campo e potencial elétrico numa região do espaço confinado por
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Campo e Potencial Eletrico numa Regiao do Espaco Confinada por uma
Fronteira Fractal.
Thiago Albuquerque de Assis
Campo e Potencial Eletrico numa
Regiao do Espaco Confinada por
uma Fronteira Fractal.
Thiago Albuquerque de Assis
Orientador: Prof. Dr. Caio Mario Castro de Castilho
Co-Orientadores: Prof. Dr. Fernando de Brito Mota
Prof. Dr. Jose Garcia Vivas Miranda
Dissertacao apresentada ao Instituto de Fısica da Universidade Federal da Bahia
como requisito parcial para a obtencao do grau de Mestre em Fısica.
Marco de 2007
Aos meus queridos pais Denise e Roberto e ao meu irmao Raphael.
Agradecimentos
A Deus pela sua presenca constante na minha vida, me proporcionando esta
magnıfica oportunidade de poder estudar ciencias.
A Pos-Graduacao do IF pela preocupacao notavel na minha formacao, bem
como na realizacao deste estudo.
Ao Professor Sergio Cavalcante Esperidiao (In Memorian), por ter me incenti-
vado nos estudos e objetivos.
Ao Colega Hugo de Oliveira Dias Filho (In Memorian), por ter me familiarizado
com o problema a ser solucionado no inıcio da minha carreira cientıfica.
Aos Professores David Vianna e Caio Castilho pela formacao adquirida durante
a realizacao deste trabalho.
Aos Professores Caio Castilho, Fernando de Brito, Jose Garcia, Roberto Andra-
de, Helio Silva Campos e Anderson Barbosa que viram neste trabalho uma proposta
significativa de tratar fenomenos naturais e pelo relevante auxılio na producao desta
dissertacao.
Ao Grupo de Fısica de Superfıcies e Materiais por contribuicoes significativas
na minha formacao academica.
A minha namorada Viviane, pela paciencia e compreensao em situacoes que
precisei abdicar dos momentos de lazer.
Ao Professor Paulo Bahiense por me ensinar a ensinar.
Ao Amigo Frei Paulo Avelino por buscar sempre me incentivar nos momentos
em que precisei de auxılio, durante este trabalho.
A todos os meus amigos do mestrado que souberam compartilhar comigo,
momentos de alegria e tristeza.
Resumo
Neste trabalho considera-se o comportamento do campo eletrico numa regiao
delimitada por um perfil ou por uma superfıcie com geometrias fractais, e uma linha
ou um plano distante. Entre as fronteiras e mantida uma diferenca de potencial
constante, assumindo cada uma das fronteiras como possuindo propriedades condu-
toras. A solucao da equacao de Laplace foi numericamente obtida pelo metodo de
Liebmann e os expoentes de rugosidade, bem como as dimensoes fractais das linhas
equipotenciais, foram calculados atraves dos metodos RMS e Semivariograma. Os
resultados indicam, para os calculos desenvolvidos no caso 1D+1, que para uma
determinada linha equipotencial situada entre as fronteiras, a dimensao fractal cresce
com o tamanho do comprimento do perfil, sugerindo que todas as linhas equipotenciais
devem ser caracterizadas pelo mesmo valor de dimensao fractal, para sistemas com
comprimento infinito. Calcularam-se tambem as dimensoes fractais das superfıcies
equipotenciais para condutores base com diferentes geometrias. Estas ultimas apresen-
tam uma rugosidade que decresce a medida que a distancia media da correspondente
superfıcie equipotencial ao condutor base cresce. Uma vez que as micro-irregularidades
do condutor base se refletem no comportamento do campo eletrico local, elas afetam as
trajetorias de partıculas carregadas nao interagentes sujeitas a este campo. Utilizando
os metodos de Dinamica Molecular Classica, discute-se as “informacoes”, contidas nas
trajetorias destas partıculas e nas suas grandezas dinamicas, a respeito da morfologia
da superfıcie irregular.
Parte do conteudo do Capıtulo 3 corresponde a material publicado em Journal
of Physics: Condensed Matter, 18, 3393 (2006). O conteudo do Capıtulo 4 devera ser
submetido a publicacao.
v
Abstract
In this work it was considered the behavior of the electric field in a region
bounded by a linear profile, or by a surface, with a fractal geometry and a distant
straight line or a plane. Between the boundaries it is kept a constant potential
bias, assuming both boundaries as being conducting ones. The solution for Laplace’s
equation was numerically obtained by Liebmann’s method while the rough exponents
and fractal dimensions were calculated using the RMS and Semivariogram methods.
The results indicate, for the performed calculations in 1D+1, that for a fixed equipo-
tential line between the boundaries, its fractal dimension increases with the profile size,
suggesting that all the equipotential lines should be characterized by the same fractal
dimension value, in the case of systems with an infinite size. It was also calculated
the fractal dimensions for equipotential surfaces in the case of basal conductors with
different geometries. These last present a roughness that decreases with the increase
of the average distance from the equipotential to the basal conductor. Since the
micro-irregularities of the basal conductor are reflected in the behavior of the local
electric field, they affect the trajectories of non-interagent particles under the action of
the field. Using the methodology of Classical Molecular Dynamics, it is explored the
“information”, contained within the particles trajectories and dynamical quantities,
concerning the irregular surface morphology.
Part of the content of Chapter 3 corresponds to a material published in Journal
of Physics: Condensed Matter, 18, 3393 (2006). The content of Chapter 4 will be
submitted to publication.
vi
Conteudo
1 Introducao 1
2 Alguns Aspectos a Respeito da Geometria Fractal 5
2.1 Um Breve Historico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Dimensao Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Fractais Auto-Similares e Fractais Auto-Afins. . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Metodos para Determinacao da Dimensao Fractal . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Homotetia e Dimensao Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Metodo de Contagem de Caixas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.3 Metodo RMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.4 Metodo Semivariograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.5 Analise de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Simulacao Computacional de Superfıcies Fractais . . . . . . . . . . . . 29
2.5.1 Tecnica FBM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.2 Deposicao Balıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Campo Eletrico Gerado por Fronteiras Auto-Afins 39
3.1 Equacoes Diferenciais Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Solucao Analıtica da Equacao de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Solucao Numerica em Duas Dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Discussao e Resultados (1D+1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5 Discussao e Resultados (2D+1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
vii
4 Dinamica de Partıculas Carregadas em um Campo Eletrico Irregular 70
4.1 Equacoes do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.1 Metodo Preditor-Corretor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Discussao e Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.1 Estudo do Campo Eletrico Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.2 Movimento de Partıculas nao Interagentes em um Campo Eletrico
Irregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Conclusoes e Perspectivas 99
A Caracterısticas e Propriedades de Alguns Fractais Auto-Similares 106
A.1 Conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.2 Ilha de Koch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.3 Triangulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.4 Esponja de Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
B Equacao KPZ 116
C Metodo de Liebmann 119
D Algoritmo de Verlet 125
viii
Capıtulo 1
Introducao
Atualmente ainda existem muitos problemas relacionados a Eletrostatica Clas-
sica cuja solucao nao e trivial. Entre estes esta incluıda a solucao analıtica das
equacoes de Poisson e de Laplace em regioes onde a fronteira nao e regular. Um outro
exemplo, este de utilidade pratica, diz respeito ao calculo da emissao por campo,
seja no caso de eletrons que, por tunelamento, sao emitidos a partir de extremidades
condutoras ou semicondutoras, como tambem na emissao de ıons produzidos pela
transferencia de eletrons a partir de atomos ou moleculas. Uma questao importante
nestes fenomenos diz respeito a interacao do campo eletrostatico com a superfıcie
do emissor, cuja geometria muitas vezes e irregular. Nestes casos esta interacao nao
possui uma solucao analıtica e, portanto, metodos numericos constituem a alternativa
a ser utilizada. Ignorar a exata morfologia da estrutura emissora, substituindo-a por
uma mais simples no que diz respeito ao tratamento matematico, e uma pratica
comum. Isto muitas vezes permite a determinacao da magnitude do campo ele-
trostatico produzido em uma superfıcie condutora, e daı sao estimados parametros
geometricos para os dispositivos emissores, estes as vezes possuindo uma geometria
idealizada, onde sao eliminadas rugosidades. Tais relacoes analıticas acabam por
serem capazes de tratar geometrias como elipsoides, hiperboloides superimpostos a
planos ou outras formas de suporte; enfim, um conjunto vasto de emissores cujas
geometrias apresentam protuberancias que representam as irregularidades caracterıs-
ticas da morfologia de emissores em escala nanometrica. A possibilidade de tratar
1
superfıcies irregulares e os campos na vizinhanca destas resulta assim num passo
adiante nas aproximacoes utilizadas.
Entender o campo eletrostatico e sua interacao com a materia e uma questao
de fundamental importancia em varios dispositivos. Isto pode ser exemplificado
fazendo-se uma referencia a microeletronica a vacuo, onde o cuidado com o calculo da
distribuicao do campo eletrico proximo a superfıcie emissora e essencial, possibilitando
o calculo da area de emissao e a corrente total de emissao se a funcao trabalho e
conhecida. A propria determinacao experimental da funcao trabalho requer uma
adequada consideracao a respeito do campo existente na regiao vizinha a superfıcie.
Como e possıvel constatar [1] que a emissao ocorre, essencialmente, atraves de irregu-
laridades em pequenas escalas, resultado do aumento local da intensidade do campo
eletrico, torna-se importante a determinacao de parametros geometricos para os e-
missores. Isto decorre, em ultima instancia, do fato que, experimentalmente, tem-se
controle sobre a tensao e a intensidade de corrente, nao sobre o campo ou a densidade
local de corrente, estes ultimos os fatores usualmente calculados a partir de uma
abordagem analıtica.
Na analise da morfologia de uma superfıcie torna-se essencial o conceito de
escala, usada pela Mecanica Estatıstica moderna para demonstrar os chamados com-
portamentos universais de escala, ou seja, para mostrar que sistemas, aparentemente
diferentes, apresentam um comportamento de escala comum. Existem, portanto,
certas “leis de escala” basicas e independentes de muitos detalhes desses sistemas.
Logo, a caracterizacao de sistemas atraves de expoentes globais leva a definicao de
classes de universalidade. Dois sistemas pertencem a mesma classe universal se podem
ser descritos pelos mesmos expoentes de escala [2]. Em outras palavras, este tipo de
descricao e uma tentativa de evidenciar novas ”simetrias” embutidas em sistemas
aparentemente distintos e sem qualquer lei de formacao.
De acordo com dados experimentais, as superfıcies de alguns materiais apresen-
tam auto-similaridades em certas escalas e, portanto, podem ser descritas por modelos
fractais [3] . A geometria fractal, bem como os fenomenos caoticos, tem sido, nos
ultimos anos, alvo de contınuas investigacoes em todo o mundo. As tecnicas associadas
2
a geometria fractal tem-se revelado uma ferramenta extremamente util a muitas
ciencias. Estas, que de uma forma ou de outra tratam de interfaces num universo
despovoado de formas geometricas perfeitas, estudam fenomenos onde proliferam
superfıcies irregulares. Portanto, a geometria fractal apresenta-se como um meio
de tratar alguns fenomenos ate agora considerados como erraticos, imprevisıveis e
aleatorios. Para citar alguns exemplos, existem modelos fractais para tratamento
da deposicao de filmes finos por MBE (Molecular Beam Epitaxy), por Vaporizacao
Catodica (Sputtering) [4] e outras tecnicas. O interesse por fractais nessa area foi
impulsionado ainda pela possibilidade de se analisar superfıcies utilizando microscopios
de alta resolucao, como AFM (Atomic Force Microscope) e STM (Scanning Tunnelig
Microscope) [5], capazes de identificar formacoes em escala atomica.
No caso de superfıcies, um conceito relevante e a medida de sua rugosidade.
Neste trabalho foram estudadas as proriedades do campo eletrico gerado por perfis e
superfıcies com geometria fractal. Para o caso de um perfil fractal, foi verificado como
o tamanho do mesmo afeta as irregularidades das linhas equipotenciais, considerando-
se uma diferenca de potencial constante entre o mesmo e uma linha reta distante. Para
o caso de superfıcies, foram estudadas as superfıcies geradas por deposicao balıstica e
as superfıcies formadas iterativamente a partir de uma metodologia FBM (Fractional
Brownian Motion), atraves de um processo randomico auto-afim. Tratando estas
superfıcies como condutoras e, atribuindo-se uma diferenca de potencial eletrico entre
cada uma destas superfıcies e um plano distante, foram determinadas tambem, as
propriedades do campo eletrico a partir da solucao numerica da equacao de Laplace
na regiao delimitada. Constatou-se, a partir da determinacao das dimensoes fractais
das superfıcies equipotenciais que estas possuem comportamento de invariancia de
escala e apresentam uma rugosidade que decresce a medida que cresce a distancia
media da correspondente superfıcie equipotencial ao condutor base. Uma vez que as
irregularidades do condutor base se refletem no comportamento do campo eletrico
local, verificou-se que as trajetorias de partıculas carregadas, determinadas pelo me-
todo de Dinamica Molecular Classico, trazem informacoes relevantes a respeito da
morfologia de superfıcies, sendo portanto de interesse pratico para, por exemplo, a
3
determinacao do comportamento de eletrodos [6].
Esta dissertacao contem mais 4 capıtulos. No Capıtulo 2 e apresentada uma
discussao a respeito das principais definicoes associadas a geometria fractal. Metodos
para a determinacao da dimensao fractal de perfis, bem como de superfıcies tambem
sao apresentados. Por fim, e feita uma abordagem a respeito da simulacao compu-
tacional de superfıcies fractais (Deposicao Balıstica (DB) e metodologia Fractional
Brownian Motion (FBM)). No Capıtulo 3 e feita preliminarmente uma discussao a
respeito das equacoes diferenciais parciais, bem como das suas solucoes, analıtica e
numerica, em duas dimensoes. Particular mencao e feita para a solucao da equacao
de Laplace. Sao apresentados os resultados obtidos para o estudo de perfis bem como
de superfıcies equipotenciais, alem dos domınios de validade dos metodos utilizados
para o calculo dos expoentes de rugosidade (RMS e Semivariogramna). No Capıtulo
4 apresenta-se uma breve discussao a respeito do metodo de Dinamica Molecular,
utilizando-se o metodo Preditor-Corretor. Sao apresentados os resultados obtidos na
investigacao do comportamento medio da intensidade do campo eletrico gerado por
superfıcies fractais com tamanhos 100x100. Por fim, sao apresentados os resultados
obtidos via dinamica de partıculas carregadas em um campo gerado por superfıcies
fractais. No Capıtulo 5 sao apresentadas as conclusoes, discutindo-se perspectivas
para estudos futuros.
Este trabalho tambem contem quatro apendices. No Apendice A sao a-
presentadas algumas caracterısticas e propriedades de alguns fractais auto-similares
(Conjunto de Cantor, Ilha de Koch, Triangulo de Sierpinski e Esponja de Menger).
No Apendice B e apresentada a equacao KPZ, que se apresenta como classe de
universalidade descrevendo matematicamente o modelo de deposicao balıstica em
largas escalas. No Apendice C e discutido o metodo de Liebmann para a solucao
numerica da equacao de Laplace em 1D+1 e sua extensao para 2D+1 dimensoes.
Finalmente, no Apendice D, e apresentado o algoritmo de Verlet complementando
a discussao iniciada no Capıtulo 4 com o algoritmo Preditor-Corretor.
4
Capıtulo 2
Alguns Aspectos a Respeito da
Geometria Fractal
No presente Capıtulo, sera apresentada uma breve discussao a respeito de
alguns conceitos relativos ao que se denomina de Geometria Fractal. Alem de um
brevıssimo historico a respeito do tema, a definicao formal de dimensao fractal e
uma descricao de metodos utilizados, ao longo deste trabalho, para seu calculo, sera
exposta. Por fim, dois metodos para a simulacao computacional de superfıcies com
geometria fractal serao descritos.
2.1 Um Breve Historico
O emprego do termo fractal pode ser temporalmente localizado no ano de
1975, quando Benoit Mandelbrot pela primeira vez fez uso deste termo [7]. Ha porem
uma historia anterior, quando uma serie de consideracoes e estudos, que sem os seus
protagonistas o soubessem, abriram caminho para o desenvolvimento do tema [7].
Entre a segunda metade do seculo XIX e a primeira metade do seculo XX,
foram propostos varios objetos matematicos, com caracterısticas especiais, que foram,
durante muito tempo, considerados “monstros matematicos”, uma vez que desafiavam
as nocoes comuns de infinito e para os quais nao havia uma explicacao objetiva.
Cantor (1845-1918), que se destacou por ideias altamente inovadoras sobre o conceito
5
de infinito, propos a construcao de um objeto que resultou chamar-se de poeira de
Cantor [8]. A proposta, formulada em 1895, era a de considerar um segmento linear,
do qual se removeria o seu terco medio. A partir daı, o terco medio de cada um
dos dois segmentos restantes tambem seria removido, e assim sucessivamente com
cada porcao resultante da remocao de tercos medios (ver Figura 2.1) . A repeticao
infinita do processo gera uma “poeira” que, sendo constituıda de um numero infinito
de pontos, ainda assim possui um comprimento total igual a zero. Sendo o Conjunto
de Cantor denotado por C e assumindo-o como contido no intervalo [0,1], define-se o
mesmo como sendo:
C =∞⋂
n=0
In (2.1)
onde:
I0 ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ ... ⊃ In (2.2)
Figura 2.1: Os tres primeiros nıveis para a construcao do Conjunto de Cantor.
De modo similar, foi apresentada em 1904 a Curva de von Koch [9], que
corresponde a uma linha, de comprimento infinito, delimitando uma area finita. A
construcao se da a partir de um segmento de reta que em seguida e dividido em tres
segmentos iguais. Depois disto, substitui-se o terco medio por um triangulo equilatero
tirando-lhe a sua base. O processo iterativo consiste em aplicar a mesma regra a
6
cada um dos segmentos de reta que resultam da iteracao imediatamente anterior.
Se considerar-se cada passo, nota-se que, de um nıvel para a seguinte, substitui-se
tres segmentos por quatro de igual comprimento, ou seja, o comprimento total e
multiplicado por 4/3 em nıveis sucessivos. O limite de uma sucessao geometrica de
razao 4/3 e infinito, o que significa que a figura final, i.e., aquela para a qual tende
a sucessao descrita, tera um comprimento infinito. Este limite foi designado por
Mandelbrot como “infinito interno”. Portanto, no n-esimo nıvel, o comprimento da
curva de Koch ser dado por:
Sn = Sn−1 +Sn
3= (
4
3)n (2.3)
No limite, para um numero de infinitos nıveis, tem-se o seguinte resultado:
limn→∞Sn = ∞ (2.4)
Esta tendencia, de uma propriedade geometrica tender a infinito, e uma ca-
racterıstica, tıpica dos fractais. Os seis primeiros nıveis da Curva de Koch estao
mostrados na Figura 2.2. Observando o ultimo nıvel representado, tem-se a impressao
visual de que a curva parece ter uma certa “espessura”, devido as constantes mudancas
de direcao no processo construtivo. Isto sugere, visualmente, que esta figura nao seria
unidimensional, ou seja, nao e uma linha dotada apenas de comprimento. Assim, a
sua dimensao estaria entre 1, dimensao da reta, e 2, dimensao do plano.
A partir da Figura 2.2, verifica-se que em cada passo, a quarta parte da curva
resultante e semelhante a curva obtida no passo anterior, existindo portanto auto-
semelhanca nas curvas que sao obtidas em nıveis sucessivos. Portanto, no nıvel 5 da
construcao da Curva de Koch, verifica-se que a seccao A′C quatro vezes superior a
AB. Observa-se tambem que se houvesse uma homotetia de razao 3 na seccao A′B′
obter-se-ia exatamente a seccao AB. Este conceito de homotetia sera tratado mais
claramente na secao 2.4.1. Um estudo mais detalhado de alguns fractais auto-similares
e apresentado no Apendice A deste trabalho.
Tambem em 1918, Gaston Julia e Pierre Fatou, viriam a apresentar um trabalho
7
Figura 2.2: Os seis primeiros nıveis para a construcao da Curva de Koch.
8
sobre processos iterativos envolvendo numeros complexos, que mais tarde viriam a ser
conhecidos como “Conjuntos de Julia” [10]. Em razao da reduzida capacidade de
calculo, entao disponıvel, nao foi entao possıvel produzir qualquer imagem grafica
destes conjuntos. No entanto, todos estes objetos matematicos possuem algumas
caracterısticas comuns aos fractais. Alem de conterem em si um numero infinito de
elementos, apresentavam semelhanca entre figuras onde uma era a ampliacao da outra.
Foi, no entanto, a partir da segunda metade do seculo passado que questoes
relativas a similitude entre uma figura e a sua ampliacao comecariam a aparecer
na literatura cada vez com mais frequencia. Edward Lorenz, um meteorologista
americano, dedicava-se em 1961 a previsoes metereologicas. Apoiava-se em um compu-
tador, tao moderno quanto possıvel para a epoca, buscando aumentar a confiabilidade
das previsoes meteorologicas. Ao tentar, computacionalmente, repetir uma experiencia,
se enganou nos numeros que deveria introduzir para o calculo, truncando-lhe casas
decimais. Deu-se em conta que os resultados finais eram significativamente diferentes
dos que haviam sido obtidos anteriormente. Julgou, inicialmente, tratar-se de algum
outro problema que desconhecesse, mas, de fato, veio a constatar que pequenas
alteracoes dos valores iniciais provocavam enormes discrepancias finais [11]. A este
fenomeno seria dado o nome de “Efeito Borboleta” pela possibilidade simbolica de o
bater de asas de uma borboleta em Pequim poder provocar um tufao em Nova Iorque.
Posteriormente, ja na decada de 70, James Yorke [12] veio a encontrar nos
trabalhos de Lorenz a chave para os problemas sobre os quais entao se debrucava.
Cunhou assim o nome Caos. Neste surgimento de uma nova area de investigacao,
contribuıram tambem os trabalhos de May e Hoppensteadt [13, 14]. Estavam assim
criadas as condicoes para o aparecimento de trabalhos de sıntese, como os de Benoit
Mandelbrot [7].
Mandelbrot, nasceu em Varsovia em 1924 tendo se refugiado com a famılia em
Paris em 1936. Apesar de ter feito os seus estudos basicos de uma forma irregular,
ingressou na Ecole Politechnique com o intuito de receber formacao universitaria. Em
1952 doutorou-se em Matematica pela Universidade de Paris e, em 1958, emigraria
uma vez mais. Desta feita para os Estados Unidos, iniciando uma carreira pouco
9
comum no Thomas J. Watson Research Center da IBM. Estudou a variacao dos
precos de algodao, desenvolveu um trabalho relacionado com a transmissao de ruıdo
em linhas telefonicas, ensinou em Harvard e investigou a teoria dos jogos, entre outras
atividades. Em particular, Mandelbrot debrucou-se sobre um problema antigo, qual
seria o de questionar sobre qual seria efetivamente o comprimento da linha de costa
de um paıs. Esta e outras questoes estiveram na origem de toda uma teoria inovadora
que viria a culminar com a publicacao do primeiro livro de Mandelbrot em 1977 [15],
que no entanto nao foi bem recebido pela comunidade cientıfica. So em 1982, com a
publicacao de “The Fractal Geometry of Nature” [7], sairia ele do anonimato.
2.2 Dimensao Fractal
Inicialmente e necessario esclarecer que ao se falar em dimensao fractal nao
esta se fazendo referencia a dimensao euclidiana, esta usualmente denominada de
dimensao topologica. Diz-se que dois espacos topologicos tem a mesma dimensao se,
entre os pontos de um e de outro, existir uma correspondencia ponto-a-ponto contınua
e unıvoca [16]. Pela definicao de Euclides, um ponto tem dimensao 0, uma linha possui
dimensao 1, uma superfıcie dimensao 2 e uma porcao do espaco, dimensao 3. Ao se
obsevar a curva de Koch, considerando-se a geometria Euclidiana, se supoe que ela
e uma linha curva, que assim deveria ter uma dimensao topologica igual a 1. Este
tipo de curva tem um numero de infinitas “dobras” que, se ampliadas, continuam
aparecendo indefinidamente e devido a este infinito detalhamento, ocupa mais espaco
que uma curva convencional (dimensao maior que 1,0), sem chegar a ocupar o espaco
do que seria uma faixa que a contem (dimensao 2). Desta maneira se faz necessario
a definicao de um novo conceito de dimensao. Diferentemente do caso euclidiano,
o termo dimensao fractal, refere-se a dimensao espacial sendo portanto associado as
irregularidades de um dado objeto no espaco que o contem.
