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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano

ExemplosDipolos Elétricos

Aula de Física II - Potencial Elétrico

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes

([email protected])

Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ

Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação

17 de novembro de 2010

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física II - Potencial Elétrico

Campos Conservativos

Seja um caminho qualquer C entre dois pontos P e Q, orientado de

P para Q. Logo, o trabalho exercido por uma força ~F ao longo

deste caminho é denido por:

W(C)P→Q =

~F ∗ ~dl (1)

onde o elemento de linha ~dl tem a orientação de C. Em particular,

se C é a trajetória descrita por uma partícula de massa m, com

velocidade ~v sob a ação de ~F , temos:

W(C)P→Q = T2 − T1 =

2m(~v22 − ~v21 ) (2)

Se ~F é uma força central, então (1) ca:

W(C)P→Q =

~F ∗ ~dl (1)

W(C)P→Q = T2 − T1 =

2m(~v22 − ~v21 ) (2)

W(C)P→Q =

~F ∗ ~dl (1)

W(C)P→Q = T2 − T1 =

2m(~v22 − ~v21 ) (2)

W(C)P→Q =

~F ∗ ~dl (1)

W(C)P→Q = T2 − T1 =

2m(~v22 − ~v21 ) (2)

W(C)P→Q =

~F ∗ ~dl (1)

W(C)P→Q = T2 − T1 =

2m(~v22 − ~v21 ) (2)

W(C)P→Q =

~F ∗ ~dl (1)

W(C)P→Q = T2 − T1 =

2m(~v22 − ~v21 ) (2)

Se ~F é uma força central, então (1) ca:Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física II - Potencial Elétrico

W(C)P→Q =

F (r)r ∗ ~dl =

r2∫r1

F (r)dr (3)

onde r é o versor da direção radial, com origem no centro de forças,

o que não depende do caminho C, e sim, dos pontos inicial e nal.

Podemos escrever:

r2∫r1

F (r)dr = −[U(r2)− U(r1)] (4)

onde U(r) ≡ −r∫r0

F (r ′)dr ′, com r0 arbitrariamente escolhido tal que

U = 0. Assim, (2) e (4) resultam em T1 + U1 = T2 + U2 = E , que

exprimem a conservação de energia do movimento, e a força dada

em (3) é dita conservativa.

W(C)P→Q =

F (r)r ∗ ~dl =

r2∫r1

F (r)dr (3)

Podemos escrever:

r2∫r1

F (r)dr = −[U(r2)− U(r1)] (4)

W(C)P→Q =

F (r)r ∗ ~dl =

r2∫r1

F (r)dr (3)

Podemos escrever:

r2∫r1

F (r)dr = −[U(r2)− U(r1)] (4)

W(C)P→Q =

F (r)r ∗ ~dl =

r2∫r1

F (r)dr (3)

Podemos escrever:

r2∫r1

F (r)dr = −[U(r2)− U(r1)] (4)

em (3) é dita conservativa.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física II - Potencial Elétrico

Por (1) e (4), podemos escrever:

~F ∗ ~dl = −dU = −(∂U

∂xdx +

∂ydy +

∂zdz

o que também pode ser escrito como:

~F = −~∇U = −(∂U

∂xi +

∂yj +

O gradiente funciona como uma "derivada tridimensional"de uma

função escalar. Projetando-a sobre uma direção de versor s,

obtemos a derivada direcional na direção s:

∂s= s ∗ ~∇U (7)

~F ∗ ~dl = −dU = −(∂U

∂xdx +

∂ydy +

∂zdz

~F = −~∇U = −(∂U

∂xi +

∂yj +

∂s= s ∗ ~∇U (7)

~F ∗ ~dl = −dU = −(∂U

∂xdx +

∂ydy +

∂zdz

~F = −~∇U = −(∂U

∂xi +

∂yj +

∂s= s ∗ ~∇U (7)

~F ∗ ~dl = −dU = −(∂U

∂xdx +

∂ydy +

∂zdz

~F = −~∇U = −(∂U

∂xi +

∂yj +

∂s= s ∗ ~∇U (7)

~F ∗ ~dl = −dU = −(∂U

∂xdx +

∂ydy +

∂zdz

~F = −~∇U = −(∂U

∂xi +

∂yj +

∂s= s ∗ ~∇U (7)

