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Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta Aberta II - “Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos” Página 1

Preparar o Exame 2013 – 2016 – Matemática A

Página 319

88.

88.1. O ângulo CDA está inscrito na circunferência, portanto 2

CDA

. Assim:

2 22

ABCD CDA

AD CDA A AD CD

Tem-se que, cos 2cos2 2 2

ADAD

e sen 2sen

2 2 2

CDCD

.

Portanto, 2cos 2sen 2 2cos sen 2sen 22 2 2 2

ABCDA AD CD

2

2sen

.

Logo, a área da região colorida da figura é dada por:

21 2sen 2senregião colorida círculo ABCDA A A A

88.2. A função g é uma função contínua em 0, pois é a diferença entre funções contínuas no seu domínio: uma é

uma função contante e a outra é o produto entre uma função constante e uma função trigonométrica. Logo A é contínua

em 3

, 0,6 4

.

Tem-se que:

▪ 1

2sen 2 16 6 2

A

. Como 3 então 1 2 e portanto 26

A

.

▪ 3 3 2

2sen 2 24 4 2

A

.

Como 2 1,2 , vem, 2 1,2 2 1,2 2 1,2

Como 3,2 , vem,

2

2 1,2 1,2 3,2 2 2 . Portanto 3

24

A

.

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Como a função g é contínua em 3

,6 4

e 3

24 6

A A

, pelo teorema de Bolzano:

]

[ ( )

Portanto, conclui-se que a equação 2A tem pelo menos uma solução em ]

[.

88.3.

▪ 2cosA

▪ 0 2cos 0 2cos 02

A k

, k

Como 0,x , tem-se 2

x

Fazendo um quadro de variação do sinal da função A , em 0, vem:

Logo, o valor da área mínima da região colorida é 2 sen 22 2

A

.

88.4.

▪ Assíntotas verticais:

0 0 0

2 sen 02sen 2 0lim ( ) lim lim

0 0 0x x x

A x xh x

x x

Assim, a reta de equação 0x é assíntota vertical do gráfico de h. Como a função h é contínua em \ 0 , o seu

gráfico não tem mais assíntotas verticais.

x 0 2

g x

g x máx. mín. máx.

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▪ Assíntotas não verticais:

Quando x

2

3 3

2sen

2sen 1lim lim lim lim 2sen 0x x x x

xh x xxm x

x x x x

2 2

2sen 1lim lim lim 2sen 0x x x

xb h x mx x

x x

Logo, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de h, quando x .

89.

89.1.

▪

( )

( ) ( )

( ) ( ( )) ( )

▪ O declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0 é dado por 0 2m f .

Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0 é do tipo 2y x b

O ponto de coordenadas 0, 0 0,0f pertence à reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0. Assim,

substituindo-o na sua equação, tem-se 0 2 0 0b b .

A equação da reta pedida é 2y x .

89.2.

2 2 ln cos 2 ln cos3 sen 3 3 sen 3 3 sen 3 3cos sen 3

f x x xe x e x e x x x

)

3 1 3 3cos sen sen cos cos sen

2 2 2 3 3 2ix x x x

Limitada

Infinitésimo

Limitada

Infinitésimo

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3

sen3 2 3

x

3

x

2 23 3

k x k

, k

2

2 2 2 23 3 3

x k x k x k x k

, k

Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que ,2 2

x

, obtém-se 03

x x

.

Conjunto solução: ,03

.

89.3.

▪ sen sen

2 ln cos 0 tgcos cos

x xf x x x

x x

▪ 0 tg 0 tg 0 0f x x x x k x k , k

Como ,2 2

x

, tem-se 0x

Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em ,2 2

x

vem:

O gráfico de tem a concavidade voltada para baixo em [

[, tem a concavidade voltada para cima em ]

] e

tem ponto de inflexão em

x 2

0

2

f x n.d. n.d.

f x n.d. p.i. n.d.

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89.4. Tem-se que 7

cos14

, então usando a fórmula 2

2

11 tg

cos

, vem:

2 2 2 2 2

2

1 1 196 1961 tg 1 tg tg 1 tg 1 tg 27 tg 27

7 7 77196

14

Como 1ºQ , vem tg 27 3 3 .

Assim:

2

5tg tg 3 3 35 5 3 3 3 4 33

tg53 3 1 3 31 3 3 3 1 3 31 tg tg3

f

4 3 3

sen8 2 3

90.

90.1. Sejam P e Q os pontos do lado AD tais que FP AD e EQ AD . Assim, CF EB DP e

DF AE .

Tem-se

▪ 2 2

sensen

x DFxDF

▪ 2 2 2

tg tgtgDP CF

x x CFxDP CF

Logo, como 2 2EF CF , vem:

2 2

2 2 4 42 2 2 2 2 2 2 2 4

sen tg sen tgAE DAEFD

xF C

f

F

E F

P AE EF DF AD DF CFx x x x

A

BEFC

D P

x

2

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90.2.

▪ Quando a figura que se obtém é um triângulo isósceles ( e coincidem no centro da aresta [ ]). Portanto

( ) é o perímetro de um triângulo de dimensões 2, √ e √ , logo ( ) √ .

▪

( )

(

)

(

)

.

