472 2 , 6f f , o que não permite, pelo TB, garantir a existência de pelo menos

uma solução no intervalo 2,6

Resposta: B

35.

Se 1 1g então 1 1g . Então, como 1 3 0g g , tem-se que 3 1 1g g

Vamos analisar cada uma das opções.

Opção A: 3 1 0 1 1g g . Como g é contínua em , g é contínua em 1,3 e

3 0 1g g então, pelo teorema de Bolzano, sabe-se que 3,1 c tal que 0g c

e a equação 0g x tem pelo menos uma solução neste intervalo. Assim, a afirmação

desta opção é consequência direta da aplicação do Teorema de Bolzano.

Opção B: relativamente a esta opção, não se tem informação suficiente para aplicar o

Teorema de Bolzano em 1,3 . Não conhecemos a monotonia da função no intervalo neste

intervalo, pelo que não conseguimos enquadrar 2g utilizando 1g e 3g .

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Opção C: 3 1 1 1g g . Como g é contínua em , g é contínua em 1,3 e

3 1 1g g então, pelo teorema de Bolzano, sabe-se que 3,1 c tal que 1g c e

a equação 1g x tem pelo menos uma solução neste intervalo. Assim, a afirmação

desta opção é consequência direta da aplicação do Teorema de Bolzano.

Opção D: como 3 0g , então )3(2

)3(g

g logo )1(

2

1

2

)3()3( g

gg Então, pelo

teorema de Bolzano, sabe-se que 3,1 c tal que 3

2

gg c e a equação

3

2

gg x tem pelo menos uma solução neste intervalo. Assim, a afirmação desta

opção é consequência direta da aplicação do Teorema de Bolzano.

Resposta: B

36.

2 3124 ( 1) ,nf n n n

n

2 3122 4 6 1 6 360

6f f

230412112412

121 32

ff

12841444

123 32

ff

2 3124 4 3 ( 1) 3 9

3f f

2 33 12

4 8 1 8 7682 8

f f

Então o único intervalo ,a b presente nas opções para o qual 0f a f b é 2,4 . Assim, o

corolário do Teorema de Bolzano garante que 4,2 c para o qual 0f c . Logo neste

intervalo a função f tem pelo menos um zero.

Resposta: C

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37.

Como 2 fD vamos estudar a existência de assíntotas verticais em 2x :

0

0

2 0)2 0

ln 2 1 ln 1ln( 1)lim ( ) lim lim lim 1

2x x y yi

y yxf x

x y y


Se 2x então 2 0x . Seja 2 2, 0y x x y y

Como 2

lim ( ) 1x

f x

, 2x não é assíntota vertical ao gráfico de f .

Resposta: C

38.

Podemos eliminar a opção C porque é uma equação de uma assíntota vertical e não oblíqua e a

opção D porque é uma equação de uma reta que não contém o ponto (2,3).

Como a função f tem uma assíntota oblíqua, tem-se que lim ( )x

f x

.

A equação da assíntota oblíqua ao gráfico de f é y mx b , em que

limx

f xm

x .

Determinemos este valor:

21 1 1lim 2 lim lim lim 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1lim lim lim 2 0 lim 2

( ) ( ) ( )

0 0 lim 2 lim 2( ) ( )

x x x x

x x x x

x x

x x x

xf x xf x f x f x

x x

x f x f x f x

x x

f x f x

Então, ( ) 1 1 1

lim2 2

lim( )

x

x

f xm

xx

f x

Sendo 1

2m , conclui-se que a opção B é a correta (a opção D já foi excluída). Confirmemos, no

entanto, que 4b . Como (2,3) é um ponto que pertence à assíntota então

13 2 3 1 4

2y mx b b b b

Resposta: B

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39

Assíntotas verticais: nota que \ 0gD

0

0 0lim ( ) lim 0

ee

x

x xg x e x e e

.

Então, 0x é a equação da assíntota vertical do gráfico de g .

Assíntotas não verticais:

( ) 1lim lim lim lim 1 1 0 1 1

e e e

x x

x x x x

g x e x e x em

x x x x

0lim ( ( ) ) lim 1 lim 1e e

x x

x x xb g x mx e x x e e

Então, 1y x é a equação da assíntota oblíqua do gráfico de g .

As equações 0x e 1y x são as equações de assíntotas do gráfico de g .

Resposta: D

40.

Se lim ( ( ) 4 ) 1x

f x x

então a equação 4 1y x é assíntota do gráfico de g quando x e

( )lim 4x

f x

x .