~F ∗ ~dl = −dU = −(∂U

∂xdx +

∂ydy +

∂zdz

~F = −~∇U = −(∂U

∂xi +

∂yj +

∂s= s ∗ ~∇U (7)

Uma superfície em que U é constante é dita superfície

equipotencial. Se ~dl é um deslocamento sobre uma superfície

equipotencial, então:

dU = ~∇U ∗ ~dl = 0 (8)

Logo, as linhas de força de um campo conservativo são trajetórias

ortogonais das superfícies equipotenciais deste campo. Por

exemplo, para qualquer função que só dependa de r, f(r), a equação

(7) dá:

~∇ f (r) =df

drr (9)

Em particular, ~∇ r = r , que aponta na direção em que r cresce o

mais rapidamente possível (direção radial).

dU = ~∇U ∗ ~dl = 0 (8)

(7) dá:

~∇ f (r) =df

drr (9)

dU = ~∇U ∗ ~dl = 0 (8)

(7) dá:

~∇ f (r) =df

drr (9)

dU = ~∇U ∗ ~dl = 0 (8)

(7) dá:

~∇ f (r) =df

drr (9)

dU = ~∇U ∗ ~dl = 0 (8)

(7) dá:

~∇ f (r) =df

drr (9)

O Potencial Coulombiano

O campo devido a uma carga puntiforme q na origem é:

~E (~x) =1

4πε0

|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (10)

O trabalho correspondente sobre a carga de prova, de P a Q, é

independente do caminho, e a equação (4) ca:

−Q∫

~E ∗ ~dl = V (Q)− V (P) (11)

o que dene, de forma geral, a diferença de potencial entre P e Q.

A unidade de medida do S.I. é o volt (1∨ ≡ 1J1C ).

~E (~x) =1

4πε0

|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (10)

−Q∫

~E ∗ ~dl = V (Q)− V (P) (11)

~E (~x) =1

4πε0

|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (10)

−Q∫

~E ∗ ~dl = V (Q)− V (P) (11)

~E (~x) =1

4πε0

|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (10)

−Q∫

~E ∗ ~dl = V (Q)− V (P) (11)

~E (~x) =1

4πε0

|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (10)

−Q∫

~E ∗ ~dl = V (Q)− V (P) (11)

~E (~x) =1

4πε0

|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (10)

−Q∫

~E ∗ ~dl = V (Q)− V (P) (11)

A equação (10) para uma carga puntiforme q na origem dá:

V (r2)− V (r1) = −r2∫

E (r)dr = − q

4πε0

r2∫r1

4πε0

r2− 1

Convencionando V (∞) = 0, obtemos:

V (r) = −r∫∞

~E ∗ ~dl =q

4πε0r(13)

para o potencial coulombiano de uma carga puntiforme q na

origem. O análogo de (6) para uma carga de prova é:

~E = −~∇V =⇒ ~E (r) = −dV

drr (14)

V (r2)− V (r1) = −r2∫

E (r)dr = − q

4πε0

r2∫r1

4πε0

r2− 1

V (r) = −r∫∞

~E ∗ ~dl =q

4πε0r(13)

~E = −~∇V =⇒ ~E (r) = −dV

drr (14)

V (r2)− V (r1) = −r2∫

E (r)dr = − q

4πε0

r2∫r1

4πε0

r2− 1

V (r) = −r∫∞

~E ∗ ~dl =q

4πε0r(13)

~E = −~∇V =⇒ ~E (r) = −dV

drr (14)

V (r2)− V (r1) = −r2∫

E (r)dr = − q

4πε0

r2∫r1

4πε0

r2− 1

V (r) = −r∫∞

~E ∗ ~dl =q

4πε0r(13)

~E = −~∇V =⇒ ~E (r) = −dV

drr (14)

V (r2)− V (r1) = −r2∫

E (r)dr = − q

4πε0

r2∫r1

4πε0

r2− 1

V (r) = −r∫∞

~E ∗ ~dl =q

4πε0r(13)

~E = −~∇V =⇒ ~E (r) = −dV

drr (14)

V (r2)− V (r1) = −r2∫

E (r)dr = − q

4πε0

r2∫r1

4πε0

r2− 1

V (r) = −r∫∞

~E ∗ ~dl =q

4πε0r(13)

~E = −~∇V

=⇒ ~E (r) = −dV

drr (14)

V (r2)− V (r1) = −r2∫

E (r)dr = − q

4πε0

r2∫r1

4πε0

r2− 1

V (r) = −r∫∞

~E ∗ ~dl =q

4πε0r(13)

