Pesquisa Operacional Aula 2 – Programação Linear

Prof. Marcelo Musci aula@musci.info

www.musci.info

Restrições : - Uma não pode saber da outra. Para isso , você tem que levá-las a lugares diferentes em dias diferentes. (restrição operacional) - O dinheiro é limitado, portanto você não pode sair todos os dias. (restrição logística/ matemática) - O tempo é limitado, portanto deve haver um planejamento do tempo gasto com cada uma. (restrição logística/matemática)

-É chique, só gosta de restaurantes caros, num encontro com ela você vai gastar R$180,00. -É calma, sossegada, um encontro com ela dura 2 horas.

x1

-É mais simples, gosta de lugares mais baratos, num encontro com ela você vai gastar R$100,00. -É agitada, gosta de fazer muitas coisas na noite, um encontro com ela dura 4horas.

x2

Quantas vezes você vai poder sair com Natalie numa semana? E com Scarlett?

Você pode gastar R$ 800,00 por semana com elas.

Você tem 20 horas livres para sair com elas na semana.

Chamemos assim:

x1 a quantidade de vezes que você sai com Natalie Portman.

x2 a quantidade de vezes que você sai com Scarlett Johansson.

Portanto teremos:

Resumindo: Se você sai x1 vezes com Natalie por semana e cada noite com ela custa R$180,00, então sair com Natalie custará 180 x1. Com Scarlett será 100 x2. A mesma lógica se aplica ao tempo.

{ 800100180 21 xx

2042 21 xx

{ 800100180 21 xx

2042 21 xx

Esse sistema de equação elaborado no slide passado são as restrições do modelo. Como iremos resolver esse problema? Existem vários métodos para resolver problemas de programação linear (gráficos, solver, lindo, etc) porém iremos simplificar elaborando três alternativas de solução: ALTERNATIVA 1: x1 = 2 e x2 = 4; ALTERNATIVA 2: x1 = 3 e x2 = 3; ALTERNATIVA 3: x1 = 3 e x2 = 2.

Vamos testar as alternativas! Lembre-se que o limite é R$ 800,00 e 20horas.

Alternativa 3 - x1 = 3 e x2 = 2: 180 x 3 + 100 x 2 = R$740,00 2 x 3 + 4 x 2 = 14horas

Alternativa 2 - x1 = 3 e x2 = 3: 180 x 3 + 100 x 3 = R$840,00 2 x 3 + 4 x 3 = 18 horas

Alternativa 1 - x1 = 2 e x2 = 4: 180 x 2 + 100 x 4 = R$760,00 2 x 2 + 4 x 4 = 20 horas

OK!

OK!

Errado!

Qual é o seu objetivo? Segue abaixo dois objetivos diferentes: 1- Sair o máximo de vezes com as duas.

Matematicamente teremos: MAX( x1 + x2 ). 2- Sair o máximo de vezes com as duas mas com notável preferência por Natalie Portman.

Matematicamente teremos: MAX( 3x1 + x2 ).

Seguindo o Objetivo 1, analisamos as duas alternativas válidas:

Alternativa 1 : x1 = 2 e x2 = 4: x1 + x2 = 6

Alternativa 3 : x1 = 3 e x2 = 2: x1 + x2 = 5

Portanto, se o objetivo for sair o máximo possível com as duas, sem preferências, você deve sair duas vezes com Natalie Portman e quatro vezes com Scarlett Johansson em uma semana.

Objetivo 1: MAX( x1 + x2 )

Seguindo o Objetivo 2, analisamos as duas alternativas válidas:

Alternativa 1 : x1 = 2 e x2 = 4: 3x1 + x2 = 10

Alternativa 3 : x1 = 3 e x2 = 2: 3x1 + x2 = 11

Portanto, se o objetivo for sair o máximo possível com as duas, mas com uma clara preferência por Portman, você deve sair três vezes com Natalie Portman e duas vezes com Scarlett Johansson em uma semana.

Objetivo 2: MAX( 3x1 + x2 )

Modelo com o 1º objetivo: Função objetivo: MAX( x1 + x2 ) Restrições: Condições de não-negatividade: x1, x2 ≥ 0

800100180 21 xx

2042 21 xx

Modelo com o 2º objetivo: Função objetivo: MAX( 3x1 + x2 ) Restrições: Condições de não-negatividade: x1, x2 ≥ 0

800100180 21 xx

2042 21 xx

LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões: modelagem em Excel. São Paulo: Campus, 2006. (Adaptado)

Programação Linear

O modelo de Programação Linear (PL), como

qualquer modelo de PO, tem três componentes

básicos:

1. Variáveis

de decisão que procuramos determinar;

2. Objetivo

(meta) que precisamos otimizar (maximizar ou minimizar);

3. Restrições

que a solução deve satisfazer.