Quando

o trapézio [ ] tende a coincidir com o quadrado [ ] cujo perímetro é 8.

90.3. Tem-se:

2

2 2 2 2 2 2 22

2

14

4 4 4cos 4cos 4 4cos 4cos4 0sen tg sen tg sen cos tg sen sen

coscos

x x xxf xx x x x x x x x x

xx

2 2 2

4cos 4 4 4cos

sen sen sen

x x

x x x

Tem-se que ,2

x a

com a , 0 cos 1 4 4cos 0 0 4 4cos 4x x x .

Logo, ,2

x a

, 2

0

4 4cos0

sen

xf x

x

e portanto, a função é estritamente crescente em [

].

À medida que aumenta o perímetro do trapézio [ ] também aumenta.

90.4. Tem-se sen 2 sen sen cos cos sen2 6 2 6 3 3 3

x xg x x x

.

Se 1

3EF então

1 52

53 3

2 2 6CF

. Assim, pelo teorema de Pitágoras, vem:

2

2 2 2 2

0

22 5 169 169 132

6 36 36 6DFDF CD CF DF DF DF

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Portanto, 2 12

sen13 13

6

CDx

DF e

5

56cos13 13

6

CFx

DF

Pelo que, 12 1 5 3 6 5 3 12 5 3

sen cos cos sen2 6 3 3 13 2 13 2 13 26 26

xg x x

.

90.5.

a) A função é ímpar, logo ( ) ( ), ]

[ { }.

Assim as coordenadas do ponto são da forma ( ( )) e as do ponto são da forma

( ( )) ( ( )). Portanto:

[ ] ( ( ) ( ( ))) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )

b) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y A x e 1 4y na janela de visualização

0, 0,162

. Obtém-se:

FC

D

x

x

C D

x

AB

y

O

h

xx

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Assim, ( ) ( ) ( ) , com .

Página 320

91.

91.1. Tem-se que 0 0 sen 0 2sen 2 0 sen 0 2sen 0 0 2 0 0 0h g a . Assim:

0 0 0 0 0

0 sen 0 2sen 2 sen 2sen 2 sen0 lim lim lim lim lim

0x x x x x

h x h g x ax x ax x axh

x x x x x

0 0

sen 2 sen2 lim lim 4 1

242 1

x x

x axa a

x xa

a

Como 0 1h , vem 0 1 4 1 3h a a .

91.2.

a) Seguindo a sugestão, seja OP a altura do triângulo AOB relativamente a base AB . Nota que, para cada

posição do ponto B, P é sempre o ponto médio do segmento de reta AB , porque AOB é um triângulo isósceles.

Assim:

sen 2sen2

OPOP e cos 2cos

2

APAP

Logo, 2 2 2cos 4cosAB AP

x

y

O a2

4

1y A x

Se 0x então 2 0x e 0ax (limites notáveis)

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Portanto, 4cos 2sen

4cos sen 2 2cos 2sen 2sen 22

OABA g

.

b) Tem-se que tg 7 tg 7 . Assim, utilizando a fórmula 2

2

11 tg

cosx

x vem:

2

2

2 2

1 1 1 8 2 2 21 7 8 cos cos

8 8 8 4cos cosx x

x x

Como 1ºQ , tem-se 2

cos4

x

Por outro lado, sen sen 2 14

tg 7 sen 7 sencos 4 42

4

Portanto, 2sen 2 2 2sen cos 4AOB

A g 14

4

2 28 2 7 7

4 4 4 2 .

91.3.

a)

▪ Perímetro possível é [ ] , onde (

) √ .

▪ Perímetro favorável é

Logo a probabilidade pedida é

√

( √ )

√

√

.

b) A área favorável é

e a área possível é ( ) (área do triângulo [ ] em função de ). Logo a

probabilidade pedida é

( ) ( ).

c)

▪ 4 4

4 2 82sen

2

f

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Quando

o triângulo é retângulo, a probabilidade do ponto estar a menos de uma unidade dos vértices ou é

igual a

.

▪

( )

( ) (

)

( )

( )

.

Quando a probabilidade do ponto estar a menos de uma unidade dos vértices ou é igual a .

d) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y f e 1 0,35y na janela de visualização

0, 0,14

. Obtém-se:

Portanto, ( ) , com .

Página 321

92.

92.1. Tem-se que cos 2tg cos 2tg .

▪ 2 2 2 2 3 3

12 12 sensen 6 312 2 3

g

Utilizando a fórmula fundamental da trigonometria vem:

2

2 2 2 2 23 3 6 6 6sen cos 1 cos 1 cos 1 cos cos

3 9 9 9 3

Como ,2

, vem 6

cos3

.

y

O a4

0,35

1y f

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▪

3

sen 3tg

cos

6

3

3 3 1 1 2

6 2 26 2

Assim, 6

cos 2tg cos 2tg 23

2

2

62

3

.

92.2.

▪

2 2

0 sen 2 sen2 2cos

sen sen sen

x x xg x

x x x

▪

2

2

0,

2cos0 0 2cos 0 sen 0 cos 0

2senCondiçãoUniversal em

xg x x x x x k

x

, k

Como 0,x , tem-se 2

x

Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , em 0, vem:

A função é decrescente em ]

], crescente em [

[ e tem mínimo absoluto em

.