~E = −~∇V =⇒

~E (r) = −dV

drr (14)

V (r2)− V (r1) = −r2∫

E (r)dr = − q

4πε0

r2∫r1

4πε0

r2− 1

V (r) = −r∫∞

~E ∗ ~dl =q

4πε0r(13)

~E = −~∇V =⇒ ~E (r) = −dV

drr (14)

o que recupera o campo coulombiano de (13):

~E = − q

4πε0

4πε0r2r (15)

Pelo Princípio da Superposição, para um sistema de cargas

puntiformes, podemos escrever:

V (P) =∑j

4πε0rj(16)

e para distribuições contínuas de cargas, este resultado se

generaliza para:

V (P) =1

4πε0

onde dq = λdl = σdS = ϕdV .

~E = − q

4πε0

4πε0r2r (15)

V (P) =∑j

4πε0rj(16)

generaliza para:

V (P) =1

4πε0

~E = − q

4πε0

4πε0r2r (15)

V (P) =∑j

4πε0rj(16)

generaliza para:

V (P) =1

4πε0

~E = − q

4πε0

4πε0r2r (15)

V (P) =∑j

4πε0rj(16)

generaliza para:

V (P) =1

4πε0

~E = − q

4πε0

4πε0r2r (15)

V (P) =∑j

4πε0rj(16)

generaliza para:

V (P) =1

4πε0

~E = − q

4πε0

4πε0r2r (15)

V (P) =∑j

4πε0rj(16)

generaliza para:

V (P) =1

4πε0

~E = − q

4πε0

4πε0r2r (15)

V (P) =∑j

4πε0rj(16)

generaliza para:

V (P) =1

4πε0

Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica

Anel Uniformemente Carregado

Se Q é a carga total do anel, então:

V (P) =Q

4πε0r=

4πε0(ρ2 + z2)12

V (P) =Q

4πε0r=

4πε0(ρ2 + z2)12

V (P) =Q

4πε0r=

4πε0(ρ2 + z2)12

V (P) =Q

4πε0r=

4πε0(ρ2 + z2)12

~E = −~∇V = −dV

dzz (19)

obtemos, assim:

4πε0

(ρ2 + z2)32

z (20)

que é obtido de forma bem mais simples do que seria o cálculo

direto do campo. Observe que, para pontos muitos distantes do

anel, temos:

z >> ρ =⇒ ~E =Q

4πε0z2z (21)

resultado já obtido anteriormente.

Como:~E = −~∇V = −dV

dzz (19)

obtemos, assim:

4πε0

(ρ2 + z2)32

z (20)

anel, temos:

z >> ρ =⇒ ~E =Q

4πε0z2z (21)

dzz (19)

obtemos, assim:

4πε0

(ρ2 + z2)32

z (20)

anel, temos:

z >> ρ =⇒ ~E =Q

4πε0z2z (21)

dzz (19)

obtemos, assim:

4πε0

(ρ2 + z2)32

z (20)

anel, temos:

z >> ρ =⇒ ~E =Q

4πε0z2z (21)

dzz (19)

obtemos, assim:

4πε0

(ρ2 + z2)32

z (20)

anel, temos:

z >> ρ =⇒ ~E =Q

4πε0z2z (21)

dzz (19)

obtemos, assim:

4πε0

(ρ2 + z2)32

z (20)

anel, temos:

z >> ρ

=⇒ ~E =Q

4πε0z2z (21)

dzz (19)

obtemos, assim:

4πε0

(ρ2 + z2)32

z (20)

anel, temos:

z >> ρ =⇒

4πε0z2z (21)

dzz (19)

obtemos, assim:

4πε0

(ρ2 + z2)32

z (20)

anel, temos:

z >> ρ =⇒ ~E =Q

4πε0z2z (21)

dzz (19)

obtemos, assim:

4πε0

(ρ2 + z2)32

z (20)

anel, temos:

z >> ρ =⇒ ~E =Q

4πε0z2z (21)

Disco Circular Uniformemente Carregado

Seja a o raio do disco e σ a densidade supercial de carga.