Como a função é par a equação 4 1y x é assíntota ao gráfico de g quando x e

lim ( ) ( 4 1) lim ( ) 4 1 0x x

g x x g x x

Assim, ( ) 1 ( ) 1

lim lim 4 22 2 2x x

f x f xa

x x e 0b , pelo que

0 1ba a

Resposta: B

41.

Como a equação 3 2y x é assíntota do gráfico de g , cujo domínio é , temos que

( )lim 3x

g x

x .

Como, quando x , o gráfico da função g “confunde-se” com a reta 3 2y x temos que

lim (́ ) lim ( 3 2)´ lim 3 3x x x

g x x

. Então,

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( ) (́ ) 1 1 8lim lim (́ ) lim 3 3

( ) ( ) 3 3 3x x x

g x g x x xg x

g x g x

Resposta: B

42.

A equação da reta r é 1

12

y x . Assim, sabe-se que:

( ) 1

lim2x

g x

x

1

lim ( ) 12x

g x x

1

lim ( ) lim 12x x

g x x

Então:

1

lim ( ) 12x

g x x

logo a opção A não é verdadeira

11

( ) 2lim lim1 1'

2 2

x x

xg x

g x

logo a opção B não é verdadeira

Se

lim 2x

x

g x , então

1lim

2x

g x

x e g teria uma assíntota não vertical quando

x , o que não está de acordo com o enunciado logo a opção C não é verdadeira

lim0xx

g x

e e

logo a opção D é verdadeira

Resposta: D

43.

Como a função h está definido por ramos, temos de estudar as derivadas laterais em 0x .

(0) 0 ln(0 1) 0h

0 0 0 0

( ) (0) ln( 1) 0 ln( 1)´ 0 lim lim lim lim 1 1 2

0x x x x

h x h x x x xh

x x x x

Limite notável

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22

0 0 0 0

10 0´ 0 lim lim lim lim

0 0

x x x xx x

x x x x

e e e eh x h e eh

x x x x

0 0

1lim lim 1 1 1

xx

x x

ee

x

Como ´ 0 ´ 0h h a função h não é derivável em 0x .

Resposta: C

44.

Analisemos todas as opções:

A reta de equação 2y x é tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1, pelo que

' 1 1f . Além disso, a reta de equação 2y x é assíntota ao gráfico de g , pelo

que

lim 1x

g x

x a opção A é verdadeira

Como 2y x é assíntota ao gráfico de g temos que lim lim 2x x

g x x

a

opção B é verdadeira

Como a função g é contínua em então é contínua em 1x e, por definição,

1

lim 1x

f x f

a opção C é falsa

Como 2y x é assíntota ao gráfico de g ,

lim 2 lim 2x x

g x x g x x

a opção D é verdadeira

Resposta: C

45.

Resolvendo em ordem a y , a equação da reta r , tem-se 2 2 2 2

9 2 29 9 9

xy x y y x

.

O declive da reta r é 2

9 e se a reta tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a é

perpendicular à reta r , então 9

'2

g a .

Limite notável

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'

'2 1

2 14 4(́ ) 3 ln 3 3 32 24 2

4 4

x

xg x x

x x x

9 1 9 3(2 ) 1 9 3 7 9 6 14 9(2 )(́ ) 3

2 2 2 2 2 2 2 2(2 ) 2(2 )

6 14 18 9 40 3 4 0 2 2

4 2 3

a a a ag a

a a a a a

a aa a a a

a

Resposta: D

46.

Como f é derivável em , então f é derivável em 3x e 3

( ) ( 3)(́ 3) lim

3x

f x ff

x

.

2( 3)

2 6 2( 3)

3 3 3

2 22( 3) 2( 3)

0 03

)

3

3

1

1 1 3lim lim lim( ) ( 3)( ) ( 3) ( ) ( 3)

3

1 11 1 lim 2limlim lim2 1 223 3

( ) ( 3) ' 3 ' 3 ' 3 ' 3 ' 3lim

3

x

x x

x x x

y yx x

x x

x

i

y y

e

e e xf x ff x f f x f

x

e ee e

y yx xf x f f f f f f

x


Se 3x então 3 0x . Seja 3 3, 0y x x y y

Como 2 6

3

1lim 1

( ) ( 3)

x

x

e

f x f

, então

21 ´ 3 2

(́ 3)f

f

Resposta: C

47.