O termo fractal aplica-se, em geral, a construcoes muito diversas, tanto nas
formas ditas como abstratas, como nas formas inerentes a natureza e que sao objeto de
estudo da Fısica. Em razao disto, existe a necessidade de se estabelecer uma definicao
10
do que e um fractal e que atenda a todas as especies de construcao. Para Mandelbrot
[7], “Um dado conjunto A constitui um fractal se, em A, D > Dt, sendo D a dimensao
Fractal e Dt a dimensao topologica do conjunto A”. Kenneth Falconer [16], propoe
uma definicao menos rigorosa em termos das caracterısticas dos fractais. Uma destas
caracterısticas seria a complexidade infinita, ou seja, o fato que sucessivas ampliacoes
de um fractal levam, indefinidamente, a mais detalhes. Para figuras geometricas
convencionais, como por exemplo a circunferencia, isto nao ocorre. Uma estrutura
fractal nao pode ser descrita de maneira simples, por exemplo, uma vez que o fractal e
construıdo por processos iterativos. Alem disso, os fractais possuem auto-similaridade,
o que consiste em se poder obter replicas de menores porcoes de uma figura atraves
de sua ampliacao.
Para definir, de maneira generalizada, a dimensao fractal de um conjunto,
considera-se o espaco metrico Rn. Um espaco metrico e um par (M, d), onde M e um
conjunto nao vazio e d(metrica) uma funcao d : M X M → R em que, para todos os
pontos x e y de M sao satisfeitas as relacoes:
(i) d(x, y) ≥ 0, (positiva)
(ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (nao degenerada)
(iii) d(x, y) = d(y, x), (simetrica)
(iv) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), (desigualde triangular)
Na reta definimos um intervalo como um segmento de reta, enquanto que no
Rn o intervalo e definido como uma esfera de raio ε, centrada em x. Esta esfera sera
representada por B(x, ε), sendo entao uma bola aberta definida como : B(x, ε) = {y ∈Rn/d(x, y) < ε}, onde d(x, y) e a metrica do espaco Rn. Ja uma bola fechada e
definida como: B(x, ε) = {y ∈ Rn/d(x, y) ≤ ε}. Representa-se o menor numero de
bolas fechadas de raio ε necessario para ter uma cobertura A, com A ⊂ Rn e ε > 0,
por N(A, ε).
Um conjunto A, tera dimensao D se [4]:
11
N(A, ε) ∼= Cε−D (2.5)
sendo C uma constante positiva.
Daı segue-se que:
N(A, ε)
C∼=
(1
ε
)D
(2.6)
Calculando-se o logaritmo neperiano dos dois membros da relacao 2.6, tem-se:
ln(N(A, ε)
C) ∼= ln
(1
ε
)D
(2.7)
E, portanto:
D ∼= ln(N(A, ε)− ln(C)
ln(1ε)
. (2.8)
Como ln(C)
ln( 1ε)
tende a 0 a medida em que ε → 0, segue-se a seguinte definicao:
Definicao 1 Seja dado um conjunto compacto [17] A ⊂ Rn. Para cada ε > 0 ,
N(A, ε) denota o menor numero de bolas fechadas de raio ε necessario para cobrir A.
Entao, a dimensao fractal deste conjunto e definida por:
D = limε→0
[ln(N(A, ε))
ln(1ε)
](2.9)
Caso a variavel contınua ε seja substituıda por uma variavel discreta, tem-se o
seguinte teorema:
Teorema 1 Seja A ⊂ Rn. Dado εn = Crn em R, onde 0 < r < 1, C > 0 e o inteiro
n={1,2,3,...}, entao A, tem dimensao fractal sera dada por:
D = limn→∞
[ln(N(A, εn))
ln( 1εn
)
](2.10)
Prova 1 Sejam r, C reais e a sequencia E = {εn : n = 1, 2, 3, ...}, conforme descritos
no teorema. Definindo f(ε) = Max{εn ∈ E; εn ≤ ε}. Assumindo que ε ≤ r, entao:
12
f(ε) ≤ ε ≤ f(ε)
r(2.11)
Determinando-se os inversos de cada termo da desigualdade e aplicando-se na
sequencia o logaritmo neperiano, ter-se-a:
1
f(ε)≥ 1
ε≥ r
f(ε)(2.12)
e
ln
(1
f(ε)
)≥ ln
(1
ε
)≥ ln(
r
f(ε)) (2.13)
o que levara a seguinte desigualdade:
ln[N(A, f(ε))] ≥ ln[N(A, ε)] ≥ ln[N(A,f(ε)
r)] (2.14)
Como lnx e uma funcao crescente positiva para x ≥ 1, e uma vez que:
1
ln( 1f(ε)
)≤ 1
ln(
1ε
) ≤ 1
ln( rf(ε)
)(2.15)
segue-se que:
ln[N(A, f(ε))]
ln( rf(ε)
)≥ ln[N(A, ε)]
ln(
1ε
) ≥ ln[N(A, f(ε)r
)]
ln(
1f(ε)
) (2.16)
Calculando o limite do lado esquerdo da desigualdade 2.16 com N(A, ε) →∞e ε → 0, tem-se:
limn→∞{
ln[N(A, f(ε))]
ln( rf(ε)
)} = lim
n→∞{ln[N(A, εn)]
ln( rεn
)} (2.17)
o que levara a:
limn→∞{
ln[N(A, εn)]
ln(r) + ln(
1εn
)} = limn→∞{
ln[N(A, εn)]
ln(
1εn
) } (2.18)
pois ln(r) e constante.
13
Calculando agora, o limite do lado direito da desigualdade 2.16 tem-se:
limn→∞{
ln[N(A, f(ε)r
)]
ln( 1f(ε)
)} = limn→∞{ ln[N(A, εn−1)]
ln( 1εn
)} (2.19)
e portanto:
limn→∞{
ln[N(A, εn−1)]
ln(1r) + ln
(1
εn−1
)} = limn→∞{
ln[N(A, εn−1)]
ln(
1εn−1
) } = limn→∞{
ln[N(A, εn)]
ln(
1εn
) } (2.20)
Como ε → 0 por ambos os lados da desigualdade, aproximando-se do mesmo
valor, recorrendo-se ao teorema do confronto [18] do calculo, o limite do termo do
meio existe e e igual ao limite dos extremos, logo:
D = limn→∞
[ln(N(A, εn))
ln( 1εn
)
](2.21)
2.3 Fractais Auto-Similares e Fractais Auto-Afins.
As estruturas com geometria fractal apresentam uma auto-similaridade que
pode ser exata ou estatıstica, sendo entao denominadas de fractais determinısticos ou
randomicos, respectivamente. Por auto-similaridade exata entende-se a invariancia
da estrutura apos uma transformacao isotropica. Se tomarmos um objeto S, formado
por um conjunto de pontos R = {x1, x2, x3, ...}, a tranformacao similar com um
fator de escala b, muda as coordenadas dos pontos para bR = {bx1, bx2, bx3, ...}.Logo, o conjunto S, formado pelos pontos de coordenadas R, e auto-similar, se este
resulta invariante apos a referida transformacao. Para exemplificar, considere-se um
fractal denominado Triangulo de Sierpinski, como mostrado na Figura 2.3. Este
fractal e aproximadamente 40 anos “mais jovem” que o conjunto de Cantor e foi
apresentado pelo matematico polones Waclaw Sierpinski [19]. Sua construcao basica
comeca com um triangulo equilatero, totalmente preenchido. Inicialmente toma-se os
pontos medios dos tres lados que, juntos com os vertices do triangulo original, formam
quatro triangulos congruentes. Em seguida, retira-se o triangulo central, concluindo-
14
se assim o processo basico de construcao. Tem-se entao tres triangulos congruentes,
cujos lados medem metade do lado do triangulo original. Repete-se, com cada um
destes tres triangulos, o processo descrito, tantas vezes quanto se desejar. Desta
maneira comeca-se com um triangulo e geram-se sequencialmente 3, 9, 27, 81, 243,
... triangulos, segundo uma mesma lei de formacao. Sua geometria triangular e
constituıda por triangulos menores que sao copias perfeitas da forma completa da
figura. Assim, ao ampliar-se (“zoom”) uma parte qualquer, se tera algo identico a
figura como um todo. Neste caso, esta e uma figura fractal auto-similar exata, ou
simplesmente denominada auto-similar.
Figura 2.3: O triangulo ADE, com todo seu conteudo, e uma reducao exata dotriangulo ABC. O mesmo se pode dizer com relacao aos triangulos CDF e de BEF.
Existem contudo, fractais que sao igualmente formados por mini-copias, mas
estas sao anisotropicas, ou seja, nao mantem fixas as proporcoes originais. Ao se passar
de uma escala para outra maior, observa-se que o tamanho destas copias nao aumenta
uniformemente em todas as direcoes espaciais. Neste caso, os fractais sao chamados
de auto-afins. Na Figura 2.4, tem-se um fractal auto-afim gerado a partir da diagonal
15
de um quadrado que e dividido em quatro partes iguais horizontalmente e reproduzida
de acordo com a Figura 2.4. No proximo nıvel, repete-se o mesmo procedimento com
os quatro segmentos dispostos e assim sucessivamente. Por outro lado, diz-se que
esta auto-afinidade e definida por suas caracterısticas estatısticas, ou seja, a fronteira
da figura mantem uma correlacao estatıstica quando observada em diferentes escalas.
Portanto, para se definir auto-afinidade, utiliza-se uma transformacao anisotropica,
ou seja, diferentes fatores de escala sao associados a diferentes direcoes espaciais
para obtencao de uma configuracao estatisticamente semelhante. Sendo assim, bR =
{b1x1, b2x2, b3x3, ...}.
Figura 2.4: Exemplo de um fractal auto-afim. Neste caso o fator de escala para asabscissas e 4 e para as ordenadas e 2.
16
2.4 Metodos para Determinacao da Dimensao Frac-
tal
2.4.1 Homotetia e Dimensao Fractal
Intuitivamente, a definicao de dimensao fractal se torna simples adotando-se
como ponto de partida o conceito de homotetia [20]. Homotetia significa ampliacao
ou reducao de qualquer ente geometrico, podendo ser figuras planas, como triangulos,
quadrilateros, cırculos, etc, ou espaciais como cubos, piramides, esferas, ou figuras
com geometria irregular.
Para definir-se homotetia necessita-se da escolha de um centro de homotetia,
O, e da razao de homotetia ,r, sendo que esta pode ser qualquer numero real. Um
novo ponto, X ′, em relacao a O, e gerado atraves do ponto X inicial, por homotetia,
atraves da equacao:
−−→OX ′ = r.
−−→OX (2.22)
Esta definicao pode ser visualizada pelo exame da Figura 2.5. Este tratamento
vetorial na definicao de homotetia serve para garantir que dois pontos homoteticos
entre si estao alinhados com o centro de homotetia. Alem disso, se r > 0, X e X ′
estao em uma mesma semi-reta onde O e um extremo. Se r < 0, entao X e X ′ estao
em semi-retas distintas, sendo que O e extremo das duas.
Tomando-se, por exemplo, um segmento de reta, podemos dividı-lo em p partes
iguais, semelhantes ao segmento original, porem reduzidas em uma certa razao r.
Obviamente o numero n de segmentos obtidos relaciona-se com a razao de semelhanca,
r, de modo que n = 1r. Para um quadrado, fazendo-se uma divisao de cada um dos
seus lados em p partes iguais, obtem-se p2 quadrados semelhantes ao original, de modo
que p2 = n e, portanto, n = 1r2 . Finalmente, para um cubo, dividindo-se cada uma
de suas arestas em p partes iguais, a razao de semelhanca entre os lados obtidos e
o original e de 1p
e entao n = 1r3 . Assim, considerando-se que a dimensao espacial
das figuras tradicionais e igual a sua dimensao topologica, um segmento de reta tera
17
Figura 2.5: Figura representativa da operacao de homotetia. O ponto C e geradoatraves de OC’=r.OC, com r < 1,0. Tem-se A’C’//AC e B’C’//BC. Entao ostriangulos, 4(A′B′C ′) e 4(ABC), sao semelhantes.
dimensao 1, um quadrado tera dimensao 2 e um cubo dimensao 3. Deste modo, e
razoavel afirmar que:
n =1
rD(2.23)
onde D e a dimensao espacial, r e razao de semelhanca e n o numero de replicas da
figura.
Para os fractais auto-similares, ou seja, aqueles cuja forma geometrica indepen-
de do comprimento de escala, basta analisar o que ocorre de uma etapa para outra da
construcao, uma vez que isto reflete o que acontece em todo conjunto. Calculando-se
o logaritmo neperiano em ambos os membros da equacao 2.23, a dimensao tem a
forma:
D = − ln n
ln r(2.24)
onde n representa o numero de partes restantes apos uma etapa, ou geracao da
construcao do fractal, sendo r a razao de semelhanca destas partes com a configuracao
original.
Tomando-se, como exemplo, o Conjunto de Cantor, para cada geracao tem-se
dois segmentos, que serao posteriormente seccionados em tres partes, logo n = 2. Ja a
18
razao de semelhanca desses segmentos com a figura original e 13. Portanto, a dimensao
Fractal do conjunto de Cantor e dada por:
D = − ln 2
ln(13)
=ln 2
ln 3≈ 0, 63 (2.25)
2.4.2 Metodo de Contagem de Caixas.
Caso o fractal nao apresente auto-similaridade exata, i.e., tem-se um fractal
auto-afim, o calculo da correspondente dimensao fractal torna-se mais difıcil, ou
muitas vezes impossıvel, por uma metodologia baseada na homotetia. Para uma
situacao como esta, um metodo que antes era frequentemente utilizado e o de Con-
tagem de Caixas [21]. Atualmente, sabe-se que este metodo tem boa utilidade para
casos em que o fractal seja auto-similar [22]. Este metodo tem sido utilizado para
o calculo da dimensao fractal de nuvens, de formacoes em areas fotografadas por
satelites, entre outras [23]. O metodo consiste em “cobrir” a figura, da qual se deseja
determinar a dimensao fractal, com uma malha de quadrıculas de lado r, conforme
mostrado na Figura 2.6. Sendo n o numero mınimo de quadrıculas, de lado r, que
contem ao menos 1 ponto da figura, e δ o lado da moldura que escolhe-se para nela
inserir a figura, entao:
n =
(δ
r
)D
(2.26)
Como exemplo da aplicacao do metodo, considere-se que a figura da qual
se quer determinar a dimensao seja um quadrado. Dividindo-se o mesmo em 4
quadrıculas iguais, cada uma delas tera a metade do lado que tinha o quadrado
anterior. Logo p = 2 e δr
= 2. Entao, verifica-se claramente que D = 2 o que condiz
com a dimensao de um quadrado cheio. Da mesma forma, dividindo-se o mesmo em
16 quadrıculas iguais, cada uma delas tera um quarto do lado que tinha o quadrado
anterior. Logo p = 4 e δr
= 4. Do mesmo modo, verifica-se que D = 2.
Para que a determinacao da Dimensao Fractal seja mais precisa, e necessario
que a malha seja tal que o lado r das quadrıculas seja tao pequeno quanto se queira,
19
de modo que, no limite para r tendendo a 0, tem-se:
D = limr→0
ln(n)
ln( δr)
(2.27)
E possıvel implementar o metodo de contagem de caixas computacionalmente,
atraves de algoritmos simples em diversas linguagens de programacao. Primeiramente
utiliza-se uma grade de quadrıculas de lado r1. Conta-se o numero de quadrıculas que
contenham pelo menos um ponto da figura. O processo e repetido para uma malha
de quadrıculas de lado r2, sendo r2 < r1, contando-se o numero n2 de quadrıculas que
contenham ao menos um pixel da figura.
Utilizando-se a relacao 2.26 para para n1 quadrıculas de lado r1, entao:
n1 =
(δ
r1
)D
(2.28)
Para n2 quadrıculas de lado r2, tem-se analogamente:
n2 =
(δ
r2
)D
(2.29)
Dividindo-se membro a membro as relacoes 2.28 e 2.29, e isolando-se o valor
da dimensao fractal, ter-se-a:
D =ln n1 − ln n2
ln r2 − ln r1
(2.30)
Assim, torna-se possıvel calcular a dimensao fractal, pois os valores de n1, n2,r1
e r2 sao conhecidos. O metodo pode se tornar mais preciso construindo-se m grades
diferentes, i.e., com quadrıculas de tamanhos diferentes que cobrem a figura. Cada
quadrıcula possui lado ri, sendo ni o numero de quadrıculas da i-esima grade que
contem pelo menos um ponto da figura (i = 1, 2, 3, ..., m).
Para cada uma dessas grades, conta-se quantas quadrıculas contem ao menos
um ponto do objeto e, a partir disso, constroe-se um grafico do numero de quadrıculas
contendo partes do objeto em funcao do tamanho das quadrıculas. O valor absoluto
20
Figura 2.6: A imagem de uma galaxia sendo utilizada para o procedimento decontagem de caixas. As imagens mostram o processo sucessivo de contagempara caixas com diferentes tamanhos 75x75, 40x40, 22x22, 12x12 e 3x3pixels. As caixas brancas contem o contorno e as pretas, nao interceptam omesmo.(http://www.ees.nmt.edu/ davew/P362/boxcnt.htm).
Figura 2.7: A inclinacao da reta ajustada determina a dimensao fractal da imagemmostrada na Figura 2.6, neste caso 1, 54± 0, 04.
21
da inclinacao da reta assim definida em escala logarıtmica da uma estimativa da
dimensao fractal do objeto investigado. A reta a + b log d representada na Figura 2.7
para o caso mostrado na Figura 2.6, que melhor se ajusta a esse conjunto de pontos,
a partir do metodo dos mınimos quadrados, tem por parametros:
a =
(m∑
i=1log ni
).(
m∑i=1
(log ri)2
)−
(m∑
i=1log ri
) (m∑
i=1(log ri)(log ni)
)
m.(
m∑i=1
(log ri)2
)−
(m∑
i=1log ri
)2 (2.31)
e
b =m.
(m∑
i=1(log ri)(log ni)
)−
(m∑
i=1log ri
) (m∑
i=1log ni
)
m.(
m∑i=1
(log ri)2
)−
(m∑
i=1log ri
)2 (2.32)
2.4.3 Metodo RMS
Este metodo e particularmente simples [24], pelo menos conceitualmente,
permitindo identificar se perfis/superfıcies sao fractais auto-afins. Tome-se como
exemplo o caso de um perfil. Calcula-se o desvio padrao dos valores das alturas,
em relacao a altura media, dentro de uma janela quadrada de largura w, como
mostrado na Figura 2.8. A precisao do metodo e melhorada tomando-se varias
janelas. Todas de mesma largura, ou de mesma area para uma superfıcie, dispostas
em diferentes posicoes do perfil. A maneira de se distribuir estas janelas pode ser
sistematica ou randomica. No primeiro caso, as sucessivas janelas sao construidas com
posicionamento da origem sequencialmente bem definido e, no segundo, esta origem e
escolhida aleatoriamente. Calcula-se o desvio padrao correspondente a cada janela e,
a seguir, o valor medio dos desvio padrao para as multiplas janelas. O procedimento
e entao repetido para conjuntos de janelas com tamanhos diferentes e o desvio padrao
medio e verificado em funcao do tamanho da janela. O RMS (Root Mean Square) ou
rugosidade e frequentemente utilizado para caracterizar morfologicamente superfıcies,
sendo definido como:
22
RMS(w) =1
nw
nw∑
i=1
√√√√ 1
mi
∑
j∈w
(zj −< z >)2 (2.33)
Na equacao acima, nw e o numero total de janelas de comprimento w, mi e
o numero de pontos dentro da i-esima janela, zj corresponde a altura de cada ponto
de uma mesma janela e < z > e a altura media deste conjunto de dados contidos na
i-esima janela, cujo comprimento e w.
Figura 2.8: Procedimento para o calculo do RMS com janelas de lado w, sobre perfistopograficos. Sucessivas janelas de um mesmo tamanho sao construıdas, podendo asua distribuicao ao longo do perfil ser sistematica ou aleatoria. (J.G.V. Miranda,Analisis Fractal Del Microrrelieve del Suelo. La Coruna: Espanha, 2000. p. 113 Tesede Doutorado)
No caso de duas dimensoes teremos que a janela que abrange parte de um
perfil e substituıda por um quadrado de lado w. No caso de perfis ou superfıcies com
geometria fractal, o RMS mudara dependendo do comprimento de escala w utilizado
no calculo. Isto se deve ao fato do perfil/superfıcie ser invariante apos uma mudanca
de escala. Para geometrias auto-afins [4], a rugosidade varia com o comprimento de
escala utilizado de acordo com a relacao:
RMS(w) ≈ wα (2.34)
23
Na expressao acima, calculando-se o logaritmo de ambos os termos obtem-se
a linearizacao em que o valor do expoente de rugosidade, α, e expresso em funcao
da inclinacao da reta. Esta reta e ajustada entre duas escalas, uma correspondente a
escala inicial e a outra a escala final.
E importante discutir tambem, como se calcular a dimensao fractal a partir
do calculo do expoente de rugosidade ja determinado pelo metodo RMS. Para a
determinacao da dimensao fractal de uma superfıcie auto-afim, parte-se da definicao
do que se entende com uma superfıcie assim caracterizada. Seja uma variavel z,
dependente de x e y. Considere-se um fator de escala, bα, aplicado a z, distinto do
fator aplicado a x e y, nestes casos o fator b. Esta relacao pode ser escrita de acordo
com:
z(bx, by) ∼ bαz(x, y) (2.35)
A relacao acima mostra o fato de que uma superfıcie auto-afim pode ser
escalada com diferentes fatores nas direcoes x, y e z. Isto quer dizer que, no caso, se
reescala as direcoes x e y por um fator multiplicativo b, (x → bx e y → by), ao tempo
em que a direcao z foi reescalada por um fator multiplicativo bα (z → bαz). Para o
caso particular em que α = 1 a transformacao seria auto-similar.
Uma importante consequencia da equacao 2.35 e o comportamento de lei de
potencia entre a diferenca dos valores das alturas z(x, y), nos pontos (x1, y1) e (x2, y1),
e a distancia entre estes ultimos. No caso de duas dimensoes, esta relacao e tal que,
definindo-se δ ≡ |z(x1, y1)− z(x2, y1)| e l ≡ |(x1 − x2)|, tem-se [4]:
δ ∼ lα (2.36)
Consideremos, coerentemente com a equacao anterior, um perfil, para um valor
constante de y (y1 = constante), de uma superfıcie auto-afim, definida de modo que
os valores de x e de y pertencam ao intervalo [0,1]. Primeiramente, ao dividir-se
o domınio da direcao x em N segmentos iguais, o comprimento de cada segmento
unitario e dado por l = 1N
. No intervalo horizontal de tamanho l a altura muda
24
de acordo com a equacao 2.36, de modo que se requerem δl∼ lα−1 caixas de lado l
para cobrir o perfil auto-afim. Assim, para N segmentos, o numero total de caixas
requeridas para recobrir o perfil, N(l), sera dada por:
N(l) ∼ lα−2 (2.37)
Como para fractais em geral tem-se que N(l) ∼ l−Df , entao a dimensao fractal
para um perfil auto-afim sera:
Df = 2− α (2.38)
Para uma superfıcie auto-afim:
Df = 3− α (2.39)
2.4.4 Metodo Semivariograma
O semivariograma e uma funcao que relaciona a semivariancia com o valor
dos incrementos de distancia. Serve para descrever a variabilidade espacial de um
fenomeno. Existem uma serie de modelos teoricos que podem descrever uma funcao
monotonicamente crescente assim como o semivariograma, que pretende sintetizar
toda a informacao que se conhece a respeito da correlacao espacial da variavel de
interesse. Este metodo e baseado no calculo da dependencia espacial mediante estima-
tivas da semivariancia nas diferentes escalas de medida. A semivariancia em funcao da
distancia proporciona um semivariograma, termo que tambem se utiliza para designar
tal metodo. Por definicao a equacao do semivariograma para uma funcao contınua
Z(x) e expressa por:
γ∗(x) =1
2〈[Z(x)− Z(x + h)]2〉 (2.40)
Na equacao 2.40, h e a distancia a partir da origem ou escala e o sımbolo 〈 〉significa uma integral sobre todo o domınio da funcao Z. Para o caso deste trabalho
25
a distribuicao de pontos para a superfıcie considerada e discreta e assim, definindo-
se {X}, {Y } e {Z} os conjuntos que contem as coordenadas Xi e Yi que permitem
localizar cada ponto no espaco bi-dimensional e Zi a altura do mesmo, pode-se definir
uma funcao discreta Z que relacione os elementos dos conjuntos {X} e {Y } com os do
conjunto {Z}.Denotando tal funcao por Z(xi, yi), a semivariancia pode ser definida
por:
γ(h) =1
2n(h)
n(h)∑
i=1
[Z(xi, yi)− Zh]2 (2.41)
Na equacao 2.41, h e a escala ou distancia media, calculada no intervalo [h−∆h,
h + ∆h], sendo 2∆h a distancia de separacao entre as escalas no semivariograma; o
termo [Z(xi, yi) − Zh] representa a diferenca de altura entre pontos separados pela
distancia media h e n(h) e o numero de pontos considerados em cada intervalo.
Para mostrar a dependencia da semivariancia com o expoente de rugosidade,
analisemos o caso unidimensional de uma partıcula com movimento browniano que se
move ao longo de uma linha dando saltos de comprimento +ε e −ε sendo cada salto
realizado num intervalo de tempo denotado por τ . Definamos o intervalo de tempo τ
fixo e o comprimento do passo ε dado por uma distribuicao normal:
P (ε, τ) =1√
4πFτe
(− ε2
4Fτ
)(2.42)
onde o parametro F e o coeficiente de difusao.