Podemos decompor o disco em anéis concêntricos de raio variável

ρ, largura innitesimal dρ e carga dQ = 2πσρ dρ. Assim:

V (z) =

4πε0(ρ2 + z2)12

ρ dρ

(ρ2 + z2)12

o que dá:

V (z) =σ

2ε0[(ρ2 + z2)

∣∣∣∣∣a

2ε0[(a2 + z2)

12 − |z |] (23)

Agora, sabendo que:

dz|z | =

+1 se z > 0

−1 se z < 0(24)

então:~E = −dV

(a2 + z2)12

|z |k (25)

V (z) =

4πε0(ρ2 + z2)12

ρ dρ

(ρ2 + z2)12

o que dá:

V (z) =σ

2ε0[(ρ2 + z2)

∣∣∣∣∣a

2ε0[(a2 + z2)

12 − |z |] (23)

Agora, sabendo que:

dz|z | =

+1 se z > 0

−1 se z < 0(24)

então:~E = −dV

(a2 + z2)12

|z |k (25)

V (z) =

4πε0(ρ2 + z2)12

ρ dρ

(ρ2 + z2)12

o que dá:

V (z) =σ

2ε0[(ρ2 + z2)

∣∣∣∣∣a

2ε0[(a2 + z2)

12 − |z |] (23)

Agora, sabendo que:

dz|z | =

+1 se z > 0

−1 se z < 0(24)

então:~E = −dV

(a2 + z2)12

|z |k (25)

V (z) =

4πε0(ρ2 + z2)12

ρ dρ

(ρ2 + z2)12

o que dá:

V (z) =σ

2ε0[(ρ2 + z2)

∣∣∣∣∣a

2ε0[(a2 + z2)

12 − |z |] (23)

Agora, sabendo que:

dz|z | =

+1 se z > 0

−1 se z < 0(24)

então:~E = −dV

(a2 + z2)12

|z |k (25)

V (z) =

4πε0(ρ2 + z2)12

ρ dρ

(ρ2 + z2)12

o que dá:

V (z) =σ

2ε0[(ρ2 + z2)

∣∣∣∣∣a

2ε0[(a2 + z2)

12 − |z |] (23)

Agora, sabendo que:

dz|z | =

+1 se z > 0

−1 se z < 0(24)

então:~E = −dV

(a2 + z2)12

|z |k (25)

V (z) =

4πε0(ρ2 + z2)12

ρ dρ

(ρ2 + z2)12

o que dá:

V (z) =σ

2ε0[(ρ2 + z2)

∣∣∣∣∣a

2ε0[(a2 + z2)

12 − |z |] (23)

Agora, sabendo que:

dz|z | =

+1 se z > 0

−1 se z < 0(24)

então:~E = −dV

(a2 + z2)12

|z |k (25)

V (z) =

4πε0(ρ2 + z2)12

ρ dρ

(ρ2 + z2)12

o que dá:

V (z) =σ

2ε0[(ρ2 + z2)

∣∣∣∣∣a

2ε0[(a2 + z2)

12 − |z |] (23)

Agora, sabendo que:

dz|z | =

+1 se z > 0

−1 se z < 0(24)

então:~E = −dV

(a2 + z2)12

|z |k (25)

V (z) =

4πε0(ρ2 + z2)12

ρ dρ

(ρ2 + z2)12

o que dá:

V (z) =σ

2ε0[(ρ2 + z2)

∣∣∣∣∣a

2ε0[(a2 + z2)

12 − |z |] (23)

Agora, sabendo que:

dz|z | =

+1 se z > 0

−1 se z < 0(24)

então:~E = −dV

(a2 + z2)12

|z |k (25)

V (z) =

4πε0(ρ2 + z2)12

ρ dρ

(ρ2 + z2)12

o que dá:

V (z) =σ

2ε0[(ρ2 + z2)

∣∣∣∣∣a

2ε0[(a2 + z2)

12 − |z |] (23)

Agora, sabendo que:

dz|z | =

+1 se z > 0

−1 se z < 0(24)

então:

~E = −dV

(a2 + z2)12

|z |k (25)

V (z) =

4πε0(ρ2 + z2)12

ρ dρ

(ρ2 + z2)12

o que dá:

V (z) =σ

2ε0[(ρ2 + z2)

∣∣∣∣∣a

2ε0[(a2 + z2)

12 − |z |] (23)

Agora, sabendo que:

dz|z | =

+1 se z > 0

−1 se z < 0(24)

então:~E = −dV

(a2 + z2)12

|z |k (25)

Cilindro Condutor Carregado

Vimos que nesse caso o campo é radial e vale:

~E =λ

2πε0ρr (26)