Programação Linear

A definição adequada das variáveis de decisão é

uma primeira etapa essencial na construção do

modelo.

Uma vez concluída, a tarefa de construir a

função objetivo e as restrições torna-se mais

direta.

O Modelo de PL de Duas Variáveis

Caso: Tintas e Tintas S.A.

A Tintas e Tintas S.A. produz tintas para interiores e

exteriores com base em duas matérias primas, M1e

M2.

Uma pesquisa de mercado indica que a demanda

diária de tintas para interiores não pode ultrapassar a

de tintas para exteriores por mais de 1 tonelada.

Além disso, a demanda máxima diária de tinta para

interiores é 2 t.

A Tintas e Tintas S.A. quer determinar o mix ótimo

(o melhor) de produtos de tintas para interiores e

exteriores que maximize o lucro total diário

Caso: Tintas e Tintas S.A.

Precisamos determinar as quantidades diárias a

produzir de tintas para exteriores e interiores.

Para tanto, precisamos definir:

Variáveis de decisão

(função) Objetivo

Restrições

Caso: Tintas e Tintas S.A.

A tabela abaixo apresenta os dados básicos do

problema

Caso: Tintas e Tintas S.A.

As variáveis (de decisão) do modelo são:

x1= toneladas de tinta para exteriores produzidas

diariamente

x2= toneladas de tinta para interiores produzidas

diariamente

Caso: Tintas e Tintas S.A.

Função objetivo:

A empresa quer MAXIMIZAR(ou seja, aumentar o

máximo possível) o lucro total diário para as tintas.

Considerando que o lucro por tonelada das

tintas para exteriores e interiores é de 5 e 4 (mil)

reais, respectivamente, temos:

Lucro total da tinta para exteriores = 5x1(mil) reais

Lucro total da tinta para interiores = 4x2(mil) reais

Sendo z o Lucro total diário, temos:

Maximizar z = 5x1 + 4x2

Caso: Tintas e Tintas S.A.

Restrições:

Devem limitar a utilização da matéria prima e a

demanda do produto.

Caso: Tintas e Tintas S.A.

Restrições:

Sobre a utilização diária de matéria prima M1temos:

M1 = 6x1 ton tinta exteriores

M1 = 4x2 ton tinta interiores

Utilização diária de M1 = 6x1+ 4x2 ton/dia

De forma semelhante, para M2 temos:

Utilização diária de M2 = 1x1+ 2x2 ton/dia

Caso: Tintas e Tintas S.A.

Restrições:

Como a disponibilidade diária das matérias primas

M1 e M2 está limitada a 24t e 6t, respectivamente,

temos:

Para M1 6x1+ 4x2 ≤ 24

Para M2 x1+ 2x2 ≤ 6

Caso: Tintas e Tintas S.A.

Restrições:

Com relação à demanda, temos:

O excesso de produção diária de tinta para interiores em

relação à de tintas para exteriores, x2–x1, não deve

ultrapassar 1t:

Limite de mercado x2 – x1 ≤ 1 - x1 + x2 ≤ 1

A demanda diária máxima de tinta para interiores

está limitada a 2t:

Limite de demanda x2 ≤ 2

Caso: Tintas e Tintas S.A.

Restrições:

Uma restrição implícita (ou subentendida) é que as

variáveis x1e x2 não podem assumir valores negativos

(restrições de nãonegatividade)

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

Caso: Tintas e Tintas S.A.

O modelo completo para o problema da Tintas e

Tintas S.A. é:

Maximizar z = 5x1+ 4x2

Sujeito a:

6x1+ 4x2 ≤ 24 (1)

x1+ 2x2 ≤ 6 (2)

-x1+ x2 ≤ 1 (3)

x2 ≤ 2 (4)

x1,x2 ≥ 0 (5)

Caso: Tintas e Tintas S.A.

Qualquer valor de x1e x2 que satisfaçam TODAS

as cinco restrições constituem uma solução

viável para o problema.

Caso contrário a solução é inviável.

Exemplo de solução viável:

x1= 3 t/dia

x2= 1 t/dia

Exemplo de solução inviável:

x1= 4 t/dia

x2= 1 t/dia

Caso: Tintas e Tintas S.A.

Resolução do modelo:

Método algébrico SIMPLEX

Método gráfico limitado a 2 ou 3 variáveis

Método computacional SOLVER do Excel

A resolução será apresentada

em outra parte do curso.