CAPÍTULO 1

PRELIMINARES

Diariamente nos vemos frente a gráficos, tabelas e ilustrações. Estes são recursos muito utilizados nos meios de comunicação, pois eles transmitem diretamente a sua mensagem, enquanto que as palavras para discorrerem a mesma mensagem são monótonas e cansativas. Os gráficos, tabelas e ilustrações estão presentes em jornais, revistas, livros, artigos científicos, etc. e serão objetos de nosso estudo neste trabalho. Mas para compreendê-los devemos lançar mão de técnicas matemáticas.

Textos científicos, tanto na área biológica quanto em outras áreas, procuram através de expressões matemáticas uma representação ou formalização dos fenômenos da natureza e dos experimentos. A partir do momento em que a biologia deixou de ser uma ciência meramente descritiva e passou a se apoiar em modelos matemáticos, ela conquistou o status de uma verdadeira ciência.

Por este motivo, faz-se necessário munirmo-nos de ferramentas para podermos interpretar e analisar a biologia através da matemática. Nosso objetivo neste capítulo é introduzirmos o estudo das funções, por tratar-se de uma poderosa “arma” na interpretação dos modelos matemáticos.

De início apresentamos o seguinte problema: Um rato de laboratório aprende a pressionar uma barra numa caixa de Skinner1 para obter comida. A

relação entre o número de vezes por minuto y , em que a barra é pressionada e a quantidade de alimento dado em

recompensa, x , é indicada por x21y = . a)

Qual o significado desta igualdade? b) Quais as maneiras de representarmos esta igualdade? c) Quando quatro unidades de alimento forem dadas, quantas vezes o rato pressionará a barra, em um minuto? Para tratarmos estas questões apresentaremos a seguir, um breve resumo do produto cartesiano, das variações e declividade de

retas.

1 P RODUTO CARTESIANO1 Skinner realizou a maioria de suas experiências com pequenos animais, principalmente o rato

branco e o pombo. Desenvolveu-se o que se tornou conhecido por Caixa de Skinner como aparelho adequado para estudo animal. Tipicamente, um rato é colocado dentro de uma caixa fechada que contém apenas uma alavanca e um fornecedor de alimento. Quando o rato aperta a alavanca sob as condições estabelecidas pelo experimentador, uma bolinha de alimento cai na tigela de comida, recompensando assim o rato.

Apresentaremos um problema de genética para introduzir o conceito de produto cartesiano. Os grupos sanguíneos ABO são teoricamente explicados por três gens ou alelos no mesmo genes. Representamos os alelos por a , b e o , onde os alelos a e b são dominantes sobre o . O indivíduo que tem a combinação de genes oo não possui nem antígeno A nem B no seu sangue. Com a combinação

aa ou oa o sangue contém o antígeno A , com as combinações bb ou ob ele contém o antígeno B e com a combinação ba o sangue contém ambos os antígenos. Como representar graficamente todas as possibilidades para a recombinação genética? Cada gameta (óvulo ou espermatozóide) porta um dos três alelos.

Solução do problema de genética: Chamaremos de }o,b,a{T = o conjunto de alelos. Representamos os possíveis alelos do espermatozóide por pontos em uma reta horizontal e os possíveis alelos do óvulo por pontos em uma reta vertical. Traçamos retas perpendiculares aos eixos que passam por cada ponto e obtemos nove pontos de intersecção, chamados pontos do reticulado ou pares ordenados. Cada ponto representa uma possível recombinação de alelos em um zigoto (célula fertilizada).

Figura 01

A representação também pode ser dada por:

)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{( ooboaoobbbaboabaaaTT =×

A solução apresentada aqui, utiliza-se da seguinte definição:

Definição: Dados dois conjuntos R e S definimos o produto cartesiano entre R e S , denotado por RxS 2, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma )s,r( onde r pertence ao primeiro conjunto R e s pertence ao segundo conjunto S , isto é:

}.SseRr/)s,r{(RxS ∈∈=

Se R possui m elementos e S possui n elementos, então RXS possui nm ⋅ elementos.

2 A operação de produto com conjuntos (x) não deve ser confundido com a multiplicação entre números.

2

2 PLANO CARTESIANO

Dados históricos: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens feitas ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome Descartes em Latim é Cartesius, daí a denominação cartesiana. Para mais informações consulte o final do capítulo, na seção Leitura Complementar.

Se no produto cartesiano, definido na seção anterior, cada um dos conjuntos for o conjunto dos números reais IR , obtemos o Plano Cartesiano.

Isto é, se IRSR == ,

}./),{( IRyeIRxyxIRIR ∈∈=×Desta forma o plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos

reais comumente denominados x e y, perpendiculares entre si e que se cruzam na origem (0,0). O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo x ) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo y ).

Figura 02: Plano Cartesiano

A cada ponto )b,a(P = do plano cartesiano associamos um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas do ponto (fig. 03).

A abscissa indica o deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). A ordenada indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo) (fig. 04).

Figura 03: Ponto no plano Figura 04: Sinais de um ponto

3

Observe na figura abaixo que: )a,b()b,a(ba ≠⇒≠ .

Figura 05: Pares Ordenados

Freqüentemente trabalhamos com conjuntos de pares ordenados, os quais têm muita utilidade no dia-a-dia de um pesquisador. Vejamos alguns exercícios, cujas representações gráficas deverão ser feitas pelo leitor:

Exercício 01: Na cinética de uma reação química, a seguinte tabela indica a pressão P e a quantidade c da substância produzida na reação, em determinadas condições de temperatura e tempo.

P (atm) 1 2 3 4 5 6

c (g) 5 8 10 11 11,6 12

Exercício 02: Vejamos a seguir o movimento de um ponto sobre uma reta. A seguinte tabela indica em cada instante t , a posição s do móvel em relação a um ponto fixo:

t (s) 10 20 30 40 50 60 70

s (cm) 40 80 120 160 200 240 280

Exercício 03: Um biólogo verifica o crescimento de células cancerosas ao se reproduzirem. A tabela a seguir representa esse crescimento R medido em unidades de 1000 células por hora e onde o tempo t é medido em horas.

R (1000/h) 0 1 2 3 4

t (h) 1 4 9 16 25

4

Exemplo 01: Observe o esquema que especifica uma teia alimentar e os seres que dela participam:

As setas têm o significado de indicar o sentido da comida para o consumidor. A representação gráfica será:

3 PROBLEMAS DE VARIAÇÕES

Problema: Quando analisamos fatos ocorridos na natureza, nos deparamos com questionamentos de variação de uma grandeza em relação à outra. Por exemplo, o gráfico a seguir é referente à temperatura T de um bovino3

sob observação, durante o período de 24 horas, em dois dias consecutivos. O início da tomada da temperatura é referente ao tempo 0t = .a) Para 6t = , qual foi a variação de temperatura, do 1º para o 2º dia? E para t=12?b) Durante quanto tempo a temperatura manteve-se nos 39º no 2º dia?c) Qual foi a variação média da temperatura entre a 12ª e a 18ª hora do 2º dia? E entre 18ª e 24ª hora do 2º dia?

3 A temperatura de um bovino oscila entre 37,5º C a 42,5º C.

5

P CA CO GA L

CA

CO

GA

L

G

cons

umid

or

alimento

Figura 06: temperatura de um bovino

Para respondermos às questões acima, iremos analisar a posição entre dois pontos distintos: P(x1,y1) e P(x2,y2).

1º CASO: P e Q POSSUEM A MESMA ABSCISSA

Para este par de pontos, observamos que há diferença apenas entre as ordenadas y1 e y2. Assim:

yyy 21 ∆=− ou yyy 12 ∆=−

Dependendo da análise que estamos fazendo sobre estes pontos, e o que eles representam, podemos então obter 0y >∆ ou 0y <∆ . Pergunta-se: faz sentido aqui, 0y =∆ ?

Passamos agora para a solução da primeira questão do problema de temperatura da vaca.

Solução: a) Como a variação da temperatura deve ser dada do 1º para o 2º dia, e no 1º dia para t=6, temos T=38, resultando em P1(6,38), e no 2º dia para o mesmo t=6 temos T = 39, obtendo P2(6 , 39). Desse modo a variação da temperatura será:

º13839T =−=∆

Isto significa que tivemos um aumento de 1º na temperatura, do 1º para o 2º dia.

Para t = 12 no 1º dia temos T = 39, P5 (12 , 39) , e no 2º dia T = 39, P5 (12 , 39). A variação de temperatura será então:

º03939 =−=∆ T

6

Isto significa que não houve variação de temperatura, do 1º para o 2º dia.2º CASO: P E Q POSSUEM A MESMA ORDENADA

Neste caso não há diferença entre as ordenadas, mas tão somente entre as abscissas x1 e x2. Assim:

x1 - x2 = Δx ou x2 - x1 = Δx

Dependendo da análise, também podemos obter Δx >0 ou Δx <0. Neste caso, o que significa Δx=0?

Solução: No caso do item (b) do problema, ao analisarmos a variação do tempo t enquanto a temperatura manteve-se nos 39º temos dois pontos: P2 (6, 39) e P5(12,39), obtemos: Δt = 12 – 6 = 6 horas.

Isto quer dizer que num período de 6 horas a temperatura manteve-se nos 39º. Neste caso, não faz sentido tomarmos: Δt = 6 – 12 = -6 horas.

3º CASO: P E Q POSSUEM ABSCISSAS E ORDENADAS DISTINTAS

Neste caso temos diferenças (variações) tanto para as abscissas como para as ordenadas. A análise a ser feita, refere-se à medida de uma unidade em relação a outra, isto é

mxy =

∆∆ ,

que nos indicará se há um aumento ou diminuição de y , quando há uma variação x∆para x.

Aqui é importante tomarmos bastante cuidado na obtenção de x∆ e y∆ , pois qualquer descuido com os sinais, terá uma interpretação errônea dos resultados. O valor de m representa uma taxa de variação ou também chamada de variação média. Esta taxa média é utilizada para obtermos a velocidade média de deslocamento de uma partícula em movimento e sua aceleração média, a velocidade média de uma reação química, a velocidade média de crescimento de uma população, assim como a declividade de uma reta.

Solução: No caso do item c) do problema sobre a variação de temperatura, os dados indicam que os pontos são )39,12(P5 e )42,18(P3 . Então:

Δt = 18 - 12 = 6 e ΔT = 18 - 12 = 3

7

Assim, 5063 ,t

Tm ==∆

∆= .

O que significa uma variação média de aumento de 0,5º por hora. Este aumento pode ser observado no gráfico pelo segmento que une 5P a 3P. Ela aumenta (cresce) conforme o tempo t varia de 12 para 18 horas.

Para que o valor encontrado em m seja consistente com a questão em análise, quando calculamos o Δt fixamos a ordem dos termos na diferença. Temos então:

Δt = t 3 – t5.

Assim, ao obtermos o ΔT, basta manter a mesma ordem, isto é:

ΔT= T 3 – T5

O que ocorre se invertermos a ordem das coordenadas dos pontos ao calcularmos o Δt? Neste caso

Δt = t 5 – t3 = 12 - 18

eΔT = T 5 – T3 = 39 – 42 = -3.

Assim,503

6 ,tTm =

−−=

∆∆= .

Concluímos que o resultado final de m fica inalterado! A última questão do problema deixaremos a cargo do leitor.

Exercício: Numa experiência controlada, a área total utilizada para a criação de algas é anotada a cada 12 horas. Um estudante obtém a seguinte tabela:

Área de criação (cm2) 320 500 600 540 504Tempo (horas) 0 12 24 36 48

Determine a taxa média de variação na área, nos períodos de t=0 a t =12 e de t = 24 a t = 36, e explique o significado de cada resultado.

8

4 DECLIVIDADE DA RETA

Como já vimos, a declividade4 ou inclinação de uma reta que contém dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2), com x1≠ x2 é dada por:

.xxyy

xym

12

12−−

=∆∆=

Isto significa que toda reta possui uma declividade m, podendo ser positiva, negativa ou nula. Conforme as figuras seguintes e considerando o deslocamento de P1 para P2, resulta:

O que ocorre quando x1=x2? A reta não possui declividade m, e a reta é vertical (figura d).

a) b) c) d)

Exemplo: O crescimento de uma cultura biológica é tal que aumenta de 16 2cm para 20 cm2, enquanto o tempo aumenta de 2 para 4 horas. Determine a taxa média de crescimento desta cultura e represente os pontos no sistema de eixos coordenados.

Solução: Podemos visualizar os pontos correspondentes no plano cartesiano P1(2, 16) e P2(4, 20).

Traçamos uma reta r passando por P1 e P2.

Obtemos 224 ==

∆∆=

xym , isto significa

que o crescimento é de 2 cm2 por hora.

4 A declividade de uma reta, comumente, é denotada pela letra m ou a

9

Se m > 0 temos uma reta crescente, (figura a)Se m < 0 temos uma reta decrescente, (figura b)Se m = 0 temos uma reta estacionária ou constante, isto é, paralela ao eixo x (figura c)

5 EQUAÇÃO DA RETA

Utilizando ainda o exemplo anterior, se quisermos prever o tamanho desta cultura quando o tempo for de 7 horas, o que teríamos que fazer? Se soubéssemos como encontrar a ordenada do ponto P3(7, ?) que pertence à reta r, teríamos solucionado o nosso problema.

Dispomos dos seguintes dados:A declividade m=2 da reta r, um ponto P1(2, 16) ou P2(4, 20) de r e a

abscissa x=7 de P3.Logo, podemos determinar y utilizando o conceito de declividade:

.2616105162

2716 =⇔−=⇔−=⇔

−−=

∆∆= yyyyxym

Generalizando, se conhecemos um ponto P0(x0, y0), e a declividade m de uma reta e considerarmos P(x, y) um outro ponto qualquer sobre r, podemos obter a equação da reta, do seguinte modo:

)xx(myyxxyy

m 000

0 −=−⇔−−

= .

Ou aindabmxymxymxy +=⇔−+= 00 .

Exercício: Obter a equação da reta do exemplo anterior.

Exemplo 01: A equação de LineWeaver – Burk relaciona velocidade inicial v0 de uma reação catalisada por enzima com a concentração de substrato [S] da seguinte forma:

maxmax

m

0 v1

]S[1

vK

v1 +=

Onde KM e vmax são constantes. De que outra maneira essa equação pode ser representada?

Substituindo:

bv

1ex]S[

1,avK

,yv1

maxmax

M

0

====

temos quey=ax+b.

Exemplo 02: Vamos supor que a temperatura seja mantida constante. Nestas condições, o volume de um gás dissolvido em um líquido é diretamente proporcional à pressão parcial do gás no líquido. Se V denota o volume de gás dissolvido por 100ml de solução e Pg é a pressão parcial do gás dissolvido, em torr

10

(torricelli), então V relaciona-se com Pg através da equação:

gKPV760100= ,

onde K é uma constante positiva, denominada constante de solubilidade, e V representa o volume do gás que se dissolverá em 1,0ml de líquido, à pressão parcial de 760 torr. Na tabela 015, tem-se o valor desta constante de solubilidade para alguns gases, mantida a temperatura constante a 38ºC.

GÁSSOLVENTE

Água Sangue Venoso Sangue Arterial

Hidrogênio (H) 0,0162 0,0153 0,0149

Hélio (He) 0,0127 - 0,0087

Nitrogênio (N) 0,0127 0,0117 0,0130

Oxigênio (O) 0,0232 0,0209 0,0230

Dióxido de Carbono (CO2) 0,5450 0,5100 0,4700

Tabela 01: Constantes de solubilidade para alguns gases dissolvidos no sangue e na água mantidos a temperatura a 38ºc

a) Calcule o coeficiente angular, isto é, a inclinação da reta para a constante de solubilidade do oxigênio no sangue venoso. b) O oxigênio dissolve-se melhor no sangue arterial ou no venoso? Justifique sua resposta com base nos dados e hipóteses acima.Solução:

Temos gKPV760100= , onde K=0,0209, segue que gP,V 002750= . Assim,

o coeficiente angular é 0,00275, para o sangue venoso.

Para o sangue arterial gga P,P,V 0030300230760100 ≅= . Assim, o oxigênio

dissolve-se melhor no sangue arterial ( o volume é maior).

Exemplo 03: Em um adulto jovem em repouso, a proporção de dióxido de carbono misturado no sangue venoso é dada por 4,15ml/100ml. Utilizando a constante de solubilidade da tabela 01, isto é, K= 0,5100, calcule a pressão parcial do CO2

dissolvido no sangue venoso.

5 Extraído de Koc, F. F., An Introduction to Respiratory Physiology, Excerpta Médica, 1973.

11

Solução:

Temos gKP760100V = . Com V=4,15 ml e K= 0,5100, segue-se que:

.84,61513154)5100,0(76010015,4 torrPPP ggg =⇔=⇔=

Logo a pressão parcial de CO2 é 61,84 torr.

Exemplo 04: Ainda na hipótese de um adulto jovem e em repouso, o oxigênio dissolvido no sangue venoso é cerca de 0,12ml/100ml. Calcule a pressão parcial de CO2 nas veias, sabendo que K=0,0209.Solução: Temos:

gKPV760100=

Como V=0,12 e K=0,0209, segue-se que:

torrPPP ggg 64,4309,22,91)0209,0(76010012,0 =⇔=⇔=

6 FUNÇÃO

Para estudarmos diversos fenômenos da natureza e resolvermos problemas técnicos, surge a necessidade de examinarmos a variação de uma grandeza em dependência da variação de outra. Por exemplo:

• O tamanho (w) de uma população de bactérias varia com o tempo (t);• A amplitude (A) de impulsos elétricos gerados no músculo cardíaco,

cuja representação gráfica é o eletrocardiograma, varia como o tempo (t);

• A pressão (P) de um gás, à volume constante, varia com a temperatura (T);

• A posição (S) de um automóvel em movimento depende do tempo (t);• A área (A) do círculo (A=πR2) varia com o raio (R);• A cada espécie (S) biológica está associada um número de

cromossomos (n).

Como vimos, a variação de uma grandeza causa a variação de outra. Mas também podemos observar que nos exemplos citados a univocidade da associação ocorre apenas em uma direção. Isto é:

• Para cada tempo, teremos apenas certo tamanho de população de bactérias;

• Para cada tempo, teremos a leitura de uma única amplitude de impulsos elétricos;

• A pressão de um gás é única para uma determinada temperatura;• Para um mesmo tempo, não podemos encontrar mais do que uma

12

posição de um automóvel;• A área A de um círculo é única para um dado raio R;• Não encontramos numa mesma espécie biológica, sem anomalia,

números diferentes de cromossomos.

A cada uma destas associações é que chamamos de FUNÇÃO. Mais precisamente:

O conjunto A chama-se domínio da função e o conjunto de valores b de B, associados aos pontos a do domínio é chamado imagem da função.

Notações: BA:f → , onde b)a(f = ou )a(fa → . Nos exemplos de 1 a 6 temos:W(t), A(t), P(T), S(t), A(R), S(n).

A variável a do conjunto A é denominada variável independente ou argumento. A dependência que existe entre as variáveis a e b se chama funcional. A letra f que é encontrada na notação simbólica de uma dependência funcional b=f(a) significa que se tem que realizar certas operações com o valor de a para se obter b. A variável b é denominada variável dependente6. Tendo em mente o exposto, podemos agora tratar da 1ª questão do problema do rato, apresentado no

início deste capítulo. A igualdade xy21= representa uma função, pois dada uma

quantidade de alimento de recompensa x, o valor de y, que representa o numero de vezes por minuto em que a barra é pressionada, é univocamente determinado.

Ao conjunto de valores que a variável independente pode assumir chamamos de domínio da função. E ao conjunto de valores que a variável dependente assume quando a variável independente “varre” todo o domínio, chamamos de imagem da função.

Exemplos:1. 2xy 4 −= , IRD = ;

2. }1/{,11 ≠∈=

−+= xIRxD

xxy ;

3. 11,1 2 ≤≤−=−= PDPV ;

4. { }1112 ≥−≤=−= xex/xD,xy ;

5. IRDxy =+= ,12 ;

6. 961

2 +−= ssw .

7. 13 )1( −−= tr .

6 Na maioria das funções estudadas na matemática utilizamos )x(fy = . Mas isto é apenas uma generalização de notação.

13

Definição: Uma função f é uma correspondência existente entre dois conjuntos A e B, de modo que a cada elemento a do conjunto A corresponde um único elemento b=f(a) de B.

Às vezes temos necessidade de examinar apenas parte do domínio da

função. Assim no caso da função xy21= , o seu domínio é dado por IRD = . Porém

no contexto do problema do rato, x representa a quantidade de alimento. Neste caso Ν= 2D , onde Ν é o conjunto dos números naturais.

7 REPRESENTAÇÕES DE FUNÇÕES

As formas de representar uma função podem ser:

NUMERICAMENTE (por meio de tabela de valores): Foram tomadas as medidas da temperatura T do ar em graus Celsius no período de t=1 à t=9 horas.

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9

T 0 -1 -2 -2 -0,5 1 3 3,5 4

Esta tabela determina T como função de t. Observe que neste caso a temperatura foi medida em intervalos de uma hora.

VISUALMENTE (através de gráficos): É o conjunto de pontos do plano x0y de equação y=f(x). Por exemplo y=x3, cujas abscissas representam valores da variável independente x e as ordenadas os valores correspondentes da variável dependente y.

Figura 07: gráfico de 3xy = .

Para sabermos se uma curva é o gráfico de uma função, devemos traçar paralelas ao eixo das ordenadas e estas devem interceptar a curva em um único ponto, caso contrário, a curva não representa o gráfico de uma função.

ALGEBRICAMENTE (utilizando uma fórmula explícita): É a representação simbólica de um conjunto de certas operações, que se realizam em uma sucessão determinada com sinais e letras, que designam grandezas constantes e variáveis (equações).

224 1112 RA,xy,

xxg,xy π=−=

−+=−= , etc.

Observações:

14

0x

y

1. Nem toda tabela, gráfico ou equação representa uma função. Por exemplo, os dados da tabela seguinte representam os valores de xy =2 , cujo gráfico está esboçado a seguir.

x 0 1 4 9 16 1 4 9 16y 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4

Figura 08: gráfico de xy 2 = .

2. A partir da expressão algébrica de uma função é sempre possível obter uma tabela e o respectivo gráfico, entretanto nem sempre é possível encontrar a equação de uma função a partir de um conjunto de pontos ou de um gráfico. Para isto é necessário formular um modelo matemático.

3. Os modelos matemáticos podem ser obtidos a partir de análises dos fenômenos, devendo a equação obtida corresponder aos dados experimentais; a partir da formulação de um modelo há uma melhor compreensão da relação entre as variáveis, nos permitindo até fazer predições a cerca do fenômeno. Para mais informações consulte o final deste capítulo, em Leitura Complementar.

8 FUNÇÃO DE VARIÁVEL DISCRETA

Como já vimos na definição de função, a variável é uma quantidade que assume valores em um problema particular. Porém, esses valores podem ser discretos ou contínuos. Em nosso estudo a ênfase é nas funções de variáveis contínuas. No entanto em situações experimentais, na maioria dos casos, nos deparamos com variáveis discretas.

Para podermos melhor compreender estes conceitos consideremos P um conjunto de pessoas e I o conjunto das impressões digitais dessas pessoas. Se analisarmos a relação entre esses dois conjuntos, verificaremos que os pares ordenados (impressão digital, pessoa), resultantes do produto cartesiano IxP é uma função.

De fato, para cada impressão digital podemos associar (identificar) uma única pessoa. O mesmo ocorre para o caso de elementos químicos e seus respectivos números atômicos.

Os exemplos considerados nos mostram que as variáveis discretas podem assumir um caráter tanto quantitativo quanto qualitativo.

Para entendermos melhor esta questão consideremos o seguinte exemplo:Exemplo: Suponhamos que a nossa variável n representa o número de alunos de

15

uma escola, n=1, 2, 3,..., N, tal variável nunca assume valores tais como: 2,3 ou 4,75 ou 20,387, etc. Neste caso, n é uma variável discreta. Agora, observe que, se m representa o peso desses alunos, m é uma variável contínua, pois seus valores poderão ser 53kg ou 53,57kg, etc., dependendo da precisão da medida.

Matematicamente dizemos que uma variável é do tipo discreta quando ela só puder assumir valores pertencentes a um conjunto contável, ou seja um conjunto finito e enumerável.

Sua representação gráfica é feita como antes descrito. Tomemos o eixo das abscissas para a variável independente, e o eixo das ordenadas para a variável dependente. Observemos que para estas funções seus gráficos são pontos isolados no plano xy. Não é possível previsões acerca de fatos não descritos na relação.

Um exemplo do que estamos tratando é ilustrado pela solução da segunda questão do problema do rato, o qual possui as seguintes representações:

ALGEBRICAMENTE: xy21= .

NUMERICAMENTE:

x (alimento) 0 2 4 6 8y (pres. na barra) 0 1 2 3 4

E, portanto quando 4 unidades de alimento forem dados, o rato terá pressionado a barra 2 vezes.VISUALMENTE:

Uma questão natural que se pode colocar é a seguinte: como podemos obter valores intermediários de uma função de variável discreta sem a forma analítica da mesma?

Problema: O abatedouro “Frango Limpo”, novo no mercado de exportação de frangos congelados, recebeu uma proposta de venda para entrega em 30 dias. Para que o negócio seja fechado o abatedouro deverá garantir que nenhum frango pesará menos que 1,250 Kg. Para atender ao pedido, o dono do abatedouro necessita saber se seus frangos estarão com peso adequado dentro do prazo, uma vez que os pintinhos que deverão atender ao pedido nasceram hoje! O proprietário solicita então ao seu administrador que traga a tabela, fornecida e garantida pela indústria de rações, de ganho de peso das aves e obtém em suas mãos os dados abaixo:

Semanas (dias) 0 (0) 1 (7) 2 (14) 3 (21) 4 (28) 5 (35) 6 (42) 7 (49) 8 (56)

16

0x

y

Unidades de alimento

No. p

ress

ões n

a ba

rra

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.00.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

Peso(g) 42 160 410 759 1202 1689 2184 2657 3078Sabendo que no abate há uma perda de aproximadamente 5% no peso

da ave, que atitude o proprietário tomou? Ele poderá atender ao pedido e ingressar no ramo de exportação ou não?Solução: Para estimar o peso dos frangos no 30º dia, devemos primeiramente fazer algumas considerações:

1. A relação entre número de dias e peso é uma função?2. Se for função, quem serão as variáveis independente e

dependente?3. Essas variáveis são discretas ou contínuas?

Os dados tabelados nos fornecem a representação gráfica ao lado. Para quaisquer dois pontos deste gráfico é possível uni-los por uma reta

cuja declividade é dada por: t

P

∆

∆=

Δ(dias)Δ(Peso)

, que é a variação média de peso/dia que os pintinhos adquirem no período entre os dois pontos escolhidos. Considerando que o 30º dia se situa entre o 28º e o 35º dias, os pontos (28, 1202) e (35, 1689) são os mais apropriados para a 1ª

aproximação. Assim, a Taxa Média de Variação (TMV) de peso, em gramas por dia,

neste período está dada por 5769

7487

28352835 ,)(f)(fTMV ==

−−= .

O que significa que o frango entre o 28º e o 35º dia aumentará o seu peso, em média, 69,57 g

Então, se considerarmos a partir do 28º dia, pois 28 está mais próximo de 30, teremos:

Peso no 30º dia = f(30) = f(28)+69,57.(30-28) = f(28)+69,57. (2) f(30) = 1202 + 139,14 f(30) = 1341,14 g.

Note que podemos reescrever a TMV da seguinte forma:69,57

7487

Δtf(28)Δt)f(28

2835f(28)f(35) ==−+=

−− ,

da qual resulta f(28+Δt)-f(28)=69,57+Δt ou seja f(28+Δt)= f(28)+69,57+Δt.

Com os 5% de perda o frango teria aproximadamente =14134110095 ,

1274,08 g no 30º dia. Estaria tudo certo se fosse garantido este peso, mas nós estamos computando aumentos médios de pesos. Preocupado com os valores obtidos pela média, o proprietário solicita que seu administrador entre em contato com a fábrica de rações e obtenha novos dados que possam lhe dar uma garantia melhor através de dados mais próximos. Mas a fábrica de rações apenas acrescenta que a previsão de peso de um frango com 32 dias é de 1689 g.

Com este novo dado, calcula-se um novo TMV:

17

dias

peso

0 7 14 21 28 35 42 49 564

567

1130

1693

2256

2819

3382

694

2762832

)28(f)32(ft

)28(f)t28(f ==−−=

∆−∆+

Assim,TMV= 69 gramas por dia, o que significa que o peso do frango está aumentando 69 g entre o 28º e o 32º dia. Finalmente,

Peso no 30º dia: f(30) = f(28)+69(2) = f(28)+69 (30-28) f(30) = 1202 + 138 = 1340

O proprietário acha que o resultado está mais próximo que o anterior, e a chance de erro diminuiu. Na falta de mais dados fez a conta da perda de 5% e obteve que o peso final dos frangos estará próximo de 1273 g. Como a variação quando aproximou os dados de 35 para 32 dias foi de 1,08 g, tomou a decisão de fechar o negócio.

A título de curiosidade, ilustramos a seguir a curva que melhor se aproxima dos dados da tabela dada.

Função:y=a+bx+cx2+dx3+ex4

Coeficientes:a = 42.91453b = 5.7333407c = 1.6150179d = -0.011061312e = -4.1625042e-005

9 DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO

Em quase todas as áreas das ciências, um problema básico é a reunião e análise de dados. A reunião de dados se faz através de anotações de experimentos. Por serem esses dados discretos eles não nos fornecem informações além dos descritos na relação.

Se na análise dos dados desejarmos obter uma projeção futura do experimento, teremos uma situação problemática. Uma maneira de resolver esse problema é obter uma expressão matemática (modelo matemático), com variável contínua que descreva da melhor maneira possível o experimento. Desta forma teríamos a passagem de um gráfico de dispersão (dados discretos) para um gráfico de curva contínua.

18

S = 4.22016932r = 0.99999640

dias

peso

0 10 21 31 41 51 624

567

1130

1693

2256

2819

3382

Exemplo: Em um experimento programado para determinar o nível de orientação de um indivíduo, o sujeito é colocado em uma sala especial e nela fica por um certo tempo. O indivíduo deve encontrar o caminho através de um labirinto. O pesquisador registra o tempo que o sujeito leva para completar a tarefa e obtêm os seguintes dados:

Os pontos da tabela abaixo estão plotados na figura a seguir:

Tempo na sala (horas) 1 2 3 4 5 6 7 8Tempo para percorrer o labirinto (minutos) 0,6 2,3 2,4 1,8 3,3 3,6 3,1 4

Os dados deste experimento são aleatórios por natureza. Isto é, supomos que ao repetirmos o experimento, podemos obter diferentes valores de y para os mesmos valores de x. Caso contrário, os dados do experimento são determinísticos.

Iremos em seguida determinar a equação de reta y=ax+b que melhor se ajusta a esses dados. Isto pode ser feito de várias maneiras. Em nosso estudo utilizamos o método dos mínimos quadrados.

Sejam os r pontos

)y,x(,),y,x(),y,x( rr2211

onde x1 <x2 < ... <xr. Precisamos encontrar a reta que melhor se ajusta aos dados de:

baxy += .