~E =λ

2πε0ρr (26)

~E =λ

2πε0ρr (26)

~E =λ

2πε0ρr (26)

V2 − V1 = −2∫

~E ∗ ~dl = − λ

2πε0

ρ(27)

o que dá:

V2 − V1 =λ

2πε0[ln ρ]

∣∣∣∣∣2

2πε0ln

(ρ2ρ1

Convencionando o nível zero do potencial em ρ = a, ou seja, V(a)

= 0, então:

V (ρ) = − λ

2πε0ln(ρa

V2 − V1 = −2∫

~E ∗ ~dl

= − λ

2πε0

ρ(27)

o que dá:

V2 − V1 =λ

2πε0[ln ρ]

∣∣∣∣∣2

2πε0ln

(ρ2ρ1

= 0, então:

V (ρ) = − λ

2πε0ln(ρa

V2 − V1 = −2∫

~E ∗ ~dl = − λ

2πε0

ρ(27)

o que dá:

V2 − V1 =λ

2πε0[ln ρ]

∣∣∣∣∣2

2πε0ln

(ρ2ρ1

= 0, então:

V (ρ) = − λ

2πε0ln(ρa

V2 − V1 = −2∫

~E ∗ ~dl = − λ

2πε0

ρ(27)

o que dá:

V2 − V1 =λ

2πε0[ln ρ]

∣∣∣∣∣2

2πε0ln

(ρ2ρ1

= 0, então:

V (ρ) = − λ

2πε0ln(ρa

V2 − V1 = −2∫

~E ∗ ~dl = − λ

2πε0

ρ(27)

o que dá:

V2 − V1 =λ

2πε0[ln ρ]

∣∣∣∣∣2

2πε0ln

(ρ2ρ1

= 0, então:

V (ρ) = − λ

2πε0ln(ρa

V2 − V1 = −2∫

~E ∗ ~dl = − λ

2πε0

ρ(27)

o que dá:

V2 − V1 =λ

2πε0[ln ρ]

∣∣∣∣∣2

2πε0ln

(ρ2ρ1

= 0, então:

V (ρ) = − λ

2πε0ln(ρa

V2 − V1 = −2∫

~E ∗ ~dl = − λ

2πε0

ρ(27)

o que dá:

V2 − V1 =λ

2πε0[ln ρ]

∣∣∣∣∣2

2πε0ln

(ρ2ρ1

= 0, então:

V (ρ) = − λ

2πε0ln(ρa

Casca Esférica

A carga total da camada é dada por:

∆Q = 4πR2∆Rϕ = 4πR2σ (30)

Casca Esférica

∆Q = 4πR2∆Rϕ = 4πR2σ (30)

Casca Esférica

∆Q = 4πR2∆Rϕ = 4πR2σ (30)

Casca Esférica

∆Q = 4πR2∆Rϕ = 4πR2σ (30)

Novamente é mais simples calcular V a partir de ~E , já calculado

usando a Lei de Gauss:

∆Q4πε0r2

r se r > R

0 se r < R(31)

e podemos tomar o nível zero no innito, o que dá:

V (r) = −r∫∞

E (r ′)dr ′ =∆Q

4πε0r(r ≥ R) (32)

ou seja, fora da casca, como para o campo, o potencial é o mesmo

que se toda a carga estivesse concentrada no centro.

∆Q4πε0r2

r se r > R

0 se r < R(31)

V (r) = −r∫∞

E (r ′)dr ′ =∆Q

4πε0r(r ≥ R) (32)

∆Q4πε0r2

r se r > R

0 se r < R(31)

V (r) = −r∫∞

E (r ′)dr ′ =∆Q

4πε0r(r ≥ R) (32)

∆Q4πε0r2

r se r > R

0 se r < R(31)

V (r) = −r∫∞

E (r ′)dr ′ =∆Q

4πε0r(r ≥ R) (32)

∆Q4πε0r2

r se r > R

0 se r < R(31)

V (r) = −r∫∞

E (r ′)dr ′ =∆Q

4πε0r(r ≥ R) (32)

Já para r < R , temos, como ~E = 0 dentro da casca:

V (~r) = −R∫∞

E (r ′)dr ′ =∆Q

4πε0R= V (R) (r ≤ R) (33)

ou seja, o potencial dentro da casca é constante e igual ao seu

valor na superfície dela. Gracamente, temos:

V (~r) = −R∫∞

E (r ′)dr ′ =∆Q

4πε0R= V (R) (r ≤ R) (33)

V (~r) = −R∫∞

E (r ′)dr ′ =∆Q

4πε0R= V (R) (r ≤ R) (33)

V (~r) = −R∫∞

E (r ′)dr ′ =∆Q

4πε0R= V (R) (r ≤ R) (33)

Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos

Dipolos Elétricos

Um dipolo elétrico é um par de cargas de mesma magnitude e

sinais opostos, situadas em pontos diferentes.

