PISM II

MÓDULO II

GEOMETRIA

Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais definidos no espaço. São divididos em três grupos: sólidos quaisquer, poliedros e corpos redondos.

Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva em Geometria de posição e poliedros0 Comentários

Sólidos geométricos são objetos tridimensionais estudados pela Geometria

Sólidos geométricos são os objetos tridimensionais definidos no espaço. Alguns

exemplos de sólidos geométricos são: cubos, pirâmides, prismas, cilindros e esferas. O

conjunto de todos os sólidos geométricos costuma ser dividido em três grandes

grupos: poliedros, corpos redondos e outros.

Poliedros

São sólidos geométricos limitados por faces, que, por sua vez, são polígonos. Assim,

qualquer sólido geométrico cuja superfície seja formada somente por polígonos é

um poliedro. As linhas formadas pelo encontro entre duas faces de um poliedro é chamada

de aresta e qualquer ponto de encontro entre arestas é chamado de vértice.

O grupo dos poliedros é dividido em outros três grupos: prismas, pirâmides e outros. Veja

um exemplo de prisma e de pirâmide.

À esquerda, temos o prisma, que é um poliedro formado por duas faces poligonais (dois

pentágonos) e todas as suas faces laterais são paralelogramos. À direita, temos

a pirâmide: um poliedro que possui apenas uma base poligonal (um pentágono) e cujas

faces laterais são todas triângulos.

Corpos redondos

Enquanto os poliedros são sólidos geométricos formados apenas por polígonos e cujas

arestas são segmentos de reta, os corpos redondos são aqueles sólidos que possuem

curvas em vez de alguma face e que, se colocados sobre uma superfície plana levemente

inclinada, rolam. São exemplos de corpos redondos: cones, cilindros e esferas. A figura a

seguir mostra um exemplo de cada uma dessas figuras.

Outros

Os sólidos geométricos que não se enquadram nas duas categorias anteriores são o

que chamamos de outros. Geralmente são sólidos que possuem uma “face” curva, mas que

não rolariam se colocados sobre uma superfície plana. Um exemplo desse tipo de sólido

geométrico pode ser encontrado na figura a seguir. Observe que o lado curvo desse sólido

fica voltado para dentro.

Poliedros regulares Poliedros convexos formados por polígonos regulares e congruentes são regulares.

Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva em Geometria de posição e poliedros0 Comentários

Cinco classes de poliedros regulares

Poliedros são sólidos geométricos limitados por polígonos, que, por sua vez, são

figuras geométricas planas limitadas por segmentos de reta. Um poliedro é dito regular

quando obedece às três exigências seguintes:

1) é convexo;

2) é também poliedro de Platão;

3) Os polígonos que o formam, chamados de faces, são regulares e congruentes.

Todo poliedro regular é um poliedro de Platão, mas existem poliedros de Platão que não

são regulares. Veja a seguir uma explicação sobre cada uma das condições para que um

poliedro seja regular.

→ O que é um poliedro convexo?

Para compreender a ideia de poliedro convexo, é preciso saber a seguinte definição dos

planos no espaço: Todo plano divide o espaço em dois semiespaços. Essa propriedade é

parecida com a de semirreta. É comparável ainda com uma secção no espaço que o divide

ao meio. Qualquer face de um poliedro está contida em um plano – por ser uma figura plana

– e, por isso, determina um corte no espaço, dividindo-o.

Um poliedro é convexo quando está inteiramente contido em um dos dois semiespaços

determinados por qualquer uma de suas faces.

A figura acima é um poliedro convexo. Para ilustrar isso, colocamos um plano na cor lilás

em uma de suas faces, mas a mesma ideia aplica-se para qualquer face.

Dessa maneira, quando há pelo menos uma face de um poliedro que determina dois

semiespaços, nos quais existem partes do poliedro, esse poliedro não é convexo.

A figura acima não é convexa, pois existe uma face, contida no plano representado pelo

quadrilátero roxo, que determina dois semiespaços. Como existem partes do poliedro em

ambos, ele não é convexo.

→ O que é um poliedro de Platão?

Os poliedros de Platão são aqueles que possuem as seguintes propriedades:

1) Todas as faces apresentam o mesmo número de arestas;

2) Todos os vértices possuem o mesmo número de arestas, isto é, se um vértice é a

extremidade de três arestas, por exemplo, então todos serão também.