92.3.

▪ Para 0,x tem-se, 2 1 5

4 4 sensen 2 6 6

g x x x xx

.

Logo, as coordenadas do ponto são (

) as do ponto são (

)

x 0 2

g x n.d. n.d.

g x n.d. mín. n.d.

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▪ Como vimos na alínea anterior, 2

é o único minimizante da função g. Assim, as coordenadas do ponto são (

).

Então, [ ] (

)( )

.

92.4.

▪ Assíntotas verticais

0 )0 0

2lim lim 2 lim 2 1 2

sen sen ix x x

x xg x

x x

i) Se 0

senlim 1x

x

x (limite notável), então

0

senlim 1x

x

x .

Logo, a reta de equação 0x não é assíntota vertical do gráfico de g.

2 2 2lim lim

sen sen 0x x

xg x

x

Logo, a reta de equação x não é assíntota vertical do gráfico de g.

Como a função g é contínua em 0, , o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais.

▪ Como o domínio de g é limitado, o seu gráfico não tem assíntotas não verticais.

93.

93.1. ( )

( ) ( )

(

)

Se 0x então sen 0x (limite notável)

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93.2.

▪ sen sen sensen cos cos cos 1x x xg x e x x e x x e

▪ O declive da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 2

é dado por:

sen

02cos 1 0 1 0 1 1 0 0 02 2

m g e e

.

Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 2

é do tipo y b

O ponto de coordenadas sen

12, , sen , 1 , 12 2 2 2 2 2

g e e e

pertence à reta

tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 2

. Logo, 1b e .

A equação da reta pedida é 1 1 0y e y e .

93.3.

sen sen sen0 cos 1 0 cos 0 1 0 cos 0 1x x xg x x e x e x e

sen 0cos 0 cos 0 sen 0xx e e x x

02

x k x k

, k

2

kx

, k

Para ,x tem-se

2 0

1 1

02 2k k

k k

x x x x

.

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Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , em , vem

x

2

0

2

g x 0 0 0 0 n.d.

g x mín. máx. mín. máx. n.d.

A função é crescente em [

] e em [

], é decrescente em [

] e em [

[, tem mínimo relativo em

e em e tem máximo relativo em

e em

.

93.4.

a) Considerando o segmento de reta [ ] a base dos triângulos [ ] e [ ] e e as respetivas alturas, tem-

se que [ ] [ ] [ ]

( )

, sendo que é a ordenada do ponto .

Como as coordenadas do ponto são (

(

)), tem-se, (

).

Assim, (

) (

) e portanto, [ ]

( )

.

b) As abcissas dos pontos e são zeros da função , assim resolvendo graficamente a condição ( ) no

intervalo ] [ determina-se as abcissas de e (também se podia determinar os extremantes da função

pertencentes ao intervalo ] [).

sen sen sen sen 2 sencos 1 sen 1 cos cos sen sen 1 cosx x x x xg x x e x e x x e x x e x e

Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y g x na janela de visualização 0, 2,2 . Obtém-

se:

x

y

O a

g

c

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Assim, para ] [, ( ) , com e ( é a abcissa do ponto

e é a abcissa do ponto )

Logo, [ ] ( )

( ) ( )

.

94.

94.1.

▪ Assíntotas verticais:

( )

(

)

(

)

( )

( )

.

Logo a reta de equação é assíntota vertical do gráfico da função . Com um raciocínio semelhante conclui-se

que a reta de equação também é assíntota vertical do gráfico da função (ou então pode-se notar que a

função é ímpar e portanto

( ) ).

Como a função é contínua em ] [ o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais.

▪ Como o domínio de f é limitado, o seu gráfico não tem assíntotas não verticais.

94.2.

▪ Para ,x , tem-se:

2 2

2 2

2cos 1 cos 2sen sen2sen 2cos 2cos 2sen

1 cos 1 cos 1 cos

x x x xx x x xf x

x x x

2 2

2 2 2

2cos 2 sen cos 2 cos 12cos 2 1 2cos 2

1 cos 1 cos 1 cos

x x x xx x

x x x

2

1 cos x

2

1 cos x

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▪ O declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2

é dado por:

2 22

2 1 01 cos

2

m f

Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2

é do tipo 2y x b .

O ponto de coordenadas

2sen2 12

, , , , 22 2 2 2 1 0 2

1 cos2

f

pertence à reta

tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2

. Logo, substituindo-o na sua equação, tem-se:

2 2 2

2b b

.

A equação da reta pedida é 2 2y x .

94.3.

▪ Para ,x , tem-se:

2 2

2sen0 1 cos 2 sen2 2sen 1 cos

1 cos 1 cos 1 cos1 cos 1 cos

xx x f xx xf x

x x xx x

▪ Para ,x , tem-se, 0 0 2sen 0 sen 0f x f x x x x k , k .

Como ,x , tem-se 0x

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Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em , vem:

O gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo em ] ], tem a concavidade voltada para cima em

[ [ e tem ponto de inflexão em .

