aula 4: o potencial elétrico
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F328 – 1S2014 1
Curso de Física Geral III F-328
1º semestre, 2014
Aula 4: O Potencial Elétrico
1
Potencial elétrico
Como podemos relacionar a noção de força elétrica com os conceitos de energia e trabalho?
Definindo a energia potencial elétrica
(Força elétrica conservativa)
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Energia potencial elétrica (U)
Analogia gravitacional
No caso de forças conservativas (como o nosso)
EhqldrEqWUUf
i
r
rif 00 )( =⋅−=−=− ∫
!
!
!!!
onde U é a energia potencial associada ao campo da força gravitacional mg.
,. mghldgmWUUf
iif =−=−=− ∫
!!
No caso eletrostático, como EqF!!
0=
, o resultado desta integral não depende do caminho de integração, mas apenas dos pontos inicial e final.
if hhh −=
fh
ih
Note que
q0
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∫∝
⋅−=r
sdEqrU!
!!!0)(
Se a força é devida a uma distribuição finita de cargas, convém tomar como a configuração de referência tal que
∞→|| ir!
0=iU
Com isto, podemos definir a função energia potencial : )(rU !
Ou seja, é o negativo do trabalho realizado pela força do campo elétrico sobre a partícula com carga para trazê-la desde o infinito até . (Unidade SI: J = Nm)
)(rU !
r!0q
)(rF !!
C
ir!
fr!
Q
sd!
i
f
Energia potencial elétrica (U)
4
y
z
x
q0
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Potencial elétrico (V) É a energia potencial por unidade de carga:
0qUV ≡
0qUV Δ≡Δ
Note que o potencial elétrico só depende do campo elétrico da distribuição de cargas e não depende de . Unidade SI: joule/coulomb = J/C = volt (V)
Unidade de energia conveniente para cargas elementares: 1eV = elétron-volt= 1,6 x 10-19 J
Potencial em função do campo:
∫ ⋅−=−=Δf
i
r
rif ldrEVVV
!
!
!"! )(
Se escolhermos o infinito como referência:
∫∝
⋅−=r
ldrErV!
!"!! )()(
0q
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Potencial elétrico V de um campo uniforme
)a )b
)a
)b
EdVV if −=−
EdVV if −=− Vemos que o resultado não depende do caminho da integração. Portanto, para se calcular V, pode-se sempre escolher o caminho mais simples.
E!
E!
i f
E!
ld!
ld!
ld!
E!
∫ ⋅−=−f
i
r
rif ldrEVV
!
!
!"! )(
(Vi >Vf )
O campo elétrico aponta sempre no sentido de potenciais decrescentes.
E!
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Superfícies equipotenciais Superfícies equipotenciais
São superfícies em que todos os pontos têm o mesmo potencial.
?e,, IVIIIIII =WWWW
As linhas de são perpendiculares às superfícies equipotenciais. Por quê?
E!
E! E
!E!
E!
Campo uniforme Carga positiva Dipolo elétrico
Um deslocamento ao longo de uma equipotencial não requer trabalho ( )0=⋅ ldE!!
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V de uma carga puntiforme
∫ ⋅−=−f
i
r
rif ldrEVV
!
!
!"! )(
rrq
E ˆ41
20πε
=!
Escolhendo :
∝→= rVi para0
=′′=⋅−= ∫∫∝
∝ r
r
rdrEldrErV )()()(!!"
rqrV04
)(πε
=Ou:
E!
ld!
drrq
r2
041
∫∝
=πε
)(rV
Carga + Carga -
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U de uma carga puntiforme
Equivalente ao trabalho executado por um agente externo para trazer as duas cargas do infinito até uma distância r.
E!
ld!
rqqVqU 0
00 4
1πε
==
Energia potencial de uma carga q0 ao redor de q
9
?0=qU
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∑∑ −==
i i
i
ii rr
qrVrV||4
)()(0
!!!!
πε
||4)(
0 i
ii rr
qrV !!!
−=
πε
V de um sistema de cargas puntiformes
Potencial no ponto P devido a cada carga :
Princípio de superposição:
10
-
- -
-
-
+
+
+
+
x
y
z
r!ir!
irr !! − P
iqiq
(soma escalar!)
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Exemplos
nC121 =q
nC242 −=q nC313 =q nC174 =q
?=PV
Sistema de cargas puntiformes (V)
12 eq ×−=
ReVC0412πε−=
0!!
=CE
m3,1=d
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U de um sistema de cargas puntiformes U é o trabalho executado por um agente externo para trazer todas as cargas do infinito até a configuração desejada. Dada a energia potencial elétrica entre cada par de cargas
||4 0 ji
jiij rr
qqU !! −
=πε
temos que:
qq =1qq 42 −=qq 23 =
dqW0
2
410πε
−=
,
∑≠
=jiji ij
ji
rqq
U, 042
1πε
Se U > 0: cargas livres (trabalho para uni-las); Se U < 0: cargas ligadas (trabalho para separá-las)
Fator : Contar só uma vez cada par de carga, isto é: Uij = Uji
21
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Sistema de cargas puntiformes (U) Dado que energia potencial elétrica entre cada par de cargas é dada por:
||4 0 ji
jiij rr
qqU !! −
=πε
temos que a energia do sistema de cargas é:
,
A generalização para uma distribuição contínua de cargas com densidade é:
( ) ( )12
U r V r dvρ ′ ′ ′= ∫( )rρ ′
,
onde é o potencial na posição da carga i. )( irV!