3) É convexo;

4) Seja o número de faces igual a F, de arestas igual a A e de vértices igual a V, então vale

a seguinte relação, chamada de relação de Euler:

V – A + F = 2

Existem infinitos poliedros de Platão, contudo, todos eles são um dos cinco seguintes,

variando apenas em dimensões:

1) Tetraedro regular;

2) Hexaedro regular, mais conhecido como cubo;

3) Octaedro regular;

4) Dodecaedro regular;

5) Icosaedro regular.

Imagens dos poliedros mencionados acima

→ O que é um polígono regular?

São polígonos convexos que possuem todos os lados e ângulos congruentes. A imagem

abaixo ilustra um polígono convexo.

Ilustração de um poliedro e seus elementos: faces, arestas e vértices

Elementos de um Prisma

Prismas são poliedros que possuem duas bases pertencentes a planos distintos e paralelos.

Observe a figura abaixo para melhores esclarecimentos sobre os elementos de um prisma.

Vértices, faces e arestas: São os elementos de qualquer poliedro listados anteriormente.

Bases do prisma: Na figura acima, são os pentágonos ASEGH e NOPQR, que pertencem

a planos paralelos. Contudo, não é necessário que essas figuras sejam pentágonos. Elas

podem ser qualquer polígono.

Faces laterais: Polígonos situados “nas laterais” do prisma, isto é, polígonos que não são

as bases. No exemplo acima, todos os quadriláteros.

Arestas da base: São as arestas ligadas às bases desse prisma. Na figura acima, são os

segmentos de reta: AS, SE, EG, GH, HA, NR, RQ, QP, PO e ON.

Arestas laterais: São as arestas presentes nas faces laterais do prisma, a saber: os

segmentos HO, GP, EQ, SR e AN.

Altura do prisma: A menor distância entre os planos que contêm as bases de um prisma

é chamada de altura do prisma.

Diagonal do prisma: Segmento de reta que liga dois vértices que não pertencem à

mesma face. No exemplo, uma dessas diagonais é o segmento de reta pontilhado em

vermelho NE.

Elementos de uma pirâmide

Pirâmides são poliedros formados por todos os segmentos de reta que têm início em um

polígono e findam em um ponto, que não pertence ao mesmo plano.

Vértices, arestas e faces são elementos de qualquer poliedro, inclusive a pirâmide, e já

foram definidos acima.

Base da pirâmide: Face inferior da pirâmide. Polígono que não pertence ao mesmo plano

que o vértice A. No exemplo acima, o polígono BCDEFG.

Vértice da pirâmide: Ponto mais “alto” da pirâmide e não pertence ao mesmo plano que

a base. No exemplo acima, o vértice da pirâmide é o ponto A.

Faces laterais: Exceto pela base, todas as faces de uma pirâmide são laterais. No

exemplo acima, as faces laterais são os triângulos.

Arestas da base: São as arestas que pertencem à base de uma pirâmide. No exemplo

acima, BC, CD, DE, EF, FH e GB.

Arestas Laterais: não pertencem à base de uma pirâmide. São eles: AB, AC, AD, AE, AF,

AG e AH.

Altura: É a distância entre o vértice da pirâmide e o plano que contém sua base.

RESUMO:

Ao estudarmos os poliedros convexos verificamos uma importante relação existente entre o número de faces, arestas e vértices. Leonhard Euler foi um matemático suíço que, dentre várias contribuições para a Matemática, desenvolveu uma relação que calcula o número de arestas (A), faces (F) e vértices (V) de um poliedro, desde que haja dois valores.

Relação de Euler: V – A + F = 2 ou V + F = A + 2

Exemplo 1 Calcule o número de arestas de um sólido que possui 8 vértices e 6 faces. V – A + F = 2 8 – A + 6 = 2 A = 14 – 2 A = 12 Exemplo 2 Um sólido geométrico tem 6 vértices e 10 arestas. Calcule o número de faces desse sólido. V – A + F = 2 6 – 10 + F = 2 F = 2 + 4 F = 6 Poliedros de Platão

Todo poliedro considerado de Platão deve obedecer algumas condições: O número de arestas tem que ser igual ao número de faces.

Os ângulos do poliedro devem possuir o mesmo número de arestas.

A equação de Euler precisa ser aplicada e aceita. Poliedros regulares Todas as faces iguais e regulares

Os ângulos poliédricos precisam possuir o mesmo valor. Temos a certeza da existência de cinco poliedros regulares, os chamados poliedros de Platão: tetraedro, hexaedro ou cubo, dodecaedro, octaedro e icosaedro.

Os poliedros são sólidos geométricos, definidos no espaço tridimensional, cujas faces são

planas. A sua classificação baseia-se no número de bases, polígono das bases, inclinação

das arestas, entre outros elementos.