Os comprimentos ε sao definidos de forma que uma sequencia de passos {ε}constituem um conjunto de variaveis independentes, aleatorias e Gaussianas. Logo,
a probabilidade de encontrar um comprimento de passo ε em um intervalo entre ε e
ε + dε e dada por P (ε, τ)dε e a variancia do processo esta definida por:
〈ε2〉 =
+∞∫
−∞ε2P (ε, τ)dε = 2Fτ (2.43)
Naturalmente, ao se somar uma sequencia de passos se obtem a distancia da
partıcula a origem de modo que:
26
X(t = nτ) =n∑
i=1
εi (2.44)
Considerando-se dois incrementos ε′ e ε′′ estatisticamente independentes a
distribuicao de probabilidades total sera o produto das densidades de probabilidade e
portanto:
P (ε′, ε′′, τ) = P (ε′, τ)P (ε′′, τ) (2.45)
Integrando-se sobre todas as sequencias de combinacoes possıveis de ε′ e ε′′
obtem-se a densidade de probabilidade para o incremento ε = ε′ + ε′′ de acordo com
a expressao:
P (ε, 2τ) =
+∞∫
−∞P (ε− ε′, τ)P (ε′, τ)dε′ =
1√4πF2τ
e
(− ε2
4F2τ
)(2.46)
Observa-se portanto que a distribuicao 2.46 possui media nula e variancia
〈ε2〉 = 4Fτ, ou seja, incrementada por um fator multiplicativo de 2 em relacao a
expressao 2.43. Tal situacao pode ser generalizada para intervalos de tempo bτ de
modo que:
P (ε, bτ) =1√
4πFbτe
(− ε2
4Fbτ
)(2.47)
A partir da expressao 2.47, naturalmente 〈ε2〉 = 2Fbτ de modo que convenien-
temente 〈[X(t+bτ)−X(t)]2〉 = 2Fbτ . Isto significa que a variancia depende da escala
de observacao. Denotando-se h = bτ , como o fator de escala utilizado, evidencia-se
uma dependencia da funcao semivariancia para o movimento browniano com a escala
utilizada de modo que:
γ(h) ∝ h (2.48)
Para um movimento browniano fracionario generalizado a relacao 〈[X(t+bτ)−X(t)]2〉 = 2Fbτ resulta em:
27
〈[Xα(t + bτ)−Xα(t)]2〉 = 2Fh2α (2.49)
onde α e um parametro que pode variar entre 0 < α < 1. Note que para um
movimento browniano simples com os incrementos estatisticamente independentes,
α = 0, 5 por 2.48, de modo que a variavel posicao pode ser denotada por X0,5(t) =
X(t).
2.4.5 Analise de Fourier
A analise de Fourier ou analise espectral de uma serie temporal, consiste em
expressar uma funcao f(t), considerando os fenomenos investigados, de preferencia
periodicos, como uma somatoria de funcoes trigonometricas de senos e cossenos. As
series em princıpio sao infinitas, mas na pratica, quando se trabalha com espacos
discretos, a frequencia mais elevada com importancia, corresponde ao espacamento
dos “pixels” (amostras unitarias que compoem uma imagem - picture elements) na
imagem ou ao longo da elevacao de um perfil. Do mesmo modo, a menor frequencia
de interesse e ajustada pela largura da imagem ou o comprimento de um perfil. Para
uma funcao do tempo a equacao de Fourier se torna:
f(t) =kmax∑
kmin
ak.sen(2πkt− ϑk) (2.50)
Substituindo t por x, a expressao 2.50 pode ser utilizada para perfis com
elevacoes. Os coeficientes ak dao a magnitude da k− esima frequencia, e os valores ϑ
informam as fases de cada termo da serie. Uma caracterıstica muito util do metodo de
Fourier e que os coeficientes para cada termo nao mudam quando outros termos sao
adicionados as series. Porem, como uma sequencia finita de frequencias sao usadas, o
resultado da soma e uma “melhor aproximacao”. Comumente, o comportamento do
quadrado da amplitude como funcao da frequencia resulta no espectro de potencias
do perfil original.
Como um perfil fractal, por definicao, inclui informacoes de todas as frequencias,
um pensamento preliminar concluiria que este metodo seria difıcil para se aplicar
28
a fractais. Contudo o comportamento verificado e surpreendentemente simples. O
espectro de amplitude mostra uma variacao linear entre o logaritmo do quadrado da
amplitude e o logaritmo da frequencia. A inclinacao desta reta esta relacionada com a
dimensao fractal do perfil, de modo que esta tecnica se torna aplicavel a dados auto-
afins ou auto-similares. Sendo β a inclinacao, no ajuste linear, a dimensao fractal
para perfis sera dada por [25]:
Df =(4 + β)
2(2.51)
A analise de Fourier tambem pode ser executada para superfıcies. Neste caso, a
transformacao consiste dos dados de amplitude e fase, convertidos numa disposicao bi-
dimensional. Quando a escala da imagem de uma superfıcie fractal e a transformada
de Fourier, o resultado esperado e que o logaritmo do quadrado da amplitude caira
linearmente com o logaritmo da frequencia [25]. Para medir finalmente a dimensao
fractal para uma superfıcie fractal, tem-se:
Df =(6 + β)
2(2.52)
2.5 Simulacao Computacional de Superfıcies Frac-
tais
Nesta secao discutiremos duas metodologias distintas para a geracao, mediante simu-
lacao computacional, de superfıcies com geometria fractal. Superfıcies assim geradas
serao utilizadas no desenvolvimento deste trabalho, funcionando como fronteira de
uma regiao onde se deseja determinar o comportamento do campo e do potencial
eletrico.
2.5.1 Tecnica FBM
Um modelo matematico para a geracao de um objeto auto-afim (tambem
chamado de estatisticamente auto-similar), e o que resulta da tecnica denominada de
29
FBM (Fractional Brownian Motion), tecnica esta que apresenta propriedades tıpicas
daquelas caracterısticas do Movimento Browniano [26, 24]. Em uma dimensao, o FBM
e um processo randomico Z(t), capaz de gerar uma variavel Z como funcao aleatoria
de um parametro t. A variavel Z apresenta incrementos Gaussianos, Z(t2) − Z(t1),
onde a variancia destes e proporcional a |t2 − t1|2α com 0 < α < 1, ou seja, os
incrementos de Z sao auto-afins, conforme sub-secao 2.4.4. Isto significa que tomando-
se t0 = 0 e Z(t0) = 0, as duas funcoes randomicas Z(rt) e rαZ(t), sao estatisticamente
indistinguıveis, com r sendo um fator de escala. Para um dado numero Z0, tem-se que
os pontos t que satisfazem Z(t) = Z0, constituirao pontos pertencentes a um fractal
auto-afim e com dimensao fractal Df = 1− α (ver Figura 2.9).
Figura 2.9: Esquema mostrando a intersecao da reta Z0 com os pontos Z(t) pertencentes a ummovimento browniano fracionario. Este conjunto de pontos de intersecao constitui o que se chamade Secao de Poincare, com dimensao fractal Df = 1− α.
A generalizacao da tecnica FBM para dimensoes superiores e um processo
multidimensional Z(t1, t2, ..., tn), onde Z, tem incrementos estacionarios e anisotro-
picos, isto e, todos os pontos (t1, t2, ..., tn) e todas as direcoes sao estatisticamente
equivalentes.
Alguns algoritmos tem sido desenvolvidos para gerar computacionalmente frac-
tais randomicos e compara-los com estruturas naturais que apresentam geometria
fractal. Estes metodos tem tido a sua qualidade julgada mediante a comparacao do
que e gerado computacionalmente vis-a-vis o que se tem na natureza, bem como com
respeito ao seu custo computacional. Muito recentemente, com a disponibilidade de
30
computadores com maior rapidez de processamento e de armazenamento, bem como
de programas graficos, o controle de propriedades locais e gerais destes tais fractais
computacionalmente gerados se tornou possıvel. Tem-se como exemplo o controle local
da dimensao fractal que e utilizado para modelar os vales cercados por montanhas
asperas em uma cena de paisagem.
Um dos primeiros e mais conhecidos metodos de geracao de fractais FBM e o
“Midpoint Displacement Method” [27]. Nesta metodologia, assume-se que os valores
Z(0) = 0 e Z(1) sejam dados, com Z(1) podendo ser obtido num processo randomico
cuja variancia e σ2. O intervalo [0, 1] e particionado em dois sub-intervalos [0, 12], [1
2, 1]
e Z(12) e definido como a media entre Z(0) e Z(1), adicionado de um deslocamento
D1, isto e:
Z(1
2) =
1
2(Z(0) + Z(1)) + D1 (2.53)
O deslocamento D1 e computado como uma variavel randomica Gaussiana, com
variancia ∆21 que e proporcional a σ2
22α . Esta propriedade, passıvel de demonstracao,
contem o expoente de rugosidade, α, o que permite gerar uma superfıcie (que em uma
dimensao corresponde a um perfil), com o expoente de rugosidade que se deseja. O
processo e repetido para cada um dos dois intervalos restantes, de tal forma que:
Z(1
4) =
1
2(Z(0) + Z(
1
2)) + D2,1 (2.54)
Z(3
4) =
1
2(Z(
1
2) + Z(1)) + D2,2 (2.55)
Os deslocamentos D2,1 e D2,2 acima, sao Gaussianos com variancia ∆22 pro-
porcional a σ2
(22)2α , sendo que os dois valores de D2 nas equacoes acima, podem ser
diferentes. O processo iterativo, para cada novo intervalo, continua, com deslocamen-
tos Dn,i (i = 1,...,2n) e variancias ∆2n proporcionais a σ2
(2n)2α para o n-esimo estagio.
Neste trabalho, tratou-se o caso em que Z(t1, t2) e considerado como uma al-
tura definida sobre o ponto (t1, t2) de um plano. O resultado e uma superfıcie fractal
auto-afim, com dimensao fractal Df = 3− α. Vale observar que no processo iterativo
31
de geracao o fator α e mantido constante podendo ser previamente definido.
Os conjuntos de pontos {(t1, t2) satisfazendo Z(t1, t2) = Z0} sao colecoes de
curvas estatisticamente auto-semelhantes, com dimensoes fractais Df = 2 − α (ver
Figura 2.10).
Figura 2.10: Figura mostrando os pontos (t1, t2) que satisfazem Z(t1, t2) = Z0. Este conjunto depontos e chamado de Ilhas de Korcak e representa a mesma ideia da secao de Poincare, extendidacontudo para o caso de superfıcies. A dimensao fractal deste conjunto de pontos de intersecao possuidimensao fractal Df = 2− α.
Um exemplo simples de um metodo que resulta em uma superfıcie cujas alturas
sao geradas randomicamente, Z(t1, t2) e o que corresponde a ter-se, inicialmente, um
triangulo equilatero. Este e subdividido em quatro pequenos triangulos, tambem
equilateros (Figura 2.11).
Figura 2.11: Geracao de um fractal usando o metodo “midpoint displacement”. Asalturas iniciais xA, xB e xC dos vertices do triangulo original e os deslocamentos dos verticesdos triangulos descendentes, yA, yB e yC , sao mostrados para os dois primeiros nıveis.(http://citeseer.ist.psu.edu/470996.html)
Os vertices recem criados, associados as metades dos lados do triangulo original,
sao deslocados verticalmente por valores randomicos, como no caso unidimensional.
32
Um processo similar e repetido para cada um dos triangulos menores e assim para
cada um dos seus “descendentes”, ate que a interacao que se deseja seja atingida. O
numero de pontos para os quais e definida uma altura depende do numero de iteracoes
que se escolheu.
2.5.2 Deposicao Balıstica
A morfologia e a evolucao de uma superfıcie, no crescimento de filmes finos, tem
sido objeto de interesse para pesquisas de cunho teorico e experimental. Um modelo
particularmente simples e o de deposicao balıstica, que foi originalmente formulado
como um modelo de sedimentacao e tem sido extensivamente estudado como um
modelo de crescimento de filmes finos a baixas temperaturas [28]. O algoritmo de
crescimento para a superfıcie balıstica, considera, no processo de deposicao, correlacoes
laterais e perpendiculares, de tal forma que uma dada partıcula, depositada sobre um
substrato inicialmente descorrelacionado, atinge uma altura que podera ser igual ou
maior a da correspondente imediatamente vizinha.
Figura 2.12: Esquema representando a formacao de um perfil balıstico. Neste modelo as partıculasfixam-se onde atingem a superfıcie por contato lateral ou perpendicular, sem qualquer difusao. NaFigura, h e i, representam respectivamente os valores de altura de cada sıtio e do comprimentocorrespondente, de modo que o tamanho total do sistema se da para i = L.
No instante t = 0, a interface e plana, ou seja, a altura de cada sıtio e
considerada nula. Matematicamente, h(i, t = 0) = 0 para i = 1, 2, ..., L. Em algum
33
instante t, por escolha randomica de um ponto i da rede, faz-se crescer h(i, t) para
h(i, t + 1). Isto e feito de tal modo que h(i, t + 1) = max[h(i− 1, t), h(i, t) + 1, h(i +
1, t)]. Para um sistema como este, uma funcao que o descreve quantitativamente e
a rugosidade, tambem denominada de largura de interface (“interface width”), que e
definida como [4]:
W (L, t) =
√√√√ 1
L
L∑
i=1
[h(i, t)−< h(i, t) >(t)]2 (2.56)
Na equacao 2.56, h(i, t) corresponde a altura da coluna num dado instante,
enquanto que < h(i, t) > (t) corresponde a sua media espacial, ou seja:
< h(i, t) > (t) =1
L
L∑
i=1
h(i, t) (2.57)
Se a taxa de deposicao, i. e. o numero de partıculas que chegam em um sıtio
por unidade de tempo, e constante, entao podemos esperar que:
< h(i, t) > (t) ≈ t (2.58)
O crescimento de uma superfıcie como esta apresenta em geral duas etapas:
uma inicial, com forte variacao de W (L, t), seguida de uma saturacao do valor da
largura de interface, com (W (L, t) ≈ WSAT ). Um grafico tıpico da evolucao temporal
da largura de interface possui portanto duas regioes distintas, separadas por um tempo
de saturacao tx (“crossover time”). Isto sugere que a presenca da saturacao resulta da
existencia de correlacoes no sistema, sendo um efeito inerente a sistemas finitos [4].
Para tempos menores que tx, W (L, t) aumenta com o tempo segundo uma lei
de potencia de forma que:
W (L, t) ≈ tβ[t < tx] (2.59)
O expoente β, e chamado de expoente de crescimento e descreve a dependencia
temporal do processo de formacao da superfıcie. Ja para instantes maiores que tx,
existe uma lei de potencia relacionando a largura de interface e o tamanho do sistema
34
analisado, sendo entao:
WSAT (L) ≈ Lα[t > tx] (2.60)
O expoente α, que caracteriza a rugosidade da interface saturada, e chamado
de expoente de rugosidade, e retrata como a rugosidade de um sistema e alterada com
a mudanca da escala sob a qual o mesmo e analisado. O tempo de transicao entre as
duas etapas tambem depende do tamanho do sistema, apresentando a seguinte relacao
de escala:
tx(L) ≈ Lz (2.61)
O expoente z, da relacao acima, e chamado de expoente dinamico. Os expo-
entes definidos nao sao independentes e, portanto, observa-se que no comportamento
da razao W (L,t)WSAT
com relacao ao tempo, tem-se curvas que saturam ao mesmo tempo,
independentemente do tamanho do sistema. Analisando-se tambem o comportamento
da largura de interface, como funcao de ttx
, tem-se curvas que saturam simultanea-
mente. Estas observacoes sugerem que W (L,t)WSAT
e uma funcao de ttx
e portanto :
W (L, t)
WSAT (L)≈ f
(t
tx
)(2.62)
A partir das equacoes 2.60, 2.61 e 2.62 obtem-se a relacao de escala de Family-
Vicsek [4], onde:
W (L, t) ≈ Lαf(
t
Lz
)(2.63)
Fazendo a funcao de escala f(
ttx
)= f(u), verifica-se que, para pequenos
valores de u, a mesma cresce como uma lei de potencia, de tal forma que f(u) ≈ uβ.
Para (t →∞), a largura de interface satura, de modo que a funcao de escala e uma
constante para u À 1.
Para mostrar a relacao entre os expoentes tratados, e importante observar
que sistemas de tamanhos diferentes possuem larguras de saturacao diferentes, assim
35
Figura 2.13: Ilustracao esquematica mostrando a variacao da Largura de Interface com respeitoao tempo para sistemas de diferentes tamanhos L, com L1 > L2 > L3.
como tempos de saturacao distintos (Figura 2.13). Analisando-se o comportamento
de log(
W (L,t)Lα
)em funcao de log t, verifica-se que as curvas de saturacao colapsarao
nas ordenadas para diferentes instantes tx (Figura 2.14). Finalmente, tratando o
comportamento de log(
W (L,t)Lα
)em relacao a log
(ttx
)observa-se que as curvas de
saturacao colapsarao, sugerindo a hipotese de escala (Figura 2.15).
Se o limite para o “ponto de crossover” (tx,W (tx)) for tomado pela esquerda,
tem-se, pela relacao 2.59, que W (tx) ≈ tβx. Por outro lado, se o limite, em relacao ao
mesmo ponto, for tomado pela direita, tem-se, pela relacao 2.60, que W (tx) ≈ Lα.
Logo, pode-se concluir que, no ponto de “crossover”, tβx ≈ Lα e portanto:
Lz.β ≈ Lα ⇒ z =α
β(2.64)
Uma questao, que parece elementar, esta relacionada a causa da saturacao de
um sistema como este. O fato do tempo de saturacao e a largura de interface saturada
crescerem com o tamanho do sistema, sugere que o fenomeno de saturacao constitui
um efeito inerente a sistemas finitos. Uma vez que durante a deposicao a superfıcie
36
Figura 2.14: Representacao logarıtmica da divisao dos valores de rugosidade por Lα. Isto resultaem que as curvas saturam para um mesmo valor de ordenada, porem em instantes distintos.
Figura 2.15: Comportamento logarıtmico da rugosidade dividida por Lα e dos valores do tempopor Lz. Neste caso saturam para um mesmo valor de ordenada e de abcissa.
37
obtida apresenta correlacoes, os diferentes sıtios da superfıcie formada por deposicao
balıstica nao sao completamente independentes, dependendo portanto da altura dos
sıtios vizinhos.
Uma consequencia e que as flutuacoes das alturas se propagam lateralmente,
uma vez que a proxima partıcula depositada pode ter uma altura maior ou igual
a da sua vizinha, sendo portanto um processo de crescimento local. O crescimento
lateral, portanto, traz informacoes sobre como a altura de cada um dos vizinhos se
propaga globalmente. A distancia tıpica entre as alturas de cada sıtio, em relacao aos
vizinhos, ou seja, a distancia caracterıstica sobre a qual os sıtios estao correlacionados,
e chamada de comprimento de correlacao e e denotado por ξ|| . No comeco do
crescimento os sıtios sao descorrelacionados, sendo que durante a deposicao, ξ|| cresce
com o tempo inferindo-se que, para sistemas finitos, tal crescimento nao e indefinido.
Quando ξ|| alcanca o tamanho do sistema, a interface inteira se torna correlacionada,
resultando na saturacao da largura de interface. Entao tem-se que ξ|| ≈ L para
t À tx. De acordo com a relacao 2.63, a saturacao ocorre no instante tx dado por
2.61 e, portanto, relacionando o comprimento de correlacao com o tempo, tem-se para
instantes muito menores que o “crossover time” que:
ξ|| ≈ t1z (2.65)
Uma equacao contınua, chamada de equacao KPZ [4], pode ser construıda
envolvendo os expoentes caracterısticos deste modelo de deposicao. Esta equacao
constitui-se portanto uma classe de universalidade correspondente (ver Apendice B).
38
Capıtulo 3
Campo Eletrico Gerado por
Fronteiras Auto-Afins
Neste capıtulo apresenta-se uma discussao sobre as propriedades de escala
de uma famılia de linhas e de superfıcies equipotenciais numa regiao confinada entre
uma reta ou plano e um perfil ou seuperfıcie com geometria fractal, regiao na qual
adota-se uma solucao numerica para a equacao de Laplace. Sera feita a priori, uma
breve discussao a respeito das equacoes diferenciais parciais, bem como a respeito das
solucoes analıtica e numerica da equacao de Laplace numa abordagem bi-dimensional.
Nao obstante, a equacao de Laplace tambem foi resolvida numericamente para sistemas
com 2D+1 dimensoes, em uma regiao delimitada por uma fronteira fractal auto-
afim. Na primeira parte dos resultados, um estudo foi feito para o caso 1D+1,
investigando-se como o tamanho do sistema influencia as irregularidades das linhas
equipotenciais, ou seja, no valor das correspondentes dimensoes fractais. Estas ultimas
foram calculadas, para este caso, utilizando-se o metodo do Semivariograma. Na
segunda parte, foram investigadas as propriedades topologicas das superfıcies equipo-
tenciais (caso 2D+1), considerando-se superfıcies base condutoras, geradas por uma
deposicao balıstica, bem como por uma metodologia Fractional Brownian Motion
(FBM). Neste caso foram utilizados os metodos Root Mean Square (RMS) e Semi-
variograma, possibilitando um estudo comparativo entre os dois metodos, bem como
inferindo os domınios de validade para os mesmos. E importante ressaltar que em todo
39
o trabalho, foram atribuıdas para as grandezas fısicas investigadas unidades efetivas.
3.1 Equacoes Diferenciais Parciais
Muitos problemas cientıficos requerem, para o seu tratamento adequado, uma
abordagem matematica no campo das equacoes diferenciais parciais. Um simples e
importante exemplo e um problema tıpico de distribuicao de temperatura em um
pedaco de metal, no qual certos pontos estao sujeitos a uma temperatura fixa. Assim,
num ponto generico, a temperatura e uma funcao das coordenadas do ponto [29].
Fenomenos fısicos, que sao descritos por funcoes de mais de uma variavel
independente, podem resultar tratados por uma equacao diferencial parcial, ou seja,
uma equacao que envolve derivadas parciais. Sendo u uma funcao de duas variaveis
independentes, x e y, verifica-se que tres derivadas parciais de segunda ordem podem
estar presentes na descricao matematica de um dado problema, ou seja:
∂2u
∂x2,∂2u
∂y2,
∂2u
∂x∂y. (3.1)
Dependendo do valor dos coeficientes dos termos das derivadas de segunda
ordem, as equacoes diferenciais parciais podem ser classificadas como elıpticas, para-
bolicas ou hiperbolicas. A forma, as propriedades e a solucao das equacoes diferenciais
dependem da natureza do problema fısico, bem como das condicoes de contorno a que
estao sujeitas. Em geral podemos escrever uma equacao diferencial parcial de segunda
ordem como:
A∂2u
∂x2+ B
∂2u
∂x∂y+ C
∂2u
∂y2+ D(x, y, u,
∂u
∂x,∂u
∂y) = 0 (3.2)
A depender do valor de B2 − 4AC, as equacoes serao caracterizadas como:
Elıpticas → B2 − 4AC < 0 (3.3)
Parabolicas → B2 − 4AC = 0 (3.4)
40
Hiperbolicas → B2 − 4AC > 0 (3.5)
Assim, para B = 0 e A = C = 1 a equacao diferencial e sempre elıptica. Em
particular, se D = 0, a equacao e chamada de equacao de Laplace que, em coordenadas
cartesianas, assume a forma:
∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2= 0 ⇒ ∆u = 0 (3.6)
Nesta secao busca-se a solucao para o potencial eletrico no interior de uma
regiao desprovida de fontes, atribuindo-se as condicoes de Dirichlet (Apendice C)
nos contornos que delimitam a regiao, inferior e superiormente. Lateralmente sao
impostas condicoes periodicas. Solucoes exatas sao conhecidas em casos de contornos
com simetrias muito simples, como cırculos ou retangulos em duas dimensoes, ou
esferas, cilindros ou paralelepıpedos em tres dimensoes, com valores de u tambem
dados por funcoes muito simples sobre o contorno. Desta maneira, para contornos
com uma geometria nao muito simples, e necessario recorrer a solucoes numericas.
Entender o comportamento do potencial e do campo eletrico proximo a su-
perfıcies condutoras e necessario para a adequada interpretacao de varios fenomenos
presentes em diversas tecnicas experimentais. A ionizacao do gas, pela acao do campo
no microscopio ionico de campo, bem como a evaporacao de atomos e de ıons nos
processos de dessorcao induzida, sao bons exemplos [30].
3.2 Solucao Analıtica da Equacao de Laplace
Os dispositivos eletricos funcionam baseados na acao de campos eletricos
produzidos por cargas eletricas e campos magneticos produzidos por correntes eletricas
que, por sua vez, sao constituıdas por cargas eletricas em movimento. Para entender
o funcionamento de dispositivos eletricos devemos estar aptos a quantitativamente
avaliar estes campos, nestes dispositivos e em torno deles. Isso e possıvel se do-
minarmos tecnicas que nos permitam determinar estas quantidades e, para facilitar
41
a visualizacao espacial, que possibilitem uma representacao grafica das grandezas
envolvidas, o que facilita a interpretacao dos fenomenos fısicos envolvidos. Em outras
palavras, devemos ser capazes de produzir mapas de campos que descrevam o com-
portamento dos fenomenos eletricos. Estes mapas normalmente representam linhas de
fluxo, superfıcies equipotenciais e distribuicoes de densidades de carga, possibilitando
a obtencao de informacoes a respeito da intensidade do campo, de diferencas de
potencial, de energia armazenada, de densidades de cargas, de densidades de correntes,
etc.