)(21
41
21
421
0, 0i
ii
i ij ij
ji
jiji ij
ji rVqrq
qrqq
U !∑∑ ∑∑ =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==
≠≠
πεπε
ijU
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)(0)(0
0
44
||4
)()(
−+
−=
−=
=
∑
∑
rq
rq
rrq
rVrV
i i
i
ii
πεπε
πε !!
!!
30
20 44cos)(
rrp
rprV
πεπεθ !!
! ⋅==
Dipolo elétrico (r >> d)
θcos)()( drr ≈− +−
2)()( rrr ≈+−
⇒>> dr
)( qdp =!
p!
Momento de dipolo elétrico
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Distribuição contínua finita de cargas
• V = 0 no infinito • Válido somente para distribuição finita de cargas
15
z
x
∫ ′−′
=)ou,( 0 ||
)(41)(
LSVrrrdqrV !!!
!πε
),( rrdV ′!!r ′!
rr ′− !!
r!
P)(rdq ′!
y
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Distribuições contínuas de carga
Potencial de uma linha finita de carga )( dxdq λ=
∫ +=
L
dxdxV
022
041 λπε
∫=)ou,( 041)(
LSV rdqrV
πε!
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ++=ddLLV22
0
ln4πελ
L
d
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b) disco (raio a e densidade )
Distribuições contínuas de carga
Potencial de um anel e de um disco carregados
σ
|)|(2
)( 22
0
xaxxV −+=εσ
2204
1)(xa
dqPdV+
=πε 22
041)(
xaqxV+
=πε
a) anel (raio a e carga q)
drrdqxr
dqPdV πσπε
2;|4
1)(22
0
=+
=
∫ +=
a
xrrdrxV
022
0
241)( πσπε
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Campo a partir do potencial V
dsdVE −=θcos
sVsVEs ˆ⋅∇−=∂∂−=
!
duas superfícies equipotenciais
Trabalho sobre ao se deslocar entre duas equipotenciais: dsEqsdEqdVqdW θcos. 000 ==−= !!
Como é a componente de na direção de :
θcosEsd!
E!
Isto é, a componente de em qualquer direção é o negativo da taxa de variação do potencial com a distância naquela direção ( derivada direcional) .
E!
VE ∇−=!!
Generalizando:
0q
E!
sd!
E!
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Dedução alternativa
∫−=−f
i
r
rif ldrEVV
!
!
!"! .)( ldEdV!!
.−= (1)
Sejam, em coordenadas cartesianas:
),,(ˆˆˆ
zyxVVkEjEiEE zyx
=++=
!
Então: dz
zVdy
yVdx
xVdV
dzEdyEdxEldE zyx
∂∂+
∂∂+
∂∂=
++=!!
.
Por (1):
zVE
yVE
xVE zyx ∂
∂−=∂∂−=
∂∂−= ;;
Como VE ∇−=!!
kzVj
yVi
xV ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=V∇
!
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O campo a partir de V
Campo de um disco uniformemente carregado
VE ∇−=!!
xax
xxxxE ˆ||2
)(22
0⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−=
εσ!
Neste caso, somente. Então: )(xVV =
dxdVEx −=
Derivando V , obtemos:
Vimos:
(resultado já conhecido!)
|)|(2
)( 22
0
xaxxV −+=εσ
E!
E!
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Sim, pois dentro do condutor 0!!
=E
Potencial de um condutor isolado Os pontos dentro e na superfície de um condutor qualquer estão ao mesmo potencial?
Consequências para um condutor isolado, carregado ou não : • O volume é equipotencial • A superfície é uma equipotencial
0!!
=E
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Um condutor carregado isolado
∫ ⋅−=−f
i
r
rif rdrEVV
!
!
!!! )(
VE ∇−=!!
Condutor esférico (carga Q, raio R)
, r > R (fora)
, r < R (dentro)
Sendo i e f dois pontos dentro de um condutor qualquer:
∫ =⋅−=−f
iif rdrEVV 0)( !!!
condutor. 0!!
=E
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
RQr
Q
rV
0
0
4
4)(
πε
πε
Note que: (ou )
rVEr ∂∂−=
, pois dentro do f i
E!
0!!
=E
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Distribuição das cargas em um condutor Excluindo-se os condutores esféricos, a carga de um condutor não se distribui uniformemente sobre sua superfície, mas vai depender do raio de curvatura local. Sejam duas esferas condutoras carregadas, ligadas por um fio condutor muito longo. Como estão ao mesmo potencial V:
2
1
2
1
20
2
10
1
44 RR
Rq
RqV =⇒==
πεπεAgora:
1
221
22
2
121
22
2
1222
211
2
1
4/4/
RR
RR
RR
RR
RqRq ====
ππ
σσ
Então, é inversamente proporcional ao raio de curvatura local. Em pontos onde o condutor é mais “pontiagudo”, a densidade de cargas (e, portanto, o campo elétrico) é maior. Este campo pode ser suficiente para ionizar o ar em volta da ponta, tornando-o condutor e permitindo uma descarga (descarga corona).
σ
(1)
(1) fio longo
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Resumo
• Potencial elétrico em um ponto:
• Diferença de potencial entre dois pontos:
• As linhas de campo elétrico são perpendiculares às superfícies equipotenciais e no sentido dos potenciais decrescentes
• Cálculo do campo elétrico a partir do potencial:
• Os pontos dentro e na superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático estão no mesmo potencial.
VE ∇−=!!
∫ ⋅−=−=Δf
i
r
rif ldrEVVV
!
!
!"! )(
0qUV ≡
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Os exercícios sobre Potencial elétrico estão na página da disciplina : (http://www.ifi.unicamp.br). Consultar: Graduação ! Disciplinas ! F 328 Física Geral III
Lista de exercícios do capítulo 24
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Aulas gravadas: http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
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