Dentro do conjunto de todos os poliedros, existem dois grupos muito importantes:

os prismas, que possuem duas bases congruentes e paralelas em planos distintos; e

as pirâmides, que possuem apenas uma base poligonal. A imagem abaixo ilustra um

prisma, à esquerda, e uma pirâmide, à direita.

O conjunto dos poliedros é infinito, pois existem diversos tipos que são construídos a partir

da união de dois ou mais polígonos distintos.

Veja agora as classificações existentes para poliedros quaisquer. Posteriormente, as

classificações de prismas e pirâmides.

Poliedros convexos

Um poliedro é formado por faces, que, por sua vez, são polígonos, figuras geométricas

planas. Essas figuras estão definidas dentro de um plano. Lembre-se de que todo plano

divide o espaço em duas partes, os semiespaços.

Um poliedro é dito convexo quando cumpre as três condições seguintes:

→ Todas as faces desse poliedro são polígonos convexos em planos distintos; → Todo o poliedro pertence a apenas um semiespaço, determinado por qualquer

uma de suas faces; → Cada aresta pertence a apenas duas faces.

Polígono convexo à direita e polígono não convexo à esquerda

Poliedros de Platão

Um poliedro é chamado Poliedro de Platão sempre que possuir as seguintes

características:

1 – Todas as suas faces possuem o mesmo número de arestas; 2 – Todos os seus vértices são ponto de encontro do mesmo número de arestas.

O cubo, por exemplo, é um poliedro de Platão porque todas as faces possuem quatro

arestas e todos os vértices são ponto de encontro de três arestas.

Cubo: cumpre os pré-requisitos para ser um poliedro de Platão

Poliedros regulares

Para que um sólido geométrico seja nomeado Poliedro Regular, deve cumprir os seguintes

pré-requisitos:

1 – Ser convexo; 2 – Ser poliedro de Platão;

3 – Possuir todas as faces formadas por polígonos regulares e congruentes.

O cubo também é um exemplo de poliedro regular, pois, além de ser convexo e de Platão,

possui todas as faces formadas por quadrados, que são polígonos regulares e congruentes.

Classificações de Prismas

Um prisma pode ser classificado quanto ao número de lados do polígono que compõe a

sua base.

Prismas triangulares

As bases desse sólido geométrico são triângulos.

Prisma cujas bases são triangulares

Prismas quadrangulares

As bases desse sólido geométrico são quadriláteros (polígonos de quatro lados).

Prisma cujas bases são quadriláteros

Prismas pentagonais

As bases desse sólido geométrico são pentágonos (polígonos de cinco lados).

Prisma cujas bases são pentágonos

As classificações com relação às bases de um prisma seguem de acordo com a

nomenclatura dos polígonos de suas bases.

Um prisma também pode ser classificado com relação ao ângulo de suas arestas laterais.

As classificações possíveis são as seguintes:

Prismas retos

As arestas laterais de prismas retos são perpendiculares aos planos das bases. Isso

significa que o ângulo entre qualquer aresta lateral e as bases é sempre 90°. Lembre-se de

que, para que uma reta seja perpendicular a um plano, é necessário que essa reta seja

ortogonal a qualquer reta pertencente a esse plano.

Prisma em que o ângulo de qualquer aresta lateral com as bases é 90°

Uma consequência dessa definição é que todas as faces laterais de um prisma retosão

retângulos. Para demonstrar isso, basta notar que as arestas laterais e as arestas das bases

formam paralelogramos. Como o ângulo entre arestas da base e arestas laterais é sempre

90°, então, essas figuras também são retangulares.

Prismas oblíquos

As arestas laterais não são perpendiculares aos planos que contêm as bases do prisma. A

consequência dessa definição é que as faces laterais dessa classe de prismas sempre

serão paralelogramos.

Prisma cujas arestas laterais não são perpendiculares às bases do prisma

Paralelepípedos

São prismas quadrangulares cujas bases são paralelogramos. As características de um

paralelepípedo com relação às arestas são:

1 – Arestas das bases sempre são paralelas; 2 – Arestas laterais sempre são paralelas;

3 – Para o caso de paralelepípedos retos: Arestas laterais são ortogonais às arestas das bases.

Quando um paralelepípedo também é um prisma reto, ele é chamado de paralelepípedo retângulo ou bloco retangular. Se todas as arestas possuírem o mesmo comprimento, esse

paralelepípedo receberá o nome de cubo.

