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Pós Graduação em Educação Matemática UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA

Parte 2: Matemática Comercial e Financeira

Prof. Ilydio Pereira de Sá

Matemática Comercial e Financeira para Educadores Matemáticos – Prof. Ilydio Pereira de Sá

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1) A MATEMÁTICA E O DINHEIRO

A Matemática Comercial e Financeira e os Fatores de Correção

Introdução Em primeiro lugar gostaríamos de registrar que a melhor fonte de consulta e pesquisa para a nossa ação docente na Escola Básica, com a Matemática Comercial e Financeira, são os jornais diários e as revistas de circulação semanal As páginas dos jornais e revistas estão repletas de assuntos vivos e que estão presentes no cotidiano de todas as pessoas. Assim sendo, um estudo sobre porcentagens e juros, por exemplo, pode e deve ser iniciado de uma forma provocativa e contextualizada a partir de um texto, gráfico ou manchete de um desses meios jornalísticos. Acreditamos que o conceito de fatores de correção (aumento ou redução) se constitui na mais importante noção da Matemática Comercial e Financeira e que ele pode (como já fazemos há vários anos) ser iniciado já nas classes de 5ª ou 6ª série do Ensino Fundamental, devendo sempre ser retomado e ampliado (ensino em espiral) nas séries posteriores. No presente capítulo, vamos iniciar da forma que propusemos anteriormente, a partir de uma notícia de jornal e, após as discussões, provocações e questões que forem geradas em classe, o conceito de fator de correção poderá ser sistematizado.

�� A linguagem e exemplos que usaremos no capítulo são adequadas às séries citadas anteriormente (5ª e 6ª) ou mesmo para um curso inicial da Educação de Jovens e Adultos. Ao longo dos capítulos desenvolveremos diálogos, como se você estivesse conversando, questionando ou apresentando o tema a seus alunos.

“Se você quer vencer na vida é muito simples:“Se você quer vencer na vida é muito simples:“Se você quer vencer na vida é muito simples:“Se você quer vencer na vida é muito simples: conheça o que faz; aconheça o que faz; aconheça o que faz; aconheça o que faz; ame o que faz;me o que faz;me o que faz;me o que faz;

e acredite no que faz.“e acredite no que faz.“e acredite no que faz.“e acredite no que faz.“ (Will Rogers)(Will Rogers)(Will Rogers)(Will Rogers)


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Vejamos uma notícia extraída do Jornal do Brasil.

Jornal do Brasil – 30 de abril de 2004

O MÍNIMO DO MÍNIMO

Piso nacional passa para R$ 260 e representa ganho real de apenas 1,2% sobre a inflação registrada em um ano

BRASÍLIA - Em meio ao indisfarçável constrangimento e a uma saraivada de críticas

da oposição, o governo decidiu ontem, após um mês inteiro de discussões, elevar o

valor do salário mínimo de R$ 240 para R$ 260. O reajuste - que passará a vigorar a

partir de 1º de maio - significa ganho real de apenas 1,2% sobre a inflação de 7,02%

registrada pelo Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) ao longo de um

ano.

Podemos verificar que a reportagem apresentada coloca uma série de questões e enfoca conceitos importantes da Matemática Financeira. Será importante que o professor leia o texto com a turma e, após reforçar as questões surgidas, voltar ao texto após o estudo dos fatores de correção e confirmar (ou não) todos os dados envolvidos na reportagem.


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Diz o texto que o salário mínimo teve um aumento de 8,33% e que isto representa um ganho real de apenas 1,2%. O que significa então ganho real? Como se obtém esse aumento de 8,33% e esse ganho real de 1,2%? O que tem a inflação a ver com tudo isso? O que é inflação? Esperamos que, ao término do capítulo, você já esteja em condições de responder a todas essas perguntas. Os Fatores de Correção: Devemos ressaltar a nossos alunos que, sem a Matemática, não conseguiríamos escolher a melhor opção entre dois produtos (com embalagens diferentes) oferecidos em um Supermercado, entender descontos ou aumentos de salários (dos pais deles ou deles mesmos), identificar os produtos que aumentaram demasiadamente de preço, constatar e criticar as propagandas enganosas, reivindicar direitos trabalhistas, perdas salariais, etc. Nossa abordagem inicial será, como já dissemos antes, através do mais importante “segredo” da “Matemática do dinheiro” – os fatores de correção. Você irá constatar rapidamente que, este conceito, é a base de quase tudo o que se estuda na Matemática Comercial e Financeira e, com o auxílio de uma calculadora simples, poderemos resolver ou mostrar a nossos alunos como se resolve diversos problemas importantes em nossa vida. Todos sabemos que todo número fracionário possui uma representação decimal, e vice-versa. Por exemplo a fração 3/4 representa 0,75 (o que você obtém ao dividir 3 por 4). Esta fração é ainda equivalente a 75/100 que é a razão de 75 para 100 ou 75%. Sabemos também que o número decimal multiplicado por 100 assume a sua representação percentual. Vejamos alguns exemplos iniciais. a) 0,45 (. 100) corresponde a 45% b)1,45 (.100) corresponde a 145% c) 0,7896 (.100) corresponde a 78,96 % d) 3,567 (.100) corresponde a 356,7 %. Vamos imaginar agora que uma mercadoria será aumentada em 23%. Você poderá descobrir o novo preço de vários modos distintos:

1) Multiplicando o preço antigo por 23 e dividindo por 100, somando o resultado com o preço antigo. 2) Multiplicando o preço antigo por 0,23 e somando o resultado com o preço antigo. 3) Simplesmente multiplicando o preço antigo por 1,23.

O número 1,23 do exemplo é denominado fator de correção para um acréscimo de 23% e foi obtido a partir de 100 % (preço antigo) mais 23 % (aumento) em seguida dividimos por 100 para obter a forma de número decimal. Se, no exemplo apresentado o preço fosse diminuído em 23 %, o fator seria 0,77, pois 100% menos 23% é igual a 77%. Concluímos que os fatores que representam aumentos são maiores que 1 e os que representam redução são menores que 1.

F = (100 + k ) :100 (Fator de Aumento de k%)

F = (100 - k ):100


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(Fator de Redução de k%)

Vejamos mais alguns exemplos: 1) O senhor Enkren Kado, gerente de um supermercado, tem que aumentar os preços de todos os produtos de um setor em 32,5 %. Qual o fator de aumento? Quanto passará a custar uma mercadoria do setor, que custava R$ 60,00?

SOLUÇÃO : Fator de aumento : 1,325 [(100 % + 32,5 %) : 100]

Novo preço : R$ 79,50

(60 x 1,325 )

2) Maurinho, em Setembro, obteve uma correção salarial de 35%, sobre o salário de Agosto, passando a receber R$ 337,50. Quanto recebia em Agosto?

SOLUÇÃO:

A x 1,35 = 337,50 A = 337,50 :1,35 = 250,00. Logo, em agosto Maurinho recebia R$ 250,00

3) Um remédio estava custando R$ 34,00, e passou a custar R$ 47,00. Qual o fator e qual o percentual de aumento?

SOLUÇÃO : 34 x F = 47

F = 47 : 3440 = 1,3824 (Fator de correção)

1,3824 x 100 - 100 = 38,24 % (Aumento) 4) Vamos supor que , no exemplo anterior, o remédio custasse R$ 47,00 e sofresse uma redução de preço para R$ 34,00. Qual seria o fator de redução e o percentual de redução correspondente ?

SOLUÇÃO: 47 x F = 34

F = 34 : 47 = 0,7234 (Fator de Redução)

0,7234 x 100 = 72,34 % (Valor Final)

100 % - 72,34 % = 27,66 % (Redução Percentual) 5) Uma loja está vendendo um produto com um desconto à vista de 30%, ou então com pagamento normal , sem desconto, com um cheque pré-datado para 30 dias. Quanto estará pagando de juros , em um mês, o cliente que optar pela segunda forma de pagamento?

SOLUÇÃO : Vamos supor que o produto custe 100 dólares. Para quem pagar à vista ele custará 70 dólares (30% de desconto). Para quem escolher o cheque pré-datado, estará, na realidade pagando 100 dólares por algo que custa 70 dólares. Logo o fator de correção inserido neste aumento é : 100 : 70 = 1,4286, o que corresponde ao pagamento de 42,86% de juros em um mês. Aumentos ou Reduções Sucessivos


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Você sabe que em nosso dia-a-dia é bastante comum encontrarmos situações de aumentos ou reduções sucessivas, como na caderneta de poupança, nas liquidações, nos reajustes de impostos ou mesmo de salários (menos comum, infelizmente). O que será que ocorre com os fatores de correção nesses casos? Vejamos um exemplo: Uma mercadoria sofreu dois reajustes consecutivos, de 3% e de 4%, respectivamente. Qual o aumento percentual correspondente a essas duas correções? Você poderia usar um recurso, bastante válido, de supor um preço inicial para essa mercadoria (normalmente usamos o valor de 100 reais, pois facilita nossos cálculos). Em seguida, aumentar esse preço em 3% e depois em mais 4% sobre a primeira correção. Comparando o preço final com os 100 reais, teremos a variação percentual procurada. Vejamos esse tipo de solução. Preço inicial = 100 reais � primeira correção (3%) = 103 reais � segunda correção, 4% sobre 103 reais, ou seja, 0,04 x 103 = 4,12 reais, logo, o preço final será de 103 reais + 4,12 reais = 107,12 reais. Se compararmos o preço final de 107,12 reais, com o preço inicial de 100 reais, temos que o aumento foi de 7,12 reais e, como esse acréscimo é sobre 100 reais, temos também que o aumento percentual foi de 7,12%. Gostaríamos de alertá-lo novamente sobre a agilidade que você pode adquirir, usando para esse tipo de questões os fatores de correção, como já vimos anteriormente. Vejamos essa outra possível solução. Vamos chamar o primeiro preço da mercadoria de P. Você já deve estar sabendo que, com um aumento de 3%, usando os fatores de correção, esse preço passará a ser de P x 1,03 (certo?). Com o segundo aumento de 4%, o preço passará a ser de P x 1,03 x 1,04 o que corresponde a P x 1,0712, já que a multiplicação é associativa. Isto vai significar que, independentemente do preço inicial ele está, após os dois aumentos sucessivos, sendo multiplicado pelo fator 1,0712, o que corresponde a uma variação percentual de 7,12%, a mesma resposta que achamos na primeira solução comentada. Gostaríamos que você observasse esse importante fato nas transações comerciais e na Matemática Financeira. Aumentos sucessivos (muito comuns em países como o Brasil) geram um aumento acumulado que pode ser obtido através do PRODUTO dos fatores de aumento correspondentes às taxas desses aumentos. Um raciocínio parecido com esse seria feito para o caso de reduções sucessivas de preços ou salários. Reduções sucessivas podem ser também calculadas através do PRODUTO dos fatores de redução correspondentes às taxas dessas reduções. Uma crítica que fazemos à maioria dos livros didáticos do Ensino Fundamental é que eles normalmente só abordam os chamados juros simples e, nesse caso, dando ao aluno a falsa impressão de que os dois aumentos desse exemplo gerariam um aumento total de 7%. Tal fato só estaria correto se os dois aumentos fossem sobre o valor inicial da mercadoria, ou seja, se eles não fossem acumulativos, ou sucessivos – o que caracteriza uma situação denominada juros compostos.

�� Você, professor ou estudante de matemática, saberia me dizer o porque de tal assunto não ser normalmente abordado nos livros da Escola Básica? Será que um


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aluno de 6ª série, por exemplo, não teria capacidade de entender como funciona o cálculo de juros sobre juros, usando os fatores de correção? Exemplo: Qual a variação percentual acumulada, gerada por dois aumentos sucessivos de 30%? Solução: Aplicando direto o conceito de fatores de correção, teremos: 1,3 x 1,3 = 1,69. Logo houve um aumento acumulado de 69%. Verifique que, se usássemos valores monetários, formando uma seqüência, como se trata de taxa fixa de correção, teríamos uma situação muito particular e já conhecida nossa, vejamos: Supondo um valor inicial de 100 reais. Com um primeiro aumento de 30%, teremos um segundo valor de 100 x 1,3 = 130 reais. Com um segundo aumento de 30%, teremos um terceiro valor de 130 x 1,3 = 169 reais. Logo, temos a seqüência (100, 130, 169), que é uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA de razão igual a 1,3 (ou 1,30) o que corresponde a uma variação percentual fixa de 30% de aumento. O Fato que verificamos acima irá sempre acontecer quando as taxas de variação forem constantes e aumentos ou reduções sucessivas. Teremos sempre a formação de progressões geométricas.

�� Dessa forma, temos aqui uma outra excelente oportunidade de trabalhar conceitos da matemática financeira (agora no ensino médio). Quando trabalhamos progressões geométricas podemos (e devemos) procurar exemplos de aplicação de juros compostos. Podemos resumir através dos exemplos dados que, quando temos o fator de aumento e queremos obter o percentual de aumento correspondente.

Exemplos: Fator de aumento Aumento gerado Percentual de aumento

1,45 1,45 – 1 = 0,45 45% 1,953 1,953 – 1 = 0,953 95,3% 1,065 1,065 – 1 = 0,065 6,5% 2, 86 2,86 – 1 = 1,86 186%

Analogamente, quando temos o fator de redução e queremos obter o percentual de redução correspondente:

Dado um fator de aumento, devemos subtrair 1 dele, para conhecer o aumento havido.

Dado um fator de redução, devemos subtraí-lo de 1 para conhecer a redução ou desconto havido.


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Exemplos:

Fator de redução Redução gerada Percentual de redução 0,45 1 – 0,45 = 0,55 55% 0,95 1 – 0,95 = 0,05 5% 0,76 1 – 0,76 = 0,24 24% 0, 86 1 – 0,86 = 0,14 14%

Vejamos mais dois exemplos importantes: 1) Esta historinha ocorreu (ou melhor, não chegou a ocorrer) na loja do Sr. Manoel, meu vizinho, há muitos anos atrás. Sr. Manoel pretendia usar uma estratégia para tentar movimentar sua loja – aumentaria o preço de tabela de todas as mercadorias em 20% e depois, anunciando uma grande liquidação, daria descontos de 20% para todos os artigos que vendia. Achava ele que, agindo dessa forma, venderia pelos mesmos preços de antes, com a vantagem de estar anunciando uma liquidação. Antes de continuar a leitura dessa história, será importante saber de nossos alunos qual a opinião deles sobre a estratégia do Sr. Manoel? Quando começou a efetuar os cálculos para compor a tabela fictícia que usaria como referência, teve o susto de verificar que não ocorria como havia planejado e que seria obrigado a vender por um preço inferior ao que cobrava anteriormente. Chamou-me para perguntar o que estava ocorrendo, onde estava o erro de sua estratégia e, desistiu do artifício após minha explicação.

Vejamos o que ocorreu ...

Vamos supor que uma mercadoria custasse 100 reais, o Sr. Manoel, para compor a tabela, teria de colocar o preço de 120 reais e quando fosse na tal “liquidação”, teria que dar um desconto de 20% sobre os 120 reais, que corresponderia a um desconto de 24 reais. Logo, teria de vender a mercadoria por 120 – 24 = 96 reais, gerando para ele uma perda de 4 %. O fato é simples de ser entendido se você lembrar que o aumento inicial e o desconto posterior foram ambos de 20%, só que sobre valores diferentes. Enquanto o aumento foi sobre os 100 reais, o desconto teria de ocorrer sobre os 120 reais e, é óbvio que 20% sobre 120 é maior que 20% sobre 100.

Gostaria de lembrar que essa questão é também um caso de correções sucessivas (aumento, seguido de redução) e, como já vimos anteriormente, podemos usar mais uma vez os fatores de correção.

1,2 representa o fator de correção ou multiplicador para um acréscimo de 20%, certo? e 0,80 (ou 0,8) representa o fator de correção para um desconto de 20%. O produto 1,2 por 0,8 (aumento e redução sucessivos) gera um resultado 0,96, que é um fator de redução. Qual o percentual dessa redução (que para o Sr. Manoel seria uma perda)? Acertou se pensou em 4%. (lembra que temos de calcular 1 – 0,96 = 0,04 ou 4%).


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2) Vamos apresentar agora uma história bastante comum na vida de todas as pessoas.

Uma loja anuncia a venda de um aparelho de som, com duas possibilidades de pagamento. A vista por R$ 1500,00 ou com uma entrada de 50% e uma segunda parcela de R$ 900,00, paga 30 dias depois. Quanto está pagando de juros a pessoa que escolher a segunda opção de pagamento?

Um aluno meu apresentou a seguinte solução: Preço a vista = R$ 1500,00 Preço pago em duas parcelas = R$ 750,00 + R$ 900,00 = R$ 1650,00 Valor pago a mais (juros) = R$ 1650,00 – R$ 1500,00 = R$ 150,00 Percentual pago como juros (taxa) = 150 : 1500 = 0,10 = 10% Você concorda com essa solução de meu aluno? Em caso negativo, apresente uma outra e compare em seguida com o comentário que faremos. Verifique comigo que esta solução (que aparentemente não tem nada de errada) não está correta já que, quando o cliente paga a entrada de 50% (R$ 750,00), ele assume uma dívida de R$ 750,00 e é sobre esse valor que nossos cálculos devem ser efetuados (é o que denominamos de saldo devedor). Logo, os juros cobrados devem ser calculados verificando-se o aumento de R$ 750,00 para R$ 900,00. Devemos determinar o percentual de juros comparando-se os R$ 150,00 cobrados a mais, com R$ 750,00, ou seja, 150 : 750 = 0,20 ou 20%. Se formos usar os fatores de correção, teremos que, neste caso, o fator de aumento corresponde a 900 : 750 = 1,20. O fator 1,20 corresponde a um acréscimo de 1,20 - 1 = 0,20 = 20%. Verifique que é uma resposta bem diferente da que meu aluno calculou e nós, por desconhecimento ou falta de atenção, muitas vezes somos levados a calcular erradamente os juros que estão inseridos nas compras que fazemos. Podemos assim resumir, os principais conceitos que aprendemos nas historinhas que apresentamos:

Você aprendeu que:

� Todo fator de aumento é um número superior a 1. � O fator de aumento pode ser obtido pela soma (100% + taxa de aumento

percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? Exemplo: fator de aumento para um acréscimo de 24% = 100% + 24% = 124% = 124 /100 = 1,24.

� Todo fator de redução é um número inferior a 1. � O fator de redução pode ser obtido pela subtração (100% - taxa de

aumento percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? Exemplo: fator de redução para uma perda de 24% = 100% - 24% = 76% = 76 /100 = 0,76.


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� Aumentos ou reduções (ou mistura dos dois) consecutivos, devem ser calculados pelo PRODUTO DOS FATORES DE CORREÇÃO, e não pela soma das taxas a eles correspondentes.

OBSERVAÇÃO:

�� Todos os conceitos mostrados nesta introdução podem (e devem) ser enfocados nas séries iniciais do Ensino Fundamental - 2º Segmento (5ª e 6ª séries).

�� Sugiro inclusive, que os professores aproveitem essas aulas sobre fatores de correção para incitar aos alunos o uso das calculadoras, sem esquecer, é claro, de um trabalho prévio sobre o uso correto das máquinas de calcular.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) A população de um país era de 3 000 000 de pessoas em 1999. Sabe-se que essa população cresceu a uma taxa constante de 2% ao ano. Que população o país atingiu em 2002?

2) Uma bomba de vácuo retira, em cada sucção, 2% do gás existente em certo recipiente. Depois de 6 sucções, quanto restará do gás inicialmente existente?

3) Qual a variação da área de um retângulo cuja base sofre um aumento de 10% e a altura sofre uma redução de 10% do seu valor?

4) (Escola Naval) Ações de certa companhia valorizaram-se 10% ao mês, durante cinco meses consecutivos. Quem investiu nessas ações obteve, durante esses cinco meses, um lucro aproximado igual a: a) 40% b) 50% c) 55% d) 60% e) 70%

5) (UFRJ) Certa população de bactérias dobra a cada hora. Num certo dia, às 8 horas da manhã, a população é de 1000 bactérias. A que horas a população será de 512 000 bactérias?

6) Qual a redução acumulada, gerada por dois descontos consecutivos de 30%?

7) Uma loja vende seus artigos com pagamento em duas prestações, "sem juros". A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após. Entretanto, um desconto de 25 % é concedido se o cliente pagar à vista. Na realidade, essa loja cobra, nas vendas a prazo, juros mensais de taxa igual a:

8) (TRT - 1993) Certa categoria de trabalhadores obteve em junho um reajuste salarial de 50 % sobre os salários de abril, descontadas as antecipações. Como ela havia recebido em maio uma antecipação de 20 % (sobre o salário de abril), a percentagem do aumento obtido em junho, sobre o salário de maio, é de:

9) Uma mercadoria teve seu preço aumentado em 20 %. Em seguida, o novo preço foi rebaixado em 20 %. O preço final da mercadoria, em relação ao preço inicial é:

10) A inflação acumulada de um bimestre está em 13,5% e no mês seguinte acusou uma taxa de 5,6%. Qual a inflação acumulada no trimestre em questão?


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GABARITO 01) 3 183 624 02) 88,6% 03) redução de 1% 04) D 05) 17 h

06) 51% 07) 100% 08) 25% 09) redução de 4% 10) 19,86%

1.2) INFLAÇÃO, DEFLAÇÃO E DESINFLAÇÃO: TAXA NOMINAL E TAXA REAL – CÁLCULO DE ÍNDICES.

Na maioria dos países do mundo – especialmente no Brasil – não é preciso ser economista para se ter uma correta noção intuitiva do que é a inflação: é um aumento generalizado e persistente dos preços ou, vendo por outro ângulo, uma diminuição persistente do poder aquisitivo do dinheiro.

A determinação da taxa de inflação é feita mediante determinados cálculos que envolvem médias ponderadas e sobre uma lista de produtos que compõe o que chamamos de cesta básica.