Para cada xi, obtemos as coordenadas:

19

0x

y

0x

y

)xcos(y =

0,6

2,32,4

1,8

3,33,6

3,1

1 2 3 4 5 6 7 8

4

bax,...,bax,bax r +++ 21 ,

as quais não precisam coincidir com as ordenadas y1 , y2 , ..., yr. Assim, surgirão algumas diferenças positivas, negativas ou nulas7, chamadas desvios:

baxd,...,baxd,baxd rr +=+=+= 2211 .

Como podemos ver na figura a seguir:

Agora, como uma condição de otimização, determinaremos a e b de tal maneira que a soma dos quadrados dos desvios assuma o menor valor possível, isto é, se:

222

21 rd...ddE ++= ,

ou seja,2

rr2

222

11 b)mx(y...b)mx(yb)mx(yE −−++−−+−−= .Então, E deverá ter o menor valor possível. Esta é a essência do método dos mínimos quadrados.

O método para obtermos menor valor de E necessita de estudos mais aprofundados, e não é alvo deste trabalho. O método nos leva às seguintes equações lineares:

+++=+++++++

+++=++++

rr22112r

22

21r21

r21r21

yxyxyxa)xxx(b)xxx(

yyya)xxx(br

.

Resolvendo o sistema8, obtemos:

∑ ∑∑ ∑ ∑

−

−= 2

i2i

iiii

xxryxyxr

a)(

(1)

∑ ∑−= )( ii xayr1b (2)

Iremos agora encontrar a equação da reta que melhor se ajusta aos

7 O sinal da diferença depende da escolha dos parâmetros a e b .8 Primeiramente resolvemos com relação ao parâmetro a , multiplicando a segunda equação por r

e a primeira por ∑− ix e somando as equações. Depois expressamos b em termos de a , usando a primeira equação.

20

dados do exemplo 1. Em seguida usaremos a equação obtida para prever quanto tempo o indivíduo levará para percorrer o labirinto após 24 horas na sala.

Primeiramente, encontraremos todos os somatórios e depois substituiremos na equação (1)

Ix 2ix iy ii yx

1 1 0,6 0,6

2 4 2,3 4,6

3 9 2,4 7,2

4 16 1,8 7,2

5 25 3,3 16,5

6 36 3,6 21,6

7 49 3,1 21,7

8 64 4 32

Total 36 204 21,1 111,4

( ) 2ix∑ 1296 r=8

Assim,

3910336

613112962048

11213641118 ,,)(

),(),(a ==−

−= .

Agora, substituindo o valor obtido de a na equação (2), resulta:

8780024781]363910121[

81 ,,))(,(,b ==−= .

Com os valores de a=0,391 e b=0,878 basta substituir na equação y=ax+b, obtendo:

87803910 ,x,y += ,

a qual é a equação da reta que melhor se aproxima dos valores dos dados do problema. Finalmente, para x=24 , obtemos 26108780243910 ,,)(,y =+= horas.

Exercício: O Peabody Picture Vocabulary Test é usado para avaliar a capacidade de compreensão do vocabulário por um paciente submetido a terapia de linguagem após derrame. Para um determinado paciente que se submeteu a um tratamento médico específico, obtiveram-se os seguintes dados:

Número de semanas de terapia 5 10 20 30

Pontuação no teste 75 80 85 95

21

Encontrar a reta que melhor se aproxima dos dados, e se possível sua forma analítica.

Nos casos anteriores, os pontos no plano aproximaram-se de uma reta. Em outros casos, eles podem se aproximar através de outras curvas, como por exemplo a quadrática (Fig. 1), a cúbica (Fig. 2), etc..

Figura 1: cxbxay 2 ++= Figura 2: dxcxbxay 23 +++=

A

obtenção dos coeficientes para estas curvas, dentre outras, necessita de um esforço maior do que no caso da reta. Porém, hoje existem recursos disponíveis (Softwares) que podem nos auxiliar de forma bastante satisfatória, com um esforço bem menor. A seguir, a título de ilustração, descrevemos o manuseio de um desses recursos,.

CurvExpert (Fig. 3) é um Software que permite introduzir em uma tabela, os valores de x e y obtidos em um experimento.

Após digitarmos os dados para x e y, associamos TOOLS no menu principal e em seguida CURVER FINDER (Fig. 4).

Figura 3: Software CurvExpert Figura 4

O Software mostra uma janela com as famílias de modelos que você quer para a sua curva (Fig. 5).

Se for permitido deixe todas selecionadas e clique em OK.

22

Uma outra janela mostrará os dados plotados em azul e uma linha em vermelho (Fig. 6). Para sabermos que expressão matemática gerou essa linhas, clicamos no botão INFO.

Nova janela se abrirá(Fig. 7) onde aparecerá o tópico COEFFICIENTS mostrando a expressão e todos os valores numéricos dos coeficientes.

Voltando a tela principal, observamos uma lista de regressões, no canto da esquerda (Fig. 8). Elas estão numeradas de 1 a n. Esta lista indica as aproximações de linhas para os dados. Quanto menor for o número melhor a aproximação, isto é, menores serão os desvios.

Figura 7: Expressão da Curva Figura 8: Tipos de regressões

EXERCÍCIOS:1: Seja x a temperatura em graus Fahrenheit (0F) e y a mesma temperatura em graus Celsius (0C). Essas duas escalas de temperatura estão relacionadas linearmente através da seguinte equação:

9160

95 −= xy .

a) Encontre y quando x=18, x=32 e x=50;b) Construa o gráfico de y=f(x)

Figura 5 Figura 6: Gráfico da curva

23

2: Sabe-se que a taxa respiratória y, medida em respirações por minuto, relaciona-se linearmente com a pressão parcial de dióxido de carbono nos pulmões. Denotemos por xP

2CO = . Então, quando um indivíduo médio inspira ar de um recipiente, digamos, um saco plástico, contendo aproximadamente 2% de dióxido de carbono, a pressão parcial é de cerca de 41 torr e a taxa respiratória correspondente é de 13,8 respirações por minuto. Se o saco plástico contiver 6% de CO2, então, neste caso, 2COP é de cerca de 50 torr e a taxa respiratória é de

19,1 respirações por minuto. a) Expresse a taxa respiratória como função de 2COP . b) Calcule ainda a taxa respiratória quando a pressão parcial for 47 torr. c) Esboce o gráfico desta função, sabendo que os valores de x são tomados no intervalo: [38,69].Observação: Temos a seguinte igualdade entre as unidades de medida para pressão torr (torricelli) e mmHg (milímetro de mercúrio):

1 torr=1 mmHg à 0ºC

Solução: a) Temos para 81341 ,ytorrx =→= respirações por minuto, e para

11950 ,ytorrx =→= respirações por minuto.Assim, notamos que y depende de x. Essa função y=f(x) é do tipo afim,

deste modo, o gráfico da função é uma reta da forma y=mx+n. Pela equação da reta vamos encontrar m. Temos

.9053

93,5)4150()8,131,19()()( 00 =⇔=⇔−=−⇔−=− mmmxxmyy

Agora para um x arbitrário, teremos um y que depende desse x. Assim:

.90931

9053)(

9315390217353124290)41(9053)8,13(

−==

−=⇔−=−⇔−=−

xxfy

xyxyxy

24

b) Calculando o número y de respirações por minuto para uma pressão parcial x=47 torr, resulta:

.3,1790

156090931

902491

90931)47(

9053 =⇔−⇔−=y

c) Finalmente, o gráfico da reta no intervalo dado e´:

3: Os dados da tabela vêm de um experimento sobre a lactonização do ácido hidróxidovalérico a 25 0C. É dada a concentração C(t) desse ácido ( em mols por litro após t minutos. Use esses dados para esboçar um gráfico aproximado da função concentração e estime a concentração após 5 minutos.

t 0 2 4 6 8C(t) 0,08 0,0570 0,0408 0,0295 0,0210

4: Os registros de temperatura T (em oF) foram tomados de duas em duas horas a partir da meia-noite até as 14 horas, em Dallas, em 2 de julho de 2001. O tempo foi medido em horas após a meia-noite.

t 0 2 4 6 8 10 12 14T 73 73 70 69 72 81 88 91

Use os registros para esboçar um gráfico de T como uma função de t.Use seu gráfico para estimar a temperatura às 11 horas da manhã.

5: A relação entre as escalas de temperatura Fahrenheit (F) e Celcius (C) é dada

pela função linear 3259 += CF .

Esboce o gráfico dessa função.O que representa a inclinação nesse gráfico? O que representa o

intercepto F do gráfico?

6: Biólogos notaram que a taxa de cantos de uma certa espécie de grilo está relacionada com a temperatura de uma maneira que aparenta ser linear. Um grilo canta 113 vezes por minuto a 70 oF e 173 por minuto a 80 oF.

a) Encontre uma equação linear que modele o número de cantos por minuto N como uma função da temperatura T.

b) Qual a inclinação da reta? O que ela representa?c) Se os grilos estiverem cantando 150 vezes por minuto, estime a

temperatura.

25

7: A tabela a seguir mostra as taxas de úlcera péptica, medida no decurso de toda vida, a cada 100 habitantes, para várias rendas familiares, conforme reportado em 1989 pelo National Health Interview Survey.

Rendafamiliar

Taxa de úlcera(a cada 100 habitantes)

$4.000 14,1$6.000 13,0$8.000 13,4$12.000 12,5$16.000 12,0$20.000 12,4$30.000 10,5$45.000 9,4$60.000 8,2

a) Faça um mapa de dispersão desses dados e decida se um modelo linear é apropriado.

b) Faça um gráfico de modelo linear usando o primeiro e último pontos.c) Encontre e faça um gráfico da reta de regressão de mínimos

quadrados.d) Use o modelo linear de (c) para estimar a taxa de úlcera

correspondente a uma renda de $25.000.e) De acordo com o modelo, qual a chance de alguém com uma renda

de $80.000 sofrer de úlcera péptica?f) Você acha razoável aplicar o modelo a alguém com uma renda de

$200.000?

Experimento: Coloque um grão de feijão em algodão úmido. Acompanhe seu crescimento e faça uma descrição através de gráfico e tabela.

Você pode mudar para alpiste e fazer comparações do crescimento, como também pode mudar para acompanhamento de cultura de bactérias.

26

10 LEITURA COMPLEMENTAR

Tudo nos Eixos9

Descartes descreveu figuras geométricas com letras e números e fez o mundo ver através de gráficos.

Imagine a oscilação da bolsa de valores sem visualizar um gráfico. Ou então um jogo de batalha sem as coordenadas.

Ao publicar seu mais famoso trabalho, o filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650) apresentou ao mundo uma nova maneira de pensar e ao mesmo tempo inaugurou uma nova área na matemática. No “Discurso sobre o Método”-para bem conduzir a razão e procurar a verdade nas ciências- ele expõe sua crença de que, entre todas as áreas do conhecimento, só a matemática é certa, portanto tudo deve ser baseado nela. Como a extensão do título da sua obra indicada, Descartes prega o uso da razão para a obtenção da verdade, só alcançável por meio do método. E isso deve ser feito como se procede na matemática, com o emprego do raciocínio lógico e dedutivo na prova de teoremas. Surge daí a clássica expressão “cogito, ergo sum” (penso, logo existo), começando com a dúvida de Descartes sobre sua própria existência, mas depois chegando à conclusão que uma consciência clara de seu pensamento provava sua própria existência.

A influência das idéias do filósofo foi tão abrangente que hoje costumamos dizer que somos cartesianos se agimos racionalmente, objetivamente ou de maneira lógica.

A maior contribuição do francês para a matemática também está registrada no “Discurso sobre o Método”.

O X da QuestãoSó com Descartes é que passamos a enxergar um ponto no espaço

como um par ordenado de números no eixo cartesiano. As retas, os círculos e outras figuras geométricas podem então ser representadas por equações em x e y. Assim surgiu a chamada geometria analítica, quando se usa álgebra na solução de problemas geométricos. As figuras que antes só eram desenhadas, passaram a ser representadas por equações, com letras e números. Passamos então a colocar tudo em gráficos, como a variação da temperatura de um paciente e as oscilações nas vendas de um produto, em forma de pontos e curvas.

Descartes é o responsável também por algumas notações matemáticas que costumamos usar. Foi ele quem começou a utilizar as últimas letras do alfabeto para designar as quantidades desconhecidas (incógnitas) e as primeiras letras para designar as quantidades conhecidas numa expressão matemática. Ele introduziu também o sistema de índices em potências ou o costume de designar a ordem da potência na equação como x2, x3 etc.

Conta a lenda que Descartes tinha suas melhores idéias quando estava deitado em sua cama. Ele sempre manteve o hábito de ficar sob as cobertas nas manhãs frias até que se sentisse confortável para levantar. Franzino e de saúde frágil, enquanto estudava em escola jesuíta, o jovem tinha permissão de ficar 9 Por Carmem Kawano

27

deitado quase toda manhã durante os invernos. Mas depois de se formar em Direito, o filósofo escolheu dividir sua vida entre viagens, o serviço como soldado na Holanda, Hungria e Dinamarca e o isolamento para estudar e raciocinar.

Se Descartes teve suas idéias muito cedo, então só as publicou depois de passados quase 20 anos, quando tinha 41 anos. Nesse meio tempo, passou por batalhas militares e até arriscou a vida em algumas delas. Ele sobreviveu aos perigos bélicos e publicou seus trabalhos. Morreu aos 53 anos em decorrência da mudança de seus hábitos: Descartes havia sido contratado como tutor da jovem e atlética rainha Cristina, da Suécia, que tomava suas aulas às 5 da manhã nos salões frios do palácio. Para chegar no horário, Descartes ainda tinha que percorrer as ruas congeladas no inverno sueco. O filósofo, acostumado ao calor matinal do cobertor, morreu de pneumonia depois de 5 meses no novo esquema do seu trabalho.

AleX e EmY vão se encontrar?

Pelas ruas horizontais e verticais da figura em um lance, AleX pode caminhar 3 quarteirões para a direita ou só um quarteirão para cima. EmY, ao contrário, é mais rápida no caminho pela vertical. Em um lance ela pode caminhar 2 quarteirões para baixo ou somente 1 para a esquerda.

Saindo de suas posições iniciais indicadas, existe alguma maneira de eles se encontrarem em alguma esquina do mapa? Resposta10

MODELOS MATEMÁTICOS: Uma relação de funções essenciais (Stewart, pg. 25),

Um modelo matemático é uma descrição matemática (freqüentemente por meio de uma função ou de uma equação) de um fenômeno do mundo real, como o tamanho de uma população, a demanda por um produto, a velocidade de um objeto caindo, a concentração de um produto em uma reação química, a expectativa de vida de uma

10 Só há um jeito de os dois se encontrarem. AleX deve caminhar – no total, em qualquer ordem – para a direita dois lances (6 quarteirões) e para cima seis lances (6 quarteirões). Já EmY deve andar para a esquerda cinco lances (cinco quarteirões) e para baixo três lances (6 quarteirões), e qualquer ordem também.

28

pessoa ao nascer ou o custo da redução dos poluentes. O propósito do modelo é entender o fenômeno e talvez fazer predições sobre o comportamento futuro [...].[...]”Dado um problema do mundo real, nossa primeira tarefa é formular um modelo matemático por meio da identificação e especificação das variáveis dependentes e independentes e da realização de hipóteses que simplifiquem o fenômeno o suficiente para torná-lo matematicamente tratável. Usamos nosso conhecimento da situação física e nossa destreza matemática para obter as equações que relacionam variáveis. Em situações em que não existe uma lei física para nos guiar, pode ser necessário coletar dados (de uma biblioteca, da Internet ou conduzindo nossos próprios experimentos) e examiná-los na forma de uma tabela, a fim de perceber os padrões. Dessa representação numérica de uma função podemos obter uma representação gráfica desenhando os dados. Esse gráfico pode até sugerir uma fórmula algébrica apropriada em alguns casos. O segundo estágio é aplicar a matemática que sabemos... ao modelo matemático que formulamos, a fim de tirar conclusões. Então, em um terceiro estágio, interpretamos as conclusões matemáticas como informações sobre o fenômeno original e oferecemos explicações ou fazemos predições. A etapa final é testar nossas predições com o que acontece de novo no mundo real. Se as predições não se ajustam bem à realidade, precisamos refinar nosso modelo ou formular um novo modelo e começar novamente o ciclo.

29

CAPÍTULO 2

FUNÇÕES

Neste capítulo trataremos do estudo de algumas funções, que são encontradas na área biológica, em situações problemas. Inicialmente estudaremos o seguinte problema: Batimentos Cardíacos e perda de peso. Uma relação importante na prática de exercícios físicos.

Através da freqüência cardíaca, temos a forma mais eficaz para determinar a intensidade de um exercício físico, ou seja, o trabalho cardíaco, geralmente expresso pelos batimentos cardíacos por minuto (bpm), tem uma relação direta com os exercícios físicos. Pessoas que desejam perder peso por meio de atividades aeróbicas, isto é, queimar calorias, devem fazê-lo numa intensidade que eleve sua freqüência acima de 65%, mas não ultrapasse 75% do número máximo de bpm para sua faixa etária.

A freqüência cardíaca máxima varia de uma pessoa para outra levando em consideração diversos fatores. Um destes fatores é a idade. Assim, quanto maior for a idade menor deverá ser sua freqüência cardíaca. O gráfico abaixo mostra a zona de treinamento para pessoas que querem perder peso:

Observe que este gráfico mostra o número de batimentos cardíacos para pessoas com idade entre 20 e 65 anos. Para cada intervalo de 5 anos a tabela mostra a freqüência mínima e máxima a ser alcançada. Por exemplo, para uma pessoa de 40 anos a freqüência cardíaca deverá ficar entre 117 e 134 bpm.

Problema: Se uma pessoa de 28 anos deseja perder peso através de exercícios aeróbicos, como ela faria para obter os limites de sua freqüência?

Para obtermos esta resposta, passamos a estudar a função polinomial do 1º grau.

30

1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

Como já sabemos os gráficos das funções polinomiais do 1º. grau são retas, que podem ser obtidos atribuindo-se valores para a variável x e desse modo obtendo-se o valor da variável y.

Alguns casos particulares são apresentados a seguir:

Se b = 0, y=f(x) = ax é chamada função linear;Se b = 0 e a = 1, y = f(x) = x é chamada função identidade;Se a = 0, y = f(x) = b é chamada função constante.

Apresentamos abaixo um resumo das propriedades desta função:

1. Zero da função: ax + b = 0 ⇔a

bx −= ,

2. Crescente para a>0 Decrescente para a<0

3. Sinal da função:

Solução do problema: Para a pulsação máxima observamos que enquanto as idades variam de 5 em 5 anos, a freqüência máxima sofre uma variação também constante de 4 bpm. Assim, se chamarmos de ∆I a variação da idade e ∆B a variação de bpm, teremos:

31

Definição: Uma função é denominada uma função polinomiala do 1º grau se f : IR→ IR, sendo bax) f(xy +== , com a, b ∈ IR e a ≠ 0, onde a é o coeficiente angular, b é o coeficiente linear.

=−=∆

∆54

IB constante

Este resultado é válido para todo o intervalo da tabela. O que nos leva a concluir que é possível obter uma reta com declividade negativa passando por todos os pontos (I,B). Para obter a equação da reta B = a0 + a1I, necessitamos obter

o valor de a0, pois 54

1 −=a . Se substituirmos qualquer par ( B0 , I0 ) da tabela na

equação da reta, obteremos a0 = 166 . Assim:

I54166B −=

o que significa que, para uma pessoa de 28 anos obtemos o número máximo de batimentos.

B = 166 – 4/5(28) = 143,6 ⇒ B ≈144 bpmJá para pulsação mínima, observe que B∆ não é constante, enquanto

que a variação das idades se mantém constante. Então

≠∆

∆IB constante

o que impossibilita obter a equação de reta que contenha todos os pontos(I,B). Neste caso, devemos utilizar o método dos mínimos quadrados, o que nos conduz a

8606061,142I6484848,0B +−= .

Esta é a equação da reta que melhor se aproxima dos dados do problema, e ela fornece o valor mínimo do batimento cardíaco de acordo com a variação da idade.

Assim uma pessoa de 28 anos pode ter no mínimo 125 bpm, aproximadamente.

Conclusão: um indivíduo que deseja perder peso através de exercícios aeróbicos deverá manter seus batimentos cardíacos entre 125 e 144.

Tabela do IMC: Índice de Massa Corporal

32

Exemplo 01: Se a pressão for mantida constante, uma amostra de gás tem volume igual a V0 a 0 0C. A relação entre o volume V do gás em litros e a temperatura T em graus centígrados é dada pela equação:

.273

00 litrosTVVV

+=

a) Qual é a inclinação desta reta?b)Como você pode obter a expressão da temperatura em graus

centígrados em função do volume, nas condições acima? explicite esta expressão.

Solução: a) Como a expressão é uma reta, cuja forma é y= mx+n, neste caso teremos

2730V

m = .

b) Da expressão V=V(T) resulta os cálculos:

.273VV273T

TVV273V273

T273VVV

T273VV

0

00

00

00

−

=

=−

=−

+=V

Exemplo 02: A lei de Boyle estabelece uma relação entre o volume e a pressão de um gás quando a temperatura é mantida constante, a saber: PV=K, onde K é uma constante positiva (de fato, K depende da temperatura, e esta foi considerada constante). Ao levarmos em conta a variação da temperatura, esta lei passaria a ser enunciada como

PV = n R Tk torr/litro,

onde TK é a temperatura em graus Kelvin e n o número de moles e R a constante do gás. Sabendo-se que R=62,4 e TK =T + 273, onde T é a temperatura em graus centígrados, mostre que:

torrTV

nV

nP )4,62()273)(4,62( +=

Sendo esta a expressão da pressão em função da temperatura em graus centígrados. Tal expressão é linear quando o número de moles n e o volume V são mantidos constantes.

Solução: De fato

.)4,62()273)(4,62()273)(4,62()4,62()273(4,62 TV

nV

nPnTnVPTnVP +=⇔+=⇔+=

33

Exemplo 03: A partir da equação PV = 62,4 n Tk , calcule a pressão de 5 moles de gás, cujo volume é 120L, a uma temperatura de 310 K.

Solução: 806,0120

310)5(4,624,62===

VnT

P k torr.

Exemplo 4: Seja x a temperatura em graus Fahrenheit (oF) e y a mesma temperatura em graus Celsius (0C). Essas duas escalas de temperatura estão relacionadas linearmente através da seguinte equação:

9160x

95)x(fy −==

1. Encontre y quando x = 18, x = 32 e x = 50;2. Exprima x como função de y, isto é, determine a função inversa que

permite encontrar a temperatura em oF, conhecida a temperatura 0C;3. Esboce o gráfico de y = f(x).

Observações: Tomemos pontos de referência denominados pontos fixos, tais que:

1º ponto fixo: temperatura do gelo fundente, sob pressão normal (1 atm);2º ponto fixo: temperatura do vapor de água em ebulição, sob pressão

normal (1 atm). Estes pontos definem a chamada escala Celsius (ºC). Cada nova escolha para os valores dos pontos fixos geram outras escalas de temperatura: Fahrenheit (ºF), Kelvin ou Absoluta (K), etc. A correspondência entre essas escalas é:

Solução: 1)

para x = 18 para x = 32 para x = 50

C,y

)(y

o879

70916090

916018

95

−=

−=−=

−=

Cº0y9

1609

1609

160)32(95y

=

−=

−=

Cy

)(y

o109

909

1602509

1605095

=

=−=

−=

ºCºF K

100º

0º

212º

32º

373K

273K

34

2) Da expressão y=ax+b resulta os seguintes cálculos:

.5

1605916095

9160

95

9160

95 +=⇔+=⇔+=⇔−= yxyxyxxy

Assim, .

3) E o gráfico de y é:

2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

A caminhada é uma das atividades físicas mais comuns praticadas pelas pessoas. A intensidade, vista como a velocidade com que se dão as passadas, e a duração são os fatores que determinam o gasto de energia (queima de calorias) durante uma caminhada. Desse modo, podemos pensar em determinar o “melhor tempo” e a “melhor velocidade” para aperfeiçoar o gasto de energia durante uma caminhada.

Problema: A tabela a seguir apresenta informações da Organização Mundial da Saúde (OMS) relativas ao gasto de energia de uma pessoa normal ao realizar uma caminhada de 3.000 metros. Em quanto tempo a pessoa deve realizar esta caminhada para aperfeiçoar o gasto de energia?

Tempomin h

Velocidade(Km/h)

Energia Consumida (Kcal)

60 1 3 15550 0,833 3,6 183,9245 0,75 4 190,1840 0,667 4,5 190,9930 0,5 6 175,9520 0,334 9 139,0110 0,167 18 80,66

Tabela 02: Relação entre tempo, velocidade e calorias gastos por um adulto durante caminhada de 3000m

Vamos apresentar estes dados em um gráfico tempo x gasto de energia.

35

5160y

59)y(gx +==

Figura 01

Observando os dados da tabela e a tendência dos dados no gráfico, podemos pensar em representar estes dados por meio de uma função quadrática, ou função do segundo grau: E(t) = a t2 + bt + c

Faremos aqui um parêntese para relembrarmos algumas propriedades das funções quadráticas, e em seguida retomaremos o problema a ser estudado.

Como já sabemos os gráficos destas funções são parábolas, e podem ser obtidos atribuindo valores para a variável x, para obter o valor correspondente da variável y=f(x). Quando analisamos o comportamento destas funções a extração de alguns dados é fundamental, que passaremos a resumir abaixo.

1. Zeros da função: ax2 + bx +c = 0:

ab

aacbbx

2242 ∆±−=−±−=

∆ > 0 ∆ < 0 ∆ = 0

Duas raízes reais distintas nenhuma raiz real Duas raízes reais iguais

36

Uma função quadrática é dada pela expressão:0,)( 2 ≠++= acbxaxxf

2. Vértice e conjunto imagem da função:

abxv 2

−= e ayv 4

∆−=

∆−≥∈=

ay;Ry)fIm(

4

∆−≤∈=

ay;Ry)fIm(

4

3. Concavidade

Concavidade voltada para cima (a > 0)

a > 0 e Δ > 0 a > 0 e Δ = 0 a > 0 e Δ < 0

Neste caso observamos também que o gráfico da função é decrescente para os pontos anteriores ao vértice, e crescente para os pontos posteriores ao vértice.

Concavidade voltada para baixo (a < 0)

a < 0 e Δ < 0 a < 0 e Δ > 0 A< 0 e Δ = 0

37

S = 0.17356582r = 0.99999363

tempo

calo

rias

0.1 0.3 0.4 0.6 0.8 0.9 1.169.63

91.69

113.76

135.82

157.89

179.96

202.02

Neste caso observamos também que o gráfico da função é crescente para os pontos anteriores ao vértice, e decrescente para os pontos posteriores ao vértice.

Uma questão importante para reflexão: qual a relevância do vértice na análise do comportamento da função?

4. Sinal da função

As funções polinomiais de grau superior a dois serão estudadas através de outros exemplos futuramente. Porém cabe ressaltar que o número de raízes, ou zeros da função, deve ser analisado sempre que possível por fatoração do polinômio.

Voltando para a solução do problema: Para encontrar a função quadrática que se aproxima dos dados podemos usar, por exemplo, o CurveExpert

Quadratic Fit: y=a+bx+cx^2Coefficient Data:

a=-0.23828993b=549.36331

c =-394.07135

ou então escolher três pontos da tabela para determinar os valores de a, b e c da equação E(t) = at2 +bt +c. Se utilizarmos o Curve, encontramos:

238,036,59407,394)( 2 −+−= tttE

Se escolhermos três pontos, por exemplo: P1=(0,833;183,92), P2=(0,667;190,99) e P3=(0,334;139,01), devemos substituí-los na equação E(t)=at2+bt+c, obtendo um sistema com três equações e três incógnitas.

38

=++

=++

=++

01,139334,0112,0

99,190667,0445,0

92,183833,0693,0

cba

cba

cba

cuja solução é: E(t) = -402,564t2 + 557,47 t – 2,15.Dependendo dos pontos escolhidos a equação será diferente, porém o

gráfico de cada uma delas é muito próximo um do outro.

tem po

calo

rias

0.1 0.3 0.4 0.6 0.8 0.9 1.183.60

102.40

121.20

140.00

158.80

177.60

196.40

Estamos interessados em saber em quanto tempo a pessoa deve realizar a caminhada para aperfeiçoar o consumo de energia. Isto corresponde ao vértice da parábola:

V = (0,69239 ; 190,84) .

Assim, para t=0,69239 h ou t=41 min teremos o tempo “ideal” para gastar numa caminhada de 3.000 m. Voltando à tabela, podemos observar que a velocidade com que a pessoa deve caminhar está entre 4 e 4,5 quilômetros por hora. A determinação dessa velocidade é como segue:

Tempo Velocidade0,75 ______ 4 0,69 ______ X

e Tempo Velocidade0,667 ______ 4,50,69 ______ X

As grandezas são inversamente proporcionais e em ambos os casos obtemos x ≈ 4,3 Km/h. Assim, numa caminhada de 3.000 m, andando a, aproximadamente 4,3 Km/h, a pessoa gasta 190,84 Kcal. O importante neste problema é concluir que não é preciso caminhar mais rápido do que 4,3 Km/h para aperfeiçoar o gasto de calorias numa caminhada de 3.000 m. Assim, gastar mais calorias, não implica em andar mais rápido, mas em caminhar uma distância maior.

39

Problemas:1) A temperatura em certa cidade variou de acordo com a equação

10t4t61tC 2 ++−=)( graus centígrados, em um determinado dia.

a) Qual a temperatura, às 14 horas?b) Quanto a temperatura variou, entre 18 e 21 horas?c) Em que momento ocorreu a temperatura máxima? Qual o valor?

2) População de Bactérias: Em um determinado experimento, uma população de bactérias esta sendo estudada. O pesquisador observou o crescimento da população e utilizou a aproximação quadrática dos dados para descrever a população N em função do tempo t em horas em uma ambiente hostil. Determinar a função N(t) e a população máxima de bactérias no organismo, sabendo que a população inicial de 500 bactérias aumentou para 4500 decorridas 3 horas, e após 6 horas a população diminuiu para aproximadamente 3000 bactérias.

Exercícios Complementares:1- Qual a temperatura em graus centígrados de 2 moles de gás a uma pressão de 650 torr, sendo o volume igual a 40L e R=62,4?Solução:

3,2088,124

260008,12426000

)2(4,62)40(6504,62

=⇔=⇔=

=⇔=

kkk

kk

TTT

TTnVP

Mas queremos em graus centígrados, assim:

.º7,642733,208273 CTTTTk −≅⇔+=⇔+=

2- Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o dióxido sulfúrico (SO2). Uma pesquisa realizada em Oslo (Noruega) demonstrou que o número (N) de mortes por semana é uma função linear da concentração média (C) do SO2 medida em mg/m3. A função é N=94+(0,031)C. O domínio é 50 ≤ C ≤ 700.

a) Plotar o gráfico dessa função;b) Calcular a imagem

Solução:

.

3- Nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo. O ar exalado tem temperatura inferior à do corpo, já que o ar é resfriado nas paredes do nariz. Foram feitas experiências em carriças (pequenos pássaros de cactos do deserto). Para a temperatura ambiente TA, o domínio foi { TA;12º < TA <30º}. A temperatura do ar exalado TE depende linearmente da TA: TE = 8,51+0,756 TA. Traçar o gráfico dessa função e determinar sua imagem. Solução:

40

}19,31T5,17{Im E <<=

4- De acordo com Tomofeeff Ressovsky/Zimmer, o número de mutações ligadas aos sexos relacionados à Drosóphila Melanogaster cresce quase que linearmente com uma dose de raio-x que não exceda 6KR (quilo-Roengel). Seja x a dose medida em KR e y a taxa de mutação (percentagem). Para uma dose zero nenhuma mutação é observada. Com a dose de 3KR, a taxa de mutação é 8,4%. Traçar um diagrama e estabelecer uma equação para x e y. Qual o domínio e a imagem da função?Solução: Vamos calcular a inclinação m de reta no diagrama, assim:

8203048

0

0 ,,xxyy

m =−

−=−−

= .

Agora, obtemos a equação para x e y genéricos:

.8,24,88,24,8)3(8,24,8)( 00

xyxyxyxxmyy

=⇔−=−−=−⇔−=−

5- Simpson, Roe e Lewontin afirmaram que nas fêmeas da cobra Lampropelts Polyzono, o comprimento y é uma função linear do comprimento da cauda x, com grande precisão. O domínio é o intervalo compreendido entre 30mm e 200mm e a imagem entre 200mm e 1400mm. Determinar a equação de y como função de x e plotar um diagrama com unidades apropriadas para x e y.Solução: Vamos obter o coeficiente angular m da reta que representa a função linear, assim:

.05,71701200

302002001400

0

0 ==−−=

−−=xxyym

Encontraremos agora equação num ponto (x,y) qualquer, assim:

5,1105,7)30(05,7200 −=⇔−=− xyxy

6- A temperatura na escala Celsius, representada por x, e a mesma temperatura na

41

escala Fahrenheit, representada por y, estão ligadas pela relação linear 5y-9x=160. Expressar y como função de x e plotar a função. Preparar uma tabela de conversão para x= 36,00; 36,10; 36,20 ;...; 37,00 . Solução:

.328,15

160591609516095

+=

+=⇔+=⇔=−

xy

xyxyxy

x yºC ºF36 96,8

36,1 96,9836,2 97,1636,3 97,3436,4 97,5236,5 97,736,6 97,8836,7 98,0636,8 98,2436,9 98,4237 98,6

7- Os produtos farmacêuticos devem especificar as dosagens recomendadas para adultos e crianças. Duas fórmulas para modificação de dosagem para crianças são:

Regra de Cowling: aty )1(241 += ;

Regra de Fried: a.ty252= ,

onde t é a idade da criança, em anos, e a é a dosagem ministrada em adultos.

a) Se a=100, faça o gráfico das duas equações lineares no mesmo sistema de eixos para 0 ≤ t ≤ 12.

b) Para que idade as duas fórmulas especificam a mesma dosagem?

Solução: a) Para que as quantidades y da droga sejam iguais, temos:

42

0812325482525

252

241

242521

241 ,ttttttaa)t( ==⇒=+⇒=+⇒=+

Agora, substituímos o valor de t, e para a=100:

( ) 10012325

2411

241

+=⇔+= aty

.696,85524800100

4348

241 mly ≅⇔=⇔

=

Ou então

mlaty 696,8575

50001002325

252

252 ≅⇔⇔=⇔=

8- Um cientista, ao fazer experimentos sobre a relação entre pressão e volume de um gás, verificou que, quando a pressão é 1atm, o volume é 30cm³. Quando a pressão é 10atm, o volume é 5cm³. Faça o gráfico desses dois pontos e calcule a inclinação da reta que eles determinam.Solução:Temos x0=1 atm e y0=30 cm³, depois x=10 atm e y0=5 cm³, assim:

.925

110305

xxyy

m0

0 −=−

−=−−

=

Por ser m<0 a reta é decrescente, isto ilustra que pressão e volume são grandezas inversamente proporcionais.

9- A quantidade x de clorofórmio necessária para manter uma pessoa adormecida durante h horas pode ser calculada pela equação 3x-5=4x+7-h. Isto pode ser representado por uma reta? Se puder, escreva sua equação na forma reduzida.Solução: Temos,

h7x45x3 −+=−Vejamos se x=x(h):

.121257437453 −=⇔−=−⇔−+=−⇔−+=− hxhxhxxhxx

10- Há diversas maneiras de se calcular a dose infantil de um medicamento, sendo conhecida a do adulto. É obvio que a dose infantil deverá ser uma fração da dose do adulto. Normalmente, esse cálculo é feito em função da idade da criança ou de seu peso. Existem diversas regras para se obter essa estimativa. Citaremos três delas: Regra de Young:

(Idade da criança em anos) x (dose do adulto) = dose infantil(Idade da criança em anos +12)

43

Regra de Fried:(usada para calcular doses para bebês menores de um ano de idade)

(Idade do bebê em meses) x (dose do adulto) = dose infantil 150

Regra de Clark (Peso da criança em quilogramas) x (dose do adulto) = dose infantil

70

A dose de sulfato de morfina para adulto é 10mg. a) Qual deverá ser a dose infantil, tratando-se de uma criança de 12 anos

pesando 30kg? Há discrepância entre o previsto pela Regra de Young e de Clark? Por quê?

Solução: Young:

Clark:

Sim, pois as fórmulas para os cálculos são distintas; uma calcula a dosagem pela idade, enquanto que a outra calcula pelo peso. As crianças podem ter a mesma idade e pesos distintos.

b)Um bebê de 6kg precisa tomar uma dose de acetato de cortisona. Sabe-se, ainda, que a idade do bebê é de 25 semanas, e que a dose do adulto é de 150mg. Calcule a dose infantil pela regra de Fried.Solução:

mg25,6150150

25,6 =

c) E quais seriam as doses de cortisona para o mesmo bebê, porém agora calculadas através das regras de Young e de Clark? Há discrepâncias? Em caso afirmativo, você tem alguma explicação para o fenômeno?

Solução: Young:

Clark:

Sim, veja item (a).

d) Exprima, em termos de uma função, cada uma das três regras acima citadas.Solução: (Young)

(Fried)

44

mg5101212

12 =+

mg28,4107030 =

mg61505,125,0 =

mg85,12150706 =

12aDa)a(D a

i +=

70Dp)a(D a

i =

150Dm)m(D a

i =

(Clark)

Onde:a: idade da criança em anos;Da: dose do adulto;m: idade do bebê em meses;p: peso da criança em quilogramas;Di(a): dose infantil em função da idade em anos; Di(m): dose infantil em função da idade em meses.

11- A Associação Nacional do Coração (EUA) publicou que pelo menos 30% das calorias diárias ingeridas pelas pessoas vêm da gordura. Um grama de gordura fornece nove calorias. Jason é do sexo masculino, tem 21 anos e é saudável, sua quantidade ingerida diariamente está entre 2500 e 3300 calorias.

a) Determine as quantidades mínima e máxima de gordura ingerida diariamente por Jason;

b) Determine a relação existente entre a gordura e caloria. Solução:

a) A transformação de calorias para gordura,

Se 1 grama de gordura →← produz 9 calorias

xmin →← produz 2500 calorias

92500Xmin12500Xmin9

25009

Xmin1 =⇔⋅=⇔=

Se 1 grama de gordura →← produz9 calorias

xmax →← produz3300 calorias

93300Xmax13300Xmax9

33009

Xmax1 =⇔⋅=⇔=

Assim, concluímos que a quantidade de gordura ingerida por Jason, diariamente, encontra-se no intervalo:

66,36677,277 ≤≤ x

b)

)x(y9

250092500 −=− ...

12- -A craca do Pacífico (Pollicipes polymerus), um crustáceo que se fixa às rochas, tem um sistema circulatório primitivo. A hemalinfa é bombeada através do corpo por um músculo não identificado. A freqüência de contração é fortemente dependente

45

)( 00 xxxyyy −

∆∆=−

da temperatura do corpo. Se a temperatura do corpo (ºC) for plotada em um eixo horizontal, e a freqüência de contração (bpm) num eixo vertical, a relação é dada por todos os pontos em um triângulo cujos vértices são:

ºC bpm7 123 1525 50

Plotar a relação e decidir se os seguintes pontos satisfazem à relação: (15º, 9 bpm), (15º, 25 bpm) e (24º, 20 bpm).

13) Um biólogo ao analisar seus experimentos observou que a água do seu aquário apresentava uma coloração estranha. Então iniciou uma pesquisa para descobrir o porquê isto havia acontecido. Ele então descobriu que o agente causador eram bactérias e estas poderiam vir a matar seus peixes ao atingir uma população de 1500 bactérias. As mesmas seguiam uma ordem de crescimento, conforme os dados:

X (gerações) P(X) (milhares)0 95

1 152 2 243,2

3 389,12

a) Obtenha a equação linear das gerações; b) Verifique a partir de que geração os peixes morrerão.

14) Determinar as funções lineares C(K) e C(F) que determinam a temperatura em graus Celsius em função das temperaturas em Kelvin e Fahrenheit, respectivamente, dado a seguinte tabela:

3 FUNÇÃO EXPONENCIAL

Neste tópico estudaremos a função exponencial, a qual possui várias aplicações na modelagem de diversos problemas, como por exemplo, a desintegração radioativa, a eliminação de drogas no organismo, o crescimento populacional, etc.

Considere então o seguinte problema:Um indivíduo tomou 60 mg de certa medicação à base de um

determinado sal. A bula do remédio informa que a meia-vida11 deste sal é de seis horas. Após 12 horas de ingestão do medicamento, qual é a quantidade do sal

11 Meia-vida: tempo necessário para que uma grandeza física ou biológica reduza à metade de sua massa.

ºC K ºFÁgua em Ebulição 100 373 212Água congelada 0 273 32

46

ainda presente no organismo? E após 3 horas da ingestão? E para um tempo t qualquer, qual é a quantidade de sal no organismo?

Se inicialmente pensarmos em um modelo expresso por uma função polinomial do 1o grau, chegaríamos à conclusão que após 12 horas não haveria mais sal no organismo. Segundo este modelo, a variação sofrida a cada intervalo de 6 horas seria sempre a mesma. Veja o gráfico anterior.

Tal modelo não é adequado, pois pela definição de meia vida, após 6 horas teremos 30 mg do sal, e após mais 6 horas ele se reduz à metade de 30 mg, isto é 15 mg. Assim

para →= 0t 60=y

para →= 6t 6/621.60

21.60 ==y

para →= 12t 6122 2160

2160

21

2160y /.... ===

para →= 18t 61832 2160

2160

21

2160y /.... ===

para →= 24t 62443 2160

2160

21

2160y /.... ===

A figura a seguir ilustra os pontos obtidos.

Tempo

mg

de s

al

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60

Assim, para um tempo t qualquer, teremos:6/

6/ 2160

21.60

t

ty

== ,

onde o valor 60 representa a quantidade inicial, em mg, do sal.De uma maneira geral, a função

y=aqx, 0q > e q ≠ 1,onde a é uma constante e x assume valores reais, é denominada função exponencial, e satisfaz as seguintes propriedades:

1. yxyx qqq .=+

2. yxyx qqq /=−

3. 10 =q4. qq =1

5. yxyx qq .)( =6. 21

21xx qqxx <⇒< se 1>q

7. 2121

xx qqxx >⇒< se 1<qOs itens 6 e 7 podem ser melhor compreendidos pelos gráficos a seguir:

47

2121

xx qqxx <⇒< se 1>qD(qx) = IR e Im(qx) = IR+

2121

xx qqxx >⇒< se 0< 1<qD(qx) = IR e Im(qx) = IR+

Assim, para resolvermos o nosso problema temos que após 3 horas da ingestão do medicamento encontraremos:

2/12.60 −=y 426,42=y mg de sal no organismo.

Este é um exemplo clássico da função exponencial. Observe o esquema a seguir:

Para t = 0 → 1 célula = 20

Para t = 1 → 2 células = 21

Para t = 2 → 4 células = 22

Para t = 3 → 8 células = 23

O número de células para um instante t qualquer é dado por t.kt NNN 1

00 22 == , onde N0 é o número de células iniciais (t=0) e k é a constante de crescimento, a qual neste caso é igual a 1 (unidade do tempo). Se a duplicação ocorrer a cada 30 minutos ou 0,5 hora esta constante passa a ser 1/30 ou 2, dependendo da unidade utilizada. Observe que o expoente da base é positivo, pois se trata de um crescimento.

48

Divisão celular:Divisão celular é o processo pelo qual uma célula (chamada célula-mãe) se divide em duas células-filhas. Nos organismos multicelulares, este processo pode levar ao crescimento do indivíduo (por crescimento dos tecidos), ou apenas à substituição de células senescentes por células novas. Nos organismos unicelulares, como as bactérias e muitos protistas, este é o processo de reprodução assexuada ou vegetativa.

(Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.)

Meia-vida: A taxa de desintegração radioativa de uma substância, geralmente, é descrita em termos de meia-vida da substância, sendo este o tempo que leva para que metade de uma amostra se desintegre. O carbono-14 (conhecido como radiocarbono) é usado para dar a idade de descobertas arqueológicas. O urânio, o potássio e o rubídio são usados na determinação de idades geológicas. A seguir apresentamos alguns exemplos de meia-vida de alguns isótopos radioativos muito usados em medicina:

RÁDIO 226..........................1602 anosCÉSIO 137...............................30 anosESTRÔNCIO 90......................28 anosCOBALTO 60.........................5,3 anosIRÍDIO 192...............................74 diasIODO 131...................................8 diasOURO 198...............................2,7 dias

Como visto acima, a meia-vida de uma substância radioativa pode ser curta ou muito longa, e é por isso que a questão do lixo atômico é um grande problema, pois pode demorar muitos anos para perder o seu efeito.

Exemplo 1: Em um método de marcação é utilizado como indicador o isótopo de potássio 42K . A meia-vida do 42K é de 12,5 horas. Se No é o número inicial de átomos, qual é a função que modela o problema? E qual é o número esperado de átomos após o período de 4 dias e 4 horas?

Solução: A função esperada é do tipo kt0qNN = . A meia-vida é de 12,5 h = 25/2 e

q=1/2 e N=N0 para t=0, assim:

T t /0(1/2)NN =

t /(25/2)0(1/2)NN =

-2/25t0(2)NN = .

Sendo esta a função procurada. E após 4 dias e 4 horas (t=100 h), obtemos:

001252-

0 2NN = 256N

2N o8-0 ==⇒ N .

A tabela a seguir nos fornece a meia-vida de outras substâncias

49

radioativas:

Substância Xenônio 133 Bário140 Chumbo 210 Carbono 14 Plutônio Urânio 238Meia-vida 5 dias 13 dias 22 anos 5.730 anos 23.103 anos 4,5 bilhões de anos

Do site http://notícias.terra.com.br/ciência/interna, obtemos informações de como se realiza a prova do Carbono 14:

A radioatividade do carbono 14: Willard Libby(1908-1980), que era químico americano (Nobel de Química-1960) utilizou em 1947 um contador Geiger para medir a radioatividade do C-14 existente em vários objetos. Este é um isótopo radioativo instável, que decai a um ritmo perfeitamente mensurável a partir da morte de um organismo vivo. Libby usou objetos de idade conhecida (respaldada por documentos históricos), e comparou esta com os resultados de sua radiodatação. Os diferentes testes realizados demonstraram a viabilidade do método até cerca de 70 mil anos. O C-14 se produz pela ação dos raios cósmicos sobre o nitrogênio-14 e é absorvido pelas plantas. Quando estas são ingeridas pelos animais, o C-14 passa aos tecidos, onde se acumula. Ao morrer, este processo se detém e o isótopo começa a desintegrar-se para converter-se em nitrogênio-14. A partir desse momento, a quantidade de C-14 existente em um tecido orgânico se dividirá pela metade a cada 5.730 anos. Cerca de 50 mil anos depois, esta quantidade começa a ser pequena demais para uma datação precisa. Depois de uma extração, o objeto a datar deve ser protegido de qualquer contaminação que possa mascarar a datação. Feito isso, se leva ao laboratório onde se contará o número de radiações beta produzidas por minuto e por grama de material. O máximo são 15 radiações beta, cifra que se dividirá por dois por cada período de 5.730 anos de idade da amostra.

Exemplo 2: A quantidade de células cancerosas existentes num instante t (dias) é dada por teN 1,0100= , onde e é o número de Euler 71828,2≅ . Qual é a velocidade média de crescimento destas células quando t varia do 2º para o 3º dia?Solução: 2,0100)2( eN = e 30e1003N ,)( = .

)(10023100100 2,03,0

2,03,0

eeeetNvelméd −=

−−=

∆∆=

Uma outra utilização da função exponencial pode ser vista através do seguinte exemplo:

Intensidade luminosa: Em lagos e mares, a vida vegetal somente pode existir na camada mais superficial, que tem grosseiramente 10 m de profundidade, já que a luz solar é gradualmente absorvida pela água. Podemos perguntar: como decresce a intensidade luminosa em relação ao aumento de espessura da camada?12

Consideremos um feixe de luz vertical entrando na água com igual intensidade original Io.

12 A reposta é a lei de Bouguer-Lambert [Bouguer (1698-1758)- cientista e explorador francês, estudou a absorção da luz na atmosfera. Johann Heinrich Lambert (1728-1777)–matemático, astrônomo e físico alsaciano estudou a lei em geral].

50

Seja I a intensidade reduzida em uma profundidade de x metros. Então a lei afirma que

xeII µ−= 0 ,

onde μ > 0 é chamado de coeficiente de absorção. Isto depende da pureza da água e do comprimento de onda do feixe luminoso. Estritamente falando, a intensidade I nunca será exatamente zero. Entretanto, para um x suficientemente grande, a luz restante não pode ser mais percebida.

A base e:

Mas por que a base e ? A escolha dessa base diferencia muito a forma como a função xay = cruza o eixo y. As retas tangentes ao gráfico de xy 2= e

xy 3= no ponto (0,1) têm inclinações 0,69 e 1,1, respectivamente.Veja os gráficos a seguir. O método para obtenção da inclinação da reta tangente à curva será dado posteriormente. Interessa-nos, a fim de simplificação de cálculos, escolhermos para base aquela a qual resulta uma reta tangente a xay = em (0,1) com inclinação igual a 1. E este número é o númeroe , cujo valor está entre 2 e 3. Como veremos mais adiante, o valor da base com a qual trabalhamos não interfere no resultado final, desde que sejam mantidas as regras de mudança de base.

Fig (a) xy 2= Fig (b) xey = Fig (c) xy 3=

Problema: Em geral, a população de bactérias, mosquitos, etc, é dada pela função exponencial:

kt0 e PP = ,

onde k é a constante de proporcionalidade e P0 é a população inicial. Se uma população de bactérias é dada pela fórmula 0,02t

0ePP = , onde t é medido em dias. Encontre a população após 45 dias, sabendo que inicialmente havia 200 indivíduos.

Observação: Os modelos de crescimento, como por exemplo, kt0 e PP = possui, na

realidade, um comportamento dado pela Fig a). Porém, é comum considerarmos, por razões práticas, que o gráfico seja o da Fig d).

51

Fig a) Fig b) Fig c) Fig d)

Voltando ao problema inicial, considere a seguinte situação: Desejamos saber qual o tempo necessário para que esta pessoa tenha 30 mg do sal no organismo.

Solução: Como já vimos, temos que a função que modela o problema é 6/2.60 ty −= .

Desejamos encontrar o tempo para y=30 mg. Então6/2.6030 t−=

6/16/ 2226030 tt −−− =⇒=⇒

Como as bases são iguais

htt 66

1 =⇒−=− ,

que é exatamente o tempo da meia-vida. Analisaremos agora qual o tempo necessário para que a quantidade

encontrada seja de 20 mg. Temos6/2.6020 t−= e 6/16/ 232

6020 tt −−− =⇒= .

Neste caso a solução da equação não é imediata, pois as bases são diferentes. Estamos procurando o expoente de 2, tal que o resultado de 6/2 t− seja igual a 3/1 . A questão, aqui, é como obter o expoente que satisfaça a igualdade acima.

Sempre que procuramos o expoente de um número, usamos o logaritmo, isto é, dados os valores b>0 e 0<a≠1, definimos

babc ca =⇔= log .

Os logaritmos possuem as seguintes propriedades:a) cbbc aaa logloglog += , para b, c>0 e 0<a≠1

b) cbcb

aaa logloglog −= , para b, c>0 e 0<a≠1

c) bnb an

a loglog = , para b>0, 0<a≠1 e n real

d) cbb

a

ac log

loglog = , para 0<a≠1, 0<c≠1 e b>0 (mudança de base)

e) 1aloga =

52

Obs: 1) ba ba =log . Realmente, babba aaaab

aa log)(loglog)(log)(log log =⇔=

E assim bb aa log1.log = .2) Se bbea e lnlog =⇒= , chamado de logaritmo natural ou neperiano,

devido a John Napier matemático escocês (1550-1617). E pela observação anterior: be b =ln .

Então para terminarmos a solução do problema, temos

2log3log6

2log3log

6

2log6

3log12log3log 6/1

=⇒=

−=−⇒= −−

tt

tt

E o resultado final pode ser obtido com o uso de uma calculadora. Assim, 9,51≅t h.

Problema: Como já vimos o crescimento de uma determinada população é dada pela função exponencial kt

0 e PP = . Se uma população de bactérias é dada pela fórmula 0,02t

0ePP = , onde t é medido em dias, após quantos dias a população será o dobro da população inicial?

Uma outra utilização do logaritmo é a Escala de pH (potencial de Hidrônio). Quando se dissolve em água um ácido ou uma base formam-se íons H3O+ e OH- que originam o caráter ácido ou básico da solução. Como a água pura tem um comportamento anfotérico (reage ora como ácido, ora como base) e se auto-ioniza segundo a equação:

−+ +↔+ OHOHOHOH 322

a 25º C, [ H3O+] = [OH-] = 10-7 mol/l. A solução será neutra quando [ H3O+] = 10-7

mol/l. Para expressar [H3O+] numericamente, o químico dinamarquês Sorensen(1868-1939) definiu a escala de pH. Defini-se pH de uma solução como o logaritmo decimal e do inverso da concentração de íons de H3O+. Isto é,

]OH []OH [

13

3

++

−== loglogpH .

Assim, numa solução neutra 710log 7 =−= −pH , numa solução ácida pH<7 e numa solução básica pH>7.

O pH sanguíneo de uma pessoa pode ser determinado usando a fórmula

de Henderson-Hasselbach: CBpH log1,6 += , onde B é a concentração de

bicarbonato, que é uma base, e C é a concentração de ácido carbônico, que é um ácido. Isto é, o pH sanguíneo depende da proporção de bicarbonato e ácido carbônico presente no plasma sanguíneo. O pH do sangue está normalmente entre 7,35 a 7,45, sendo uma solução levemente alcalina.

Problema: a) Qual é uma outra maneira de escrever a fórmula de Henderson-

53

-Hasselbach? b) Obtenha o pH sanguíneo de um indivíduo cuja concentração de

bicarbonato é 25 e que a concentração de ácido carbônico seja 5.Para generalizarmos a resolução do problema inicial do sal definiremos a

função logarítmica e para tanto necessitamos conceituar o que se entende por inversa de uma função.

4 FUNÇÃO INVERSA

Dada uma função y=f(x) definida de A em B ( BAf →: ), se para todo y∈ B existir um único valor x ∈ A tal que y=f(x), então podemos definir uma função g(y)=x de B em A ( ABg →: ) denotada por f-1, denominada função inversa de f.

Método para obter a função inversa: Exemplo : y=x-3

Permutar as variáveis x e y x = y – 3Explicitar y em função de x x + 3 = y ou y = x + 3

5 FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Seja a função exponencial xay = , com a>0, e a≠1. A função xy alog=

é chamada de função logarítmica e é a função inversa de xay = . E seu gráfico é dado a seguir:

xalog , a>1D(f)={x∈ IR; x>0} e Im (f) = { y; y∈ IR}

xalog , 0<a<1D(f)={x∈ IR;x>0} e Im (f) = { y; y∈ IR}

O logaritmo é uma ferramenta muito utilizada na Química, na Física e na Biologia, pois permite plotar dados de grandezas que possuam medidas tais como 10-20 ou 1030. Estas plotações podem então conter escala logarítmica ou duplamente logarítmica. Como ilustrado nos seguintes exemplos: 1. Os dados a seguir são aleatórios, sendo utilizados apenas para a construção

54

gráfica.

x 0 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845y 1 2 3 4 5 6 7

x 0.903 0.954 1 1.301 1.477 1.602 1.699y 8 9 10 20 30 40 50

P lotação n orm al

X

Y

0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.80

10

20

30

40

50

60

P lotação sem i-lo garítm ica

X

Y (

log

)

0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.80

1

10

100

2. Gráfico duplamente logarítmico:

55

Exercícios:1) Degradação radioativa: Consideramos uma substância que contenha átomos radioativos e admitamos que somente ocorra um tipo de isótopo radioativo. Seja N o número de átomos radioativos presentes na substância no instante t. Então, as experiências mostram que a degradação radioativa segue a lei:

N = No e-λt

onde λ é chamada de constante de degradação. Obter a meia-vida da substância, isto é o intervalo de tempo Δt no qual 50% dos átomos radioativos se decompõem. Solução: Consideraremos dois instantes de tempo t1 e t2= t1+ Δt e os respectivos valores de

N1 e N2.Assim,

N1 = No e-λt1 e N2 = No e-λt2= No e-λ(t1+ Δt ) = No e -λt1 e –λΔt

N2 = N1 e - λ Δt.

Como admitimos que N2 = ½ N1, entãoe - λ Δt = ½

-λ Δt = ln ½ = -0,69315Δt = 0,69315/ λ.

2) Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com temperatura ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de 32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que a mesma estava a 30 graus Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que a temperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?

Solução: Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente que passa pelos pontos (21,32) e (22,30) onde as abscissas representam o tempo e as ordenadas representam a temperatura do corpo.Como a curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:

f(t) = C eA t,então obtemos que:

A = Ln(30)-Ln(32)C = 32/ (30/32)21.

A função exponencial que rege o fenômeno de resfriamento deste corpo é dada por:

f(t) = 124,09468 e-0,0645385t,e quando f(t) = 37 temos que:

56

t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos,que pode ser observado através do seguinte gráfico:

3) A concentração de uma droga na corrente sanguínea é dada por tetK −= 5)( , onde t é o tempo (em horas) decorrido após a aplicação de uma dose de 5 unidades da droga.

a) Calcule a concentração K(t) nos instantes t= 0,1,2,3,4 e 5 horas;b) Esboce um gráfico da curva;c) Supondo que a dose de 5 unidades deva ser aplicada sempre que a

concentração for menor que 0,25 unidades, qual seria o intervalo de tempo permitido entre duas aplicações?

Solução:a)

b)S = 0.00002410r = 1.00000000

Tem po (t)

K(t)

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.00.00

0.92

1.83

2.75

3.67

4.58

5.50

c) 305,0525,05)( ≅⇔=⇔=⇔= −−− teeetK ttt horas.

4) O pH sanguíneo de uma pessoa pode ser determinado usando a fórmula de

Henderson-Hasselback. A fórmula como sabemos é: CBlog1,6pH += , onde B

t(em horas h) 0 1 2 3 4 5K(t) 5 1,8394 0,6767 0,2489 0,0916 0,0337

57

representa a concentração de bicarbonato, que é uma base, e C representa a contração de ácido carbônico, que é um ácido. A maioria das pessoas tem um pH sanguíneo em torno de 7,4.a) Use a propriedade do logaritmo para escrever a equação sem uma fração.b) Utilize uma calculadora para obter o pH sanguíneo de uma pessoa onde a concentração de ácido carbônico é 2 e a concentração de bicarbonato é 25.

Solução: a) ClogBlog1,6pH −+=

b) 2,71,11,6225log1,6pH =+=+=

Portanto, o pH sanguíneo é aproximadamente 7,2.

6 CURVA LOGÍSTICA

Como vimos, o modelo kteNN 0= descreve o crescimento de uma determinada população. Neste caso, supõe-se que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população. Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de dada espécie de uma população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre. De acordo com esta equação, se uma população de bactérias duplicasse a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estariam formando uma camada em volta da Terra de 30 cm de espessura! Do mesmo modo, qualquer população de plantas ou animais que obedecesse a esta equação estaria, dentro de alguns milhares de anos, preenchendo todo o universo.

Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modelo kteNN 0= . Na realidade quando N aumenta, o meio ambiente oferece resistências ao seu crescimento e tende a mantê-lo sob controle. Alguns exemplos de fatores que influenciam esta resistência ambiental são: quantidade de alimento, espaço, predadores, doenças, etc.

Um dos modelos de crescimento mais importante em Ecologia de populações trata-se do modelo logístico de crescimento populacional. Ele é também chamado de densidade-dependente uma vez que a taxa de crescimento em um determinado instante depende do número de indivíduos existentes na população. As curvas logísticas ilustram modelos de crescimento populacional, quando fatores ambientais impõem um limite superior no tamanho possível da população. Para ilustrarmos este importante modelo matemático temos o seguinte exemplo:

Exemplo: Consideremos uma situação formada por duas populações de organismos zooplanctônicos. Colocamos em dois béqueres 3 fêmeas partenogenéticas grávidas de um microcrustáceo cladócero em condições ideais de alimentação, temperatura, aeração e iluminação e ausência de predadores. Essas duas populações cresceram muito bem atingindo respectivamente 650 e 825 indivíduos aos 24 dias. O número da população (A e B) de cada béquer está na tabela a seguir:

Dias (t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

58

A 3 7. 10. 9 39 39 40 113 180 240 390 480B 3 4 16 18 25 49 51 136 156 267 301 444

Dias (t) 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24A 510 630 638 628 666 668 620 663 667 645 690 650B 501 650 630 730 734 777 758 780 771 812 799 825

Se colocarmos esses dados em um programa, como por exemplo, o CurvExpert, obteremos os seguintes gráficos e as fórmulas da função que melhor se aproximou dos dados:

Crescimento da População A

Dias (t)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 260

100

200

300

400

500

600

700

800Crescim ento da População B

Dias (t)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 260

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Logistic Model: ctbeatL −+

=1

)(

onde: a = 661,75981; b = 1012,2092 e e c = 0,65248036

Logistic Model: ctbeatL −+

=1

)(

Onde : a = 801,824; b = 297,99631 e c = 0,4861574

O gráfico da função ctbeatL −+

=1

)( , onde a, b e c são constantes

positivas, possui a forma de um S e é chamada curva logística. Observe graficamente que os valores de L(t) se aproximam de a quando o tempo t cresce indefinidamente e neste caso a é chamado de capacidade crítica.

Para fazermos uma análise do que foi dito da função exponencial e da função logística, limitamos o intervalo de t variando de 1 até 11, para a população A. Neste caso verificamos que a curva exponencial e a curva logística apresentam uma pequena variação.

C resc im ento da Po pulação A

tempo

N(t)

0 2 4 6 8 10 120

80

160

240

320

400

C re s c im ento da Po pu la ç ã o A

Tempo

N(t)

0 2 4 6 8 10 120

80

160

240

320

400

Exponential Fit: bxaey =a = 2.9510098

Logistic Model:)1( cxbe

ay −+=

59

b = 0.4439682 a = 2327.295 b = 1057.14 c = 0.48645293

Neste intervalo é imperceptível a diferença entre os gráficos, mas à medida que ampliamos o intervalo, a diferença entre eles torna-se significativa.

Exercícios:1) A pressão atmosférica pode ser determinada usando a equação

hP .02,0)10.(7,14 −= , onde P é a pressão atmosférica em libras por polegada quadrada e h é a altitude acima do nível do mar em milhas. Encontre a pressão atmosférica a uma altitude de 3 milhas acima do nível do mar, expressando em seguida os resultados no sistema cgs.