Assim, temos que a garga total do dipolo é nula. Se ~l é o vetor de

posição da carga positiva em relação à negativa, então o vetor~p = q~l é dito momento de dipolo elétrico.

Dipolos Elétricos

O potencial do dipolo num ponto P, então, é dado por:

V (~r) =q

4πε0

r ′− 1

Fazendo a aproximação:

r ′ = r−lcosθ =⇒ 1

r ′≈ 1

r(1− l

rcosθ

) ≈ 1

rcosθ

r+lcosθ

Substituindo em (34), obtemos:

V (~r) =ql ∗ cosθ4πε0r2

=p ∗ cosθ4πε0r2

=~p ∗ r4πε0r2

=~p ∗~r4πε0r3

V (~r) =q

4πε0

r ′− 1

r ′ = r−lcosθ =⇒ 1

r ′≈ 1

r(1− l

rcosθ

) ≈ 1

rcosθ

r+lcosθ

=~p ∗ r4πε0r2

=~p ∗~r4πε0r3

V (~r) =q

4πε0

r ′− 1

r ′ = r−lcosθ =⇒ 1

r ′≈ 1

r(1− l

rcosθ

) ≈ 1

rcosθ

r+lcosθ

=~p ∗ r4πε0r2

=~p ∗~r4πε0r3

V (~r) =q

4πε0

r ′− 1

r ′ = r−lcosθ

=⇒ 1

r ′≈ 1

r(1− l

rcosθ

) ≈ 1

rcosθ

r+lcosθ

=~p ∗ r4πε0r2

=~p ∗~r4πε0r3

V (~r) =q

4πε0

r ′− 1

r ′ = r−lcosθ =⇒

r ′≈ 1

r(1− l

rcosθ

) ≈ 1

rcosθ

r+lcosθ

=~p ∗ r4πε0r2

=~p ∗~r4πε0r3

V (~r) =q

4πε0

r ′− 1

r ′ = r−lcosθ =⇒ 1

r ′≈ 1

r(1− l

rcosθ

) ≈ 1

rcosθ

r+lcosθ

=~p ∗ r4πε0r2

=~p ∗~r4πε0r3

V (~r) =q

4πε0

r ′− 1

r ′ = r−lcosθ =⇒ 1

r ′≈ 1

r(1− l

rcosθ

) ≈ 1

rcosθ

r+lcosθ

=~p ∗ r4πε0r2

=~p ∗~r4πε0r3

V (~r) =q

4πε0

r ′− 1

r ′ = r−lcosθ =⇒ 1

r ′≈ 1

r(1− l

rcosθ

) ≈ 1

rcosθ

r+lcosθ

=~p ∗ r4πε0r2

=~p ∗~r4πε0r3

Cálculo do Campo

Como r = r(x , y , z), então (36) equivale a:

V (~r) =pz

4πε0r3(37)

E com isso, podemos calcular o campo em P:

~E = −~∇V =⇒ ~∇( z

r3~∇ z + z ~∇

r3− 3z

r3− 3k ∗ r

E como ~p = p k , obtemos, por m:

4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)

Cálculo do Campo

V (~r) =pz

4πε0r3(37)

~E = −~∇V =⇒ ~∇( z

r3~∇ z + z ~∇

r3− 3z

r3− 3k ∗ r

4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)

Cálculo do Campo

V (~r) =pz

4πε0r3(37)

~E = −~∇V =⇒ ~∇( z

r3~∇ z + z ~∇

r3− 3z

r3− 3k ∗ r

4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)

Cálculo do Campo

V (~r) =pz

4πε0r3(37)

~E = −~∇V =⇒ ~∇( z

r3~∇ z + z ~∇

r3− 3z

r3− 3k ∗ r

4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)

Cálculo do Campo

V (~r) =pz

4πε0r3(37)

~E = −~∇V

=⇒ ~∇( z

r3~∇ z + z ~∇

r3− 3z

r3− 3k ∗ r

4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)