O que determina a inflação e a deflação é a média geral de preços e não de um produto isolado. Se apenas o preço do arroz sobe ou desce durante um período, isso não pode ser chamado de inflação ou deflação. Houve apenas uma redução ou aumento no valor do produto.

Deflação é o contrário de inflação. Significa queda do nível geral dos preços e não de um ou outro produto isolado.

Não se deve confundir deflação com desinflação, que é a redução do ritmo de alta de preços num processo inflacionário. Quando a inflação cai do patamar de 5% ao mês para o de 2%, por exemplo, pode-se dizer que houve desinflação. Deflação é quando os preços médios recuam, ou seja, a taxa torna-se negativa. Taxas de deflação podem ser esporádicas, o que pode ser registrado quando a inflação é muito baixa. Os preços ficam estáveis e num ou outro momento a taxa torna-se negativa. Mas a deflação como um processo mais contínuo está em geral associada à recessão, ou seja, à queda da atividade econômica. As vendas caem com a perda do poder aquisitivo dos


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consumidores. As empresas reduzem preços como única alternativa de venda e podem ir à falência devido às perdas que têm vendendo abaixo do custo. Exemplo: Jornal do Brasil – 9 de julho de 2005

Junho fecha com deflação de 0,02% Preços administrados respondem por um terço da inflação no primeiro semestre, em al ta de 3 ,16% Pela primeira vez em dois anos, o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), que baliza as metas de inflação do governo, registrou deflação em junho. A taxa ficou em 0,02%, após alta de 0,49% em maio. A informação é do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). A última vez que o indicador oficial ficou abaixo de zero foi em junho de 2003 (- 0,15%). O resultado, porém, não foi decorrente do aperto monetário implementado pelo Banco Central, que elevou em nove meses a taxa básica de juros de 16% para os atuais 19,75% mas da taxa de câmbio em queda e da normalização da safra. No ano, o IPCA acumula alta de 3,16%. Os maiores culpados da inflação no semestre são os preços administrados - tarifas e combustíveis -, que responderam por um terço da elevação dos preços no período. Em junho, porém, vários itens investigados apresentaram deflação em junho. Gasolina (-1,51%) e álcool (-8,79%) ficaram mais baratos devido à redução da cotação da cana-de-açúcar e da concorrência entre postos de combustíveis. No grupo alimentação e bebidas houve queda de 0,67% graças ao aumento na oferta de várias lavouras. Os destaques foram a batata-inglesa (-18,74%), a cenoura (-16,89%) e o tomate (-10,79%). Determine os seguintes fatores de correção, de acordo com a notícia acima:

a) da deflação registrada em junho de 2005

b) da variação do preço da gasolina

c) da variação do preço do álcool

d) da variação do preço da batata-inglesa

e) da variação do preço da cenoura

f) da variação do preço do tomate

g) da variação do IPCA acumulado no ano (até a data da notícia) Os índices / taxas de inflação

Institutos de pesquisa analisam quanto as famílias de diversas faixas de renda gastam com alimentação, roupas, aluguel, transportes, saúde, educação, lazer, comunicação e despesas em geral. Com base nessa cesta básica, mostram a variação dos preços. A exceção é o IGP-M da Fundação Getúlio Vargas, no qual esses gastos respondem por apenas 30% do índice. É por isso que há vários números de inflação no país, normalmente diferentes, que vão depender da fórmula e dos critérios aplicados por cada um desses Institutos.

Histórico

O Brasil detém o recorde de ser o país que durante mais tempo viveu com preços descontrolados. A inflação chegou a 1630% em 1989 e bateu em 2490% em 1993. Seis planos econômicos e cinco trocas de moeda em sete anos tentaram domar o monstro, que teve seu crescimento acelerado nos anos 1970, com o "milagre econômico". A meta era crescer a qualquer custo. O poder público era o grande gerador de empregos, construindo


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estradas e hidrelétricas, gastos que não geravam riqueza. Para cobrir suas despesas, o governo emitia papel-moeda. Mais dinheiro em circulação dava sensação de alto poder aquisitivo, mas não havia bens para atender à demanda por consumo. Com isso os preços subiam. "Os salários se esfacelaram e a economia quase entrou em colapso", recorda-se o economista José Dutra Sobrinho. Indústrias não investiam em produção, pois o mercado financeiro dava mais retorno. O Plano Real, em 1993, quebrou esse círculo vicioso e fez com que a inflação fosse mantida em patamares razoáveis. A Lei de Responsabilidade Fiscal, aprovada em 2000, prevê punições para os governantes que gastarem mais do que o arrecadado, o que inibe a volta da inflação causada pelo aumento dos gastos públicos.

Valores nominais x valores reais

Em estudos e aplicações práticas envolvendo análise e comparação de valores monetários em períodos de tempo distintos, é necessário que esses valores, antes da análise, sejam corrigidos do efeito da inflação. É o que costumamos denominar de transformação de valores nominais em reais. No cálculo desses valores reais de ganhos ou perdas, poderemos usar os fatores de correção que estudamos anteriormente, como mostraremos a seguir. Dessa forma, podemos dizer que uma taxa de correção nominal é a que tem inserida no seu cálculo a inflação do período. Uma taxa real de correção é aquela em que a inflação do período foi “desencaixada”, ou seja, representa a variação (ganho ou perda) sobre a inflação. Vejamos alguns exemplos: 1) No ano de 2003 o salário de um trabalhador era de R$ 450,00 e em 2004 passou a receber R$ 549,00. a) Qual a correção “nominal” que este salário recebeu? b) Qual a correção “real”, supondo que a inflação acumulada do período tenha sido de

18%? SOLUÇÃO:

a) Usando os fatores de correção, temos que a taxa nominal de correção foi de (549 : 450 – 1 = 0,22 ou 22%).

b) O salário corrigido pela inflação seria de 450 x 1,18, ou seja, R$ 531,00. Logo, o ganho real foi o que transformou 531 reais em 549 reais, ou seja, o que se estabeleceu acima da inflação. Dessa forma, a taxa real de correção foi de (549 : 531) – 1 = 0,034 (aproximadamente) ou 3,4%.

Verifique que tal taxa (ganho ou perda real) pode ser obtida diretamente dos fatores de correção (nominal e de inflação), mediante a seguinte relação:

No nosso exemplo, teríamos:

Ou seja, um ganho real de 3,4%

1)1(

)11(−

+

+=

i

n

ri

i

034,0118,1

22,1≅−=ri


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2) Vimos, na introdução do capítulo (reportagem do jornal do Brasil), que a inflação acumulada em um ano, calculada pelo INPC, foi de 7,02% e que o salário mínimo aumentou de 240 reais para 260 reais. Vamos calcular a taxa nominal de reajuste do salário mínimo, bem como a taxa de ganho real correspondente à inflação dada e verificarmos se os dados da notícia estão corretos.

a) Fator de correção do salário = 260 : 240 = 1,0833..., que corresponde a uma taxa de 8,33% (taxa nominal)...logo está certa a notícia nesse aspecto.

b) o que confirma novamente a notícia.

Como é feito o cálculo da inflação?

A lei que instituiu o salário mínimo no Brasil em 1936, dizia que ele deveria ser suficiente para assegurar a ração essencial de um trabalhador. Foi feito um levantamento do consumo efetivo em diversas regiões e dois anos depois, um decreto-lei estabeleceu que a ração essencial diária de um trabalhador do Rio de Janeiro consistia em 200g de carne, 1 copo de leite, 150g de feijão, 100g de arroz, 50g de farináceos, 200g de batata, 300g de legumes, 4 pães, 20g de café, 3 frutas, 100g de açúcar, 25g de banha de porco e 25g de manteiga, capazes de fornecer-lhe 3 457 calorias diárias (será que com o salário mínimo vigente no País o trabalhador consegue comprar todos esses itens?)

A variação de preços de uma cesta como essa poderia ser a base de um índice de inflação. As cestas hoje efetivamente usadas pela maioria dos institutos são muito mais complicadas e abrangem centenas de produtos, cujos pesos são estabelecidos segundo levantamentos estatísticos cuidadosos. Não para definir uma "ração essencial" mínima, mas sim refletir o que em média, as famílias – dentro das faixas de renda consideradas – realmente consomem. Isso pode incluir, por exemplo, cigarros, bebidas alcoólicas e motéis, tanto quanto a chamada "cesta básica".

No caso do Brasil o índice oficial é hoje o IPCA (Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo) calculado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), criado em 1980. Representa as necessidades médias de famílias com renda (salarial ou não) de 1 a 40 salários mínimos em onze capitais brasileiras que contêm 30% da população do país (Rio de Janeiro desde janeiro/1979; Porto Alegre, Belo Horizonte e Recife desde julho/1979; São Paulo, Brasília e Belém desde janeiro/1980; Fortaleza, Salvador e Curitiba desde outubro/1980; e Goiânia desde janeiro/1991). O IPCA recebeu o adjetivo "amplo" para distingui-lo do Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC), criado em 1979 para representar as necessidades dos consumidores de famílias com renda de 1 a 8 salários mínimos e chefe assalariado. Ou seja, nele as necessidades e preferências da classe média têm um grande peso. Ele reflete o custo de reprodução da vida social, ao passo que o INPC reflete mais estritamente o custo de reprodução da força de trabalho.

No Brasil, vale notar, há muitos outros indicadores de custo de vida, calculados por instituições com variáveis graus de autonomia em relação ao Estado, que recebem contínua atenção da imprensa e do mercado financeiro. Para citar os mais importantes em escala nacional, há o Índice de Custo de Vida do Departamento Intersindical de Estudos Estatísticos e Socioeconômicos (ICV-DIEESE, que pesquisa famílias com renda de 1 a 30 salários mínimos), o Índice de Preços ao Consumidor da Fundação Getúlio Vargas (IPC-FGV, famílias de 1 a 33 salários mínimos) e o Índice de Preços ao Consumidor da Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas da Universidade de São Paulo (IPC-FIPE, famílias de 1 a 20 salários mínimos). Além disso, ao contrário do que ocorre na maioria dos países, grande

1,2% 012,010702,1

0833,1≅≅−=

ri


83

parte do mercado prefere confiar não num índice de preços ao consumidor, mas no Índice Geral de Preços da Fundação Getúlio Vargas (IGP-FGV) – uma média mais ou menos arbitrariamente ponderada entre o índice de preços ao consumidor (IPC), índice de preços no atacado (IPA) e índice nacional de construção civil (INCC) como principal indicador de inflação.

Dessa forma, existem diversas fórmulas e metodologias usadas para o cálculo da inflação. A mais usada é a Fórmula de Laspeyres que deriva das nossas médias aritméticas ponderadas. Para que possamos melhor entender esses cálculos vamos estudar um pouco sobre o que chamamos de números índices. Mostraremos essa fórmula no próximo item de nosso estudo.

Os números índices

Mede-se a inflação através de indicadores ou índices que tentam refletir o aumento de preços de um setor em particular ou de um segmento de consumidores. Efetivamente, existem diversos índices que são calculados para o atendimento a várias finalidades.

Os índices de preços ao consumidor tentam medir a inflação média de um conjunto de produtos e serviços que se pressupõe sejam os adquiridos por um consumidor com determinadas características de renda.

Introdução: Os números índices são um importante instrumento para sintetizar modificações em variáveis econômicas durante um período de tempo. Esses números indicam a variação relativa no preço, na quantidade , ou no valor (preço x quantidade) entre um ponto anterior no tempo (período-base) e, um período qualquer, normalmente o atual. Por exemplo, se uma pessoa percebe que o preço de um produto atualmente é o quíntuplo do que custava há dois anos, está fazendo uso de certo tipo de número índice comparativo. Quando um só produto está em jogo, o índice é dito índice simples, enquanto que uma comparação que envolva um grupo de artigos é chamada de índice composto. Nos índices compostos é necessário não só incluir as variações de preços, mas também as variações de quantidades, a fim de que possamos ter um quadro mais preciso da variação global. Em resumo, podemos destacar:

Um número índice é usado para indicar variações relativas em quantidades, preços, ou valores de um artigo, durante um dado período de tempo.

Um número índice é a razão usada para avaliar a variação entre dois períodos de tempo.

B) Números Índices Simples: Um número índice simples avalia a variação relativa de um único item ou variável econômica entre dois períodos de tempo. Ele é calculado como a razão entre preço, quantidade ou valor num dado período para o correspondente preço, quantidade ou valor num período-base.


84

Podem-se calcular números índices, chamados de relativos de preço, quantidade e valor, mediante as seguintes fórmulas:

relativo de preço = 100.0p

pn

relativo de quantidade = 100.0q

qn

relativo de valor = 100..

.

00 qp

qp nn

� po é o preço de um item na data base. � qo é a quantidade de um item na data base. � pn é o preço de um item em determinada data. � qn é a quantidade de um item em determinada data.

Exemplo:

A empresa Kobra Karo S.A, em 2002 vendeu 300 unidades do produto "X", cobrando 20 dólares por peça e, em 2003, vendeu 450 unidades do mesmo produto, cobrando 25 dólares por peça. Determinar os relativos de preço, quantidade e valor em 2003, tomando como base 2002.

Solução:

É usual a notação 2002 = 100, para denotar que 2002 é o ano base.

� Relativo de preço - 2002

25p 2003 .100 125

20= =

� Relativo de quantidade - 150100.300

4502003

2002==q

� Relativo de valor - 5,187100.20.300

25.4502003

2002==v

Obs: Devemos notar que houve um aumento de 25 % no preço, em relação ao ano base, um aumento de 50 % na quantidade e um aumento de 87,5 % no valor. O aumento do valor é , portanto, o aumento acumulado do aumento de preço pelo aumento de quantidade, ou seja , o produto dos índices de preço e quantidade é o índice de valor: (1,25 x 1,5 = 1,875). C) Relativos em Cadeia: O relativo em cadeia é o índice de base fixa, ou seja, todos os relativos são calculados tomando-se por base uma determinada época.

Exemplo: Vamos supor um bem de consumo que apresentou no período 2000/2003 os seguintes preços (em dólares): 40 , 45, 50, 65. Os relativos em cadeia, tomando como base o ano de 2000, serão:


85

5,112100.40

452001

2000==p

125100.40

502002

2000==p

2000

652003 .100 162,5

40p = =

Poderíamos compor a seguinte tabela com os preços nos referidos anos e os relativos em cadeia, ano base 2000.

ANOS 2000 2001 2002 2003 PREÇOS 40 45 50 65 RELATIVOS 100 112,5 125 162,5

D) Elos de Relativos: Vários relativos formam elos quando cada um deles é calculado tomando por base o período anterior, é o que chamamos de base móvel. É usual, nesse caso, não representarmos o relativo do primeiro período, já que não existe anterior como referência.

Exemplo: Vejamos, com os mesmos dados do exemplo anterior, como ficariam os elos de relativos.

5,112100.40

452001

2000==p

Teremos agora a seguinte tabela de preços e elos de relativos:

ANOS 2000 2001 2002 2003 PREÇOS 40 45 50 65 RELATIVOS - 112,5 111,11 130

E) Índices Agregativos: Os índices que estudamos até agora servem apenas para caracterizar a marcha de preços referentes a um único bem. No entanto a variação de preços normalmente exige a observação da variação de um conjunto de bens, como no caso do cálculo da variação da cesta básica. Para atingirmos esse objetivo, lançamos mão de um novo tipo de índice, denominado agregativo. O índice agregativo poderá ser simples (se todos os bens tiverem a mesma importância no seu cálculo). Os principais índices agregativos desse grupo são:

� Médias de relativos (aritmética, geométrica ou harmônica) � Indice agregativo simples.

O índice agregativo poderá ser ponderado (se os bens tiverem importância ou pesos diferenciados no cálculo do índice). Os principais índices agregativos desse grupo são:

� Médias Ponderadas de relativos (aritmética, geométrica ou harmônica) � Índices ponderados de Laspeyres, Paasche, ou Fischer,.

11,111100.45

502002

2001==p 130100.

50

652003

2002==p


86

Vejamos como podemos calcular os principais desses índices: O índice agregativo simples é a razão entre a soma dos preços ou quantidades numa época qualquer e a soma dos preços ou quantidades na época base.

100ou 10000

xq

qx

p

pI

tt

as

∑∑

∑∑

=

O índice agregativo simples e as médias simples apresentam a vantagem de um cálculo simplificado e a desvantagem de considerarem todos os bens com a mesma importância no cálculo do índice.

Exemplo: Calcular o Índice Agregativo Simples para preços em 2003, tomando como base o ano de 2002, para o conjunto de mercadorias visto na tabela abaixo:

Mercadoria (espécie) Preço em 2002 Preço em 2003 A 40,00 50,00 B 50,00 100,00 C 120,00 200,00

Total 210,00 350,00

Solução: Ias = 350 : 210 = 1,67 ou 167 %.

Índices agregativos ponderados - Fórmulas de Laspeyres, Paasche e Fischer: No cálculo do índice agregativo simples, todos os itens são colocados com uma mesma importância ou peso. Sabemos, porém, que na prática isso não acontece; há bens de importância maior do que outros, no cálculo de um índice . Evitamos tais distorções atribuindo a cada item a importância que lhe cabe através de coeficientes de ponderação e as médias de índices passam a ser ponderadas. De acordo com o que consideramos como peso e com o tipo de média utilizada, temos também algumas variantes de fórmulas para o cálculo de tais índices agregativos.

"O Índice de Laspeyres" ou Método da Época Básica

É o índice ponderado dos relativos (preços ou quantidades), sendo os pesos da ponderação os valores (preço x quantidade) do ano base. Ou seja, é a média aritmética ponderada dos relativos de preços, ponderados aos valores do ano base. É o índice mais usado pelos Institutos e Órgãos que calculam a inflação. A fórmula para o índice de Laspeyres, referente aos preços será:

∑

∑=

00

000

,0qp

qxpp

p

Lp

t

t

Ou então, simplificada, nos dá:


87

∑∑

=00

0,0

qp

qpL

t

t

Exemplo: Considere a tabela abaixo e calcule o índice ponderado de preços de Laspeyres, tomando 2003 como ano base.

BENS 2003 2004 preços quantidades preços quantidades

A 200 4 280 3 B 400 3 560 3 C 150 8 300 12

162,5ou 625,112001200800240016801120

8.1503.4004.2008.3003.5604.280

20042003

=++

++=

++

++=Lp

Na prática o cálculo desse índice é feito considerando-se as quantidades como fixas.

"O Índice de Paasche" ou Método da Época Atual

Este índice é calculado pela média harmônica ponderada dos relativos (preços ou quantidades), ponderados aos valores do ano dado. O índice de Paasche, referente aos preços, com as devidas simplificações, será:

∑∑

=t

tt

qp

qptPp

00

Exemplo:

Calcule o índice ponderado de preços de Paasche, ano base 2003, usando a mesma tabela do exemplo anterior:

170ou 70,118001200600

36001680840

12.1503.4003.200

12.3003.5603.2802004

2003=

++

++=

++

++=Pp

Observação: Existe ainda o importante índice de Fischer que é a média geométrica dos dois índices anteriores: Laspeyres e Paasche, ou seja, o índice de Fischer é igual à raiz quadrada do produto dos índices de Laspeyres e de Paasche. Para o exemplo apresentado, o índice de Fischer seria:

20032004 1,625.1,70 1,66Fp = = ou 166

OBS: A existência de distintos índices, significa que a seleção do índice mais apropriado para medir a ``inflação'' relevante para uma pessoa ou empresa é em si um problema complicado pois não necessariamente os índices disponíveis refletem a variação de preços relevante para cada caso em particular.

Trabalhando com seus alunos:


88

A inflação do passado criou um padrão de consumo irracional

Desde a década de 1970 até a metade da década de 1990, o povo brasileiro conviveu com um monstro impiedoso: a inflação. Ela engolia o salário das pessoas de forma assustadora. Por isso, criou-se o hábito de comprar tudo e estocar. O medo do aumento de preços fazia com que as pessoas comprassem muito mais do que podiam consumir. "Esse período que estamos vivendo de estabilidade é o mais longo e único na história do país. Mas esse costume de estocar ainda é cultural, e é por isso que educar as crianças é tão necessário", argumenta Cássia. Isso sem contar com o bombardeio de propaganda a que crianças e jovens estão expostos diariamente. "Eles precisam perceber como funciona o mercado, a propaganda e o consumo para ter consciência antes de comprar", diz.

Lembre-se de que seus alunos mais jovens podem não saber o que é inflação, nos moldes do que se viveu há algumas décadas. Por isso, é responsabilidade dos educadores (incluindo os pais, é claro) formar um novo consumidor, mais atento. Confira a evolução da inflação no país desde 1960. Você pode usar a tabela abaixo com alunos de 5ª a 8ª séries. Sugira que façam pesquisas sobre como as pessoas viviam, recebiam seus salários, programavam o orçamento e consumiam. Entrevistas com os próprios pais e avós pode ser uma boa fonte de informações sobre o tema.

Em 1939, foi criada a Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (Fipe). Ela começou a medir a inflação em 1940, quando era de 9,31% ao ano. Dali pra frente, o índice não parou de crescer.