Solução:

Substituindo h por 3 milhas devemos apenas resolver a equação.

.P/L,P.,P

.,P)(,P)(,P

,

,.,,

214811

110

10603020

803712714

7141071410714 060

=⇔=

=⇔=⇔= −−

Portanto, a pressão atmosférica acima do nível do mar é aproximadamente 2/8037,12 PL .

1 Libra é equivalente a 0,454kg = 454g.1 Polegada é equivalente a 2,54 cm.

Assim;

.cm/g,P,.,P,P,

2542

454 9969003770803712803712 2 =⇔=⇔=

2) Para certo tipo de bactéria, k = 0,872 quando t é medido em dias. Quanto tempo levará para aumentar de 9 para 738 bactérias?

Solução:Temos que: k = 0,872 t medido em diasPara este cálculo, devemos usar a seguinte equação:

tkeNN .0 .=

Note que temos 90 =N , 738=N e 872,0=k .Substituindo na equação acima temos:

ttt eee .872,0.872,09

738.872,0 82.9738 =⇒=⇒= .

Aplicando logaritmo natural, segue-se que:

60

ete t ln..872,082lnln82ln .872,0 =⇒=

Como 1ln =e e 406,482ln = , segue-se:51..872,0406,4 =⇒= tt .

Logo, para que se aumente de 9 bactérias para 738 bactérias, será necessário um tempo de 5 dias.

3) O rádio – 226 decompõem-se radioativamente. Sua meia–vida,ou seja o tempo que leva para metade da amostra se decompor, é 1800 anos. Encontre a constante k na fórmula de decaimento para este composto.

Solução: Lembrando que a fórmula de decaimento é : tkeNN .0 .= ,

temos que: 2260 =N , 113=N e 1800=tSubstituindo os dados na fórmula, segue-se que:

kkk e,ee 180018002261131800 50226113 =⇒=⇒= .

Aplicando o logaritmo natural, temos:eke k ln..18005,0lnln5,0ln .1800 =⇒= .

Como 693,05,0ln −= e 1ln =e , seque-se que:410.85,3693,018001.1800693,0 −−=⇒−=⇒=− kkk

Assim, encontramos 410.85,3 −−=k .

4) Os paleontólogos estudam a vida na era do passado geológico pelos restos de fósseis. Eles usam o carbono-14 (C14) para estudar a idade dos fósseis. O C14

deteriora com o tempo. Passados 5760 anos, exatamente metade da massa desta substância irá restar. Esse período é chamado de meia-vida. Para encontrar a idade do fóssil com 1/5 do C14 restante, os paleontólogos precisam usar a fórmula do decaimento da substância: kt

0eNN −= . Considerando que a massa inicial é duas unidades obtenha o valor da constante k.

Solução: 00012,0k5760keln5,0lne21eNN 5760k5760kkt0 ≅⇔−==⇔=⇔= −−− .

Para o fóssil com 1/5 do C14, teremos13412tt00012,02,0lneNN5/1 t.00012,0

00 ≅⇔−=⇔= − anos.

5) O diâmetro da base de um tronco de uma árvore, em cm, é proporcional a sua altura, em m, elevada a uma potência de 3/2.a) Uma sequóia jovem tem 6 m de altura, e o diâmetro de sua base é 19,1 cm. Use

essa informação para obter uma equação para o diâmetro D da base de uma sequóia se sua altura é h metros.

b) Uma das árvores mais antigas na terra é a General Sherman Tree no parque nacional das sequóias na Califórnia. Essa árvore tem entre 2.200 a 2.500 anos de idade. Se sua altura é aproximadamente 83,8 m encontre o diâmetro de sua base.

61

Solução: a) Temos que .khD / 23= Assim, substituindo-se os valores, resulta:

2323 60014696119600119 // kk/,k)(k, =⇔=⇔= . Assim, 2/33 h.10.29,1D −=

b) cm98m989,01,767.10.29,1D 3 === − .

6) Considere uma cultura de bactérias, em laboratório, com alimento ilimitado e sem inimigos. Se N=N(t) denota o número de bactérias presentes no instante t, é natural admitir que a taxa de variação de N é proporcional ao próprio N. Se o número de bactérias presentes no início é N 0 , e esse número dobra após 2 horas, qual será a população de bactérias após 6 horas? E após t horas?

7) Após 3 dias, 50% de radioatividade produzida por uma explosão nuclear desaparece. Quanto tempo levará para que 99% da radioatividade desapareçam?

8) A meia vida do rádio é 1620 anos. Que percentagem de uma dada quantidade de rádio não estará desintegrada após 100 anos?

9) Usa-se amplamente na radiologia médica cobalto 60, com uma meia vida de 5,3 anos. Quanto tempo levará para que 90% de uma dada quantidade decaiam?

10) Em certa reação química um composto C decompõe-se a uma taxa proporcional à quantidade de C que permanece. Sabe-se por experiência que 8g de C diminuem para 4g em 2 horas. Em que instante restará somente 1g?

11) O radiocarbono em madeira viva decai à uma taxa de 15,30 desintegrações por minuto (dpm) por grama de carbono contido. Utilizando o tempo de 5600 anos como a meia vida do radiocarbono, estime a idade de cada um dos seguintes espécimes descobertos por arqueólogos e testados com radioatividade em 1950.a) Um pedaço de perna de cadeira do túmulo do rei Tutancamon, 10,14 dpm;b) Um pedaço de viga de uma casa construída na Babilônia durante o reinado de

Hammurabi, 9,52 dpm;c) Excremento de uma preguiça gigante encontrada sob a superfície do solo

dentro de Gysum Cave em Nevada, 4,17 dpm;d) Madeira encontrada em Leonard Roch Shetter em Nevada, 6,42 dpm.

12)O carbono-14(C14 )é formado na atmosfera superior do nitrogênio-14(N14),pelo bombardeamento de nêutrons em raios cósmicos. O C14,então se desintegra em N14, com emissão de partículas β e com uma meia-vida de 5700anos. O resultado é um equilibrio de cerca de um átomo de C14 por 1012 átomos de carbono na atmosfera e em seres vivos .Quando uma planta ou animal morre, ele não é mais abastecido com C14 na taxa de equilíbrio, de modo que sua taxa de C14 diminui com o tempo.( A quantidade de C14 em uma amostra é determinada pela contagem das partículas beta, com um contador Geiger.) Testes mostraram que 20 % do C14 num pedaço de carvão de lenha de um local arqueológico se desintegraram, pois o carvão de lenha era uma árvore viva. Que idade tem esse carvão de lenha?Solução: Temos a equação:

62

Q=Q 0

21

t/T 08,0 Q⇔ 20Q= Tt− 2log

57008,0log t−=⇔ ⇔−=⇔

5700280 t

log,log

( ) .99,834.115700

321928,0 =⇔−−=−⇔ tt

Portanto a idade do carvão é de aproximadamente de 1.835 anos

13) A taxa de crescimento de uma população de bactérias é, em todos os instantes, proporcional ao número presente. Existem 5000 bactérias presentes inicialmente e o número dobra a cada dez dias. Quantas bactérias existem depois de 14 dias?Solução:Temos que a equação que rege o fenômeno é: C= Coekt , sendo C o número de bactérias da cultura no instante t(dias). Para t=0 tem-se C=5000, logo C0=5000 e a expressão de C é dada por: C=5000ekt . E como C=10000 quando t=10 dia, temos:

10000=5000e10k

e10t= 2 .Agora, aplicando o logaritmo em ambos os lados da igualdade tem-se:

210210 lnklneln k =⇔= .E assim,

0690,k = .

Substituindo esse valor em C, temos :C= 5000e 0,069t

Para t= 14 dias: C=5000e0,069(14) ≅13.137 bactérias

14) O número de bactérias num tubo de ensaio triplica a cada 10 horas. No fim das primeiras 10 horas existem 30 000 bactérias presentes. Quantas estavam presentes inicialmente?Solução: Temos a equação :

kteQQ 0= ou kk eeQQ 101000 33 =⇔= 000.10330000000.30 10 =⇔×=⇔=⇔ CCCe k

Assim, inicialmente, o número de bactérias era C=10000

15) O urânio 328 (U 238 ) se desintegra em chumbo 206( Pb 206 ) com uma meia-vida de 4,5 bilhões de anos . Numa erupção vulcânica, o chumbo é removido da lava. Se uma amostra da lava tem uma parte de Pb206 para 99 partes de U238 , quando ocorreu a erupção vulcânica que a formou?

Solução: Tt

QQ

=

21

0 , ou ainda T

t

QQ−

×= 20 quando T= 4,5 bilhões de anos ou

ainda T= (4,5)109 e temos também 0Q990Q ,=

t,,

t,

,

tln

,lnQQ,QQ Tt

Tt

=×⇔×

−=−

⇔×

−=⇔=⇔=−−

99

9000

1006524801054

01449950

1054299029902

63

Assim, 71052496 ×= ,t anos.

16) Uma caixa à temperatura de 10º C é colocada num quarto, com a temperatura constante de 20ºC. Dois minutos depois, sua temperatura é de 15ºC. Qual é a temperatura da caixa 5 minutos após ter sido colocada no quarto? Solução: Pela a lei do Resfriamento de Newton f(t)= Ta –Ae-kt , onde Ta é a temperatura ambiente. Assim f(t)=20-Ae-kt e para t=0

( ) 101020101200 =⇔−=−⇔−=⇔×−= AAAAfpara t=2 minutos

( ) ( ) ( )

.,kk,k,ln

eeeefetf kkkkkt

3465026931025021105102015102021020 2222

=⇔=⇔−=⇔

=⇔=⇔−=−⇔−=⇔−= −−−−−

Agora em t=5 minutos ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .,fef

efef,

,k

2518510205

102051020573251

3465055

=⇔−=

−=⇔−=−

−−

Após 5 minutos a temperatura será de t=18,23 graus.

17) Suponha que a cada 8 horas uma pessoa doente infecte duas pessoas antes da doença estar diagnosticada e de ficarem em quarentena. Considere cada oito horas como período. No início, um indivíduo é infectado. Durante o primeiro período de tempo, esta pessoa infecta duas outras. Durante o segundo período de tempo, a primeira pessoa esta em quarentena mas as duas pessoas restantes infectam, cada uma, outras duas pessoas. Durante o terceiro período de tempo, as duas pessoas estarão de quarentena também e as quatro restantes infectam, cada uma delas, duas pessoas restantes também.a) Sistematize este exemplo numa tabela.b) O número de pessoas infectadas durante um período y pode ser expresso como uma função do tempo x, que é o número de períodos de oito horas.c) Calcule o número de pessoas infectadas após o vigésimo primeiro período e faça o gráfico de y em função de x.

7 ESTUDO COMPLEMENTAR

Medida da energia absorvida

Quando se expõe um ser humano ou qualquer outra matéria à radiação, estes absorverão parte da energia e receberão certa dose de radiação. A unidade utilizada a partir de 1962, por orientação da Comissão Internacional de Unidades e Medidas Radiológicas (ICRU), para medir a dose absorvida chama-se rad. A partir de 1985 outra denominação vem substituindo o rad, é o gray(Gy); um Gy=100rad. Para se ter uma idéia de medida, uma pessoa que receber uma dose de 6 a 8 Gy

64

no corpo todo morrerá. Os nossos órgãos dos sentidos não são capazes de detectar a radiação, e por isso a importância de se conhecer bem todos os tipos de radiação, como medí-las, como se comportam, para assim podermos utilizá-las da melhor maneira possível, aproveitando todos os seus benefícios, de forma controlada e adequada.

Atividade de um material radioativo:

Chama-se atividade de um material radioativo o número de desintegrações por unidade de tempo (em geral segundo), ou seja, a velocidade de desintegração do isótopo radioativo num certo momento. A unidade que mede a atividade chama-se Curie, em homenagem a Marie Curie. A unidade internacional mais recente para a atividade é o Becquerel(Bq), que é igual a uma desintegração por segundo.A relação entre Ci e Bq é:

1Ci = 3,7.10(elevado a 10)Bq.

Tempo útil de um aterro sanitário (um modelo para a função exponencial)Na cidade de Arapongas – PR foi construída uma “usina de lixo” com a

finalidade de separar os diferentes tipos de lixo recolhidos na cidade. Para alocar o lixo que não é reciclável e não é orgânico foi construído um aterro sanitário. A área destinada para o aterro é de 11.414 m2 e a profundidade do aterro é de 15 m. O lixo é acomodado no aterro em camadas de 1 m de altura cada uma. Cada camada de lixo é compactada e entre as camadas de lixo compactadas são colocados 15 cm de terra.

Algumas informações importantes sobre a coleta de lixo na cidade são:1. a quantidade diária de lixo coletado na cidade é de 42.014 kg, o que

corresponde a 60,02 m3. (700 kg de lixo corresponde a 1m3);2. A coleta de lixo é realizada durante 312 dias do ano;3. Apenas 14% do lixo coletado diariamente é depositado no aterro

sanitário uma vez que o restante é lixo reciclável ou orgânico e, portanto, tem outra destinação.

Algumas informações importantes sobre a população da cidade de Arapongas, obtidas junto ao IBGE e à Secretaria do Meio Ambiente da cidade são:

1. A população urbana no ano de 2000 era de 81.790 habitantes.2. A taxa de crescimento populacional, segundo o senso de 2000, é de

3,49% ao ano.O problema que estamos interessados em estudar é: por quanto

tempo o aterro sanitário de Arapongas suportará abrigar o lixo produzido pela população?

Levando em consideração estas informações, determinamos que: a quantidade de lixo anual produzida por habitante é de

aproximadamente 0,032m3. De fato:60.02x312=18726.24m3 por ano. Apenas 14% deste lixo ou seja 2621,67m3 vai para o aterro por ano. Em 2000 havia 81790 habitantes, logo a quantidade de lixo por

habitante era 3032,081790

67,2621 m≈ .

65

a quantidade máxima de lixo suportada pelo aterro é de 147241m3

(volume do aterro descontado o volume das camadas de terra ).

Definimos as seguintes variáveis para o problema:

t – tempo (em anos); P(t)- população da cidade no ano t; V(t)- volume de lixo acumulado no aterro no ano t.

Vamos supor que o crescimento populacional de 3,49% ao ano se mantém constante.

Fazendo o estudo considerando-se 2000 como o ano inicial temos:Para t = 0 temos P(0) = 81.790. Assim, como a população cresce 3,49% ao ano, resulta:

P(1) = P(0) + 0,0349 P(0)

= P(0) . (1 + 0,0349);P(2) = P(1)+ 0,0349 P(1) = P(1).(1 + 0,0349) = P(0). (1 + 0,0349) (1 + 0,0349) = P(0) (1 + 0,0349)2.

Isto nos induz à expressão ou lei geral: t0,0349)(1P(t) += . (1)

Figura: Gráfico da função que descreve o crescimento populacionalDe modo similar, passamos agora ao cálculo do volume de lixo

acumulado no aterro o qual depende do crescimento da população expresso na equação (1). Lembrando que o lixo produzido anualmente por habitante é de 0,032m3 e, que 2000 é o ano inicial, obtemos:

(1,0349)]0,032[P(0)26170,032P(1)V(1)V(2)

2617;V(1)+=+=

=

),(),( 03491121670349121672167 +=+= ... )1t(1,0349)...2(1,0349)1,03492167(1V(t) −++++= . (2)

Denotando-se1t(1,0349)...2(1,0349)1,03491tS −++++= ,

Observamos que se trata de uma progressão geométrica de razão q=1,0349 e primeiro termo a1=1.

66

Portanto:

349,1,0349)(1S

tt 01

1−

−=

Desse modo a expressão (2) pode ser escrita como:

−−= 1,03491

t(0,0349)12167V(t) ou ))0349,1(1( .7,62091)( ttV −−= , (3)

a qual descreve o volume de lixo acumulado no aterro no ano t.

Gráfico da função ))0349,1(1( .7,62091)( ttV −−=

Uma vez que o volume máximo suportado pelo aterro está em torno de 147241m3 de lixo, pois precisamos descontar as camadas de terra do volume total, temos:

3713303491034911762091147241 ,),()),(( ., tt ==−−= ,

ou seja 43503491

37133 ,,ln

,lnt == anos.

Obtemos então que t=35,4 anos o que corresponde a dizer que o aterro da cidade suporta o lixo acumulado durante aproximadamente 35 anos e 5 meses.

67

CAPÍTULO 3

LIMITES

Após termos iniciado o estudo do cálculo com os conceitos de produto cartesiano, plano cartesiano, retas e alguns tipos de funções, vamos nos preparar para o estudo de limites de funções, um conceito de bastante relevância em tudo que se segue. Nosso objetivo aqui é o de apresentar este tema de forma intuitiva e não por meio de uma definição formal.

Quando estudamos o limite L de uma dada função f(x), estamos interessados no comportamento de f(x) quando os valores da variável x se aproximam de determinado ponto x0. Pode ocorrer que tal valor limite L em uma dada situação se torne arbitrariamente grande ( ± ∞→L ) ou a variável x se torne suficientemente grande ( ± ∞→x ).

Esse conceito de “próximo de” ou “próximo a” é muito relativo, como por exemplo:

• Um cientista pode considerar o resultado de uma mensuração próximo de um valor exato L quando estiver a 10-6 cm de L;

• Um astrônomo às vezes mede a proximidade em anos-luz;• Um corredor profissional pode estar próximo da meta quando estiver

a 50 m da reta final.

1 LIMITES

Com o estudo dos limites obteremos uma ferramenta poderosa para a definição de conceitos tais como taxa instantânea: de crescimento, de degradação, de reação, de difusão, etc.

Veja o seguinte problema:

Um indivíduo apresenta-se com febre alta e, como receita médica, é indicado o uso de um antipirético, que deve, em torno de uma hora, provocar queda de temperatura e seu retorno a valores reais (por volta de 36,5 ºC). A temperatura estava a 40 ºC e a curva que descreve o efeito do antipirético, para este caso, é:

32 t1211t

316t

129540)t(f −+−= ,

onde t é o tempo em horas, contados a partir da tomada do antipirético, e f(t) é a temperatura em graus Celsius no decurso das próximas 3,5 horas. Analise o comportamento desta função em torno de t =1 hora.

68

Solução: Utilizando uma calculadora obtemos a seguinte tabela:t f(t)

0,95 36,5070,96 36,5040,97 36,5020,98 36,5010.99 36,500......1,01 36,5001,02 36,5011,03 36,5021,04 36,5041,05 36,506

Podemos observar que à medida que nos aproximamos de t=1, a temperatura tende para 36,5 ºC. Realmente, com o auxílio dos dados, podemos comparar os valores que a função f(t) asume com o valor de f(1)=36,5. Temos que a idéia intuitiva do conceito de limite de uma função consiste, neste caso, em tornar a variação )(f)t(ff 1−=∆ arbitrariamente pequena ( 0→∆ f ) quando 1−=∆ tt se tornar suficientemente pequeno, quer dizer, 0→∆ t . Isto significa que estamos nos aproximando o máximo possível de um dado ponto sem que necessariamente o alcancemos.

É importante observar que: quando o valor de t se aproxima de 1-, inferiormente, ou quando o valor de t se aproxima de 1+, superiormente, o valor para o qual a função f(t) se aproxima de 1 é o mesmo: 36,5ºC. Nestes casos, temos para cada aproximação a notação:

5,36)t(flim1t

=−→ : limite lateral à esquerda.

5,36)t(flim1t

=+→ : limite lateral à direita

O fato destes limites laterais serem iguais é que nos faz concluir que

5,36)t(flim1t

=→ .

69

DEFINIÇÃO: Dizemos que L)x(flimax

=→ se, e somente se, os números reais

f(x) para os vários valores de x, permanecem arbitrariamente próximos do número real L, sempre que x estiver suficientemente próximo do valor a.

A notação matemática é: 5,36)t(flim1t

=→

Lê-se: o limite de f(t), quando t tende a ou se aproxima de 1 é 36,5.

Para melhor entendermos esse fato analisaremos os gráficos a seguir:

Na figura à esquerda, os valores de y se aproximam de L, quando os valores de x se aproximam de a. Neste caso Lxf

ax=

→)(lim . Na figura à direita os

valores de y se aproximam de K, quando os valores de x se aproximam de a pela direita; e os valores de y se aproximam de L quando os valores de x se aproximam de a pela esquerda. Como KL ≠ , )(lim xf

ax→ não existe.

Exemplo 1: Um gás é mantido a temperatura constante no pistão (ver figura abaixo). À medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atinja certa pressão crítica. Ultrapassada essa pressão, o gás assume a forma líquida. Use o gráfico da figura para obter e interpretar o seguinte:

a) VP −→ 100

lim b) VP +→ 100

lim c) V

P 100lim

→

Solução: a) Segundo o gráfico, quando a pressão P é baixa, a substância é um gás e o volume V é grande. Se P aproxima-se de 100 por valores inferiores a 100, V decresce e se aproxima de 0,8, isto é:

VP −→ 100

lim = 0,8.O limite lateral 0,8 representa o volume no qual a substância começa a

se transformar de gás em líquido.b) Se P>100, a substância é um líquido. Se +→ 100P o volume aumenta, muito lentamente (pois os líquidos são quase sempre incompressíveis)

VP +→ 100

lim = 0,3.

O limite 0,3 representa o volume no qual a substância começa a se

70

transformar de líquido em gás.c) V

P 100lim

→ não existe, pois os limites laterais são diferentes. Em P=100 as formas gasosa e líquida coexistem em equilíbrio, e a substância não pode ser classificada, seja como gás ou como líquido.

Exercícios: 1) Encontre )3x2(lim

4x−

→ completando a seguinte tabela:x 4,4 4,2 4,1 4,01 4,001 x 3,6 3,8 3,9 3,99 3,999

2x-3 5,8 5,4 5,2 5,02 5,002 2x-3 4,2 4,6 4,8 4,98 4,998

)3x2(lim4x

−→ =

2) Esboce o gráfico de f(x)=2x-3, utilizando a tabela do exercício 1.

3) Encontre 2x

1lim2x −→

completando a tabela a seguir:

x 2,5 2,2 2,1 2,05 2,01 2,001 2,00011/(x-2) 2 5 10 20 100 1000 10000

x 1,5 1,7 1,9 1,95 1,99 1,999 1,9991/(x-2) -2 -3,33 -10 -20 -100 -1000 -10000

4) Esboce o gráfico de 2x

1)x(f−

= utilizando a tabela do exercício anterior.

5) Um paciente recebe uma injeção de 150mg de uma droga a cada 4 horas. O gráfico mostra a quantidade f(t) da droga na corrente sangüínea após t horas. Encontre

f(t)12t

lim−→

e f(t)12t

lim+

→

e explique o significado desses limites laterais.

Assim, podemos utilizar tabelas para determinarmos limites de funções, mas teremos de dispor de certo tempo e paciência para a obtenção desses limites. Entretanto, existem algumas propriedades (teoremas) que facilitam o cálculo dos limites. São elas:

71

Se )x(flimax→ e )x(glim

ax→ existem, então:

1. Se f(x) = c para todo x, então cclimax

=→ ;

2. )x(glim)x(flim)]x(g)x(f[limaxaxax →→→

±=± ;

3. )x(glim).x(flim)]x(g).x(f[limaxaxax →→→

= ;

4. )x(glim

)x(flim

)x(g)x(flim

ax

axax

→

→→

=

, 0≠

→)x(glim

ax ;

5. )x(flimc)]x(cf[limaxax →→

= ;

6.n

axn

ax)x(flim)x(flim ][][

→→= .

Observação: Se f(x) é uma função polinomial e a é um número real, então)a(f)x(flim

ax=

→ .

A seguir apresentamos algumas técnicas que facilitam a obtenção do limite de funções:

Exercícios: Calcule os limites a seguir:

a) =+→

)4x(lim3x 7 b)

=−+→

)16(lim 34

xxx -44

c) =−+→

)]4x3)(5x[(lim5x 110 d) =

→ x1lim

3x1/3

e) =+

−−→ 3x

92xlim3x -6 f)

=−

−−→ 2x

4x4x3lim2

2x8

g) =+−→

3

2x3xlim 1 h)

72

1. Substituição: O numerador se aproxima de um número real e o denominador tende a um número real não-nulo.

Exemplo: 59

43lim23

=−→ xx

x

2. Fatoração: O numerador e o denominador tendem a zero. Exemplo:

63333

33

3

933

2

3=+=+=

−

+−=−

−→→→

)x(lim)x(

)x)(x(limx

xlimxxx

=−

−+−→ 1

1lim2

23

1 xxxx

x1

i) =→ x3x e

3lim 3/e3 j)

=→

wlnlim1w 0

l) =−−

→ 255lim

25 xx

x10 m) =

−−

→ 11lim

2

3

1 tt

t3/2

73

Exemplo 2: Seja c a velocidade da luz (aproximadamente 3,0x108 m/s ou 300.000 Km/s). Pela Teoria da Relatividade de Eisntein, a fórmula de

contração de Lorentz 2

2

0 cv1LL −= especifica a relação entre: 1) o

comprimento L de um objeto que se move a uma velocidade v com respeito a um observador e 2) seu comprimento L0 em repouso. A fórmula implica que o comprimento do objeto medido pelo observador é menor quando o objeto está em movimento do que quando está em repouso. Determine e interprete o Llim

cv −→ . Porque se analisa apenas o limite lateral esquerdo?

Solução:

00Lcv1limL

cv1limL

cv1LlimLlim 02

2

cv02

2

cv02

2

0cvcv

==

−=−=−=

−−−− →→→→

Assim, se a velocidade de um objeto pudesse aproximar-se da velocidade da luz, seu comprimento, medido por um observador em repouso, tenderia a zero. Este resultado é por vezes utilizado para ilustrar a teoria de que a velocidade da luz é a velocidade limite do universo; ou seja, nenhum objeto pode adquirir uma velocidade que seja igual ou superior a velocidade da luz c.

Faz-se necessário considerar o limite lateral esquerdo porque se v>c,

então 2

2

cv1 − não é um número real.

2 LIMITE INFINITO E LIMITE NO INFINITO

Antes de estudarmos esses tipos de limites, vamos analisar os seguintes exemplos:

Exemplo 3: Lei de Boyle- O ar atmosférico é composto de diversos gases e, dentre eles, dois participam ativamente na respiração – o oxigênio e o gás carbônico. Eles estão misturados no ar, na água, no sangue e nos próprios tecidos do corpo. No que se refere à pressão por ele suportada, tanto faz um gás estar na atmosfera, como no interior do corpo de um animal, pois seu comportamento é o mesmo.

Considere certa quantidade de gás sob temperatura constante, exercendo pressão igual a P1 quando ocupa um volume V1; mantida a temperatura, se sua pressão passar a P2, seu volume será V2. A lei de Boyle estabelece precisamente este fato, expressa do seguinte modo:

kVPVP 2211 == ,onde k é uma constante positiva. Uma vez que P1 e P2 foram considerados quaisquer, segue-se que essa lei pode ser expressa sob a forma

kPV = .

74

Visto que o volume V é positivo, podemos obter a pressão como função do volume, isto é

VkP =

O gráfico da função f(V)=P pode ser visto ao lado. Observe que o domínio de f é o conjunto das abscissas V>0 e que as variáveis são inversamente proporcionais, isto é, quanto maior o volume, menor a pressão.

Exemplo 4: Seja S uma fonte de radiação, tal como ondas eletromagnéticas, ondas sonoras ou radiação nuclear. Admitamos, para simplificar, que S ocupe um espaço diminuto (um “ponto”) e emita sua energia uniformemente em todas as direções no espaço tridimensional. Seja E a energia transmitida pela fonte, por segundo. Pergunta-se: Qual a intensidade I de radiação, recebida a uma distância r da fonte S? A intensidade é definida como sendo a energia recebida por segundo e por unidade de área. Pontos de igual intensidade estão na superfície de uma esfera de centro S. Portanto, I é a energia que atravessa a superfície por segundo, dividida pela área da superfície:

2r4EIπ

= .

Quanto maior for r, menor será a intensidade I. Isto é, I é inversamente proporcional ao quadrado de r. A duplicação de r reduz I a um quarto do seu valor original. Com a distância tendendo para infinito, temos

0=∞→rIlim .

Assim, quando r tender para o infinito a intensidade tenderá a zero, ou ainda, quanto maior o raio, menor a intensidade de radiação.

Exemplo 5: Uma dose de 4 mg de um medicamento é ministrada a um paciente. A concentração da droga na corrente sangüínea do paciente, após t horas, pode ser

calculada por 3t14)t(K

+= .

a) Qual será a concentração da droga ao fim de 1 hora? E após duas horas?

b) Esboce o gráfico desta função e examine a correspondência entre a concentração do medicamento e o tempo decorrido após sua aplicação.

Solução:a)K(1) = 2 mg e K(2) = 4/9 = 0,45 mg

b)Quanto maior o tempo decorrido, menor a concentração da droga no sangue.

75

c)

Esses exemplos são introdutórios, e ilustram o conceito de limite no infinito. As funções aqui tratadas são denominadas funções racionais, pois são quocientes entre funções polinomiais. Analisaremos agora, o comportamento destas funções.

Iniciaremos nosso estudo com o exemplo mais simples deste tipo de

função, qual sejax

xf 1)( = . Esta função, cujo gráfico é uma hipérbole, possui

propriedades diferenciadas das funções polinomiais. Observe que em seu domínio não consta o valor 0 (zero). Da mesma forma, o 0 (zero) não pertence à sua imagem, como mostramos abaixo:

{ }0≠∈= x;Rx)f(D{ }0≠∈= )x(f;R)x(f)f(Im

Observe que na figura quando x assume valores próximos de zero (valores à direita), a função cresce indefinidamente. Esta frase pode ser matematicamente descrita da seguinte maneira:

+ ∞=+→

)x(flimx 0

.

Lê-se: o limite de f(x) quando x se aproxima de zero, por valores à direita, é infinito. Observe é que x nunca assume o valor zero! Outro fato é que ∞ não é um número, é apenas um símbolo usado para representar uma grandeza que cresce indefinidamente, ou sem limitações.

Da mesma forma, quando a variável x assume valores próximos de zero, por valores à esquerda, a função decresce indefinidamente, ou seja, tende a ∞−. Esta frase pode ser matematicamente descrita da seguinte maneira:

− ∞=−

→

)x(flimx 0

.

Observe que para x→0, pela direita ou pela esquerda, a distância entre o eixo y e os pontos da curva se aproxima ou tende a zero. Neste caso o eixo y é denominado assíntota vertical.

Por outro lado, quando a variável x assume valores positivos muito

76

grandes (x→+∞), a função f(x) assume valores positivos muito próximos de zero. Desta forma podemos escrever que

0+=+ ∞→

)x(flimx

.

O fato de utilizarmos o sinal + antes do algarismo zero é apenas para indicar que o valor da função assume valores positivos tais como: +0,01, +0,0001, +0,000001, etc.

Quando a variável x assume valores negativos muito grandes (x→-∞), a função f(x) assume valores negativos muito próximos de zero. Desta forma podemos escrever que

0−=− ∞→

)x(flimx

.O fato de utilizarmos o sinal - antes do algarismo zero é apenas para

indicar que o valor da função assume valores tais como: -0,01, -0,0001, -0,000001, etc.

Observe que para ± ∞→x a distância entre o eixo x e os pontos da curva se aproxima ou tende a zero. Neste caso o eixo x é denominado assíntota horizontal.