94.4. Fazendo

, tem-se:

( ) ( ) ( )

( )

(

)

Tem-se que (

)

(

)

, assim:

(

) (

)

(

)

(

)

√

√

√

√

√

√

√ ( √ )

√

√

94.5. Para ] [ {

}, tem-se:

( ) √ ( √ ) ( (

))

√ (

)

(

)

√

√

√ (

)

√

(

)

√

(

) √ (

) √

(

) √

,

,

Como ] [ {

}, vem

.

x 0

f x n.d. n.d.

f x n.d. p.i. n.d.

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Página 322

95.

95.1. (

) é a área do triângulo quando

, essa área é igual a

. (

) é a área do triângulo quando

, a altura desse triângulo é dada por

√

√ . Assim a sua área é igual a

√

√ . Logo,

(

)

(

)

√

√ √ , pelo que (

) √ (

) e portanto a afirmação I é verdadeira.

A área do triângulo [ ] depende apenas da sua altura, uma vez que a medida do comprimento da base é 4.

Quando varia de

a a altura do triângulo diminui e consequentemente a área do triângulo [ ] também diminui,

ou seja, à medida que aumenta, diminui, pelo que a função é estritamente decrescente no intervalo [

[. Logo,

não é positiva em [

[e portanto a afirmação II é falsa.

95.2.

a) As coordenadas do ponto são dadas por( ), assim:

√( ) ( ) √

√ ( ) √

√ √ ( ) √ √ √

Portanto, [ ] √ ( ).

b) ( ) √ √ ⏟

(√ )

Como ] [, tem-se

.

c) A área do triângulo é máxima quando a sua altura é máxima, isto é, em

.

Assim o valor pedido é (

) √ .

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d) Tem-se, 2 2cos 2sen 4sen

8 4 2 2cos 0 4 42 2 2cos 2 2 2cos 2 2cos

x x xf x x

x x x

.

Como para ] [, então ( ) , ] [ e portanto a função é estritamente crescente em

] [.

À medida que aumenta o perímetro do triângulo [ ] também aumenta.

96.

96.1. 0 0 0 0

( ) 2 tg(2 ) 8 tg(2 ) 8lim lim lim lim

4 4 2x x x x

h x x x x x

x x x

4 x1 2 1

96.2. Como ( ) , tem-se

. Assim:

▪ (

)

√

.

Como ]

], tem-se

√

;

▪

√

√

√

e portanto

▪ ( ) ( )

( √

)

√

√

Tem-se que ]

], portanto:

√ √ √

√

( ) √

Se 0x então 2 0x (limite notável)

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96.3.

a) Tem-se,

( ) (

)

(

) (

)

Para tem-se (

) ( ) (

) . Assim a reta tangente ao gráfico de ´no ponto de

abcissa

tem declive igual a e contém o ponto de coordenadas (

) pelo que uma equação dessa reta pode

ser (

) (

)(

) ( ) (

).

b)

▪ 2 2

2 42tg 2 8 2 8 8

cos 2 cos 2f x h x x x

x x

▪ Se ,4 4

x

então 2 ,2 2

x

e portanto cos 2 0x (claro que também se tem 2cos 2 0x ).

Assim:

2 2

2 cos 2 0

4 4 2 2 20 8 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2

8 4 4 2cos 2 xf x x x x x

x

2 2 2 24 4

x k x k

, 8 8

k x k x k

, k

Como ,4 4

x

, tem-se 8 8

x x

.


vem:

x 4

8

8

4

f x n.d. 0 0 n.d.

f x n.d. p.i. p.i. n.d.

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O gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo em [

], tem a concavidade voltada para cima em

]

] e em [

[ e tem ponto de inflexão em

e em

.

c) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y f x h x na janela de visualização

, 5,54 4

. Obtém-se:


vem

x

4

a 0 a

4

f x n.d. 0 0 0 n.d.

f x n.d. mín. máx. mín. n.d.

A função é decrescente em ]

] e em [ ], é crescente em [ ] e em [

[, tem mínimo relativo em

e em e tem máximo relativo em , com .

x

y

O a

f

a

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Página 323

97.

97.1. Tem-se que:

( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ))

( ) ( ).

O declive da reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa

é dado por:

(

) (

) ( (

))

√

((

√

)

) √

(

)

√

( ) √

Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa

é do tipo √ .

O ponto de coordenadas (

(

)) (

) ( (

) ( (

)) (

) ) pertence à reta tangente ao

gráfico de no ponto de abcissa

. Assim, substituindo-o na sua equação, tem-se:

√

√

A equação da reta pedida é √ √

.

97.2.

▪ 2 20 sen 2 sen 0 sen 2 0 sen 0 2 2g x x f x x f x x k x , k

22

kx x

, k

Como ,2

x

, tem-se 22

x x x

.

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Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , em ,2

vem:

Em [

] a função é crescente em [ ], é decrescente em [

], tem máximo relativo em

e em e

tem mínimo relativo em .

97.3. O declive da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa a é dado por g a e o declive da reta tangente

ao gráfico de g no ponto de abcissa b é dado por g b . Assim:

)

2

)

2 2sen 2 sen sen 2 ´ sen sen 2 2 ´ seni ii

g a a f a b f b b f b

)

2sen 2 ´ seniii

b f b g b

Como g a g b , a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa a é paralela à reta tangente ao gráfico de g

no ponto de abcissa b.

i) a b a b

ii) Tem-se que sen senb b . Logo, 22 2sen sen senb b b .

iii) A função seno tem período mínimo positivo igual a 2 . Logo, sen 2 senx k x , x e k , em particular,

sen 2 senx x

x 2

2

sen 2x 0 0

2senf x 0

f x 0 0 0

f x máx. mín. máx.