2 2

( ) 1 ( ) ( 2)lim 2 lim 2 (́ 2) 2

2 2x x

f x f x ff

x x

Como a derivada da função f em 2x é finita, f é derivável em 2x , pelo que é

contínua em 2x e portanto 2

lim ( ) ( 2) 1x

f x f

Resposta: B

Limite notável. Se

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48.

Sabe-se que:

a inclinação da reta s é 135º , logo tg135 1sm

as retas s e r são perpendiculares pelo que 1

1r

s

mm

a reta r é tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 0 , logo ' 0 1rg m

a reta s é tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa b , logo ' 1sg b m

(́ ) ´x xg x e ax e a

Assim,

0´ 0 1 1 2g e a a e ´ 1 1 2 1 3 ln3b b bg b e a e e b

Resposta: A

49.

Sabe-se que:

a reta r é tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a , logo ' rf a m

a reta r é tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa b , logo ' rg b m

(́ ) xf x e e 2 1

(́ )2

g xx x

Assim, 1 1

´ ´ 0a a a

af a g b e b b e e b

b e

, com b

Resposta: D

50.

Se a função f tem um mínimo em 4x , então 'f muda de sinal em 4x , de negativo

para positivo.

Se a função f tem um máximo em 2x , então 'f muda de sinal em 2x , de

positivo para negativo.

A única opção que verifica estas duas condições é a C.

Consegue-se escolher a opção correta sem usar a informação '' 0 0f . No entanto, se começarmos por utilizar esta

informação, sabe-se que o declive da reta tangente ao gráfico de 'f em 4x é 0 , o que permitiria eliminar a opção B.

Resposta: C

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51.

Da leitura dos quadros apresentados, tem-se que:

' 0f a e 'f muda de sinal em x a . Então f tem um extremo relativo em x a a

opção A é verdadeira

'' 0f a porque 'f é crescente para x b e a b . '' 02

b cf

porque 'f é

decrescente para ,x b c e 2

b cb c

. Então, '' '' 0

2

b cf a f

a opção B é

verdadeira

Como 'f é crescente em ,b e em ,c , temos que '' 0f nesses intervalos pelo

que f tem a concavidade voltada para cima em ,b e em ,c a opção C é verdadeira

' 02

a cf

pois 'f é positiva para ,x a c e

2

a ca c

. Então,

' 0 '' 02

a cf f a

pois ambas as parcelas são positivas a opção D é falsa

Resposta: D

52.1

( 1, 1) (2,5) ( 3, 6)PQ Q P

Logo o declive da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1 é 1 e 6

' 1 23

g

Sendo 2y x b a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1, temos que

o ponto 2,5P a esta, pelo que 5 2 2 1b b .

Assim, a equação da reta é 2 1y x . Como a reta é tangente ao gráfico de g no ponto de

abcissa 1, tem-se que (1) 2 1 1 3g .

Como o ponto 1, 1g é um ponto de inflexão do gráfico da função g , então '' 1 0g

Assim, (1) (́1) ´́ (1) 2 3 0 6g g g

Resposta: D

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52.2

Sabe-se que (1) 3g , (́1) 2g e ´́ (1) 0g . Assim, analisemos qual dos polinómios verifica as

três condições:

Opção A: 1 2 5 4 2 3g . Temos que 2' 6 10 4g x x x , pelo que

' 1 6 10 4 0g a opção A não é a correta

Opção B: 1 1 2 3 1 3g . Temos que 2' 3 4 3g x x x , pelo que

' 1 3 4 3 2g . Além disso, '' 6 4g x x , logo '' 1 6 4 2g a opção B não é a

correta

Opção C: 1 1 3 1 2 3g . Temos que 2' 3 6 1g x x x , pelo que

' 1 3 6 1 2g . Além disso, '' 6 6g x x , logo '' 1 6 6 0g a opção C é a

correta pois verifica as três condições

Opção D: 1 2 6 4 1 1g a D não é a correta

Resposta: C

53.

O gráfico da função g tem a concavidade voltada para baixo, para os valores de x tais que

'' 0g x .

O único intervalo que verifica esta condição é 2,0 .

Resposta: A

54.

Analisando a representação gráfica de ''f , pode-se elaborar o seguinte quadro de variação do

sinal desta função, onde 0a b e '' '' 0f a f b :

x 2 a b

''f 0 0

f

p.i. p.i.