Ano Inflação do ano Ano Inflação do

ano

1960 32,20% 1987 367,12%

1970 17,46% 1989 1.635,85%

1977 41,10% 1990 (Plano Collor) 1.639,08 %

1979 39,91%

1992 (Renúncia de Fernando Collor)

1.129,45%

1980 84,77% 1993 2.490,53%

1983 164,09% 1994 1.172,96%

1984 178,56% 1995 10,04%

1985 228,22% 1998 -1,79%

1986 (Plano Cruzado)

68,08% 2003 9,9%

Fonte: Nova Escola


89

LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Qual o fator de correção correspondente a um aumento de 34,5 %? a) 3,45 b) 4,45 c) 1,345 d) 2,345 2) Qual o aumento gerado pelo fator de 2,4567? a) 245,67% b) 345,67% c) 145% d) 145,67% e) 95,87% 3) Um preço aumentou de 120 para 150 reais. Qual o percentual de aumento correspondente? a) 47% b) 25% c) 35% d) 45% e) 34% 4) Um preço reduziu de 150 para 120 reais. Qual o fator de redução e qual o percentual de redução correspondente? a) 25% b) 15% c) 10% d) 40% e) 20% 5) Qual o aumento acumulado, gerado por dois aumentos consecutivos de 30 %? a) 40% b) 60% c) 69% d) 65% e) 62% 6) Qual a redução acumulada, gerada por dois descontos consecutivos de 30 %? a) 51% b) 60% c) 54% d) 69% e) 62% 7) Num certo mês, o aumento das mensalidades escolares foi de 42,7%. Se em uma escola essa mensalidade passou a ser de R$ 927,60, qual era o valor antes do aumento? a)R$ 531,50 b)R$ 650,00 c) R$ 582,00 d) R$ 499,00 e) R$ 624,00

8) O preço de uma mercadoria subiu 300%. Calcule que porcentagem se deve reduzir do seu preço atual, de modo a retornar ao seu valor de antes do aumento? a) 25 % b) 75 % c) 300 % d) 400 % e) 20 % 9) Um funcionário teve um reajuste de 34 % num certo mês; no mês seguinte um novo reajuste de 38%, passando a receber R$ 221,90. Quanto recebia antes desses dois reajustes (aproximadamente)? a) R$ 120,00 b) R$ 90,80 c) R$ 118,00 d) R$ 124,80 e)R$ 132,00 10) Uma mercadoria sofreu três reduções sucessivas de 12 %; 14 % e 24 %. Qual a redução total acumulada? a) 50 % b) 48 % c) 52 % d) 42,48 % e) 43,89 % 11) (TASA – 1993) A inflação de um determinado mês foi de 25% e nesse mês o

quilo do café subiu de preço em 50%. O aumento real do preço do café, isto é, o aumento além da inflação, foi de: a) 50% b) 25% c) 20% d) 16,6% e) 10%

12) (Telerj – 1993) Uma mercadoria teve seu preço aumentado em 20%. Em

seguida, o novo preço foi rebaixado em 20%. O preço final da mercadoria, em relação ao preço inicial é: a) igual b) 4% maior c) 4% menor d) 8% maior e) 8% menor


90

13) (BACEN – 1994) Um investimento rendeu 68% em um mês no qual a inflação foi

de 40%. O ganho real nesse mês foi de: a) 20% b) 22% c) 24% d) 26% e) 28%

14) Considere a tabela abaixo, referente a preços e quantidades de um conjunto de artigos, nos anos 2004 e 2003. Obtenha o número índice de variação correspondente ao cálculo pela fórmula de Laspeyres.

2003 2004 Artigo Preço (R$) Quantidade Preço (R$) Quantidade

A 20 1000 22 1000 B 25 800 28 1000 C 30 1200 35 1200 D 40 900 50 1200

a) 117,32 b) 118,45 c) 121,34 d) 116,50 e) 122,45 15) Calcule agora o índice de variação da tabela anterior, de acordo com a fórmula

de Paasche. a) 117,83 b) 118,54 c) 115,58 d) 116,90 e) 119,80 16) Um investimento obteve um ganho nominal de 34%, num período de inflação correspondente a 28%. Qual a taxa real dos juros recebidos por esse investimento? a) 6% b) 5,23% c) 4,69% d) 3,98% e) 4,5% A tabela a seguir, se refere às questões, de 17 a 19 e se refere a preços praticados e quantidades produzidas de três artigos, em 2001 e 2002.

2001 2002 Artigos Preço unitário

(dólares) Quantidades (toneladas)

Preço unitário (dólares)

Quantidades (toneladas)

A 3,00 2 4,00 4 B 6,00 5 6,00 6 C 4,00 7 5,00 3

Fonte: Dados hipotéticos 17) Calcular o índice de Laspeyres para os preços de 2002, tomando como base o ano de 2001. a) 121,63 % b) 114,06 % c) 128,32 % d) 133,44 % e) 138,28 % 18) O índice de Paasche para os preços de 2002, tomando como base o ano de 2001. a) 121,45 % b) 134,56 % c) 113,78 % d) 109,78 5 e) 111,67 % 19) Calcular o índice agregativo simples para os preços de 2002, tomando como base o ano de 2001. a) 110,26 % b) 120,32 % c) 116,67 % d) 115,38 % e) 121,67 % 20) Calcular o índice agregativo simples para os preços de 2001, tomando como base o ano de 2002. a) 86,67 b) 88,75 c) 98,45 d) 112,45 e) 89,95


91

��GABARITO - 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS 01) C 02) D 03) B 04) E 05) C 06) A 07) B 08) B 09) A 10) D 11) C 12) C 13) A 14) A 15) A 16) C 17) B 18) E 19) D 20) A

“ Há três classes de pessoas infelizes:

a que não sabe e não pergunta, a que sabe e não ensina, a que ensina e não faz.”

(V. Beda)

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS: JUROS E DESCONTOS SIMPLES

1) INTRODUÇÃO

Observe as seguintes situações, tiradas de situações do cotidiano ou de diversos ramos da própria matemática:

1. Vinícius tem, guardados em seu cofrinho, 350 reais. Resolveu, a partir desse momento, fazer uma poupança de forma que colocaria no cofrinho um real no primeiro dia, dois no segundo, três no terceiro...e assim sucessivamente, até o 30º dia. Quanto ele terá em seu cofrinho, passados os 30 dias?

2. A população de uma cidade cresce 2% a cada ano. Se em 1990 a população era de 25 000 habitantes, quantos serão os habitantes dessa cidade, em 2007, mantida a mesma taxa de crescimento anual?

Problemas como os que apresentamos acima, que envolvem seqüências especiais, são estudados nos capítulos das progressões aritméticas e geométricas. Em nosso curso, não faremos um estudo detalhado das progressões pois a nossa maior preocupação é a relação que existe entre as progressões e os juros. Quando escrevemos qualquer quantidade de números, um após o outro, temos o que chamamos de seqüências. As seqüências são, freqüentemente, resultado da observação de um determinado fato ou fenômeno. Imagine, por exemplo, que uma pessoa acompanhasse a variação do dólar (compra) nos primeiros dez dias (úteis) do mês de abril de 2003. Vejamos o resultado de sua pesquisa na tabela a seguir:

Dia útil (Abril de 2003)

Dólar (Compra)

1 R$ 3,335

2 R$ 3,278

3 R$ 3,255

4 R$ 3,246

5 R$ 3,171

Dia útil (Abril de 2003)

Dólar (Compra)

6 R$ 3,164

7 R$ 3,184

8 R$ 3,214

9 R$ 3,213

10 R$ 3,181


92

� Verifique que os valores listados, que possuem uma certa ordenação, constituem

uma seqüência. Você pode usar as seqüências para registrar diversas observações, como a produção de uma fábrica em cada mês, o número de telefonemas que você dá por dia, a taxa de inflação mensal etc. No exemplo que mostramos, da variação do dólar, não teríamos como saber, por exemplo, a sua cotação no dia 15, ou no dia 20, já que a seqüência é variável e depende de diversos fatores não previsíveis. Em nosso curso vamos estudar umas seqüências muito especiais. Por sua regularidade, conhecendo alguns termos, podemos calcular qualquer outro. A primeira delas chama-se Progressão Aritmética. Uma progressão aritmética é uma seqüência na qual, dado um primeiro termo, obtemos todos os outros acrescentando sempre a mesma quantidade. Por exemplo, vamos partir do número 7 e acrescentar 3, diversas vezes:

7 10 13 16 19 22 ... +3 +3 +3 +3 +3

Como a razão é a quantidade que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte, podemos dizer que: A razão de uma progressão aritmética é a diferença entre qualquer termo e o anterior, a partir do segundo termo.

2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A Passemos então a generalizar o que vimos nos exemplos. Considere a seguinte progressão aritmética (de agora em diante representada por PA) de razão R: a

1 a

2 a

3 a

4 a

5 a

6 .... an

+R + R + R + R + R + R .... Suponha que você conhece o primeiro termo (a

1), e a razão (R). Como faremos para

calcular qualquer outro termo? Observe as igualdades: a

2 = a

1+ R

a3

= a1

+ 2R a

4 = a

1 + 3R

a5

= a1+ 4R

................... a10 = a1 + 9R

Vemos então que, para calcular um termo qualquer (a

n) é preciso somar ao 1º termo, (n -1)

vezes a razão, ou seja: Fórmula do termo geral: an = a1 + (n - 1).R

Para entender bem o que estamos fazendo, imagine que você está no 1º degrau de uma escada e deseja chegar ao 10º. Quantos degraus deve subir? É claro que são 9. Se você está no 1º degrau e deseja chegar ao 25º, quantos deve subir? Deve subir 24, lógico. Então, para chegar ao degrau número n, devemos subir (n -1) degraus. Observe a aplicação dessa fórmula nos exemplos seguintes. EXEMPLO 1: Escreva a P.A obtida, quando inserimos 5 números entre 1 e 25?


93

Nesse caso, estamos querendo formar uma P.A, com sete termos, sendo que os extremos são os números 1 e 25. Esse tipo de problema é o que chamamos de INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA. É claro que o que falta obter é a razão desta P.A. (1, __, __, __, __, __, 25). a

n = a

1 + (n - 1).R ou

a7

= a1

+ 6. R ou 25 = 1 + 6.R ou ainda 24 = 6. R, o que acarreta R = 4. Logo, a P.A procurada é: ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25) EXEMPLO 2: Em janeiro, de certo ano, Lídia estava ganhando R$ 270,00 por mês. Seu patrão prometeu aumentar seu salário em R$ 8,00 todos os meses. Quanto Lídia estará ganhando em dezembro do ano seguinte? Solução: Se o salário de Lídia aumenta R$ 8,00 todos os meses, então a seqüência dos salários é uma progressão aritmética de razão igual a 8. Vamos Montar uma tabela, para melhor entender a situação:

janeiro _ a1

= 270,00 fevereiro _ a

2 = 278,00

............................................

............................................ dezembro _ a

12 =

janeiro _ a13

= ............................................ dezembro _ a

24 = ?

Logo, o que queremos é o valor do 24º termo dessa P.A. Usando a fórmula do termo geral, teremos:

a24

= a1

+ 23.R a

24 = 270 + 23.8

a24

= 270 + 184 a24 = 454

Portanto, com esses pequenos aumentos mensais, Lídia estará ganhando, em dezembro do ano seguinte, R$ 454,00. Uma outra maneira (Recorrência) Imagine que você se encontra no 3º andar de uma escada e que deseja atingir o 9º andar. Quantos andares você terá de subir? É claro que a resposta é 6 andares. Isso, em linguagem matemática pode ser representado por: a

9 = a

3 + 6 . R.

De modo geral, se estamos no degrau de número n e desejamos chegar ao degrau de número m, devemos subir (m – n) degraus. No caso da P. A, teremos uma outra maneira mais geral de escrever a fórmula, relacionando dois termos quaisquer e não obrigatoriamente como primeiro termos. Ë a seguinte fórmula: a

m = a

n + (m – n) . R.

Exemplo 6: A mesada de Luciana aumenta todos os anos de um valor constante de reais, combinado com o seu pai. Sabemos que no 5º ano após o acordo, a mesada estava em R$ 80,00 e que no 8º ano estava em R$ 110,00. Qual era o valor da mesada de Luciana no início desse acordo?


94

Solução: Pelo que vimos na fórmula anterior, poderemos relacionar diretamente os valores do 8º e do 5º ano de mesada. a

8 = a

5 + 3 . R

Substituindo os valores conhecidos, temos: 110 = 80 + 3R, logo, teremos que 3. R = 30 ou R= 10. Podemos agora, relacionar um desses termos (o 5º ou o 8º) com o primeiro e determinar o valor da mesada de Luciana no início do acordo (no primeiro ano de acordo) a

5 = a

1 + 4 . R ou 80 = a

1 + 4.10 ou a

1 = 40.

Resposta: No início (e durante todo o primeiro ano) a mesada de Luciana era de R$ 40,00.

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E CALCULADORAS (De: Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)

Hoje em dia, todos nós usamos uma máquina simples para facilitar nossos cálculos: a máquina de calcular. Além de realizar as quatro operações (soma, subtração, multiplicação e divisão), a máquina calcula raiz quadrada e tem memória. Vamos ver uma forma interessante e simples de usar a calculadora para facilitar o trabalho com progressões aritméticas.

Como exemplo, vamos considerar a progressão aritmética de razão R = 7, começando em a1 = 9. Para visualizar quantos termos você quiser, digite:

A primeira vez que você acionar a tecla = a máquina vai mostrar o termo 16 (segundo termo da P.A). Nas outras vezes que você acionar a tecla =, sucessivamente, o visor da máquina mostrará: 23, 30, 37, 44, ...até o termo que você desejar. A máquina de calcular também soma os termos de uma progressão aritmética. Se não forem muitos os termos que precisamos somar, o uso da calculadora é bastante eficiente. Vamos mostrar, como exemplo, como obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PA, cujo primeiro termo é 15,86 e cuja razão é 0,17. Para obter os 5 termos, procedemos como no exemplo anterior. Devemos apenas, após cada termo que aparecer no visor, apertar a tecla M+ . Isto faz com que os termos da progressão sejam acumulados na memória da calculadora. Depois que você apertar pela quinta vez a tecla M+ , aperte a tecla MR e a soma dos 5 termos da progressão aparecer· no visor. O esquema da operação que vamos fazer é o seguinte:

Iniciando por 15,86 e usando a razão 0,17, você irá obter o valor 81 para soma dos 5 primeiros termos da progressão.


95

3) JUROS SIMPLES E PROGRESSÃO ARITMÉTICA

�� Muitas vezes, em nossas aulas de matemática, ensinamos aos alunos do ensino médio o que são progressões, mostramos as fórmulas, resolvemos exercícios de aplicação e, normalmente, não aproveitamos a oportunidade para trabalhar o conceito de juro, bem como suas aplicações em situações de empréstimos ou investimentos. As reformas curriculares, os parâmetros curriculares nacionais, enfatizam que devemos procurar relacionar os conteúdos ministrados com o dia-a-dia das pessoas. Esta é uma excelente oportunidade para nós, professores de Matemática. Crescimento em PA (Juros Simples)

Os juros simples se caracterizam pelo fato de que o valor que é acrescido ao valor inicial a cada período é sempre constante e determinado por i . C

0. Dessa forma, fica caracterizada

na seqüência dos montantes obtidos, uma Progressão Aritmética, de razão igual a i . C0.

Temos que i é a taxa unitária de juros simples (ou taxa de crescimento aritmético). Ou seja, ao final de n períodos, teremos um acréscimo de C

0.ni. Sendo assim, o montante final de

uma aplicação a juros simples, pode ser representado por:

Vejamos alguns exemplos: 1) Qual o montante final de uma aplicação de R$ 5000,00, a juros simples contratados à

1,5% ao mês, por 10 meses? Solução: i = 0,015 n = 10 C

0 = 5000

M = 5000 . (1 + 0,015 x 10) = 5000 x 1,15 = 5750 reais. Comentário: Como se trata de juros simples, poderíamos ter calculado o ganho fixo mensal, que é igual a 0,015 x 5000 = 75 reais, e multiplicar esse ganho pelo número de meses (10 x 75 = 750 reais de juros). Logo, teríamos que o montante será igual a 5000 + 750 = 5750 reais.

�� Devemos incentivar a nossos alunos novas descobertas, para que eles não se sintam presos ao uso de fórmulas, poderíamos inclusive, mostrar, após as suas tentativas que o que ocorreu nada mais foi que um acréscimo de 15% (1,5% x 10) aos 5000 reais iniciais. Isso corresponde a multiplicar 5000 por 1,15, o que será mostrado com mais detalhes no capítulo dos FATORES DE CORREÇÃO.

2) Qual a taxa mensal de juros simples que, em uma aplicação por 8 meses, elevou um capital de R$ 3 000,00 para R$ 3 780,00?

Solução:

3000 x (1 + 8i) = 3780 1 + 8i = 3780 : 3000 = 1,26 8i = 0,26 ou i = 0,26 : 8 = 0,0325 ou ainda 3,25% ao mês.

)ni1.(Cni.CCM 000 +=+=


96

Novamente seria conveniente mostrar a nossos alunos (caso não percebessem sozinhos) que o que foi feito nada mais foi do que se obter o fator de correção correspondente a um aumento de 3000 para 3780 reais, ou seja, 3780 : 3000 que é igual a 1,26. Esse fator corresponde a uma taxa de 26 % para os 8 meses da aplicação, logo, acarreta uma taxa de 3,25% ao mês. 3) Durante quanto tempo esteve aplicado, a juros simples, um capital de R$

1200,00, para gerar um montante de R$ 1500,00, sob taxa fixa de 2,5% ao mês? Solução: Vamos descobrir primeiramente qual foi o fator de correção correspondente ao período total desse investimento. Basta dividir 1500, por 1200, o que acarreta um fator de correção igual a 1,25. Isso significa uma correção total de 25%. Como sabemos que a taxa mensal é de 2,5%, determinamos que a aplicação foi por 10 meses (25 : 2,5).

� É interessante também que, através dos exemplos mostrados, alertemos a nossos alunos que, como os juros simples são proporcionais ao capital inicial e ao tempo da aplicação, as questões desse assunto podem também ser resolvidas através de regras de três.

4) Durante quanto tempo um capital qualquer foi aplicado, a juros simples de 4% ao mês, para triplicar de valor?

Solução: É claro que um capital, para triplicar de valor, precisa ter um ganho correspondente a 200% de seu valor (que somado aos 100% iniciais totalizam 300%). Montando então uma regra de três, teremos:

4% ______________________ 1 mês 200 % ____________________ x meses

A resposta então será o resultado da divisão de 200 por 4, ou seja, 25 meses, ou ainda 2 anos e 1 mês.

Caro colega aluno ou professor, Reflita e tente responder: 1) Vocês conhecem no mercado financeiro brasileiro alguma aplicação que

tenha o comportamento de juros simples? 2) Por que acham que os nossos livros da escola fundamental ou mesmo do

ensino médio raramente mencionam os juros compostos, ficando com um enfoque superficial dos juros simples (que quase não estão presentes na vida dos brasileiros)?


97


1) O capital de R$ 360,00 foi colocado a juros simples durante 3 anos e 2 meses, sob taxa de 0,5 % ao mês. Qual o montante final? a) R$ 68,40 b)R$ 428,40 c)R$ 542,60 d) R$ 654,00 e) R$ 420,00 2) Qual foi a taxa anual a que foi aplicado um capital de R$ 150,00, durante 60 dias, para produzir, a juros simples, um montante de R$ 153,00? a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 20% 3) Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a juros simples de 5% ao mês, triplique de valor? a) 3 anos 4 meses b) 2 anos c) 5 anos 4 meses d) 1ano 4 meses e) 3 anos 6 meses 4) O preço de uma mercadoria era R$ 2800,00, ou então, uma entrada de 20% e mais um pagamento de R$ 2688,00, após 40 dias. financiamento a juros simples. Qual a taxa anual de juros que está sendo cobrada pela loja? a) 120% b) 130% c) 140% d) 170% e) 180% 5) (TRT - 1990) Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$ 2700,00, dispondo de R$ 9000,00 de capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser aplicado no prazo de 5 meses? a) 10% b) 5% c) 3% d) 8% e) 5,5% 6) O juro e o montante em uma aplicação a juros simples estão entre si, como 4 está para 20. O tempo de aplicação foi de 5 anos. Qual a taxa anual do investimento? a) 3 % b) 4 % c) 5 % d) 6 % e) 7 % 7) (Banco do Brasil) Certo capital, acrescido do juro simples resultante de sua aplicação durante 8 meses, eleva-se a $ 231 000,00. O mesmo capital, acrescido dos juros simples resultantes de 13 meses de aplicação, à mesma taxa, eleva-se a $ 234 750,00. Qual a taxa anual da aplicação? a) 1 % a.a b) 2% a.a c) 2,5 % a.a d) 3 % a.a e) 4 % a.a 8) Qual a taxa mensal de uma aplicação a juros simples, que sextuplicou um capital, em 2 anos e 1 mês? a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25% 9) (BEMGE - 1992) Qual o tempo necessário para que um capital qualquer, aplicado a juros simples e à taxa de 40 % ao bimestre, triplique o seu valor? a) 10 meses b) 1 ano c) 1 ano e 2 meses d) 1 ano e 4 meses e) 18 meses 10) Qual a taxa mensal de uma aplicação a juros simples, que elevou um capital de 540 dólares a 945 dólares, em três meses? a) 15 % b) 20 % c) 18 % d) 25 % e) 30 % 11) (Banco do Brasil - 1992) Qual o tempo em que um capital aplicado a 12 % a. m, rende 3/5 do seu valor, aplicado a juros simples? a) 4 meses b) 5 meses c) 6 meses d) 7 meses e) 8 meses


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12) (AFTN - 1991) Um capital no valor 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6 % ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de : a) 51 b) 51,2 c) 52 d) 53,6 e) 68 13) (Fiscal de Posturas Municipais - São Gonçalo - RJ - 1992) Um certo tipo de investimento, a juros simples, duplica o capital aplicado em 2 meses. Essa aplicação renderá 700 % de juros, no prazo de : a) 4 meses b) 6 meses c) 8 meses d) 10 meses e) 14 meses 14) (Receita Federal) A taxa de juro simples semestral, equivalente ou proporcional à taxa simples de 16% quadrimestral, é: a) 15 % b) 20 % c) 20 % d)24 % e) 30 % 15) (Banco do Brasil, SP – 1998) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual é a taxa mensal de juros simples utilizada? a) 6% b) 5% c) 4% d) 3% e) 2%

GABARITO 01) B 02) C 03) A 04) E 05) C 06) C 07) E 08) D 09) A 10) D 11) B 12) B 13) E 14) D 15) B

4) Descontos Simples:

Desconto Simples - É o valor a ser deduzido de um título, calculado a juros simples, por antecipação do resgate. O desconto poderá ser por fora, ou por dentro, conforme calculado sobre o valor nominal do título ou sobre o valor atual ( valor presente ou valor de resgate ).