As assíntotas assumem um papel importante para as funções cujos gráficos se assemelhem às hipérboles ou a um de seus ramos.

A função 1x

1y+

= tem gráfico análogo

ao da função x1)x(f = porém deslocado uma

unidade à esquerda. Note que a mesma não está definida para o valor de x=-1. Neste caso,

+ ∞=++−→ 1x1lim

1x e − ∞=

+−−→ 1x1lim

1x, isto é, a assíntota

vertical é a reta x=-1. Analogamente, 01x

1limx

=+∞→

e

01x

1limx

=+− ∞→

, isto é, a assíntota horizontal é a reta y=0.

De uma maneira geral, para as funções )hx(f + teremos os seus gráficos deslocados h unidades para a esquerda, quando h for positivo ( fig b) ou h unidades para a direita, quando h for negativo ( fig c).

Fig a) x

xf 1)( = Fig b) hx

xf+

= 1)( , h>0 Fig c) hx

xf+

= 1)( , h<0

77

A função 1x1y += , tem gráfico análogo ao da função

x1)x(f = , porém

deslocado uma unidade para cima. Neste caso,

11x1lim

x=+

∞→ e 11

x1lim

x=+

− ∞→, isto é, a assíntota

horizontal é a reta y=1. Analogamente + ∞=++−→

1x1lim

0x

e − ∞=+−−→

1x1lim

0x, isto é, a assíntota vertical é a reta

x=0.De uma maneira geral, para as funções

k)x(f + teremos os seus gráficos deslocados k unidades para cima, quando k for positivo (Fig e) ou k unidades para baixo, quando k for negativo (Fig f).

Fig d) x

xf 1)( = Fig e) hx

xf += 1)( , h>o Fig f) hx

xf += 1)( , h<0

Exercício: Analise também o comportamento das funções logaritmo e exponencial.

A seguir apresentamos outras técnicas que facilitam a obtenção de outros limites:

Exemplos: a) ∞==−−→ 0

3)3x(

xlim 23x, não existe

b) − ∞=−

=−−→ 0

44

4

4 xlim

x, não existe

c) + ∞=+

=−+→ 0

44

4

4 xlim

x, não existe

78

1) O numerador se aproxima de um número real não-nulo e o denominador tende a zero. Método de solução: como o denominador se aproxima de zero, a fração cresce ou decresce sem limitações e a resposta poderá ser ∞+ ou ∞− ,conforme o caso.

Exemplo: 034x

3lim 2x=

∞=

−∞→.

Exemplo: 53

x/1x/35x/53lim

1x3x55x3lim 2

2

x2

2

x=

−−−=

−+−

∞→∞→

Exercícios: Calcule os limites abaixo:

a) =−+

+→ 3x4xlim

3x b) =

−+→ 21 17limxx

c) =+∞→ 11

17lim3vv

d) =+

+∞→ 9x

9xlim 2x

e) =−+

+−∞→ 1x6x3

5x2x4lim 23

3

x

Como vimos neste capítulo no exemplo 3, para a função P=k/V, quanto maior for o volume menor será a pressão. Neste caso, só utilizamos os valores positivos no eixo das abscissas. No exemplo 4, quanto maior o raio, menor a

intensidade de radiação. Assim, temos 0r4

Elim 2r=

π∞→, como nos mostra o gráfico da

função. Qual o significado deste último limite? E no exemplo 5, quanto maior o

tempo, menor a concentração da droga no sangue, isto é, 0t,0t1

4lim 3t≥=

+∞→.

Qual o significado deste limite?Para esses exemplos podemos considerar o caso geral:

Analisaremos agora as seguintes situações: no exemplo 3, se o volume tender a zero, o que acontece com a pressão? Na prática isto faz sentido? No exemplo 4, se o raio, tende a zero, o que acontece com a intensidade de radiação? Na prática isto faz sentido? No exemplo 4, se diminuirmos muito o raio (r→0), , o que acontece com a intensidade de radiação? Na prática isto faz sentido? E no exemplo 5, se o tempo tender a zero, o que acontece com a concentração da droga no sangue?

79

2) O numerador tende a um número real e o denominador se aproxima de ∞+ ou ∞− . Método de solução: a solução é sempre zero.

3) O numerador e o denominador tendem a ∞+ ou ∞− . Método de solução: divida o numerador e o denominador pela maior potência da variável.

0xclim

x=

∞→ e 0

xclim

x=

− ∞→, onde c é uma constante.

Exemplo 6: Para certos tipos de medicamentos, os profissionais da área da saúde

podem usar a regra de Young: Dy

yC ⋅+

=12 , para estimar a dosagem adequada

para uma criança, de idade y, quando a dosagem adulta D é conhecida.

a) Se C representa a dose da criança em anos e y a sua idade, use a regra de Young para estimar a dosagem de amoxilina para uma criança de 8 anos se a dosagem adulta é 250mg.

b) Conforme o esboço do gráfico da função 12+=

yDy)y(C determine suas assíntotas

e em seguida faça uma análise da situação do problema.

Solução:a) Para encontrarmos a dose da criança, basta substituirmos os dados na fórmula:

Dy

yC ⋅+

=12 temos .CCC 100

20200250

1288 =⇒=⇒

+=

Portanto, a dose necessária de amoxilina para uma criança de 8 anos é 100mg.

b) Observe de início que C(0)=0 e para 0≠y C(y) pode ser escrito da seguinte

forma: zD

y

D)y(C =+

=121 , onde

zz 121 += . Isto nos indica que o gráfico de C(y) é o de

uma hipérbole eqüilátera. Além disso, observe que em z=0, isto é, para y=-12 a função apresenta um comportamento assintótico, dado por:

+ ∞=−−→

)y(Cy

lim12 e − ∞=

+−→)y(C

ylim

12O que significa que para valores a esquerda de -12, o gráfico vai

“encostando” pela parte de cima da assíntota e pela direita de –12, o gráfico vai “encostando” pela parte de baixo da assíntota, mas nunca chega a tocá-la.

Temos também o seguinte comportamento assintótico:

250=− ∞→

)y(Cy

lim e .)y(Cy

lim 250=∞→

Isto indica que à medida que y aumenta, C vai se proximando lentamente de 250 (sem chegar a 250).

Em resumo, resulta que a reta C(y)=250 é a assíntota horizontal ao gráfico e a reta y=-12 é sua assíntota vertical.

As situações assintóticas analisadas nos mostram que à medida que y aumenta por valores positivos C(y) vai se aproximando lentamente de 250 mg, dosagem adulta, sem nunca atingir este valor. Entretanto a outra situação assintótica não possui significado algum no contexto do problema. Neste caso, o gráfico de C(y) é esboçado ao lado.

80

Problemas :

1) Suponha que, t horas após uma droga ser injetada num paciente, a

concentração k(t) da droga no corpo seja dada por 4t

t22

)t(k+

= . Encontre os limites

desta função para ∞→t e +→ 0t . Com estes valores esboce o gráfico de K(t).

2) Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias é dada pela fórmula

,t

t.)t(N1000

5000800002

2

++=

onde )(tN é o número de bactérias passados t dias. Encontre ).t(Ntlim

∞→Solução:

Calculando o limite,

=+

+∞→ 1000t

500080000tt 2

2lim

80000.2t

10001

2t500080000

tlim =

+

+

∞→

3) Várias são as doenças associadas ao cigarro: câncer de pulmão, de laringe, de boca, de pâncreas, de bexiga, de esôfago, além de contribuir em grande parte para o infarto do coração, bem como para outras doenças vasculares, como o derrame cerebral. A pessoa que fuma, tem a sua expectativa de vida reduzida, dependendo do número de cigarros que fuma e da idade em que inicia o vício. A Sociedade Americana do Câncer divulgou os dados que apresentamos a seguir, considerando que a pessoa fuma 1 maço por dia.

Idade 60 55 50 45 40 35 30 25Redução 2,9 3,5 4,0 4,6 5,0 5,2 5,4 5,5

A equação obtida, utilizando o software curvexpert, é )eb(ay ct−= , onde a=3,3757125, b=1,7439094, c=-0,3190436 e y representa redução de expectativa de vida, em anos. Qual será o valor do )eb(alim ct

t−

∞→ ? Utilize este resultado para esboçar o gráfico da função.Solução: 61 ≅=

−=−

∞→−

∞→ab

eaablim)eb(alim

ttct

t

81

3 FUNÇÕES CONTÍNUAS

Introduziremos o conceito de continuidade de uma função através dos seguintes casos:

Caso1: Seja N o número de cães em um canil comercial e t o tempo em meses cujos dados estão representados ao lado:

Observe que quando houve um aumento do número de cães, através de nascimentos ou novas aquisições, o gráfico apresenta um salto. A redução do número de cães é representada no gráfico por

uma queda. Nestes pontos, os limites da função não existem.

Caso2: Um experimento para uma pesquisa médica estabeleceu que a massa M(t) de um tumor como uma função do tempo t ao qual um paciente é exposto à radiação durante o tratamento é dada por:

3t6t5t)t(M

2

−+−= , onde M(t) é expresso em mg

e t em segundos. Seu gráfico pode ser visto ao lado:

Neste caso a função não está definida no ponto t=3

Em ambos os casos houve uma interrupção no traçado do gráfico, ou como comumente dizemos, há uma descontinuidade das funções nos casos apresentados. Assim, entendemos que para que uma função seja contínua é preciso que seu gráfico possa ser traçado de uma única vez, sem que seja necessário levantar o “lápis do papel”. Esta é uma idéia intuitiva de continuidade de uma função, mas ela pode ser formalizada através das seguintes definições:

Observe que a diferença entre as definições dadas consiste em uma ser

82

Função contínua num ponto – Seja f uma função definida num certo intervalo que contém o ponto x=x1. Então diz-se que f é contínua no ponto x=x1 e, se somente se, L)x(flim

xx=

→ 1 existir e )x(fL 1= .

Função contínua num intervalo – Se f for contínua em todos os pontos de um intervalo, então, diz-se que f é contínua neste intervalo.

local (num ponto) e a outra global (num intervalo). Além disso, a definição de continuidade num ponto está afirmando que as três condições seguintes devem ser satisfeitas:

a) f está definida em x1,b) )x(flim

1xx→ existe e

c) )x(f)x(flim 1xx 1

=→

Se qualquer uma destas três condições não for satisfeita, então a função f é descontínua no ponto x=x1.

A afirmação )x(f)x(flim 1xx 1

=→ é equivalente a )()(lim 110

xfxxfx

=∆+→∆ . Para

isto, basta considerar xxx ∆+= 1 e teremos que 1xx → se, e somente se 11 xxx →∆+ , ou seja, 0→∆ x .

Problema: Considerando a função M(t) dada no caso 2 a qual não está definida para t=3, pergunta-se: Qual deve ser o valor a ela atribuída de maneira que M(t) seja contínua?

Solução: 123)2t(lim3t

)2t)(3t(lim3t

6t5tlim3t3t

2

3t=−=−=

−−−=

−+−

→→→. Assim M(3)=1.

Isto posto, podemos redefinir M(t) do seguinte modo:

Exercícios:1) Para fixar, calcule os limites a seguir:

a 2lim

→x ( 2x +3x+5) Resp: 15

b 2lim

−→x 144 +− xx Resp: 5

c 1lim

→x 11

2

23

−−+−

xxxx Resp: 1

d +→ 1limx (3x-1) Resp: 2

e −→ 1limx (3x-1) Resp: 2

f 0lim

→x 11

4

23

+−+−

xxxx Resp: -1

g2

1lim

−→x 12344 2

+−−

xxx Resp: -4

h 2lim

→x 64

1076

2

−+−

xxx Resp: -1/64

83

i ∞→xlim

85723

2

2

−+−

xxx Resp:

53

j + ∞→tlim -

16+t

Resp: 0

k − ∞→tlim -

16+t

Resp: 0

l + ∞→xlim

852

+−

xx

Resp: 2

m − ∞→clim

24532

5

3

−+−

ccc Resp: 0

n33 −+→ x

xlimx

Resp: ∞+

o 3xx

lim3x −−→

Resp: - ∞

p 0lim

→h 2

2

)1(1)2(4

hh

−−+−

Resp: -2

2) Para a função

>

=

<−

=

3,3

3,1

3,1

)(

x

x

x

xf

a) Esboce o gráfico do f(x); c) Encontre +→ 3limx f(x);

b) Encontre −→ 3limx f(x); d) 3→x

lim f(x) existe? Justifique.

3) Dada a função f(x)= 65

62

2

+++−

xxxx , analise 2

lim−→x e suas assíntotas.

4) Considere a função f representada por:

f(x)=

a) Esboce o gráfico de f(x)b) Encontre +→ 2

limx f(x)

84

c) Encontre −→ 2limx f(x)

d) O 2lim

→x f(x) existe? Justifique.e) f(x) é contínua em x=2?

5) Determine todos os números para os quais f é descontínua:

a) 6

3)( 2 −+=

xxxf Resp: desc p/ 2=x

e 3−=x

b)2

1)( 2 −+−=xx

xxf Resp: desc. p/

2−=x e 1=x

c) 124

5)( 2 −−=

xxxf Resp: desc. p/ 2−=x e 6=x

6) Verifique a continuidade de f nos pontos indicados:

a) xxxf 352)( +−= Resp: é contínua.

b)x

x)x(f−

−+= 173 2 Resp: é contínua.

7) Ache todos os valores para os quais f é contínua:

a) 32

53)( 2 −−−=xx

xxf

Solução: f é contínua para 1−≠x e para 23≠x .

b) 3 4)(

−=

xxxf

Solução: f é contínua para 4≠x .

c) )82)(3(74)( 2 −++

−=xxx

xxf

Solução: f é contínua para x ≠ -3, x ≠ 2 e x ≠ -4.

d) 1

1)(2 −

−=xxxf

Solução: f é contínua para 1−<x e 1>x .

8) Determine, se existem, os valores de )( fDx ∈ , nos quais a função )(xf não é contínua.

a)

Solução: Em 1x ±= a função não é contínua.

85

b) xxx

xf−

=)(

Solução: )(xf não é contínua em 0=x , pois não está definida em 0=x .

c)

=

≠+−

=1,1

1,43

)(

2

x

xxxx

xf

Solução: )(xf não é contínua em 1=x , pois não existe )(lim

1xf

x→ .

d)

−<<−−

−≤++=

23,1

3,65)(

2

x

xxxxf

Solução: Como )(lim)(lim xfxf3x3x +− −→−→

≠ , então f não é contínua em 3−=x .

9) Faça o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções:

a)

<−

≥+=

0,

0),1ln()(

xx

xxxf

Solução: A função é contínua no seu domínio.

b)

=−

≠=

0x1

0xxx

xf

,

,)(

Solução: A função é descontínua em 0=x .

86

CAPÍTULO 4

DERIVADA

Introduziremos neste capítulo o conceito de derivada, o qual possui um lugar de destaque com variadas aplicações nas engenharias, na medicina, na ciência da computação, na biologia, na física, na química, etc, enfim, em quase todos os ramos do conhecimento.

Quando analisamos uma função expressa na forma algébrica e que descreve um fenômeno num determinado intervalo, é importante compreendermos ou estudarmos como esta função está variando, o quanto está crescendo ou decrescendo, ou até mesmo se a função atinge seu valor máximo ou mínimo. A fim de ilustrar esses conceitos, consideremos o seguinte problema:

Problema: Tem sido determinado que após t horas, um gato que tem recebido certa droga, mostra uma variação na pressão sanguínea (em mm de mercúrio)

dada por: .6t0,40t10t27

3t)t(P 2

3

≤≤++−= a) Através da função dada é possível

saber se houve aumento ou diminuição de pressão? Se houve, em que momento ocorreu? b) As pressões máxima e mínima ocorreram em que tempo t, e quais são os seus valores?

Para respondermos estas questões, vamos iniciar nosso estudo analisando o crescimento ou decrescimento de uma função através das seguintes definições:

Função Crescente

Uma função f é crescente em um intervalo I se, e somente se, para quaisquer 1x e 2x em I ,

21 xx < ⇒ )()( 21 xfxf < .

Função Decrescente

Uma função f é decrescente em um intervalo I se, e somente se, para quaisquer 1x e 2x em I ,

21 xx < ⇒ )()( 21 xfxf > .

Função Constante

Uma função f é constante em um intervalo I se, e somente se, para quaisquer 1x e 2x em I , temos

)()( 21 xfxf = .

87

Por outro lado, analisaremos as variações da pressão e t∆ do tempo, e o

quociente if

if

ttPP

tP

−−

=∆∆

, que mede o quanto a pressão variou em um determinado

intervalo de tempo t∆ , o qual é denominado variação média que como sabemos é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (ti,Pi) e (tf,Pf).

1. Vimos também que para um determinado intervalo de tempo t∆ se:

0tP >

∆∆ , então dizemos que houve, em média, um aumento da

pressão;

2. 0tP <

∆∆

, afirmamos que, em média, houve uma diminuição da

pressão;

3. 0tP =

∆∆

, dizemos que, na média, não houve variação de pressão,

pois 0=−=∆ if PPP .Devemos neste ponto tomar cuidado! Quando analisamos a média,

podemos tirar conclusões distorcidas. A seguinte tabela foi obtida atribuindo valores para t na função P(t):

t 0 1 2 3 4 5 6P(t) 40,0 46,8 48,7 47,5 45,3 44,2 46,0

Tabela 1

Assim, se considerarmos um intervalo qualquer, por exemplo: ti=1 (o

tempo inicial), e tf=6 (o tempo final). Teremos 16,05

8,016

8,4646tP −=−=

−−=

∆∆

, o que

nos leva a concluir que: em média, houve uma queda ou decréscimo de 0,16 ml de mercúrio no intervalo considerado, conforme ilustrado a seguir:

t 1 6P(t) 46,8 46,0

Vale lembrar que -0,16 é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P1(1,46,8) e P2(6, 46). Sendo assim, se quisermos obter valores de P(t) para t=2, 3, 4 e 5 horas, considerando o decréscimo médio, teremos:

t)t(P)t(P)tt(P__

∆+=∆+ , onde )t(P__ é a variação média de P(t). Resulta e então.

88

P(2)= P(1) – 0,16 P(3)= P(1) – 0,16 .2 P(4)= P(1) – 0,16 .3

P(5)= P(1) – 0,16.4

P(2)= 46,64

P(3)= 46,48 P(4)=46,32 P(5)= 46,16

Assim, todos os pontos obtidos através da variação média pertencem à reta que passa pelos pontos P1 e P2.

Mas, como podemos observar no gráfico a seguir, referente à tabela 1, os valores das variações não são constantes no intervalo de 1 a 6 horas, por os valores são muito diferentes dos obtidos pela análise da variação média, haja vista que a média só utiliza os valores inicial e final no intervalo considerado. Além do mais, com os dados no gráfico, não podemos ainda afirmar de que maneira a pressão se comporta entre dois de seus pontos. Seria então necessário acrescentarmos mais pontos à tabela para obtermos estas repostas? Ora, isso implicaria num trabalho exaustivo que, mesmo assim, não nos conduziria a respostas satisfatórias para o problema.

Iremos em seguida analisar o comportamento da função P(t) nas proximidades ou vizinhanças de um ponto (a,P(a)) do seu gráfico.

(a) a função P(t) está crescendo antes e após t=a.

(b) função P(t) está crescendo antes e decrescendo após t=a.

(c) a função P(t) está decrescendo antes e após t=a.

89

45

46

47

1 2 3 4 5 6

(d) a função P(t) está decrescendo antes e crescendo apos t=a.

Assim, (a,P(a)) pode ser um ponto em que a função mantém o seu comportamento, nos casos (a) e (d), ou muda o seu comportamento, nos casos (b) e (c).

Observe que quando P(t) for uma função constante não ocorre crescimento nem decrescimento numa vizinhança do ponto (a,P(a)). No caso em questão, isto não ocorre, pois P(t) é um polinômio do 3º grau.

O quociente atP =

∆∆

é a inclinação da reta secante ao gráfico de

40t10t27

3ttP 23

++−=)( . Assim, por exemplo, pelos pontos (1,P(1))=(1;46,833333)

e (2,P(2))=(2; 48,666666), temos:

01

83333333112

833333466666664812

1P2PtPa1 >≅

−−=

−−=

∆∆= ,,,)()(

.

Como a inclinação é positiva, a função é crescente no intervalo [1,2], como era de se esperar! Agora, fixando-se para t=1, faremos a análise do comportamento da função nas proximidades do mesmo. Para isto tomaremos pontos cada vez mais próximos de t=1, por exemplo, t=1,5. Assim,

0833333342151

83333333462548151

1P51PtPa2 >=

−−=

−−=

∆∆= ,

,,,

,)(),(

Complete a tabela a seguir com os demais valores indicados para t.

t 2 1,5 1,2 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001

tP

∆∆ 1,8333333 2,83333334 4

No gráfico ao lado, podemos visualizar as inclinações a1, a2 ... an... Observe que todos os coeficientes angulares das retas são positivos (an>0) e medem os crescimentos médios nos intervalos. E como já vimos, pontos infinitamente próximos leva-nos à idéia de limite, isto é,

tPtP

tPa

tt ∆−∆+=

∆∆=

→∆→∆

)1()1(limlim00

.

Neste caso, não mais teremos o coeficiente angular da reta secante(variação média) e sim o coeficiente angular da reta tangente à curva, isto é a variação instantânea da pressão P. Como sabemos, a função P(t) é contínua em t=1 como também em todos os demais pontos do seu domínio, e assim o mesmo procedimento das secantes pode ser feito tomando-se pontos à esquerda de t=1. As variações médias também

90

serão positivas, como se verifica facilmente.Isto implica em afirmarmos que numa vizinhança do ponto considerado a

função está crescendo ilustrando assim o caso (a) tratado anteriormente.O mesmo procedimento deve ser adotado nos demais pontos do gráfico.

Para se evitar repetições exaustivas do processo, iremos em seguida tratar do caso geral.

1 A DERIVADA

Dada a função y=f(x), considere o ponto (x,f(x)), que será o ponto de análise da função e um outro ponto (x+ ∆ x, f(x+ ∆ x)).

Assim, se existe o limite

ax

)x(f)xx(flimx

=∆

−∆+→∆ 0

(1)

tal valor é definido como a taxa de variação instantânea de f no ponto x ou a derivada da função em x a qual é denotada por f ’(x),

)x(fdxd

, dxdy

ou ainda Dx f. Se uma função

possui derivada em um ponto, então, dizemos que ela é derivável neste ponto. Ela diz-se derivável em um intervalo aberto (a,b), se ela for derivável em todos os pontos deste intervalo. No final deste capítulo, mostraremos que se uma função for derivável em um ponto então, f será contínua neste ponto.

Voltando ao nosso problema a fim de podermos encontrar a taxa instantânea, ou a derivada, para outros pontos de P(t) necessitamos saber como resolver este limite para qualquer tempo t. Para isto os exemplos seguintes nos auxiliarão neste sentido.

Exemplo1: Seja y=f(x)=c (constante). Calcule f ‘(x) utilizando a equação (1).

Solução: 0x

0limxcclim)x('f

0x0x=

∆=

∆−=

→∆→∆

Portanto, a derivada da função constante é nula para todo x.

Exemplo2: Seja y=f(x)=x. Calcule f ‘(x).

Solução: 1xxlim

xxxxlim)x('f

0x0x=

∆∆=

∆−∆+=

→∆→∆.

Portanto, a função possui derivada (taxa instantânea) constante e positiva, para todo x.

91

Exemplo3: Seja y=f(x)=x2. Calcule f ‘(x).

Solução:

.x)xx(lim)x('f

xx)x(xxxlim)x('f

xx)xx(lim)x('f

x

x

x

22

2

0

222

0

22

0

=∆+=

∆−∆+∆+=

∆−∆+=

→∆

→∆

→∆

Portanto, neste caso, a taxa instantânea depende do valor de x.

Exemplo4: Seja y=f(x)=x3. Calcule f ‘(x).Solução:

222

0x

33223

0x

33

0xx3))x(xx3x3(lim

xx)x()x(x3xx3xlim

xx)xx(lim)x('f =∆+∆+=

∆−∆+∆+∆+=

∆−∆+=

→∆→∆→∆

Portanto, qualquer que seja x, f ’(x)>0, o que significa taxa instantânea sempre positiva, exceto para x=0. Assim, a função é sempre crescente para x diferente de zero.

A análise dos exemplos apresentados nos remete a um resultado geral para o estudo do comportamento de uma função:

Os exemplos anteriores nos permitem ilustrar o resultado apresentado:

1. f(x) = constante em I ⇔ 0=)x(f ' em I;2. f(x) = x em I ⇒ 01 >=)x(f ' em I ⇒ f(x) crescente em I;3. f(x) = x2 em I ⇒ x)x(f ' 2= e assim f(x) é crescente para x > 0 e

decrescente para x < 0 ;4. f(x) = x3 em I ⇒ 03 2 >= x)x(f ' em I e assim f(x) é crescente para todo x≠0

em I.

Com os resultados anteriores temos que ,)x(dxd 1= x)x(

dxd 22 = e

x)x(dxd 33 = . Generalizando, quando n é um número real:

1nn nx)(xdxd −= .

92

Seja f derivável em um intervalo aberto I: 1. Se f´(x) > 0 em I, então f é crescente 2. Se f´(x) < 0 em I, então f é decrescente 3. Se f´(x) = 0 em I, então f é constante

Passemos agora para algumas regras de derivação.

2 TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO

2.1. Derivada do produto de uma constante por uma função

Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por )()( xcfxg =. Se )(xf ′ existe, então )()( xfcxg ′=′ .

Exemplo: tttfttf 6)2(3)(3)( 2 ==′⇒=

2.2. Derivada de uma constante

Se c é uma constante e cxf =)( para todo x real, então 0)( =′ xf .

Exemplo: 0)(3)( =′⇒= xfxf

2.3. Derivada da função potência

Seja nxxf =)( , onde n é um número real, então 1)( −=′ nnxxf .

Exemplo: 54 12)(3)( −− −=′⇒= xxfxxf2.4. Derivada de uma soma ou diferença

Seja t um ponto onde f e g são deriváveis. Então, a função [ ]gf ± é derivável em t é sua derivada é dada por )()())'()(( tgtftgtf ′±′=± .

Exemplo: 49510510 510)()()( uuududu

duduu

dud +=+=+

Para fixar essas regras resolva os exercícios a seguir.

Exercícios:

Calcule a derivadas das funções abaixo:

a) 2)( rrf π= Resp: rπ2

b) bawwf += 2)( Resp: aw2

c) 64 2

21)(

cccf += Resp: 73 122 −− cc

93

d) 32114)( −−= ttf Resp: 4

23 −t

e) 61236)( 23 +++= yyyyf Resp: 12618 2 ++ yy

f) 1)( 2 −= xtf Resp: x2

g) 1421

34

43 234 −+−= ttts Resp: ttt +− 23 43

h) 63 2 += xy Resp: x6

i) tttty 225 234 −+−= Resp: 24154 23 −+− ttt

j) xxy −= 3

31

Resp:

12 −x

l) 1010ts −= Resp: 9100t−

m) 9416 2 +−= tts Resp: 432 −t

n)x

xy 1+= Resp:

32

12

1

xx−

o) )12(41 24 ++= vvu Resp: vv +3

p) 3

3 13 xxv += Resp:

42 3

xx −

q) 3 25 ts = Resp: 3

1

310 −

t

r) xx

y 343 += Resp:

214

2312

−− +− xx

s) sssr

37 −−= Resp:

94

23

s2

521

s2

123

s2

7−

−−

−−

t) u

uw 23 += Resp:

23

21

23 −−

− uu

Solução do problema inicial: a) Para obtermos os intervalos onde houve aumento ou diminuição de pressão sanguínea, derivamos a função

401027

32

3++−= ttt)t(P isto é,

107)´( 2 +−= tttP .

Agora, devemos determinar o sinal da derivada. Para isto, calculemos de início os zeros da função P’(t).

0107)´( 2 =+−= tttP ⇔ t=2 e t=5.Atribuindo valores nos intervalos determinados pelo domínio da função

P’(t) e suas raízes, obtemos a seguinte tabela:

P´(t) P(t)0≤t<2 + crescente2<t<5 - decrescente0<t≤6 + crescente

Assim, há aumento da pressão sanguínea para t<2 e t>5, e diminuição para 2<t<5.

Para as demais questões do problema necessitamos introduzir outros conceitos.

Problemas:

1) (Psicologia Educacional) Uma escola de línguas determinou que o número de palavras N(x) gravadas por um aluno após x horas de treinamento é dada por:

255)( xxxN ++= , 60 ≤≤ x .

Encontre a taxa de aprendizado após treinamento de: a) 1 hora, b) 2 horas e c) 4 horas Solução:a) Taxa de variação: N’(x)=5+2x. Assim N’(1)=7palavras/hora.

b) N’(2)=9 palavras/ hora.

c) N’(4)= 13 palavras/ hora.

95

2) (Medicina) Uma colônia de bactérias começa com uma população de 10.000 indivíduos. Passadas t horas, a população é de: )2,04,01(000.10)( 25,1 tttP ++= .a) Encontre a taxa de variação P em função do tempo.Solução: Temos

)4,06.0(000.10)(' 5,0 tttP += ,

tttP 000.6000.4)(' += .

b) Quantas bactérias existirão após 16 horas?Solução:

.bactérias)(P

),,(.)(P))(,)(,(.)(P ,

77800016

251625100010161620164010001016 251

=

++=++=

2.5. Derivada do Produto

Sejam f e g funções e h a função definida por )()()( xgxfxh = . Se )(xf ′ e )(xg ′ existem, então )()()()()( xgxfxgxfxh ′+′=′ .

Exemplo: )xx)(x()x(h 243 12 +−= , então

.xxxx)x(h

)xx()xxxx()x(h

)xx)(x()xx)(x()x(h

241014

662448

62412

346

46346

24233

−−+=′++−−+=′

+++−=′

Exercícios: Calcule a derivada das funções abaixo:

a) )(2 2 tts −= Resp: 222 −t

b) )2)(16( 3 22 ttts +−= Resp: 26435

3128 3

23

5−+− ttt

c) )1)(1( 2xxy −+= Resp: 123 2 +−− xx

d) )2)(5( 2 xxy −−= Resp: 543 2 ++− xx

e) )9315)(72( 4 +−−= uuv Resp: 186420150 34 ++− uu

f) )1)(1( 2 ++−= xxxv Resp: 23x

g) )14)(25( 2 ++= tts Resp: ttt 10450 21

23

++−

h) )4)(4( 22 −+= uuv Resp: 34u

i) )63)(12( 2 ++= ssr Resp: 12618 2 ++ ss

j) )s)(s(r 45 213 −−= Resp: 348 43027 sss ++−

96

2.6. Derivada de um Quociente

Sejam f e g funções e h a função definida por )()()( xgxfxh = , onde

0)( ≠xg . Se )(xf ′ e )(xg ′ existem, então [ ] 2)()()()()()(

xgxgxfxfxgxh

′−′=′ .