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98.

98.1.

▪ O triângulo [ ] é equilátero, logo a amplitude do ângulo é

e consequentemente a amplitude do ângulo

é

. Portanto a amplitude do ângulo é

.

Usando o teorema de Pitágoras no triângulo [ ], tem-se:

√ √

Logo, (

)

(

)

√ √ (

)

Portanto √ (

)

Assim:

[ ]

( √ (

) ) √

( √ (

) ) √

(

) √

(

)

(

)

√ √

√

√

√

√

√ √

√ √

√ √

√

√ ( )

98.2.

▪

24tg 0 24 0 00 0

33 3 tg 0 3 3 0g

.

Quando o triângulo [ ] reduz-se a um segmento de reta cuja área é igual a 0.

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▪

( )

√

√

Quando

a distância entre os pontos e tende para , como a altura do triângulo [ ] é sempre igual a

√ , a sua área também vai tender para .

98.3. Para 0,3

, tem-se:

24tg4 3 4 3 24tg 4 3 3 3 tg 24tg 12 3 12tg

3 3 tgg

12 3 3

36tg 12 3 tg tg36 3 6

k

, k

Como 0,3

, tem-se 6

.

Assim, Para

tem-se, √ (

) √

√ √

Logo, para

, e portanto o triângulo é isósceles.

98.4. Seja ( ) √ (

) . A função é contínua em [

[ , logo também é

contínua em [

[ [

[.

Tem-se que:

▪ (

)

( , pelo que )

▪

( )

( √ (

) ) √ (

)

.

Como f é contínua em [

[ e (

)

( ), então pelo teorema de Bolzano (por uma propriedade que

decorre do teorema de Bolzano):

]

[ ( )

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ou seja, existe pelo menos um ]

[ tal que o comprimento do segmento de reta [ ] é dez vezes a amplitude,

em radianos, do ângulo .

98.5.

▪ Tem-se que 2 3 2 3

cos cos6 6

cos6

OCCP

CP CP

.

▪ O comprimento do arco é igual a

.

Assim, pretende-se determinar de modo que:

4 2 3 2 3 33 4 cos cos

3 4 6 6 2cos

6

CP

Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1 cos6

y

e 2

3

2y

na janela de visualização

0, 0,13

. Obtém-se:

Logo, 4

33

CP a

, com 0,8a .

y

O a

1 cos6

y

3

2

3

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99.

99.1. A reta de equação 2y x a é assíntota do gráfico de f , quando x , se:

lim 2 0x

f x x a

Tem-se:

lim 2 lim 2x x

f x x a x

a 2 3 2xx e x a 2

2 3

) 3lim limy

yy yi

yy e

e

)

2

3lim 0

yyii

y

e

Logo, a reta de equação 2y x a é assíntota do gráfico de f , quando x .

Outra resolução:

2 32 2lim lim lim

x

x x x

f x x a x e xm

x x

x

2

lim limx x

a x

x

3xe

x

)

32 lim y

yi

aye

3

3 )2 0 lim 2 lim 2 0 2

y iy yy i

y y

e e

lim lim 2x x

b f x mx x

2 3 2xa x e x 22 3 3

)lim limx y

x yia x e a y e

2 2

3)3lim lim 0

y yy yii

y ya a a a

e e

Logo, a reta de equação 2y x a é assíntota do gráfico de f , quando x .

i) Mudança de variável: Se x então x Seja y x x y , y .

ii) Se limx

px

a

x (limite notável), então lim 0

p

xx

x

a , com 1a e p . 3 1e .

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99.2. A função f é continua em 0x se 0 0

lim lim 0x x

f x f x f

. Assim:

▪ 2 3 0

0 0lim lim 2 2 0 0x

x xf x x a x e a e a

▪

0

0

0 0 0

1 cos sen 2 1 coslim lim limx x x

x x x x x

x x

x

0

sen 2im 2l

2x

x

x

0

1 cos1 cosl

1 cosim 1 1 2

x

xx

x x

2 2

0 0 0 0

1 cos sen sen senlim 1 1 lim 1 lim lim

1 cos 1 cos 1 cosx x x x

x x x x

x x x x x x

sen 0 01 1 1 1 1 1 0 1

1 cos 0 1 1

▪ 00 2 0 0f a e a

Portanto, f é continua em 0x se 1a .

99.3.

a)

▪ 1 cos 2 1 2sen 2g x x x x

▪ 1 2sen 2 4cos 2g x x x

▪ 0 4cos 2 0 cos 2 0 22 4 2

kg x x x x k x

, k

Como 0,x , tem-se

0 1

3

4 4k k

x x

.

Se 0x então 2 0x (limite notável)

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Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , em 0, vem:

x 0 4

3

4

g x n.d. 0 0

g x n.d. p.i. p.i.