A) Desconto por Fora (Bancário ou Comercial)

É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor nominal ( ou valor de face ) do papel. Podemos resolver os exercícios de desconto por fora de modo análogo ao procedimento que adotamos em operações comerciais de lucro sobre o preço de venda (Regra de Três) (Nominal = 100 %).

B)Desconto por Dentro (Racional ou Real)

É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor atual ( ou valor de resgate ) do papel. Podemos resolver os exercícios de desconto por dentro de modo análogo ao procedimento que adotamos em operações comerciais de lucro sobre o preço de custo (Regra de Três) (Atual = 100 %).


99

Exemplo: Um título de R$2 000,00 será descontado a 12 % ao mês, 2 meses antes o vencimento. Determinar o valor atual (ou valor de resgate), considerando: a) Desconto simples bancário.

Solução:

N = 2 000 , taxa de desconto = 12 . 2% = 24%

A(x) D N( 2 000) (76%) (24%) (100%

( N - D = A )

2 000..................... 100% x ........................76%

x = 2000 76

100

x = 1520 reais

b) Desconto simples racional.

Solução:

A(x) d N( 2 000) (100%) (24%) (124%)

( A + d = N )

2 000 124% x 100%

x = 2000 100

124

x = 1612,90 reais

Observações: a) Na prática o que existe é o desconto por fora (bancário) (você pode imaginar o motivo, observando o exemplo anterior). Logo, se um problema qualquer não mencionar o tipo de desconto simples utilizado , você deve usar o desconto por fora. OBS: temos uma forma prática, usando os fatores de correção, para o cálculo do valor atual de um papel, a partir de seu valor nominal. Se o desconto for do tipo “por fora”, temos a relação: A = N . Fr Se o desconto for do tipo “por dentro”, temos a relação: A = N : Fa


100

Fr indica o fator de redução correspondente à taxa do desconto e Fa indica o fator de aumento correspondente a essa mesma taxa. Como se explicam as duas relações mencionadas acima?

C) Equivalência De Capitais Dois capitais representados por papéis ou títulos financeiros serão equivalentes para uma determinada data, sujeitos a juros simples, se os valores atuais, nesta data (data zero ou focal) , forem iguais.

Exemplo: Qual o valor nominal de um papel com vencimento para 45 dias, sob taxa de 30% ao mês, e que é equivalente a outro título de R$ 600,00, para 15 dias, sob taxa de 40 % ao mês (descontos simples comerciais)?

Solução: a) Título dado: N = 600 ; i = 40% ao mês, n = 15 dias, logo a taxa global do desconto será de 20 %. A D N= 600 80% 20% 100%

Logo, teremos A = 80 600

100

x = 480,00

b) Título equivalente procurado: A = 480, i = 30 % ao mês, n = 45 dias, logo a taxa simples corresponde a 1 % ao dia e a uma taxa global de 45 %. A = 480 D N = ? 55% 45% 100%

Então, teremos: N = 480 100

55

x = 872,73 reais

EXERCÍCIOS (DESCONTOS SIMPLES)

1) (Fiscal de Posturas - RJ - 1992) Um título de valor nominal de $ 500 000,00 foi descontado 60 dias antes de seu vencimento, à taxa simples de desconto de 10 % ao mês. O valor líquido do título é: a) $ 400 000,00 b) $ 50 000,00 c)$ 100 000,00 d) $30 000,00 e) $ 300 000,00 2) (Banco do Brasil - 1992) Calcule o desconto por fora de um título de valor nominal igual a $550 000,00 antecipado em 120 dias à taxa de 3,5 % ao mês. a) $ 60 000,00 b) $ 58 000,00 c)r$ 77 000,00 d) $ 30 000,00 e) Cr$ 300 000,00


101

3) Qual o valor atual de um título que, descontado por dentro a 8 % ao mês, faltando 2 meses e 15 dias para vencer, produziu desconto simples de R$ 120,00? a) R$ 480 ,00 b)R$ 600 ,00 c) R$ 640 ,00 d) R$ 720 ,00 e) R$ 580 ,00 4) (Banco Central - 1990) Um título de valor nominal de $ 600 000,00 foi descontado à taxa de 18 % ao mês, 15 dias antes do vencimento (desconto comercial simples). O banco cobrou uma comissão de 3 % sobre o valor nominal do título. Qual o valor líquido recebido? a)$ 565 000,00 b)$ 549 000,00 c)$ 537 000,00 d) $ 528 000,00 e) Cr$ 465 000,00 5) (Banco Central - 1990) Um título foi descontado à taxa de 20 % ao mês, um mês antes do vencimento, desconto simples racional ou por dentro. Se o valor líquido recebido foi de $ 1200,00, qual era o valor nominal? a)$1970,00 b)$1800,00 c)$ 1400,00 d)$1440,00 e)$ 1600,00 6) Um título, no valor de R$ 12 000,00, pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a R$ 9 000,00. Qual foi a taxa mensal aplicada nesta operação de desconto bancário? a) 6% b) 4% c) 5% d) 3% e) 10% 7) Um título produziu desconto simples igual a 0,3 do valor nominal, faltando 2 meses e 15 dias para o vencimento. Qual a taxa do desconto? a) 10 % a.m b) 12 % a.m c) 6 % a.m d) 8 % a.m e) 5 % a.m 8) Uma promissória descontada por dentro a 3 meses do vencimento, à taxa de 7% ao mês, sofreu redução de R$ 630,00. Qual o valor nominal? a) R$3630,00 b) R$3500,00 c)R$ 6300,00 d) R$ 3640,00 e) R$ 5350,00 10) Um título, de valor nominal de R$ 12000,00, descontado racionalmente a 36% ao mês, 20 dias antes do vencimento, será substituído por outro, para 45 dias, sob taxa de 40 % ao mês, desconto também racional. Qual será o valor nominal desse novo título? a) R$15 483,00 b)R$ 16 000,00 c)R$ 18 200,00 d)R$ 23 400,00 e)R$ 14 760,00 11) (TTN - 1989) Utilizando o desconto racional (36% ao ano), o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de $ 29 500,00 , é de: a) $ 24 000,00 b) $ 25 000,00 c)$ 27 500,00 d) $ 18 880,00 e) $ 24 190,00

GABARITO (Descontos Simples)GABARITO (Descontos Simples)GABARITO (Descontos Simples)GABARITO (Descontos Simples) 1) A 2) C 3) B 4) D 5) D 6) C 7) D 8) A 9) A 10) B


102

AS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS E A MATEMÁTICA FINANCEIRA

INTRODUÇÃO

Consideremos agora a seguinte situação: uma mercadoria, que em 1999 custava 100 reais, teve seu preço reajustado nos 4 anos seguintes, sob taxa de 10% ao ano, sobre o preço do ano anterior. Vejamos uma tabela representativa desses preços:

Ano Preço (R$) 1999 100,00 2000 110,00 2001 121,00 2002 133,10 2003 146,41

Se você pegar sua calculadora e dividir os valores de dois termos consecutivos dessa seqüência, vai observar agora que os quocientes dessas divisões serão todos iguais. Vejamos: 110 : 100 = 1,10 121 : 110 = 1,10 133,10 : 121 = 1,10 146,41 : 133,10 = 1,10 Se lembrarmos que o número decimal 1,10 corresponde a 110/100 ou 110%, constataremos que cada preço está sendo reajustado em 10% sobre o preço do ano anterior. Esse tipo de seqüências, onde cada termo (a partir do segundo) é obtido através da multiplicação do termo anterior por um fator fixo, denominado razão (q), é o que chamamos de Progressão Geométrica (PG) e que estudaremos nesse capítulo. As progressões geométricas são fundamentais para cálculos que envolvem matemática comercial e financeira e o valor do dinheiro no tempo. Financiamentos e investimentos com parcelas periódicas fixas (prestações ou depósitos) têm os cálculos de todos os seus elementos obtidos através das progressões geométricas. Esses financiamentos e investimentos são denominados de Sistema Francês ou Price e serão estudados no presente capítulo. Vejamos um exemplo inicial, para fixarmos o que já mostramos. Imagine uma progressão geométrica, de razão igual a 2, começando no número 3.

Perceba que, se fosse uma progressão aritmética, de razão igual a 2, começando no três, o crescimento seria bem mais lento: 3 5 7 9 11 13 15 17 21 ... + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 Você pode perceber, claramente, a mensagem que existe em frases do tipo: “A produção de alimentos cresce em progressão aritmética, enquanto a população mundial cresce em progressão geométrica”, que traduz a teoria de Malthus sobre crescimento demográfico.

x


103

O sociólogo e economista inglês Thomas Malthus é o primeiro a teorizar sobre o

desequilíbrio ambiental. No livro Ensaio sobre o princípio da população, de 1798,

estabelece uma relação entre o crescimento populacional e o de alimentos conhecida

como lei de Malthus: enquanto a produção de alimentos cresce em escala aritmética,

a população cresce em escala geométrica. Malthus prevê que chegará o momento em

que o contingente populacional será superior à capacidade do planeta de alimentá-lo.

Mais tarde, os avanços tecnológicos aplicados à agricultura permitem relativizar o rigor

da visão malthusiana. Na atualidade, porém, suas idéias são retomadas com um outro

sentido: o crescimento da população mundial aumenta a pressão sobre o meio

ambiente e pode tornar inviável a vida no planeta.

Podemos então resumir que uma P.G é uma seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é obtido pelo produto do termo anterior por um fator fixo, denominado razão. Podemos ainda afirmar que: A razão da PG é igual a qualquer termo dividido pelo anterior.

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G

Vamos usar um raciocínio semelhante ao que vimos para as progressões geométricas.

Podemos, dessa forma, inferir que a fórmula para o cálculo de um termo qualquer de uma P.G é:

)1n(1n q.aa −

= FATO CURIOSO: Se você comparar as definições dos dois tipos de progressões que estamos estudando (aritméticas e geométricas), observará que o que na P.A é uma soma, na P.G se transforma em uma multiplicação. O que na P.A é uma multiplicação (ou soma de parcelas iguais), na P.G é uma potenciação (ou multiplicação de fatores iguais). Se lembrar também que a razão da P.A é indicada por R, enquanto que a da P.G é indicada por q, terá um poderoso artifício para transformar as propriedades e fórmulas obtidas para a P.A, para as propriedades e fórmulas da P.G.


104

Comparemos as fórmulas dos termos gerais, da P.A e da P.G: P.A a

n = a

1 + R. (n - 1)

P.G )1n(1n q.aa −

= Mas, mesmo sabendo essas fórmulas, é muito mais importante do que elas saber que, como numa escada, quantos “saltos” devemos dar para ir de um termo ao outro. Somando sempre um valor fixo, no caso da P.A e multiplicando sempre um valor fixo, no caso da P.G. Cabe ainda ressaltar que, a fórmula da P.G pode ser escrita a partir de um termo inicial que denotaremos por a

0 o que se mostrará bastante vantajoso em diversos exemplos práticos

que mostraremos, como na biologia e na matemática financeira. Nesses casos, a fórmula assumirá o seguinte aspecto:

n0n q.aa =

“De nada vale tentar ajudar aqueles

que não se ajudam a si mesmos.”

(Confúncio)

CALCULADORAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

(De: Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)

Exemplo 1: Sr. Gastão aplicou R$ 1000,00 num investimento que valorizava o seu dinheiro 2% ao mês. Quanto ele vai ter, 4 meses após o início da aplicação? Solução: Esse tipo de situação, da Matemática Comercial e Financeira, é o que denominamos JUROS COMPOSTOS ou JUROS SOBRE JUROS formará sempre uma Progressão Geométrica, como vimos no exemplo da introdução, a razão dessa P.G é o que

Verifique, a fórmula da P.A se transforma na da P.G, bastando substituir a soma por produto, a razão R, por q e o produto por uma potência.


105

denominamos FATOR DE CORREÇÃO. Nesse exemplo, o fator de correção será igual a 1,02, pois 100% + 2% corresponde a 102% ou 1,02. Logo, teremos de calcular o resultado de 1000 . (1,02)

4. Na calculadora basta fazer 1,02 x 1000 = = = = 1082,43.

�� O que vimos no exemplo acima é um dos grandes usos das progressões em nossa vida – a Matemática do Dinheiro. As progressões geométricas podem (e devem) ser observadas como uma seqüência de termos com taxa de variação constante (seja para aumento ou para redução).

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Seja n1n2 n321 a aa ........ a a aS ++++++=−−

Vamos multiplicar todos os termos dessa igualdade por q. Teremos então:

q.a .qaq.a ........ .qa .qa .qaS.q n1n2 n321 ++++++=−−

a2 a3 a4 an – 1 an Subtraindo a primeira expressão da segunda, teremos: q.S – S = a

n . q - a

1 e agora, colocando o termo S, em evidência, teremos:

S. (q – 1) = a

n . q - a

1

S = 1qaq.a 1n

−

−

A fórmula acima pode assumir um outro aspecto, bastando substituir o a

n pela respectiva

expressão do termo geral da P.G. A fórmula da soma dos termos da P.G (finita) ficará então:

S = )1q()1q(

.an

1−

−

Portanto, temos duas expressões distintas para o cálculo da soma dos termos de uma P.G finita. A escolha de qual usar em cada situação problema dependerá obviamente dos parâmetros envolvidos em cada caso. Essa fórmula será muito importante para o cálculo de todas as parcelas envolvidas num financiamento pelo Sistema Price, como mostraremos a seguir. Exemplo 2: Obtenha a soma dos 10 primeiros termos da P.G (2, 4, 8, ...) Solução: Para este caso, é melhor usarmos a segunda expressão da fórmula da soma da P.G, pois temos o primeiro termo, o número de termos que queremos somar e a razão (q = 2).

S = )1q()1q(

.an

1−

− = 2046)11024.(2

)12()12(

.210

=−=−

−


106

VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO: À VISTA OU A PRAZO? Vamos agora mostrar que um aluno do Ensino Médio, com o conhecimento dos fatores de correção e de progressões geométricas, pode resolver as principais questões que se apresentam na matemática do dinheiro. Empréstimos, investimentos, compras financiadas, ..., sem qualquer uso de “fórmulas mirabolantes”. É claro que, ao longo de nosso estudo, tais temas serão retomados com maiores detalhes. Nesse momento só queremos destacar a importância dos fatores de correção no âmbito da matemática comercial e financeira. Dependendo do número de parcelas ou prestações, esse tópico poderá inclusive ser abordado numa classe de 8ª série do Ensino Fundamental, bastando conhecimentos básicos de equações de primeiro e de segundo grau.

Um dos problemas mais comuns de encontrarmos no nosso dia-a-dia refere-se à decisão de comprar à vista ou a prazo uma determinada mercadoria. Somos sempre tentados pela propaganda, com promoções do tipo “20% de desconto à vista ou em três vezes sem acréscimo”. A melhor decisão dependerá de uma série de elementos, como taxas de juros, disponibilidade do comprador. Vamos mostrar nessa seção que, mais uma vez, o valor do dinheiro no tempo, os fatores de correção e as progressões geométricas serão fundamentais para nossa escolha correta. É claro que existirão casos que as opções serão equivalentes, nesses casos, tanto faz uma escolha ou outra. Vejamos um exemplo: Ana conseguiu um tipo de investimento que lhe paga juros de 5% ao mês pelo dinheiro que aplicar. Ela entrou numa loja e viu que uma calça jeans pode ser comprada a vista por 80 reais ou ser adquirida com um cheque pré-datado, para 30 dias, por 84 reais. Repare que, nesse exemplo apresentado, as duas opções são equivalentes, pois se ela aplicar os 80 reais por 30 dias, vai receber de juros 4 reais (5% de 80) o que permitirá exatamente cobrir o cheque pré-datado. Portanto, todas as decisões que envolvem compras ou investimentos estão apoiadas no fato do valor que o dinheiro terá ou teve numa outra data, levando-se em conta a taxa de juros que incide sobre os valores aplicados (pode ser a da caderneta de poupança, por exemplo). Logo, se a taxa vigente para as aplicações (taxa de atratividade do mercado) for de 3% ao mês, 100 reais hoje valerão 103 reais em um mês, valerão 106,09 reais em dois meses (multiplicando 100 x (1,03)

2), valerão 109,27 reais em três meses (multiplicando 100 x

(1,03)3), e valerão 100 x (1,03)

n daqui a n meses.

Podemos assim resumir o que acabamos de mostrar:

� Um valor monetário M, valerá daqui a n meses, aplicado sob taxa fixa i, ao mês, M x (1 + i)

n . (com a taxa i expressa na sua forma decimal)

M M x (1 + i)n

Analogamente, caso o valor fosse considerado num período anterior, ou seja, n meses ou períodos antes, o valor do dinheiro seria igual a M : (1 + i)

n

M M : (1 + i)n

PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS (OU JUROS SOBRE JUROS), TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM

VALORIZAÇÃO NO TEMPO

DESVALORIZAÇÃO NO TEMPO


107

COM O QUE ACABAMOS DE MOSTRAR. O VALOR DO DINHEIRO NUMA DATA FUTURA FICA MULTIPLICADO POR (1 + i)

n (OU F

n )E NUMA DATA ANTERIOR, FICA

DIVIDIDO POR (1 + i)n

(OU Fn ).

Nesse caso estamos adotando para o fator (1 + i) a simbologia F (fator de correção), visando simplificar as notações das fórmulas e exercícios.

Exemplo: Lídia comprou um relógio, com uma taxa de juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80 reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2003. Acontece que Lídia ganhou um dinheirinho extra e está propondo à loja, pagar a sua dívida no dia 10 de agosto de 2003, ou seja, um mês antes da data estipulada. Quanto Lídia terá de pagar? Solução: Como se trata de uma antecipação de pagamento é claro que Lídia pagará um valor menor. Aplicando o que vimos anteriormente, o valor será igual a 80 : (1,05) = 76,19 reais. Exemplo: Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois, ele pagou R$ 2500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento? Solução: Entendemos que fica mais fácil perceber o que está ocorrendo mostrando um gráfico da situação – é o que chamamos de fluxo de caixa. 5000 0 1 2 3 2500 x 2500 x 1,05 + x = 5000 x (1,05)

3

2625 + x = 5788,13 x = 3163,13 Resposta: Vinícius deverá pagar uma segunda parcela de R$ 3163,13 Exemplo: Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja?

Devemos “empurrar” todos os valores para uma mesma data (por exemplo para o mês 3) e igualar as entradas (empréstimo) com as saídas (pagamentos periódicos).


108

Solução:

Nesse caso está faltando o valor da taxa de juros cobrada, sugerimos chamar a incógnita do problema de F, que é o nosso fator de correção. Fica mais simples trabalhar com essa variável do que com 1 + i. No final do problema, subtraindo 1 do valor encontrado, teremos a taxa procurada. Vejamos o fluxo de caixa do problema. 400 1 2 220 220

400 . F2 = 220 . F + 220

40 . F2 = 22 . F + 22 ou 20. F

2 – 11. F – 11 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, teremos:

4064,3111

40100111

40

)11.(20.412111F

±≅

±=

−−±=

Como só nos serve a resposta positiva, teremos F = 067,140

64,42≅

Logo, 1 + i = 1,067 ou i = 0,067 ou ainda i = 6,7%

UMA ABORDAGEM PARA ALUNOS DA 8ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL

� É claro que os exemplos que vimos anteriormente, envolvendo fluxo de caixa, poderiam recair em equações de graus maiores do que as de 2º grau, dependendo do número de parcelas envolvidas. Esses casos serão estudados posteriormente, com mais detalhes, nos capítulos de amortização e capitalização compostas. Para um aluno de Ensino Fundamental poderíamos mostrar um enfoque mais simples, para pagamentos em até 3 parcelas (entrada mais duas), recaindo sempre em equações do segundo grau, quando o elemento desconhecido fosse a taxa do financiamento. Vamos ver agora como poderia ser tal abordagem:

À VISTA OU A PRAZO?

Com o emprego de uma simples noção de fator de correção e com a resolução de uma equação do 2º grau, os nossos alunos do Ensino Fundamental ou da EJA poderão responder à questão acima para pagamentos em duas prestações, com ou sem entrada. Para maior número de prestações, poderemos formular equações de grau superior, sendo que a sua resolução dependerá de técnicas que só serão estudadas no ensino médio.

É um tipo de atividade que normalmente os professores não abordam em suas aulas do Ensino Fundamental, perdendo uma excelente oportunidade de contextualização através da

Sugerimos agora “empurrar” todos os valores

para a data 2 e igualar as entradas (valor a vista)

com as saídas (prestações).


109

Matemática Comercial e Financeira, tão presente na vida de todas as pessoas e que costuma deixar todo mundo atordoado diante de decisões de compras, diante de escolhas sobre o plano ou oferta mais conveniente (por que será que a Escola Básica e a Formação de Professores costumam ignorar conteúdos tão significativos para nossos alunos?).

Vamos supor, como referência a nossos exemplos, que estamos vivendo um momento em que a caderneta de poupança (que é o investimento básico para a maioria das pessoas) está gerando rendimentos mensais de 2,0%. Você entrou numa loja, para comprar uma geladeira e o vendedor lhe ofereceu as seguintes opções de compra:

1ª) Pagar à vista R$ 700,00 2ª) Pagar em duas prestações mensais, sem entrada, de R$380,00.

Para responder à questão proposta, vamos considerar a segunda opção e verificar o que vai acontecer após o pagamento da última prestação. Teremos três possibilidades: sobrará dinheiro na poupança, faltará dinheiro para pagar a prestação ou o saldo final será zero.

Vamos acompanhar o que estaria acontecendo com os R$ 700,00 aplicados na poupança.

Após um mês da aplicação: antes de pagar a prestação, teremos 700,00 x 1,02 = 714,00 e, depois do pagamento, teremos: 714,00 – 380,00 = 334,00

Após dois meses da aplicação: antes de pagar a prestação, teremos: 334,00 x 1,02 = 340,68

Conclusão: o valor que sobra não é suficiente para pagar a segunda prestação de R$ 380,00, o que nos leva a concluir que a primeira opção (comprar à vista) é mais vantajosa nesse caso.