Para isso sabe-se que a Lei de Gauss, na forma integral, para um conjunto
discreto de cargas e dada por:
∫
S
E.ηdS = 4π∑
i
qi (3.7)
onde a soma e efetuada sobre todas as cargas no interior da superfıcie fechada
S. Para uma distribuicao contınua de carga, a lei de Gauss tem a forma:
∫
S
E.ηdS = 4π∫
V
ρ(r)dv (3.8)
onde V e o volume limitado por S. Para obter-se a forma diferencial utiliza-se
o Teorema da Divergencia onde, para um dado vetor A(r), definido em um volume V
limitado por uma superfıcie fechada S, tem-se a seguinte relacao:
∫
S
A.ηdS =∫
V
(5.A)dv (3.9)
Portanto, aplicando-se o Teorema da Divervencia a Lei de Gauss, ter-se-a:
∫
V
(5.E−4πρ)dv = 0 (3.10)
o que levara a:
5.E =4πρ (3.11)
42
A igualdade 3.11 corresponde a Lei de Gauss na forma diferencial. Uma vez
que o campo eletrostatico e conservativo:
5× E =0 (3.12)
Como consequencia direta de 3.12 tem-se que, neste caso, o campo eletrico
podera ser escrito como o gradiente de uma funcao escalar, funcao esta denominada
de potencial eletrico, ou seja:
E = −5 ϕ (3.13)
Portanto, em regioes do espaco onde nao se tem distribuicao de carga, 5.E = 0
e, consequentemente, o potencial escalar satisfara a equacao de Laplace, ou seja:
∆ϕ = 0 (3.14)
Para resolver analiticamente a equacao 3.14, em coordenadas retangulares e
em duas dimensoes, pode-se utilizar o metodo da separacao de variaveis. Neste caso
assume-se que ϕ pode ser expresso como o produto de duas funcoes ξ e Ψ sendo
ξ = f(x) e Ψ = f(y). Entao:
ϕ = ξ.Ψ. (3.15)
Substituindo a equacao 3.15 em 3.14 obter-se-a:
Ψd2ξ
dx2+ ξ
d2Ψ
dy2= 0. (3.16)
Dividindo-se 3.16 por ξ.Ψ, tem-se que:
1
ξ.d2ξ
dx2+
1
Ψ
d2Ψ
dy2= 0. (3.17)
Portanto, como a soma dos dois termos acima e uma constante, e cada variavel
e independente uma da outra, cada termo devera ser igual a uma constante. Desta
43
maneira pode-se escrever:
d2ξ
dx2= c2
1.ξ (3.18)
e
d2Ψ
dy2= −c2
1.Ψ = c22.Ψ (3.19)
Logo, a solucao geral da equacao 3.14 sera dada por:
φ = (K1.ec1x + K2.e
−c1x)(K3.ec2y + K4.e
−c2y) (3.20)
onde K1, K2, K3 e K4 sao constantes a determinar a partir das condicoes de
contorno especıficas do problema.
3.3 Solucao Numerica em Duas Dimensoes
O campo e o potencial eletrico sao importantes quantidades na interpretacao
de resultados de tecnicas de imageamento de superfıcies. Frequentemente, a variacao
local destas quantidades, em escala atomica, deve ser determinada com o fim de se
interpretar corretamente os dados experimentais. O efeito de uma unica protuberancia
em uma superfıcie lisa tem sido convenientemente modelado a partir de caminhos
analıticos e numericos. Porem, quando o perfil apresenta muitas irregularidades, o
problema se torna mais difıcil, sendo portanto necessario recorrer a aproximacoes
numericas para resolver a equacao de Laplace. Esta equacao apresenta uma solucao
analıtica para casos em que condicoes de contorno sao aplicadas em sistemas fısicos de
alta simetria. Para resolve-la numericamente, em uma regiao limitada por dois perfis
com potenciais constantes mas distintos e condicoes periodicas numa direcao, usou-se
o metodo de Liebmann (Apendice C). Tal metodo consiste em substituir derivadas
parciais por uma razao de diferencas. Torna-se necessario, para a implementacao do
metodo, que o domınio, ou seja, a regiao onde se deseja determinar o potencial ponto
a ponto, seja divida em um “grid”. Valores iniciais sao atribuıdos arbitrariamente a
44
cada um dos pontos internos do “grid”, obedecendo a condicao de que estes valores
estejam compreendidos entre os valores dos potenciais previamente atribuıdos a dois
dos contornos que delimitam a regiao de integracao. O potencial eletrico e entao
calculado em cada nodo. Isto e feito considerando o laplaciano na forma:
∂2φ
∂x2+
∂2φ
∂y2= 0 (3.21)
o que leva a:
∆φ =φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j
(∆x)2+
φi,j+1 − 2φi,j + φi,j−1
(∆y)2(3.22)
Como ∆φ = 0, o potencial em cada ponto do “grid” ficara dado por:
φi,j =φi+1,j + φi−1,j
2(L2 + 1)+
φi,j+1 + φi,j−1
2(L−2 + 1)(3.23)
sendo L = ∆x∆y
= 1, uma vez que neste trabalho optou-se por tratar o “grid”
com isometria na disposicao dos nodos (“grid” quadrado).
3.4 Discussao e Resultados (1D+1)
Neste trabalho buscou-se considerar alguns aspectos adicionais a trabalhos
anteriores que tratam da influencia de um condutor linear e rugoso, mantido a um
potencial constante e distinto do associado a um perfil retilıneo distante [31, 32]. No
trabalho de Cajueiro et al. [31], o perfil utilizado foi um fractal auto-similar, a curva de
Koch. Posteriormente, Dias Filho et al. [32] consideraram perfis diferentes, resultado
de uma distribuicao balıstica e uma randomica com difusao, alem de um perfil tipo
funcao de Weierstrass. A influencia do tamanho do sistema nao foi considerada nos
dois trabalhos imediatamente anteriores. Desta maneira, busca-se aqui discutir os
efeitos do tamanho do perfil na dimensao fractal de linhas equipotenciais compreendi-
das entre os dois perfis associados a potenciais fixos. Discute-se a rugosidade do perfil
e das linhas equipotenciais e sua dependencia com o tamanho do perfil, com aplicacao
a um caso de um perfil auto-afim [33].
45
Problemas deste tipo sao motivados pela necessidade de analise do movimento
de partıculas carregadas responsaveis pela formacao de imagens em microscopias que
sao resultado da trajetoria de partıculas sujeitas a acao de campos eletricos, como
e o caso das microscopias ionica de campo e de emissao de campo (FIM and FEM,
respectivamente). Efeitos resultantes das variacoes do campo eletrico local podem ser
tambem de interesse pratico em outras areas, como por exemplo para a determinacao
das propriedades de dispositivos emissores [34], variacao da funcao trabalho local e
comportamento de eletrodos [35, 36].
Para a determinacao das propriedades do campo eletrico gerado por um con-
dutor com geometria irregular, atribuiu-se ao mesmo um potencial eletrico constante.
Assim, no caso φ0 = 0. O perfil utilizado possui geometria invariante de escala,
correspondendo ao perfil mostrado na Figura 2.4. No nıvel N1, o perfil e constituıdo
por segmentos de reta que ligam sucessivamente os pontos representados por (x, y) =
(0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, 1) e (4, 2). Uma comparacao das figuras em duas geracoes
sucessivas, indica que todos os comprimentos horizontais foram ampliados por um
fator sh = 4, enquanto o fator de escala na direcao vertical foi de sv = 2. Para
se evitar efeitos indesejaveis de fronteira, utilizou-se apenas metade dos pontos em
cada geracao. Deste modo, para a metade da geracao G8, tem-se um perfil com 8192
pontos, conforme mostrado na Figura 3.1. Como o perfil possui caracterıstica de auto-
afinidade, o expoente de rugosidade, α, considerando-se a construcao ja discutida,
possui valor 0, 5.
A outra condicao de contorno esta associada a uma linha reta condutora,
distante do perfil fractal, de modo que o potencial eletrico associado a este perfil, φ1, foi
no caso tomado como igual a 100. A equacao de Laplace foi resolvida no domınio entre
os dois condutores utilizando-se o metodo de Liebmann. O domınio foi convertido
em um “grid” bi-dimensional e o potencial eletrico foi calculado iterativamente em
cada ponto do mesmo, com condicoes de contorno periodicas impostas nas laterais
da regiao de integracao. A partir da solucao numerica da equacao de Laplace, um
conjunto de linhas equipotenciais (Figura 3.2) cujas coordenadas sao representadas
por yφi, i = 1, ...,M , foram determinadas por interpolacao linear a partir dos valores
46
Figura 3.1: Porcao de perfil auto-afim tratado como condutor, com 8192 pontos. ALei de Formacao para este perfil e apresentada na secao 1.3.
dos potenciais do “grid”, φ.
As propriedades de rugosidade de cada perfil, yφi, seguem Leis de Escala
expressas pelos expoentes de rugosidade α, que foram calculados a partir do algoritmo
do semivariograma, conforme discutido no Capıtulo 2. Como ja se sabe, o mesmo e
baseado no calculo da semivarianca γφi(r) para cada perfil equipotencial, sendo esta
definida por:
γφi(r) =
1
2n(r)
n(r)∑
i=1
[yφi(x)− yφi
(x + r)]2 . (3.24)
Na equacao 3.24, yφi(x) indica a altura dos pontos que pertencem a um perfil
equipotencial e n(r) e o numero de pares de pontos ao longo do perfil, separados
por uma distancia r. Como a rugosidade do perfil, que mede essencialmente como
a diferenca entre as alturas de dois pontos do perfil obedece a uma Lei de Escala, a
semivarianca γ depende assintoticamente de r. Como visto no Capıtulo 2 (Eq. 2.49),
pode-se concluir que:
47
Figura 3.2: Linhas equipotenciais φ(x) = φi , φi = 1, 7, 5n, n = 2, ..., 20, para o perfilmostrado na Figura 3.1. φ = 100 para a fronteira superior e uma aproximacao deφ(y →∞) →∞.
γφi(r) ∼ r2αi (3.25)
Para melhor entender os resultados para os perfis equipotenciais, divide-se a
discussao em duas partes. Primeiramente os resultados apresentados serao associados
a um perfil cujo numero de pontos e mantido fixo. Na Figura 3.2 e mostrado um
conjunto de linhas equipotenciais. Cada linha equipotencial contem 8192 pontos,
correspondendo a um comprimento Lx = 8192 unidades de distancia. Na direcao
y tem-se 500 pontos, correspondendo a Ly = 500 unidades de comprimento. As 19
linhas mostradas na Figura 3.2 foram obtidas, para este caso especıfico, considerando-
se o potencial eletrico do perfil base tal que φy1(x) = 0 e o potencial da linha distante
φy2(x) = 100. Os calculos dos expoentes αi foram feitos para i = 1, ..., 100. Nota-
se que, como as dimensoes maximas, horizontal e vertical, sao bem distintas (500 e
8192) a regiao onde a equacao de Laplace foi resolvida e distorcida, no sentido de que
o comprimento do perfil e muito maior do que o maximo valor de y associado ao perfil
48
base (altura do perfil). Isto decorre da propria construcao do perfil escolhido, onde a
distancia maxima entre posicoes extremas na direcao x cresce por um fator de escala
4, em cada passo da construcao do perfil, enquanto na direcao y esta associado um
fator de escala 2. Isto leva ao fato de que a maxima altura do perfil cresce com o
comprimento Lx obedecendo a lei de potencia L12 .
A solucao numerica da equacao de Laplace, cuja representacao grafica e mos-
trada na Figura 3.2, mostra que a forma das linhas equipotenciais, partindo-se de uma
regiao proxima ao condutor base e em seguida daı se afastando, rapidamente perde
correlacao com a forma do perfil.
Figura 3.3: (a)Semivariogramas para uma famılia de linhas equipotenciais calculadasem uma regiao compreendida entre um perfil auto-afim tomado como base (Figura3.1) e uma linha reta distante. As linhas equipotenciais mais distantes do perfilcorrespondem maiores inclinacoes do semivariograma no limite em que r → 0, o queresulta em menores valores para a respectiva dimensao fractal. As curvas indicam,de cima para baixo, as linhas equipotenciais cujos potenciais sao φ = 1, 5 e 10n,n = 1, 2, ..., 9. (b) Comportamento do desvio padrao relativo ao ajuste linear dossemivariogramas mostrados em (a) como funcao do potencial eletrico, para a obtencaodos correspondentes expoentes de rugosidade. O intervalo de escala utilizado para oajuste, foi tal que r
Lx≥ 1
800e r
Lx≤ 1
16, onde r
Lxrepresenta a razao entre a escala
correspondente e o tamanho do perfil.
Na Figura 3.3 mostram-se alguns semivariogramas tıpicos, em escala log-log,
para varias linhas equipotenciais com Lx = 8192. Vale observar que a maior escala
corresponde, aproximadamente, a metade do perfil inteiro. Cada ponto do semivari-
49
ograma representa o valor medio sobre todo o perfil, associado aos pares de pontos
separados por r. A forma de todos os semivariogramas, γ(r), em pequenas escalas,
corresponde a de pontos dispostos ao longo de uma linha reta em um grafico log-
log, com uma inclinacao muito bem definida para um mesmo potencial, descrescendo
a medida que o potencial cresce. Porem, para escalas acima de 1000, a inclinacao
decresce e o semivariograma γ(r) tem uma tendencia a saturacao, apresentando
aproximadamente a forma de um “plateau” horizontal. Isto decorre do fato de que,
para um perfil finito, uma escala maior que 1/4 do tamanho do perfil resulta em uma
estatıstica “pobre” para o tratamento adequado do problema (ver Figura 3.4), ou seja,
existem poucos pares de pontos para a determinacao da semivariancia considerando-se
escalas maiores que 1/4 do tamanho do perfil. O mesmo efeito e observado para todos
os semivariogramas correspondentes as diferentes linhas equipotenciais.
Figura 3.4: Semivariogramas para dois perfis condutores com tamanhos Lx = 8192 eLx = 2048. Observa-se que para o perfil de menor tamanho, tem-se uma saturacaopara menores comprimentos de escala em relacao a um perfil de comprimento maior.Este fato sugere que a saturacao do semivariograma nao depende de caracterısticastopologicas do perfil.
E necessario entao considerar a porcao de cada semivariograma com comporta-
50
mento linear, de modo a se determinar o coeficiente angular de cada linha representada
na Figura 3.3, o que leva a determinacao do expoente de rugosidade. Neste trabalho, o
coeficiente angular, que corresponde ao dobro do expoente de rugosidade α, foi obtido
pelo metodo dos mınimos quadrados. Para um valor fixo do comprimento do perfil,
Lx, o intervalo de escala utilizado para ajuste linear ficou compreendido entre rLx≥ 1
800
e rLx≤ 1
16. Naturalmente este intervalo esta limitado a regiao anterior a saturacao do
semivariograma. Os resultados indicam maiores valores de α para maiores valores de
φ. Portanto, o crescimento no valor de α implica no decrescimo do valor da dimensao
fractal Df . Assim, coerentemente com o que e possıvel observar visualmente pelo
exame da Figura 3.2, nota-se que as linhas equipotenciais se tornam “menos rugosas”
quao mais distantes do perfil base.
Para avaliar a dependencia da dimensao fractal com relacao ao potencial eletrico
e/ou a distancia media de cada linha equipotencial ao condutor base, consideramos
perfis de tamanhos Lx = 8192, Lx = 4096 e Lx = 2048. Na Figura 3.5, observa-se o
comportamento da Df − 1 como funcao do potencial eletrico φ, enquanto na Figura
3.6 Df − 1 e representada como funcao da distancia media entre a linha equipotencial
e o perfil base, media esta definida por:
< d(φ) >=1
L
L∑
x=0
[yφi(x)− yφ=0(x)] (3.26)
Apesar da tendencia geral de decaimento dos pontos nas Figuras 3.5 e 3.6,
nenhuma delas pode ser aproximada exatamente por exponenciais ou leis de potencia.
Esta mesma caracterıstica foi verificada para perfis randomicos [32] com os mesmos
expoentes de rugosidade α. Como, neste trabalho, considerou-se um perfil rugoso com
maior regularidade, i. e., com Lei de Formacao definida, este resultado sugere uma
dependencia nao trivial entre a dimensao fractal Df e φ e/ou entre Df e < d(φ) >.
E interessante discutir o comportamento da distancia media ao perfil base, de
cada linha equipotencial, com respeito ao potencial eletrico. Nota-se, como esperado,
que < d(φ) > cresce monotonicamente com o crescimento de φ. Contudo nao foi
possıvel encontrar uma relacao trivial entre as duas quantidades. O exame detido
51
Figura 3.5: Comportamento da Df − 1 como uma funcao do potencial eletrico φ paraos tres perfis. Cırculos, quadrados e triangulos indicam, respectivamente, perfis com8192, 4096 e 2048 pontos.
Figura 3.6: Dependencia da Df − 1 como funcao da distancia media < d(φ) > comrespeito a φ. Cırculos, quadrados e triangulos indicam, respectivamente, perfis com8192, 4096 e 2048 pontos.
52
da Figura 3.7 sugere a existencia de duas regioes, uma para menores e outra para
maiores valores de φ, onde a dependencia e aproximadamente linear. Para valores
intermediarios esta simples dependencia e perdida. Isto pode ser melhor analisado
mediante a avaliacao do coeficiente de correlacao e/ou do desvio padrao em grupos
de quatro pontos consecutivos do potencial mostrado na Figura 3.7. Para um dado
conjunto de pontos foram calculados os coeficientes angulares a partir do melhor
ajuste para quatro pontos sucessivos. Assim, o conjunto I corresponde ao ajuste dos
pontos 1, 2, 3 e 4, o conjunto II aos pontos 2, 3, 4 e 5 e assim sucessivamente. Por
fim, o conjunto VII corresponde ao ajuste linear dos pontos 7, 8, 9 e 10. Na Figura
3.8, mostra-se o desvio padrao referente ao ajuste linear para se obter os coeficientes
angulares, para cada conjunto de quatro pontos. Conforme se verifica, os resultados
sao “mais pobres” para valores intermediarios do potencial eletrico como discutido
antes. Para d e φ →∞ o carater de quase linearidade e recuperado.
Figura 3.7: Dependencia da distancia media < d(φ) > com respeito ao potencialeletrico. Circunferencias, quadrados e triangulos (os dois primeiros quase coincidentes)indicam, respectivamente, perfis com 8192, 4096 e 2048 pontos.
Como segunda parte desta discussao, considerou-se tambem a dependencia das
propriedades de rugosidade das linhas equipotenciais como uma funcao do comprimen-
53
Figura 3.8: Desvio padrao para um ajuste linear de um conjunto de quatro pontossucessivos. Os conjuntos sao formados de modo que o conjunto I corresponde aospontos 1, 2, 3 e 4, o conjunto II corresponde aos pontos 2, 3, 4 e 5, e assimsucessivamente.
to do perfil Lx. Este procedimento e util no entendimento de como uma sequencia de
resultados, para amostras de comprimentos distintos mas todos finitos, pode indicar
o tipo de comportamento esperado no limite de um sistema de comprimento infinito.
Para isto sera analisado, para cada linha equipotencial, como a dimensao fractal
associada a esta linha, varia com respeito a diferentes comprimentos Lx do perfil. Para
efetuar a comparacao proposta, observou-se nao ser necessario resolver sequencialmen-
te a equacao de Laplace para sistemas de diferentes tamanhos Lx. Restrigiu-se assim
a integracao da referida equacao apenas para a regiao delimitada pelo perfil de maior
comprimento Lxmax, adotando-se, para comprimentos sucessivamente menores, os
valores do potencial segundo previamente calculado para um “grid” maior. Otimiza-
se portanto o tempo computacional. Assim, e suficiente considerar, para cada linha
equipotencial, como a sua dimensao fractal depende de Lx, este considerado como
sendo de diferentes tamanhos. Adotando-se esta aproximacao, nao apenas o efeito
das condicoes periodicas e evitado, como tambem o problema de identificacao das
54
linhas equipotenciais a serem estudadas, no caso de adotarem-se etapas distintas da
integracao numerica, uma para cada tamanho de perfil. Como ja visto, a determinacao
da dimensao fractal requer uma previa determinacao do expoente de rugosidade. E
necessario portanto discutir um aspecto importante que esta associado a medida
do expoente de rugosidade para perfis de diferentes comprimentos, qual seja uma
adequada adocao das escalas inicial e final para o ajuste em busca da linearidade
conforme ja descrito. Com o crescimento de Lx, e observado que o intervalo de
escala r utilizado nos semivariogramas tambem pode ser maior, de modo que os
valores dos expoentes de rugosidade dependerao dos maiores comprimentos de escala
a serem incluıdos no processo de linearizacao. Conforme ja mencionado, a escala
maxima utilizada foi rmax = Lx
16. Portanto utilizaram-se, no estudo da presente
secao, dois caminhos distintos para a interpretacao dos resultados. Dois resultados
aparentemente contraditorios foram encontrados: i) a dimensao fractal das linhas
equipotenciais de um perfil com comprimento fixo decresce quando sucessivamente
consideramos linhas mais afastadas do perfil base; ii) a dimensao fractal de uma
determinada linha equipotencial (valor de φ mantido fixo) cresce com o aumento do
tamanho do perfil (Figura 3.5). Este segundo resultado, sugere que, tendo-se um perfil
infinito, todas as linhas equipotenciais serao caracterizadas pelos mesmos valores dos
expoentes de rugosidade apresentando portanto as mesmas dimensoes fractais. Vale
observar que a interpretacao do segundo resultado se deve a propriedades de escala
das linhas equipotenciais, com as conclusoes para o sistema hipoteticamente infinito
nao apresentando contradicao com o caso finito.
3.5 Discussao e Resultados (2D+1)
Nesta secao, e feita uma discussao a respeito das propriedades fractais de
superfıcies equipotenciais. Para isto foi imprescindıvel uma extensao da solucao
numerica da equacao de Laplace para o caso de 2D + 1 dimensoes. Os resultados
obtidos tiveram o seu tratamento dividido em duas partes: primeiramente, discute-
se algumas propriedades das superfıcies equipotenciais calculadas para condutores
55
base obtidos por deposicao balıstica e por uma metodologia FBM. Como segunda
parte, uma discussao complementar dos resultados e feita com respeito ao domınio de
validade dos metodos utilizados para quantificar as irregularidades que caracterizam
as superfıcies equipotenciais.
A priori, o algoritmo para a solucao numerica da equacao de Laplace utilizado
no estudo de perfis fractais (Caso 1D+1), foi extendido para o caso de 2D + 1
dimensoes (Apendice C). Isto possibilitou o calculo das superfıcies equipotenciais
numa regiao limitada por uma superfıcie resultado de uma deposicao balıstica DB ou
de uma metodologia FBM, e uma superfıcie plana distante. A diferenca de potencial
eletrico entre as duas superfıcies foi assumida constante, de modo que para o condutor
base atribuiu-se o potencial eletrico φ0 = 100 e para o condutor distante φ1 = 0,
diferentemente portanto, das atribuicoes adotadas no estudo feito para o caso 1D+1.
Atraves do metodo de Liebmann, com isometria na disposicao dos pontos do “grid”,
extendeu-se a expressao para o calculo do potencial eletrico para pontos do espaco
(Apendice C). Uma vez determinado o potencial eletrico nos pontos do “grid”, um
algoritmo foi construıdo no sentido de se determinar o potencial eletrico associado a
qualquer ponto do espaco, utilizando-se para isso uma interpolacao linear. Definindo-
se a variacao do potencial com respeito a direcao definida pelo versor k (versor que
representa a direcao do eixo que define a altura de cada ponto do espaco.) e denotando-
se tal por Gφ, entao tem-se que:
Gφ =φ(i, j, k + 1)− φ(i, j, k)
∆k(3.27)
com ∆k = k + 1− k = 1, uma vez que o espacamento dos pontos vizinhos do
“grid” foi considerado unitario ( Um estudo envolvendo o processo de relaxacao para a
convergencia obtida na solucao numerica da equacao de Laplace pode ser encontrado
em [31] ) . As coordenadas de uma superfıcie equipotencial qualquer sao especificadas
por (i, j, k + dz), com 1 > dz > 0, de modo que o potencial eletrico que se busca sera
dado por:
φ(i, j, k + dz) = φ(i, j, k) + Gφ.dz (3.28)
56
Uma vez que dz e perfeitamente determinado pela relacao 3.28, as coordenadas
da superfıcie equipotencial que se busca serao completamente especificadas.
Figura 3.9: Superfıcies equipotenciais calculadas para o caso de uma superfıcie base irregulargerada por uma metodologia FBM, com tamanho 200x200.