Cálculo do Campo

V (~r) =pz

4πε0r3(37)

~E = −~∇V =⇒

~∇( z

r3~∇ z + z ~∇

r3− 3z

r3− 3k ∗ r

4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)

Cálculo do Campo

V (~r) =pz

4πε0r3(37)

~E = −~∇V =⇒ ~∇( z

r3~∇ z + z ~∇

r3− 3z

r3− 3k ∗ r

4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)

Cálculo do Campo

V (~r) =pz

4πε0r3(37)

~E = −~∇V =⇒ ~∇( z

r3~∇ z + z ~∇

r3− 3z

r3− 3k ∗ r

4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)

Cálculo do Campo

V (~r) =pz

4πε0r3(37)

~E = −~∇V =⇒ ~∇( z

r3~∇ z + z ~∇

r3− 3z

r3− 3k ∗ r

4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)

Cálculo do Campo

V (~r) =pz

4πε0r3(37)

~E = −~∇V =⇒ ~∇( z

r3~∇ z + z ~∇

r3− 3z

r3− 3k ∗ r

4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)

Em particular, para pontos do plano (x,y), temos ~p ∗ r = 0, e a

(38) ca:

~E (x , y , 0) =−~p

4πε0r3(39)

Por outro lado, para pontos ao longo de z, temos que r = k , e

assim:~E (0, 0, z) =

2πε0r3(40)

que tem sentido oposto à (39) e magnitude dupla.

(38) ca:

~E (x , y , 0) =−~p

4πε0r3(39)

assim:~E (0, 0, z) =

2πε0r3(40)

(38) ca:

~E (x , y , 0) =−~p

4πε0r3(39)

assim:

~E (0, 0, z) =~p

2πε0r3(40)

(38) ca:

~E (x , y , 0) =−~p

4πε0r3(39)

assim:~E (0, 0, z) =

2πε0r3(40)

(38) ca:

~E (x , y , 0) =−~p

4πε0r3(39)

assim:~E (0, 0, z) =

2πε0r3(40)

(38) ca:

~E (x , y , 0) =−~p

4πε0r3(39)

assim:~E (0, 0, z) =

2πε0r3(40)

Potencial de Dupla Camada

Numa dupla camada, o momento de dipolo de um elemento de

superfície orientado ~dS é dado por:

~dp = δ ~dS = δ ∗ ndS ≡ ~δdS (41)

o que dene as densidades supercial escalar e vetorial de momento

de dipolo elétrico.

~dp = δ ~dS = δ ∗ ndS ≡ ~δdS (41)

Por (36) e (41), um elemento de superfície dS da dupla camada

contribui para o potencial num ponto P com:

dV =~dp ∗ r4πε0r2

4πε0

~dS ∗ rr2

onde ~r é o vetor posição de P com origem em dS. Lembrando que:

~dS ∗ rr2

=dS ∗ cosθ

r2= dΩ (43)

é o elemento de ângulo sólido subtendido por dS em P, então , para

uma distribuição com densidade supercial δ constante sobre uma

superfície S, o potencial é dado por:

V (P) =δ

4πε0Ω =⇒

V (P+) = δ

2ε0V (P−) = − δ

=⇒ V (P+)−V (P−) =δ

4πε0

~dS ∗ rr2

=dS ∗ cosθ

r2= dΩ (43)

V (P) =δ

4πε0Ω =⇒

V (P+) = δ

2ε0V (P−) = − δ

=⇒ V (P+)−V (P−) =δ

4πε0

~dS ∗ rr2

=dS ∗ cosθ

r2= dΩ (43)

V (P) =δ

4πε0Ω =⇒

V (P+) = δ

2ε0V (P−) = − δ

=⇒ V (P+)−V (P−) =δ

4πε0

~dS ∗ rr2

=dS ∗ cosθ

r2= dΩ (43)

V (P) =δ

4πε0Ω =⇒

V (P+) = δ

2ε0V (P−) = − δ

=⇒ V (P+)−V (P−) =δ

4πε0

~dS ∗ rr2

=dS ∗ cosθ

r2= dΩ (43)

V (P) =δ

4πε0Ω =⇒

V (P+) = δ

2ε0V (P−) = − δ

=⇒ V (P+)−V (P−) =δ

4πε0

~dS ∗ rr2

=dS ∗ cosθ

r2= dΩ (43)