A conclusão desse exemplo nos faz perceber que a referida loja deve estar cobrando uma taxa mensal de juros superior aos 2% da remuneração da poupança. Mas qual é então essa taxa de juros que a loja está cobrando?

Vamos agora fazer o mesmo raciocínio anterior, lembrando que a loja atualiza a dívida mês a mês, usando um fator x, correspondente à taxa de juros cobrada.

Vamos acompanhar a evolução da dívida, até que ela fique zerada, ou seja, até o pagamento da prestação final: Saldo devedor inicial: R$ 700,00

Depois de um mês: antes do pagamento da prestação: 700 . x, e depois do pagamento (700 . x - 380)

Depois de dois meses: antes do pagamento da prestação: (700 . x – 380) . x e depois desse pagamento: (700 . x – 380) . x – 380

Acho que você concorda comigo que a decisão da escolha é a mesma que decidir entre pagar os R$ 700,00 à vista ou coloca-los na poupança e, depois de um mês, retirar os R$ 380,00 da prestação. No mês seguinte, após a correção do valor que sobrou, retirar a 2ª prestação de R$ 380,00.


110

É claro que essa última expressão (como foi o último pagamento) deverá ser igualada a zero.

(700 . x – 380) . x – 380 = 0 ou 700x2 – 380x – 380 = 0 (acho que, se você observar

bem, vai perceber o tipo de equação que sempre ficará formada nesses casos. Futuramente, com você já sabendo o porque, poderá diretamente escrever essa sentença). Simplificando a equação, dividindo tudo por 20, teremos: 35 x

2 – 19 x – 19 = 0.

Aplicando a fórmula de Báskara e lembrando que nos interessa apenas a resposta positiva, teremos:

x = 70

302119

70

)19.(35.41919 2+

=−−+ ≅

70

96,5019 + ≅ 1,0566.

Sabemos que este fator obtido corresponde a uma taxa de 5,66%, que é a taxa mensal de juros cobrada pela loja.

Vejamos um outro exemplo, similar:

Qual a taxa de juros, sobre o saldo devedor, que está cobrando uma loja por uma mercadoria que está sendo oferecida à vista por R$ 1200,00 ou em três prestações iguais de R$ 480,00, sendo uma delas paga no ato da compra e as outras duas a 30 e 60 dias da compra. É fácil perceber que, se a primeira prestação é dada no ato da compra, ela pode ser subtraída do preço à vista, obtendo-se o saldo devedor de 1200,00 – 480,00 = 720,00 e duas prestações de 480,00, recaindo no caso anterior. Podemos então, formar a seguinte equação do 2º grau, que resolve o problema:

720x2 – 480x – 480 = 0

Resolvendo a equação, teremos a raiz positiva x ≅ 1,21525, o que corresponde a uma taxa mensal (muito alta) de 21,525 %.

�� Observe que o que mostramos nesses dois exemplos é o mesmo que vimos nos fluxos de caixa e valor do dinheiro no tempo, só que usando uma linguagem mais simples para alunos do Ensino Fundamental.

EXERCÍCIOS

1) Uma mercadoria pode ser comprada à vista por R$ 4000,00 ou então em duas prestações iguais de R$ 2200,00, sem entrada, a 30 e 60 dias da data da compra. Determine a taxa de juros sobre o saldo devedor, que está sendo cobrada pela loja. a) 5,8% b) 6,2% c) 7,5% d) 6,6% e) 4,5% 2) Uma loja está vendendo uma mercadoria a vista por R$ 800,00 ou então em três pagamentos, sendo o primeiro (uma entrada) efetuada na data da compra e os outros dois a 30 e 60 dias dessa data. Sabendo-se que a loja está cobrando uma taxa de juros compostos


111

de 5% ao mês e que os dois primeiros pagamentos foram, respectivamente, de R$ 200,00 e R$ 500,00, determinar o valor da terceira prestação. a) R$ 190,60 b) R$ 200,00 c) R$ 136,50 d) R$ 220,50 e) R$ 250,00 3) (TTN – 1994) Uma loja vende seus artigos com pagamento em duas prestações, “sem juros”. A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após. Entretanto, um desconto de 25% é concedido se o cliente pagar à vista. Na realidade, essa loja cobra, nas vendas a prazo, juros mensais de taxa igual a: a) 100% b) 75% c) 50% d) 25% e) 12,5% 4) (BACEN – 1994) Tomei emprestados $ 1 000,00 a juros compostos de 10% ao mês. Um mês após o empréstimo, paguei $ 500,00 e dois meses após esse pagamento, liquidei a dívida. O valor desse último pagamento foi de: a) $ 660,00 b) $ 665,50 c) $ 700,00 d) $ 726,00 e) $ 83100 5) (FISCAL DE RENDAS – 1990) Se a inflação mensal em nosso país fosse de 3%, durante o ano todo, uma bicicleta que custasse $ 1000,00, atingiria o preço de $1060,90 no seguinte número de meses: a) 5 b) 4 c) 2 d) 3 e) 1 6) (UNESP - 2004) Uma loja vende um produto no valor de R$ 200,00 e oferece duas opções de pagamento aos clientes: à vista com 10% de desconto, ou em duas prestações de mesmo valor, sem desconto, sendo a primeira paga no ato da compra. A taxa mensal de juros embutida na compra a prazo é de: a) 5% b) 10% c) 20% d) 25% e) 90%

7) Uma bondosa loja oferece um desconto à vista de 30%, ou então cobra os preços normais, divididos em duas parcelas iguais, sendo a primeira no ato da compra e a segunda um mês após. Quanto está pagando de juros nesse mês, a pessoa que escolheu a segunda opção de pagamento? a) 100% b) 50% c) 30% d) 250% e) 150% 8) (AFTN - 1991) A uma taxa de 25% ao período, uma quantia de 100 no fim do período t, mais uma quantia de 200 no fim do período t+2, são equivalentes, no fim do período t+1, a uma quantia de: a) 406,25 b) 352,50 c) 325 d) 300 e) 285 9) Uma loja está vendendo um equipamento em 2 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 1200,00 cada, sem entrada. Supondo uma taxa efetiva de juro composto de 6% ao mês, ache o valor à vista desse equipamento. a) R$ 2520,00 b) R$ 3250,00 c) R$ 2200,00 d) R$ 2890,00 e) R$ 3100,00 10) (AFTN - 96) Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros compostos capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas mensais e iguais de $1000,00, daqui a 13 e 14 meses, respectivamente. O valor que mais se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês, que substitui estes dois pagamentos é: a)$2 012,00 b)$2 121,00 c)$2 333,33 d)$2 484,84 e)$2 516,16


112

��GABARITO 01) D 02) C 03) A 04) A 05) C 06) B 07) E 08) E 09) C 10) B

“Há, verdadeiramente, duas coisas diferentes: saber e crer que se sabe.

A ciência consiste em saber; em crer que se sabe reside a ignorância.”

(Hipócrates)

Juros compostos – aprofundando conceitos

Nos juros compostos (com taxa fixa i) iniciamos o processo de crescimento com o valor C0.

Ao final de um período esse valor é corrigido pela taxa i, ficando determinado por C0 . (1 +

i). Assim, sucessivamente, cada valor é obtido pelo anterior multiplicado pelo fator de correção (1 + i), o que caracteriza uma progressão geométrica de razão (1 + i). Dessa forma, podemos generalizar para n períodos, dizendo que o montante M, de uma aplicação a juros compostos com taxa fixa i, ao período, durante n períodos, pode ser obtido por:

De forma resumida, podemos dizer que um capital C está aplicado a juro composto,

num prazo de n períodos, se, no final de cada período, o juro produzido é incorporado ao capital, passando também a render novos juros. Quando o juro é incorporado ao capital, no final de cada período, dizemos que ocorreu uma capitalização. Logo ... juros compostos = juros capitalizados. Exemplo: Suponhamos que uma pessoa tome emprestada, a juro composto, a importância de R$ 2000,00, pelo prazo de 4 meses, sob taxa de 5% ao mês. Qual será o valor a ser pago como juros, decorrido este prazo?

SOLUÇÃO:

2000 5% 5% 5% 5% M=? M= 2000 . 1,05 . 1,05 . 1,05 . 1,05 = 2000. (1,05)

4 = 2000 . 1,2155 = 2 431,00.

Juros pagos = 2431,00 - 2000,00 = R$ 431,00 Observações:

� O cálculo das potências que aparecem nos juros compostos pode ser feito por máquinas calculadoras, usando logaritmos ou consultando tabelas financeiras

n0 )i1.(CM +=


113

específicas. No final de nossa apostila você tem a tabela (1 + i)n (tabela 1) e pode

obter o resultado da potência, consultando os valores da taxa e do expoente envolvidos em cada caso.

� Se a taxa fosse variável, o montante deveria ser calculado multiplicando-se o capital inicial por todos os fatores de correção correspondentes às taxas periódicas (como acontece nas cadernetas de poupança).

JUROS COMPOSTOS E LOGARÍTMOS

Alguns lembretes importantes.

alog n. a log D)

blog - alog b) : (alog C)

... clog blog alog ...) (a.b.c log B)

x alog a b A)

K

n

K

KKK

KKKK

b

x

=

=

+++=

=⇔=

� Pelo que vimos anteriormente, durante o estudo das Progressões Aritméticas e Geométricas, temos mais uma excelente oportunidade de enfocar tais assuntos a partir da Matemática Comercial e Financeira. Os problemas de juros compostos podem ainda nos levar à resolução de Equações Exponenciais e Cálculos com logaritmos. Quando a incógnita do problema for o tempo ou número de períodos da aplicação, você deve mostrar, além do uso das tábuas financeiras, além do uso da calculadora a possibilidade de resolução através dos logaritmos. Vejamos alguns exemplos:

1) Durante quantos meses (aproximadamente) estiveram aplicados 580 reais, sob juros compostos com taxa efetiva de 5% ao mês, para gerarem um montante de 900 reais? Informação: log (1,55) ≈ 0,1903 e log (1,05) ≈ 0,021 Solução: 580 x (1,05)

n = 900

(1,05)n = 1,55 ou então

n . log (1,05) = log (1,55)

n = 9021,0

1903,0

)05,1log(

)55,1log(≅= meses

2) Durante quantos meses (aproximadamente), um capital qualquer, aplicado a juros

compostos com taxa efetiva de 2% ao mês, fica com o seu valor duplicado? Informação: log 2 ≈ 0,301 e log (1,02) ≈ 0,0086

Solução: Podemos, nesse caso, considerar o capital como igual a 1 e o montante correspondente como igual a 2. Teremos então: 1. (1,02)

n = 2

n . log (1,02) = log 2, logo, teremos:


114

n = 350086,0

301,0

)02,1log(

2log≅= meses


1) Um investidor aplicou uma determinada quantia recebendo juros de 2% ao mês. Três

meses depois o investidor já tinha acumulado um montante de R$ 4240,00. Determine qual será o montante acumulado após 10 meses da data inicial, considerando: a) Que o investimento foi a juros simples. b) Que o investimento foi a juros compostos.

2) Apliquei R$ 1800,00 a juros compostos de 3% ao mês. Depois de um certo tempo

acumulei um montante de R$ 2213,77. Qual foi o prazo necessário para que tal fato ocorresse? (Informação: log 1,03 ≅ 0,0128 e log 1,23 ≅ 0,0899)

3) Uma bomba de vácuo retira cerca de 2% do ar contido num recipiente em cada

“bombada” que é dada. Quantas “bombadas” (aproximadamente) serão necessárias para que o ar contido no recipiente fique reduzido a apenas 20% do volume inicial? (Informação: log 0,2 ≅ – 0,699 e log 0,98 ≅ – 0,0098).

4) Quanto tempo levará um capital qualquer, aplicado a juros mensais e sob taxa de

4%, para dobrar de valor, considerando que: a) a aplicação foi a juros simples b) a aplicação foi a juros compostos (Informação: log 2 ≅ 0,301 e log 1,04 ≅ 0,017)

GABARITO 01) a) R$ 4800,00

b) R$ 4870,43 02) 7 meses 03) 71 bombadas 04) a) 2 anos e 1 mês

b) 1 ano e 6 meses

Taxa Efetiva e Taxa Nominal

a) Taxa Efetiva

Uma taxa é denominada efetiva quando já está referida ao período de capitalização. Por exemplo 5% ao mês, capitalizados mensalmente é um exemplo de taxa efetiva. 1200% ao ano, com capitalização anual é outro exemplo de taxa efetiva.

b) Taxa Nominal A taxa nominal está referida a um período distinto do período de capitalização, e a mudança necessária é feita através de uma proporção, como nos juros simples. Por exemplo, uma taxa nominal de 120% ao ano, com capitalização mensal, será transformada para efeito de cálculos em 120% : 12 = 10 % ao mês.

IMPORTANTE: Nas situações de juros compostos, sempre que a taxa não estiver referida à mesma unidade que o período de capitalização, ela deve ser considerada como taxa nominal,


115

e, todas as transformações necessárias devem ser feitas como em juros simples (proporcionalmente).

Exemplo:

Qual o montante produzido por R$ 5000,00, aplicado sob juros compostos trimestrais, taxa de 240% ao ano, durante 1 ano?

SOLUÇÃO:

Como 240% ao ano é taxa nominal pois a capitalização é trimestral, devemos dividi-la por 4 para transformar em trimestral. (240 : 4 = 60% a.t). Devemos também considerar n=4 pois 1 ano = 4 trimestres. M = 5000 . (1,6)

4 = 5000 . 6,5536 =32 768,00.

RESPOSTA: O montante é de R$32 768,00

Taxas Equivalentes: São aquelas que, aplicadas ao mesmo principal, durante o mesmo prazo, no regime de juros compostos, produzem os mesmos montantes. Por exemplo 20% ao mês, sob juros compostos, é uma taxa equivalente a 44% ao bimestre. Verifiquemos o que acontece, quando aplicadas a um capital de 100 reais. 100 20% 120 20% 144 (aplicando-se juros de 20% a m) 100 44% 144 (juros de 44% ao bimestre)

IMPORTANTE:

Como os capitais e os montantes serão iguais, poderemos obter as taxas equivalentes através de igualdades geradas pelos fatores de correção, elevados aos expoentes convenientes. Ou seja:

(Fa )1 = (Fm )12 = (Fd )

360 = (Fs )2 = ......

Sendo :

Fa = Fator de correção anual ; Fm = Fator de correção mensal; Fd = Fator de correção diário ; Fs = Fator de correção semestral

Exemplos:

A) Qual a taxa mensal, equivalente para juros compostos a 2% ao dia? SOLUÇÃO: Fm = (Fd)

30 = (1,02)30 = 1,811361 (Ver tabela 1, na interseção da coluna 2% com n = 30). Logo este fator corresponde a uma taxa de 81,1361% ao mês. Na calculadora, descobriríamos diretamente o valor da potência, subtraindo 1, do valor obtido. B) Qual a taxa trimestral, equivalente para juros compostos, a 26,247% ao ano?


116

SOLUÇÃO: (Ft )

4 = Fa, logo (Ft )4 = 1,26247 (lembra do “segredinho” dos fatores de correção?).

Basta agora procurarmos na tabela 1, dos juros compostos, na linha do expoente n = 4 o valor 1,26247, o que acontecerá na interseção da coluna referente à taxa de 6%. Resposta: 26,247% ao ano é equivalente a 6% ao trimestre. Na calculadora, obteríamos a raiz quarta de 1,26247, que será aproximadamente igual a 1,06, o que corresponde à taxa de 6%. É sempre bom lembrar que esse cálculo é feito transformando-se a relação (Ft )

4 = 1,26247 em F = (1,26247)0.25

.

Gráfico Comparativo: Juros Simples X Juros Compostos

Vamos supor o crescimento dos juros (simples e compostos) relativos a um capital inicial (principal) de 100 reais, sob taxa de 10% ao mês. Normalmente as pessoas têm a impressão de que os juros compostos, por serem acumulativos, sempre superam aos valores calculados a juros simples. Se analisarmos com atenção o gráfico seguinte, veremos que nem sempre essa afirmação é verdadeira.

No gráfico acima, percebe-se que, antes do primeiro período os juros simples têm valores superiores aos valores correspondentes dos juros compostos. Como confirmação, vejamos o cálculo dos juros obtidos pelos 100 reais de nosso gráfico, em 15 dias de aplicação (0,5 mês). a) Cálculo dos juros simples – j = 100 x 0,5 x 0,1 = 5 reais b) Cálculo dos juros compostos – j = 100 x (1,1)

0,5 – 100 = 4,88 reais.

Você pode verificar que, nesse caso, como o prazo foi inferior a 1 período de capitalização (no caso mês), o valor do juro simples foi maior que o valor obtido a juro composto.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS – JUROS COMPOSTOS 1) Qual o montante produzido por R$ 2500,00, aplicados sob taxa efetiva de 12% ao trimestre, em 15 meses? a)R$ 4405,85 b)R$ 6403,24 c)R$ 5405,45 d)R$ 4000,00 e) R$ 4800,00


117

2) Dr. Fernandinho pagou R$1 728,00 por um empréstimo no Banco Toffer-Rado S.A. O prazo da operação foi de 3 meses e a taxa efetiva de juros compostos foi de 20% ao mês. Qual foi o valor do empréstimo? a) R$ 800,00 b) R$ 1 200,00 c) R$ 1 000,00 d) R$ 980,00 e) R$ 1 150 ,00 3) Apliquei um capital a juros simples de 4% ao mês, durante 2 meses e, em seguida, reapliquei o montante por 6 meses, a juros simples de 5% ao mês. Qual o capital inicial, se o montante final foi de R$30 888,00? a) R$ 20 000,00 b) R$ 25 000,00 c) R$ 18 000,00 d) R$ 20 800,00 e) R$ 22 000,00 4) Um investidor aplicou R$ 600 000,00 a juros compostos mensais, durante 2 anos e recebeu um montante de R$ 3 804 708,60. Qual foi a taxa da operação? a) 8% a.m b) 9% a.m c) 10% a.m d) 5% a.m e) 6% a.m 5) Qual a taxa anual, equivalente para juros compostos, a 20% ao bimestre? a) 120% b) 150% c) 198,60 d) 180% e) 210,6% 6) Qual a taxa bimestral, equivalente para juros compostos, a 131,3060% ao ano? a) 12% b) 13% c) 14% d) 15% e) 20% 7) Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros compostos equivalente mensal. a) 3% b) 3,1% c) 3,01% d) 2,8% e) 3,5% 8) Ao final de quanto tempo, aproximadamente, os juros compostos produzidos por certo capital são iguais à metade deste, se usarmos a taxa de 8% a.a, com capitalização anual? a) 6 anos b) 9 anos c) 7anos d) 8 anos e) 5 anos 9) O capital de R$ 37 500,00 é colocado ao regime de capitalização composta sob taxa efetiva de 9% ao trimestre. No fim de um certo tempo o montante atingiu R$ 62 891,25. Calcular o número de meses que foram necessários. a) 12 b) 21 c) 15 d) 18 e) 19,5 10) (Fiscal de Tributos Estaduais – Porto Alegre – 2002) A taxa nominal de 12% ao semestre com capitalização mensal é equivalente à taxa de: a) 6% ao trim. b) 26,82% ao ano c) 6,4% ao trim. d) 11,8% ao sem. e) 30% ao ano. 11) (SUSEP – 2002) A taxa equivalente à taxa nominal de 18% ao semestre com capitalização mensal é de: a) 26,82% ao ano. b) 36% ao ano. c) 9,27% ao trimestre. d) 18% ao semestre. 12) Se tenho um título de Valor Futuro de R$ 50.000,00, que vencerá dentro de 18 meses, com uma taxa de 3,95% a.m., qual será o valor Presente? a) R$ 24 895,97 b) R$ 25 000,00 c) R$ 23 568,90 d) R$ 24 250,35 13) Após quantos meses, aproximadamente, um investidor terá triplicado o seu capital inicial, aplicado a juros compostos de 4 % ao mês? (dados: log 3 ≅ 0,477 e log 1,04 ≅ 0,017) a) 18 b) 22 c) 24 d) 28 e) 32


118

14) (FGV SP – ECONOMIA – 2005) Uma aplicação financeira rende juros de 10% ao ano, compostos anualmente. Utilizando para os cálculos as aproximações fornecidas pela tabela, pode-se estimar que uma aplicação de R$ 1000,00 seria resgatada no montante de R$ 1 000 000,00 após...

x log x 2 0,30 5 0,70 11 1,04

a) mais de 1 século b) 1 século c) 4/5 de século d) 2/3 de século e) ¾ de século 15) (CVM – Inspetor – 1997) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa nominal de 30% ao ano, com capitalização trimestral, durante dois anos e meio, originando um montante de R$ 100 000,00. Qual foi o valor do capital aplicado? A) R$ 47 674,00 B) R$ 48 102,00 C) R$ 48 519,00 D) R$ 70 683,00 E) R$ 76 923,00

��GABARITO (EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2)

01) A 02) C 03) E 04) A 05) C 06) D 07) A 08) A 09) D 10) B 11) C 12) A 13) D 14) E 15) C

Descontos Compostos – Fluxo de Caixa A) O Conceito: O desconto composto é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso financeiro antes de seu vencimento ou o valor que o banco recebe pela antecipação do resgate de um título, mas sob regime de juros compostos. Na prática o que temos é o montante ou valor nominal do papel e o que queremos é o capital inicial, ou valor atual, o que pode ser obtido pela própria fórmula do cálculo do montante a juros compostos. A tal tipo de desconto denominamos desconto composto racional, sendo que o desconto composto bancário praticamente só existe na teoria, já que o que é utilizado em nosso País é o desconto bancário simples. B) Valor atual de um papel sujeito a desconto composto (racional): Já sabemos que C . (1 + i)

n = M , agora teremos: A . (1 + i)

n = N

Ou seja: A = N ou (1 + i)

n

OBS: Os valores de (1 + i)

-n você poderá encontrar diretamente na tabela 2 (final da

apostila) e multiplicando-os por N, obter o valor atual A. Caso você queira pode também usar a própria tabela 1, dos juros compostos e, dividindo N por (1 + i)

n obter de outra

forma o valor atual A.