No caso dos resultados obtidos para uma superfıcie condutora obtida por DB,
duas situacoes foram consideradas. Uma vez que o comprimento de correlacao lateral
e nao nulo durante o processo de deposicao, apos a saturacao da rugosidade verifica-
se a presenca de vazios no volume (“bulk”) do material. Este fato acarreta um
aumento do tempo computacional, uma vez que o processo iterativo para solucao
da equacao de Laplace sera considerado para tais pontos que pertencem aos vazios.
Para a “construcao” da superfıcie uma aproximacao foi necessario ser feita. Uma
vez que na deposicao balıstica podem surgir vazios em posicoes abaixo de pontos
que pertencem ao material condutor, nestes vazios, teria-se pontos cujo potencial
eletrico seria determinado a partir do processo de integracao numerica. Isto traria
consequencias que resultariam na existencia de uma superfıcie externa e de uma
superfıcie interna, relativamente a porcao de espaco resultante da deposicao. Assim
optou-se por ignorar as porcoes correspondentes aos vazios, associando o potencial
dos seus pontos interiores com o potencial da fronteira. Portanto, considerando-se o
potencial eletrico da superfıcie como φSup(x, y, zSup), foi feita a aproximacao:
57
φ(x, y, z < zSup) = φSup(x, y, zSup) (3.29)
Houve tambem uma preocupacao durante o processo de deposicao balıstica
que esta associada a saturacao da rugosidade da superfıcie condutora. Para isso,
foi considerado o numero de partıculas a serem depositadas (ver Figura 3.10 ) para
a configuracao da superfıcie saturada. Este numero naturalmente aumenta com o
tamanho do sistema, garantindo portanto uma superfıcie com rugosidade definida.
Isto ganha uma importancia tecnologica, pois em se tratando de um catalisador
percebe-se no processo de sıntese que a partir de uma determinada quantidade de
partıculas depositadas, ocorre a saturacao dos valores de dimensoes fractais associadas
ao material no suporte. Nesse ponto, a irregularidade da superfıcie e maxima e,
portanto, um aumento da quantidade de material depositada no suporte nao significa
melhoria da qualidade do catalisador [37] .
Figura 3.10: O grafico acima mostra o comportamento da rugosidade com relacao ao tempo parasuperfıcies obtidas por deposicao balıstica com tamanhos 100x100, 200x200 e 300x300. Observa-seum crescimento preliminar da rugosidade, para uma posterior saturacao.
Para quantificacao das irregularidades das superfıcies equipotenciais utilizaram-
se os Metodos RMS e Semivariograma discutidos no Capıtulo 2. Nas Figuras 3.11 e
58
3.12, verifica-se o comportamento do desvio quadratico medio (RMS) como funcao
do comprimento de escala utilizado, em escala logarıtmica. O calculo foi feito para
superfıcies equipotenciais φi = 99 − 3n, n = 0, ..., 6, em que os condutores base
foram obtidos por DB, bem como por uma metodologia FBM. Foram considerados,
sistemas cujos tamanhos sao 200x200 e 300x300. Os expoentes de rugosidade foram
determinados tomando como escalas inicial e final 2 e 20 respectivamente, para o
caso de um sistema 200x200 e 2 e 30 para o caso de um sistema 300x300. Para
um sistema 200x200x100, bem como 300x300x100 de volume, verifica-se claramente
que, para pequenas escalas, a diferenca entre as rugosidades das correspondentes
superfıcies equipotenciais e maior, observando-se uma diminuicao dessa diferenca
para maiores comprimentos de escala. Isto pode ser justificado pelo fato de que
superfıcies equipotenciais mais proximas do condutor base sao caracterizadas por
menores expoentes de rugosidade apresentando, consequentemente, maiores valores de
dimenao fractal, resultado esse em concordancia com o estudo feito para perfis fractais.
A Figura 3.13, mostra o comportamento do desvio padrao obtido para o ajuste linear
dos graficos 3.11 e 3.12 como funcao do potencial eletrico, para a determinacao dos
expoentes de rugosidade de acordo com os intervalos de escala ja especificados.
Outro importante aspecto nessa discussao esta associado ao comportamento
da dimensao fractal com respeito ao potencial eletrico para os sistemas descritos
anteriormente (ver Figura 3.14). Para um sistema 200x200 as superfıcies condutoras,
obtidas por DB e pela metodologia FBM, possuem rugosidades 5, 37 e 8, 64 respec-
tivamente. Para um sistema 300x300 as correspondentes rugosidades obtidas foram
6, 49 e 5, 55.
A partir da Figura 3.14, observa-se que a geometria do condutor base afeta
claramente o grau de correlacao geometrica entre o mesmo e as superfıcies equipotenci-
ais na sua imediata vizinhanca. Comparando-se o comportamento da dimensao fractal
como funcao do potencial eletrico, para sistemas diferentes e de mesmo tamanho
verifica-se que, para o caso do condutor base obtido por DB, o decrescimo da dimensao
fractal com o decrescimo do potencial eletrico e menos acentuado, ou seja, a geometria
do condutor base e refletida em superfıcies equipotenciais mais distantes do condutor
59
Figura 3.11: Comportamento do desvio quadratico medio com o correspondente comprimentode escala no metodo RMS. As superfıcies base consideradas neste caso foram obtidas por umametodologia FBM e por deposicao balıstica com tamanhos 200x200. Maiores expoentes de rugosidadeforam obtidos para menores valores do potencial eletrico. As curvas indicam, de baixo para cima, assuperfıcies equipotenciais cujos potenciais sao 99− 3n, n = 6, 5, ..., 1, 0. Vale salientar que a unidadedo RMS e dada em unidades arbitrarias, assim como a escala.
Figura 3.12: Comportamento do desvio quadratico medio com o correspondente comprimentode escala no metodo RMS. As superfıcies base consideradas neste caso foram obtidas por umametodologia FBM e por deposicao balıstica com tamanhos 300x300. Maiores expoentes de rugosidadeforam obtidos para menores valores do potencial eletrico. As curvas indicam, de baixo para cima, assuperfıcies equipotenciais cujos potenciais sao 99− 3n, n = 6, 5, ..., 1, 0. Vale salientar que a unidadedo RMS e dada em unidades arbitrarias, assim como a escala.
60
Figura 3.13: (a) Comportamento do desvio padrao como funcao do potencial eletrico no ajustelinear das curvas mostradas na Figura 3.11 para o intervalo de escala 2 ≤ ω ≤ 20. (b) Comportamentodo desvio padrao como funcao do potencial eletrico no ajuste linear das curvas mostradas na Figura3.12 para o intervalo de escala 2 ≤ ω ≤ 30.
base, de maneira mais significativa. Este aspecto ganha importancia quando se
investiga o efeito de varias protuberancias que pertencem a uma superfıcie mais ou
menos suave, na distribuicao do campo eletrico no espaco. Os resultados indicam
que superfıcies que sao menos suaves, no caso as formadas por DB, contribuem mais
significativamente na intensidade do campo eletrico medio associado a superfıcies
equipotenciais mais distantes. Este aspecto voltara a ser discutido com mais detalhes
no Capıtulo 4 no tratamento da dinamica de partıculas carregadas, nao interagentes,
neste campo irregular.
Considerando-se o metodo RMS observa-se claramente que, para valores de
potenciais proximos a 0, os valores das dimensoes fractais das superfıcies equipotenciais
correspondentes tendem a 2, 1. Isto e justificado pela sensibilidade do metodo em se
analisar superfıcies rugosas. Uma vez que o desvio quadratico medio para um dado
comprimento de escala e para uma amostra analisada da superfıcie e calculado, todos
os pontos para o intervalo de amostra estudado sao considerados.
Comportamentos semelhantes sao verificados do ponto de vista qualitativo,
utilizando-se o metodo semivariograma para a determinacao das dimensoes fractais
das superfıcies equipotenciais. Na Figura 3.15, o comportamento da dimensao fractal
61
Figura 3.14: Os graficos acima mostram o comportamento da dimensao fractal (Df) como funcaodo potencial eletrico φ, para superfıcies obtidas por deposicao balıstica e por uma metodologia FBMcom tamanhos 200x200 e 300x300. Utilizou-se o metodo RMS para a determinacao dos expoentesde rugosidade.
das superfıcies equipotenciais com o potencial eletrico e mostrado utilizando-se o
metodo semivariograma.
As tendencias de decaimento da dimensao fractal com o decrescimo do potencial
(para os valores adotados de potencial na fronteira) apresentadas nas Figuras 3.14 e
3.15 para o caso dos condutores base estudados confirmam, como exposto na secao
anterior, uma nao linearidade que nao apresenta caracterısticas de funcoes exponen-
ciais ou leis de potencia.
Outro fato a observar e que, quantitativamente, os dois metodos apresentam
tendencias diferentes, ou seja, as dimensoes fractais apresentam valores distintos para
superfıcies equipotencias mais proximas do condutor cuja geometria e plana. No
caso do metodo RMS verifica-se que o expoente de rugosidade tende a 0,9 (dimensao
fractal tende a 2,1) enquanto no metodo semivariograma essa tendencia vai para 1,0
(dimensao fractal tende a 2,0) justificando-se entao uma maior precisao do metodo
RMS, comparativamente ao do Semivariograma. (ver Figura 3.16).
Contudo, uma situacao foi verificada durante a realizacao dos calculos para
determinacao dos expoentes de rugosidade a partir dos metodos RMS e Semivariogra-
ma. Os mesmos apresentaram uma restricao para o calculo das dimensoes fractais no
limite em que as superfıcies equipotenciais apresentam geometrias proximas a de um
62
Figura 3.15: Os graficos acima mostram o comportamento da dimensao fractal (Df) como funcaodo potencial eletrico φ, para superfıcies obtidas por deposicao balıstica e por uma metodologia FBMcom tamanhos 200x200 e 300x300. Utilizou-se o metodo semivariograma para a determinacao dosexpoentes de rugosidade.
Figura 3.16: Os graficos acima mostram o comportamento dos expoentes de rugosidade com relacaoao potencial eletrico φ, para superfıcies obtidas por deposicao balıstica e por uma metodologiaFBM com tamanhos 200 x 200. Verifica-se que α−→0, 9 no metodo RMS e α−→1, 0 no metodoSemivariograma, inferindo-se uma menor precisao deste ultimo. As barras de erro mostradas, estaoassociadas ao ajuste linear para determinacao dos expoentes de rugosidade.
63
plano, ou seja, apresentam expoentes de rugosidades proximos a 1, 0. Encontrou-se
uma dificuldade em se obter mais pontos para a caracterizacao do comportamento
da dimensao fractal com relacao ao potencial eletrico para sistemas cujos tamanhos
nas direcoes x e y sao da ordem ou menores que a altura da caixa que contem a
regiao de integracao numerica e os contornos associados as condicoes de fronteira. Na
Figura 3.17 e mostrado o comportamento do expoente de rugosidade com relacao a
rugosidade das superfıcies equipotenciais analisadas, para o caso de um condutor base
gerado por deposicao balıstica. Os sistemas analisados foram tais que apresentavam
volumes 100x100x100, 200x200x100 e 300x300x100.
Figura 3.17: (a) Grafico mostrando o comportamento do expoente de rugosidade, calculadopelo metodo do Semivariograma, com relacao a rugosidade para uma superfıcie base gerada pordeposicao balıstica. (b) Ampliacao da regiao do grafico (a), em que a rugosidade tende a 0 eo expoente de rugosidade tende a 1,0. Os pontos indicados por PL, correspondem a superfıcieequipotencial investigada que ainda apresenta propriedades de auto-afinidade, sendo portanto ometodo semivariograma aplicavel. As barras de erro estao associadas ao erro no calculo da inclinacaodo semivariograma para a determinacao dos expoentes de rugosidade.
O ponto PL, indicado na Figura 3.17 representa a superfıcie equipotencial
limite em que o metodo ainda teve validade. O criterio utilizado para esta avaliacao,
esta associado a determinacao dos expoentes de rugosidade para estas superfıcies
equipotenciais, que apresentaram valores nao convenientes com o esperado. Este
criterio sera discutido mais adiante, ainda nesta secao. Os valores de rugosidade
associados a tais superfıcies, para os sistemas 100x100x100, 200x200x100 e 300x300x-
100, foram respectivamente 0, 083, 0, 079 e 0, 257. Ja os expoentes de rugosidade cor-
64
respondentes foram 0, 9849, 0, 9780 e 0, 9750. Isto sugere que existe um expoente de
rugosidade medio limite, em torno do qual o metodo semivariograma nao e aplicavel.
Isto quer dizer que o correspondente metodo determina valores de dimensoes fractais
que nao sao compatıveis com os valores esperados para superfıcies pouco rugosas.
Este efeito de limite de validade tambem foi verificado para o metodo RMS,
utilizando-se os mesmos sistemas 100x100x100, 200x200x100 e 300x300x100. Contudo
a maior precisao deste metodo, reflete expoentes de rugosidade limites diferentes. A
Figura 3.18 mostra o comportamento da rugosidade com respeito ao expoente de
rugosidade, utilizando-se o metodo RMS. Para este caso, os expoentes de rugosidade
limite correspondentes aos sistemas de volumes 100x100x100, 200x200x100 e 300x-
300x100 foram respectivamente 0, 8840, 0, 8835 e 0, 8905, com rugosidades ja mencio-
nadas no paragrafo anterior. Logo, a hipotese de que existe um expoente de rugosidade
medio limite a partir do qual o as superfıcies equipotenciais perdem as caracterısticas
de auto-afinidade e confirmada tambem para o metodo RMS.
Figura 3.18: (a) Grafico mostrando o comportamento do expoente de rugosidade calculado pelometodo RMS, com relacao a rugosidade para uma superfıcie base gerada por deposicao balıstica.(b)Ampliacao da regiao do grafico (a), em que a rugosidade tende a 0 e o expoente de rugosidadetende a 1,0. Os pontos indicados por PL, correspondem a superfıcie equipotencial investigada queainda apresenta propriedades de auto-afinidade, sendo portanto o metodo RMS aplicavel. As barrasde erro estao associadas ao erro no calculo da inclinacao do RMS para a determinacao dos expoentesde rugosidade.
A justificativa para a existencia de domınios de validade nos metodos RMS
e Semivariograma esta associada ao fato de que, para superfıcies com geometrias
65
proximas a geometria euclidiana, as variacoes tanto do desvio quadratico medio quanto
da semivariancia, sao muito pequenas para grandes variacoes no comprimento de
escala a partir do qual a superfıcie e caracterizada. Deste modo, a perda de ca-
racterısticas fractais fica evidente, uma vez que as leis de potencia que relacionam
o desvio quadratico medio e a semivariancia com o expoente de rugosidade nao
sao mais consideradas. A Figura 3.19 retrata em (a), o comportamento do desvio
quadratico medio, com valores normalizados, como funcao da escala utilizada para
tres superfıcies equipotenciais calculadas, considerando-se o condutor base gerado por
DB com tamanho 100 x 100. Observa-se uma incompatibilidade na determinacao do
valor do expoente de rugosidade para φ = 5, utilizando-se o metodo RMS, uma vez
que para este potencial eletrico tem-se um expoente de rugosidade menor em relacao
a φ = 25. O comportamento de lei de potencia e comprometido neste caso, uma vez
que o erro apresentado no ajuste linear e maior para φ = 5. Em (b) e mostrado o
comportamento do desvio quadratico medio como funcao da escala para as superfıcies
equipotenciais consideradas em (a). Observa-se claramente pequenas variacoes do
desvio quadratico medio para grandes variacoes de escala, justificando a inabilidade
de utilizacao do metodo RMS para estes casos.
Por fim, nesta subsecao, e apresentado o comportamento da distancia media
das superfıcies equipotenciais ao condutor base como funcao do potencial eletrico. A
distancia media de uma determinada superfıcie equipotencial ao condutor base, para
um sistema de tamanho L x L, e definida pela expressao:
〈d(φ)〉 =1
L2
L2∑
n=1
[zφi(x, y)− zφ=100(x, y)] (3.30)
A partir da Figura 3.20, observa-se um comportamento da distancia media
com respeito ao potencial eletrico em concordancia com os resultados obtidos no caso
1D+1 para potenciais intermediarios.
Porem, uma situacao complementar foi verificada. Observa-se que, no limite
em que a distancia media das superfıcies equipotenciais ao condutor base tende a zero,
seja por DB ou por uma metodologia FBM, um comportamento nao linear e verificado
mais acentuadamente. Esse resultado e complementar aos resultados expostos para
66
Figura 3.19: O grafico (a) acima, mostra o comportamento do desvio quadratico medio comofuncao da escala, em escala logarıtmica para as superfıcies equipotenciais φ = 70, φ = 25 e φ = 5. Osexpoentes de rugosidade bem como os erros associados ao calculo tambem sao mostrados. O graficoreduzido (b) mostra o comportamento do desvio quadratico medio como funcao da escala retratandopequenas variacoes para φ = 5
Figura 3.20: Os graficos acima mostram o comportamento da distancia media de cada superfıcieequipotencial ao condutor base, como funcao do potencial eletrico. Estes calculos foram feitos parasistemas 200x200 e 300x300 para condutores base formados por DB e pela metodologia FBM.
67
o caso 1D+1, uma vez que no atual estudo, algumas superfıcies equipotenciais com
distancias medias ainda menores em relacao ao condutor base foram consideradas.
Este aspecto ganha importancia, no sentido de se investigar como, na media, a
geometria do condutor base afeta propriedades de rugosidade das superfıcies equi-
potenciais proximas ao condutor base. A Figura 3.21, mostra este comportamento
nao trivial, no limite em que < d(φ) >→0.
Figura 3.21: Comportamento da distancia media normalizada de cada superfıcie equipotencial aocondutor base, como funcao do potencial eletrico para uma situacao em que < d(φ) >→0. Foramconsideradas superfıcies equipotenciais com potenciais 99, 1 ≤ φ ≤ 99, 9.
Foram considerados neste ultimo, superfıcies equipotenciais eletricas localiza-
das entre φ=99 e φ=100. Esta transicao da nao linearidade para situacoes onde o
comportamento de < d(φ) > com φ e mais aproximadamente linear, sugere que as
variacoes das rugosidades das superfıcies equipotenciais proximas ao condutor base
com o potencial eletrico sao mais acentuadas para pequenas variacoes do potencial
eletrico. Este fato pode ser verificado a partir da Figura 3.22. Para distancias medias
intermediarias, a variacao da rugosidade com o potencial eletrico e mais suave. Estes
resultados indicam portanto, que a geometria associada as superfıcies equipotenciais
proximas ao condutor base, guardam informacoes locais mais significantes do condutor
base quando a essas regioes estao associados campos eletricos mais intensos.
68
Figura 3.22: Comportamento da rugosidade como funcao do potencial eletrico considerando-secomo condutor base o gerado por DB - (fig.esquerda) e por uma metodologia FBM - (fig. direita).Constata-se variacoes acentuadas na rugosidade para pequenas variacoes do potencial eletrico,considerando-se as superfıcies equipotenciais proximas ao condutor base (99, 1 ≤ φ ≤ 99, 9). Parapotenciais eletricos intermediarios a variacao da rugosidade com a variacao do potencial eletrico emais suave.
69
Capıtulo 4
Dinamica de Partıculas Carregadas
em um Campo Eletrico Irregular
Neste Capıtulo e estudada a dinamica de partıculas carregadas, nao interagen-
tes entre si, em um campo eletrico produzido por um condutor rugoso e com geometria
fractal. Sera feita preliminarmente uma discussao a respeito dos problemas classicos
envolvendo a dinamica molecular, apresentando-se o metodo Preditor-Corretor. Pos-
teriormente, na secao Discussao e Resultados, sera tratado um algoritmo para a
determinacao do campo eletrico em um ponto qualquer do espaco bem como um
estudo do comportamento medio deste campo para sistemas condutores de tamanhos
100x100. Situacoes em que os condutores foram gerados por DB e por uma metodologia
FBM foram analisadas. Por fim, sera discutido como grandezas fısicas associadas a
dinamica das partıculas carregadas podem trazer informacoes a respeito da distribuicao
espacial do campo eletrostatico, bem como da geometria do condutor base.
4.1 Equacoes do Movimento
Com a evolucao da simulacao computacional ocorrida nos ultimos vinte anos,
a Dinamica Molecular tornou-se um metodo poderoso para o estudo da materia con-
densada. Areas de aplicacao como a modelagem molecular, modelos de spin, lıquidos
e a dinamica molecular quantica podem ser citadas . Uma adequada formulacao do
70
modelo a ser utilizado para a descricao da materia e de fundamental importancia no
tratamento computacional do sistema de interesse.
A dinamica de um sistema classico, nao relativista, de N partıculas interagentes
entre si, e descrita pelo formalismo Hamiltoniano por 6N equacoes do movimento, de
modo que as taxas de variacao com respeito ao tempo, da posicao e do momento
generalizado, sao dadas respectivamente por:
qj =∂H
∂pj
(4.1)
e
pj = −∂H
∂qj
(4.2)
com j = 1, 2, ..., N . O termo H e o Hamiltoniano do sistema sendo funcao
das posicoes e dos momentos generalizados, denotados por q e p respectivamente, ou
seja, H = H(q, p, t). As equacoes do movimento formam um sistema de equacoes
diferenciais de primeira ordem, geralmente acopladas, que sao resolvidas a priori
conjuntamente. Dada a impossibilidade de obtencao analıtica destas solucoes, a unica
forma de se obter a evolucao do sistema em estudo se da atraves da implementacao
de metodos numericos e portanto aproximados.
E importante recordar que habitualmente um problema de dinamica de par-
tıculas e tratado como um problema de Cauchy, ou seja, as condicoes iniciais que
definem a posicao e a velocidade, ~q(t0) = ~q0 e ~p(t0) = ~p0, sao conhecidas. Assim,
existira uma solucao para as equacoes do movimento e a mesma sera unica.
A um sistema Hamiltoniano 6N dimensional associa-se um espaco de fase,
Γ, tambem 6N dimensional, em que as coordenadas sao 3N posicoes generalizadas,
qj, e os 3N momentos generalizados, pj. O estado deste sistema sera perfeitamente
determinado por suas 6N coordenadas no espaco de fase, de modo que a evolucao do
sistema tratado dara lugar a uma trajetoria neste espaco.
Neste trabalho o sistema estudado compoe os movimentos de partıculas car-
regadas nao interagentes entre si, sujeitas a um campo eletrico irregular. Para este
71
sistema, o hamiltoniano, independente do tempo, sera dado por:
H(q, p) =N∑
j=1
p2j
2mj
+N∑
j=1
U(qj) (4.3)
onde U(qj) corresponde a energia de interacao da partıcula j com o campo
eletrostatico externo. A equacao do movimento para uma partıcuja j com carga q e
massa m, interagindo com este campo eletrico irregular e dada por:
d2−→rj
dt2=−q∇φ(−→rj )
m(4.4)
, sendo φ(−→rj ) a funcao potencial eletrico.
4.1.1 Metodo Preditor-Corretor
O fundamento para a simulacao mediante a tecnica de Dinamica Molecular
(DM), termo como e conhecido na literatura, e o conhecimento das equacoes de
movimento para as partıculas constituintes do sistema considerado. Por sua vez,
o algoritmo de um programa para a DM consiste em uma metodologia para a solucao
numerica destas equacoes, fornecendo uma trajetoria, i. e., coordenadas e momentos
conjugados em funcao do tempo, para as partıculas do sistema em estudo. A solucao
das equacoes, uma vez que numerica, implica em tratar o tempo descontinuamente,
com os intervalos entre um instante e o seguinte sendo denominado de passo de tempo
do processo integrativo. A escolha do passo depende do problema especıfico que esta
sendo tratado, podendo assim ser adaptado segundo as caracterısticas do problema
especıfico. Assim, a partir da trajetoria, propriedades de equilıbrio e grandezas
dinamicas podem ser calculadas.
Os algoritmos de integracao temporal se baseiam em metodos de diferencas
finitas. Conhecendo as posicoes e algumas de suas derivadas em um instante t, o
esquema de integracao proporciona as mesmas quantidades em um tempo posterior
t+ ∆t. Iterando este procedimento, se pode seguir a evolucao destes sistemas ao longo
do tempo.
Aos esquemas de integracao estao associados dois tipos de erro, que sao i-
72
nevitaveis e competem entre si. No primeiro caso temos os erros de truncamento,
que sao devidos a implementacao de um algoritmo numerico para se resolver um
problema analıtico, i. e., trata-se uma variavel essencialmente contınua - o tempo
- como uma variavel discreta. Em geral decorrem do desenvolvimento em series de
Taylor, truncadas a partir de uma certa ordem. Sao portanto erros intrınsecos ao
algoritmo e nao dependem da implementacao computacional adotada. Outro tipo
de erro e o de arredondamento, que esta associado ao fato de se trabalhar com uma
aritmetica de precisao finita, caracterıstica do calculo computacional. Neste caso tem-
se, por exemplo, o numero finito de dıgitos usados na representacao de um numero
real irracional.