Paralelepípedo qualquer à esquerda; cubo à direita

Classificação de pirâmides

Pirâmides triangulares

A base dessas pirâmides é um triângulo.

Tetraedro: Pirâmide triangular

Pirâmides quadrangulares

A base dessas pirâmides é um quadrilátero (figura geométrica plana formada por quatro

lados).

Pirâmide cuja base é um quadrilátero

Pirâmide regular

Pirâmides cuja projeção ortogonal do vértice sobre a base é o centro da base. As

consequências dessa definição são:

1 – As faces laterais são triângulos congruentes e isósceles;

2 – As arestas laterais são congruentes.

Pirâmide cuja projeção ortogonal do vértice é o centro da base

Um caso especial de pirâmide regular é o tetraedro regular. Trata-se de uma pirâmide que

possui as quatro faces triangulares congruentes. Além disso, como resultado, todas as

arestas são também congruentes.

Prisma - Figura Geométrica

O prisma é um sólido geométrico que faz parte dos estudos de geometria espacial.

É caracterizado por ser um poliedro convexo com duas bases (polígonos iguais) congruentes e paralelas,

além das faces planas laterais (paralelogramos).

Composição do Prisma

Ilustração de um prisma e seus elementos Os elementos que compõem o prisma são: base, altura, arestas, vértices e faces laterais.

Assim, as arestas das bases do prisma são os lados das bases do polígono, enquanto que as arestas

laterais correspondem aos lados das faces que não pertencem às bases.

Os vértices do prisma são os pontos de encontro das arestas e a altura é calculada pela distância entre os planos das bases.

Classificação dos Prismas Os primas são classificados em Retos e Oblíquos:

Prisma Reto: possui arestas laterais perpendiculares à base, cujas faces laterais são retângulos.

Prisma Oblíquo: possui arestas laterais oblíquas à base, cujas faces laterais são paralelogramos.

Prisma reto (A) e prisma oblíquo (B)

Bases do Prisma De acordo com o formato das bases, os primas são classificados em:

Prisma Triangular: base formada por triângulo.

Prisma Quadrangular: base formada por quadrado.

Prisma Pentagonal: base formada por pentágono.

Prisma Hexagonal: base formada por hexágono.

Prisma Heptagonal: base formada por heptágono.

Prisma Octogonal: base formada por octógono.

Figuras de prisma segundo suas bases Importante ressaltar que os chamados “prismas regulares” são aqueles cujas bases são polígonos regulares

e, portanto, formados por prismas retos.

Note que se todas as faces do prisma forem quadrados, trata-se de um cubo; e, se todas as faces são

paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo.

Saiba mais sobre a Geometria Espacial.

Fique Atento!

Para calcular a área da base (Ab) de um prisma deve-se levar em conta o formato que apresenta. Por

exemplo, se for um prisma triangular a área da base será um triângulo.

Fórmulas do Prisma Áreas do Prisma Área Lateral: para calcular a área lateral do prisma, basta somar as áreas das faces laterais. Num prisma

reto, que possui todas as áreas das faces laterais congruentes, a fórmula da área lateral é:

Al = n . a

n: número de lados

a: face lateral

Área Total: para calcular a área total de um prisma, basta somar as áreas das faces laterais e as áreas das

bases:

At = Sl+ 2Sb

Sl: Soma das áreas das faces laterais

Sb: soma das áreas das bases

Volume do Prisma O volume do prisma é calculado pela seguinte fórmula:

V = Ab.h

Ab: área da base

h: altura

Exercícios Resolvidos 1) Indique se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F):

a) O prisma é uma figura da geometria plana

b) Todo paralelepípedo é um prisma reto

c) As arestas laterais de um prisma são congruentes

d) As duas bases de um prisma são polígonos semelhantes

e) As faces laterais de um prisma oblíquo são paralelogramos

VEJA RESPOSTA

a) (F)

b) (F)

c) (V)

d) (V)

e) (V)

2) O número de faces laterais, arestas e vértices de um prisma oblíquo quadrangular é:

a) 6; 8; 12

b) 2; 8; 4

c) 2; 4; 8

d) 4; 10; 8

e) 4; 12; 8

VER RESPOSTA

Letra e: 4; 12; 8

3) O número de faces laterais, arestas e vértices de um prisma reto heptagonal é:

a) 7; 21; 14

b) 7; 12; 14

c) 14; 21; 7

d) 14; 7; 12

e) 21; 12; 7

VER RESPOSTA

Letra a: 7; 21; 14

4) Calcule a área da base, a área lateral e a área total de um prisma reto que apresenta 20 cm de altura, cuja

base é um triângulo retângulo com catetos que medem 8 cm e 15 cm.