A = N . (1 + i)-n


119

Exemplo 1: Uma pessoa quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dívida representada por um título cujo valor nominal é de R$ 1000,00. Sabendo-se que o banco credor utiliza uma taxa de desconto composto de 3% ao mês, ache o valor do desconto.

SOLUÇÃO:

A = N . (1 + i)-n

ou A = 1000.(1,03)-3 .

O fator poderá ser obtido na tabela 2, na interseção da coluna de 3% com a linha de n = 3. Teremos então A = 1000 . 0,91514 = 915,14 , logo, o desconto será a diferença 1000 - 915,14 = R$ 84,86.

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Exemplo 2:

Um investidor, devedor de um título de R$1000,00, para 6 meses, deseja substituí-lo por outro com vencimento para 10 meses, sendo que a taxa de juro composto é de 4% ao mês. Achar o valor nominal do novo título.

SOLUÇÃO:

Trata-se de um caso de equivalência de capitais, e, como vimos em descontos simples, os valores atuais devem ser iguais. No caso do desconto composto é mais simples ainda, pois não há necessidade de retroagirmos à data zero, bastando atualizar o capital, de acordo com o número de períodos entre as duas datas. 1000 ? 0 6 10

Logo, teremos: N= 1000.(1,04)4 = R$ 1169,86

C) Fluxo de Caixa: Fluxo de caixa de uma empresa é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro, previstas para um determinado período. O valor atual de um fluxo de caixa é a soma algébrica dos valores atuais das entradas (positivas) e das saídas (negativas). Numa análise de investimentos , compras à prazo, e na matemática financeira em geral, o conceito de fluxo de caixa é de grande importância, pois, atualizando as entradas e saídas de dinheiro, fica fácil estimar se é ou não compensador um determinado investimento.

Exemplo 2:

A empresa Tar-Russo S.A tem a seguinte previsão orçamentária para um determinado período:

PAGAMENTOS RECEBIMENTOS 1 / 4 2000 1 / 2 3000 1 /10 5000 1 / 6 6000

1 / 11 9 000 Qual o valor do fluxo de caixa para 1 de janeiro, supondo a taxa de desconto composto de 5% ao mês?

AF


120

J F A J O N 1 3 5 9 10 AF = Valor atual do fluxo = 3.(1,05)

-1+6.(1,05)

-5+ 9.(1,05)

-10 - 2.(1,05)

-3 - 5.(1,05)

-9

Mais uma vez, consultando a tabela 2, teremos: AF= 3.(0,952381) + 6.(0,783526) + 9.(0,613913) - 2.(0,863838) - 5.(0,644609) AF = 8,132795 . 1000 = R$ 8132,80. Obs: Se todas as parcelas deste fluxo fossem iguais, o nosso cálculo seria bastante simplificado, pois poderíamos recorrer a tabelas financeiras prontas para amortizações e capitalizações compostas, conforme veremos nos capítulos seguintes, onde deduziremos uma importante fórmula (sistema Price) a partir da soma dos termos de uma progressão geométrica.

Exemplo 3: Uma pessoa compra um aparelho eletrodoméstico e paga 3 prestações mensais iguais e consecutivas de R$ 500,00, cada uma, sem entrada, vencendo a primeira, um mês após a compra. Supondo uma taxa efetiva de juro composto de 15% ao mês, ache o preço à vista do aparelho.

SOLUÇÃO:

?

0 1 2 3 500 500 500 A = 500.(1,15)

-1+ 500.(1,15)

-2 + 500.(1,15)

-3 = R$ 1141,61 (Confira)

Importante: • O que vimos no exemplo anterior é um caso de financiamento denominado sistema

Francês ou Price, e que possui as características: - Primeiro pagamento um período após a compra. - Parcelas iguais. - Taxa efetiva mensal. - Pagamentos no final de cada período.

Estudaremos mais detalhadamente este sistema , bem como outros, no capítulo final do nosso curso (Sistemas de Amortização). • Denominamos TAXA INTERNA DE RETORNO (Tir) à taxa que zera o fluxo de caixa, ou

seja: O somatório de todas as entradas é igual ao somatório de todas as saídas, numa data qualquer. A determinação da taxa interna de retorno recairá sempre na solução de uma equação polinomial, na incógnita i ou na incógnita F (F = 1 + i), bastando levar todas as entradas e


121

saídas monetárias para uma mesma data, igualando-se em seguida o somatório das entradas, com o somatório das saídas (procedimento que usaremos sempre que tivermos que calcular a taxa de juros inserida num financiamento qualquer).

Exemplo 4:

(AFTN - 1991) A uma taxa de 25% ao período, uma quantia de 100 no fim do período t, mais uma quantia de 200 no fim do período t+2, são equivalentes, no fim do período t+1, a uma quantia de: a) 406,25 b) 352,50 c) 325 d) 300 e) 285

SOLUÇÃO:

200 100 t t+1 t+2 ? Este é o típico exercício que denominamos , “valor do dinheiro no tempo”, como já vimos na introdução da apostila. Onde verificamos que o valor 100 terá de ser “corrigido” em um período (multiplicado por 1,25), enquanto que o valor 200 deverá ser atualizado em um período (dividido por 1,25). Logo, a resposta será: 100 . 1,25 + 200 : 1,25 = 285 (opção E) Note que 25% nada mais é do que a TAXA INTERNA DE RETORNO desse fluxo.

Exemplo 5:

Qual a taxa interna de retorno do fluxo representado abaixo? 1500 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4000

SOLUÇÃO: Fazendo-se 1 + i = F, vamos equacionar na variável F. Levando-se todos os valores para uma mesma data, data 4, por exemplo e igualando-se a zero a soma algébrica das entradas e saídas, teremos: 1000 x F

4 + 1500 x F

2 – 4000 = 0 ou então:


122

2 F4 + 3 F

2 – 8 = 0, que é uma equação biquadrada. Fazendo-se F

4 = y

2. teremos:

2 y2 + 3 y – 8 = 0 ou y = 3861

454483

4733

4

82493,

,).(.=

±−=

±−=

−−±−

Logo, o fator de correção F será igual a 17713861 ,, =

Então teremos 1 + i = 1,177 ou i = 0,177 ou 17,7%

�� Comentário: Lembramos que o trabalho com a taxa interna de retorno pode ser um excelente momento de aplicação das equações polinomiais, em classes do ensino médio.

EXERCÍCIOS 1) Calcule o valor atual de um título, de valor nominal igual a R$9000,00 , liquidado 2 meses antes do vencimento, sendo a taxa de desconto composto de 4% ao mês. a) R$ 8429,00 b) R$ 7854,36 c) R$ 8321,00 d) R$ 6789,29 e) R$ 5467,80 2) O valor atual de uma nota promissória é de R$ 4200,00. Qual o seu valor nominal, sabendo que ela vencerá dentro de 120 dias e que a taxa efetiva de juro composto, utilizada no cálculo, foi de 3% ao mês? a) R$ 4727,14 b) R$ 4367,90 c) R$ 4704,00 d) R$ 4678,95 e) R$ 5300,00 3) Um título, de valor nominal igual a R$ 2000,00 , foi liquidado 6 meses antes do vencimento, por R$ 1332,68. Ache a taxa do desconto composto mensal utilizada nesta operação. a) 2% b) 3% c) 4% d) 6% e) 7% 4) Uma nota promissória, de valor de face R$ 71 500,00, foi paga antes do vencimento, por R$ 63 526,62. Ache o prazo de antecipação dessa operação, sabendo que foi utilizada uma taxa de desconto composto de 3% ao mês. a) 3 meses b) 4 meses c) 5 meses d) 6 meses e) 7 meses 5) Uma pessoa, devedora de um título de R$ 8200,00 para 4 meses, deseja substituí-lo por outro com vencimento para 8 meses. Supondo uma taxa de desconto composto de 5% ao mês, calcule o valor nominal do novo título. a) R$ 9967,15 b) R$ 9840,00 c) R$ 10 000,00 d) R$ 9876,55 e) R$ 8999,90 6) Um gerente de uma pequena empresa deveria pagar, hoje, a um banco, a importância de R$ 20 000,00. Não podendo efetuar o pagamento , propõe ao banco dois pagamentos iguais, dentro de 2 e 3 meses, respectivamente. Utilizando uma taxa de desconto composto de 7% ao mês, quais serão os valores nominais desses dois novos títulos? a) R$ 12006,78 b) R$ 11234,56 c) R$ 9899,00 d) R$ 11836,16 e) R$ 11000,00 7) Uma loja está vendendo um equipamento em 2 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 1200,00 cada, sem entrada. Supondo uma taxa efetiva de juro composto de 6% ao mês, ache o valor à vista desse equipamento. a) R$ 2520,00 b) R$ 3250,00 c) R$ 2200,00 d) R$ 2890,00 e) R$ 3100,00 8) Calcular o valor atual de um título de R$ 7000,00, resgatado a 3 meses do vencimento, sob desconto racional composto de 4% ao mês.


123

a) R$ 6222,97 b) R$ 6124,90 c) R$ 6160,00 d) R$ 6384,29 e) R$ 6494,35 9) O valor nominal de um título é de R$ 2000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes do seu vencimento. Calcule o valor de resgate, sabendo que a taxa de desconto composto é de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente. a) R$ 1245,87 b) R$ 1425,97 c) R$ 1383,63 d) R$ 1300,00 e) R$ 1292,44 10) Calcule o desconto composto sofrido por um título, de valor nominal igual a R$ 3800,00, resgatado 8 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 30 % ao ano, com capitalização bimestral. a) R$ 685,29 b) R$ 673,73 c) R$ 678,90 d) R$ 621,24 e) R$ 601,28 11) (AFTN - 1991) Um “Commercial Paper” , com valor de face de US$ 1,000,000.00 e vencimento daqui a 3 anos, deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional composto, obtenha o valor do resgate. a)US$751,314.80 b)US$750,000 c)US$748,573 d)US$729,000 e)US$700,000.00 12) Duas promissórias, uma de R$ 40 000,00, vencível em 120 dias, e a outra de R$ 90 000,00, vencível em 180 dias, deverão ser substituídas por uma única promissória, vencível em 90 dias. Qual o valor nominal da nova promissória, no regime de juro composto, à taxa de 3% ao mês? a) R$ 122 430,00 b) R$ 132 420,00 c) R$ 110 000,00 d) R$ 121 197,70 e) R$ 117 496,00 13) Daniela comprou um exaustor e vai pagá-lo em duas prestações: a primeira, de R$ 180,00, um mês após a compra, e a segunda, de R$ 200,00, dois meses após a compra. Sabendo que estão sendo cobrados juros de 25% ao mês, sobre o saldo devedor, podemos afirmar que o preço à vista do aparelho era de: a)R$ 138,00 b)R$ 237,50 c)R$ 272,00 d) R$ 285,00 e) R$ 304,00 14) Uma geladeira pode ser comprada à vista por R$ 2000,00 ou em 3 prestações mensais iguais, sendo a primeira delas paga no ato da compra. Se o vendedor cobra juros de 30% ao mês, sobre o saldo devedor, o valor de cada prestação é, aproximadamente igual a: a)R$ 827,00 b)R$ 847,00 c) R$ 867,00 d) R$ 887,00 e) R$ 907,00 15) Uma empresa tomou emprestada de um banco, por 6 meses, a quantia de $1000 000,00 à taxa de juros compostos de 19,9% ao mês. No entanto, 1 mês antes do vencimento a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor a ser pago, se o banco opera com uma taxa de desconto racional composto de 10% ao mês? (Considere que 1199 2 976, ,≅ ) a)$2 400 000,00 b)$2 500 000,00 c)$2 600 000,00 d)$2 700 000,00 16) Luciana comprou um aparelho de som em três prestações (30, 60 e 90 dias da data da

compra). O aparelho à vista custava R$ 900,00 e as duas primeiras parcelas foram de R$ 400,00. Se a loja está cobrando juros de 6% ao mês, qual será o valor do terceiro pagamento que Luciana terá de fazer?

17) Uma loja oferece duas opções de pagamento para as compras. À vista, com 30% de

desconto ou em duas parcelas iguais, sendo a primeira paga no ato da compra. Quanto está pagando de juros, em um mês, a pessoa que escolher a opção em dois pagamentos?


124

18) Lídia comprou um relógio, pagando R$ 180,00 um mês após a compra e R$ 200,00 dois meses após a compra. Se foram pagos juros de 12% sobre o saldo devedor, qual era o preço à vista desse relógio?

��GABARITO (EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 4) (Descontos Compostos)

01) C 02) A 03) E 04) B 05) A 06) D 07) C 08) A 09) B 10) B 11) A 12) D 13) C 14) B 15) D

16) R$ 198,47 17) 150% 18) R$ 304,21

CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTAS

(Rendas Certas ou Anuidades)

Introdução: Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar periodicamente certa quantia em uma caderneta de poupança, por exemplo; quando queremos comprar um bem qualquer, podemos fazê-lo em prestações a serem pagas periodicamente. Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar um dívida depositando ou pagando certa quantia, em épocas distintas. No primeiro caso temos uma CAPITALIZAÇÃO e no segundo, uma AMORTIZAÇÃO. Estudaremos, neste capítulo como calcular: juros, parcelas, montantes futuros ou valores atuais envolvidos nestas duas operações. Rendas: A sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas distintas, destinados a formar um capital ou a pagar uma dívida é o que denominamos de RENDA. As parcelas ou depósitos são denominados termos da renda (nas calculadoras financeiras representados pela tecla PMT). O intervalo entre dois termos consecutivos é denominado período da renda. Quando todos os períodos são iguais , a renda é denominada periódica. As rendas podem ainda ser caracterizadas como Rendas Certas - Uma renda é denominada certa quando todos os seus elementos: número de parcelas, período, valores das parcelas, vencimentos, etc. podem ser pré-fixados. Caso contrário ela é dita renda aleatória. A preocupação do nosso curso será com as rendas Certas ou Anuidades. OBS: Se todas as parcelas que constituem a renda são iguais, ela é denominada Constante (Série Uniforme), caso contrário ela é dita variável. Quanto à data do vencimento de cada parcela, a renda pode ser classificada em: Imediata ou Postecipada (quando as parcelas vencem no final de cada período, à partir do primeiro); Antecipada (quando as parcelas vencem no início de cada período, à partir do primeiro) ou Diferida (quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado número de períodos, denominado carência.


125

Capitalização Composta: Neste item vamos estudar a determinação do montante constituído por depósitos periódicos, de quantias constantes (séries uniformes) sobre as quais incide a mesma taxa.

Renda Imediata (Postecipada - modelo básico)

Esse é o caso fundamental de capitalização composta, sendo que os demais casos que estudaremos são meras conseqüências deste. Neste caso, o investidor deposita, no fim de cada período, à partir do primeiro, uma parcela fixa, sob taxa constante de juros compostos, durante um número determinado de períodos. Inicialmente, antes de estudarmos qualquer fórmula, ou tabela financeira específica, vamos analisar um exemplo simples inicial. Sr. “Charles” deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 1000,00. Calcule o montante da renda acumulada, imediatamente a pós o último depósito, sabendo que o banco está pagando juros de 20% ao mês. O fluxo de caixa abaixo esquematiza o nosso exemplo: M 1 2 3 4 5 1000 1000 1000 1000 1000 Teremos o seguinte montante final (soma dos montantes produzidos por cada uma das parcelas) M = 1000 + 1000.(1,2) + 1000.(1,2) + 1000.(1,2) + 1000.(1,2)2 3 4

=

M = 1000.(1 +1,2 + 1,22 + 1,2

3 + 1,2

4) = 1000 . 7,4416 = R$ 7441,60

Na calculadora HP-12C, lembrando-se da simbologia usada para cada elemento, teríamos: 1000 [CHS] PMT 5 n 20 i FV = ? 7441,60 Obs: Pelo exemplo dado, verificamos o esforço e o trabalho “braçal” necessários para os cálculos. Vamos agora conhecer uma fórmula e um fator que já se encontra tabelado para esses casos, de modo a atenuar todo esse trabalho. Consideraremos:

T- Termo (Valor de cada depósito periódico) n - Número de períodos

i-Taxa unitária da operação F = 1 + i - Fator de correção periódico

M = T . (1 + F + F2 + F

3 + .. + F

n-1)


126

Verificamos que a soma entre parênteses é a soma dos n termos de uma progressão geométrica de razão F.

Como a soma dos termos de uma PG é dada pela fórmula: Sq

q =

a - a

- 1n 1.

teremos , nesse caso:

S = F F

F

n−1. -1

- 1 =

1

1

−

−

F

F n

ou então

S = F n - 1

i

A expressão i

iF nn 1)1(

i

1 - −+= é denominada “fator de acumulação de capital” e é

representado pelo símbolo sn i¬ . Desse modo, a nossa fórmula para o cálculo do montante

de uma capitalização composta, no modelo básico ou imediato será:

M = T . sn i¬

Essa forma de calcular, exige a consulta a uma tabela específica (veja no final da apostila), muito usada em concursos onde as máquinas não são permitidas ou ainda em algumas atividades profissionais.

EXEMPLOS:

1) Deposito em um banco, no fim de cada mês, a importância de R$ 800,00, a juros compostos de 25% ao mês. Quanto terei acumulado no fim de um ano?

SOLUÇÃO:

Como é um modelo imediato ou postecipado, teremos:

M = 800 . sn i¬ , sendo que nesse caso n = 12 e i = 25%

Como a tabela financeira que apresentamos no final do livro não atinge a taxa de 25%, teremos que efetuar os cálculos através da fórmula que deduzimos, ou seja:

M = 800 x 13,433662077,548000,25

1 - 25,1 12

== x

2) (AFTN 1991) Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de R$ 12 000,00, ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4% e que o primeiro depósito é feito ao fim do primeiro mês? a) 12 000 : 15,025805 b) 12 000 : (12 . 1,48) c) 12 000 : 9,385074 d) 12 000 : (12 . 1,601032) e) 12 000 : 12

SOLUÇÃO: Verificamos que se trata de uma capitalização composta imediata ou postecipada, com 12 períodos e taxa periódica de 4%, faltando o valor de cada parcela fixa ou termo T.

Logo: T . sn i¬ = 12 000 e , de acordo com a tabela 3, teremos:


127

T . 15,025805 = 12 000, logo T = 12 000 : 15,025805 (Opção A) 3) Quanto uma firma deve depositar no fim de cada mês, a uma taxa de 24% ao ano, capitalizados mensalmente, para dispor, no fim de um ano, do montante de R$ 50 000,00?

Solução:

Temos agora uma capitalização composta, imediata, com M = R$ 50 000,00 , n=12 e i = 24% : 12 = 2% ao mês. Pela fórmula, temos ainda:

T . sn i¬ = 50 000 e de acordo com a tabela 3, dos fatores de capitalização, para n =12 e

i = 2%, teremos: T . 13,412090 = 50 000 ou T = 50 000 : 13,412090 = 3 727,98 Resp. Deve depositar R$ 3 727,98, mensalmente. 4) Uma pessoa aplica R$ 15 000,00 e após 36 meses recebeu a soma total de R$ 61 558,99. Que depósitos mensais constantes produziriam nesse período a mesma soma, se os juros sobre o saldo credor fossem beneficiados com a mesma taxa da primeira hipótese (depósitos postecipados)?

Solução:

Você deve perceber que temos duas situações, sujeitas à mesma taxa; a primeira uma aplicação a juros compostos, constituída de um único depósito de R$ 15 000,00 e de uma retirada de R$ 61 558,99, 36 meses após a aplicação. A segunda que se constitui de uma aplicação de capitalização composta, com 36 depósitos , iguais , no fim de cada mês, com o mesmo montante final.

a) Primeira aplicação: (Juros Compostos)

C. F36

= M ou 15 000 . F

36 = 61 558,99 , logo

F36

= 61 558,99 : 15 000 = 4,103932. Procurando-se este valor na tabela 1, na linha de n = 36, obteremos taxa i = 4% ao mês.

b) Segunda Aplicação: (Capitalização Composta)

T . sn i¬ = 61 558,99 e agora, de acordo com a tabela 3, para n = 36 e i = 4% , teremos

que sn i¬ = 77,598314 , então

T . 77,598314 = 61 558,99 . Concluímos que T = 793,30

Montante de uma renda Antecipada.

Neste caso os depósitos periódicos constantes ocorrem no início de cada período, n parcelas de valor T, a uma taxa unitária i, referida à mesma unidade do período constante de aplicação. O montante final é exigível um período após a última aplicação.


128

M 0 1 2 3 4 ... n-1 n T T T T T T T A maneira mais prática de calcular o montante acumulado com os n depósitos antecipados é calcular o montante como se fosse uma renda postecipada e multiplicar a resposta obtida por (1 + i), que é o nosso fator de correção referente à taxa do investimento. Note que ao multiplicarmos este caso pelo fator F, estaremos “deslocando” cada depósito T de um período para a direita, o que transformará este caso no anterior.

Mant

= T . sn i¬ . F

EXEMPLOS: 1) Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 1000,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juro de 2% ao mês, capitalizados mensalmente.

Solução:

Como é um caso de renda antecipada, teremos

Mant

= T . sn i¬ . F ou então:

1000 . sn i¬ . 1,02 =

1000 . 5,20404 . 1,02 = 5308,12 2) Quanto se deve depositar, no início de cada semestre, numa instituição financeira que paga 18% ao ano, para constituir , um semestre após a última aplicação, um montante de R$ 500 000,00, após 3 anos de depósitos, sendo que os juros são capitalizados semestralmente?

Solução: Trata-se de uma capitalização composta antecipada, onde a taxa nominal é de 18% ao ano, como a capitalização é semestral, utilizaremos a taxa de 9% ao semestre.