Em geral pode-se dizer, heuristicamente, que os erros de truncamento podem
ser reduzidos pela escolha de um passo de tempo menor, com o que se teria uma maior
aproximacao de uma variavel contınua. Contudo, adotando-se este procedimento,
os erros de arredondamento serao aumentados consideravelmente, uma vez que a
quantidade de iteracoes feitas, para um mesmo intervalo total de tempo, crescem.
Por outro lado, um passo de tempo excessivamente grande diminuira os erros de
arredondamento, aumentando-se portanto os erros de truncamento. A escolha do
passo levara portanto em conta o estado do sistema, uma vez que utilizando-se
de intervalos de tempo demasiadamente grandes resultara em uma descricao fısica
incompatıvel com uma correta evolucao do sistema. Da competicao entre os dois tipos
de erro resulta a existencia de um intervalo de tempo otimo, em que a combinacao
dos erros e minimizada de modo a se obter melhores resultados. Porem nao existem
metodos analıticos que permitam obter um valor “ideal” para o passo.
Um tipo de algoritmo de integracao para as equacoes de movimento e o de-
nominado preditor − corretor [38]. Este metodo retem termos alem dos de segunda
ordem na expansao de Taylor. Assim sendo, diferentemente do caso do algoritmo de
Verlet (ver Apendice D), neste caso nao se faz necessario a adocao de intervalos de
tempo tao pequenos. Alem disso, este metodo tem a vantagem de permitir que se use
um intervalo de tempo variavel.
A estrutura do algoritmo do preditor−corretor compreende a determinacao da
73
posicao, e das suas derivadas, em um instante tempo t+∆t, a partir do conhecimento
das posicoes e das suas n derivadas num instante de tempo t. Este conjunto de
valores, para a primitiva e derivadas, constitui o que se denomina de valores preditos.
Posteriormente, com o conhecimento da posicao predita, calcula-se a intensidade
da forca atuante em cada partıcula e portanto as aceleracoes, que correspondem
as derivadas de segunda ordem. A seguir, comparam-se as aceleracoes predita e a
determinada a partir da forca, determinando-se assim o valor de uma correcao para
este termo. Com isto corrigem-se as posicoes e suas derivadas, usando as correcoes
calculadas. Os novos termos para a primitiva e suas derivadas constituem os termos
corrigidos.
No presente caso utilizou-se a expansao, ate a quinta ordem no intervalo de
tempo. Desta maneira, a expansao em serie de Taylor da posicao ~rj de uma j-esima
partıcula pode ser expressa da seguinte forma:
−→rj (t + ∆t) = −→rj (t) +5∑
n=1
dn−→rj (t)
dtn∆tn (4.5)
Por comodidade para a notacao definiremos os termos da equacao 4.5 como
sendo:
αj(t) =d−→rj
dt∆t (4.6)
βj(t) =d2−→rj
dt2(∆t)2 (4.7)
γj(t) =d3−→rj
dt3(∆t)3 (4.8)
δj(t) =d4−→rj
dt4(∆t)4 (4.9)
e
εj(t) =d5−→rj
dt5(∆t)5 (4.10)
74
Deste modo, o valor predito da posicao para a j-esima partıcula, −→rjP (t + ∆t),
pode ser expresso por:
−→rjP (t + ∆t) = −→rj (t) + αj(t) + βj(t) + γj(t) + δj(t) + εj(t) (4.11)
Expandindo-se entao os termos preditos, acima definidos, tem-se:
αPj (t + ∆t) = αj(t) + 2βj(t) + 3γj(t) + 4δj(t) + 5εj(t) (4.12)
βPj (t + ∆t) = βj(t) + 3γj(t) + 6δj(t) + 10εj(t) (4.13)
γPj (t + ∆t) = γj(t) + 4δj(t) + 20εj(t) (4.14)
δPj (t + ∆t) = δj(t) + 5εj(t) (4.15)
Uma vez que foram calculadas as posicoes preditas, procede-se a determinacao
da forca corrigida, de modo que esta pode ser reescrita da seguinte forma:
βCj (t + ∆t) =
1
2!
Fj(t + ∆t)
mj
(∆t)2 (4.16)
Logo, a diferenca entre as equacoes 4.16 e 4.13 fornecera a correcao ∆βj(t+∆t)
do termo que contem a aceleracao, de modo que:
βCj (t + ∆t) = βP
j (t + ∆t) + ∆βj(t + ∆t) (4.17)
Da mesma forma pode-se determinar os outros termos corrigidos, comecando
pelas posicoes:
rCj (t + ∆t) = rP
j (t + ∆t) +3
16∆βj(t + ∆t) (4.18)
Determinando-se a seguir os termos αCj (t + ∆t), γC
j (t + ∆t), δCj (t + ∆t) e
75
εCj (t + ∆t), entao:
αCj (t + ∆t) = αP
j (t + ∆t) +251
360∆βj(t + ∆t) (4.19)
γCj (t + ∆t) = γP
j (t + ∆t) +11
18∆βj(t + ∆t) (4.20)
δCj (t + ∆t) = δP
j (t + ∆t) +1
6∆βj(t + ∆t) (4.21)
e
εCj (t + ∆t) = εP
j (t + ∆t) +1
60∆βj(t + ∆t) (4.22)
Os coeficientes 316
, 251360
, 1118
, 16
e 160
sao coeficientes ajustaveis visando, simulta-
neamente, acuracia e estabilidade para a solucao. Os valores utilizados sao tais que
representam o melhor compromisso entre a acuracia e estabilidade do algoritmo para
este tipo de problema. Algoritmos que se baseiem em outras ordens de aproximacao
utilizam diferentes valores para os referidos coeficientes.
Resumidamente, constata-se que a ideia central de um algoritmo do tipo pre-
ditor − corretor e a comparacao do valor da forca calculada em duas estimativas
com diferentes ordens de precisao. Poder-se-ia fazer iteracoes sucessivas no algoritmo
preditor-corretor de forma a reduzir as correcoes dadas pela equacao 4.17 e levar a
auto-consistencia. No entanto, nao ha muita vantagem em tal procedimento uma vez
que o presente problema trata de sistemas fortemente correlacionados, ou seja, a cada
iteracao uma nova forca e calculada. Neste caso, resolveu-se empregar um intervalo
de tempo menor, pois mesmo que venha a se levar o algoritmo a consistencia, nao se
chega a trajetoria exata do sistema, uma vez que o erro e de ordem n, num algoritmo
de ordem n. Pode-se tambem perceber que este algoritmo, pela utilizacao da terceira
lei de Newton, tem reduzido o tempo computacional a metade, uma vez que a forca
que atua no atomo j, devido ao atomo i, e igual e oposta aquela atuante no atomo i,
devido ao atomo j.
76
4.2 Discussao e Resultados
4.2.1 Estudo do Campo Eletrico Medio
Nesta secao, sera discutido preliminarmente o comportamento medio da in-
tensidade do campo eletrico gerado por superfıcies fractais, restrigindo-se tal estudo
a sistemas com 100x100x100 pontos, cujos condutores base sao superfıcies geradas
mediante o algoritmo de DB ou por uma metodologia FBM. Esta discussao possui
duas motivacoes: a primeira e a necessidade de construcao de um algoritmo que
determine o campo eletrostatico em qualquer ponto do espaco e nao apenas nos pontos
do “grid” utilizado para a solucao da equacao de Laplace. Deste modo, o estudo do
movimento de partıculas carregadas nao fica restrito a pontos do “grid”, ou seja, o
problema e extendido a uma situacao contınua. O segundo aspecto esta associado ao
estudo de como a rugosidade de um condutor base afeta o comportamento medio do
campo eletrostatico gerado pelo mesmo.
Assim, para a determinacao do modulo do campo eletrostatico em qualquer
ponto do espaco, sabe-se que as componentes do vetor campo eletrico em cada ponto
do “grid”, nas direcoes dos eixos cartesianos representadas pelos vetores ~Ex, ~Ey e ~Ez,
possuem modulos dados respectivamente por:
Ex ={φ(i + 1, j, k)− φ(i, j, k)}
∆x(4.23)
Ey ={φ(i, j + 1, k)− φ(i, j, k)}
∆y(4.24)
Ez ={φ(i, j, k + 1)− φ(i, j, k)}
∆z(4.25)
Nas equacoes 4.23, 4.24 e 4.25, tem-se que ∆x = ∆y = ∆z = 1, uma vez
que o espacamento entre pontos vizinhos do “grid” foi considerado unitario. Neste
algoritmo, foi tida a preocupacao de que o procedimento seja valido tambem para o
calculo da intensidade do campo eletrico, nos pontos do “grid”, Egrid. Assim, estes
valores devem estar de acordo com a seguinte expressao:
77
Egrid = [(Ex)2 + (Ey)
2 + (Ez)2]
12 (4.26)
Caso um determinado ponto P , de coordenadas (rx, ry, rz), nao pertenca ao
“grid”, ou seja, esteja contido no interior de um cubo cujos vertices sao pontos do
“grid”, a intensidade do campo eletrico e determinada considerando-se a influencia
dos campos ja calculados nestes oito pontos do vertice. Sejam as coordenadas que
localizam estes ultimos, em relacao a origem do sistema, denotadas por xn, yn e zn,
com n = 0, 1 (ver Figura 4.1).
Figura 4.1: Esquema considerando o ponto P , cujo campo eletrico se quer determinar,envolvido por oito pontos pertencentes ao “grid” regular.
Define-se tambem as quantidades rx0 , ry0 , rz0 , como:
rx0 = x0 − rx (4.27)
ry0 = y0 − ry (4.28)
rz0 = z0 − rz (4.29)
Como o espacamento, entre dois pontos vizinhos do “grid”, possui comprimento
78
considerado unitario, pode-se definir as quantidades rx1 , ry1 e rz1 de modo que:
rx1 = 1− rx0 (4.30)
ry1 = 1− ry0 (4.31)
rz1 = 1− rz0 (4.32)
Portanto, denotando-se a distancia entre o ponto cujo campo se quer determinar
e um dado ponto do vertice como rxnynzn , com n = 0, 1, tem-se que:
rxnynzn =√
(rxn)2 + (ryn)2 + (rzn)2 (4.33)
A partir da discussao acima e das quantidades definidas ate agora nesta secao,
a expressao para os modulos das componentes do campo eletrico, calculadas pelo
presente algoritmo, e denotadas por Exa = E1, Eya = E2 e Eza = E3 sao dadas por:
Eµ =1
rnorm
1∑
n=0
[Eµ(i+n,j+n,k+n)
rxnynzn
+Eµ(i+1,j,k+n)
rx1y0zn
+Eµ(i+n,j+1,k)
rxny1z0
+Eµ(i,j+n,k+1)
rx0ynz1
]
(4.34)
Na expressao 4.34, onde µ = 1, 2, 3, os ındices i, j e k localizam os pontos do
“grid” onde o campo eletrico foi determinado pelas expressoes 4.23, 4.24 e 4.25 e o
fator de normalizacao, rnorm, e dado pela expressao:
rnorm =1∑
n=0
[1
rxnynzn
+1
rx1y0zn
+1
rxny1z0
+1
rx0ynz1
](4.35)
Observa-se que a equacao 4.34 leva em conta a dependencia do campo em
um ponto qualquer com o inverso da distancia deste ponto aos pontos do “grid” que
pertencem ao cubo e cujo campo eletrico ja foi calculado a partir da solucao numerica
da equacao de Laplace. Um outro detalhe interessante e que esta equacao determina
o valor do campo eletrico num ponto qualquer do espaco em funcao do campo nos
79
pontos do “grid”, para pontos no interior de um cubo definido pelos pontos do “grid”.
Por fim, o presente algoritmo, atende a preocupacao ja mencionada para o calculo do
campo no caso particular em que as coordenadas correspondem as de um dos pontos
do “grid”, ou seja:
[(Exa)2 + (Eya)
2 + (Eza)2]
12 = [(Ex)
2 + (Ey)2 + (Ez)
2]12 (4.36)
Uma vez que o campo eletrico e determinado em um ponto qualquer do espaco,
resolveu-se investigar como o modulo do campo eletrico medio, associado a cada
superfıcie equipotencial φi, se comporta com respeito a distancia media desta ultima
ao condutor base. Esta distancia media foi definida no Capıtulo 3, a partir da equacao
3.30. Este estudo foi motivado por se buscar interpretar como condutores base, com
diferentes rugosidades, afetam o comportamento medio do campo eletrostatico. Foram
consideradas as superfıcies condutoras geradas a partir dos algoritmos DB e FBM com
tamanhos 100x100. A intensidade do campo eletrico medio, < E >(φi), associada a
cada superfıcie equipotencial e dada por:
< E >(φi)=1
L2
L2∑
m=1
[(Emx)2 + (Emy)
2 + (Emz)2]
12 (4.37)
Na equacao 4.37 o ındice m indica um ponto pertencente a uma dada superfıcie
equipotencial, cujo campo eletrico medio se quer determinar. Como o presente estudo
foi restrito a sistemas de dimensoes 100x100, para cada superfıcie equipotencial,
serao considerados, para o calculo da media, 10000 pontos. A figura 4.2 mostra o
comportamento do desvio quadratico medio como funcao da escala, para as superfıcies
condutoras base utilizadas como fronteiras para solucao numerica da equacao de
Laplace.
Observa-se que se tratam de fractais, de modo que a superfıcie condutora
gerada por DB, BAL100(1), apresenta dimensao fractal Df1 = (2, 482 ± 0, 005). As
superfıcies condutoras base geradas pela metodologia FBM, denotadas por FBM100(2)
e FBM100(3), apresentam dimensoes fractais Df2 = (2, 486 ± 0, 007) e Df3 =
(2, 408 ± 0, 007) respectivamente (ver Figura 4.3). Para este estudo o metodo RMS
80
Figura 4.2: Comportamento do desvio quadratico medio como funcao da escala, emescala logarıtmica, tıpico de fractais auto-afins. Os condutores base foram gerados porDB e pela metodologia FBM. Observa-se que a rugosidade e maior para o condutorgerado por deposicao balıstica para todas as escalas consideradas. Para as superfıciesgeradas pela metodologia FBM as rugosidades sao diferentes entre si, de modo queconsiderou-se uma superfıcie de rugosidade intermediaria e uma de menor rugosidadecomparativamente.
foi considerado para determinacao dos expoentes de rugosidade dada a sua maior
sensibilidade, conforme ja mencionado anteriormente. A rugosidade do condutor base
gerado por DB, BAL100(1), foi 3, 38. Para os condutores gerados pela metodologia
FBM, FBM100(2) e FBM100(3), as rugosidades foram 3, 38 e 1, 44.
A figura 4.4 mostra o comportamento da intensidade do campo eletrico medio
como funcao da distancia media, considerando-se os condutores base ja descritos.
Trata-se de um resultado a priori nao esperado, uma vez que verifica-se um cresci-
mento inicial do campo eletrico medio com o aumento da distancia media. A influencia
da rugosidade neste comportamento pode ser percebida no intervalo dos valores as-
sociados ao campo medio ate que a sua magnitude se torne constante. Neste caso,
este intervalo e claramente maior considerando-se o condutor base gerado por DB e
menor considerando-se o gerado por uma metodologia FBM com a menor rugosidade,
ou seja, 1, 02. Outro dado a observar neste resultado e a existencia de um campo
medio maximo correspondente a uma dada distancia media.
No grafico 4.5, o comportamento da distancia media das superfıcies equipo-
81
Figura 4.3: Superfıcies base condutoras utilizadas para investigacao docomportamento do campo eletrostatico medio. A regiao representada em brancorepresenta protuberancias com maiores alturas, enquanto que a regiao enegrecidarepresenta pontos de menor altura.
Figura 4.4: Comportamento da intensidade do campo eletrico medio como funcaoda distancia media. O calculo do campo medio bem como da distancia media aocondutor base, foi feito considerando-se as superfıcies equipotenciais cujos potenciaiseletricos sao 99, 98, 97, 95, 90, 90 - n (n=10,20,..,60), 25, 15. Esta indicado tambemneste grafico a rugosidade, W (L), de cada condutor base considerado neste estudo eja mencionada anteriormente.
82
tenciais ao condutor base e mostrado para os condutores BAL100(1), FBM100(2) e
FBM100(3), indicando para que valores de distancias medias, o campo medio assume
valor maximo. Coincidentemente, o potencial associado a este valor maximo e o
mesmo para os tres condutores base, ou seja, φ = 70.
Figura 4.5: Comportamento da distancia media de cada superfıcie equipotencial aocorrepondente condutor base, como funcao do potencial eletrico. Para este calculoforam consideradas as superfıcies equipotenciais cujos potenciais eletricos sao 99, 98,97, 95, 90, 90 - n (n=10,20,..,60), 25, 15. Esta indicado tambem neste grafico ospotenciais eletricos, cujo campo eletrico medio assume a maxima intensidade, bemcomo os correspondentes valores. Observa-se uma coincidencia na equipotencial,cujo campo eletrico medio apresenta maximo valor, no caso, φi = 70, para os trescondutores base considerados.
Os resultados indicam que a intensidade do campo medio maximo possui
maior magnitude considerando-se superfıcies base mais rugosas, sugerindo-se portanto
que regioes onde o campo eletrico possui maior intensidade no condutor base, como
consequencia do efeito das pontas, afetam a topologia das superfıcies equipotenciais
distantes trazendo influencias relevantes no calculo do campo medio. E observado,
mais claramente para o caso do condutor base gerado por DB, que apos o valor maximo
assumido pelo campo eletrico medio, este decai suavemente ate que se torne uniforme.
Para os outros condutores base, este efeito e tambem verificado, apresentando contudo
um decaimento ainda mais suave, comparado com o caso da superfıcie base gerada
83
por DB.
Outra questao que e possıvel de ser observada pelo exame da Figura 4.4, e o
fato de que a intensidade do campo medio para uma superfıcie equipotencial proxima
ao condutor base, por exemplo φi = 99, apresenta-se maior para o condutor menos
rugoso. Este resultado sugere que, quanto mais rugoso seja um condutor base, maior
a possibilidade, no calculo do campo eletrico num ponto qualquer do espaco (equacao
4.34), da soma para cada componente (x,y e z) possuir termos que levem a soma a
apresentar menores valores. Portanto, os resultados indicam que, considerando-se um
condutor base mais rugoso, associa-se a uma superfıcie equipotencial proxima, um
campo eletrico medio cuja intensidade e relativamente menor.
4.2.2 Movimento de Partıculas nao Interagentes em um Cam-
po Eletrico Irregular
Neste trabalho, e interessante discutir tambem a dinamica de partıculas carre-
gadas sujeitas a um campo eletrico irregular, produzido por condutores que apresentem
geometria fractal. Estas partıculas foram consideradas como nao interagentes entre si,
sendo esta opcao motivada pelo fato de que em emissores mais comuns, tipo “spindt”,
por exemplo [39], a densidade das partıculas emitidas (eletrons ou ıons) e geralmente
baixa o suficiente para nao serem incluıdos efeitos de carga espacial. Buscou-se
entao analisar que possıveis informacoes, a respeito do campo eletrostatico local bem
como da geometria do condutor base, podem ser obtidas a partir de uma analise
das trajetorias descritas e das grandezas fısicas dinamicas associadas as partıculas,
como por exemplo a energia cinetica. Para isto foi adotado o metodo Preditor-
Corretor, ja descrito anteriormente, aplicado a uma dinamica classica de partıculas.
A utilizacao deste metodo e justificada, uma vez que o sistema em estudo e fortemente
correlacionado, ou seja, para cada passo de tempo que se considere, cada partıcula
estara sujeita a uma forca eletrostatica diferente. Considerou-se neste estudo que a
velocidade inicial associada a cada partıcula possui valor nulo, uma vez que, assim
sendo, as trajetorias descritas apresentam configuracoes que se assemelham as linhas
84
de forca que caracterizam o campo eletrostatico estudado (ver Figura 4.6).
Figura 4.6: (a) Partıculas abandonadas na imediata vizinhanca de uma protuberanciaparaboloidal. (b) Trajetorias das partıculas calculadas pelo metodo de dinamicamolecular (preditor-corretor).
Uma consequencia direta deste fato e que a forma da trajetoria descrita por
uma dada partıcula praticamente independe da razao entre a carga e a sua massa
correspondente, resultado este que pode ser verificado a partir da Figura 4.7.
Para avaliar como as irregularidades locais associadas ao condutor base podem
afetar o comportamento relativo a dinamica de partıculas, a energia cinetica de cada
partıcula foi calculada como funcao da posicao correspondente a coordenada z, para
cada passo de tempo considerado. Considerou-se neste calculo, para o condutor base
gerado por DB, que as coordenadas que definem uma superfıcie equipotencial proxima
ao mesmo, no caso φ = 99, fossem correspondentes as posicoes iniciais associadas as
partıculas. Estas ultimas totalizavam 10000, recobrindo portanto a referida superfıcie
base. Considerou-se para este calculo que o plano de chegada destas partıculas era
tal que z = 40. A partir da Figura 4.8, observa-se tal comportamento para algumas
partıculas, considerando-se como condutor base, BAL100(1). Nota-se que aquelas
partıculas que sao abandonadas de regioes que possuem valores de z acima de 32, ou
seja, mais protuberantes, estao associadas uma diminuicao no gradiente da energia
cinetica com respeito a direcao que define o eixo z, com a evolucao temporal. Isto e
justificado pelo fato de se considerar o efeito das pontas, ou seja, tais partıculas, a
85
Figura 4.7: A esquerda sao mostradas as trajetorias, de uma dada partıculaconsiderando-se as razoes entre as cargas e as massas distintas, com a superfıciebase Bal100(1) mostrada na Figura 4.3. Verifica-se que para diferentes razoes q
m,
as trajetorias praticamente se sobrepoem. A direita, essas trajetorias sao mostradaspara o caso em que a superfıcie base e gerada por uma metodologia FBM, FBM100(2).Nos dois casos, nos planos x=0, y=0 e z=0 sao mostradas as projecoes correspondentesda trajetoria descrita.
princıpio, estao submetidas a campos mais intensos que os associados as regioes de
depressao. Para partıculas abandonadas de posicoes iniciais associadas a menores
valores de z observa-se uma inversao no comportamento do gradiente da energia
cinetica com relacao a z, justificando-se portanto a presenca de campos relativamente
menores, associados a regioes menos protuberantes. Este efeito de inversao no entanto,
tambem foi verificado considerando-se como condutores base, os gerados por uma
metodologia FBM (ver Figura 4.9), sendo contudo menos acentuado. Considerou-se
neste caso o plano de chegada z = 30. Este resultado sugere que tal efeito e verificavel
mais frequentemente para superfıcies base menos suaves. Vale ressaltar ainda que o
efeito de distancia ao plano de chegada, faz com que as partıculas cujas posicoes
iniciais estejam associadas as regioes mais protuberantes, estejam associadas menores
magnitudes de energia cinetica, na chegada. Esta hipotese de descorrelacao e evitada
naturalmente ao se considerar as posicoes iniciais associadas as 10000 partıculas como
sendo um plano horizontal inicial, zi, localizado imediatamente acima do condutor
base, ou seja, zi=f(xgrid, ygrid), onde xgrid e ygrid sao coordenadas pertencentes ao
“grid” regular. Por fim, calcula-se a energia cinetica, Ecf , das partıculas em um
86
plano de chegada, zf>zi, nao muito afastado do plano inicial. Assim, a “superfıcie
de energia” Ecf = g(xgrid, ygrid) e construıda, refletindo a conservacao da energia
mecanica. Naturalmente, neste caso, o efeito de descorrelacao entre a energia cinetica
e o campo eletrico e eliminado uma vez que a componente do vetor posicao na direcao
k e o mesmo para todas as partıculas que chegam ao plano de chegada. Na Figura
4.10, mostra-se uma comparacao visual entre a superfıcie de energia definida acima,
e a distribuicao dos potenciais eletricos no plano que define as posicoes iniciais das
partıculas zi = f(xgrid, ygrid), utilizando-se como superfıcie base BAL100(1).
Figura 4.8: Comportamento da energia cinetica de algumas partıculas representadaspor P − 2, P − 2319, ..., como funcao de z considerando-se como superfıcie base,BAL100(1). Com relacao ao grafico amarelo, verificou-se que a partıcula associadaantes de chegar ao plano z = 40 ultrapassa lateralmente a regiao de integracaonumerica.
Para verificar como a energia cinetica das partıculas, no “plano de chegada”
pode trazer informacoes a respeito da geometria do condutor base, utilizou-se o
metodo RMS. Para este estudo, considerou-se que um numero de partıculas cujas
equacoes do movimento serao resolvidas e equivalente ao tamanho do sistema, ou
seja, 10000. Estas partıculas, foram abandonadas do repouso possuindo coordenadas
iniciais iguais as coordenadas que definem a superfıcie equipotencial φ = 99. Calculou-
se a energia cinetica, Ecf , das partıculas em um plano de chegada, zf , nao muito
87
Figura 4.9: Comportamento da energia cinetica de algumas partıculas representadaspor P − 2, P − 2319, ..., como funcao de z considerando-se como processo de geracaodo condutor base a metodologia FBM. Neste caso o plano de chegada foi z = 30 e asuperfıcie base, FBM100(2).