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Com esta informação, podemos concluir que f tem a concavidade voltada para cima em 2,a

e em ,b , tem a concavidade voltada para baixo em ,a b e tem pontos de inflexão em x a

e em x b . Assim,

a opção A é excluída porque a representação gráfica apresentada não tem a concavidade

voltada para cima em 2,a

a opção B é excluída porque a função representada não é derivável em 2, (há um

ponto anguloso)

exclui-se a opção C porque a representação gráfica apresentada não tem a concavidade

voltada para cima em ,b .

Resposta: D

55.

Pode excluir-se a opção B porque na representação gráfica apresentada nesta opção, no

intervalo 2, 1 o gráfico é um segmento de reta, pelo que a sua derivada neste intervalo

seria constante, o que não acontece no gráfico da função 'g .

Pode também excluir-se a opção C porque a representação gráfica apresentada nesta

opção é a de uma função contínua em todo o seu domínio e sabe-se pelo enunciado que

g não é contínua em todo o seu domínio.

Por observação da representação gráfica de 'g , podemos elaborar o seguinte quadro de variação

do sinal da função 'g :

x 2 1 1

'g 0 n.d n.d 0

g máx.

Como 2g é um máximo de g , exclui-se a opção D porque na representação gráfica

desta opção 2g é um mínimo.

Assim por exclusão de partes e também por verificar todas as “conclusões” retiradas da leitura do

quadro, a opção correta é a A.

Resposta: A

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56.

' ' 'x xh x f x e f x e

'' ' ' ''x xh x f x e f x e

Como f é uma função quadrática, a sua expressão analítica é do tipo 2f x ax bx c , com

0a , temos que '' 2 , 0f x a a .

Relembremos a representação gráfica da função xy e .

Como '' '' 2x xh x f x e a e , o gráfico de ''h resulta de uma

translação do da função xy e associada ao vetor 0,2a . Como 0y é

a equação da assíntota horizontal do gráfico da função xy e quando

x , então 2 , 0y a a é a equação da assíntota horizontal do

gráfico da função ''h quando x . Assim, a representação gráfica correta só pode ser a

apresentada na opção A.

Resposta: A

57.1

Por observação do gráfico de 'f , podemos elaborar o seguinte quadro de variação do sinal desta

função, com 0a :

x a

'f 0

f min.

Como a função f é decrescente em ,a e 0, ,a a , a opção correta é a B.

Resposta: B

57.2

Sendo 2a , a função f é decrescente em , 2 . Então, como 0 1 temos que

0 1 0 3f f f Nota que 0,1 ,2 . Assim 0 3f .

Resposta: D

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58.

Comecemos por determinar os zeros de 'f :

1

(́ ) 0 1 0 0ax axf x e ax e xa

Elaborando os quadros de variação do sinal da função 'f para 0a e para 0a , obtém-se:

Se 0a : Se 0a :

x a

1

x

a

1

'f 0 'f 0

f min. f max.

Da análise dos quadros verifica-se que as opções A e C são falsas.

Determinando a expressão analítica de ''f e os respetivos zeros obtém-se:

´́ ( ) 0 ( 1 )´ 0 ( 1) 0 ( 1 1) 0

0 2 0

2

ax ax ax ax

ax

f x e ax ae ax ae ae ax

ae ax

xa

Elaborando o quadro de variação do sinal da função ´́ ( ) ( 2)axf x ae ax , para 0a e para

0a , obtém-se:

Se 0a : Se 0a :

x 2

a

x

2

a

axae axae

2ax 0 2ax 0

''f 0 ''f 0

f p.i.

f

p.i.

Equação impossível pois a ≠ 0

Equação impossível

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Observa-se que o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em 2

, , \ 0aa

.

Resposta: D

59.

Por observação do gráfico de f , podemos elaborar o quadro de variação do sinal de 'f

x a 0 d

f min. max. min.

'f 0 0 0

Então, podemos excluir as opções B e D. Nestas opções 'f é positiva em ,a .

Podemos também elaborar o quadro de variação do sinal da função ''f ,

x b c

f

p.i. p.i.

''f 0 0

Agora, podemos excluir a opção C. Nesta opção ''f é negativa em ,b .

Resposta : A

60.1

Utilizando o editor de funções da calculadora define-se a função 2

1 5 4y abs x x na janela

3,7 0,10 , obtém-se:

Observando este gráfico, concluímos que a derivada de g em

1x e em 5x não existe (são pontos angulosos), logo a

afirmação I é falsa e a afirmação III é verdadeira.