O gráfico da função g tem a concavidade voltada para cima em 0,4

e em 3

,4

, tem a concavidade voltada

para baixo em 3

,4 4

e tem um ponto de inflexão em 4

x

e em 3

4x

.

b) Para 0,x , tem-se:

cos 1 cos sen 2 1 cos 2 cosg x x x x x x x x

f xx x x

01

x cos x x sen 2 1x x cos 2 cosx x

sen 2 cos 2 24

x x x k

, k

8 2

kx

, k

Como 0,x , tem-se

0 1

5

8 8k k

x x

.

Página 324

100.

100.1. A função T é contínua em 0,11 pois é a soma de funções contínua no seu domínio. Logo T é contínua em

6,8 0,11 .

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Tem-se:

▪ 6 6 3 3 2

6 4sen 2cos 21 4sen 2cos 21 4 2 0 21 2 2 21 23,88 4 4 2 2

T

▪ 8 8

8 4sen 2cos 21 4sen 2cos 2 21 4 0 2 1 21 198 4

T

Como T é contínua em 6,8 e 8 20 6T T , pelo teorema de Bolzano existe pelo menos um 6,8c tal que

20T c , ou seja, no contexto do problema, existiu pelo menos um instante entre as 16 horas e as 18 horas em que

a temperatura na biblioteca foi de 20º Celcius.

100.2.

▪ 4 2

cos sen 0 cos sen8 8 4 4 2 8 2 4

t t t tT t

▪ 0 cos sen 02 8 2 4 2

t tT t

cos

8 2

t

sen cos sen

4 8 4

t t t

) )

cos sen cos cos8 4 8 2 4i ii

t t t t

2 28 2 4 8 2 4

t t t tk k

, k

2 28 4 2 8 4 2

t t t tk k

, k

3

2 28 2 8 2

t tk k

, k

4 16 3 4 16t k t k , k

4

4 16 163

t k t k , k

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Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 0,11t , obtém-se28

43

t t .

Fazendo um quadro de variação do sinal da função T , em 0,11 vem:

t 0 4 28

3 11

T t 0 0

T t mín. máx. mín. máx.

Tem-se:

▪ 4 4

4 4sen 2cos 21 4sen 2cos 21 4 1 2 1 21 4 2 21 278 4 2

T

▪ 11 11

11 4sen 2cos 21 18,78 4

T

A temperatura na biblioteca atingiu o máximo absoluto no instante (às 14h) e foi de 27ºC.

▪ 0 4sen 0 2cos 0 21 4 0 2 1 21 19T

▪ 28 28 28 7 7 1 1

4sen 2cos 21 4sen 2cos 21 4 2 21 183 24 12 6 3 2 2

T

A temperatura na biblioteca atingiu o mínimo absoluto no instante

(às 19h20min) e foi de 18ºC.

Nota: 28

9, 33 e 0, 3 60 20 .

100.3.

▪ 4sen 2cos 21 4sen 2cos 2 218 4 8 8

t t t tT t

2 24sen 2 cos sen 218 8 8

t t t

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2 24sen 2 1 sen sen 218 8 8

t t t

24sen 2 1 2sen 218 8

t t

2 24sen 2 4sen 21 4sen 4sen 198 8 8 8

t t t t

▪ 2 222 4sen 4sen 19 22 4sen 4sen 3 08 8 8 8

t t t tT t

Fazendo sen8

ty

, vem

2

24 4 4 4 3 1 3

4 4 3 02 4 2 2

y y y y y

8.

sen

1 3 1sen sen sen

8 2 8 2 8 2Eq Impossíve

ty

l

t t t

2 28 6 8 6

t tk k

, k

5

2 28 6 8 6

t tk k

, k

8 40

16 166 6

t k t k

, k

4 20

16 163 3

t k t k , k

Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 0,11t , obtém-se4 20

3 3t t .

A temperatura foi de 22ºC às 11h20min e às 16h40min.

Nota: 4

1, 33 e 0, 3 60 20 ;

206, 6

3 e 0, 6 60 40 .

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101.

101.1. 0 150 4 3 0 40cos 0,2 0 150 0 40 1 110v .

No instante em que a máquina é ligada a velocidade é de 110 dezenas de rotações por minuto, ou seja, 1100 r.p.m.

101.2.

0,40

150 4 3 40 40cos 0,2 40 150 4 0 0 cos 0,2 040 0. . .

40 0 40

v vt v m

150 160 3 40cos 8 150 cos 0 160 3 40cos8 0

4 3 cos8 8,140 40

A taxa de variação média entre o instante em que a máquina é ligada e o instante em que atinge a velocidade máxima é

de, aproximadamente, 81 r.p.m., ou seja, no contexto do problema, significa que a velocidade da máquina aumenta, em

média, aproximadamente 81 r.p.m por segundo entre os 0 e os 40 segundos.

101.3

▪ 4 3 40 0,2sen 0,2 4 3 8sen 0,2v t t t

▪ 3

0 4 3 8sen 0,2 0 8sen 0,2 4 3 sen 0,22

v t t t t

0,2 2 0,2 23 3

t k t k

, k

4

0,2 2 0,2 23 3

t k t k

, k

2 4 2

0,6 0,2 0,6 0,2

k kt t

, k

5 20

10 103 3

t k t k

, k

Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 0,40t , obtém-se20 25

3 3t t

.

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Fazendo um quadro de variação do sinal da função T , em 0,40 vem:

t 0 20

3

25

3

40

v t 0 0

v t mín. máx. mín. máx.