VER RESPOSTA

Antes de mais nada, para descobrirmos a área da base, devemos lembrar a fórmula para encontrar a área do

triângulo

Logo,

Ab= 8.15/2

Ab=60 cm2

Por conseguinte, para encontrar a área lateral e a área da base devemos lembrar do Teorema de Pitágoras,

donde a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa.

Ele é representado pela fórmula: a2=b2+c2. Assim, por meio da fórmula devemos encontrar a medida da

hipotenusa da base:

Logo,

a2=82+152

a2=64+225

a2= 289

a=√289

a2=17 cm

Área Lateral (soma das áreas dos três triângulos que formam o prisma)

Al= 8.20+15.20+17.20

Al= 160+300+340

Al=800 cm2

Área Total (soma da área lateral com o dobro da área da base)

At=800+2.60

At=800+120

At=920 cm2

Assim, as respostas do exercício são:

Área da Base: Ab=60 cm2

Área Lateral: Al=800 cm2

Área Total: At=920 cm2

5) (Enem-2012)

Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens

apresentadas estão as planificações dessas caixas.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?

a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide

b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide

c) Cone, tronco de pirâmide e prisma

d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma

e) Cilindro, prisma e tronco de cone

VER RESPOSTA

Letra a: Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide

TRIGONOMETRIA

tCírculo trigonométrico

O círculo trigonométrico é uma circunferência usada para representar ângulos e relacioná-los com números reais.

Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva em Geometria2 Comentários

O círculo trigonométrico é uma circunferênciade raio 1 usada para

representar números reaisrelacionados a ângulos. Sendo assim, cada ponto

dessa circunferência está relacionado a um número real, que, por sua vez, representa

um ângulo. Assim, é possível representar também valores de seno e cosseno.

O centro desse círculo está sobre o ponto O = (0,0) do plano cartesiano e, como o raio

dele é 1, podemos calcular seu comprimento da seguinte maneira:

C = 2·π·r

C = 2·π·1

C = 2·π

A ideia de volta

A ideia de volta está presente nos círculos trigonométricos. Como o comprimento

da circunferência é 2·π, podemos dizer que uma volta completa nesses círculos tem essa

medida. Repare apenas que o ângulo formado por essa volta mede 360°. Dessa maneira,

o número 2·π relaciona-se com o ângulo 360°.

Assumindo que essas voltas sejam feitas no sentido anti-horário, vamos calcular o valor

numérico e o ângulo correspondente à meia-volta:

C = 2·π = π

2 2

Portanto, meia-volta é igual a π. O ângulo gerado por meia-volta é 180°, pois é metade de

360°.

Qualquer número real pode ser representado em um círculo trigonométrico. O comum,

entretanto, é usar os números que vão de 0 a 2·π e os ângulos referentes a esse intervalo.

A figura a seguir mostra a localização dos pontos correspondentes aos ângulos 0°, 90°,

180°, 270° e 360° e os números reais, em função de π, relacionados.

Quadrantes

Os ângulos presentes na figura acima marcam posições muito importantes

no círculotrigonométrico: os chamados quadrantes. Eles são definidos no sentido anti-

horário. Na figura a seguir, observe os quatro quadrantes e sua localização

no círculotrigonométrico.

Em cada um desses quadrantes pode ser encontrado um intervalo de números reais em

função de π em que cada valor está relacionado a um ângulo. Veja:

Quadrante I: contém os números reais que vão de 0 até π/2 e os ângulos entre 0° e 90°.

Quadrante II: contém os números reais que vão de π/2 até π e os ângulos entre 90° e

180°.

Quadrante III: contém os números reais que vão de π até 3π/2 e os ângulos entre 180° e

270°.

Quadrante VI: contém os números reais que vão de 3π/2 até 2π e os ângulos entre 270°

e 360°.

Razão seno e razão cosseno

No círculo trigonométrico, é possível encontrar os valores de seno e de cosseno de um

ângulo θ qualquer. Para tanto, é necessário construir esse ângulo no círculo trigonométrico,

como foi feito na imagem a seguir.

Note que, tomando os segmentos BC e AB, paralelos a AD e DC, respectivamente, temos

um retângulo. Podemos notar que a medida do lado CD = b1 é igual ao senθ, pois:

Senθ = CD = b1 = b1

AC 1

A medida do segmento AC é 1 porque AC é o raio da circunferência. Essa medida é a

altura do retângulo.