Vejamos a veracidade da afirmação II:

2 2 2

2 2 2 2)

2 2

2 2 2

5 4 9( ) 9 5 4 9 4 4lim lim lim lim

2 2 2 2

4 4 ( 2)lim lim lim( 2) 0

2 2

x x x x

x x

i

x

x xg x x x x x

x x x x

x x xx

x x

Figura 1

g

y

xO 5-1

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i) Nota que

2

2

5 4 se 1,5

5 4 se , 1 5,

x x xg x

x x x

Logo a afirmação II é verdadeira.

Resposta: C

60.2

Por observação do gráfico de g , conclui-se que '' 0g x para 1,5x , porque o gráfico da

função g tem a concavidade voltada para baixo nesse intervalo; da mesma forma, '' 0g x

para , 1 5,x , porque o gráfico da função g tem a concavidade voltada para cima

em , 1 e em 5, .

Assim, podemos excluir as opções B e D. Nestas opções ''g é positiva em 1,5 .

Por outro lado sabemos que, para 5,x , 2( ) 5 4g x x x , pelo que, neste intervalo,

(́ ) 4 2 , 5,g x x x e ´́ ( ) 2g x . O único gráfico que verifica esta condição é o da opção

C.

Resposta: C

61.

Como ( ) 1

lim3x

f x

x , então a reta de equação

1

3y x b é assíntota oblíqua ao gráfico de f ,

quando x . Assim, podemos excluir a opção A.

Se (́ ) ´́ ( ) 0, f x f x x IR , então (́ ) 0 ´́ ( ) 0 (́ ) 0 ´́ ( ) 0 , f x f x f x f x x IR ,

Ou seja,

f é decrescente em e o seu gráfico tem sempre a concavidade voltada para cima

ou

f é crescente em e o seu gráfico tem sempre a concavidade voltada para baixo

O único gráfico que verifica esta condição é o da opção B. Na opção C a função representada não é

decrescente (ou crescente) em e na opção D, apesar de a função representada ser decrescente em , a sua

concavidade é voltada para baixo.

Resposta: B

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62.

Sabendo que 0,3 e 1,5 pertencem à reta r, determinamos que a equação reduzida da reta

r é 2 3y x .

Então, ( )

lim 2x

h x

x e lim ( ) 2 3

xh x x

. Assim,

lim ( ) 2 2 lim ( ) 2 2 3 2 1x x

a h x x h x x

por observação do gráfico de h verificamos que (́0 )b h

5

( ) (5)lim (́5)

5x

h x hc h

x

, mas a derivada de h em 5x não existe visto que este é um

ponto anguloso. Portanto c não existe.

Resposta: D

63.1

Por observação do gráfico de g , verificamos que 0)2´( g , logo a afirmação A é falsa.

Resposta: A

63.2

Por observação do gráfico de g verifica-se que:

para , 2x temos que 1g x , logo ' 0, , 2g x x . A opção C não é a

correta

para 3,x temos que g x mx b com ,m b . Como ' 3g não existe, temos

que ' , 3,g x m m x . A opção A não é a correta

para 2,3x temos que ' 0g x , uma vez que o declive da reta tangente ao gráfico

de g em qualquer ponto deste intervalo é positivo, isto é, a função g é crescente nesse

intervalo. A opção D não é a correta

A representação gráfica da opção B satisfaz todas estas condições.

Resposta: B

64.1

Para estudar a função h quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão

recorre-se ao estudo do sinal da sua segunda derivada, começando por determinar os seus zeros:

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2 22 2 2 2´́ ( ) 0 ( 1)( ) 0 1 0 0x x x xh x e x x e x x

22 21 ( 1) 0 2 0 ( 1) 0

1(2 1) 0 0 1 0 0 1

2

10 1

2

x xe x x x x x x

x x x x x x x x

x x x

Fazendo um quadro de variação do sinal da função ''h obtém-se:

x 1 0 2

1

22 1x xe 0 0

2x x 0 0

''h 0 0 0

h

p.i. p.i.

Logo, o gráfico de h tem um ponto de inflexão em 1x e em 1

2x

Resposta: C

64.2

Analisando o quadro de variação do sinal da função ''h , verifica-se que as afirmações A e C são

falsas.

Como em 1

0,2

a função ''h é negativa, então 'h é decrescente nesse intervalo, logo a

afirmação B é falsa.

Como em . 1 a função ''h é positiva, então 'h é crescente em . 1 .

Resposta: D

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