O intervalo de tempo em que a velocidade da máquina diminui é [

]. A velocidade mínima que a máquina atinge

até esta começar de novo a aumentar é dada por:

(

) √

(

)

√

, isto é, 3114 r.p.m.

102.

102.1. Tem-se:

8 8g t 0,08 24 sen 8

3

t te

0,08 0,08

.

2 24 sen 0 4 0 sen 0

3 3

t t

Eq impossível

t te e

2

03

tk

,

3

2

kk t

,

3

2

kk t , k

Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 0,5t , obtém-se:

0 1,5 3 4,5t t t t

A bola preta está a 8 cm do solo nos instantes 0t , 1,5t , 3t e 4,5t .

102.2. Tem-se:

8f t g t 0,08 54 cos 8

6

t te

0,08 0,08 0,082 5 24 sen 4 cos 4 sen 0

3 6 3

t t tt t te e e

0,08 0,08

.

5 2 5 24 cos sen 4 0 cos sen 0

6 3 6 3

t t

Eq impossível

t t t te e

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5 2 5 2

cos sen cos cos6 3 6 2 3

t t t t

5 2 5 2

2 26 2 3 6 2 3

t t t tk k

, k

5 4 3 12 5 4 3 12t t k t t k , k

3 12 9 3 12t k t k , k

1 4

3 123 3

kt k t , k


7 11 191 3 5

3 3 3t t t t t t

Nos primeiros sete segundos as duas bolas estão a igual distância do solo nos instantes 1t , 7

3t , 3t ,

11

3t ,

5t e 19

3t .

102.3. A função f é contínua em 0, , uma vez que resulta da soma, produto e composição entre funções

constantes, exponenciais, afins e trigonométricas, todas contínuas no seu domínio. Logo, f também é contínua em

5,6 0, .

Tem-se:

▪ 0,08 5 5 55 8 4 cos 10,32

6f e

▪ 0,08 6 5 66 8 4 cos 5,52

6f e

Como f é contínua em 5,6 e 6 10 5f f , pelo teorema de Bolzano existe pelo menos um 5,6c tal que

10f c , ou seja, existe um instante entre o 5.º e o 6.º segundo em que a bola amarela se encontra a 10 cm do

solo.

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102.4.

▪ 0,08 0,0

)

85 5lim lim 8 4 cos 8 lim 4 cos 8 0 8

6 6

t t

t t t i

t tf t e e

i) Tem-se que 0,08lim 4 4 4 0 0t

te e

(infinitésimo) e que a função

5cos

6

ty

é limitada, pois

51 cos 1

6

t

, t .

O limite do produto de um infinitésimo por uma função limitada é zero.

▪ 0,08 0,0

)

82 2lim lim 8 4 sen 8 lim 4 sen 8 0 8

3 3

t t

t t t ii

t tg t e e

ii) Tem-se que 0,08lim 4 4 4 0 0t

te e

(infinitésimo) e que a função

2sen

3

ty

é limitada, pois

21 sen 1

3

t

, t .

O limite do produto de um infinitésimo por uma função limitada é zero.

Assim, lim lim 8t t

f t g t

. À medida que o tempo passa a distância das duas bolas ao solo tende para 8 cm.

102.5. Tem-se que:

0,08 3 0,08 0,240,08 0,24 0,08 0,24

0,08 0,08

3 40,787

4

t tt t

t t

h t e ee e

h t e e

Portanto, entre cada dois instantes consecutivos em que a bola preta atinge a distância máxima ao solo, essa distância

diminui, aproximadamente, 21,3% (100 78,7 21,3 ).

Página 325

103.

103.1. Tem-se:

0 9f t f 2sen 940

t

sen 0

40 40

t tk

, 40k t k , k


0 40 80 120t t t t

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▪ Quando 0t o ponto P coincide com o ponto A;

▪ Quando 40t o ponto P coincide com o ponto C;

▪ Quando 80t o ponto P coincide novamente com o ponto A.

Assim, o ponto P demora 80 segundos a dar uma volta completa à circunferência.

103.2.

a)

▪ 2

9 2sen cos cos40 40 40 20 40

t t tf t

▪ 0 cos 0 cos 020 40 40 40 2

t t tf t k

, 20 40k t k , k

20 40t k , k

Como 0,140t , tem-se 20 60 100t t t .

Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em 0,140 vem:

t 0 20 60 100 140

f t 0 0 0 0

f t mín. máx. mín. máx. mín.

A função é crescente em [ ] e em [ ], é decrescente em [ ] e em [ ], tem mínimo relativo

em que é ( ) , tem mínimo absoluto em e em que é ( ) ( ) e tem

máximo absoluto em e em que é ( ) ( ) .

b) O movimento é realizado no sentido positivo pois a distância do ponto à reta r aumenta logo que o movimento se

inicia.

Como a distância máxima do ponto à reta r é 11 cm e a distância mínima é 7 cm, então o raio da circunferência é de

11 72

2

cm.

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c) O movimento termina ao fim de 140 segundos e o valor de 140f é igual a 7 cm, que corresponde ao ponto em

que a distância de P à reta r é mínima. Logo, o movimento termina no ponto D.