Exercícios:

Use a fórmula de derivação do quociente e calcule as derivadas das funções:

a) xxxy2

22

−−−= Resp: 2

2

22

xx −−

b) 33

−+=

tts Resp: 2)3(

6−−

t

c)126

13 +−

−=vv

u Resp:

23

2

)126(118

+−−=′

vvvu

d) 3

2

3)1)(1(

xxxy

+−+= Resp:

23

234

)3(36122

xxxxxy

++−−−=′

e) ttts

37 −−= Resp:

tttts

275 2

12

12

5 −−−−=′

f) )2)(1()2)(1(

−−++=

xxxxy Resp:

22

2

)23(126

+−+−=′xx

xy

Problema:

(Concentração de Drogas) Suponha que t horas após uma droga ser injetada num

97

paciente, a concentração k(t) da droga no corpo é dada por )t(

t)t(k4

22 +

= . A que

tempo a concentração da droga está aumentando e diminuindo?

Resolução: Calculando k´(t) segue-se que;

22

2

22

22

482

4482

)t(t

)t(tt )t´(k)t´(k

++−

+−+ =⇔= . Desse modo,

24482082 222 ±=⇔±=⇔=⇔−=−⇔=+−= ttttt)t´(K .Estamos interessados em um tempo t maior ou igual a zero. Desprezamos o valor t=-2, pois o mesmo não tem sentido no contexto.

K´(t) K(t)0≤t<2 + cresc.

t>2 - decres.

Logo, o tempo em que a concentração da droga será máxima será quando t.= 2h.

3 REGRA DA CADEIA

A regra a seguir é utilizada quando temos funções compostas, tais como: (x+3)5 ou 1−x , etc.. As regras que aprendemos até aqui não nos fornecem uma solução direta para estes casos.

Se )(),( xfuugy == e as derivadas dudy e dx

du existem, então a função composta

[ ])(xfgy = tem derivada que é dada por:

dxdu

dudy

dxdy = ou (x)f(u)g(x)y ′′=′ .

Exercício: Calcule as derivadas das funções a seguir:

a) 35)( 2 += xxf Resp: 3

52 +x

x

b) 3 3

2

1)(

+=

tttg Resp:

34343

13 )1()1(2−−

+−+ tttt

c) 22)( rrrq −= Resp: 22

1

rr

r

−

+−

98

d) 34 )1()34()( −++= xxxf Resp:

4

4

3

3

)1()34(3

)1()34(16

++−

++

xx

xx

e) 21273 534 )cc()cc(w +−=

Resp: )56()53()4(21)53)(112()4(7 2

1273212263 ++−++−−

−cccccccccc

f) 4)25( += tv Resp: 3)25(20 +t

g) 3 23 xy −= Resp:

322 )3(

32 −

−− xx

h) 33 )143( +−= tts Resp: 232 )143)(1227( +−− ttt

i) 22 )3)(1( +−= vvg Resp: 91264 234 ++−+− vvvv

j) 23 )1(16)(−

−=x

xh Resp: 43

25

)1(9696

−−

xxx

k) 12 )()( −+= wwwf Resp: 22 ))(12( −+−− www

l)3)2(

3

22

−+=

ttts Resp:

23

23456

)3(88412123

−+++−−−

ttttttt

m) 1342)(

−+=

xxxf Resp: 2)13(

14−

−x

n) btattf

−−=

2)()( Resp 2

22

)(22bt

aabbtt−

−+−

o) 2275)(

++=

wwwf Resp: 2)22(

4+

−w

p) 12

543

2

−−+=vv

vu Resp:

99

23

24

)12(108234

−−+−−−

vvvvv

q) sssc

38312 2 −+= Resp: 2

2

92436

ss +

r) 3

2

3)43)(2(

uuuw

−−+= Resp:

23

234

)3(1236386

uuuuu

−−++−

s) 1042753 )( −−= xxy Resp: )1415()473(10 4925 xxxx −−−

t) 21273 )53()4( ttttu +−= Resp:

tt

tttttttt532

)4)(56(53)112()4(72

732263

+

−+++−−

u) 42 )27(3

+−=

ccw Resp: 5272

7212

)(

)(

+−

−−

cc

c

Problemas:

1) (Ecologia) Numa reserva de águias douradas, o tamanho da população destes animais depende do tamanho da população de roedores, sua fonte primária de alimentação. Suponha que o número N de águias seja dado por

20000800040 x,x,N += , onde x é o número de roedores na reserva. Se o número de roedores disponível está crescendo à taxa de 200 por ano, com que velocidade a população de águias cresce quando se tem 500 roedores na reserva?

.ano/águias,dtdNx/p

x,,)x,,(dtdx

dxdN

dtdN

1601160080500

238020001600040

≈+=⇒=

+=+==

2) (Medicina) Suponha que o raio de uma úlcera duodenal circular cresce à taxa de 0,002 centímetros por mês. Com que velocidade a área aumenta quando se tem um raio de 0,12 centímetros?

Solução: Temos que 2r.A π= e 0020,dtdr = . Assim rdt

dA ..2 π= . Devemos

encontrar

dtdA , quando r0=0,12.

Para isso utilizando a regra da Cadeia, segue-se que:

dtdr

drdA

dtdA ⋅= 00202 ,.r..dt

dA π=⇒ r..,dtdA π0040=⇒ .

100

Portanto, 12,0..004,0 π=dtdA ⇔ mês

cmdtdA ., 241084 −= .

4 DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

A obtenção da derivada das funções logarítmica e exponencial, tanto na base e como em uma base qualquer, está na tabela a seguir. O desenvolvimento para a obtenção das mesmas não é objetivo deste trabalho e podem ser encontrada nos diversos livros de cálculo.

Função Exponencial Função Logarítmicay=ax ⇒ y’=lna.ax

y = logax ⇒ y’=lnax

1

y=au ⇒ y´= lna au.u’y = logau ⇒ y’=

lnauu'

y=ex ⇒ y’=exy = ln x ⇒ y’=

x

1

y=eu⇒ y’=euu’ y = ln u ⇒ y’= uu'

Exercícios: Calcule a derivada das funções:

a) 763 22)( ++= xxexf Resp:

)1(12 763 2+++ xe xx

b) xexf −= 331)( Resp:

xe −− 3

31

c) xexf =)(

Resp:x

e x

2

d) xxxf 63 22)( +=

Resp: 2ln)1(62 63 2++ xxx

e) x

xf2ln

21)(

−

=

Resp: x

x2ln2

2ln

101

f) t

etft 1)(

2+=

−

Resp: 2

2 1222

teet tt −−− −−

g) )5()( 22/ ttetf t += Resp:

)tt(e /t 529

21 22 ++

h) 1

1)(+

−=t

t

e

etf

Resp: ( )211

1

++

−t

t

t

t

e

e

e

e

i) )42(log)( 2 += xxf

Resp: 2422

ln)x( +

j) xcbxa

xf ln)(1)( 2 −+=

Resp: ax

abx −22

l) 1log)( 3 += ssf

Resp: ( )12log3

+se

m) )47ln(21)( 2 −= xxf

Resp: 47

72 −xx

n)

+=

211ln)(

xxxf

Resp: )1(2

+−−

xxx

o) xxxf

−+=

11ln)(

Resp: 212x−

5 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO IMPLÍCITA

102

Se uma função for dada sob a forma )(xfy = , dizemos que a mesma está na forma explícita. Porém, se a função for dada sob a forma 0),( =yxf , dizemos que está na forma implícita.

Exemplos: a) 1022 )473( −−= xxy --forma explícita: b) 0933 =−+ xyyx -- forma implícita

Observe que no exemplo b não é possível explicitar y em função de x.

Assim, para obtermos a derivada dxdy utilizamos a técnica de derivação

implícita.

Ilustremos esta técnica no exemplo considerado. Devemos então determinar ´y , onde: 0933 =−+ xyyx .

1º) Deriva-se a relação dada com respeito a x, utilizando as regras anteriores de derivação:

09933 22 =−−+dxdyxy

dxdyyx ;

2º) Fatora-se em seguida dxdy obtendo o resultado:

22 3993 xy)xy(dxdy −=− ou ainda

xy

xydxdy

93

392

2

−

−=

Desta forma, conseguimos obter 'y sem termos explicitado a função. Observe, também, que 'y contém y . Isto não chega a ser um problema, pois quando estamos utilizando a ferramenta derivada na resolução de algum problema, queremos o valor da derivada da função em um determinado ponto (x,y). Para tanto, basta substituir os valores de x e y na derivada da função.

Exercício:

Use a técnica de derivação implícita para determinar 'y :

a) 108 22 =+ yx Resp: yxy 8´ −=

b) 622 =+ xyyx Resp: xyxyxyy

22´ 2

2

+−−=

c) 82 323 =++ yyxx Resp: 22

2

326´yxxyxy

+−−=

103

d) 133 =+− yxyx Resp: 2

2

33´

yxyxy

+−+−=

e) 0234 3224 =+−+ xxyyxx Resp: 22

323

982384

xyyxyxyxy

−−+−−=′

f) 100=+ yx Resp: xyy −=′

g) 043235 =++−− xxyy Resp: 25 3532yy

xy−

−=′

h) 4332 =+− xyxxy Resp: 22

3

332

yxxyxyy

−−−=′

i) 422 =+ yx Resp: yxy −=′

j) 112

+−=

xxy Resp:

)1(212

++−=′

xyyy

l) yxyxy +=+ 22 Resp: 12221

−+−=′

yxyy

m) 2222 )( yxyxx −=− Resp: yyxx

yxxyxxy++−

−−−−=′23

22 ))(1(

Até o presente momento temos considerado tão somente as diversas técnicas de derivadas aplicadas às funções. Uma questão natural seria analisarmos que relação existe entre os conceitos introduzidos de derivada e continuidade. Neste sentido, apresentamos nas seções seguintes a conexão entre tais conceitos.

6 DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE

Temos o seguinte resultado: Se a função f é derivável no ponto x=x1, então f é contínua neste ponto.

Este resultado pode ser facilmente verificado como segue: Como f (x) é derivável no ponto x=x1 temos que

xxfxxfxf

x ∆−∆+=

→∆

)()(lim)´( 11

01 existe.

Agora, observe que:

0xxfxx

xfxxfxfxxf0x

111

11 =∆=∆∆

−∆+=−∆+→∆lim)(')()()()(

Desse modo, quando 0x →∆ e já que f(x) é derivável em x=x1, temos

104

que, os limites existem, resultando após tomada dos limites em cada um dos membros:

xx

xfxxfxfxxf0x

110x

110x

∆∆

−∆+=−∆+→∆→∆→∆lim)()(lim)]()([lim

Assim, )()(lim 110x

xfxxf =∆+→∆ e desse modo f(x) é contínua em x=x1.

Devemos observar que a recíproca do resultado anterior não é verdadeira; ou seja, o fato de uma função f(x) ser contínua não implica que f(x) seja derivável. Por exemplo, a função

<−

≥==

0xsex

0xsexxxf )(

é contínua em todo o seu domínio, que é o conjunto dos números reais, como pode ser observado em seu gráfico esboçado acima.

No entanto, a função não é derivável em x=0.

Realmente x

xfxxf∆

−∆+ )()( em x=0 nos dá:

Portanto,

x0fxf11

x0fxf

0x0x ∆−∆=−≠=

∆−∆

−+ →∆→∆

)()(lim)()(lim .

Isto nos indica que os limites laterais são distintos e portanto f’(0) não existe.

7 FUNÇÕES CONTÍNUAS QUE NÃO POSSUEM DERIVADA

Desse modo é possível que uma função f não possua derivada num ponto x0, mesmo sendo contínua nesse ponto.

Uma situação mais geral que do exemplo tratado está esboçada na fig-a. Observe que neste exemplo, quando x→x0 o coeficiente angular das retas secantes possui limites diferentes pela direita e pela esquerda, de modo que a curva apresenta um vértice quando x=x0.

Uma outra situação na qual f(x) é contínua em um ponto e não derivável neste ponto está apresentada na fig-b na qual o coeficiente angular das retas

secantes, ou seja 0

0)()(xx

xfxf−−

tende a ∞+ ou a ∞− quando +→ 0xx e −→ 0xx ,

respectivamente.

105

<∆−

≥∆+=

∆∆

=∆

−∆+

0xse1

0xse1

xx

xxfxxf

,

,)()(

Fig-a Fig-b

Problemas:

1) A concentração de um fármaco no sangue, após sua administração por via intra-

muscular, em uma única dose, é dada por 1t2t

t10)t(c 2 ++= , onde t é o tempo em

horas. Determinar os intervalos onde a concentração da substância no sangue está aumentando e onde está diminuindo.

2) O peso fetal varia com o tempo de gestação. Se P= peso fetal e t= tempo, Mc Dawell e Allen propõem a seguinte equação: c)bt(a)t(P −= onde alguns valores para as constantes a, b e c estão expressos na tabela a seguir. A constante b representa a fase lag, isto é, o período durante o qual a placenta se fixa.

Espécie a106 b cRato 1,0 8 3,0Porco 0,9 19 2,9Vaca 15 58 2,7Macaco rhesus 5 35 2,4Homem 7 41 2,7

a) Esboce a função de P para cada um dos casos e compareb) Se denotarmos o tempo do nascimento por tn e Pn =Pn(tn), mostre que, para o

homem 41tP7,2

)t(dtdP

n

nn −

= .

3) A quantidade de células cancerosas existentes no instante t é dada por t1,0e100N = . Calcule a taxa média da variação de N’ no intervalo de t=0 a t=10.

4) A quantidade de bactérias presentes numa cultura controlada, no instante t (horas), pode ser calculada pela equação 3/te150N = .

a) Qual a quantidade inicial de bactérias?b) Qual a quantidade depois de 1 hora?c) Qual a velocidade de crescimento no instante t=1h?

106

TABELA DE DERIVADAS

Função Derivada1. cy = 0y ='2. nxy = 1nnxy −='3. nwy = '' wnwy 1n−=4. vuy .= '')(' uvvuxy +=5.

vuy = 2v

uvvuy ''' −=

6. xey = xey ='7. uey = ueuy '' =8. xay = aay x ln' =9. uay = aauy u ln'' =10. xy ln=

x1y ='

11. uy ln=uuy '' =

12. xy alog=ax

1yln

' =

13. uy alog= au

uyln'' =

107

CAPÍTULO 5

EXTREMOS

Vamos agora estudar como obter a pressão máxima e a pressão mínima solicitada no problema inicial do capítulo anterior. Analisaremos com mais detalhes a forma do gráfico de uma função em um intervalo, determinando os seus valores máximos e mínimos, chamados extremos da função. A determinação dos valores extremos de uma função é de suma importância em situações que envolvem: tempo, temperatura, volume, pressão, poluição do ar, entre outros.

O gráfico a seguir foi obtido através de dados coletados por um instrumento que mede a variação de uma quantidade física. Por exemplo: o eixo-x representa o tempo e o eixo-y as mensurações tais como temperatura, pressão sanguínea de um indivíduo, quantidade de um produto químico em uma solução, contagem de bactérias em uma cultura, etc.

Nota-se que a curva cresce nos intervalos [a,c], [d,e] e [f,g] e decresce nos intervalos [c,d], [e,f] e. [g,b]. No intervalo [a,d] a curva possui um valor máximo em c, assim como nos intervalos [d,f] e [f,h] com valores máximos em e e g, respectivamente. Nos intervalos [c,e] e [e,g] a curva possui valores mínimos em d e f, respectivamente.

1 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES

Nestes casos descritos, os valores máximos e mínimos por serem restritos a um subintervalo de [a,b] são denominados extremos relativos ou locais. No intervalo [a,b], verificamos que a quantidade (eixo-y ) tem seu valor máximo em g e seu mínimo em a, os quais denominamos máximo absoluto e mínimo absoluto, respectivamente.

Em nosso estudo estaremos, sempre que possível, utilizando funções contínuas para representarmos os dados obtidos por fenômenos da natureza. Sendo assim poderemos utilizar um forte resultado para nosso estudo:

108

Se uma função f é contínua para todos os pontos de um intervalo fechado I, então f assume tanto o seu valor máximo M como o valor mínimo m em I.

Os exemplos seguintes para a função y=x2 ilustram o que estamos considerando:

(-∞,∞)

Somente mínimo absoluto

[0,2]

Mínimo e máximo absoluto

(0,2]

Somente máximo absoluto

(0,2)

Não possui extremo absoluto

Já os extremos locais podem ser obtidos através da seguinte definição:Seja c um ponto interior do domínio da função f, então, f(c) será:

a) um valor máximo local em c se, e somente se, f(x) ≤ f(c) para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.

b) um valor mínimo local em c se, e somente se, f(x) ≥ f(c) para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.

2 TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA

O estudo de extremos de funções nos permite analisar o comportamento das funções em certos pontos do seu domínio, facilitando desse modo a construção de seus gráficos.

Uma maneira de encontrarmos os extremos de funções consiste em determinarmos seus pontos críticos, ou seja, pontos x1 onde sua derivada se anula ou é descontínua (f’(x1)=0 ou f’(x) é descontínua em x1).

Observe, como ilustrado, que num ponto de máximo ou mínimo local de uma função f(x) e se f(x) for aí derivável, então f’(x)=0.

109

f'(x)=0 em x1 e x2 . f'(x) é descontínua em x0. f'(x) é descontínua em x0

Seja f(x) uma função derivável num intervalo aberto I. O teste da derivada primeira consiste dos seguintes passos:

1. Determine f’(x)2. Calcule todos os pontos críticos tais que f’(x)=0.3. Teste cada um dos pontos críticos, o qual poderá ser o ponto onde

ocorre um valor máximo ou mínimo da função. Para isto tome valores à sua esquerda e depois à sua direita. Se f’ mudar de sinal:

a. de + para -, então a função f tem um máximo local neste ponto crítico.

b. de – para +, então a função f tem um mínimo local neste ponto crítico.

Se f’ não mudar de sinal, então nada podemos afirmar sobre os extremos locais da função nesse ponto.

Máximo local em x=0 Mínimo local em x=0 Não possui extremo relativo

Exemplo: Como tossimos. Quando tossimos a traquéia se contrai aumentando a velocidade do ar que por ela passa. Isso levanta questões sobre quanto a traquéia deveria se contrair para maximizar a velocidade e se ela realmente se contrai tanto assim quando tossimos. Considerando algumas hipóteses razoáveis sobre elasticidade da parede da traquéia e de como a velocidade do ar próximo às paredes é reduzida pelo atrito, a velocidade média v do fluxo de ar pode ser modelada pela equação:

110

20 )( rrrcv −= cm/s, 0

0

2rr

r≤≤ ,

onde r0 é o raio, em centímetros, da traquéia em repouso e c é uma constante positiva cujo valor depende, em parte, do comprimento da traquéia. Mostre que v é máxima quando 0)3/2( rr = , ou seja, quando a traquéia está cerca de 66% contraída. (o importante é que imagens obtidas com raios X confirmam que a traquéia se contrai assim durante a tosse).

Solução: Temos: ⇔=−⇔=−= 032032 02

0 )rr(crcrrcrdrdv

0320 rrour == .

Analisemos agora se está ocorrendo mudança de sinal de v’(r). Temos a seguinte tabela:

v’(r)

032

rr <

+

032

rr > -

Assim, pelo teste da derivada primeira, em 032 rr = ocorre um máximo

local para a função v(r). No entanto, na escala normal, tal máximo não é observado, razão pela qual efetuamos uma mudança de escala e o mesmo tornou-se visível.

Exercícios: Determinar os intervalos em que a função é crescente ou decrescente; achar também os valores onde a curva tem tangente horizontal:

a) 18)( 23 −−+= xxxxfSolução: )43)(2()( −+=′ xxxf . )(xf é crescente para 2−<x , decrescente para

342 <<− x e crescente para 3

4>x . Quando 2−=x ou 34=x , a curva tem

tangente horizontal.

b) 43)( += xxfSolução: 3)( =′ xf . Como 03)( >=′ xf , f é crescente para todo Rx ∈ . c) 76)( 2 −−= xxxfSolução: 062)( =−=′ xxf , a função será decrescente para 3<x e crescente para

.3>x A função terá tangente horizontal em 3=x .

d) 1593)( 23 +−−= xxxxf

Gráfico em escala normal Gráfico com zoom próximo à origem

111

Solução: 963)( 2 −−=′ xxxf , logo a função será crescente para 1−<x e para 3>x , e decrescente para 31 <<− x . A função terá tangente horizontal quando

1−=x e 3=x .

e) 1

)( 2

2

+=xxxf

Solução: 0)1(

2)( 22 =+

=′x

xxf se, e somente se, 0=x . Logo, a função será

crescente para 0>x e, decrescente para 0<x . Quando 0=x , a curva tem tangente horizontal.

f) 13)( 23 +−= xxxfSolução: 063)( 2 =−=′ xxxf , assim 0=x ou 2=x , portanto, a função será crescente em ( ]0,∞− e [ )∞,2 e será decrescente em [ ]2,0 .

g) 12)( 23 +++= xxxxf

Solução: 143)( 2 ++=′ xxxf , assim 1−=x ou 31−=x , portanto, a função é

crescente em ( ]1,−∞− e [ )∞− ,31 , e decrescente em [ ]3

1,1 −− .

h) x

xxf 1)( +=

Solução: 2

1)(x

xxf −=′ , assim 1−=x ou 1=x , portanto, a função cresce em

( ]1,−∞− e [ )∞,1 , e decresce em [ [0,1− e ] ]1,0 .

i) 2

2

143)(

xxxxf

++=

Solução: 22

2

)1(464)(

xxxxf

+++−=′ , assim 2=x ou

21−=x , portanto, a função cresce

em [ ]2,21− , e decresce em ( ]21,−∞− e [ )∞,2 .

j) 244)( 234 +−+−= xxxxfSolução: xxxxf 23)( 23 −+−=′ , assim 1=x ou 2=x , portanto, a função cresce em ( ]0,∞− e [ ]2,1 , e decresce em [ ]1,0 e [ )∞,2 .

3 CONCAVIDADE DE CURVAS

Quando estamos estudando uma função sua derivada é uma ferramenta útil na análise do seu comportamento. Como a derivada de uma função é também uma outra função, e se for derivável, ela é denominada derivada segunda ou

derivada de segunda ordem, a qual é denotada por: 2

2

2

2´´´´ )()(

xdyd

xdxfdxfy === . Por

exemplo:

112

6)(76)(73)( '''2 =⇒−=⇒−= xfxxfxxxf

Vimos que o sinal da derivada primeira nos dá informações úteis quanto à existência de máximos e mínimos locais das funções. Como veremos a seguir, o sinal da derivada segunda nos dará informações tanto quanto com relação à forma do seu gráfico como também na caracterização de seus pontos de máximos ou mínimos. Temos os seguintes conceitos:

Fig a) A curva está acima de suas retas tangentes. À medida que x cresce, a inclinação da tangente cresce, ou seja, f' é uma função crescente.

Fig b) A curva está abaixo de suas retas tangentes. À medida que x cresce, a inclinação da tangente decresce, ou seja f' é uma função decrescente.

4 TESTE DA DERIVADA SEGUNDA

Seja f(x) uma função que possui derivada de segunda ordem num intervalo aberto I. O teste da derivada segunda consiste no seguinte:

a) Se f(x) > 0 para todo x no intervalo I, então f(x) é côncava para cima em I.

b) Se f(x) < 0 para todo x no intervalo I, então f(x) é côncava para baixo em I.

113

Diz-se que uma curva é convexa ou tem concavidade voltada para cima, num intervalo a<x<b, se, e somente se, a curva estiver sempre acima das retas tangentes à curva, para todo x do intervalo. A concavidade para cima será indicada por .

Diz-se que uma curva é côncava ou tem concavidade voltada para baixo, num intervalo a<x<b, se, e somente se, a curva estiver sempre abaixo das retas tangentes à curva, para todo x do intervalo. A concavidade para baixo será indicada por .

Exemplo: No modelo já apresentado sobre o movimento da traquéia, a função

velocidade está dada por 20 )( rrrcv −= cm/s, 0

0

2rr

r≤≤ . Temos que

20 32 crrcr)r('v −= e )rr(c)r(''v 32 0 −= . Desse modo, obtemos a seguinte tabela:

v’’(r) concavidader0 > 3r +

r0 < 3r -

Agora, observe os gráficos a seguir:

Fig c) No ponto (0,0) a curva muda de concavidade.

Fig. d) No ponto (-2,0) a curva muda de concavidade.

No caso da Fig. c), no ponto (0,0), a tangente cruza a curva, e neste ponto a curva muda de concavidade. Este é um exemplo típico de ponto de inflexão, que passamos a definir:

No modelo da traquéia vimos que v’’(r0/3)=0 e que no ponto (r0/3, v(r0/3)) ocorre uma mudança de concavidade da curva. Portanto temos aí um ponto de inflexão de v(r).

No entanto, devemos salientar que em geral, se f’’(x0)=0, não se pode concluir que o ponto (x0, f(x0)) seja de inflexão do gráfico, como podemos observar no caso da função f(x)=x4.

O teste da derivada segunda também pode ser utilizado para obter os extremos relativos da função, pois quando o(x)f" > , a concavidade está voltada para cima e, portanto a curva apresenta um mínimo local. Caso contrário, isto é, quando o (x)f" < , a concavidade está voltada para baixo e, portanto a curva apresenta um máximo local.Solução do problema inicial do capítulo 4: A função que nos dá a pressão

sanguínea do gato em termos do tempo é: 60401027

32

3≤≤++−= t,ttt)t(P , cuja

114

Um ponto (x1, f(x1)) no gráfico de y=f(x), onde há mudança no sentido da concavidade, é chamado de ponto de inflexão.

derivada é: 107)(' 2 +−= tttP .Segue-se que seus pontos críticos ocorrem quando t=2 e t=5. Observe que P’(t) é positiva para 20 <≤ t e para 52 << t ela é negativa. Logo, pelo teste da derivada primeira, P(t) tem um máximo local em t=2. Além disso, P’(t) é positiva para 65 ≤< t. Portanto P(t) tem um mínimo local em t=5 (ver Fig. e) e f)).

Fig. e) Fig. f)

Podemos chegar à mesma conclusão utilizando o teste da derivada segunda. Temos que P’’(t)=2t-7 e desse modo nos pontos críticos de P(t): P’’(2)=-3<0 e P’’(5)=3>0. Portanto, por este teste, P(t) assume o valor máximo local em t=2 e o valor mínimo local em t=5; ou seja P(2)=48,8 e P(5)=44,2 são, respectivamente, as pressões máxima e mínima do gato em mm de Hg. Agora, observe que P’’(t)=2t-7 resulta:

P’’(t) concavidadet<7/2 -

t>7/2 +

Assim, em t=7/2 ocorre um ponto de inflexão no gráfico da função P(t). Isto então nos possibilita a representação gráfica de P(t) conforme a figura ao lado:

Devemos observar que em algumas situações não necessitamos utilizar ferramentas tão poderosas, como é o caso da derivada segunda, para obtermos informações sobre o comportamento de dadas funções, como está ilustrado no exemplo seguinte, no qual, tão-somente o gráfico da função nos fornece a informação desejada.

Exemplo: Resposta do organismo a um medicamento. A resposta do corpo a uma dose de medicamento às vezes é representada por uma equação na forma

−=

322 MCMR , onde C é uma constante positiva e M a quantidade de medicamento

absorvida no sangue. Se a resposta for uma variação na pressão sanguínea, então R deve ser medido em milímetros de mercúrio; se a resposta for uma variação de temperatura, R será medido em graus centígrados e assim por diante. Calcule a quantidade de medicamento à qual o organismo é mais sensível determinando o valor de M que maximiza a derivada dR/dM. Esta derivada é chamada de sensibilidade do corpo ao medicamento.

115

Solução: 22 )3/1(32

2 MMCMMCMdMdR −=−+

−= . Esta é a função que queremos

maximizar. Portanto, ainda teremos que obter a derivada segunda:

2/022

2CMMC

dMRd =⇔=−= . Este é um valor crítico para a função derivada. Como o

gráfico da função derivada é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, para o valor M=C/2, tem-se o máximo da função derivada, ou seja:

2222

41

4222CCCCCC

dMdR =−=

−= .

Utilize agora, como exercício, o teste da derivada segunda para chegar às mesmas conclusões do exemplo anterior.

Exercícios 1- Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos de f . Comece por esboçar seu gráfico.

a) 1,38)( ≥−= xxxf .

Solução: 5)1( =f é ponto de máximo absoluto.

b) 20,)( 2 <<= xxxf .

Solução: Nenhum ponto de máximo e mínimo local ou absoluto.

c)

≤≤−

<≤−=

32,42

20,1)(

xsex

xsexxf

Solução: Máximo absoluto 2)3( =f .

2- Encontre os pontos críticos da função:

a) xxxf 45)( 2 +=

Solução: 410 +=′ x)x(f : 1040410 −=⇒=+ xx . Ponto crítico

108

104 −=

−f .

b) ccccf 243)( 23 −+=Solução: 2463)( 2 −+=′ cccf :

202463 2 =⇒=−+ ccc ou 4−=c . Pontos críticos 80)4( =−f e 28)2( −=f .

c) 234 643)( uuuuf −+=Solução: uuuuf 121212)( 23 −+=′

116

00)1(120121212 223 =⇒=−+⇒=−+ uuuuuuu ou 012 =−+ uu , assim,

251 +−=u ou

251 −−=u . Pontos críticos 0)0( =f , 90982,0

251 −=

+−f e

0901,122

51 −=

−−f .

d) 35

32

5)( tttg +=

Solução: 32

31

35

310)( tttg +=′

−⇒ 20

35

310 3

23

1−=⇒=+

−ttt .

)´(tg não é definida em 0=t , logo os pontos críticos são 0=t e .2−=t

e) )xln(x)x(f =

Solução: 1+=′ )xln()x(f : e

xx 101)ln( =⇒=+ . Ponto crítico e

x 1= .

f) 1

1)( 2 +++=zz

zzf

Solução: 22

2

1

2

)zz(

zz)z(f++

−−=′ : 0020)1(

2 222

2

=⇒=+⇔=++

−− zzzzz

zz ou 2−=z .

Pontos críticos em 0=z ou 2−=z .

g) xxexf 2)( =

Solução: xx xexe)x(f 22 2+=′ : 210212 −=⇒=+ x)x(e x .

Ponto crítico 21−=x .

3- Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f no intervalo dado:

a) [ ]305123 2 ,;xx)x(f +−= .

Solução: 126)( −=′ xxf : 20126 =⇒=− xx (ponto crítico). Máximo: 5)0( =f

Mínimo: 7)2( −=f .

b) [ ]30133 ,;xx)x(f +−= .

Solução: 33)( 2 −=′ xxf : 1033 2 −=⇒=− xx (não serve) ou 1=x . Máximo: 19)3( =f

Mínimo: 1)1( −=f .

c) [ ]3211232 23 ,;xxx)x(f −+−−= .

Solução: 1266)( 2 −−=′ xxxf : 101266 2 −=⇒=−− xxx ou 2=x . Mínimo: 19)2( −=f

Máximo: 8)1( =−f .

117

d) 296)( 23 ++−= xxxxf ; [ ]4,1− .Solução: 9123)( 2 +−=′ xxxf : 109123 2 =⇒=+− xxx ou 3=x .

Máximo: 6)4()1( == ffMínimo: 14)1( −=−f .

e) [ ]3232 24 ,;xx)x(f −+−= .

Solução: xxxf 44)( 3 −=′ : 0044 3 =⇒=− xxx ou 1−=x ou 1=x . Máximo: 2)1()1( =−= ff

Mínimo: 66)3( =f .

f) [ ]211 32 ,;)u()u(v −−= .

Solução: 22 )1(6)( −=′ uuuv : 00)1(6 22 =⇒=− uuu ou 1=u ou 1−=u . Máximo: 27)2( =v

Mínimo: 1)0( −=v .

g) [ ]441

42

2,;

t

t)t(f −+

−= .