T . sn i¬ .1,09 = 500 000 , como o período de 3 anos corresponde a 6 semestres,

procuraremos na tabela 3 a linha n = 6 e i = 9% e encontraremos o valor 7,52333. T . 7,52333 . 1,09 = 500 000, ou seja T . 8,2004297 = 500 000 Teremos , T = 500 000 : 8,2004297 = 60 972,41 Resp. Cada um dos 6 depósitos deverá ser de R$ 60 972,41 3) Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 15 614,00 serão necessários para constituir o montante de R$ 200 000,00, à taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente?

Solução:

Tabela 3


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Usaremos agora uma taxa de 1% ao mês, pois 12% ao ano é taxa nominal.

T . sn i¬ .1,01 = 200 000, ou seja ,

15 614 . 1,01 . sn i¬ = 200 000

15 770,14 . sn i¬ = 200 000, ou ainda sn i¬ = 200 000 : 15 770,14

Teremos que o fator de capitalização sn i¬ será igual a 12,682195 , que se for procurado

na tabela 3, na coluna correspondente a 1%, obteremos n = 12. Logo serão necessários 12 depósitos.

AMORTIZAÇÃO COMPOSTA: Vamos agora aprender como calcular o valor atual de uma dívida (ou de um empréstimo, ou o valor à vista de uma mercadoria) , que será paga em prestações periódicas constantes, sobre as quais incide a mesma taxa. Valor Atual de uma Renda Imediata (Postecipada) É o nosso modelo básico, como no capítulo anterior, todos os demais casos recairão nesse. Para determinar o valor atual de uma dívida a ser amortizada em n parcelas iguais e periódicas postecipadas, basta retroagir cada parcela à data zero, como fizemos nos fluxos de caixa dos descontos compostos. Vejamos um exemplo introdutório, antes de estudarmos uma maneira mais prática com as tabelas específicas para este caso. Vamos determinar o valor da dívida que está sendo amortizada em 5 prestações mensais de R$1000,00, postecipadas, sob taxa de 2% ao mês, sobre o saldo devedor. Analisemos o fluxo de caixa desta situação: A=? 0 1 2 3 4 5 1000 1000 1000 1000 1000 Retroagindo à data zero, como já estudamos anteriormente, teremos: A= 5- 4- 3- 2- 1 1000.1,02 + 1000.1,02 + 1000.1,02 + 1000.1,02 + 02,1.1000 − Consultando a tabela 2, de desconto composto, teremos: A = 980,39 + 961,17 + 942,32 + 933,85 + 905,73 = 4713,46 OBS: Verifique que, da mesma forma que na capitalização composta, poderíamos ter colocado “em evidência” o termo 1000, e os valores que apareceriam somados entre parênteses constituiriam também uma PG. Estas somas das PGs que se obtém também se


130

encontram tabeladas (Tabela 4) e são denominadas fatores de amortização (Símbolo

n ia¬ ).

Generalizando o que vimos no exemplo introdutório deste capítulo, para n pagamentos postecipados e periódicos sob taxa i%, teremos

A = ( )T . F + F + F + ....F -1 -2 -3 -n

= T. n ia¬

Se nós calcularmos a soma dos termos da PG que surgiu entre parênteses, aplicando a

fórmula respectiva (1 - q

a - .qa = S 1n ), obteremos:

n ia¬ =

1F

F.FF1

11n

−

−−

−−−

Essa expressão obtida, feitas as devidas simplificações, nos leva

à fórmula:

n ia¬ = n

n

n

n

i)i.(1

1i)(1

F . i

1 - F

+

−+=

Você não precisa “decorar” esta última fórmula apresentada, mas ela será útil para obtermos fatores de amortização não tabelados.

Exemplos:

1) Qual a quantia amortizada após o pagamento de 20 prestações de R$ 300,00, num financiamento pelo modelo Price (modelo básico postecipado), à base de 6% ao mês?

Solução: Tabela 4, n = 20 e i = 6%

A = T. n ia¬ = 300 . 11,469921 = 3440,98

2) Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 100 000,00 para ser pago em 8 prestações iguais, mensais e postecipadas , sob taxa de juro composto de 10% ao mês. Qual o valor de cada prestação?

Solução:

T. n ia¬ = 100 000 ou T . 5,334926 = 100 000

T = 100 000 : 5,334926 = 18 744,40 As prestações serão de R$ 18 744,40

3) Uma copiadora está sendo vendida por R$ 10 000,00 à vista ou em 10 prestações mensais, iguais e consecutivas (Price) de R$ 1404,00, sem entrada. Qual a taxa de juro mensal desse financiamento?


131

Solução:

1404 . n ia¬ = 10 000, logo

n ia¬ = 10 000 : 1404 = 7,122507

Se você procurar este valor na tabela 4, na linha correspondente a n=10, não encontrará e terá de fazer um cálculo aproximado, que é a interpolação linear. 6% 7,360087 i% 7,122507 7% 7,023581 Teremos, então a seguinte regra de três das diferenças: 1% ___________ 0,336506 x ____________ 0,237580 x = 0,237580 : 0,336506 = 0,71 Logo, a taxa procurada é de aproximadamente 6,71% ao mês.

Valor Atual de uma Renda Antecipada: Se os pagamentos de cada parcela forem efetuados no início de cada período , teremos uma renda antecipada e valem as mesmas considerações do montante da renda antecipada, ou seja, o cálculo que vimos anteriormente deverá ser multiplicado pelo fator de correção F, correspondente à taxa do financiamento.

Aant

= T . n ia¬ . F

Exemplo: (PUC-RJ - 1991) Uma geladeira pode ser comprada à vista por R$ 2000,00 ou em 3 prestações mensais iguais , sendo que a primeira delas é paga no ato da compra. Se o vendedor cobra juros de 30% ao mês, sobre o saldo devedor, o valor de cada prestação será:

Solução: Como se trata de renda antecipada, teremos:

2000 = T. n ia¬ . 1,3 , logo , teremos:

2000 = T . 1,816113. 1,3 , ou T = 2000 : 2,3609469 = 847,12 Valor Atual de uma Renda Diferida: Quando uma compra ou empréstimo tem uma carência de k períodos , ou seja, o primeiro pagamento é efetuado no período k + 1, devemos calcular o valor atual como se a data zero (focal) fosse o período k, em seguida devemos retroagir ao zero original, bastando dividir o valor obtido por F

k .


132

Adif

= T.a

Fn ik¬

A’ A

0 ..... k k+1 k+2 k+3

T T T Obs: Tome cuidado para não confundir o prazo de carência com a data do primeiro pagamento. Por exemplo, se o primeiro pagamento for efetuado 6 meses após a compra, com pagamentos mensais, a carência será de 5 meses, pois o que nos serve como comparação é o modelo básico e, nele, o primeiro pagamento seria efetuado 1 mês após a compra e a carência será igual a 5 meses que é a diferença entre 6 e 1. Exemplo: Uma compra foi efetuada em 4 parcelas de R$ 500,00, com o primeiro pagamento feito a 3 meses da compra, sob taxa de 20% ao mês. Qual o valor à vista , na data da compra?

Solução:

É uma compra com carência de 2 meses, logo, faremos o cálculo normal do valor atual na data 3, com n=4 e i = 20%, depois dividimos o resultado pelo fator (1,2)

2 .

A’ = 500 . n ia¬ = 500 . 2,588734 (Tabela 4) = 1294,37

A = 1294,37 : (1,2)

2 = 898,87

EXERCÍCIOS 1) (Fiscal de Rendas - RJ - 1987) O preço de um automóvel e de R$ 50 000,00. Um comprador ofereceu R$ 20 000,00 de entrada e o pagamento do saldo restante em 12 prestações mensais iguais, sob taxa de juro composto de 5% ao mês. O valor de cada prestação, desprezados os centavos, é: a) R$ 3 684,70 b) R$ 2 584,70 c) R$ 3 184,70 d) R$ 3 084,70 e) R$ 3 384,70 2) (Fiscal de Rendas - RJ - 1987) Uma roupa é vendida por R$ 400,00 à vista ou financiada em 5 prestações mensais iguais, sem entrada. A taxa de juros é de 24% a.a, pelo sistema Price (taxa nominal). A primeira prestação vence 1 mês após a compra. O valor da prestação, desprezados os centavos, e a taxa de juro efetiva cobrada, em termos anuais, são, respectivamente: a)R$ 84,80; 24,8% b)R$ 85,80; 26,8% c)R$ 87,80; 26,8% d)R$ 84,80; 26,8%e) R$ 85,80 e 24,8% 3) Uma pessoa deposita num banco, no fim de cada mês, a quantia de R$ 450,00. Calcular o montante, ao fim de 2 anos, sabendo-se que os juros são nominais de 24% a.a, com capitalização mensal. a)R$ 13 689,83 b)R$ 12 345,00 c)R$ 14 356,78 d)R$ 12 345,90 e)R$ 16 780,00


133

4) Quanto se deve depositar, no fim de cada trimestre, a juros de 28% a.a, para, ao fim de 1 ano e meio, obter-se o disponível de R$ 800 000,00, sendo capitalização trimestral? a)R$ 112 345,00 b)R$ 111 836,00 c)R$ 115 450,00 d)R$ 97 890,00 e)R$ 123 890,00 5) Calcular o valor atual de uma renda imediata, constituída por pagamentos trimestrais iguais a R$ 4 800,00, à taxa de 36%a.a, durante 2 anos, capitalizados trimestralmente. a) R$ 23 789,00 b) R$ 24 56 7 ,80 c) R$ 25 600,00 d) R$ 26 567,13 e) R$ 28 900,00 6) Uma máquina de R$ 8 500,00 é vendida com 15% de entrada e 8 prestações mensais imediatas de R$ 1000,00. Calcular a taxa de juro composto mensal cobrada pela loja. a) 3,5% b) 2,39% c) 2,78 % d) 2,329% e) 3,21% 7) Um imóvel foi adquirido com R$ 70 000,00 de entrada e 20 prestações mensais postecipadas de R$ 9 000,00 cada uma. Calcular o custo, à vista do imóvel, sabendo que a taxa de juros compostos cobrada é de 25% ao mês. a)R$ 230 000,00 b)R$ 105 584,94 c)R$ 156 786,00 d)R$ 134 567,80 e)R$ 219 000,00 8) Calcular o montante final, acumulado por 10 depósitos mensais imediatos de R$ 1 500,00, sob taxa de juro composto mensal de 10%. a) R$ 24 560,00 b) R$ 32 600,00 c) R$ 24 566,35 d) R$ 23 906,13 e) R$ 21 900,00 9) Qual seria o montante do exercício anterior, se as parcelas fossem antecipadas, sujeitas às mesmas condições? a) R$ 26 790,00 b) R$ 24 500,00 c) R$ 26 296,75 d) R$ 28 000,00 e) R$ 32 500,00 10) Na porta de um banco lia-se: “ Deposite mensalmente R$ 100,00 e, após 24 meses, retire R$ 3 442,65”. Qual a taxa mensal de juro composto que o banco está remunerando esse investimento? a) 1% b) 2% c) 3% d) 4% e) 5% 11) Qual o valor da prestação mensal de um financiamento de R$ 3 500,00, feito em 10 meses, modelo básico a 2% ao mês? a) R$ 389,64 b) R$ 432,68 c) R$ 345,50 d)R$ 380,00 e) R$ 239,89 12) Qual o valor atual de uma renda antecipada de 9 parcelas iguais a R$120,00, com taxa de 3% ao período? a) R$ 845,00 b) R$ 980,70 c) R$ 1230,00 d) R$ 975,90 e) R$ 962,36 13) Calcular o valor atual de uma renda mensal, postecipada, de 12 termos iguais a R$200,00, com carência de 4 meses, sendo 5% ao mês a taxa de juros compostos? a)R$1458,36 b)R$1560,00 c)R$1562,00 d)R$1235,89 e)R$1469,89 14) Uma pessoa aplicou R$ 1500,00 e, após 36 meses , recebeu a soma total de R$ 6155,90. Que depósitos mensais postecipados, nesse período, produziriam a mesma soma, se os juros compostos, sobre o saldo credor, fossem beneficiados com a mesma taxa da primeira hipótese? a) R$ 82,35 b) R$ 123,00 c)R$ 79,33 d) R$ 92,00 e) R$ 75,00 15) Um microcomputador, que está custando R$ 4 800,00 à vista, foi vendido em 3 prestações mensais iguais e consecutivas, sem entrada. Sabendo-se que a primeira prestação só será paga 30 dias após a compra, o valor da prestação mensal, à taxa de juros compostos de 13% ao mês, será de: (desprezar os centavos no resultado final) a) R$ 2032,00 b) R$ 1799,00 c)R$ 2877,00 d) R$ 1613,00 e) R$ 2546,00


134

16) Uma imobiliária oferece, em lançamento, uma pequena chácara, nas seguintes condições: 1) Entrada: R$ 2 0 000,00 2) 36 prestações mensais de R$ 1000,00 3) 2 parcelas intermediárias semestrais de R$ 4000,00(6º mês e 12º mês). Qual o preço à vista da chácara, uma vez que a taxa efetiva de juros compostos de mercado é de 10% ao mês? a) R$ 32 450,00 b) R$ 33 208,00 c) R$ 43 200,00 d) R$ 34 580,00 e) R$ 56 500,00 17) A loja “Kobra Karo” está com uma promoção sensacional: - à vista, com 30% de desconto -à prazo, com um pequeno acréscimo de 20%, em 3 prestações mensais iguais, sendo a primeira no ato da compra. Qual a taxa de juro mensal, efetivamente cobrada pela loja? a) 20% b) 25% c) 30% d) 40% e) 100% 18) Daniela comprou um exaustor e vai pagá-lo em duas prestações: R$ 180,00, um mês após a compra R$ 200,00, dois meses após a compra. Sabendo-se que estão sendo cobrados juros de 25% sobre o saldo devedor, podemos afirmar que o preço à vista do aparelho era de: a) R$ 138,00 b) R$ 237,50 c) R$ 272,00 d) R$ 285,00 e) R$ 304,00 19) Determine o número de aplicações bimestrais e iguais a R$ 900,00, necessárias para se ter um montante de R$ 11 863,00, considerando-se uma taxa efetiva de 6% ao bimestre e uma renda imediata. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 20) Quantos pagamentos bimestrais antecipados de R$ 40 838,00 são necessários para amortizar uma dívida de R$ 150 000,00, com juros de 36% ao ano, com capitalização bimestral? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

��GABARITO (Capitalização e Amortização Compostas)

01) E 02) D 03) A 04) B 05) D 06) D 07) B 08) D 09) C 10) C 11) A 12) E 13) A 14) C 15) A 16) B 17) E 18) C 19) D 20) B


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Trabalhando com a notícia:

A armadilha dos juros embutidos

Promoções de parcelas fixas escondem taxas de até 300% ao ano em caso de desconto no pagamento à vista. Saída é pesquisar

BRUNO ROSA – JB DOMINGO , 9 DE NOVEMBRO DE 2003

Não há quem resista a uma vitrine cheia de promoções. Ainda mais quando oferecem diversas formas de parcelamento, supostamente sem juros. Com a proximidade do Natal e o consumo dando os primeiros sinais de recuperação, o comércio varejista aproveita para preparar uma de suas principais armadilhas: os juros embutidos. Em alguns casos, um desconto trivial pode revelar juros ocultos de quase 300% ao ano.

- Ao ter a possibilidade de fazer descontos no pagamento à vista, o lojista já está tendo o seu ganho. Ou seja, ele já repassou os juros no preço inicial. Por isso, ele pode fazer um parcelamento sem cobrar mais. E os consumidores sempre caem nessa, achando que não há juros nos preços - disse o professor Roberto Zentgraf, coordenador do MBA em Finanças do Ibmec Business School.

Munido de uma calculadora financeira, que permite contabilizar os juros em compras parceladas, Zentgraf acompanhou uma equipe de reportagem do Jornal do Brasil pelas ruas do Centro do Rio e flagrou uma série de arapucas para o consumidor desavisado.

- A melhor maneira de tentar reduzir o impacto dos juros no orçamento é optar pelo pagamento à vista. Mas como nem todos têm essa possibilidade, a saída é negociar e pesquisar um financiamento que não seja tão prejudicial - explicou Zentgraf.

Numa loja de artigos eletrônicos, câmeras fotográficas digitais eram oferecidas em seis vezes sem juros, com preço total de R$ 1.599. Para quem comprasse à vista, no entanto, o desconto chegava a 10%. Mas, com a desculpa de que novos estoques estariam chegando no dia seguinte, o vendedor da rede ofereceu um abatimento de 23,45%. Com isso, calculou o professor, os juros embutidos chegam a 12,13% ao mês. No ano, a opção pelo parcelamento acaba saindo por uma taxa de 295%.

- Os vendedores sabem jogar com a ansiedade dos consumidores, falando que a promoção só vale naquele determinado dia se comprar à vista - alertou Zentgraf.

O advogado José Armando Falcão, da Falcão & Associados Advogados, não vê problemas legais na prática dos juros embutidos. Para ele, tudo se resume à lei da oferta e da procura.

- Esse é um ato de comércio. O varejista tem a liberdade para estipular o preço que julgar melhor e o consumidor tem a opção de escolher onde quer comprar. Por isso, a melhor opção é sempre pesquisar - disse Falcão.

É o que faz a aposentada Luzia Barroso, de 60 anos. Ela é do tipo de cliente que pergunta tudo aos vendedores. Além de tirar todas as dúvidas, costuma pesquisar os preços e as taxas de juros quando compra a prazo.

- O mais importante é pesquisar. Sempre tento comprar à vista, mas nem sempre é possível. Desde os tempos de Getúlio Vargas, os últimos quatro anos têm sido os mais difíceis para comprar à vista - disse.


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Com o intuito de adquirir uma máquina de lavar com capacidade para oito quilos, Luzia contou com a ajuda de Zentgraf na hora de pesquisar os juros. Entre sustos e descobertas, a aposentada viu, na segunda loja pesquisada, a taxa anual de juros desabar de 98,2% (da primeira loja) para 26,68%.

Na primeira loja visitada por Luzia, o preço à vista era R$ 1.025. Em 20 parcelas de R$ 83,50, a máquina de lavar saía por R$ 1.670. Na loja ao lado, a diferença entre um pagamento à vista e parcelado não era tão grande. À vista, o eletrodoméstico era vendido por R$ 1.049. A prazo, o preço subia para R$ 1.161, somando entrada de R$ 209,80 e 12 parcelas de R$ 79,30.

- Quando se faz uma pesquisa, fica evidente a diferença. No primeiro caso, o consumidor que topar o financiamento, em vez de comprar à vista, estará pagando, na realidade, juros de 5,87% ao mês ou 98,2% ao ano. Já na segunda loja consultada, o financiamento tem juros de 1,99% ao mês ou 26,68% ao ano. Por isso, essa opção é mais vantajosa já que, ao longo desses meses, os juros acabam sendo menores - analisou Zentgraf.

Ao sentir a diferença, Luzia viu a importância de analisar não só os preços, mas as taxas de juros escondidas.

- A partir de agora as coisas vão mudar. Vou olhar com mais atenção todos esses detalhes e não cair em papo de vendedor - concluiu.

Erro encontrado na notícia:

1) Numa loja de artigos eletrônicos, câmeras fotográficas digitais eram oferecidas em seis vezes sem juros, com preço total de R$ 1.599... mas, com a desculpa de que novos estoques estariam chegando no dia seguinte, o vendedor da rede ofereceu um abatimento de 23,45%. Com isso, calculou o professor, os juros embutidos chegam a 12,13% ao mês. No ano, a opção pelo parcelamento acaba saindo por uma taxa de 295%.

Vamos mostrar que essa parte da reportagem está errada. Como à vista a loja oferecia um desconto de 23,45%, teremos 0,7655 x 1599,00 ≅ 1224,03 (preço à vista). Como as prestações eram todas iguais (Price), teremos 6 prestações de 266,50. Se a taxa de juros (ao mês) que está na reportagem fosse correta, teríamos:

A = 1091,67 4,0963 x 50,266(1,1213) x 1213,0

1(1,1213) x 50,266a x 50,266

6

6

i n ==−

=¬

Ou seja, o desconto teria de ser bem maior para acarretar os juros mensais de 12,13%. Qual deveria ser essa taxa de desconto? 1091,67 : 1599 = 0,683 o que corresponde a um desconto de 31,7% (100 – 68,3).

2) Na última parte do texto, referente à compra de Luzia, verificamos também um pequeno erro. Descubra qual foi o erro cometido pela reportagem.