A medida do segmento AD = a é igual ao cosθ, pois:

cosθ = AD = a = a

AC 1

Sendo assim, no círculo trigonométrico, as medidas de seno e cosseno de θ são iguais

às medidas do cateto oposto e adjacente a esse ângulo.

Podemos calcular agora os valores mais importantes para seno e cosseno. Observe no

círculo trigonométrico que:

Quando θ = 0°, senθ = 0 e cosθ = 1.

Quando θ = 90°, senθ = 1 e cosθ = 0.

Quando θ = 180°, senθ = 0 e cosθ = – 1.

Quando θ = 270°, senθ = – 1 e cosθ = 0.

Quando θ = 360°, senθ e cosθ possuem os mesmos valores do caso em que θ é igual a

0°.

Nesse sentido, podemos saber os quadrantes nos quais o seno e o cosseno são positivos

ou negativos. Observe a figura a seguir:

Estudo da função seno Estudo da função seno

Simbolicamente temos:

Note que o ponto P, forma o valor do seno (ON), podendo variar entre -1 e 1, em uma volta completa no ciclo trigonométrico, onde esse procedimento irá se repetir a cada volta.

• Conseqüências

Propriedades I) O período da função seno é 2π:

Vejamos:

II) A função y = sen x é ímpar:

Vejamos:

III) A função y = sen x é crescente dentro dos quadrantes I e IV. Mas a mesma função é decrescente nos quadrantes II e III, ocorrendo isso a cada volta no ciclo trigonométrico.

IV) A função y = sen x assume os sinais indicados em cada quadrante:

Gráfico da função seno

O gráfico da função y = sen x é chamado senóide.

Resumindo, temos: 1- Função y = sen x ou f(x) = sen x 2- O domínio é D(f) = R 3- O conjunto-imagem é im(f) = [-1;1]. 4- A função é periódica, de período 2π. 5- O sinal da função é: positivo no 1º e 2º quadrantes; negativo no 3º e 4º quadrantes. 6- A função é ímpar. 7- A função é crescente no 1º e 4º quadrantes e decrescente no 2º e 3º quadrantes. Função Cosseno O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ou ainda Im(f) = {y E R/ -1 < y < 1}; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1. O período da função cos x é 2π, pois Ax E R temos cos x = cos (x + K 2π), com K E Z e o menor valor positivo de K.2π, tal que isso ocorra, é 1.2π. Sinal da função Cosseno Estudando o sinal da função y = cos x em cada um dos quadrantes, temos: f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva) f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa)

Gráfico da função Cosseno

Resumindo temos: 1- Função y = cos x ou f(x) = cos x 2- O domínio é D(f) = R 3- O conjunto imagem é Im(f) = [-1;1] 4- A função é periódica de período 2π. 5- O sinal da função é: positivo no 1º e 4º quadrantes; negativo no 2º e 3º quadrantes. 6 - A função é função par. 7- A função é crescente no 3º e 4º quadrantes e decrescente no 1° e 2º quadrantes.

Função Tangente O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno pois não existe cosx = 0 e a

imagem é tg x; Im(tg x) = R ou . A função é periódica , de período π. Sinal da Função Tangente Valores positivos nos quadrantes ímpares(1º e 3°) Valores negativos nos quadrantes pares(2º e 4º) Crescente em cada valor.

Gráfico da Função Tangente

função chamada tangentóide Resumindo temos: 1- Função y = tg x ou f(x) = tg x 2- O domínio é D(f) = {x E R/ x# π/2 + k . π, k E Z} 3- O conjunto imagem é Im(f) = R. 4- A função é periódica, de período π. 5- O sinal da função é: positivo no 1º e 3º quadrantes; negativo no 2º e 4º quadrantes. 6- A função é uma função Ímpar. 7- A função é crescente em todos os quadrantes.

Relações Trigonométricas Fundamentais

Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva em Trigonometria0 Comentários

Pertencentes a um mesmo arco os valores das funções trigonométricas possuem relações

denominadas trigonométricas. Veja as relações fundamentais:

Essas relações são fundamentais porque a partir de um valor de uma das razões de um

arco qualquer, calculamos os valores das outras razões trigonométricas caso existam.

Observe exemplos:

Exemplo 1

Dado o valor sen x = e determine o valor das demais funções

trigonométricas:

Exemplo 2

Considere que , determine o valor de cotg x.

Álgebra

Progressão Geométrica Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos.

Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), temos q = 2.