V (P) =δ

4πε0Ω

V (P+) = δ

2ε0V (P−) = − δ

=⇒ V (P+)−V (P−) =δ

4πε0

~dS ∗ rr2

=dS ∗ cosθ

r2= dΩ (43)

V (P) =δ

4πε0Ω =⇒

V (P+) = δ

2ε0V (P−) = − δ

=⇒ V (P+)−V (P−) =δ

4πε0

~dS ∗ rr2

=dS ∗ cosθ

r2= dΩ (43)

V (P) =δ

4πε0Ω =⇒

V (P+) = δ

2ε0V (P−) = − δ

=⇒ V (P+)−V (P−) =δ

4πε0

~dS ∗ rr2

=dS ∗ cosθ

r2= dΩ (43)

V (P) =δ

4πε0Ω =⇒

V (P+) = δ

2ε0V (P−) = − δ

V (P+)−V (P−) =δ

4πε0

~dS ∗ rr2

=dS ∗ cosθ

r2= dΩ (43)

V (P) =δ

4πε0Ω =⇒

V (P+) = δ

2ε0V (P−) = − δ

=⇒ V (P+)−V (P−) =δ

Forças e Torques Sobre Dipolos

O par de forças que atuam sobre as cargas do dipolo forma um

binário, cujo torque é dado por:

τ =~l X ~F = q~l X E = ~p X ~E (45)

que tende a fazer o dipolo girar até alinhar-se paralelamente ao

campo. Denindo como Ψ(~r) o potencial associado a ~E , então a

energia potencial do dipolo no campo ~E é:

U(~r) = q[Ψ(~r +~l)−Ψ(~r)] (46)

Supondo desprezíveis as dimensões do dipolo, podemos tratar ~lcomo um innitésimo e usar Ψ(~r +~l)−Ψ(~r) =~l ∗ ~∇Ψ. Logo:

U(~r) = q~l ∗ ~∇Ψ = −~p ∗ ~E (~r) (47)

τ =~l X ~F = q~l X E = ~p X ~E (45)

U(~r) = q[Ψ(~r +~l)−Ψ(~r)] (46)

U(~r) = q~l ∗ ~∇Ψ = −~p ∗ ~E (~r) (47)

τ =~l X ~F = q~l X E = ~p X ~E (45)

U(~r) = q[Ψ(~r +~l)−Ψ(~r)] (46)

U(~r) = q~l ∗ ~∇Ψ = −~p ∗ ~E (~r) (47)

τ =~l X ~F = q~l X E = ~p X ~E (45)

U(~r) = q[Ψ(~r +~l)−Ψ(~r)] (46)

U(~r) = q~l ∗ ~∇Ψ = −~p ∗ ~E (~r) (47)

τ =~l X ~F = q~l X E = ~p X ~E (45)

U(~r) = q[Ψ(~r +~l)−Ψ(~r)] (46)

U(~r) = q~l ∗ ~∇Ψ = −~p ∗ ~E (~r) (47)

τ =~l X ~F = q~l X E = ~p X ~E (45)

U(~r) = q[Ψ(~r +~l)−Ψ(~r)] (46)

U(~r) = q~l ∗ ~∇Ψ = −~p ∗ ~E (~r) (47)

τ =~l X ~F = q~l X E = ~p X ~E (45)

U(~r) = q[Ψ(~r +~l)−Ψ(~r)] (46)

U(~r) = q~l ∗ ~∇Ψ = −~p ∗ ~E (~r) (47)

A força resultante sobre o dipolo é ~F = −~∇U, e como num campo

uniforme ~E e ~p não dependem de ~r , então ~F = 0.

Por outro lado, se

o campo não é uniforme, temos:

U = −px Ex(~r)− py Ey (~r)− pz Ez(~r) (48)

que dá uma força não-nula sobre o dipolo:

~F = px ~∇Ex(~r) + py ~∇Ey (~r) + pz ~∇Ez(~r) (49)

ou seja:~F = ~∇(~p ∗ ~E ) (50)

uniforme ~E e ~p não dependem de ~r , então ~F = 0.Por outro lado, se

ou seja:~F = ~∇(~p ∗ ~E ) (50)

ou seja:

~F = ~∇(~p ∗ ~E ) (50)

ou seja:~F = ~∇(~p ∗ ~E ) (50)

aula de física ii - potencial elétrico · aula de física ii - potencial elétrico prof.: leandro...

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