137

ANEXO: TABELAS FINANCEIRAS

TÁBUA 1 TÁBUA 2 TÁBUA 3 TÁBUA 4

1% (1 )ni+ (1 ) ni −+

n(1 + i) 1 i = n

i

s−

¬

n

n

(1 + i) 1 i =

. (1 + i) n

i

a−

¬

n 1 1,010000 0,990099 1,000000 0,990099 2 1,020100 0,980296 2,010000 1,970395 3 1,030301 0,970590 3,030100 2,940985 4 1,040604 0,960980 4,060401 3,901966 5 1,051010 0,951466 5,101005 4,853431 6 1,061520 0,942045 6,152015 5,795476 7 1,072135 0,932718 7,213535 6,728195 8 1,082857 0,923483 8,285671 7,651678 9 1,093685 0,914340 9,368527 8,566018

10 1,104622 0,905287 10,462213 9,471305 11 1,115668 0,896324 11,566835 10,367628 12 1,126825 0,887449 12,682503 11,255077 13 1,138093 0,878663 13,809328 12,133740 14 1,149474 0,869963 14,947421 13,003703 15 1,160969 0,861349 16,096896 13,865053 16 1,172579 0,852821 17,257864 14,717874 17 1,184304 0,844377 18,430443 15,562251 18 1,196147 0,836017 19,614748 16,398269 19 1,208109 0,827740 20,810895 17,226008 20 1,220190 0,819544 22,019004 18,045553 21 1,232392 0,811430 23,239194 18,856983 22 1,244716 0,803396 24,471586 19,660379 23 1,257163 0,795442 25,716302 20,455821 24 1,269735 0,787566 26,973465 21,243387 25 1,282432 0,779768 28,243200 22,023156 26 1,295256 0,772048 29,525631 22,795204 27 1,308209 0,764404 30,820888 23,559608 28 1,321291 0,756836 32,129097 24,316443 29 1,334504 0,749342 33,450388 25,065785 30 1,347849 0,741923 34,784892 25,807708 31 1,361327 0,734577 36,132740 26,542285 32 1,374941 0,727304 37,494068 27,269589 33 1,388690 0,720103 38,869009 27,989693 34 1,402577 0,712973 40,257699 28,702666 35 1,416603 0,705914 41,660276 29,408580 36 1,430769 0,698925 43,076878 30,107505 37 1,445076 0,692005 44,507647 30,799510 38 1,459527 0,685153 45,952724 31,484663 39 1,474123 0,678370 47,412251 32,163033 40 1,488864 0,671653 48,886373 32,834686


138


2% (1 )ni+ (1 ) ni −+

n(1 + i) 1 i = n

i

s−

¬

n

n

(1 + i) 1 i =

. (1 + i) n

i

a−

¬

n 1 1,020000 0,980392 1,000000 0,980392 2 1,040400 0,961169 2,020000 1,941561 3 1,061208 0,942322 3,060400 2,883883 4 1,082432 0,923845 4,121608 3,807729 5 1,104081 0,905731 5,204040 4,713460 6 1,126162 0,887971 6,308121 5,601431 7 1,148686 0,870560 7,434283 6,471991 8 1,171659 0,853490 8,582969 7,325481 9 1,195093 0,836755 9,754628 8,162237

10 1,218994 0,820348 10,949721 8,982585 11 1,243374 0,804263 12,168715 9,786848 12 1,268242 0,788493 13,412090 10,575341 13 1,293607 0,773033 14,680332 11,348374 14 1,319479 0,757875 15,973938 12,106249 15 1,345868 0,743015 17,293417 12,849264 16 1,372786 0,728446 18,639285 13,577709 17 1,400241 0,714163 20,012071 14,291872 18 1,428246 0,700159 21,412312 14,992031 19 1,456811 0,686431 22,840559 15,678462 20 1,485947 0,672971 24,297370 16,351433 21 1,515666 0,659776 25,783317 17,011209 22 1,545980 0,646839 27,298984 17,658048 23 1,576899 0,634156 28,844963 18,292204 24 1,608437 0,621721 30,421862 18,913926 25 1,640606 0,609531 32,030300 19,523456 26 1,673418 0,597579 33,670906 20,121036 27 1,706886 0,585862 35,344324 20,706898 28 1,741024 0,574375 37,051210 21,281272 29 1,775845 0,563112 38,792235 21,844385 30 1,811362 0,552071 40,568079 22,396456 31 1,847589 0,541246 42,379441 22,937702 32 1,884541 0,530633 44,227030 23,468335 33 1,922231 0,520229 46,111570 23,988564 34 1,960676 0,510028 48,033802 24,498592 35 1,999890 0,500028 49,994478 24,998619 36 2,039887 0,490223 51,994367 25,488842 37 2,080685 0,480611 54,034255 25,969453 38 2,122299 0,471187 56,114940 26,440641 39 2,164745 0,461948 58,237238 26,902589 40 2,208040 0,452890 60,401983 27,355479


139


3% (1 )ni+ (1 ) ni −+

n(1 + i) 1 i = n

i

s−

¬

n

n

(1 + i) 1 i =

. (1 + i) n

i

a−

¬

n 1 1,030000 0,970874 1,000000 0,970874 2 1,060900 0,942596 2,030000 1,913470 3 1,092727 0,915142 3,090900 2,828611 4 1,125509 0,888487 4,183627 3,717098 5 1,159274 0,862609 5,309136 4,579707 6 1,194052 0,837484 6,468410 5,417191 7 1,229874 0,813092 7,662462 6,230283 8 1,266770 0,789409 8,892336 7,019692 9 1,304773 0,766417 10,159106 7,786109

10 1,343916 0,744094 11,463879 8,530203 11 1,384234 0,722421 12,807796 9,252624 12 1,425761 0,701380 14,192030 9,954004 13 1,468534 0,680951 15,617790 10,634955 14 1,512590 0,661118 17,086324 11,296073 15 1,557967 0,641862 18,598914 11,937935 16 1,604706 0,623167 20,156881 12,561102 17 1,652848 0,605016 21,761588 13,166118 18 1,702433 0,587395 23,414435 13,753513 19 1,753506 0,570286 25,116868 14,323799 20 1,806111 0,553676 26,870374 14,877475 21 1,860295 0,537549 28,676486 15,415024 22 1,916103 0,521893 30,536780 15,936917 23 1,973587 0,506692 32,452884 16,443608 24 2,032794 0,491934 34,426470 16,935542 25 2,093778 0,477606 36,459264 17,413148 26 2,156591 0,463695 38,553042 17,876842 27 2,221289 0,450189 40,709634 18,327031 28 2,287928 0,437077 42,930923 18,764108 29 2,356566 0,424346 45,218850 19,188455 30 2,427262 0,411987 47,575416 19,600441 31 2,500080 0,399987 50,002678 20,000428 32 2,575083 0,388337 52,502759 20,388766 33 2,652335 0,377026 55,077841 20,765792 34 2,731905 0,366045 57,730177 21,131837 35 2,813862 0,355383 60,462082 21,487220 36 2,898278 0,345032 63,275944 21,832252 37 2,985227 0,334983 66,174223 22,167235 38 3,074783 0,325226 69,159449 22,492462 39 3,167027 0,315754 72,234233 22,808215 40 3,262038 0,306557 75,401260 23,114772


140


4% (1 )ni+ (1 ) ni −+

n(1 + i) 1 i = n

i

s−

¬

n

n

(1 + i) 1 i =

. (1 + i) n

i

a−

¬

n 1 1,040000 0,961538 1,000000 0,961538 2 1,081600 0,924556 2,040000 1,886095 3 1,124864 0,888996 3,121600 2,775091 4 1,169859 0,854804 4,246464 3,629895 5 1,216653 0,821927 5,416323 4,451822 6 1,265319 0,790315 6,632975 5,242137 7 1,315932 0,759918 7,898294 6,002055 8 1,368569 0,730690 9,214226 6,732745 9 1,423312 0,702587 10,582795 7,435332 10 1,480244 0,675564 12,006107 8,110896 11 1,539454 0,649581 13,486351 8,760477 12 1,601032 0,624597 15,025805 9,385074 13 1,665074 0,600574 16,626838 9,985648 14 1,731676 0,577475 18,291911 10,563123 15 1,800944 0,555265 20,023588 11,118387 16 1,872981 0,533908 21,824531 11,652296 17 1,947900 0,513373 23,697512 12,165669 18 2,025817 0,493628 25,645413 12,659297 19 2,106849 0,474642 27,671229 13,133939 20 2,191123 0,456387 29,778079 13,590326 21 2,278768 0,438834 31,969202 14,029160 22 2,369919 0,421955 34,247970 14,451115 23 2,464716 0,405726 36,617889 14,856842 24 2,563304 0,390121 39,082604 15,246963 25 2,665836 0,375117 41,645908 15,622080 26 2,772470 0,360689 44,311745 15,982769 27 2,883369 0,346817 47,084214 16,329586 28 2,998703 0,333477 49,967583 16,663063 29 3,118651 0,320651 52,966286 16,983715 30 3,243398 0,308319 56,084938 17,292033 31 3,373133 0,296460 59,328335 17,588494 32 3,508059 0,285058 62,701469 17,873551 33 3,648381 0,274094 66,209527 18,147646 34 3,794316 0,263552 69,857909 18,411198 35 3,946089 0,253415 73,652225 18,664613 36 4,103933 0,243669 77,598314 18,908282 37 4,268090 0,234297 81,702246 19,142579 38 4,438813 0,225285 85,970336 19,367864 39 4,616366 0,216621 90,409150 19,584485 40 4,801021 0,208289 95,025516 19,792774


141


5% (1 )ni+ (1 ) ni −+

n(1 + i) 1 i = n

i

s−

¬

n

n

(1 + i) 1 i =

. (1 + i) n

i

a−

¬

n 1 1,050000 0,952381 1,000000 0,952381 2 1,102500 0,907029 2,050000 1,859410 3 1,157625 0,863838 3,152500 2,723248 4 1,215506 0,822702 4,310125 3,545951 5 1,276282 0,783526 5,525631 4,329477 6 1,340096 0,746215 6,801913 5,075692 7 1,407100 0,710681 8,142008 5,786373 8 1,477455 0,676839 9,549109 6,463213 9 1,551328 0,644609 11,026564 7,107822

10 1,628895 0,613913 12,577893 7,721735 11 1,710339 0,584679 14,206787 8,306414 12 1,795856 0,556837 15,917127 8,863252 13 1,885649 0,530321 17,712983 9,393573 14 1,979932 0,505068 19,598632 9,898641 15 2,078928 0,481017 21,578564 10,379658 16 2,182875 0,458112 23,657492 10,837770 17 2,292018 0,436297 25,840366 11,274066 18 2,406619 0,415521 28,132385 11,689587 19 2,526950 0,395734 30,539004 12,085321 20 2,653298 0,376889 33,065954 12,462210 21 2,785963 0,358942 35,719252 12,821153 22 2,925261 0,341850 38,505214 13,163003 23 3,071524 0,325571 41,430475 13,488574 24 3,225100 0,310068 44,501999 13,798642 25 3,386355 0,295303 47,727099 14,093945 26 3,555673 0,281241 51,113454 14,375185 27 3,733456 0,267848 54,669126 14,643034 28 3,920129 0,255094 58,402583 14,898127 29 4,116136 0,242946 62,322712 15,141074 30 4,321942 0,231377 66,438848 15,372451 31 4,538039 0,220359 70,760790 15,592811 32 4,764941 0,209866 75,298829 15,802677 33 5,003189 0,199873 80,063771 16,002549 34 5,253348 0,190355 85,066959 16,192904 35 5,516015 0,181290 90,320307 16,374194 36 5,791816 0,172657 95,836323 16,546852 37 6,081407 0,164436 101,628139 16,711287 38 6,385477 0,156605 107,709546 16,867893 39 6,704751 0,149148 114,095023 17,017041 40 7,039989 0,142046 120,799774 17,159086


142


6% (1 )ni+ (1 ) ni −+

n(1 + i) 1 i = n

i

s−

¬

n

n

(1 + i) 1 i =

. (1 + i) n

i

a−

¬

n 1 1,060000 0,943396 1,000000 0,943396 2 1,123600 0,889996 2,060000 1,833393 3 1,191016 0,839619 3,183600 2,673012 4 1,262477 0,792094 4,374616 3,465106 5 1,338226 0,747258 5,637093 4,212364 6 1,418519 0,704961 6,975319 4,917324 7 1,503630 0,665057 8,393838 5,582381 8 1,593848 0,627412 9,897468 6,209794 9 1,689479 0,591898 11,491316 6,801692

10 1,790848 0,558395 13,180795 7,360087 11 1,898299 0,526788 14,971643 7,886875 12 2,012196 0,496969 16,869941 8,383844 13 2,132928 0,468839 18,882138 8,852683 14 2,260904 0,442301 21,015066 9,294984 15 2,396558 0,417265 23,275970 9,712249 16 2,540352 0,393646 25,672528 10,105895 17 2,692773 0,371364 28,212880 10,477260 18 2,854339 0,350344 30,905653 10,827603 19 3,025600 0,330513 33,759992 11,158116 20 3,207135 0,311805 36,785591 11,469921 21 3,399564 0,294155 39,992727 11,764077 22 3,603537 0,277505 43,392290 12,041582 23 3,819750 0,261797 46,995828 12,303379 24 4,048935 0,246979 50,815577 12,550358 25 4,291871 0,232999 54,864512 12,783356 26 4,549383 0,219810 59,156383 13,003166 27 4,822346 0,207368 63,705766 13,210534 28 5,111687 0,195630 68,528112 13,406164 29 5,418388 0,184557 73,639798 13,590721 30 5,743491 0,174110 79,058186 13,764831 31 6,088101 0,164255 84,801677 13,929086 32 6,453387 0,154957 90,889778 14,084043 33 6,840590 0,146186 97,343165 14,230230 34 7,251025 0,137912 104,183755 14,368141 35 7,686087 0,130105 111,434780 14,498246 36 8,147252 0,122741 119,120867 14,620987 37 8,636087 0,115793 127,268119 14,736780 38 9,154252 0,109239 135,904206 14,846019 39 9,703507 0,103056 145,058458 14,949075 40 10,285718 0,097222 154,761966 15,046297


143


7% (1 )ni+ (1 ) ni −+

n(1 + i) 1 i = n

i

s−

¬

n

n

(1 + i) 1 i =

. (1 + i) n

i

a−

¬

n 1 1,070000 0,934579 1,000000 0,934579 2 1,144900 0,873439 2,070000 1,808018 3 1,225043 0,816298 3,214900 2,624316 4 1,310796 0,762895 4,439943 3,387211 5 1,402552 0,712986 5,750739 4,100197 6 1,500730 0,666342 7,153291 4,766540 7 1,605781 0,622750 8,654021 5,389289 8 1,718186 0,582009 10,259803 5,971299 9 1,838459 0,543934 11,977989 6,515232

10 1,967151 0,508349 13,816448 7,023582 11 2,104852 0,475093 15,783599 7,498674 12 2,252192 0,444012 17,888451 7,942686 13 2,409845 0,414964 20,140643 8,357651 14 2,578534 0,387817 22,550488 8,745468 15 2,759032 0,362446 25,129022 9,107914 16 2,952164 0,338735 27,888054 9,446649 17 3,158815 0,316574 30,840217 9,763223 18 3,379932 0,295864 33,999033 10,059087 19 3,616528 0,276508 37,378965 10,335595 20 3,869684 0,258419 40,995492 10,594014 21 4,140562 0,241513 44,865177 10,835527 22 4,430402 0,225713 49,005739 11,061240 23 4,740530 0,210947 53,436141 11,272187 24 5,072367 0,197147 58,176671 11,469334 25 5,427433 0,184249 63,249038 11,653583 26 5,807353 0,172195 68,676470 11,825779 27 6,213868 0,160930 74,483823 11,986709 28 6,648838 0,150402 80,697691 12,137111 29 7,114257 0,140563 87,346529 12,277674 30 7,612255 0,131367 94,460786 12,409041 31 8,145113 0,122773 102,073041 12,531814 32 8,715271 0,114741 110,218154 12,646555 33 9,325340 0,107235 118,933425 12,753790 34 9,978114 0,100219 128,258765 12,854009 35 10,676581 0,093663 138,236878 12,947672 36 11,423942 0,087535 148,913460 13,035208 37 12,223618 0,081809 160,337402 13,117017 38 13,079271 0,076457 172,561020 13,193473 39 13,994820 0,071455 185,640292 13,264928 40 14,974458 0,066780 199,635112 13,331709


144


8% (1 )ni+ (1 ) ni −+

n(1 + i) 1 i = n

i

s−

¬

n

n

(1 + i) 1 i =

. (1 + i) n

i

a−

¬

n 1 1,080000 0,925926 1,000000 0,925926 2 1,166400 0,857339 2,080000 1,783265 3 1,259712 0,793832 3,246400 2,577097 4 1,360489 0,735030 4,506112 3,312127 5 1,469328 0,680583 5,866601 3,992710 6 1,586874 0,630170 7,335929 4,622880 7 1,713824 0,583490 8,922803 5,206370 8 1,850930 0,540269 10,636628 5,746639 9 1,999005 0,500249 12,487558 6,246888

10 2,158925 0,463193 14,486562 6,710081 11 2,331639 0,428883 16,645487 7,138964 12 2,518170 0,397114 18,977126 7,536078 13 2,719624 0,367698 21,495297 7,903776 14 2,937194 0,340461 24,214920 8,244237 15 3,172169 0,315242 27,152114 8,559479 16 3,425943 0,291890 30,324283 8,851369 17 3,700018 0,270269 33,750226 9,121638 18 3,996019 0,250249 37,450244 9,371887 19 4,315701 0,231712 41,446263 9,603599 20 4,660957 0,214548 45,761964 9,818147 21 5,033834 0,198656 50,422921 10,016803 22 5,436540 0,183941 55,456755 10,200744 23 5,871464 0,170315 60,893296 10,371059 24 6,341181 0,157699 66,764759 10,528758 25 6,848475 0,146018 73,105940 10,674776 26 7,396353 0,135202 79,954415 10,809978 27 7,988061 0,125187 87,350768 10,935165 28 8,627106 0,115914 95,338830 11,051078 29 9,317275 0,107328 103,965936 11,158406 30 10,062657 0,099377 113,283211 11,257783 31 10,867669 0,092016 123,345868 11,349799 32 11,737083 0,085200 134,213537 11,434999 33 12,676050 0,078889 145,950620 11,513888 34 13,690134 0,073045 158,626670 11,586934 35 14,785344 0,067635 172,316804 11,654568 36 15,968172 0,062625 187,102148 11,717193 37 17,245626 0,057986 203,070320 11,775179 38 18,625276 0,053690 220,315945 11,828869 39 20,115298 0,049713 238,941221 11,878582 40 21,724521 0,046031 259,056519 11,924613


145


9% (1 )ni+ (1 ) ni −+

n(1 + i) 1 i = n

i

s−

¬

n

n

(1 + i) 1 i =

. (1 + i) n

i

a−

¬

n 1 1,090000 0,917431 1,000000 0,917431 2 1,188100 0,841680 2,090000 1,759111 3 1,295029 0,772183 3,278100 2,531295 4 1,411582 0,708425 4,573129 3,239720 5 1,538624 0,649931 5,984711 3,889651 6 1,677100 0,596267 7,523335 4,485919 7 1,828039 0,547034 9,200435 5,032953 8 1,992563 0,501866 11,028474 5,534819 9 2,171893 0,460428 13,021036 5,995247 10 2,367364 0,422411 15,192930 6,417658 11 2,580426 0,387533 17,560293 6,805191 12 2,812665 0,355535 20,140720 7,160725 13 3,065805 0,326179 22,953385 7,486904 14 3,341727 0,299246 26,019189 7,786150 15 3,642482 0,274538 29,360916 8,060688 16 3,970306 0,251870 33,003399 8,312558 17 4,327633 0,231073 36,973705 8,543631 18 4,717120 0,211994 41,301338 8,755625 19 5,141661 0,194490 46,018458 8,950115 20 5,604411 0,178431 51,160120 9,128546 21 6,108808 0,163698 56,764530 9,292244 22 6,658600 0,150182 62,873338 9,442425 23 7,257874 0,137781 69,531939 9,580207 24 7,911083 0,126405 76,789813 9,706612 25 8,623081 0,115968 84,700896 9,822580 26 9,399158 0,106393 93,323977 9,928972 27 10,245082 0,097608 102,723135 10,026580 28 11,167140 0,089548 112,968217 10,116128 29 12,172182 0,082155 124,135356 10,198283 30 13,267678 0,075371 136,307539 10,273654 31 14,461770 0,069148 149,575217 10,342802 32 15,763329 0,063438 164,036987 10,406240 33 17,182028 0,058200 179,800315 10,464441 34 18,728411 0,053395 196,982344 10,517835 35 20,413968 0,048986 215,710755 10,566821 36 22,251225 0,044941 236,124723 10,611763 37 24,253835 0,041231 258,375948 10,652993 38 26,436680 0,037826 282,629783 10,690820 39 28,815982 0,034703 309,066463 10,725523 40 31,409420 0,031838 337,882445 10,757360


146


10% (1 )ni+ (1 ) ni −+

n(1 + i) 1 i = n

i

s−

¬

n

n

(1 + i) 1 i =

. (1 + i) n

i

a−

¬

n 1 1,100000 0,909091 1,000000 0,909091 2 1,210000 0,826446 2,100000 1,735537 3 1,331000 0,751315 3,310000 2,486852 4 1,464100 0,683013 4,641000 3,169865 5 1,610510 0,620921 6,105100 3,790787 6 1,771561 0,564474 7,715610 4,355261 7 1,948717 0,513158 9,487171 4,868419 8 2,143589 0,466507 11,435888 5,334926 9 2,357948 0,424098 13,579477 5,759024 10 2,593742 0,385543 15,937425 6,144567 11 2,853117 0,350494 18,531167 6,495061 12 3,138428 0,318631 21,384284 6,813692 13 3,452271 0,289664 24,522712 7,103356 14 3,797498 0,263331 27,974983 7,366687 15 4,177248 0,239392 31,772482 7,606080 16 4,594973 0,217629 35,949730 7,823709 17 5,054470 0,197845 40,544703 8,021553 18 5,559917 0,179859 45,599173 8,201412 19 6,115909 0,163508 51,159090 8,364920 20 6,727500 0,148644 57,274999 8,513564 21 7,400250 0,135131 64,002499 8,648694 22 8,140275 0,122846 71,402749 8,771540 23 8,954302 0,111678 79,543024 8,883218 24 9,849733 0,101526 88,497327 8,984744 25 10,834706 0,092296 98,347059 9,077040 26 11,918177 0,083905 109,181765 9,160945 27 13,109994 0,076278 121,099942 9,237223 28 14,420994 0,069343 134,209936 9,306567 29 15,863093 0,063039 148,630930 9,369606 30 17,449402 0,057309 164,494023 9,426914 31 19,194342 0,052099 181,943425 9,479013 32 21,113777 0,047362 201,137767 9,526376 33 23,225154 0,043057 222,251544 9,569432 34 25,547670 0,039143 245,476699 9,608575 35 28,102437 0,035584 271,024368 9,644159 36 30,912681 0,032349 299,126805 9,676508 37 34,003949 0,029408 330,039486 9,705917 38 37,404343 0,026735 364,043434 9,732651 39 41,144778 0,024304 401,447778 9,756956 40 45,259256 0,022095 442,592556 9,779051


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MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA BIBLIOGRAFIA

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Prof. Ilydio Pereira de Sá E-mail: [email protected]

Site http://ilydio.wordpress.com

pós graduação em educação matemática universidade … · sendo, um estudo sobre porcentagens...

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