Cálculo do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:

a1 a2 a3 ... a20 ... an ... a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-1 ...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 . qn-1

Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 . (1/2)n-1

Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 . (1/2)5-1 = 2 . (1/2)4 = 1/8

A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é consequência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos termos de uma P.G finita Publicado por: Danielle de Miranda em Progressão2 Comentários

Progressão geométrica finita é uma PG que tem um número determinado de elementos.

Por exemplo, a seqüência (3,6,12,24,48) é uma PG de razão igual a q = 2.

A soma dos temos dessa PG será 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93. Fazer essa soma é fácil, pois

ela possui apenas cinco elementos, caso seja necessário somar os termos de uma PG

com mais de dez elementos, o que é mais complicado, é preciso utilizar uma fórmula. Veja

a sua demonstração:

Dada uma PG finita qualquer com n elemento, ou seja, com a quantidade de elementos

indefinida. PG finita (a1, a2, a3, ... , an). A soma desses n elementos será feita da

seguinte forma:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

Sabendo que a2 = a1 . q; a3 = a1 . q2; an = a1 . qn – 1

Podemos dizer que a soma dessa PG será:

Sn = a1 + a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + ... + a1 . qn – 2 + a1 . qn – 1.

Como se trata de uma equação, se multiplicar um membro é preciso multiplicar o outro,

por isso é necessário multiplicar os dois termos da última equação por q:

q . Sn = (a1 + a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + ... + a1 . qn – 1)

q . Sn = a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + a1 . q4 + ... + a1 . qn – 1 + a1 . qn

Fazendo a subtração:

Colocando em evidência os termos semelhantes, temos:

q . Sn – q . Sn = a1 . qn – a1

Sn (q - 1) = a1 (qn – 1)

Isolando o termo Sn (soma dos elementos), iremos obter a seguinte fórmula:

Sn = a1 (qn – 1)

q - 1

Portanto, a fórmula para obter a soma dos n elementos de uma PG finita é:

Sn = a1 (qn 1) q 1

Exemplo: Dê a soma dos termos da seguinte PG (7,14,28, ... , 3584).

Para utilizarmos a fórmula da soma é preciso saber quem é o 1º termo, a razão e a

quantidade de elementos que essa PG possui.

a1 = 7

q = 2

n = ?

Sn = ?

Portanto, é preciso que encontremos a quantidade de elementos que possui essa PG,

utilizando a fórmula do termo geral.

an = a1 . qn – 1

3584 = 7 . 2n – 1

3584 : 7 = 2n – 1

512 = 2n – 1

29 = 2n – 1

n – 1 = 9

n = 10

Sn = a1 (qn – 1)

q - 1

S10 = 7 (210 – 1)

2 – 1

S10 = 7 (1024 – 1)

2 – 1

S10 = 7 . 1023

S10 = 7161

Soma dos infinitos termos de uma P.G Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva em Progressão0 Comentários

A quantidade de termos de uma PG pode ser finita ou infinita, caso a progressão

geométrica seja finita, a soma dos elementos que a constituem será dado pela expressão:

Quando a PG dada for infinita, a soma dos termos de seus elementos não será

determinada pela expressão citada. A expressão matemática responsável pela soma dos

termos de uma PG infinita será:

Exemplo 1

Calcule a soma dos infinitos termos da PG (45, 15, 5, ...).

É preciso que identifiquemos o valor da razão dessa PG.

q = 15/45 = 1/3, como está entre -1 e 1, podemos dar continuidade ao cálculo da soma

dos seus infinitos termos.

S∞ = 45 / (1 – 1/3)

S∞ = 45 / 2/3

S∞ = 45 * 3/2

S∞ = 135/ 2

Exemplo 2

A soma dos infinitos termos da PG (x , x/2 , x/4 , ...) é 5. Determine x.

Exemplo 3

A soma dos infinitos termos da PG é 9/2. Determine a razão dessa PG sabendo que a1 =

3.

a1 = 3

S = 9/2

q = ?

Exemplo 4

Vamos obter a fração geratriz da dízima 0,333333...

Seja x = 0,3333... iremos escrever x na seguinte forma:

x = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 + 0,000003 + 0,0000003 + 0,00000003 + ...

Observe que x representa a soma dos infinitos termos de uma PG, onde o 1º termo é 0,3

e a razão é q = 0,03/0,3 = 0,1.

Exercícios Sobre Progressão Geométrica

O objetivo destes exercícios sobre progressão geométrica é estimular a aplicação da fórmula do termo geral da PG em diferentes situações. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro em Exercícios de Matemática0 Comentários

Questão 1

Em uma PG crescente, temos a2 – a1 = 60, e o primeiro termo a1 é equivalente ao triplo da

razão q. Determine os valores de a1 e de q.