Figura 4.10: Na Figura a esquerda e mostrada a superfıcie de energia Ecf =g(xgrid, ygrid). Os pontos mais claros representam maiores magnitudes de energia
cinetica, enquanto que os mais escuros, o oposto. A direita a distribuicao dospotenciais no plano zi = f(xgrid, ygrid) e mostrado. Foi utilizado neste calculo ocondutor base BAL100(1) mostrado na Figura 4.3.
88
afastado do condutor base. Assim, uma “superfıcie de energia” Ecf = g(xgrid, ygrid),
onde xgrid e ygrid sao coordenadas pertencentes ao “grid” regular, foi construıda
objetivando-se determinar como se da a distribuicao da energia cinetica no plano
de chegada. Os “planos de chegada” como ja exposto, foram considerados zf = 40
para o condutor base BAL100(1) e zf = 30 para os condutores base FBM100(2)
e FBM100(3). Naturalmente, as energias cineticas associadas a cada partıcula nao
serao iguais no plano de chegada considerado, uma vez que este ultimo nao e uma
superfıcie equipotencial. Consequentemente, este plano possui uma distribuicao de
potenciais eletricos que guarda informacoes a respeito da geometria do condutor base.
Na figura 4.11 tem-se as “superfıcies de energia” considerando-se os condutores base
ja descritos. Eliminou-se a anticorrelacao existente devido aos efeitos de distancia
entre o campo eletrico inicial e a energia cinetica no plano de chegada, a fim de se
facilitar a identificacao de regioes que compoem a imagem da “superfıcie de energia”
que apresentam semelhancas geometricas com o condutor base. Na figura 4.12 sao
mostradas as superfıcies equipotenciais calculadas, φ = 99, considerando-se os condu-
tores base mostrados na Figura 4.3.
Na Figura 4.13 observa-se o comportamento do desvio quadratico medio (RMS)
normalizado como funcao da escala para as superfıcies equipotenciais φ = 99 e
para as correspondentes “superfıcies de energia” apresentadas nas Figuras 4.11 e
4.12 respectivamente. Como se pode verificar, este resultado sugere a existencia
de comprimentos de de escala para os quais os valores de desvio quadratico medio
normalizados sao praticamente coincidentes para as superfıcies equipotenciais φ = 99
e para as correspondentes “superfıcies de energia”. Este aspecto justifica a semelhanca
apresentada entre as figuras 4.11 e 4.12 correspondentes, confirmando a hipotese
de que a medida da energia cinetica de partıculas em um campo irregular pode
trazer informacoes geometricas que, a depender do comprimento de escala utiliza-
do, podem ser relevantes para se determinar propriedades de rugosidade do condutor
base estudado. Outro aspecto interessante a se verificar e que as inclinacoes, α, no
ajuste linear calculado, considerando-se como escala limite o valor 20, sao menores
para as “superfıcies de energia” implicando-se em uma maior dimensao fractal. No
89
Figura 4.11: “Superfıcies de energia”, Ecf = g(xgrid, ygrid), considerando-se omovimento de partıculas carregadas nao interagentes num campo eletrico geradopelos condutores base BAL100(1), FBM100(2) e FBM100(3). As partıculasforam abandonadas do repouso com posicoes iniciais definidas pelas coordenadas,(xgrid, ygrid, zφ=99), das correspondentes superfıcies equipotenciais φ = 99. Os pontosmais claros representam maiores magnitudes de energia cinetica, enquanto que os maisescuros, o oposto.
90
Figura 4.12: Superfıcies equipotenciais, φ = 99, calculadas a partir da solucaonumerica da equacao de Laplace, para os condutores base BAL100(1), FBM100(2) eFBM100(3). Os pontos mais claros representam regioes mais protuberantes, enquantoque os mais escuros, o oposto.
91
entanto, considerando-se para a determinacao da dimensao fractal valores iniciais e
finais de escala maiores, as inclinacoes apresentam valores mais proximos, sugerindo
dimensoes fractais mais proximas. Este aspecto e interessante, pois permite a obtencao
da dimensao fractal do condutor base, a partir da distribuicao das energias cineticas
das partıculas, considerando-se como pontos de ajuste no metodo RMS os que possuem
escalas maiores e que nao pertencam aos pontos que compoem a saturacao da curva.
Uma analise adicional foi feita para uma comparacao quantitativa das superfı-
cies equipotenciais bem como das correspondentes “superfıcies de energia” utilizando-
se o metodo da analise de Fourier discutida no Capıtulo 2. Nas Figuras 4.14, 4.15 e
4.16 sao mostrados os comportamentos do quadrado das amplitudes como funcao das
frequencias, constituindo-se o espectro de potencia, para as superfıcies ENBAL100(1)
e BAL100(1) - φ = 99, ENFBM100(2) e FBM100(2) - φ = 99 e ENFBM100(3)
e FBM100(3) - φ = 99 respectivamente. Sao mostrados tambem o ajuste linear
utilizando-se o metodo dos mınimos quadrados e os valores obtidos para os coeficientes
lineares, A, e angulares, β.
E interessante observar que o processo de ajuste linear de muitos pontos no
espectro de Fourier, atraves do metodo dos mınimos quadrados, inclui poucos pontos
que se afastam significativamente da tendencia principal do ajuste. Contudo, a
presenca de picos maiores na transformada de Fourier e visualmente evidente nas
Figuras 4.14, 4.15 e 4.16 e ignorada no ajuste linear. Isto significa que cada pico
corresponde a uma unica senoide sobreposta dominando a elevacao da superfıcie. No
entanto, esta e a menor componente do grafico log(Amplitude)2 vs. log(Frequencia).
Outro aspecto e que a inclinacao da reta de ajuste, e fortemente afetada pelo desloca-
mento dos pontos no fim do conjunto de dados, ou seja, as flutuacoes correspondentes
as altas frequencias podem levar a um crescimento nos valores da direita do grafico
log(Amplitude)2 vs. log(Frequencia), levando a um deslocamento dos pontos corres-
pondentes para cima. Este fato reduz a inclinacao da reta de ajuste.
Um problema mais sutil e talvez o mais comum durante o ajuste, tem a ver com
os pontos da esquerda no espectro de potencia [25]. Os termos de baixa frequencia
estao em menor numero e consequentemente com maior espacamento em relacao ao
92
Figura 4.13: (a) Comportamento do desvio quadratico medio como funcao da escala,considerando-se a superfıcie de energia ENBAL100(1) e a superfıcie equipotencialBAL100(1) - φ = 99 mostradas nas figuras 4.11 e 4.12. (b) Comportamento dodesvio quadratico medio como funcao da escala, considerando-se a superfıcie de energiaENFBM100(2) e a superfıcie equipotencial FBM100(2) - φ = 99 mostradas nas figuras4.11 e 4.12. (c) Comportamento do desvio quadratico medio como funcao da escala,considerando-se a superfıcie de energia ENFBM100(3) e a superfıcie equipotencialFBM100(3) - φ = 99 mostradas nas figuras 4.11 e 4.12. A circunferencia que contemalguns dados indica a presenca de intersecoes.
93
Figura 4.14: Espectros de potencia para as superfıcies BAL100(1) - φ = 99 eENBAL100(1), representados pelas cores preta e vermelha respectivamente. Oscoeficientes angular e linear sao tambem explicitados no ajuste linear, utilizando-se ometodo dos mınimos quadrados.
Figura 4.15: Espectros de potencia para as superfıcies FBM100(2) - φ = 99 eENFBM100(2), representados pelas cores preta e vermelha respectivamente. Oscoeficientes angular e linear sao tambem explicitados no ajuste linear, utilizando-se ometodo dos mınimos quadrados.
94
Figura 4.16: Espectros de potencia para as superfıcies FBM100(3) - φ = 99 eENFBM100(3), representados pelas cores preta e vermelha respectivamente. Oscoeficientes angular e linear sao tambem explicitados no ajuste linear, utilizando-se ometodo dos mınimos quadrados.
eixo das frequencias em escala logarıtmica, controlando ainda mais a inclinacao da
reta de ajuste. Contudo, estes termos incluem provavelmente a informacao da forma
total da superfıcie associada ao processo de construcao. O primeiro termo da serie de
Fourier e simplesmente a altura media da superfıcie, que sendo arbitraria depende da
escolha de um ponto de referencia.
Apesar destas limitacoes, pode-se verificar que, no ajuste linear, os modulos
das inclinacoes obtidas com relacao as superfıcies de energia sofrem uma reducao em
relacao as correspondentes superfıcies equipotenciais φ = 99. Este fato sugere que as
superfıcies de energia sao mais irregulares uma vez que a inclinacao no ajuste linear
esta associada ao calculo da dimensao fractal, Df pela expressao ja apresentada no
Capıtulo 2:
Df =(6 + β)
2(4.38)
Observa-se que as inclinacoes, β, associadas as superfıcies equipotenciais BAL-
95
100(1) − φ = 99, FBM100(2) − φ = 99 e FBM100(3) − φ = 99, sao tais que
βBAL100(1)−φ=99 > βFBM100(2)−φ=99 > βFBM100(3)−φ=99. Esta desigualdade e tambem
evidente ao se comparar as inclinacoes obtidas para as correspondentes superfıcies de
energia. Este fato confirma a correlacao existente entre as geometrias das superfıcies
de energia e as geometrias dos condutores base correspondentes.
Por fim, neste trabalho, e discutido tambem como se da a distribuicao das
partıculas em um plano de chegada distante do condutor base, que neste caso cor-
responde ao plano zf = 100. Este plano define o limite superior na regiao de
integracao onde o potencial eletrico foi definido como condicao de fronteira, φ = 0. As
posicoes iniciais associadas as 10000 partıculas que foram abandonadas do repouso,
correspondem as coordenadas que definem a superfıcie equipotencial φ = 99. Foram
determinadas as densidades superficiais de partıculas, σ(Ei), ou seja, o numero de
partıculas por unidade de area do “grid” no plano de chegada. O seu comportamento
foi analisado como funcao do campo eletrico associado a posicao inicial de cada
partıcula, Ei. Na Figuras 4.17 e 4.18, sao mostradas a superfıcie σ(Ei)=h(xgrid, ygrid)
e o comportamento de σ(Ei) como funcao do campo eletrico Ei para as superfıcies
BAL100(1) e FBM100(2).
Fazendo-se uma comparacao visual entre as Figuras 4.17 e 4.18 (a) e as cor-
respondentes superfıcies equipotenciais indicadas na Figura 4.12 verifica-se uma anti-
correlacao. As regioes associadas ao condutor base que possuem um campo eletrico
mais intenso, associa-se nas figuras 4.17 e 4.18 (a) regioes cuja densidade superficial de
partıculas e menor. Estas ultimas sao representadas pela coloracao negra. Este fato
esta associado a presenca de maiores intensidades nas componentes Ex e Ey do campo
eletrico em regioes mais protuberantes do condutor base. Isto faz com que a trajetoria
correspondente a cada partıcula seja mais intensamente desviada da direcao vertical.
Observa-se claramente que existem regioes onde a densidade superficial de partıculas
e maior, estando relacionada a campos eletricos menos intensos gerados pelo condutor
base. Este aspecto sugere que o grau de irregularidade apresentada por um condutor
base pode ser importante para que, a partir da dinamica de eletrons, procure-se uma
possıvel otimizacao de dispositivos emissores em escalas nanometricas. Esta vantagem
96
Figura 4.17: (a) Superfıcie σ(Ei)=h(xgrid, ygrid) considerando-se o condutor baseBAL100(1). As regioes brancas representam uma maior densidade superficial departıculas no plano z = 100. (b) Comportamento da densidade superficial departıculas como funcao da intensidade do campo eletrico associado a posicao inicialde cada partıcula. .
Figura 4.18: (a) Superfıcie σ(Ei)=h(xgrid, ygrid) considerando-se o condutor baseFBM100(2). As regioes brancas representam uma maior densidade superficial departıculas no plano z = 100. (b) Comportamento da densidade superficial departıculas como funcao da intensidade do campo eletrico associado a posicao inicialde cada partıcula.
97
se refere a captura de poucos eletrons, tendo-se portanto correntes eletricas de baixa
intensidade permitindo assim diminuicoes consideraveis nas dissipacoes de energia.
Um fato curioso que pode ser observado nas Figuras 4.17 e 4.18 (b) esta associado as
intensidades dos campos eletricos nos pontos que definem a superfıcie equipotencial
φ = 99 para os condutores base BAL100(1) e FBM100(2). Apesar da superfıcie
FBM100(2) ser mais homogenea e menos rugosa em relacao a superfıcie BAL100(1),
verifica-se a presenca de campos mais intensos para o condutor FBM100(2), resultado
este de acordo com os apresentados no estudo do campo eletrico medio.
98
Capıtulo 5
Conclusoes e Perspectivas
Neste trabalho estudou-se o campo eletrostatico gerado por condutores que
apresentam irregularidades com uma geometria fractal. No estudo para sistemas com
1D+1 dimensoes, a equacao de Laplace foi resolvida numericamente numa regiao entre
um perfil condutor base com geometria auto-afim e construcao iterativa bem definida,
e uma linha distante. As condicoes de Dirichlet foram atribuıdas mantendo-se entre
o condutor base rugoso e o distante, retilıneo, uma diferenca de potencial constante.
Posto que nao e possıvel uma solucao analıtica deste problema, os perfis equipotenciais
foram determinados por interpolacao linear e as irregularidades associadas foram
representadas pelos expoentes de rugosidade, estes ultimos determinados pelo metodo
do Semivariograma. Procurou-se, nesta parte do trabalho, avaliar como a dimensao
fractal se comporta em funcao do potencial eletrico para sistemas de tamanhos fixos.
Investigou-se tambem como a mudanca do tamanho de um sistema afeta a dimensao
fractal dos perfis equipotenciais. Os resultados indicam que, para um tamanho fixo, a
dimensao fractal varia com o potencial eletrico seguindo uma relacao que nao obedece
leis exponenciais ou leis de potencia. Um aumento da distancia media da linha
equipotencial ao condutor base acarreta um aumento dos expoentes de rugosidade
e, consequentemente, uma diminuicao das correspondentes dimensoes fractais. Com
relacao aos efeitos de influencia do tamanho do sistema na dimensao fractal de uma
dada linha equipotencial φi, os resultados indicam que o aumento do tamanho do
sistema acarreta um aumento da dimensao fractal correspondente. Este fato sugere
99
que, no limite de sistemas infinitos, a dimensao fractal depende da distancia media
de cada linha equipotencial ao condutor base. Para sistemas infinitos, todas as linhas
equipotenciais apresentariam a mesma dimensao fractal do condutor base considerado.
Outra questao de interesse, ainda para sistemas com 1D+1 dimensoes, e o
comportamento da distancia media de cada linha equipotencial ao condutor base
como funcao do potencial eletrico. Foram verificados comportamentos nao lineares
mais acentuados para potenciais intermediarios, confirmando-se os resultados obtidos
em trabalhos anteriores (Dias Filho et al [32]), onde perfis randomicos base foram
utilizados.
Neste trabalho foi tambem abordada a solucao numerica da equacao de Laplace
para a determinacao das superfıcies equipotenciais, considerando-se sistemas com
2D+1 dimensoes. O metodo de Liebmann foi portanto extendido para 2D+1 di-
mensoes, ou seja, a regiao de integracao e o espaco tri-dimensional. Foram considera-
dos como condutores base, neste estudo, uma superfıcie resultado de uma deposicao
balıstica e uma superfıcie gerada por uma metodologia FBM. No processo de geracao
das superfıcies por deposicao balıstica foi necessario, para a obtencao da superfıcie
resultante, se considerar algumas aproximacoes particulares. Uma esta associada ao
processo de construcao devido a correlacao lateral existente no processo de deposicao.
A outra esta associada a saturacao da rugosidade.
Para quantificacao das irregularidades das superfıcies equipotenciais foram
utilizados os metodos RMS e Semivariograma. Os resultados permitem concluir que
o metodo RMS e mais sensıvel que o metodo do Semivariograma. Os domınios
de validade destes metodos foram investigados, determinando-se um expoente de
rugosidade medio como limite, em torno do qual os metodos perdem sua validade
de aplicacao. Comparando-se o comportamento da dimensao fractal de superfıcies
equipotenciais com o respectivo potencial eletrico, para os condutores base discutidos
neste estudo, todos com o mesmo tamanho, os resultados indicam um decrescimo mais
acentuado da dimensao fractal com o decrescimo do potencial eletrico para condutores
base gerados por uma metodologia FBM. Este resultado sugere que, sendo o condutor
base FBM mais suave, as superfıcies equipotenciais perdem mais rapidamente a
100
correlacao geometrica com o condutor base resultando em um campo eletrostatico
praticamente uniforme.
Um comportamento nao trivial entre a distancia media e o potencial eletrico
foi encontrado, no limite em que < d(φ) >→0. Esta transicao da nao linearidade,
para situacoes onde o comportamento de < d(φ) > com φ e mais aproximadamente
linear, sugere que as variacoes das rugosidades das superfıcies equipotenciais proximas
ao condutor base com o potencial eletrico sao mais acentuadas enquanto que para
potenciais eletricos intermediarios estas variacoes sao mais suaves.
Analisou-se tambem a dinamica de partıculas carregadas nao interagentes,
sujeitas a campos eletricos com significativa variacao local. Utilizou-se o metodo
preditor-corretor para a determinacao das quantidades dinamicas. Para a simulacao
computacional houve a necessidade de construcao de um algoritmo que possibilitasse
determinar o campo eletrostatico em qualquer ponto do espaco, o que leva a um
tratamento do problema de modo equivalente ao de um contınuo. Isto possibilitou
que fosse investigado o comportamento medio do campo eletrico, associado a cada
superfıcie equipotencial, como funcao da distancia media de cada equipotencial ao
condutor base. Foram entao considerados condutores base com rugosidades diferentes.
Os resultados indicam a existencia de um campo eletrico medio maximo, que apresenta
dependencia com a rugosidade do condutor base. Para condutores mais rugosos
campos eletricos medios maximos de maior intensidade relativa, foram assim en-
contrados. Os resultados indicam tambem que a medida de grandezas dinamicas,
associadas as partıculas carregadas nao interagentes, como a energia cinetica, pode
conter/revelar, a depender do comprimento de escala considerado, informacoes a
respeito das irregularidades do condutor base. Os metodos RMS e a analise de Fourier
foram utilizados para quantificar estas informacoes que, para a metodologia utilizada
neste trabalho, consistiu na construcao de “superfıcies de energia”.
Este conjunto de resultados, alem de representar uma contribuicao cientıfica
para o entendimento de propriedades do campo eletrico gerado por condutores de
geometria bastante irregular, tambem tem o objetivo de contribuir na investigacao
e interpretacao do comportamento de dispositivos e de processos que ocorrem em
101
superfıcies irregulares. Isto ocorre em diversas areas da Fısica da Materia Condensada,
como no estudo do processo de adsorcao de partıculas em superfıcies irregulares,
no processo de emissao por campo associado a nanoestruturas irregularidades, os
processos de transporte de eletrons em nanoestruturas metalicas, etc... . Como
perspectiva futura, um estudo do transporte de nanoestruturas em campos eletricos
irregulares podera ser feito, objetivando-se investigar durante a acomodacao de tais
estruturas sobre o condutor base, efeitos de distribuicao eletronica, visando a otimi-
zacao e a construcao de novos materiais.
Outro estudo que merece atencao, como perspectiva de aplicacao futura, e o
estudo da emissao de eletrons a partir de condutores irregulares. Considerando a
variacao do campo eletrico local, e possıvel, mediante a equacao de Fowler-Nordheim
[40], avaliar a area de extracao do emissor. O presente estudo permite determinar
fatores de amplificacao do campo eletrico em funcao da rugosidade do condutor base
considerado. Esta analise permite verificar a hipotese de que propriedades associadas
a emissao por campo de um grande numero de materiais estariam conectadas com
a estrutura fractal das superfıcies. Em caso de confirmacao desta hipotese, o fator
de amplificacao deveria ser considerado para o calculo da densidade de corrente de
emissao.
102
Referencias Bibliograficas
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105
Apendice A
Caracterısticas e Propriedades deAlguns Fractais Auto-Similares
Neste apendice consideraremos alguns fractais que, por sua importancia his-
torica ou riqueza de caracterısticas, constituem exemplos ilustrativos “classicos” de
propriedades de fractais.
A.1 Conjunto de Cantor
A construccao geometrica do conjunto de Cantor recebe, por vezes, o nome
de “Poeira de Cantor”. Para sua construcao inicia-se com um segmento de reta de
comprimento unitario. Divide-se este segmento em 3 partes iguais, retirando-se o
seu terco medio. Essa e a primeira etapa, ou primeiro nıvel, da construcao. Na
segunda etapa, retira-se o terco medio de cada um dos dois segmentos restantes da
primeira etapa. As porcoes restantes sao novamente divididas e delas sao retirados os
tercos medios, procedendo-se sucessivamente do mesmo modo. O processo e repetido
fazendo-se o numero de etapas, ou nıveis N , tenderem a um numero infinitamente
grande. A figura obtida quando N →∞ e o conjunto de Cantor. Algumas etapas da
sua construcao sao mostradas na Figura A.1.
E interessante analisar o que acontece com o numero de segmentos, nN , com o
comprimento de cada segmento, cN , bem como com o comprimento total do conjunto,
CtN , em cada geracao N de sua construcao. Entende-se por comprimento total a
soma dos comprimentos dos segmentos de um conjunto. Na nıvel inicial, ou seja, para
N = 0, tem-se um segmento de modo que n0 = 1. No nıvel 1, tem-se 2 segmentos. No
nıvel 2 sao quatro segmentos, enquanto na geracao 3 sao oito segmentos. Deste modo,
106
Figura A.1: Cinco primeiros nıveis de construcao do Conjunto de Cantor.
pode-se provar, por inducao finita, que no N − esimo nıvel, o numero de segmentos
e 2N , ou seja:
nN = 2N (A.1)
Prova 2 Seja nN=2N uma propriedade denotada por PN .
- Para N=0, tem-se n0=1. De fato, ao iniciar-se a construcao, o numero desegmentos que se considera e igual a 1. Logo, PN e verdadeira para N=0.
- Seja k ≥ 0. Supondo Pk verdadeira, isto e, nk=2k, deve-se mostrar que Pk+1
tambem e verdadeira, ou seja, nk+1=2k+1.
Naturalmente, por construcao, nk+1 = nk.2, pois a cada nıvel, o numero deintervalos existentes e multiplicado por 2 em relacao ao numero de intervalos imedia-tamente anterior. Usando a hipotese de inducao, tem-se:
nk+1 = 2k.21 ⇒ nk+1 = 2k+1 (A.2)
Logo, para qualquer N ≥ 0, tem-se nN=2N (CQD).
No Conjunto de Cantor, isto e, para N→∞, tem-se:
limN→∞
2N = ∞ (A.3)
Ou seja, no conjunto de Cantor, o numero de segmentos tende ao infinito.
Uma contradicao com a afirmacao anterior pode ser verificada ao se analisar o
comprimento total do conjunto de Cantor, CtN . Para isso, e necessario primeiramente
analisar o comprimento de cada segmento, cN , que compoe o Conjunto de Cantor
no correspondente nıvel. No primeiro nıvel, N = 0, o comprimento do segmento e
107
cN=1; no segundo nıvel cN=13; no terceiro nıvel cN=1
9. Entao, no N-esimo nıvel, o
comprimento de cada segmento e expresso por:
cN =(
1
3
)N
(A.4)
Portanto tem-se que, no limite para infinitos nıveis que:
limN→∞
cN = limN→∞
(1
3
)N
= 0 (A.5)
Desta maneira, o comprimento de cada segmento tende a zero. Por isso,
o resultado do conjunto de Cantor e uma serie de pontos “pulverizados”; daı a
denominacao de “Poeira de Cantor”.
Para se analisar o comprimento total CtN do conjunto de Cantor, basta que se
multiplique o numero de segmentos pelo comprimento de cada um deles. Logo:
CtN =(
2
3
)N
(A.6)
Quando o numero de geracoes tende a infinito, tem-se:
limN→∞
CtN = limN→∞
(2
3
)N
= 0 (A.7)
Portanto, o comprimento do Conjunto de Cantor tende a 0. Observam-se pois
caracterısticas do conjunto de Cantor que sao paradoxais. Ao mesmo tempo que
o numero de segmentos de que e composto o conjunto tende a infinito, conclui-se
que o conjunto de segmentos possui um comprimento total nulo. As construcoes
matematicas que encerram tais contradicoes sao comumente chamadas de “Monstros
Matematicos” ou ainda de “Casos Patologicos”.
A.2 Ilha de Koch
Nesta subsecao e discutido um dos processos de formacao do que se denomina
de ilha de Koch. No caso parte-se de uma linha fechada, denotada de “ilha”, que tem
como geracao inicial a forma de um triangulo equilatero. O processo de construcao
se inicia substituindo-se o terco central de cada um dos lados, supostos cada um de
108
comprimento unitario, por outros dois segmentos com comprimentos de 13, formando-
se uma estrutura triangular, sem a base que justamente e corresponderia a porcao
removida. Obtem-se entao uma estrutura com comprimento total de 4 unidades (tres
conjuntos de quatro partes cada um, cada parte com comprimento 13). O processo
e repetido para cada um dos doze segmentos, e assim sucessivamente, ate que, para
infinitos nıveis, tem-se a estrutura chamada de ilha de Koch (ver Figura A.2).