103.3. Tem-se:

1

10 9 2sen 10 sen 2 240 40 2 40 6 40 6

t t t tf t k k

, k

40 200

80 806 6

t k t k

, 20 100

80 803 3

k t k t k , k


20 100 260 340

3 3 3 3t t t t

O ponto P encontra-se à distância de 10 cm da reta r em quatro instantes distintos: 20

3,

100

3,

260

3 e

340

3

segundos.

104.

104.1. Para [ ], tem-se:

( ) ( ) ( )

Para vem, ( )

Para vem, √( )

Para qualquer outro valor inteiro a equação é impossível em [ ]. Os instantes e correspondem,

respetivamente, à abertura e ao encerramento da loja para almoço. Portanto não estavam pessoas na loja às 11h

( ).

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104.2. Tem-se:

2 2 2 222sen 0,25 22 2 sen0,25 sen 0,25N t t t t t t t

2 2 244sen 0,25 0,25 cos 0,25t t t t t t

2 244sen 0,25 0,5 cos 0,25t t t t t

2 222 0,5 2sen 0,25 cos 0,25t t t t t

2 211 22 sen 2 0,25 11 22 sen 0,5 2t t t t t t

104.3. Para [ ], tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

Para vem, ( )

Para vem, √ √ .

Para qualquer outro valor inteiro a equação é impossível em [ ].

Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em 0,4 vem:

t 0 2 2 2 2 2 4

f t 0 0 0 0

f t mín. máx. mín. máx. mín.

Os instantes , e correspondem, aos instantes em que o número de pessoas na loja era 0. (9h, 11h

e 13h). Os instantes √ (9h35min), e √ (12h25min) correspondem aos instantes em que o

número de pessoas na loja foi máximo, sendo que esse número é dado por ( √ ) ( √ ) .

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105.

105.1. A função é contínua em , assim:

▪ ( )

▪

( )

( ( )

)

( )

( )

▪

( )

( ( )

)

( )

)

(

)

( ( ))

( )

( )

( )

Logo

i) Mudança de variável: Se então . Seja , .

105.2. Após os primeiros dez meses de comercialização, isto é, para 10t , tem-se:

▪

2

22

2

2

0,020,02ln 0,01ln 0,01 0,01

30 0

ttt tt t

P tt t

20,01t

22

2 2

ln 0,012 ln 0,01

tt

t t

▪

2

2 2 2

2

2 ln 0,010 0 2 ln 0,01 0 0 ln 0,01 2 0

tP t t t t t

t

2

2 2 2 2 20,01 0 0 100 00,01

et e t t t t e t

2100 0 10 10 0t e t t e t e t

Como 10t , tem-se 10t e .

Se 0y então 0y (limite notável)

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Fazendo um quadro de variação do sinal da função P , em 10, vem:

t 10 10e

22 ln 0,01t 0

2t

P t 0

P t mín. máx.

Após os primeiros dez meses de comercialização o preço do CD atinge o valor máximo em , isto é,

aproximadamente dois anos e três meses após o seu lançamento.

Nota: 10 27e meses, que corresponde a aproximadamente dois anos e três meses.

105.3

( )

( ( )

)

(( ) )

( )

( )

Com o passar do tempo o preço do CD tende para os 30 euros.

105.4.

a) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se

1

5sen 5sen

35 3510 10

t ty t t

t t

e 2 30y

na janela de visualização 0,10 0,40 . Obtém-se:

Assim, o preço do CD foi superior a 30 euros durante os primeiros cinco meses de comercialização.

t

y

O 5

30

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b) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y P t e 2 30y na janela de visualização

0,20 0,40 . Obtém-se:

Assim, preço mínimo do CD foi de aproximadamente 25,30 euros.

Página 326

106.

106.1. Tem-se:

2 2

cos cos 2 cosf x a b c x d a b cx d a b cx dc c

Logo, 2

c

é um período da função f.

Assim, 2

5 1 2 42

c cc

.

106.2. Ambas as funções têm o mesmo contradomínio:

▪ 1 sen 1 4 4sen 4 2 4 2 4sen 2 4 2 ( ) 63 3 3

x x xg x

Logo, 2,6gD

▪ 1 cos 1 cos cos ( )cx d b b cx d b a b a b cx d b a a b f x b a

Logo, ,fD a b a b

t

y

O 8,66

25,3

www.raizeditora.pt



Assim como g fD D , vem 2 2

6 2 6

a b a b

a b b b

2 4 2

2 8 4 4

a a

b b b

▪ Como 0 0f g , tem-se 2 4cos 0 2d 4sen 0 cos 02

d d k

, k .

Como 2 5d , 3

2d

.

Assim, 2a , 4b e 3

2d

.

106.3. 2 é o mínimo absoluto da função g. Assim:

2 2 4sen 2 4sen 4 sen 1 23 3 3 3 2

x x x xg x k

, k

3

62

x k

, 3

62

k x k , k

106.4. Tem-se:

( ) ( ) (

) (

) (

) (

)

Se então

e se então

. Portanto a abcissa do ponto só pode ser

e a do ponto só pode ser

. Assim, a condição que define a região sombreada pode ser:

( ) ( )

página 319 88. 88.1. cda · proposta de resolução dos exercícios ... “preparar o exame...

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