Solução: 22 )1(10)(

+=′

tttf : 00

)1(10

22 =⇒=+

tt

t.

Máximo: 1712)4()4( ==− ff

Mínimo: 4)0( −=f .

h) [ ]20,;ce)c(y c−= .

Solução: ccecy −−=′ )( : 00 =⇒=− − cce c .

Máximo: 2

2)2(e

y =

Mínimo: 0)0( =y .

i) [ ]413 ,);iln(i)i(f −= .

Solução: i

if 31)( −=′ : 3031 =⇒=− ii

.

Máximo: 1)1( =fMínimo: 3,2)3( −≅f .

4- Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, seus valores de máximo e mínimo locais, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

a- 112)( 3 +−= aaaf .Solução: 123)( 2 −=′ aaf e aaf 6)( =′′ .

20123 2 =⇒=− aa ou 2−=a ; 006 =⇒= aa .o f é crescente em ( )2,−∞− e ( )∞,2 ; e f é decrescente em ( )2,2− .

118

o Valor máximo: 17)2( =−f , Valor mínimo: 15)2( −=f o Concavidade para baixo em ( )0,∞− , Concavidade para cima em ( )∞,0o Ponto de inflexão: (0,1)

b) 32)( 24 +−= xxxf .Solução: xxxf 44)( 3 −=′ e 412)( 2 −=′′ xxf

0044 3 =⇒=− xxx ou 1−=x ou 1=x e

330412 2 −=⇒=− xx ou

33=x .

Problemas:1. O crescimento da E.coli em um caldo de cultura pode ser representado pela

equação 2t9t80100)t(N −+= , onde o tempo t varia de 0 a 10 dias. Estudar o comportamento de N(t) em termos da ocorrência de pontos críticos.

2. Cinqüenta animais ameaçados de extinção são colocados em uma reserva. Decorridos t anos a população P desses animais é estimada por

30t)30t6t(50)t(P 2

2

+++= . Em que instante essa população animal atinge seu

máximo? Quanto ela vale?

3. Em fisiologia tem grande importância a avaliação do coeficiente de difusão do oxigênio através de tecidos com respiração ativa. Para descrever tal

fenômeno, Warburg (1923) propôs a equação: ( )2xHxD2aCy −−= , que

relaciona a tensão de oxigênio com a distância x à superfície da fatia em qualquer ponto. Tem-se ainda que:y= tensão de O2 (em atmosferas) em pontos situados a x cm a partir da superfície do tecido;C= tensão externa de O2 (em atm)a= taxa respiratória do tecido (em ml de O2) consumidos/min/ml de de tecido;H= a espessura da fatia do tecido (em cm) eD= o coeficiente de difusão de O2 (em unidades de Krogh).Mantendo-se constantes c, a, H e D, pede-se:a) Estabelecer o domínio desta função.b) Neste domínio, estimar o máximo e mínimo e para quais valores do

domínio eles ocorrem.c) Para o(s) valor(es) de máximo, tem-se y’=0?d) Tem-se y(0)=y(H)=c. Interprete este fato.e) Esboce o gráfico.f) Faz sentido termos y<0? Justifique.

4. Uma substância química é introduzida na corrente sanguínea de um animal. Depois de t horas da aplicação, a concentração desta substância pode ser

descrita por 3t162tK(t)+

= . Depois de quanto tempo a concentração é

máxima?

119

5. Estima-se que uma colônia de bactérias tenha uma população dada por

1t10t24)t(P 2 +

+= , em milhares, t horas após a introdução de uma toxina.

Determine o tempo no qual a população é máxima e calcule a população neste tempo.

6. Em 1949, E. Heinz descobriu que a concentração y(t) de uma droga injetada

intramuscularmente é dada por ( ) 0t,ee)ab(

c)t(y btat ≥−−

= −− , onde t=horas

após a injeção e a, b e c são constantes positivas com b>a. Considere a=1, b=3 e c=2 e determine quando ocorre a concentração máxima.

7. Suponhamos que a concentração y=c(t), em mg/100ml, de um certo metabólico (substância orgânica de baixo peso molecular que participa de reações do metabolismo) em um meio líquido de cultura seja expressa pela equação ( ) ( ) 22t22t)t(cy 24 +−−−== sendo t o tempo transcorrido em horas. Supomos aqui que 4t0 ≤≤ para a duração total do experimento. Determine onde a concentração é máxima e mínima e os intervalos onde a função cresce ou decresce.

8. A reação do organismo a uma droga às vezes é representada por uma

função do tipo

−=

3D

2CD)D(R 2 onde C= quantidade máxima que pode ser

administrada, D= quantidade usada ( CD0 ≤≤ ) e R estima a intensidade de reação do organismo à droga ( p. ex: pressão sanguínea em mm de Hg, temperatura do corpo, etc.). Pede-se traçar o gráfico de R(D).

9. Uma pulga saltando na direção vertical alcançou a altura h (em metros) como uma função do tempo t ( em segundos):

2)9,4()4,4( tth −= .Calcular a velocidade no tempo t = 0, a altura máxima e a aceleração causada pela gravidade.

10.Suponha que, t horas após uma droga ser injetada num paciente a

concentração k(t) da droga no corpo é dada por 4

22 +

=t(

t)t(k . Em que tempo

a concentração da droga será máxima?

11.Uma droga experimental está sendo testada numa colônia de bactérias, foi descoberto que t dias após tratar a colônia, o número )(tN de bactérias por centímetro cúbico é dado por: 80012020)( 2 +−= tttN , 70 ≤≤ t . Quantos dias após o início do tratamento o número de bactérias por centímetro cúbico alcança o seu valor mínimo? Qual é este mínimo?

12.Suponhamos que o número de pessoas, em certa cidade, que estão doentes t dias após o início do surto da epidemia de gripe, é dado por:

120

20120)( 2 ++−= tttP . Em que dia o número de pessoas doentes será o máximo, e quantas serão as pessoas doentes?

121

CAPÍTULO 6

INTEGRAL

Como vimos até agora, a derivada pode ser interpretada como a taxa de crescimento populacional, taxa de velocidade, taxa com a qual os recursos naturais estão se esgotando, taxa de decaimento, entre outras. Em muitos problemas, no entanto, a derivada da função é conhecida e o objetivo é determinar a função. Portanto, esta é uma situação inversa que até o momento temos considerado.

A fim de ilustrarmos tal situação, apresentamos os seguintes problemas:

Problema 1: Uma cidade é atingida por uma epidemia de gripe e as pessoas caem doentes à razão de 29360 tt − pessoas por dia. Sabendo que hoje há 150 casos registrados, quantas pessoas estarão infectadas daqui a uma semana?

Para resolver este problema precisamos saber qual é a expressão que nos fornece o número total de pessoas acometidas pele gripe em cada dia. Como a

taxa é dada por 29360 ttdtdN −= , onde N é o número total de indivíduos doentes

para cada dia, o que procuramos é a expressão N que depende de t. Então, desejamos encontrar a função N(t) cuja derivada é 29360 tt − .

Problema 2: Um estudo do meio ambiente de certa comunidade indica que, daqui a t anos, a taxa de monóxido de carbono no ar estará variando segundo

1,01,0)( += ttf partes por milhão por ano. Se a taxa de monóxido de carbono hoje é de 3,4 partes por milhão, qual será a quantidade daqui a 4 anos?

Também, neste caso, devemos encontrar a função cuja taxa f(t) é dada, isto é, a função cuja derivada é 1,01,0)( += ttf .

O processo para se determinar uma função f(x) a partir de um de seus valores conhecidos e sua derivada f’(x) consiste de dois passos. O primeiro é obter uma fórmula que nos dê todas as funções que poderiam ter f como derivada. Essas funções são chamadas primitivas de f, e a fórmula que fornecem todas elas é denominada integral indefinida de f. O segundo passo é utilizar o valor conhecido, ou valor inicial, para selecionar a primitiva particular desejada dentre aquelas na integral indefinida.

Como em ambos os problemas as taxas são dadas por funções polinomiais, vamos tratar inicialmente a técnica para se obter tais primitivas.

1. xxF =)(' 2

2x)x(F =⇔ ;

2. 2)(' xxF =3

3x)x(F =⇔ ;

3. 3)(' xxF =4

4x)x(F =⇔ ;

4. nxxF =)('1

1

+=⇔

+

nx)x(F

n.

122

Em todos os casos citados, )(xF é uma solução, também chamada primitiva da função dada y=f(x)=F’(x). Mas, tal primitiva não é única! Se a cada

)(xF adicionarmos uma constante C, ainda assim teremos uma solução para cada um dos casos:

1. CxxFxy +=⇔=2

)(2

, pois y= x)x('F =

2. CxxFxy +=⇔=3

)(3

2 , pois y= 2)(' xxF =

3. CxxFxy +=⇔=4

)(4

3 , pois y= 3)(' xxF = .

De um modo geral, temos a seguinte regra:

1 INTEGRAL INDEFINIDA

Em geral, CxF +)( é o conjunto de todas as primitivas de f(x), onde C é uma constante qualquer. Na solução dos problemas, como veremos mais adiante, poderemos observar melhor esta condição. Desse modo, uma função possui várias primitivas. A figura a seguir ilustra três primitivas da função f(x)=2x

O conjunto de todas as primitivas de )(xf é chamada de integral indefinida de )(xf e é representada por

dxxfxF )()( ∫= ;

Onde o símbolo ∫ é o sinal de integração (lê-se: integral de) e indica que será calculada a antiderivada da função que vem depois do sinal. dx indica a variável em relação a qual a integral será efetuada.

É importante observar que se a variável de integração for t, v, P, etc. teremos as seguintes notações: dttftF )()( ∫= ,

dvvfvF )()( ∫= , dP)P(f)P(F ∫= , etc.

Assim

123

Cnx)x(Fn,xy

nn +

+=⇔−≠=

+

11

1, pois y= nxxF =)(' .

Cnxdxxn,xy

nnn +

+=⇔−≠=

+

∫ 11

1, pois nxxF =)(' .

A seguir destacamos algumas propriedades:

Propriedade Exemplo

Cnxkdxxkdxkxn

nn ++

=∫ ∫=+

1

1

∫∫ +−=+−=−=− C2xC

6x3dxx3dxx3

6655 )(

∫ ∫ +== Ckxdxkkdx Cxdxdx +=∫ ∫= 777

∫ ∫ ∫±=± dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[ Cxxdxxxdxdxxx +−=∫−∫ ∫=−4

2)2(4

233

Exercício: Obtenha a integral indefinida das funções a seguir:

a) uuf 3)( = ;

b) 3

47)( ttf = ;

c) 1)( −= mmg ;d) 2/3)( ssm = ;e) 4/12)( −= xxf .

Agora, podemos retomar os nossos problemas do início deste capítulo.

Problema 1: Como 29360 ttdtdN −= , separando as variáveis, obtemos:

∫ ∫ +−=−=∫ −= CttdtttdtdttttN3

92

3609360)9360()(32

22

CtttN +−= 32 3180)( .Devemos obter o número de infectados no 7o dia (t=7), mas antes temos

que encontrar C. O problema diz que hoje há 150 casos de infectados, isto é, para t=0, 150)0( =N . Substituindo em )(tN , obtemos CN == 150)0( . Então,

1503180)( 32 +−= tttN .Quando t=7:

7941150102988207 =+−=)(N .Portanto, no 7o dia contrairão a gripe 7941 pessoas.

Problema 2: Para encontrar a quantidade de monóxido de carbono ao final de 4 anos, devemos integrar:

1010 ,t,)t('f += ,resultando

∫ ++=+= CttdtttF 1,02

1,0)1,01,0()(2

.

Como a quantidade de monóxido para t=0 é de 3,4 partes por milhão, temos:

4,31,02

1,0)(2

++= tttF

E finalmente, para t=4, obtemos:

124

644341024104F2

,,.,,)( =++=

Assim, daqui a 4 anos teremos 4,6 partes por milhão de monóxido de carbono.

Antes de prosseguirmos, vamos fixar um pouco mais o que já foi apresentado. É bom lembrar que você sempre pode testar se o resultado da sua integral indefinida está correto. Para isto basta que ao derivá-lo obtenha a função que foi integrada.

Exercício: Calcule as integrais indefinidas:1. ∫ xdx8 6.

∫ dxxx37

2

2. ∫ − dxx )15( 7

∫+− dx

xxxx 72 23

3. ∫ dx 8.

∫

−− dx

xx932

35

4. ∫ +− − dxxx )8513( 24 9. ∫ dxx23

5. ∫ dxx58

10. ∫ dxx2

11. ∫ +− dxx

xx )52( 3

Exercício: Quando uma reação química está sendo realizada a volume constante, a entalpia é dada por ∫=∆ dtCH v , onde vC é a capacidade calorífica a volume constante. Se 732 2 ++= ttCv , calcule H∆ .

2 INTEGRAL DEFINIDA

As questões que temos considerado até agora com respeito a integrais, todas elas referem-se a um dado instante de tempo t. Entretanto, existem situações nas quais devemos levar em conta um intervalo de tempo. Isto ocorre, por exemplo, nos problemas tratados no início deste capítulo, bastando que se façam pequenas alterações em seus dados.

125

Problema 3: Uma cidade é atingida por uma epidemia de gripe e as pessoas caem doentes à razão de 29360 tt − pessoas por dia. Sabendo que hoje há 150 casos registrados, quantas pessoas, no total, estarão infectadas no período de t=2 a t=9 dias?

Problema 4: Um estudo do meio ambiente de certa comunidade indica que, daqui a t anos, a taxa de monóxido de carbono no ar estará variando 1,01,0)( += ttf partes por milhão por ano. Se a taxa de monóxido de carbono hoje é de 3,4 partes por milhão qual será a quantidade total despejada no período de t=1 a t=4 anos?

As questões a serem resolvidas referem-se a um intervalo de tempo.O valor numérico destes cálculos denomina-se integral definida de f(t)

que representamos por:

∫ba dttf )( ,

onde a e b são os valores inicial e final do intervalo.

3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA

Podemos interpretar a integral definida como sendo a área sob o gráfico de uma dada função 0)( >xf . Para isto, considere o seguinte exemplo:

Seja a função xy = , cujo gráfico se encontra ao lado. Temos que no intervalo 10 ≤≤ x a função delimita a região triangular com vértices nos pontos: (0,0), (1,0) e (1,1). Sabemos que a área deste triângulo é dada por:

2

1

2

1==∆ )alturaxbase(A unidade de área.

Neste caso, o cálculo da área da região, ou seja, a área sob o gráfico da curva é bastante simples. No entanto, se considerarmos a função 2xy = no mesmo intervalo, já não dispomos de recursos técnicos que nos possibilitem a sua solução.

A técnica para resolvermos situações desta natureza é apresentada a seguir e a mesma está desenvolvida utilizando o exemplo já considerado.

Para isto considere os seguintes passos:

(1) Subdividimos o intervalo [0,1] em dois subintervalos iguais e calculamos as áreas utilizando retângulos, conforme a figura a seguir.

Retângulo ÁreaI

41

21.

21 =

II21

21.1 =

126

Neste caso, a área total é: 75,025,05,041

21 =+=+ , a qual é superior à área

do triângulo.

(2) Subdividimos o intervalo [0,1] em quatro subintervalos iguais e calculamos as áreas utilizando retângulos, conforme a figura a seguir:

Neste caso, a área total é: 625,0

1610

161

81

163

41 ==+++ , que também é superior à

área do triângulo, mas inferior à anterior.

(3) De modo similar quando subdividimos em oito subintervalos, temos:

Neste caso, a área

total é: 5625,06436

161

82

6416 ==++ ,

que também é superior à área do triângulo, mas inferior à anterior e se encontra mais próxima do valor da área do triângulo.

(4) Vamos agora melhorar a aproximação dividindo o intervalo em n subintervalos de largura 1/n.

Então, a área sob o gráfico da função será dada aproximadamente por excesso, como a soma das áreas dos n retângulos.

Portanto, a área total está dada por: ( )n...321

n1A2Total ++++= .

Verificamos que a expressão entre parênteses, neste caso particular, é a soma dos n termos de uma PA de razão 1:

Retângulo Área Retângulo ÁreaI

161

41.

41 =

III163

43.

41 =

II81

21.

41 =

IV411.

41 =

Retângulo Área Retângulo ÁreaI

641

81.

81 =

V645

85.

81 =

II321

41.

81 =

VI323

43.

81 =

III643

83.

81 =

VII647

87

.81

=

IV161

21.

81 =

VIII811.

81 =

Retângulo Área Retângulo Área1

2n1

n1.

n1 =

32n

3n3.

n1 =

22n

2n2.

n1 =

...n2n

nnn.

n1 =

127

n21

21

n2n

n2n

n2nn

2n).1n(

n1A

22

2

2

2

2Total +=+=+=+

= .

Portanto quando n for um valor suficientemente grande a área total se aproxima de ½ com um erro por excesso muito pequeno. Usando a notação de limites, temos:

21

n21

21limA

n=

+=

∞→

Logo a área sob a curva pelo processo de aproximação utilizando retângulos e para n tendendo a infinito, é a melhor aproximação para a área do triângulo calculada inicialmente.

Estas considerações nos conduzem à seguinte conceituação:

Este processo de aproximação pode ser utilizado para outras funções, desde que as mesmas satisfaçam as condições descritas acima. Porém faremos a seguir algumas considerações sobre esta definição:

1. No exemplo analisado temos considerado os subintervalos com a mesma largura ( ou comprimento), a qual tende a zero quando n tende a infinito. No caso geral temos a seguinte expressão limite:

∑ ∆=→∆

=∞→∫

n

kxmaxk kkn

ba

x)x(flim)x(f0

1

2. A integral definida dxxf )(ba∫ se existir, será um único número real. Isto se

deve ao fato de que se a integral definida é um limite, quando este limite existe, ele é único.

3. Temos considerado a nossa função f(x) contínua num intervalo. Entretanto, no caso geral f(x) é tão-somente limitada em [a,b].Uma classe de funções para os quais este limite existe é a das funções contínuas, como pode ser mostrado. De um modo geral, quando tal limite existe dizemos que a f é integrável em [a,b].

4. A área a ser calculada é sempre um valor positivo.

5. A variável x em xdxf )(ba∫ é denominada variável muda, e indica a variável

da função a ser integrada.6. Podemos escolher qualquer ponto x’i, onde i

'ii xxx ≤≤− 1 , não sendo

necessário tomarmos o ponto médio ou ainda, podemos dividir o intervalo em subintervalos com amplitudes distintas. Como salientado, qualquer caso, o resultado será o mesmo, se existir o limite quando n tender ao infinito.

7. A integral definida não tem necessariamente o significado de uma área. Dependendo do problema, ela pode estar representando o volume, a quantidade de bactérias, etc. O significado da área dos retângulos pode

128

Seja 0xf >)( e contínua no intervalo [a,b]. A integral definida de f de a até b está dada por:

kxn

)kx(fnlimdx)x(fk

ba

∆∑∞→==

∫1

ser o produto entre uma taxa de variação, como por exemplo, o crescimento de uma cultura de bactérias pelo tempo.

8. Se f(x) for uma taxa de variação, então dx)x(f∫ ba

é a variação total.

129

4 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO (TFC)

A determinação da integral definida é facilitada se fizermos uso do Teorema Fundamental do Cálculo juntamente com algumas propriedades descritas a seguir:

É usual encontrarmos a notação ba)]x(F[ ou b

a)]x(F para representar o valor de F(b)-F(a).

Nas propriedades seguintes as funções consideradas são integráveis nos intervalos dados.

Agora, voltando aos problemas 3 e 4, teremos as seguintes soluções:

Problema 3:

[ ] 116972163138602321809391803

92

3609360 32329

2

3229

2=−=−−−=

−=−∫ ....ttdt)tt(

Portanto, estarão infectadas 11.697 pessoas.

130

TFC- Sejam f uma função contínua no intervalo [a,b] e F uma primitiva de f, ou seja, F’(x)=f(x), então,

).a(F)b(Fdx)x(f −=∫ ba

P1: 0)(aa

=∫ dxxf Ex: 0222

=∫ dxx

P2: dxxfdxxf )()(ab

ba ∫∫ −= Ex:

dxxxdxxx )7)7 21-3

231-

(( −+−=−+ ∫∫P3: dxxfdxxfdxxf )()()(

ca

cb

ba ∫∫∫ =+ Ex: dxxdxxdxx 22

020

2-22

2- ∫∫∫ +=

P4: dxxfkdxxkf )()(ba

ba ∫∫ = , k = constante Ex:

dxxdxx ∫∫ =63

63

44

P5: a)k(bkdx −=∫ ba

, k = constante Ex: )( 0103dx3 −=∫ 100

P6: dxxgdxxfdxxgxf )]()()]()([ ba

ba

ba ∫∫∫ ±=±

Ex: dxxdxxdx23x2x 232 /)/( −− ∫∫∫ +=−+− 71

71

71

Problema 4: .,,,),,( ppm051t102t10dt10t10

4

1

241 =

+=+∫

Portanto, serão despejadas 1,05 partes por milhão de monóxido de carbono no ar.

Outros problemas serão dados a seguir, a fim de fixarmos o conceito de integral definida e suas aplicações.

Problemas:1) Com seu equipamento anti-poluição funcionando, uma indústria ainda lança

poluentes em um rio de sua vizinhança, durante o x-ésimo ano de operação do equipamento, de acordo com a equação 3 210000 x/y = . Os padrões estabelecidos pelo órgão de proteção do meio ambiente exigem que o total de poluentes lançados ao rio nos próximos 27 anos seja menor que 80 000 toneladas. Calcule aproximadamente a quantidade de poluentes que será despejada neste período e verifique se os padrões de proteção ao meio ambiente serão observados.

2) Uma grande cidade é atingida por uma epidemia de gripe e as pessoas caem doentes à razão de 29270 tt − pessoas por dia. Aproximadamente quantas pessoas terão apanhado a gripe entre o primeiro e o vigésimo dia, inclusive?

3) Uma cidade foi atingida por uma epidemia de sarampo no mês de maio . Parte da população caiu doente à razão 7+x pessoas por dia. Aproximadamente, quantas pessoas irão contrair a doença neste mês? Considere o mesmo com 31 dias.

4) Um estudo indica que daqui a x meses, a população de determinada cidade crescerá a uma taxa de 2+6 x pessoas por mês. Qual será o aumento da população da cidade nos próximos 4 meses?

5) Uma reação química ocorre apenas quando o valor de energia livre, de Gibbs, for negativa:

∫=∆ 2

1

PP VdPG ,

onde V= volume, P= pressão e G∆ = variação na energia livre, de Gibbs. Se 423 2 ++= PPV , verifique se há reação química no intervalo de P1=3 a

P2=7.

6) Em Química, o trabalho obtido a partir de um processo pode ser calculado por:

∫= PdVtrabalho

onde P representa pressão e V o volume. Se 226 VVP += , determine o valor do trabalho, quando o volume varia de 1 a 60 cm3.

131

7) Uma forma pela qual os biólogos estudam o crescimento de uma cultura de bactérias é observar a percentagem de bactérias que se regeneram em dado

intervalo de tempo. Se a equação de regeneração é dada por: 2402x

xB += ,

a quantidade de bactérias com uma margem de probabilidade de a até b por cento de se regenerar é dada pela integral de B neste intervalo. Calcule o número de bactérias:

a) com probabilidade de se regenerar entre 10 e 20 por cento;b) Com probabilidade de se regenerar entre 20 e 40 por cento.

8) Estima-se que um lago poluído contém 50000 toneladas de poluentes. Planeja-se interromper definitivamente o lançamento de qualquer poluente no lago e calcula-se que, pela difusão natural dos poluentes, o nível de poluição decrescerá. A taxa de crescimento é dada pela função

2200150050000 tt)t(P' −−= . Calcule a quantidade, em toneladas, de poluentes no lago no ano 2020, tomando o ano de 2000 como o instante inicial.

5 TÉCNICA DE INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Existem funções cujas integrais não podem ser calculadas pelos métodos que discutimos. Porém, há técnicas de integração que permitem ampliar os tipos de funções das quais podemos encontrar as integrais. Uma destas técnicas faz uso da fórmula:

e é chamada técnica de integração por substituição.

Exemplo 1: Usar a técnica de integração por substituição para obter

∫ + dxxx 212 .

Solução: Considere 12 += xu . Assim, xdxdu 2= , ou ainda xdxdu 2= . Fazendo as

substituições na integral teremos:

∫ ∫∫ +===+ Cuduuduuxdxx2/3

212/3

2/12 .

Substituindo u por 12 +x , resulta:

Cxxdxx ++=+∫ 2/322 )1(3221 .

Exemplo 2: Usar a técnica de integração por substituição para obter ∫ + xdxx 12 .

132

Seja u=f(x): ∫ ++

= + Cun

duu nn 11

1, 1−≠n .

Solução: Considere 12 += xu . Assim, xdxdu 2= , ou ainda xdxdu =

2. Fazendo as

substituições na integral teremos:

∫ ∫∫ +===+ Cuduuduuxdxx2/32

121

21

2/32/12 .

Substituindo u por 12 +x , resulta:

Cxxdxx ++=+∫ 2/322 )1(311 .

Cuidado!!! A integral ∫ + dxx 12 não pode ser integrada utilizando este método.

Quando fazemos a substituição de variável, no caso x por u, a integral deve ficar inteiramente com uma única variável. E nesta última integral isto não é possível. Agora observe o seguinte exemplo:

Exemplo 3: Calcule a integral ∫ − xdxx 22 )3(

Solução: Considerando u= 32 −x , temos xdxduxdxdu =⇔=

22 . Fazendo-se as

substituições na integral vem:

∫∫∫ +===− Cuduuduuxdxx32

121

2)3(

32222 .

Substituindo novamente u= 32 −x , resulta:

Cxxdxx +−=−∫ 3222 )3(61)3( .

Mas, se ao invés de ∫ − xdxx 22 )3( tivermos ∫ − dxx 22 )3( o método da

substituição será possível, mas a integral pode ser obtida desenvolvendo primeiramente a potência no integrando.

Exemplo 4: Calcule ∫ −− dxxxx 532 )3)(1(

Solução: )1(333)3( 223 −=−=⇒−= xxdxduxxu . Assim, )1(

32 −= xdu

. Substituindo

na integral, temos:

∫ ∫∫ +===−− Cuduuduudxxxx63

131

3)3)(1(

655532

Cxxdxxxx +−=−−∫ 63532 )3(181)3)(1( .

Alisemos uma outra situação, ainda utilizando o método da substituição.

Exemplo 5: Utilizar a técnica de substituição para obter:

a) ∫ + dxxx 2

b) dxxx∫ − 23 9

133

Solução: a) Considere 2+= xu . Então 2−= ux e dxdudxdu =⇒= 1 . Fazendo as

substituições na integral vem:

Cu34u

52duu2uduu2udx2xx 23252123 +−=−=−=+ ∫∫∫ //// )()( .

Substituindo u por x+2, finalmente temos:

C2x342x

52dx2xx 2325 ++−+=+∫ // )()( .

b) Considerando 29 xu −= , temos que ux −= 92 e xdxdu 2−=

Cuuduuuduuudxxx +

−−=−−=−−=− ∫ ∫∫ 2/52/32/32/123

526

21)9(

21)9(

219

Cxxdxxx +−+−−=−∫ 2/522/3223 )9(51)9(39 .

Quando estivermos considerando uma integral definida, basta aplicarmos, ao final, o Teorema Fundamental do Cálculo.

Exemplo 6: [ ]23231

0

23210

2 1011321x

32xdx21x /// )()()( +−+=+=+∫ )18(

32 −= .

Exemplo 7: =−=−=⇔−=⇒ ∫∫ −−−1

0

3

0443

04

41

44 xxx edxeassim,dudxxudxe )e( 41

41 −−− .

Exemplo 8: ∫21 dx

xxln

, considere u= lnx o que implica em dxx1du = e

Cuduudxxx +==∫ ∫ 2

.ln 2. Assim:

22

21

22

2xdx

xx 2222

1

221

lnlnlnlnln =−==∫ .

Exercícios: Calcule as integrais a seguir:

a) ∫ 3 xxdxln

Resp: 32x23 )(ln + C

b) ∫ dxxxln Resp:

2x 2)(ln +C

c) ∫+ dx

xx2 10)ln( Resp:

11x2 11)ln( + +C

134

d) ∫ − dxe x4 Resp:

x4e41 −− +C

e) dxex3x32∫ Resp:

3x3e91

+C

f) dxxe

2

x3

∫ Resp:

x3

e31− +C

g) xdx32x∫ Resp:

2x332

1ln

+C

h) ∫ − dxx25 Resp:

521ln

− x25− +C

i) dxx

10 x∫ Resp:

x10102ln

+C

j) dxxx24

2

10∫

+ )ln( Resp:

[ ] 65561202242111 1111 ,)ln()ln( ≅+−+

k) dxe3

0

x4∫ − Resp:

250e141 12 ,)( ≅− −

l) dxx

104

1

x∫ Resp:

177810

180 ,ln

≅

6 TÉCNICA DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

Este método permite a redução de uma integral complicada a outra mais simples. O seu uso depende, porém, da habilidade com que se emprega a seguinte fórmula, na qual u e v são funções deriváveis:

135

Observe que sendo u e v funções deriváveis, seu produto uv também é derivável e temos:

dvuvduuvddxdvuv

dxdu

dxuvd ..)()( +=⇔+= .

Integrando ambos os lados da igualdade, temos:

∫ ∫ ∫+= vduudvuvd )( .

Como ∫ += 1)( Cuvuvd e obtemos:

∫∫ −+= vduCuvudv 1 .

Ao calcularmos a integral do segundo membro ∫ vdu aparecerá uma outra constante de integração que junto com C1 serão incorporadas no cálculo desta integral. Então,

∫ ∫−= vduuvudv .

Exemplo 9: Calcule ∫ xdxx ln .

Solução: Sejam xlnu = e xdxdv =

dxx

du 1= e ∫ ==2

2xxdxv .

Usando a fórmula ∫ ∫−= vduuvudv obtemos:

∫∫ ∫ +−=−=−= Cxxxxdxxxdxx

xxxxdxx4

ln22

1ln2

12

ln2

ln22222

.

Assim,

Cxxxxdxx +−=∫ 4ln

2ln

22

.

Exemplo 10: Calcule ∫ dxxe x .

Solução: Sejam xu = e dxedv x= .

dxdu = e ∫ == xx edxev .Então

Cexedxexedxxe xxxxx +−=−=∫ ∫ .

Exercícios: Calcule as seguintes integrais

136

∫ ∫−= vduuvudv .

1. ∫ 2x dxx )ln( Resp: dxx1

3xx

3x 33

∫ ×−)ln(

2. ∫ dxx )ln( Resp: cxxx +−)ln(

3. ∫ dxx23 )(ln Resp:

x24x2x24x2x6x2x 23 −+− )ln()(ln)(ln

4. ∫ dxex x2 Resp: ce2xe2ex xxx2 ++−

5. ∫ − dxxe x Resp: cexe xx +−− −−

6. dxxe x4∫ Resp: c16ex

4e x4x4

+−

7. dxx x2∫ Resp:

c22

2x2

2

xx+−

))(ln()ln(

8. dx3x x3∫ Resp:

[ ] [ ] [ ] [ ]c

336

33x6

33x3

33x

4

x

2

x

2

x2x3+×−+−

)ln()ln()ln()ln(

Problemas:

1) Ao estudar os efeitos de uma doença, pesquisadores contam o número de vezes que uma população de controle de ratos exibe os sintomas da doença. A quantidade de ratos afetados no x-ésimo dia após a exposição ao portador-transmissor pode ser estimada pela equação

442

2 +++=xx

xN .