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Questão 2

Em uma PG decrescente, são conhecidos dois termos: a5 = 135 e a8 = 5. Determine qual é

o primeiro termo dessa PG.

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Questão 3

(UFMG) Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse

período, o número de coelhos duplicou a cada quatro meses. Hoje, parte dessa criação

deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra,

a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos a ser vendida é

a) 75%

b) 80%

c) 83,33%

d) 87,5%

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Questão 4

(UFPE) Suponha que o preço de um automóvel se desvaloriza 10% ao ano nos seus 5

primeiros anos de uso. Se este automóvel novo custou R$ 10.000,00, qual será o seu valor

em reais após os 5 anos de uso?

a) 5.550,00

b) 5.804,00

c) 6.204,30

d) 5.904,90

e) 5.745,20

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Respostas

Resposta Questão 1

Como se trata de uma PG, podemos afirmar que a2 = a1 · q. Vamos substituir a2 em a2 – a1 = 60:

a2 – a1 = 60

a1 · q – a1 = 60

a1 · (q – 1) = 60

Se o primeiro termo a1 é equivalente ao triplo da razão q, podemos afirmar que a1 = 3q.

Agora substituiremos esse valor de a1 na equação anterior:

3q · (q – 1) = 60

3q² – 3q – 60 = 0

Podemos dividir toda a equação por três, o que resulta em:

q² – q – 20 = 0

Pela fórmula de Bhaskara, temos que:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 1² – 4.1.(– 20) Δ = 1 + 80

Δ = 81

q = – b ± √Δ

2.a

q = – (– 1) ± √81

2.1

q = 1 ± 9

2

q1 = 1 + 9 = 10 = 5

2 2

q2 = 1 – 9 = – 8 = – 4

2 2

Como se trata de uma PG crescente, q2 = – 4 não convém, portanto q = 5. Sabendo

que a1 = 3q, vamos determinar o valor de a1: a1 = 3q

a1 = 3 · 5

a1 = 15

Dessa forma, a1 = 15 e q = 5.

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Resposta Questão 2

Vamos considerar que essa progressão geométrica está iniciando pelo termo a5. Apenas

por um momento, vamos ignorar os quatro primeiros termos da PG, lembrando que a

razão q permanece a mesma. Utilizando a fórmula do termo geral da PG, temos:

an = a1 · qn – 1

a8 = a5 · q 8 – 5

5 = 135 · q 3

q3 = 5 135

q3 = 1 27

q = 3√ 1 3√27

q = 1

3

Agora que já encontramos a razão, podemos determinar o 1° termo a1 da PG através do

termo geral:

an = a1 · qn – 1

a5 = a1 · q 5 – 1

135 = a1 · (1/3)4

a1 = 135 1/81

a1 = 135 · 81

1 1

a1 = 10.935

Portanto, o primeiro termo dessa progressão é a1 = 10.935.

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Resposta Questão 3

Como nós não temos conhecimento da quantidade inicial de coelhos, podemos afirmar que

esse valor é x. Sendo assim, passados quatro meses, a população de coelhos tornou-

se 2x; passados oito meses, já havia 4x; após 12 meses, a polução de coelhos era de 8x.

Isso pode ser representado como uma PG (x, 2x, 4x, 8x) de razão 2.

Conforme o enunciado, atualmente o criador de coelhos possui 8x animais. Se ele deseja

voltar a ter apenas a quantidade inicial (x), ele deverá vender 7x. Podemos calcular a

porcentagem da criação que ele venderá através do quociente entre 7x e 8x:

7x = 7 = 0,875 = 87,5%

8x 8 Portanto, a alternativa correta é a letra d.

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Resposta Questão 4

Se o automóvel desvaloriza-se 10% ao ano, podemos afirmar que a cada ano seu valor

passa a ser apenas 90% do que era anteriormente. Para determinar esse valor a cada ano,

basta multiplicar o valor anterior por 0,9 (que equivale a 90%). Dessa forma, há uma

progressão geométrica com razão 0,9, por isso utilizaremos a fórmula do termo geral da

PG para resolver a questão.

Para tanto, consideremos a1 = 10.000, q = 0,9 e n = 6 (observe que utilizamos 6 porque, no

primeiro ano, não houve desvalorização e só após 5 anos o carro será vendido).

an = a1 · qn – 1

a6 = a1 · q 5

a6 = 10.000 · (0,9) 5

a6 = 10.000 · 0,59049

a6 = 5904,9

Portanto, a alternativa correta é a letra d.