Figura A.2: Os quatro primeiros nıveis da ilha de Koch triangular.
Primeiramente procede-se a uma analise de como a area, limitada pelos seg-
mentos que constituem a figura, muda no processo iterativo. No nıvel inicial, N = 0,
tem-se um triangulo equilatero de lado l, cuja area S0 e dada por:
S0 =l2√
3
4(A.8)
109
Para o segundo nıvel, ou seja, N = 1, tem-se uma ilha limitada por 3x4
segmentos, de modo que a area da ilha S1 sera:
S1 = S0 + 3
(l
3
)2 √3
4(A.9)
Para o terceiro nıvel, ou seja, para N = 2, tem-se uma ilha limitada por 3x4x4
segmentos, de modo que a area da ilha S2 sera:
S2 = S0 + 3
(l
3
)2 √3
4+ 12
(l
9
)2 √3
4(A.10)
Logo, para o N-esimo nıvel, tem-se:
SN = S0 + 3l2√
3
4
N∑
i=1
4i−1(
1
3
)2i
(A.11)
A equacao A.11 pode ser reescrita como:
SN = S0 + l2.
√3
12
N∑
i=1
(4
9
)i−1
(A.12)
Fazendo N =∞, tem-se que o somatorio da equacao A.12 e uma serie geometrica
de razao q = 49, de modo que tem-se:
∞∑
i=1
(4
9
)i−1
=9
5(A.13)
Portanto, tomando-se o limite da area SN para infinitos nıveis, tem-se:
limN→∞
SN =2
5
√3.l2 (A.14)
Este resultado mostra que a area delimitada por uma linha de comprimento
infinito, de acordo com o processo de construcao exposto nesta subsecao, e finita.
O fato do comprimento da linha, que e fronteira da ilha de Koch, ser infinito, foi
apresentado explicitamente no Capıtulo 2 para descrever a construcao da curva de
Koch.
110
A.3 Triangulo de Sierpinski
Nesta subsecao sera discutido o processo de construcao do Triangulo de Sier-
pinski, assim como algumas caracterısticas geometricas do mesmo, como o calculo da
area obtida para diferentes nıveis e o calculo do comprimento resultante para infinitos
nıveis no processo de construcao. Um processo simples de construcao do Triangulo de
Sierpinski se inicia a partir de um triangulo equilatero totalmente preenchido (nıvel
inicial, N = 0). Posteriormente determinam-se os pontos medios de cada um dos
tres segmentos que delimitam o triangulo inicial, de modo que ligando-se estes tres
pontos medios, obtem-se quatro triangulos cujos lados correspondem a metade do lado
do triangulo inicial. Ao retirar-se o triangulo central tem-se a segunda configuracao
correspondente a N = 1, concluindo-se portanto o processo basico de construcao. O
processo e repetido com cada um dos tres triangulos restantes (Ver Figura A.3), e
sucessivamente com cada triangulo equilatero formado na sequencia.
Figura A.3: Os cinco primeiros nıveis de construcao do Triangulo de Sierpinski.
Para determinacao da area do Triangulo de Sierpinski, considera-se inicialmente
111
um triangulo equilatero de lado l, cuja area S0 e dada por:
S0 =l2√
3
4(A.15)
Em cada passo N , subtrai-se a area de nN triangulos com lados lN . Tem-se
entao que n1 = 1, n2 = 3, n3 = 9, ..., nN = 3N−1. Os lados lN , sao obtidos pela
reducao dos lados do triangulo original por um fator 12, ou seja:
lN =(
1
2
)N
l (A.16)
Desse modo, a area S1, sera expressa por:
S1 = S0 −(
l
2
)2 √3
4(A.17)
A area S2, sera dada por:
S2 = S0 −(
l
2
)2 √3
4− 3
(l
4
)2 √3
4(A.18)
Portanto, para N →∞, obtem-se:
SN = S0 − l2√
3
12
∞∑
N=1
(3
4
)N
= 0 (A.19)
E interessante discutir o perımetro de cada um dos triangulos obtidos em cada
nıvel da construcao para se calcular a soma do perımetro dos 3N triangulos no nıvel N .
Esta analise permite calcular a soma dos perımetros dos triangulos da figura como um
todo. Analogamente ao que foi feito para determinacao do numero de triangulos nN ,
determina-se o perımetro de cada triangulo para um determinado nıvel. Para N = 0,
tem-se o perımetro do triangulo original de lado l, ou seja, T0=3l. Para N = 1, o lado
de cada triangulo gerado sera l2, o que resulta em um perımetro 3 l
2. Para N = 2, o
lado de cada triangulo gerado sera l4, o que resulta em um perımetro 3 l
4, para cada
triangulo. Portanto, para o nıvel N , tem-se que o perımetro de cada triangulo, TN ,
resulta em:
TN =3l
2N(A.20)
112
Como o numero adicional de triangulos removidos do nıvel N e 3N , a soma PN
dos perımetros dos triangulos no nıvel N e dada por:
PN = 3(
3
2
)N
l (A.21)
Para o Triangulo de Sierpinski, N → ∞, de modo que:
limN→∞
PN = ∞ (A.22)
Logo, o perımetro aumenta indefinidamente a medida que aumentamos o nu-
mero de nıveis na construcao do Triangulo de Sierpinski. Isto leva a uma conclusao
conflitante: a area total de todos os triangulos tende para zero enquanto que o
perımetro da estrutura formada, aumenta indefinidamente.
A.4 Esponja de Menger
A construcao da Esponja de Menger e baseada no mesmo princıpio utilizado
para construcao do Triangulo de Sierpinski, contudo, o processo iterativo e feito com
um cubo, estendendo-se portanto a uma situacao tri-dimensional.
O processo de construcao se da de tal forma que para N = 0, tem-se um cubo
macico de lado l e com volume V0=l3. Para N = 1, o cubo e dividido em 27 cubos
menores e iguais, cada um com uma aresta igual a l3. Remove-se o cubo central, bem
como os seis cubos situados no meio de cada face (Ver figura A.4). Este processo
e repetido sequencialmente com os todos os cubos restantes, dividindo cada um em
27 outros com 13
da aresta do cubo imediatamente anterior. Similarmente, remove-se
o cubo central e cada cubo na porcao central das faces. No segundo nıvel, ou seja,
N = 1, o volume da esponja, V1, sera dado por:
V1 = V0 − 7
(l
3
)3
(A.23)
No terceiro nıvel, ou seja, N = 2, cada um dos 20 cubos restantes sao divididos
em mais 27 iguais, dos quais 7 so retirados, cada um com volume(
l9
)3(Ver Figura
A.5). Deste modo, o volume da esponja, V2, sera dado pela expressao:
113
Figura A.4: Nıvel N = 1 da Esponja de Menger .
V1 = V0 − 7
(l
3
)3
− 7
(l
9
)3
20 (A.24)
Figura A.5: Geracao N = 2 da Esponja de Menger .
Portanto, para o N -esimo nıvel e fazendo N→∞, o volume da esponja sera
dado por:
VN = V0 − 7l3∞∑
N=1
(1
3
)3N
20N−1 = 0 (A.25)
Logo, observa-se que o volume da Esponja de Menger tende a zero, quando o
numero de nıveis tende a infinito. No entanto, para determinacao da area da superfıcie,
SN , com N→∞, desta estrutura fractal, procede-se de tal forma que para N = 0 tem-
se S0=6l2; para N = 1 tem-se:
S1 = S0 + 6l2(
1
3
)2
20 (A.26)
114
Portanto, para o N -esimo nıvel, e fazendo N→∞, a area da superfıcie associada
a enponja sera dada por:
SN = S0 + 6l2∞∑
N=1
(1
3
)2N
20N = ∞ (A.27)
Conclui-se entao, que a Esponja de Menger possui volume nulo, bem como uma
area infinita para infinitos nıveis.
115
Apendice B
Equacao KPZ
Para o modelo de deposicao balıstica, pode-se determinar os expoentes carac-
terısticos a partir da construcao de uma equacao contınua que na verdade corresponde
a generalizacao da equacao de Edwards-Wilkinson [EW] [4]. Tal modelo se constitui
de correlacoes laterais e de um crescimento local normal a interface. Para incluir
o crescimento lateral na equacao de crescimento, primeiro adiciona-se uma nova
partıcula a superfıcie. Para tal crescimento tem-se entao, um aumento δh ao longo
do eixo que esta associado ao crescimento, que facilmente pode ser determinado pelo
esquema mostrado na Figura B.1. Portanto:
δh = [(vδt)2 + (vδt∇h)2]12 = vδt[1 + (∇h)2]
12 (B.1)
Figura B.1: O esquema acima mostra a origem do acrescimo do termo nao linear aequacao [EW] tratando o crescimento local normal a interface.
Se ∇h ¿ 1, pode-se expandir B.1 de modo que:
116
∂h(x, t)
∂t= v +
v
2(∇h)2 + ... (B.2)
A equacao B.2 , sugere que um termo nao linear da forma (∇h)2 deve estar
presente na equacao de crescimento, para refletir a presenca do crescimento lateral.
Portanto, adicionando o termo acima a equacao de EW, obtem-se a equacao de
Kardar-Parisi-Zhang (KPZ). Logo:
∂h(x, t)
∂t= v∆h +
λ
2(∇h)2 + η(x, t) (B.3)
Na equacao acima, o primeiro termo descreve a relaxacao da superfıcie causada
pela tensao de superfıcie . O ruıdo η(x, t) , satisfaz < η(x, t) >= 0 e < η(x, t)η(x′, t′) >=
2Dδd(x−x′)δ(t−t′) , sendo que a primeira reflete as flutuacoes randomicas no processo
de deposicao com numero randomico descorrelacionado de media nula e a segunda
identifica que o ruıdo nao apresenta correlacoes no espaco e no tempo desde que a
media do produto dos ruıdos seja nula, exceto para o caso especial em que x = x′ e
t = t′ , sendo d a dimensao do substrato e D uma constante.
Outra caracterıstica importante da equacao KPZ, e que a mesma apresenta
simetrias associadas a invariancia de translacao no tempo, ou seja, nao depende de
onde se define a origem do tempo sendo portanto invariante a transformacao t → t+δt
. Uma segunda simetria presente, seria ao longo da direcao de crescimento, sendo
portanto independente de onde se define h = 0 , ou seja, e invariante a transformacao
h → h + δh. Porem, a simetria da altura de interface e quebrada, uma vez que as
mesmas estao intimamente ligadas a natureza de equilıbrio da interface formada, ou
seja, no processo de deposicao balıstica a propriedade de crescimento lateral existe,
tendo como consequencia a nao invariancia da equacao KPZ diante da transformacao
h → −h. E importante ressaltar que o termo nao linear afeta os expoentes de escala
associados a interface auto-afim.
Para tal modelo, as transformacoes de escala que tornam a interface estatisti-
camente indistinguıvel sao:
117
x → x′ ≡ bx
h → h′ ≡ bαh
t → t′ ≡ bzt
Substituindo-se as transformacoes acima na equacao B.3 e usando-se a propri-
edade da funcao delta δd(ax) = 1ad δ(x) , tem-se:
bα−z ∂h
∂t= vbα−2∆h +
λ
2b2α−2(∇h)2 + b−
12(d+z)η(x, t) (B.4)
Se compararmos bα−2∇2h com b2α−2(∇h)2, nota-se que no limite b → ∞, o
termo nao linear domina o termo que envolve a tensao de superfıcie, com α > 0 .
Multiplicando-se ambos os lados da equacao B.4 por bz−α , entao:
∂h
∂t= vbz−2∆h +
λ
2bα+z−2(∇h)2 + b−
12(d−z)−α (B.5)
Um detalhe importante da equacao acima, na determinacao dos expoentes
caracterısticos e que os termos v, λ e D na equacao de crescimento nao se renormalizam
independentemente sendo, portanto, acoplados. Entao, para um comportamento de
invariancia de escala, nao se pode simplesmente assumir que os expoentes de b sao
nulos, pois os coeficientes v, λ e D podem tambem mudar apos a transformacao de
escala.
118
Apendice C
Metodo de Liebmann
A solucao analıtica de uma equacao diferencial nem sempre e possıvel. No caso
de equacoes diferenciais parciais de segunda ordem, esta dificuldade geralmente tem
origem no fato de que a solucao buscada, u = u(x, y) (no caso de duas dimensoes),
deve ser valida em uma regiao do espaco com fronteira definida, sobre a qual uma
condicao de contorno sera imposta. A topologia desta fronteira, se irregular, constitui
dificuldade a possibilidade de uma abordagem analıtica. Numa situacao deste tipo,
resulta inevitavel recorrer a uma metodologia numerica.
O emprego de tecnicas numericas para a solucao de equacoes diferenciais par-
ciais, requer que a regiao de integracao, em lugar de ser tratada como um contınuo,
constitua um conjunto discreto e finito de pontos nos quais a variavel de interesse e
calculada. Quanto maior for o numero de pontos em que a regiao e “dividida”, mais
proxima da solucao exata sera a solucao aproximada. O conjunto de pontos discretos
constitui assim uma malha. Uma vez que o domınio e tratado discretamente, obtem-
se um conjunto de equacoes, onde o valor da variavel num ponto e escrito em funcao
dos valores da mesma variavel em outros pontos da malha. Este procedimento resulta
em um sistema de equacoes algebricas, geralmente lineares, que representa a equacao
diferencial parcial. O procedimento e iterativo de modo que a solucao convirja.
Os metodos iterativos partem de uma aproximacao inicial, digamos u(0), e
constroem uma sucessao de solucoes, u(1), u(2), ..., u(k) que, espera-se, seja convergente
para a solucao exata u do problema. Seja Au = B um sistema linear, onde A e uma
matriz m x n, u um vetor coluna de dimensao n e B uma matriz linha de dimensao m.
Converte-se sistema num equivalente do tipo u = Mu+c, onde M e uma matriz m x n
119
e c e um vetor coluna de dimensao n. Assim, o metodo iterativo, do tipo estacionario,
pode ser escrito da seguinte forma:
u(k+1) = Mu(k) + c (C.1)
em que M e designada matriz iteracao.
Dentre as equacoes diferenciais parciais elıpticas, a equacao de Laplace pode ser
resolvida usando a tecnica de diferencas finitas, transformando-se em uma equacao
algebrica de diferencas. As condicoes de fronteira exigidas para a solucao podem
ser especificadas atribuindo-se o valor da variavel u, cuja solucao se procura, na
fronteira da regiao de integracao. Este tipo de condicao e chamado de condicao de
fronteira de Dirichlet. Alternativamente, as primeiras derivadas da funcao u podem
ser especificadas na fronteira, o que neste caso se chama de condicao de Neumann.
A equacao diferencial parcial e resolvida dividindo-se o domınio de integracao
em uma malha (“grid”) retangular e escrevendo a equacao de diferancas para cada
um dos pontos que compoem a malha, denotados por nodos. Isto leva a um conjunto
de equacoes algebricas lineares que podem ser resolvidas simultaneamente.
Na argumentacao que se segue, assume-se que a funcao que se deseja determinar
seja o potencial eletrico. Os valores do potencial em cada ponto sao inicialmente
desconhecidos e determinados iterativamente utilizando-se um criterio de convergencia.
Assim, repete-se o processo de calculo ate que o vetor u(k), em cada ponto da malha,
possa ser considerado como suficientemente proximo de u(k−1), ou seja, define-se uma
tolerancia ε de modo que:
∥∥∥u(k) − u(k−1)∥∥∥ ≤ ε (C.2)
Seja h = ∆x o espacamento do “grid” na direcao x, e a funcao u(x) como sendo
contınua ate a quarta derivada. Utilizando-se uma expansao em serie de Taylor, para
o caso bi-dimensional, tem-se:
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u(xn+h) = u(xn)+u′(xn).h+1
2!u′′(xn).h2+
1
3!u′′′(xn).h3+
1
4!u(iv)(ξ1).h
4, xn < ξ1 < xn+h
(C.3)
e portanto,
u(xn−h) = u(xn)−u′(xn).h+1
2!u′′(xn).h2− 1
3!u′′′(xn).h3+
1
4!u(iv)(ξ2).h
4, xn−h < ξ2 < xn
(C.4)
Somando-se as equacoes C.3 e C.4 tem-se:
u(xn + h)− 2u(xn) + u(xn − h)
h2= u′′(xn) +
uiv(ξ)
12.h2, xn − h < ξ < xn + h (C.5)
Podemos simplificar a notacao da equacao C.5 indicando, como ındice de u, n
que se refere a posicao do ponto no grid e por ± indicando se u e calculado em x ou
num ponto em relacao a x deslocado de ±h. Ja o termo de ordem O(h2) significa que
o erro e proporcional a h2 quando h → 0. Portanto:
un+1 − 2un + un−1
h2' u′′n + O(h2) (C.6)
De modo similar, a primeira derivada pode ser aproximada como dependendo
da diferenca entre os valores das funcoes nos pontos sucessivos do “grid”, tendo-se
portanto:
un+1 − un−1
2h= u′n + O(h2) (C.7)
Com as aproximacoes acima, no ponto (xi, yi) o Laplaciano assume a forma:
∆u(xi, yi) ' ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j
(∆x)2+
ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1
(∆y)2(C.8)
Como, no caso, desejamos resolver a equacao de Laplace, ∆u(xi, yi) = 0.
Considerando-se um “grid” regular, com h = ∆x = ∆y = 1, que substituindo na
eq. C.8 leva a que o potencial em cada ponto seja dado por:
121
ui,j =1
4{ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1} (C.9)
Na equacao C.9 temos os valores do potencial em cinco pontos distintos: a
diteita, a esquerda, acima e abaixo de um ponto “central” ui,j (Ver Figura C.1). Para
a determinacao do potencial em todos os pontos, temos que distinguir pontos nos
quais o valor do potencial varia ao longo das iteracoes e pontos para os quais o valor
do potencial e mantido constante ao longo de todo o processo iterativo. Estes ultimos
correspondem aos pontos que definem a fronteira, portanto estamos utilizando uma
condicao de contorno tipo Dirichlet. Valores iniciais sao arbitrariamente atribuıdos
a cada um dos pontos do “grid”, que nao os de fronteira, obedecendo a condicao
de que estes valores sejam compatıveis com os potenciais previamente atribuıdos aos
contornos. Assim, na execucao computacional, a cada ponto do domınio de integracao,
associa-se uma propriedade, que pode ser chamada de funcao estado, atribuıdo o valor
1 para pontos onde o potencial e mantido inalterado e 0 para pontos onde o potencial
e recalculado pelo procedimento iterativo. Mantendo-se constante o potencial da
fronteira, o processo de calculo iterativo do potencial em cada ponto e realizado
utilizando-se a eq. C.9, ate que a diferenca entre os potenciais calculados, num mesmo
ponto e para todos os pontos, em sucessivas iteracoes, se torne menor do que um valor
adotado previamente, escolhido como um criterio de convergencia. Ha a possibilidade
de que a fronteira da regiao onde desejamos determinar o potencial, corresponda
a dois ou mais conjuntos de pontos onde o potencial, distinto para cada conjunto,
seja mantido constante. E possıvel, por exemplo, que a regiao tenha como fronteira
duas superfıcies mantidas a uma diferenca de potencial. Neste caso, os extremos
do “grid”, numa direcao, definem o que poderıamos chamar de “laterais” da regiao
de integracao. Com relacao as laterais pode-se adotar, por exemplo, condicoes de
periodicidade evitando portanto a atribuicao de potenciais definidos.
No caso tri-dimensional utiliza-se, para se escrever o laplaciano, tres indices
que indicam as posicoes espaciais dos pontos. Para um “grid” generico, tem-se:
122
Figura C.1: Regiao onde se deseja determinar o potencial eletrico, tratada como umconjunto discreto de pontos.
∆u =ui+1,j,k − 2ui,j,k + ui−1,j,k
(∆x)2+
ui,j+1,k − 2ui,j,k + ui,j−1,k
(∆y)2+
ui,j,k+1 − 2ui,j,k + ui,j,k−1
(∆z)2
(C.10)
Sendo ∆u(xi, yi, zi) = 0, o potencial em cada ponto do “grid” sera dado por:
ui,j,k =(ui−1,j,k + ui+1,j,k).L
2Ψ.L2
ξ
2(L2Ψ.L2
ξ + 1 + L2Ψ)
+(ui,j−1,k + ui,j+1,k)L
2θ.L
2ξ
2(L2θ.L
2ξ + 1 + L2
ξ)+
(ui,j,k−1 + ui,j,k+1)L2Ψ.L2
θ
2(L2Ψ.L2
θ + 1 + L2θ)
(C.11)
onde LΨ = ∆y∆z
, Lξ = ∆z∆x
e Lθ = ∆x∆y
e onde ∆x, ∆y e ∆z correspondem aos
espacamentos entre pontos vizinhos nas direcoes x, y e z, respectivamente. E possıvel
notar que a regularidade do grid, ou seja, no caso em que ∆x = ∆y = ∆z, reduz
a eq.C.11 a uma media aritmetica do potencial nos pontos que correspondem aos
seis primeiros vizinhos de um ponto central. O conjunto de equacoes necessario para
este caso e mais extenso mas, em princıpio, os metodos sao identicos aos expostos na
solucao para o caso bi-dimensional.
Em problemas tri-dimensionais, torna-se facil exceder o espaco de memoria
computacional disponıvel. Por exemplo, se o volume considerado tem 100 pontos em
cada direcao, um total de (100)3 pontos estarao envolvidos. Isto pode requerer a
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representacao dos coeficientes de um milhao de equacoes numa matriz quadrada.
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Apendice D
Algoritmo de Verlet
O algoritmo de Verlet e provavelmente o metodo de integracao mais utilizado
em dinamica molecular. O mesmo utiliza a expansao em serie de Taylor, levando-se
em conta os termos de terceira ordem da posicao da partıcula em funcao do tempo.
Deste modo, expandindo-se o vetor posicao em um instante t + ∆t, tem-se que:
~rj(t + ∆t) = ~rj(t) + ~vj(t)∆t +1
2~aj(t)(∆t)2 +
1
6~bj(t)(∆t)3 + O(∆t)4 (D.1)
Na equacao D.1, ~aj(t) = d~vj(t)
dte a aceleracao e o vetor ~bj(t) corresponde a
derivada da aceleracao. Aplicando-se, a referida equacao, o sentido de evolucao
inverso, tem-se:
~rj(t−∆t) = ~rj(t)− ~vj(t)∆t +1
2~aj(t)(∆t)2 − 1
6~bj(t)(∆t)3 + O(∆t)4 (D.2)
Somando-se as equacoes D.1 e D.2, chega-se a equacao fundamental do algoritmo,
ou seja :
~rj(t + ∆t) + ~rj(t−∆t) = 2~rj(t) + ~aj(t)(∆t)2 + O(∆t)4 (D.3)
Uma vez que as coordenadas cartesianas de cada partıcula sao tratadas como
coordenadas generalizadas e o potencial de interacao depende exclusivamente das
posicoes, ou seja, U = U(~r1, ..., ~rN), tem-se pela equacao de Newton que:
mj~rj = ~Fj (D.4)
Como tem-se que as forcas sao derivadas do potencial, a forca total exercida
125
sobre a j-esima partıcula, ~Fj, pode ser expressa por:
~Fj = −~∇rjU(~r1, ..., ~rN) (D.5)
Substituindo-se o valor da aceleracao da equacao D.4 em D.3, tem-se que:
~rj(t + ∆t) + ~rj(t−∆t) = 2~rj(t) +~Fj(~r1(t), ..., ~rN)(t)
mj
(∆t)2 + O(∆t)4 (D.6)
Observa-se portanto que o algoritmo de Verlet possui simplicidade de imple-
mentacao, sendo estavel e com boa precisao uma vez que seu erro de truncamento
e da ordem de (∆t)4. Contudo, o mesmo nao calcula automaticamente a velocidade
uma vez que esta ultima nao e necessaria para a determinacao das trajetorias. Para se
determinar grandezas, como por exemplo a energia cinetica, K, que pode ser utilizada
para se comprovar a conservacao da energia mecanica, E = K + U , determina-se a
velocidade da partıcula subtraindo-se as equacoes D.1 e D.2 de modo que:
~vj(t) =~rj(t + ∆t)− ~rj(t−∆t)
2∆t+ O(∆t)2 (D.7)
Vale ressaltar que, devido a sua simplicidade, o algoritmo de Verlet requer um
reduzido recurso computacional, fato este que nao chega a apresentar uma grande
vantagem. Tal algoritmo requer tambem que o intervalo de tempo utilizado na
simulacao seja constante. Porem, a variacao do ∆t no decorrer da simulacao pode levar
a uma vantajosa economia no tempo de simulacao. Pode-se, por exemplo, recorrer a
situacoes onde as forcas entre as partıculas sejam grandes implicando em aceleracoes
altas. Como consequencia, os intervalos de tempo teriam de ser menores. Quando as
forcas sao de baixa intensidade pode-se empregar intervalos de tempo maiores. Isto
sugere o ajuste do intervalo de tempo, ∆t, conforme o comportamento do sistema, o
que possibilita otimizar o tempo de processamento consideravelmente.
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