Calcule a área sob a curva entre as retas x=0 e x=2. O valor desta área tem algum significado?

2) Um biólogo está estudando o desenvolvimento de bactérias. Se x

xN 402 +=

representa a quantidade de novas bactérias no x-ésimo dia, calcule, aproximadamente, a quantidade existente no vigésimo dia. (440+40ln21)

3) A taxa de variação da quantidade de sal em um tanque que contém uma

solução de sal é dada pela equação diferencial QdtdQ

1003−= . A quantidade

inicial de sal em t=0 é conhecida, sendo igual a Q0. Determine uma fórmula que dê a quantidade de sal da solução, em qualquer instante t.

Sugestão: Para resolver esta equação diferencial, utilize o método da separação

das variáveis, isto é: reescreva a equação na forma: dtQdQ

1003−= e integre

137

ambos os lados da igualdade. A solução obtida, em que aparece a constante C de integração, é chamada de solução geral da equação diferencial. Para obter o valor de C considere a condição inicial do problema para, ou seja, para t=0.

4) Um pesquisador utiliza a seguinte função para representar a taxa de decaimento

de uma substância radioativa em função do tempo: sdtds

41−= . Escreva uma

expressão que dê a quantidade, em gramas, da substância radioativa s, em qualquer instante t. Se existem inicialmente 100 g da substância, quantos gramas restarão após 2 horas? ( gS 61≅ )

5) Quando se considera o efeito da gravidade sobre gases, a seguinte equação

diferencial é usada: RTPM

dhdP g=− . Determine uma fórmula que expresse P em

função de h.

6) Certa substância radioativa tem meia-vida de T anos, e a quantidade y(t) em

uma amostra satisfaz a equação rydtdy = . Obtenha a expressão que relaciona y

e t. (y(t)=c(1/2)t/T)

7) Um tanque contém 100l de solução com 200g de sal na solução. Despeja-se a água no tanque, contendo 1 g de sal por litro a uma taxa de 3 l/min, e a mistura, mantida uniforme, é drenada com a mesma taxa. Calcule a quantidade de sal ao final de 90 minutos. [(e-0,03t+1)/0,01]

8) Sob certas condições, cana-de-açúcar em água é transformada em dextrose a uma taxa proporcional à quantidade não transformada em qualquer instante t. Se de 75 g no tempo t, 0,8 g são transformados durante os trinta primeiros minutos, e calcule a quantidade transformada em uma hora e trinta minutos. (Sugestão: dQ/dt =k(75-Q) e então k=0,0038 e Q=75(1-e-0,0038t) e Q=21,6 g)

9) Um Verão quente e úmido está causando uma explosão da população de mosquitos em uma cidade turística. O número de mosquito está aumentando a uma taxa estimada de 2.200+10e0,8t, por semana. De quanto aumenta a população de mosquitos entre a quinta e a nona semanas de verão.

10) O método da diluição do contraste é usado para medir a capacidade cardíaca com 8mg de contraste. As concentrações de contraste , em mg/l, são modeladas

por c(t)=41

t(12-t) 120 ≤≤ t , onde t é medido em segundos. Calcule a capacidade

cardíaca.

7 EQUAÇÃO DIFERENCIAL

Temos visto, em alguns problemas da seção anterior, exemplos de equações nas quais a função incógnita se encontra sob sinal de derivação. Tais

138

equações são denominadas equações diferenciais. Uma situação que nos apresenta comumente é a seguinte: encontrar

y=f(t), sabendo-se que )t('Fdtdy = .

O método de obtenção da solução desta equação diferencial é chamado método da separação de variáveis.

Tal solução é denominada solução geral da equação diferencial, e a mesma consiste de uma família de funções (curvas) contínuas correspondentes aos vários valores de C.

Exemplos:

a) ∫ ∫ +=⇔=⇔=⇔= Cxydxx3dydxx3dyx3dxdy 3222 (Fig a)

b) CtNtdt2dNtdt2dNt2dtdN 2 +=⇔=⇔=⇔= ∫∫ (Fig b)

Fig (a) Fig (b)

Quase sempre o problema ou modelo expresso por uma equação diferencial nos fornece informações iniciais (condição inicial da equação diferencial) para se determinar a constante C. A solução com o valor determinado de C é chamada de solução particular da equação diferencial.

Exemplo: Determine a solução particular da equação diferencial xdxdyy 2 = , dada a

condição inicial y(0)=1.

Solução: Separando as variáveis, obtemos:

CxyCxyxdxdyyxdxdyy +=⇔+=⇔=⇔= ∫∫ 231

2322 32

23, onde C=6C1.

139

.C)t(Fy

dt)t('Fdydt)t('Fdy

+=⇔

⇔=⇔= ∫ ∫

Assim, 32

23 Cxy += é a solução geral da equação.

Da solução geral obtida Cxy += 23 32 e aplicando a condição inicial

encontramos C=2. Desse modo 32

223 += xy é a solução particular da equação.

8 DINÂMICA POPULACIONAL

Denote por N=N(t) uma dada população, onde t é o tempo. Dizemos que N(t) cresce a uma taxa proporcional à população atual13 N, se

rNdtdN = ,

r uma constanteNeste modelo populacional descrito pela equação diferencial

apresentada, o fator de proporcionalidade ou taxa r, quando positivo, descreve o crescimento da população e quando negativo o seu decrescimento.

No caso desta população sofrer uma ação predatória, o modelo da taxa de crescimento desta população é dado por:

krNdtdN −= ,

onde k é a taxa predatória.Na leitura complementar deste capítulo apresentamos um modelo

matemático em ecologia animal no qual esta equação diferencial é obtida. Além disso, é feito também um estudo de interações competitivas utilizando-se tão-somente de métodos gráficos.

Problema: Uma população de ratos cresce a uma taxa de 0,5 por mês, ou seja: N

dtdN 50,= .

Admita também que diversas corujas moram na mesma vizinhança e que elas matam 15 ratos por dia. Desse modo, a equação anterior passa a ser:

45050 −= NdtdN

, .

a) Encontre a função N(t) que dá a população de ratos em qualquer instante t em ambos os casos.

b) Esboce o gráfico de N(t) no segundo caso, quando N(0)=800 e N(0)=1000.

Problemas:

13 Aparentemente o economista britânico Thomas Malthus (1766-1834) foi o primeiro a observar que muitas populações biológicas crescem a uma taxa proporcional à população. Seu primeiro artigo sobre populações apareceu em 1798.

140

1) Poluição de reservatórios de água. A taxa segundo a qual determinado poluente é introduzido em um ecossistema depende, entre outros fatores, do tempo, do nível de produção industrial dos estabelecimentos próximos, etc. Suponhamos uma indústria despejando seus dejetos industriais em uma lagoa próxima durante todo o ano. Denotemos por x o volume em m 3 de poluentes acumulados na lagoa, após t anos. Neste caso, a taxa à qual esta lagoa está sendo contaminada se expressa por dtdx ; consequentemente, o volume de poluentes que se acumulou na lagoa durante o intervalo [ 21 t,t ] é dado por:

∫ 2

1

t

tdt

dtdx .

Considere a situação para a qual: 45

200+

=t

tdtdx

m3/ano. Se t=0 corresponde ao

instante quando foram iniciadas as atividades industriais, determine qual o volume de poluentes despejados na lagoa após 5 anos.

2) Uma epidemia está se alastrando a partir de um ponto central. Digamos que dados colhidos em pesquisas de campo nos permitam concluir que a expressão:

y = 57

154 −x

representa a densidade dos acometidos a x quilômetros a partir da origem, isto é, o número de pessoas que contraíram a doença por quilômetro quadrado. Quantos indivíduos contraíram a doença nesta região, sabendo-se que 350 ≤≤ x ?

3) Biólogos observando uma cultura de fungos, concluíram que a sua taxa de

proliferação (fungos/semana) é dada por: t4t160P2

+= . Pede-se o valor de fungos

no intervalo de 5 a 20 semanas.

4) As bactérias de certa cultura crescem de acordo com a Lei KNdtdN = . Se

N=2000 no início e N=4000 quando t=3h, determine:a) o valor de N quando t=1h;b) o valor de t quando N=48000.

141

9 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

Vamos analisar em seguida situações em que a primitiva F(x) de uma função não pode ser expressa em termos de funções elementares, tais como: polinômios, quociente de polinômios, função exponencial ou logarítmica ou ainda como uma combinação destas. Entretanto, na maioria das aplicações práticas dispomos apenas de dados tabelados, e a forma de integração neste caso, é feita sem se necessitar da expressão analítica para a função, é denominada integração numérica.

Desta forma, a integração numérica pode ser utilizada quando o valor da integral definida não é possível, ou dificilmente, ser determinada utilizando-se o Teorema Fundamental do Cálculo.

Para exemplificar, considere a seguinte situação problema:

Débito Cardíaco: O volume de sangue bombeado pelo coração humano por unidade de tempo fixo é denominado capacidade cardíaca, ou taxa de fluxo na aorta. Para uma pessoa saudável e em repouso esta taxa deve girar em torno de 5 a 6 litros por minuto. Durante exercícios físicos intensos a taxa pode chegar a 30 litros por minuto. A técnica utilizada é o método de diluição de contraste. Para isto, injeta-se um corante em uma importante veia perto do coração. O corante é levado para o lado direito do coração, bombeado através dos pulmões e, retorna ao lado esquerdo do coração e para dentro da aorta, onde a concentração do corante pode ser medida em intervalos regulares de tempo. Por exemplo:

Uma quantidade de 5,6 mg de corante é injetada no átrio direito. A concentração de corante é medida na aorta em intervalo de 2 segundos, como mostrado na tabela a seguir, onde t representa segundos após a injeção e Q(t) a concentração, em mg/l, de corante (ajustada para a recirculação).

t 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31Q(t) 0 3,8 8,0 6,1 3,6 2,3 1,45 0,91 0,57 0,36 0,23 0,14 0,09 0

Para obtermos a capacidade cardíaca temos que dividir o número de miligramas de corante pela área sob a curva da concentração de corante, isto é,

sl

mgl.

smg

segundos.l

mgmg

curvadadentroáreadeunidadecorantemg === .

Logo, a capacidade cardíaca é dada por

∫=

315 dttQ

MF)(

, onde M é a quantidade ministrada

do corante e ∫315 dttQ )( é a área sob a curva que

descreve a concentração.Em nosso exemplo, como não temos a

função Q(t) que descreve o experimento,

142

apresentaremos dois processos de cálculos aproximados da área sob a curva:

10 REGRA DO TRAPÉZIO:

a. Se tivermos apenas os pontos P0 , P1 , ..., Pi , Pi+1, ... , Pn do experimento, cujas coordenadas são (x0, y0), (x1, y1), ... , (xi, yi), (xi+1, yi+1), ... (xn, yn), a área de cada um dos trapézios com vértices em Pi e Pi+1 é dada por:

Área T = altura2

menorbasemaiorbase + )( iiii xx

2yy

−+

= ++

11

A área total será aproximadamente a soma das áreas de todos os trapézios definidos pelos pontos obtidos no experimento. Se o experimento foi realizado em intervalos (xi+1 - xi) iguais, a equação da área total será:

x2

yydxxfb

a

n

0i

i1i ∆+

≅∫ ∑=

+)( .

b. Se tivermos a função f(x), mas a sua primitiva é de difícil obtenção,

dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimento nabh −= .

Consequentemente, teremos n trapézios de área:

Área T = h

2yy ii +

= + 1 .

E a área total sob a curva será:

h2

yydxxfb

a

n

0i

i1i∫ ∑=

+ +≅)( .

Para solucionarmos o exemplo do débito cardíaco utilizaremos a regra dos trapézios do caso a): o intervalo é [5,31], h=2 e Qi(t) = yi. Assim

143

≅++++++++++≅∫ 22

004022

04014022

16822

88322

83031

5

,,,...,,,dt)t(Q

0040040140168883830 ++++++++++≅ ,,,...,,, .

Desse modo, obtemos:

),,,,,,,,,,,()( 0401402303605209104513263168832dttQ315 +++++++++++≅∫

Logo, 1555527231

5,),(dt)t(Q =≅∫ e portanto s/l,

s)l/mg(,mg,F 10160

15565 ≈= .

11 MÉTODO DE SIMPSON

A Regra de Simpson para calcular dxxfba∫ )( , baseia-se em fazermos

aproximações para f em pequenos trechos de seu gráfico usando arcos de parábolas. Primeiramente, divide-se o intervalo [a,b] em um número par, n, de

subintervalos de comprimento nabh −= . Depois, consideram-se os pontos das

extremidades de cada subintervalo como sendo: x0, x2, x4, x6,..., x2n e os valores intermediários como x1, x3, x5, x7,..., x2n-1. A área de cada subintervalo será determinada pela aproximação de um arco de parábola que passará pelos pontos de abscissas: x0, x1 e x2 , x2, x3 e x4 e assim sucessivamente.

Agora, seja uma parábola CBxAxy ++= 2 que passa por três pontos consecutivos P0(x0, y0), P1(x1, y1), e P2(x2, y2), onde para simplificação, faremos um deslocamento dos eixos de tal forma que os valores das abscissas passem a ser x0=-h, x1=0 e x2=h e consequentemente y0=Ah2-Bh+C, y1= C e y2=Ah2+Bh+C. Observe que tal deslocamento não altera o valor da área sob a curva (Figuras a e b)

Figura a Figura b

A área abaixo da curva correspondente ao polinômio quadrático CBxAxy ++= 2 é dada por:

h

h

23hh

2 Cx2

Bx3

AxdxCBxAx−

− ++=++∫ )( , e assim:

)CAh(hChAhÁrea 623

23

2 23

+=+= .

Verificamos que, 210 yy4y ++ corresponde ao termo C6Ah2 2 + .Então, temos:

144

)()( 210hh

2 yy4y3hdxCBxAx ++=++∫ − .

Analogamente, para o próximo subintervalo com os pontos P2, P3 e P4 a área sob a parábola será:

)yyy(hÁrea 432 43

++= .

Uma vez que a área total é a soma de todas as subáreas, obteremos:

É importante destacarmos que quanto maior for o valor de n em cada um dos métodos numéricos maior será a aproximação do valor real da área abaixo da curva.

Aplicando este método para o problema proposto anteriormente obtemos:

∫ ++++++≈315 4512324632164828340

32dxxf ),(),(),(),()(),(()(

)),(),(),(),(),(),( 0090214042302360457029104 +++++++

8854328232 ,, == .

Logo sl10200885465F /,,, == .

Problemas:

1) Uma população de abelhas cresce a uma taxa de r(t) abelhas por semana, conforme a tabela. Use a Regra de Simpson e o método dos trapézios com 6 subintervalos para estimar o aumento da população de abelhas durante as primeiras 24 semanas.

t r(t)0 04 3008 3000

12 1100016 400020 50024 0

Logo o aumento da população nas primeiras 24 semanas será de 81600 abelhas.

145

Solução:Considere n os subintervalos de iguais comprimentos, logo n=6 e

nabx /)( −=∆ logo: 46

)024( =−=∆ x . Aplicando a regra de Simpson temos:

S6= )]()()()()()()([ 6543210 xf2xf4xf2xf4xf2xf4xf3x ++++++∆

,

isto é, S6= 81600)]02000800044000600012000(34[ =++++++ .

)(...)()()( n1n2n32ba 210 yy4y

3h4yy4y

3hyy4y

3hdxxf +++++++++≈ −−∫

)...( n1n2n43210 yyyyyyyy3h 11 ++++++++= −− 422424 .

2) Depois de uma injeção de 8mg de contraste, as leituras de concentração do contraste com intervalos de dois segundos são mostradas na tabela. Use a Regra de Simpson e o método dos trapézios para estimar a capacidade cardíaca.Solução:

t c(t)0 02 2,44 5,16 7,88 7,6

10 5,412 3,914 2,316 1,618 0,720 0

Assim, a capacidade cardíaca é aproximadamente 60,93 mg/l.

3) Certa curva é dada pelas suas coordenadas cartesianas, conforme tabela a seguir. Calcule a área aproximada entre a curva, o eixo x e as retas x=1 e x=9 usando a Regra de Simpson e o método dos trapézios.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 0 0,6 0,9 1,2 1,4 1,5 1,7 1,8 2

12 ÁREAS DE REGIÕES PLANAS

Frequentemente, os morfologistas têm que determinar as áreas de determinadas células, as quais podem ser consideradas como figuras planas. Não há dificuldades em calcularmos a área de quadrados, retângulos, etc. Entretanto, quando as regiões são limitadas por curvas, surgem dificuldades.

Uma maneira de se fazer tal cálculo consiste em dividirmos a região em quadrados de mesmo tamanho e consequentemente mesma área. Porém, podemos observar que próximos à fronteira existem quadrados que cobrem apenas parcialmente a região. Como indicado nas figuras a seguir.

Malha : 1:1 Malha: ½ : ½ Malha: ¼ : ¼

Quando o centro de um quadrado da malha está no interior da região considerada, este é marcado com um ponto. Após a marcação de todos os centros, o número de pontos é totalizado. E então este total deve ser multiplicado pela área do quadrado da malha. Este resultado fornece uma estimativa da área da região. Para obtermos uma melhor aproximação, devemos utilizar uma malha “mais fina”, por exemplo, a metade da anterior, e assim sucessivamente.

146

Solução: Temos que n=10 subintervalos e nabx /)( −=∆ , isto é

210

)020( =−=∆ x . Aplicando a regra de Simpson temos:

)]x(f)x(f)x(f)x(f

)x(f)x(f)x(f)x(f)x(f)x(f)x(f[xS

10987

654321010

2424

2424243

++++

+++++++∆=

+

.,,.),,,,,

,,,,()](),(),(),(

),(),(),(),(),(),([

936049132082232987621

2158112106903202704612324

932454672874152424032

≅=++++++

+++++=+++

+++++++=

.

13 LEITURA COMPLEMENTAR

13.1. Crescimento populacional

Faremos uma breve explicação do uso de modelos matemáticos em ecologia animal. Para tanto, descrevemos os modelos obtendo suas soluções através de métodos gráficos.

Os fatores que causam o acréscimo de uma população de tarântula de 500 para 800 aranhas poderão ser muito diferentes dos fatores que causam um risco à população que decresce de 10 para 8 pássaros. Todas as mudanças no tamanho de uma população podem ser classificadas de maneira adequada em quatro categorias:

1. populações que aumentam por nascimentos e decrescem por mortes;

2. populações que aumentam por imigração e diminuem por emigração;

3. populações cujo tamanho varia por mudanças de características, e

4. variações que combinam fatores destas anteriores.

No exemplo da tarântula, a população inicial de 500 aranhas pode produzir 400 novas aranhas durante o ano e perder 100 aranhas adultas, sem movimento de indivíduos. Alternativamente, podemos ter 50 nascimentos e 50 mortes, com 300 emigrações e 600 imigrações de outras populações. Ambas as situações levam-nos a um aumento de 300 aranhas.

Podemos expressar matematicamente tal crescimento populacional da seguinte maneira:

Nt+1=Nt+B-D+I-E ,

onde Nt representa a população no tempo (discreto) t, B representa o número de nascimentos por unidade de tempo, D o número de mortes nesse período, I o numero de imigrações e E o número de emigrações em um intervalo de tempo de t a t+1.

Estamos interessados na variação do tamanho da população ∆ N que é dada por:

EIDBNNN tt −+−=−=∆ + 1

Para simplificar, assumiremos que nossa população é fechada, isto é, não há movimento entre indivíduos de outras populações: I=E=0.

Assim

DBN −=∆ .

Também assumiremos que a população estudada está crescendo suavemente, de maneira que nascimentos e mortes ocorrem de linearmente e, portanto contínua. Para o exemplo da tarântula, lembramos que a população cresce 300 aranhas em um ano e, consequentemente a população cresce 150 aranhas em

147

6 meses. E, se contarmos a população após 2 dias, encontraremos (2/365).300=1,64384 aranhas a mais! Em outras palavras, o período de tempo não pode – para esta expressão usada na modelagem – ser demasiado pequeno em função do tipo de reprodução.

Observa-se assim que o crescimento perfeitamente contínuo não existe, porque não há reprodução com valores fracionários. Entretanto, o crescimento populacional de organismos longevos (duradouros) e em número de indivíduos suficientemente alto pode ser aproximadamente descrito como sendo contínuo. Matematicamente isto nos permite descrever crescimento de populações como uma equação diferencial em vez de uma equação de diferenças (estas, mais adequadas, inclusive, a reproduções sazonais). Então, o crescimento de uma população é medido como a variação no tamanho da população dN durante um intervalo muito pequeno de tempo dt:

DBdtdN −= .

Uma vez que, na equação diferencial, estamos considerando variações infinitesimais da população, necessitamos obter mais informações sobre os parâmetros B e D durante o intervalo de tempo dt. Uma questão fundamental é determinarmos quais fatores interferem nos nascimentos B e nas mortes D. Inicialmente, analisaremos os nascimentos os quais certamente dependem do tamanho da população.

Se cada fêmea produz o mesmo número (em média, evidentemente!) de crias durante um curto intervalo de tempo, o número de nascimentos em uma população será diretamente proporcional ao número de fêmeas ou, considerando a proporção funcional de fêmeas na população como sendo ½ da população, proporcional ao tamanho dessa população. Denotando por b a taxa de nascimentos por indivíduo por unidade de tempo, decorrido um curto intervalo de tempo, o número de nascimentos em uma população é o produto entre a razão de nascimentos e o tamanho da população:

B=bN.

Similarmente, podemos definir a taxa de mortes d, cuja unidade é o número de mortes por indivíduo por unidade de tempo. Neste caso, o produto da taxa de mortes pelo tamanho da população nos dá o número de mortes durante o intervalo estudado:

D=dN.

Assim,

N)db(dtdN −= .

Fazendo-se b-d = r, a taxa instantânea de crescimento está dada por:

rNdtdN = .

148

Uma questão importante é sabermos quando a população permanecerá estacionária, ou seja, quando

0=dtdN

,

isto significando que uma população nunca crescerá ou decrescerá quando a taxa de crescimento for igual a zero – e isto ocorre se r = b – d = 0, ou a taxa de natalidade é igual à da mortalidade.

Nos demais casos a população cresce exponencialmente para r > 0, ou decresce exponencialmente para r < 0, pois, como já vimos:

rteNNrNdtdN

0=⇔= .

É importante salientar que estas equações não são sempre aplicáveis no mundo real. Em alguns casos, o número de nascimentos não depende do atual tamanho da população. Por exemplo, numa população de plantas, sementes permanecem dormentes no solo por vários anos em um banco de sementes. Conseqüentemente, o número de nascimentos pode refletir a estrutura da população de plantas em anos anteriores. Um modelo para tal população incluiria um atraso de tempo porque a razão de crescimento atualmente depende do tamanho da população há muito tempo atrás. Por outro lado, para populações de países, é precisamente este tipo de informação que caracteriza o crescimento. É precisamente o parâmetro r que é usado pelo IBGE para descrever o que ocorre no Brasil ou em suas regiões, por exemplo.

Quando a população de uma espécie se ressente de faltas em função do crescimento populacional (faltam espaço, alimento, condições de reprodução...), um modelo matemático que pode descrever um impedimento ao crescimento populacional é dado pela equação dita logística:

−=

2

1kNrN

dtdN

,

onde k, que é usado aqui como coeficiente de restrição de espaço, é denominado de capacidade de suporte (representando a máxima população que aquele meio em que vive a população consegue manter e sustentar – e que é inversamente proporcional ao crescimento da população). De certa forma, este termo representa a competição de indivíduos da mesma espécie por alimento e espaço no meio: se houver indivíduos demais, morrem mais, também. De certa forma, tem-se ainda a taxa intrínseca de reprodução r, e um fator de aumento de mortalidade, que depende do tamanho da própria população.

A obtenção de N, por ser de difícil solução algébrica, será apresentada graficamente a seguir, utilizando-se o software Populus. No ensaio exibido, N(0)=100, o período analisado é o intervalo de 0<t≤100 e os coeficientes são r=0,01 e k=5,2.

149

Podemos observar que há um decrescimento exponencial nos primeiros 10 anos e que a população decresce para um valor que o meio em que ela vive a consegue manter Um comportamento semelhante seria obtido se a população inicial fosse, por exemplo, de N(0)=1. Neste caso a população N iria aumentar para 5,2, precisamente a capacidade de suporte desse meio.

13.2. Modelos de interações competitivas

Nem sempre, porém, espécies sobrevivem sozinhas num meio e a modelagem deve levar em conta a interação entre duas ou mais espécies. A seguir faremos uma descrição dos tipos de interações competitivas e, em alguns casos, a solução gráfica dos modelos que a representam.

No estudo de crescimento populacional, um dos fatores de interferência é o de interação competitiva, isto é, é aquela para a qual duas espécies se influenciam negativamente nas respectivas razões de crescimento, diminuindo assim mutuamente a velocidade de crescimento de cada uma das populações.

Em alguns casos, as populações de uma mesma espécie sofrem competição de destruição. Isto ocorre quando populações dizimam uma à outra na disputa por recursos, seja em alimento, nutrientes, ou mesmo espaço. Como exemplo, temos populações de peixes que procuram ou se alimentam do mesmo tipo de alga – e no mesmo local, ou, também plantas que competem que competem entre si por um mesmo suprimento limitado de água.

A competição de interferência ocorre quando um indivíduo ou população age no sentido de reduzir a exploração eficiente de outro indivíduo ou população. Como exemplo, citamos os pássaros canoros que mantêm um território bem estabelecido de procriação, e colônias de formigas que matam invasores para comer.

150

Ainda, com relação a competições, podemos classificá-las em:

a) Competição intraespecífica: ocorre entre membros de uma mesma espécie.

b) Competição interespecífica: ocorre entre duas ou mais espécies diferentes.

Tais competições podem ser representadas através dos seguintes modelos:

a) Competição intraespecífica: Para Lotka-Volterra:

N)bNa()bNaN(dtdN −=−= 2

,

onde a é o fator de crescimento de N (ou, como indicado acima, sua taxa intrínseca de crescimento), bN é a “influência ruim” – a mortalidade causada pela disputa do convívio, e o fator NN representa o convívio entre os indivíduos da mesma espécie. Utilizando o software Populus podemos ver o desenvolvimento de uma competição intraespecífica, no decorrer de um período de 0 a 100.

b) Competição interespecífica: Para duas populações distintas, N=N(t) e

P=P(t), temos:

−=−=

−=−=

P)bNa()vPNuP(dtdP

N)bPa()bPNaN(dtdN

,

onde, na primeira equação, bP é a “influência ruim”causada pela presença da população P sobre a espécie competidora, N. Por outro lado, se a influência, em vez de descrever a competição, descrever o mutualismo isto é , se abordar uma cooperação positiva, como no caso da presa em relação a um predador, teremos:

N)bPa()bPNaN(dtdN +=+=

Pode-se observar que o termo +bPN faz aumentar a velocidade com que cresce a

população N=N(t), contribuindo positivamente para .dtdN

151

13.3. Soluções de equilíbrio

Em uma dada população N(t) os seus pontos críticos, ou seja, pontos para os quais N’(t)=0, algumas vezes são denominados soluções ou estado de equilíbrio. Em tais pontos N(t) pode eventualmente apresentar um valor máximo ou mínimo, conforme as figuras a seguir.

Fig. a Fig. b

Alguns fatores podem influenciar ou perturbar uma dada solução de equilíbrio e desejamos analisar as conseqüências dessa perturbação sobre o nosso sistema, isto é, se a tendência dessa população é de voltar ao seu estado de equilíbrio (fig. a) ou dele se afastar para não mais retornar (fig.b).

Pontos como aqueles da Fig. a são denominados pontos estáveis ou atratores e da Fig. b, pontos instáveis ou repulsores.

Iremos em seguida analisar graficamente o comportamento de duas espécies em competição com respeito à estabilidade de seus pontos de equilíbrio.

Consideremos agora duas espécies P e Q em competição interespecífica, dada pelo sistema:

−=

−=

dPQcQdtdQ

bPQaPdtdP

.

Os pontos de equilíbrio são obtidos de:

152

0=dtdP

e 0dtdQ = .

153

Resulta então:

( )

( )

==⇒=−

==⇒=−

00

00

QoudcPQdPc

PoubaQPbQa

Assim, da primeira equação temos que a solução de equilíbrio de Q ocorre quando Q = a/b(constante).e seu crescimento quando dP/dt>0, isto é,

a/bQ0bQ-a0bQ)P-(a <⇔>⇔> .

Da segunda equação a solução de equilíbrio de P ocorre quando P = c/d(constante) e seu crescimento quando dQ/dt>0, isto é,

/dcP0dP-c0dP)Q-(c <⇔>⇔> .

Graficamente temos:

Solução de equilíbrio para Q Solução de equilíbrio para P

→ = crescimento de P← = decrescimento de P

↑ = crescimento de Q↓ = decrescimento de Q

Visualizando os gráficos simultaneamente e tomando a resultante dos vetores que se formaram, temos:

Observemos que, neste caso, o ponto (c/d, a/b) será sempre repulsor!Uma outra situação nos é dada num modelo presa-predador: iremos

considerar as presas P como pescadinhas e iremos supor que Q são tubarões. Neste caso, o sistema está dado por:

−+=

−−=

Q)sQrPc(dtdQ

P)eQbPa(dtdP

.

Na primeira equação, -bP representa as mortes das pescadinhas numa competição umas contra as outras enquanto que o termo -eQ refere-se às mortes de pescadinhas por efeito de ações predatórias dos tubarões. Na segunda equação, +rP representa a contribuição positiva do alimento em forma de pescadinhas para os tubarões e -sQ está representando as mortes dos tubarões por competição dentro da espécie.

Os pontos de equilíbrio são obtidos de se igualar ambas as equações a zero:

154

+=⇔=−+=⇔=−+=

−=⇔=−−=⇔=−−=

Psr

scQsQrPcouQQ)sQrPc(

dtdQ

Peb

eaQeQbPaouPP)eQbPa(

dtdP

000

000.

Estas duas equações, aliás duas retas, representam regiões em que, respectivamente, dP/dt e dQ/dt são nulas. Além disto:

+<⇔>−+⇔>−+=

−<⇔>−−⇔>−−=

Psr

scQsQrPcQ)sQrPc(

dtdQ

Peb

eaQeQbPaP)eQbPa(

dtdP

00

00.

A solução de equilíbrio é dada graficamente por:

Observe-se que o ponto de interseção das duas retas é o ponto de equilíbrio estável de presas e predadores.

Outras possibilidades para a localização destas retas no plano P,Q, ou seja, para os pontos de interseção das retas com o eixo das ordenadas, a/e e c/s, são:

N c/s é atrator. interseção é atratora. a/b é atrator.

TABELA DE INTEGRAIS

155

1. ∫ += ckxkdx

2. c

1nxdxx

1nn +

+=

+

∫ )( 1n −≠

3. cxdx

x+=∫ ln1

, 0X ≠

4. cedxe xx +=∫5. ca

adxa xx +=∫ .

ln1

)1,0( ≠> aa

6. ∫ +−= cxxxxdx lnln

7.

∫ ∫−= vduuvudv

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