potencial elétrico

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson [email protected] Última atualização: 30/08/2005 13:21 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 3

Capítulo 30 - Potencial Elétrico

Problemas

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

Problemas Resolvidos 04. As cargas mostradas na Fig. 26 estão fixas no espaço. Encontre o valor da distância x tal que a

energia potencial elétrica do sistema seja nula.

(Pág. 72)

Solução. Considere o esquema abaixo:

q1 q2 q3d x

Energia potencial elétrica nula:

0

1 04

i j

i j ij

q qU

rπε<

= =∑

1 3 2 31 2

0 12 13 23

1 04

q q q qq qr r rπε

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 3 2 31 2 0q q q qq qd x d x

+ + =+

( )21 2 1 2 1 3 2 3 2 3 0q q x q q q q q q x q q d+ + + + = (1)

Raízes de (1): 1 0,07823 cmx = −

2 0, 20514 cmx =

Como x é uma distância, deve ser maior do que zero. Logo: 20,5 cmx ≈

[Início] 38. Uma quantidade total de carga positiva Q é espalhada sobre um anel circular plano de raio

interno a e raio externo b. A carga é distribuída de modo que a densidade de carga (carga por unidade de área) é dada por σ = k/r3, onde r é a distância desde o centro do anel a qualquer ponto deste. Mostre que o potencial no centro do anel é dado por

08

Q a bVabπε+⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

(Pág. 75) Solução. Considere o esquema abaixo:

________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 30 – Potencial Elétrico

2


Qq

a

b

dθ

rdθ dr

dq

Elemento de carga no anel:

3

dq kdA r

σ = =

3

dq krdrd rθ

=

2

kdrddqrθ

= (1)

Carga total no anel:

(2) Q d= ∫ q

Substituindo-se (1) em (2):

2

20

b

a

d drQ dq kr

π θ= =∫ ∫ ∫

1 12Q ka b

π ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Potencial elétrico no centro do anel:

0

14

dqdVrπε

=

0

14

dqV dVrπε

= =∫ ∫ (3)


2

3004

b

a

k dVr

π drθπε

= ∫ ∫

2 20

1 14kV

a bε⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

0

1 1 1 1 24 2kV

a b a bπ

ε π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= − + ×⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

0

1 1 1 1 128

V ka b a b

ππε

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛= − +⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦⎞⎟⎠

O termo entre colchetes é a carga total Q:

0

1 18

QVa bπε

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠


3


[Início] 51. Em um bastão fino de comprimento L, que está sobre o eixo x, com uma extremidade na origem

(x = 0), como na Fig. 42, está distribuída uma carga por unidade de comprimento dada por λ = kx, sendo k uma constante. (a) Considerando nulo o potencial eletrostático no infinito, determine V no ponto P do eixo y. (b) Determine a componente vertical Ey do campo elétrico em P, utilizando o resultado de (a) e também por cálculo direto. (c) Por que a componente horizontal Ex do campo elétrico em P não pode ser encontrada usando o resultado de (a)? A que distância do bastão, ao longo do eixo y, o potencial é igual à metade do seu valor na extremidade esquerda do bastão?

(Pág. 76)

Solução. Considere o esquema abaixo:

dx x

ydE

θ

θ

ry

x

dq

P

(a) Elemento de potencial (dV) gerado pelo elemento de carga (dq):

( )1/ 22 2

0 0

1 14 4

dq dqdVr y xπε πε

= =+

(1)

Elemento de carga (dq):

dq kxdx

λ = =

(2) dq kxdx=


( )1/ 22 2

04k xdxdV

y xπε=

+

( )1/ 20 2 2

04Lk xdxV dV

y xπε= =

+∫ ∫


4


( )1/ 22 2

004

LkV y xπε

= +

( )1/ 22 2

04kV y Lπε

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦y−

(b)

( )1/ 22 2

04yV kE yy y πε

L y⎧ ⎫∂ ∂ ⎡ ⎤= − = − + −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦∂ ∂ ⎩ ⎭

( ) 1/ 22 2

0

1 .2 14 2y

kE y Lπε

−⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦y

( )1/ 22 2

0

14y

k yEy Lπε

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥+⎣ ⎦

Cálculo direto de V sen cosd dE dEθ θ= − +E i j (3) Módulo do elemento de campo elétrico:

20

14

dqdErπε

= (4)


2 204

k xdxdEy xπε

=+

(5)

Senos e cossenos de θ:

( )1/ 22 2

sen x

y xθ =

+ (7)

( )1/ 22 2

cos y

y xθ =

+ (8)

Substituindo-se (5), (6) e (7) em (3):

( ) ( )

2

3/ 2 3/ 22 2 2 20 04 4

k x dx ky xdxdy x y xπε πε

= − ++ +

E i j

( ) ( )

2

3/ 2 3/ 20 02 2 2 20 04 4

L Lk x dx ky xdxdy x y xπε πε

= = − ++ +

∫ ∫ ∫E E i j

( )

( ) ( )

1/ 22 2

1/ 2 1/ 22 2 2 20 0

ln 14 4

L L yk L kyy y L y Lπε πε

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡+ +⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢= − − + −⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢+ +⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭

E i y ⎤⎥⎥⎦

j

Nesta expressão, pode-se ver que :

( )1/ 22 2

0

14y

k yEy Lπε

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥+⎣ ⎦


5


(c) Não há dependência de V em relação a x na resposta do item (a). (d) Potencial na extremidade esquerda do bastão, usando a resposta do item (a), com y = 0:

( )1/ 22 2(0)

0 0

0 04 4

k kV L Lπε π

⎡ ⎤= + − =⎢ ⎥⎣ ⎦ ε

Valor de y para o qual V(y) = V(0)/2:

(0)( )

02 8y

V kLVπε

= =

( )1/ 22 2

0 04 8k ky L y Lπε π

⎡ ⎤+ − =⎢ ⎥⎣ ⎦ ε

( )1/ 22 2

2Ly L y+ − =

34Ly =

[Início]


6

potencial elétrico

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